Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatika - Õhtuõpik (0)

1 Hindamata
Punktid

Esitatud küsimused

  • Mis on matemaatika ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Milleks meile arvu absoluutväärtus ?
  • Kuidas peita kolmekesi ühist varandust ?
  • Millal tuletis eksisteerib ?
  • Kuidas integreerib arvuti ?
  • Kuidas kaob helisalvestisest sahin ?
  • Kellele ta üldse mõeldud on ?
  • Miks „Õhtuõpikut” kirjutama hakkasime ja kuidas ta valmis ?
  • Mida „Õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda ?
  • Kellele ta üldse mõeldud on ?
  • Miks „Õhtuõpikut” kirjutama hakkasime ja kuidas ta valmis ?
  • Mida „Õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda ?
  • Mille aluseks on küsimus – mis on suurem ?
  • Mis koosnevad numbritest ?
  • Mis on matemaatika ?
  • Mis on matemaatika ?
  • Mille korral saab küsimusele „mis ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Mis on Sinu seos Tonga kuningaga ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Miks õppida matemaatikat ?
  • Kuidas neist raskustest üle saada ?
  • Kui ?
  • Miks me peaksime defineerima sama asja mitut moodi ?
  • Kuidas teda leida ?
  • Milleks meile üldse üldkujus võrrandid ?
  • Kui palju on ?
  • Kui eelmine lause ?
  • Miks me räägime temast nii pikalt ?
  • Miks ikkagi arvutites kõik kahendsüsteemis toimub ?
  • Kuidas seda teha ?
  • Kui miski eksisteerib, on teda ju vähemalt üks ?
  • Millestki veel väiksem kogus ?
  • Kuidas neid liita või korrutada ?
  • Kui mitte midagi ?
  • Kuidas mõelda ringjoonest ?
  • Kuidas leida järjest rohkem komakohti ?
  • Kus e esile tuleb ?
  • Milline neist valikutest kõige kasulikum oleks ?
  • Kuidas seda selgitada ?
  • Miks kurat õppima pean -d ?
  • Mis aga juhtuks, kui vahetame „ ” märgi „ ” märgi vastu ?
  • Mida võiks tähendada näiteks ?
  • Kuidas sellest mõelda ?
  • Misest. Mida tähendab aga astendaja null ?
  • Mitme tehtega saaks aga arvutada arvutada ?
  • Millist ilusat omadust tahaksime astendamiselt ?
  • Milles on probleem ?
  • Milleks meile arvu absoluutväärtus ?
  • Kui palju päevi sadas esimese kuuekümne aasta jooksul ?
  • Kust õige pärineb nimi „aritmeetiline jada“ ?
  • Mitu tera on lõpuks malelaual kokku ?
  • Mis on selle jada 64. liige ?
  • Mis on jada 64 esimese liikme summa ?
  • Mis selles nii rasket on ?
  • Mis on jada järgmine liige ?
  • Millal on kaks sellist objekti võrdsed ?
  • Millal on kaks vektorit võrdsed ?
  • Millal on see võimalik ?
  • Kuidagi ka tõlgendada ?
  • Mis on toa pikkus ja mis tema laius ?
  • Kuidas nad täpselt omavahel seotud on ?
  • Miks võrrandeid lahendada ?
  • Miks siis üldse ise õppida nende lahendamist ?
  • Milline oleks see omadus võrrandite keeles ?
  • Mis kirjeldab nende võrrandite omavahelist suhestumist ?
  • Kuidas seda teha ?
  • Kumb on suurem, arv või tema ruut ?
  • Kuidas seda tõestada ?
  • Kuidas seda robotkätt kontrollida ?
  • Kuidas on omavahel seotud sarnaste kolmnurkade küljed ?
  • Kui meile on antud üks kindel teravnurk (miks just teravnurk ?
  • Miks just täisnurksed kolmnurgad ?
  • Miks on kasutusel just täisnurksed kolmnurgad ?
  • Miks muidu peaksime seda uskuma ?
  • Kuidas siis argumenteerida ?
  • Miks peaks loodus just trigonomeetriliste funktsioonide otsa komistama ?
  • Kui palju ülesminekul ja allatulekul ?
  • Kui suur osa ühikringjoonest asub kõrgemal kui ?
  • Miks peaks täispööre olema just 360 kraadi ja mitte näiteks 100 või 222 kraadi ?
  • Kui ise oleks teisiti defineeritud [lk 101] ?
  • Kumba neist ikkagi kasutada ?
  • Kus seda vaja võiks minna ?
  • Kuidagi ei saaks ?
  • Mille graafikuks on suvalisel määral nihutatud siinusfunktsiooni graafik ?
  • Kuidas kaob helisalvestisest sahin ?
  • Kuidagi lahti saada ?
  • Miks osutuvad polünoomid nõnda oluliseks ?
  • Kuidas peita kolmekesi ühist varandust ?
  • Millega õpilasi hirmutada. Või siiski ?
  • Kuidas temast lahti saada ?
  • Kuidas on teisenenud algse ruutvõrrandi nullkohad ?
  • Mitmeid tunde. Miks nii ?
  • Millele lisad piima alles minuti lõppedes ?
  • Miks me nõudsime, et alus peab olema positiivne ?
  • Millist alust valida ?
  • Kust see kõik tuleb ?
  • Mida küll teha sellise tehtega ?
  • Kuidas logaritm siis arvutusi lihtsustas ?
  • Kuidas siis näiteks korrutada omavahel ja ?
  • Mis aluse jaoks see tabel on ?
  • Kuidas paigutada punkte arvteljele ?
  • Kuidas joonistada logaritmilist skaalat ?
  • Kuidas seda ise joonistada ?
  • Millised on tingimused selleks, et jada piirväärtus eksisteeriks ?
  • Millal piirväärtus eksisteerib ?
  • Kuidas seda täpselt matemaatiliselt defineerida ?
  • Miks sellist keerulist matemaatilist kirjeldust üldse vaja on ?
  • Millal leidub funktsioonil piirväärtus ?
  • Mis peaks olema selle funktsiooni piirväärtus kohal null ?
  • Kui teada on ainult läbitud tee pikkus ?
  • Kuidas võiksid seda hinnata ?
  • Mis on see täpne vastus ?
  • Miks see peaks nii olema ?
  • Mis nurga alt visata ratta seljast veepomme [lk 333] ?
  • Millal tuletis eksisteerib ?
  • Kuidas sellisel juhul leida läbitud tee pikkus ?
  • Kuidas seda teha ?
  • Kuhu jääb definitsioon ?
  • Kuhu jääb integraali matemaatiline definitsioon ?
  • Kuidas vahemikke võtame ning millise punkti neis valime ?
  • Kuidas integraali abil selle ellipsi pindala leida ?
  • Kuidas integreerib arvuti ?
  • Mis aga on see kõrgus ?
  • Kui igapäevaelus asju mõõdame ?
  • Miks peaks ühikruudu pindala olema ?
  • Kuidas aga leida ringi pindala ?
  • Kui palju lauseid võib moodustada kolme sõnaga mulle, meeldib, matemaatika ?
  • Kuidas sellist valemit leida ?
  • Kumb neist kasvab kiiremini ?
  • Mida tähendab faktoriaali jaoks argumendi kahekordistamine ?
  • Mis on tõenäosus, et ma nüüd viskan oma mündiga kulli ja mitte kirja ?
  • Kui tegemist on kulliga, ning sina mulle ühe, kui tegemist on kirjaga ?
  • Kui kiri... Seda sa vist mõtlesidki tõenäosuse all ?
  • Mis on Sinu meelest nüüd tõenäosus, et münt on kull ?
  • Mis on see tõenäosus, et ka mina vahele jääksin ?
  • Kuidas oleks ta võinud ette juba aimata, kui tihti ta võidab või kaotab ?
  • Mille vastu Chevlier de Méré siis eksis ?
  • Kuidas neid tõenäosuseid määrata ?
  • Mis on tõenäosus, et mõni neiu saab Riigikogu liikmeks ?
  • Kuidas seda otsustada ?
  • Mis on see tõenäosuslik kirjeldus seal taustal ?
  • Mis on suus , või suvalisi, mis ehk kannatavad vähem fluori ?
  • Keskkonnas neid kasvatati ?
  • Miks see peaks üldistuma suukeskkonnale ?
  • Mida ta ikkagi tähendab ?
  • Keskmine IQ-tase on kõrgem ?
  • Kui Sa teaksid, et sul on väikesed neerukivid, peaks Su otsust muutma ?
  • Kuidas on lugu Sinu klassis ?
 
Säutsu twitteris
MateMaatika
õhtuõpik
1
2
MateMaatika
õhtuõpik
3
Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon   
tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel  
(Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 
Eesti litsents ( http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/ ).
 
Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014
 
Viies, parandatud trükk
 
Toimetaja: Hele Kiisel
Illustratsioonid ja graafikud : Elis Saar
Korrektor : Maris Makko
Kujundaja: Janek Saareoja
 
ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis)
ISBN 978-9949-489-96-1 (epub)
Trükitud trükikojas Print Best
4
SiSukord
oSa 0 – SISSEJUHATUS  ..................... 17
oSA 2 – arvud  .....................................75
mATEmAATIkA mEIE ümbEr  ..................20
ArvUHUlgAd   .........................................78
Matemaatika kui keel  ...................................21
Naturaalarvud   ..............................................78
Matemaatika muutub ja areneb  ....................22
Täisarvud  ......................................................82
Mis on matemaatika?  ...................................23
Ratsionaalarvud  ............................................83
Matemaatika on mitmekülgne  .................... 24
Irratsionaalarvud  ja reaalarvud   .....................87
mIkS õppIdA mATEmAATIkAT?  ..............24
Kompleksarvud *  ......................................... 89
Matemaatika arendab mõtlemist  .................25
kUUlSAd  ArvUd:   JA e ......................... 96
Matemaatika õpetab tundma ja  
  ................................................................. 96
    ennustama maailma  ................................. 26
 .................................................................102
kAS mATEmAATIkA on rASkE?  .............30
Ilusaim valem matemaatikas  ......................108
Pähe õppida ei õnnestu   ................................30
ArvU ASTE  ...........................................110
Matemaatikal on oma keel  ...........................31
Juurimine kui  astendamise  vastandtehe  ..... 111
Matemaatikat on keeruline õpetada  .............32
Ratsionaalarvuline astendaja   ...................... 113
Matemaatika vajab aega  ..............................32
Negatiivne astendaja  ..................................114
InnUSTUSEkS  ..................................34
Astendaja null  .............................................114
Irratsionaalarvuline aste  ............................. 115
Arvude standardkuju  ..................................116
Astendaja null põhjendus nohikutele*  ........ 117
oSA 1 – keel ja põhiMõiSted  ........
ArvU AbSolUUTväärTUS  ......................120
39
Milleks meile arvu absoluutväärtus?  ...........121
matemaatikute keel ja žanrid  ...........42
Oskussõnad  ................................................. 42
Tähed ja sümbolid   ........................................43
Matemaatilised žanrid  ................................. 44
oSa 3 – arvude Sõbrad ja    
mUUTUJA   .......................................48
  SugulaSed .......................................125
Muutuja erinevates rollides   .......................... 48
JAdA  ....................................................128
võrdUS JA võrdSUS  .........................52
Aritmeetiline jada  .......................................129
Matemaatiline võrdus  ...................................54
Geomeetriline jada  ..................................... 131
Matemaatilise võrduse kasutused  .................55
Mõned teised põnevad jadad   ...................... 135
HUlk  ............................................58
vEkTor   ................................................138
Hulkade kirjeldamine  ....................................58
Kuidas vektorit matemaatiliselt  
Hulkade olulisus  ...........................................59
   kirja panna?  .............................................. 139
Hulgad ja peavalu  ........................................ 62
Vektoritega mängimine   ..............................139
fUnkTSIoon  ..................................64
mAATrIkS *  ...........................................152
Funktsioon kui masin  ....................................65
Maatriks ja võrgustikud  ..............................152
Range definitsioon ja mõisted  ..................... 66
Maatriks ja vektorid   .................................... 153
Funktsioonide omadusi  ............................... 68
Funktsioonide esitamise viise  .......................70
Funktsioon arvutimaailmas  ..........................72
5
oSA 4 – võrrAnd JA  võrrATUS   ....165
oSA 6 – tähtSad funktSioonid  .. 263
võrrAnd  .............................................168
polünoom   ..........................................266
Erinevat tüüpi võrrandid   ............................. 170
Omadused  ..................................................267
Võrrandisüsteem   ........................................ 172
Miks osutuvad polünoomid  
Mobiilioperaatori valimine  .......................... 174
  nõnda oluliseks?  ....................................... 268
võrrAndI  TEISEndAmInE  JA  
Nullkohad ja mugavale  kujule   
  
  tegurdamine   ............................................ 269
lAHEndAmInE  ....................................176
Võrrandi teisendamisest üldisemalt   ............ 176
Kuidas peita kolmekesi ühist varandust?  ..... 271
Väike võrrandijutt  ....................................... 179
Ruutfunktsioon ja tema lahendivalem  ........272
Veel võrrandi lahendamisest  .......................180
EkSponEnTSIAAlfUnkTSIoon  ................280
Eksponentsiaalfunktsioon ja astendamine   ..281
võrrAnd JA  gEomEETrIA   .....................184
Võrrandi ja geomeetria vaheline tõlkimine  ...184
Eksponentsiaalfunktsiooni omadused  ........282
Sirgete lõikumine tasandil ja vastav  
Kasvavad ja kahanevad protsessid  ............. 286
   võrrandisüsteem  ...................................... 187
logArITm   ............................................290
Sirgete ja tasandite  rakendused   ..................189
Logaritmfunktsioon   ....................................291
Logaritmi tähendus arvutusajaloos  ............ 296
võrrATUS  ............................................190
Võrratuste koostamine  ...............................191
Logaritmiline skaala  .................................. 299
Võrratuse lahendamine  ..............................191
Võrratuse teisendamine  ..............................194
Võrratused ja planeerimine   .........................195
oSA 7 – funktSioonidega  
Mõned levinud võrratused  ..........................197
  MängiMine  ......................................305
AbSolUUTväärTUSEgA võrrAnd  ..........202
pIIrväärTUS  JA pIdEvUS  .......................308
Jada piirväärtus  ..........................................310
Funktsiooni piirväärtus  ............................... 313
oSA 5 –  trigonoMeetria   ...............205
Funktsiooni pidevus  .................................... 317
proporTSIoonId JA kolmnUrgAd  .......208
TUlETIS   ................................................320
Küsimus kosmosest   ....................................208
Tuletise definitsioon  ...................................321
Võrdsed ja sarnased kolmnurgad  ................209
Tuletise geomeetriline tõlgendus  ................326
Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetrilised   
Millal tuletis eksisteerib?  .............................329
    põhiseosed   ..............................................212
Teine tuletis, kolmas tuletis jne  ................... 331
Siinusteoreem   ............................................222
Hoo pealt veepommi viskamine *  ................ 333
Koosinusteoreem   .......................................224
InTEgrAAl   ...........................................340
Trigonomeetria kosmoses: robotkäsi  .......... 227
Integreerimine   ............................................341
Integraal ja üldisemad pindalad   ..................347
TrIgonomEETrIA JA pErIoodIlISEd 
Kuidas integreerib arvuti?  ...........................349
fUnkTSIoonId  .....................................230
Ringliikumine ja trigonomeetria  ................. 231
InTEgrAAl JA TUlETIS  ...........................352
Kraadid ja radiaanid  ....................................234
Algfunktsioon ja määramata integraal   ....... 353
Koosinus , siinus ja elastne vedru* ...............236
Algfunktsioon ja määratud integraal ...........354
Newtoni-Leibnizi seos  ................................356
TrIgonomEETrIlISEd  AvAldISEd  JA  
   nEndE TEISEndAmInE  .......................240
trigonomeetriliste funktsioonide 
   vahelised seosed  ......................................241
kõIk võngUb*  ....................................254
Kuidas kaob helisalvestisest sahin ? .............258
AM-raadio   .................................................259
6
oSA 8 –  loendaMine ja  
oSA 9 –  luguSid   
  MõõtMine  .......................................359
  tõenäoSuSteooriaSt  .................389
ümbErmõõT , pIndAlA JA rUUmAlA  ......362
TõEnäoSUSTEoorIA  TäHEndUS JA  
Matemaatilised etalonid:  
  kASUTAmInE  ......................................392
    sirglõik , ruut, kuup   ...................................362
Väike mündilugu ehk mida tõenäosus  
Hulknurkade pindalad .................................364
   ikkagi tähendab?  ......................................393
Ringi ümbermõõt ja pindala ........................ 367
Tõenäosusteooria algus ehk kuidas valed  
Ruumiliste   kujundite pindalad  ....................369
   arvutused viivad pankrotti   .......................395
Mõned ruumalad  ........................................ 373
Kas mu sõbrannast saab riigikogu liige 
Kochi lumehelves  ....................................... 377
   ehk tõenäosuste määramise raskustest  ....398
pErmUTATSIoonId JA  fAkTorIAAl   ..........380
Kes on kõrgema IQ-tasemega ehk jaotuste  
Permutatsioon   ............................................380
võrdlemine ................................................. 400
Faktoriaal  ...................................................382
Geomeetriline tõenäosus ehk kuidas  
   leida tõenäosuse abil   väärtust  ...............402
kombInATSIoonId JA  vArIATSIoonId   ....384
Kombinatsioonide ja variatsioonide arv  ......385
TõEnäoSUS JA  InTUITSIoon   .................404
Monty Halli probleem  ................................ 404
Simpsoni paradoks   .....................................405
Sünnipäeva ülesanne  ..................................407
7
tere, lugeja!
S
tu

ejuha
SS

Meie lootus on, et „Õhtuõpikust” saab Sulle tore  kaaslane  matemaatikaga tutvumi-
Si
sel. Selle lihtsustamiseks pakume  Sulle  tulevasest kaaslasest ka väikese ülevaate. 
Alustame kolmest küsimusest.
Kas „Õhtuõpik” on mulle või kellele ta üldse mõeldud on?  
Miks „Õhtuõpikut” kirjutama hakkasime  ja kuidas ta valmis?  
Mida „Õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda?
Iga küsimus annab Sulle ka võimaluse sõbruneda ühega autoritest. 
Seejärel tutvustame Sulle veel kõiki teisi paljusid, kelleta  raamat kindlasti sellel 
kujul valmis poleks saanud. Ning pärast seda ei jää Sul küll üle muud, kui lugema 
hakata! Kirjuta meile kindlasti, kui Sul tekib küsimusi , soovitusi või niisama  
mõtisklusi.
kas „õhtuõpik” on mulle või kellele ta üldse mõeldud on?
Sellele küsimusele vastab Elis.
„Matemaatika õhtuõpik” on ideaalseks kaaslaseks kõigile neile, kelle jaoks tundub 
koolimatemaatika aeg-ajalt kuiv ja üksluine. Usun, et meie lugeja on kindlasti asja-
huviline, kellele ei piisa vahetult enne kontrolltööd paanilisest valemite pähe tuupi-
misest, vaid kes soovib neist aru saada ning osata neid ise tuletada. Siiski pole õpik 
ainult koolinoortele – see on mõeldud ka neile uudishimulikele, kes tunnevad
et matemaatika on jäänud kuidagi kaugeks, ja soovivad üht-teist uut ja põnevat 
juurde  avastada .
Seega, ole Sa gümnaasiumiks valmistuv põhikooliõpilane, matemaatikatunnis  
segadusse   aetud gümnasist, abiturient, kellel ees matemaatikaeksam, juba 
kooli lõpetanud täiskasvanu, kes soovib seniseid teadmisi kinnistada, või õpe-
taja täiendamas tunnimaterjale – soovime  Sulle pakkuda väikese rännaku läbi  
gümnaasiumimatemaatika põhiteemade, ning seda veidi värvikirevama nurga alt. 
Loodame näidata matemaatika kasulikkust ja põnevust – kui Sa pole seda veel 
mingil põhjusel avastanud, oled kindlasti õiges kohas!
8
S
tu

ejuha
Miks „õhtuõpikut” kirjutama hakkasime ja kuidas ta valmis?
SS
Si

Kristjanil on hea vastus olemas.
Raamatu idee sai alguse 2010. aasta kevadel, kui mina ja Juhan imestasime äsja 
vastu võetud matemaatika õppekava üle. Kuna õppekavasse lisandus uusi teema- 
sid, aga koolitundide arv kohati isegi vähenes, siis tekkis hirm, et õpilaste niigi niru 
suhtumine matemaatikasse võib veelgi süveneda. Meile meeldib matemaatika väga 
ja kuna olime ise matemaatikat erinevates kohtades õppinud , õpetanud ja – mis võib 
olla veelgi tähtsam – ka rakendanud, siis otsustasimegi, et võiksime seniseid õpikuid 
natukene teistsuguse lähenemisega toetada. Teistsuguse lähenemise realiseeri- 
miseks liitus selle plaaniga ka kunstnik Elis, kes tõi juurde oma ideed matemaatiliste 
mõttekäikude illustreerimiseks ja tegi võimalikuks teksti ja pildi ilusa sidumise.
Raamatu kirjutamine oli põnevam ja keerulisem, kui me algul arvasime, ning käsi-
kirja valmimiseni kulus lausa kolm aastat. Natukene teistsuguse lähenemise kin-
nitamiseks sai ka  kirjastamine  lahendatud väga moodsalt:  esialgse  finantsi  saime  
ühisrahastusplatvormi Hooandja kaudu enne raamatu ilmumist, mis võimaldas 
meil raamatu teha internetis kõigile tasuta kättesaadavaks. See tähendab, et võid 
julgelt meie tekste muuta ja kasutada, kuid raha teenimine pole siiski lubatud.  
Nii sai meie eesmärk – teha matemaatika paremaks mõistmiseks üks teistsugune 
raamat – täidetud isegi mitmekülgsemalt, kui me esialgu plaanisime.
Mida „õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda?
Kannatust, Juhan selgitab seda pikemalt :
„Õhtuõpiku” idee oli koondada kaante vahele kogu keskkooli matemaatika, tehes 
seda aga lõbusamalt ja elulisemalt kui lühikeses koolitunnis võimalik. Nii käsitleme 
vähemalt riivates kõiki koolis ettetulevaid teemasid ja veel nii mõndagi muud, mis 
meil endal nende teemadega seostus
„Õhtuõpik” on kirjutatud ja kujundatud hea tujuga ning just nii tuleks seda ka lugeda. 
Oleme ühelt  poolt teinud oma  parima , et raamatut ei peaks lugema algusest lõpuni, 
vaid võiks lugeda ka osade kaupa.  Teisalt oleme siiski osad ja peatükid seadnud selli-
sesse  järjekorda , kuidas meile endale raamatut otsast otsani lugeda meeldiks. 
9
Mõned peatükid said igavamad, kui oleksime soovinud; mõned pikemad, kui plaa -
nisime, mõned keerulisemad , kui tahtsime  – küll märkad! Tärniga peatükid ja lõi-
gud võid aga esmalugemisel vahele jätta. Seal on vahel midagi veidi keerulisemat 
S
või tunnivälist, vahel lihtsalt vähem asjakohast. Siinkohal olgu toodud ka sisukaart: 
tu
Osas 0 räägime sellest, kuidas meie  matemaatikast   mõtleme ; arutame, miks mate-
maatikat õppima peaks ning miks see õppimine vahel raske tundub. Osa lõpus 
ejuha
jagavad raamatu suurtoetajad omalt poolt innustust matemaatika õppimiseks ja 
SS
Si

„Õhtuõpiku” lugemiseks.
Innustus käes, tuleb osa 1. Osa 1 ei ole kindlasti raamatu kõige põnevam osa. Siin 
käsitleme matemaatika kirjapilti ja põhimõisteid – muutujat, võrdust, hulka, funkt-
siooni. Need mõisted on samas olulised kogu edasise raamatu tarvis, seetõttu soo-
vitame seda osa pingsalt lugeda, isegi kui pisut haigutama kisub . Usume, et midagi 
uut on siin osas siiski samuti peidus.
Edasi tulevad arvud ja osa 2. Arvud on kesksed kogu matemaatikas ja tegelikult 
kogu elus. Osas 2 anname lühikese  ülevaate sellest, kuidas arvu enda mõiste läbi 
aegade on muutunud, ning jõuame positiivsete täisarvude 1, 2, 3... juurest lõpuks 
imaginaararvuni 𝑖 ning kuulsate arvudeni 𝑒 ja π. Edasi räägime, kuidas korrutamist 
arvu astme mõiste abil ökonoomsemaks teha ning kuidas vahel loeb hoopis arvude 
vaheline kaugus, mida mõõdab arvu absoluutväärtus.
Osa 3 räägib arvude sõpradest ja sugulastest. Ühe arvu asemel uurime nüüd mate-
maatilisi objekte, mis koosnevad paljudest kokkupandud arvudest. Alustame jada-
dest, kuhu oleme lihtsalt arve ritta ladunud. Edasi räägime vektoritest, mis on ühelt 
poolt lihtsalt arvupaarid, arvukolmikud ja nii edasi  ning teiselt poolt geomeetrilised  
objektid – ilusad nooled. Viimaks jõuame ühe pika lisapeatükini, kus räägime arvu-
tabelitest ehk maatriksitest ning sellest, kuidas nende abil võrrandeid lahendada.
Edasi räägimegi võrranditest. Osas 4 selgitame, kuidas võrrandite abil elulisi küsi-
musi arvudesse panna, kuidas seejärel mõne matemaatilise trikiga need võrrandid 
ära lahendada ning lahenduste põhjal järeldusi teha. Võrranditest ainult sammuke 
edasi on võrratused, mille aluseks on küsimus – mis on suurem? – ning mis, nagu 
näeme, aitavad hästi toidulauda planeerida. 
Osa 5 on vahest visuaalselt üks raamatu kõige ilusamaid osasid, kahjuks ka üks 
kõige pikemaid ja sisutihedamaid. Räägime pikalt ja põhjalikult trigonomeetriast. 
Alustame kolmnurgast, siis mängime ringliikumisega, edasi kiusame ennast ja 
lugejat trigonomeetriliste teisendustega ning viimaks lõpetame lisapeatükiga, mis 
räägib, kuidas kõike maailmas vaadata võnkumise nurga alt. 
Järgmises osas naaseme pisut lihtsamate, aga sugugi mitte vähem oluliste funkt-
sioonide juurde. Osa 6 räägib alustuseks polünoomidest ehk funktsioonidest nagu 
10
ruutfunktsioon ja kuupfunktsioon. Polünoomid on nii paindlikud, et tegelikult 
saaks nendega pea kogu matemaatika tehtud. Ometi on lihtsam kasutusele võtta 
ka eksponentsiaalfunktsioon ning logaritmfunktsioon. Esimene neist aitab kirjel-
dada bakterite pooldumist, teine aitas astronoomidel juba sadade aastate eest 
S
kosmosearvutusi läbi teha.
tu
Funktsioone on tegelikult aga palju rohkem ja neid on tore kuidagi kirjeldada 
ejuha
ning teisendada. Osas 7 keskendumegi neile küsimustele. Alustame esmapilgul 
SS
üsna kummalise matemaatilise mõiste – piirväärtusega. Piirväärtus annab meile 
Si
mingis mõttes viisi  rangelt  rääkida lõpmatult suurtest ning lõpmatult väikestest 
suurustest.  Temal baseeruvad ka osa kolm järgmist peatükki – pidevus, tuletis ja 
integraal. Nagu juba sõnadest aru saada, läheb siin asi üpris tehniliseks kätte. Ilm-
selt peab seda osa lugema mitu korda. Siiski peljata ei maksa, sest pea kõikidest 
neist keerulistest mõistetest saab mõelda ka geomeetriliselt: pidevus tähendab, et 
funktsiooni graafikul pole  auke ; tuletis iseloomustab funktsiooni graafiku tõusmise 
või langemise kiirust; integraal arvutab funktsiooni graafiku alla jäävat pindala.
Pindalade ja ruumalade juurde jääme peatuma ka osas 8. Pöördume tagasi liht-
samate küsimuste juurde ja räägime, mida üldse tähendab mõõtmine ning kust 
pärinevad paljud koolis kohatud pindala ja ruumala valemid. Teatud määral oleme 
selles peatükis rangusest loobunud , sest nii mõneski kohas on intuitsioon tundu-
valt  olulisem ja ilusam kui tehnilised detailid. Et  intuitsiooni  siiski alati ei saa  usal -
dada, näitab samas kohe peatselt Kochi lumehelves. See on tükike matemaatilist 
põnevust, enne kui hakkame üsna üksluiselt loendama. Lühikesed peatükid per-
mutatsioonidest, kombinatsioonidest ja variatsioonidest ei sisalda suurt põnevust. 
Ometigi, kui nad hästi selgeks saad, võivad õhtud sõpradega kaardilauas küll põne-
vamaks muutuda.
Raamatu lõpetab osa tõenäosusest, osa 9. Üheksas  sümfoonia  on paljudel heliloo-
jatel mitte ainult jäänud viimaseks , aga osutunud võibolla ka üheks tähtsamaks, 
näiteks Beethovenil, Bruckneril, Schubertil. Meie ei saa küll väita, et osa 9 oleks 
nüüd kõige tähtsam osa, ent samas leiab tõenäosuslik mõtteviis ümbritseva elu 
kirjeldamisel järjest enam rakendust. Tõenäosusteooria aluseks on tõsiasi, et kõike 
juhtuvat täpselt ennustada ei saa. Siiski saame tihti piiritleda, mis täpselt juhtuda 
võiks, ning arvudesse panna oma ootuse , kui võimalik üks või teine stsenaarium  
ikkagi on. Osas 9 arutame lugulaulude abil, miks see kõik päris niisama lihtne ei 
ole, ning raamatu lõpuakordina üritame lugeja erinevate näidete abil põnevile ja 
segadusse ajada.
11
Suur, Suur aitäh !
innustuseks
Tahame tänada paljusid. Alustame neist kahest, kes (lisaks meile endile!) olid raa-
matu juba enne kirjastusse saatmist tervenisti läbi lugenud: meie sisutoimetaja 
Hele Kiisel ja  vabatahtlikust  sõber  Rainer   Küngas . Mõlema kommentaarid ja soovi-
tused aitasid kujundada nii raamatu üldpilti kui detaile. 
Meie õnneks oli meil võtta ka suur hulk sõpru, kes meid erinevate murede puhul 
aidata oskasid – Carita Hommik aitas meid kooliterminoloogia ja tähistustega, 
Mihkel Kree poole pöördusime kõikide tobedate  füüsikat puudutavate küsimus-
tega , Kaie  Kubjas kirjutas algversiooni lineaarsest optimeerimisest,  Jon McLoonelt 
leidsime inspiratsiooni Hansu ja  Grete  dialoogiks osas 9 ja Leopold Partsi sundisime 
kommenteerima mitmeid erinevaid tõenäosuse osasid... kuni lõpuks otsustasime 
hoopis millegi kergema ja lõbusama kasuks. 
Palju oli ka neid, kes lugesid raamatut osaliselt ja aitasid meil leida õiget tooni ja 
õiget mõtet. Tahaksime tänada Jaan ja Krista  Aru, kelle koormaks oli mitmete veel 
päris mustade   versioonide kommenteerimine; Laura Kaldat, kelle detailsus luge -
misel ei leidnud võrdset; Margus Niitsood, kes mitte ainult ei kommenteerinud 
mitut osa raamatust, vaid aitas leida raamatule parima võimaliku kunstniku; ning 
veel paljusid teisi, keda kõiki me  loetleda ei jõua. Täname teid südamest, isegi kui 
nimi ei jõudnud kirja!
Tahtsime üsna varakult saada ka raamatule tagasisidet – selle tegid jällegi võima -
likuks Carita Hommik ning tema kaks lõbusat klassi Poska gümnaasiumi õpilasi. 
Suur aitäh , üritasime teie kommentaare kõigiti arvesse võtta! 
Täname ka akadeemik professor  Jüri Engelbrechti, kes meid usaldas ning kirjutas 
sooja ja innustava soovituskirja juba enne, kui raamat päris valmis oli saanud. Ja 
muidugi täname ka kirjastajat, kes oli nõus võtma kirjastamisvaeva enda peale ole-
nemata sellest, et raamat saab olema internetis vabalitsentsi alusel tasuta kätte-
saadav.
Viimaks tahaksime tänada Hooandja portaali ning kõiki hooandjaid – tänu teile 
jõuab see raamat viimaks ka kaante vahele, oluline polnud meie jaoks mitte ainult 
teie rahaline toetus, vaid ka see, et uskusite projekti tähtsusesse ja toredusse.
12
Aitäh Sulle,
innustuseks
Janar Aadli, Virge Aas, Anneli Aasamets, Anne Aasamets, Kristi Aasma, Henrik 
Aavik, Ain Aaviksoo , Madis Aben, Priit AdlerMikk Adler, Rait Agu, Kristjan Ait, 
Karen Alamets,  Kaur Alasoo, Jüri Aleksandrov,  Einar Aleksejev, Anne Almet,  Kris -
tel Altosaar, Peeter Anijalg, Tea Animägi, Lauri Anton, Triinu Arak, Indrek Ardel
Toomas Arike, Kristel  Arnik , Tiina Aro, Malle Aro, Jaan Aru, Lili Azin,  Märt  Bakhoff, 
Anzori Barkalaja,  Allan Berg,  Silver Bohl, Vivian Bohl, Karl-Erik Borkmann , Helena 
Braun , Indrek Bremraud, Heidi  Carolina, Reet Dalberg, Margus Eha, Andres Ehren-
preis , Seren Eilmann, Egon Elbre, Kadi Epler, Jürgen Esinurm, Erki Esken, Siim 
Esko , Hanno Evard, Carolyn Fischer, Dmitri  Gabbasov, Boriss Gubaidulin, Meelika 
HainsooAivar Halapuu, Martin Hallik , Erko Hansar, Harri Hanschmidt, Raivo Hein, 
Jelena Hein, Cattre Hein, Priit Heinsalu, Kaari Helstein, Reigo Hendrikson, Juuli Hiio, 
Carita Hommik, Hedy Hoomatalu, Mari Hunt, Jorma Härmsalu, Heiki IlissonSten  
Ilmjärv, Maaja Ivask , Mari-Liis Jaansalu, Marianne Jaanson,  Veronika  Jaansoo, Leel 
Jaer-Eer, Jaan Jagomägi, Helena Jeret-Mäe, Priit Joonas , Indrek JuhaniHannes  
Jukk,  Vahur Jõesalu, Martin Jõgeva, Liile Jõgi , Mairi Jõgi, Agur Jõgi, Jürgen Jänes
Tiia Järve, Marjaleena Jääger , Klen Jäärats, Priit Jürgenson , Kristjan Jürisalu, Indrek 
Kaarlõp, Kristo Kaarmann, Kadri Kaarna , Helle  Kaasik , Oliver Kadak , Jana Kadas-
tik,  Rando  Kalaus, Laura Kalda, Kärdi Kalda, Liis Kalda, Kristjan Kaldur,  Raul  Kalvo, 
Mihkel Kama, Laur Kanger, Marge Kanne, Karin Kapp,  Silva Kasela, Arvi Kass , Ind-
rek Kaus , Ilmar Kerm, Renee Kermon, Andres Kert , Kerttu Kibbermann, Källi Kiik
Martin Kiilo , Hele Kiisel, Jaak Kikas , Ülle Kikas, Krõõt Kilvet, Kirke Kisand, Andres 
Kitter , Kaiko Kivi, Kristi Klaasmägi, Kadri Klaos , Aivar Kodumäe, Raivo Kolde , Anas-
tassia Kolde, Junika Kolga, Riivo Kolka, Anti Konsap, Kaspar Korjus, Piret Korjus, 
Markko Krause, Karel Kravik, Toomas Krips, Ivo Krustok , Mari-Liis Kruup, Ivo Kruu-
samägi, Kaie Kubjas, Andres Kukk, Külli Kukk, Meelis Kull , Ivo Kund , Külli Kund, 
Mirjam Kundla, Tiia Kurel , Hanno Kuus, Anni Kuusik , Elis Kõivumägi, Sulev Kõks, 
Elvis Kõll , Mirko Känd,  Oskar Kärmas, Lauri Kärner , Emilia Käsper , Rainer Küngas, 
Kadri Kütt , Eve Laasi, Alvar Laigna, Anu Lajal, Rivo Laks , Margus Lamp, Johann 
Langemets,  Taavi Larionov , Rene Lasseron, Leho Laul, Henri Laupmaa, Teele Lem-
ber, Lennart Lennuk, Anna Leontjeva, Hillar Leoste, Delia Lepik, Kersti Leping,  
13
Tiit Lepp, Erik Liim, Aliis Liin , Oliver Liiv, Indrek Lillemägi, Martin Lillepuu, Peeter 
Lind,  Gerd Lindmaa, Mattias Linnap,  Taivo Lints, Piret Liv, Edvard Ljulko, Madis 
Lobjakas, Erkki  LukkRiina  Lulla, Taavi Lulla,  Tanel  Lumiste, Margit Luts, Eva-Mari 
Luts, Erki Lõhmus, Helli Lõoke, Priit Lätt, Mariann Maasi, Ethel Maasing, Tanel Mae, 
Martti Maimets, Ilja Maljutenko, Eva Maria, Kristi Markna, Mari Matjus, Külli Meier
Helo Meigas , Nele MeikarTauno Metsalu , Madis Metsis , Roman Migunov, Egert 
Milder, Epp  Mitt , Priit Mootse, Marianne Morgenroth, Alexey Morgunov, Marge 
Muna, Ülle Murumets, Pilleriin Mutso , Priit Muuga , Alar Mäerand, Ivo Mägi, Herki 
innustuseks
Mäll, Mart Mänd , Pille-Triin Männik , Ene-Ly Männing, Erki Männiste, Mihkel Mär-
tin, Madis Müller,  Aimar   Müürsepp , Aivar Naaber, Mattias Naan, Girti Naaris,  Kaisa  
Nei, Hendrik Nigul, Geily Niinemets, Rita Niineste, Margus Niitsoo, Jüri Nikolajev, 
Joosep Norma, Kaarel Nummert, Joonas Nurk, Anu Nutt , Rauno Nuut , Evert Nõlv
Alvar Nõmmik, Raimo Oinus, Agu Ojasoo , Tarvi OlbreiAnnika Oper , Kati Otepalu, 
Veljo Otsason, Peep Otstavel, Aita Ottson, Kaido Paabusk, Priit Paap , Markko Paas
Triin Paaver, Jaan Paaver, Maris  Paiste , Gea Pajula, Sander  Pajusalu , Silver  Pajuste
Aare   Palm , Priit Palta, Tauno Palts , Leopold Parts, Ülo Parve , Arie Passov, Jaan-
Eerik Past, Maarja Peegel , Brit Peensoo, Robert Peetsalu,  Tuuli Pentjärv, Aare Pere, 
Marie Pere, Hedi Peterson, Kristjan Peterson,  Janne  Pihelgas, Heino Pihlap, Krist-
jan Pihus , Morten Piibeleht , Tiiu Pirsko, Peep Pirso, Rainer Ploom , Triin Pomerants
Kristiina Praakli, Pille Pruulmann-Vengerfeldt, Vahur Puik, Taavi Pungas, Taivo 
Pungas, Merle Purre, Karl-Aksel Puulmann, Andres Puutsa, Paul- Kasper Põldmäe, 
Heija Pärtel, Priit Pääsukene, Rasmus Raag, Taavi Raidma,  Alari  Rajande,  Ramon  
Rantsus, Liisa Raud, Helen Raude, Evelyn Raudsepp, Eero Raun, Liisi Reemets, Lii 
Reikter, Tormi Reinson, Piia Reismann, Margus Rekor, Martti Remmelgas, Ago-Erik 
Riet, Pille Rinne, Marilin Ristikivi, Pille Roaldset, Lauri Rooden, Paul-Eerik Rummo, 
Renate  Rutiku , Siret Rutiku, Jüri Ruut, Toivo Räim , Mr S, Laur Saar, Elle Saar, Marit 
Saar, Indrek Saar, Lennart Saidla, Priit Salumaa, Silvi Salupere , Karl Saluveer , Vilja 
Saluveer,  Tõnu Samuel , Stella Sarapuu, Krista Sarv , Martin Sauk, Indrek Saul , Vlada 
Schotter, Annette Schultz, Toomas Schvak, Viire Sepp , Aneli Shmigelskite, Janno 
Siimar, Sirje Sild , Meelis- Mait Sildoja,  Kalli Sillamaa,  Ingvar Sinka,  Kairi Solmann, 
Mihkel Solvak, Siim Somelar,  Merlin Sooaru, Sigrid Sooman, Allan Soon, Silja Soon, 
Signe Susi, Erki Suurjaak,  Maret Suuroja,  Ivar  Zarans, Stanislav  Zavjalov,  Deivi  Taal, 
Annika Tallinn, Andres Talts,  Kerst Talving, Riivo Talviste, Hannes Tamjärv, Peeter 
Tamm, Piia Tamm, Harry  Tamm, Ronald  Tammepõld, Lauri Tammiste, Erik Tamre, 
Mare  Tannberg , Marju Tannberg, Sander Tanni,  Ludvig TasaneHardi Teder, Tauno 
Tedre, Krista Teearu, Mikk Teelahk, Mait Teesalu, Tõnis Telga, Hasso Tepper, Annika 
Teska, Taavi Tiirik, Annika Tina, Peeter Tinits,  Marek Tooming, Laur Tooming,  Siiri  
Toomiste, Tõnis Tootsen,  Konstantin Tretjakov, Renee Trisberg,  Elmo Trolla,  Katri  
Truu,  Andras Tsitskan, Lea Tui, Taavi Tuisk , Terje Tuisk,  Ando Tull, Tiina Turban,  
14
Toomas Tutt,  Reedik Tuuling, Eno Tõnisson , Villi Tõntson, Kai Tätte , Erle Tüür, Marju 
Unt, Anneli Unt,  Eero  Uustalu, Marko Vachtel, Avo Vahtramäe , Aigar Vaigu, Janar 
Vaik , Neeme Vaino, Triinu Vakmann, Kadri Vakmann, Maret Valdisoo, Uku Varb -
lane, Priit Vare, Signe Varendi, Tanel Vari, Madis Vasser, Kristjan Vassil, Kristjan 
Vedel, Marko  Veelma , Kadri  Veider , Martin Vels, Hanno Vene, Kadri  Veski , Kadri 
Vider, Mikk Viidebaum,  Gerli Viikmaa , Andres Vilgota, Katrin Vilimaa, Oliver Vilja-
maa, Rainer Villido, Jaak Vilo, Triin Viltrop, Kristi Vinter, Marie Vinter, Veiko Visna-
puu, Martin Vlassov, Jüri Vlassov, Katrin Vunk,  Helina  Võrno, Triin Võrno, Andres 
innustuseks
Võsa, Jorgan Võõrmann, Taimi Värva ja Kadri Õunap.
15
  ümber
  meie
tika
temaa
ma

16
  ümber
  meie
tika
temaa
ma

oSa 0
SiSSejuhatuS
17
  ümber
  meie
tika
temaa
ma

18
  ümber
  meie
tika
temaa
Kui inimesed ei usu, et matemaatika 
ma
on lihtne, siis vaid seetõttu, et nad ei 
mõista, kui keeruline on elu. 

John von Neumann
19
MateMaatika Meie üMber
  ümber
  meie
tika
Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, 
rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. 
temaa
ma

Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll 
peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused. Miks on 
seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü?
Tegemist ongi juba füüsikalise maiguga lõbusa matemaatilise küsimusega. Tema 
vastuski on segu füüsikalistest teadmistest ja matemaatikast: füüsikast teame, et 
seebikile sulgeb endasse võimalikult suure ruumala; matemaatika aga näitab, et 
sellise printsiibi korral peab mull olema täpselt kerakujuline. Raamatus puudutame 
ringi sarnast omadust – sama ümbermõõduga kujunditest piirab ta suurima pind-
ala [lk 97].
Matemaatikat võime näha ka kohviku teleekraanil, kus ülekantav jalgpallimäng 
on jõudnud penaltiseeriani. Kas mängijad valivad väravanurga, kuhu nad palli löö-
vad, mingi mustri järgi? Kas peaks valiku korral alustama penaltiseeriat lööjana või 
kaitsjana? Uurides möödunud penaltiseeriate tulemusi ja videokordusi, võime leida 
seaduspärasusi – sellega tegeleb matemaatiline statistika. Seaduspärasused kirjas, 
võime nende abil ehitada parima strateegia – sellele aitavad kaasa tõenäosuslikud 
kirjeldused [lk 392].
20
Kui lõpuks õnnestub ka kohvikust matemaatika juurest põgeneda, jääte tema küüsi 
jälle esimese lillepeenra kõrval. Matemaatiline kirjeldus aitab kirjeldada ja selgi-
tada erinevate mustrite teket ja seeläbi lillenuppude ilusaid kujusid .
  ümber
Näiteks teatud päevalillesortide õie paigutuses on 21  sinist ja 13 ookeanisinist spi-
raali. Need pole sugugi suvalised arvud – 21 ja 13 on Fibonacci arvud [lk 135], mis 
  meie
tulevad looduses tihti esile ning mille esinemist oskame ka selgitada.
tika
Viimaks, kui hakkate lille nime ja peret oma nutitelefoni või arvuti abil kindlaks 
tegema, küsite jälle abi matemaatikalt: otsingumootorite tööprintsiibid on olnud 
esmalt kirjas matemaatilises keeles ning arvutite sise-elu põhinebki ainult ühtedel, 
temaa
nullidel ning nendega arvutamisel.
ma
MateMaatika kui keel
Mõni ütlebki hoopis, et matemaatika ise on keel. Ja tõepoolest , matemaatika aitab 
ju kirjeldada maailma nagu iga teine keel ning lubab seeläbi omavahel suhelda ning 
informatsiooni vahetada. 
Siiski erineb matemaatika keel tavapärastest keeltest. Tavapärases keeles on meil 
peaaegu iga ettejuhtuva objekti tarvis üks sõna või sõnapaar. Tavapärased keeled 
hoomavad ja kirjeldavad peaaegu kõike, millega kokku puutume, ent teevad seda 
tihti mitmetähenduslikult. Näiteks pall võib tähendada põhimõtteliselt nii ümmar-
gust jalgpalli kui ka ovaalset Ameerika jalgpalli. Matemaatika otsustab kirjeldada 
21
vähem, aga see-eest täpsemalt – tihti vaid mõnda väikest detaili ühest või teisest 
objektist. Samas on need kirjeldused ise täpsed ja üheselt mõistetavad : palli kirjel-
daksime kera või ellipsoidina, olenevalt tema kujust, ning mõlemail neist mõiste-
  ümber
test on täpne ja ühene matemaatiline definitsioon [lk 44]. 
  meie
Kuna matemaatikud kasutavad eraldiseisvat sõnavara, tundub vahel, et matemaa -
tikud ei hooli üldse elust ning nende mõistetel ja käsitlusel kaob argipäevaga iga-
tika
sugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30]. 
Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus , et neist ükskord kasu ei 
temaa
võiks tulla. Mõnikord me ei oska lihtsalt  seoseid  ümbritsevaga näha ning nad või-
ma
vad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti 
pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma 
kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel – nende abil on hea kirja panna kõige väikse-
mate osakeste käitumist. Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstrakt -
sest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud 
koolimatemaatika on siiski igati eluline ning maailma kirjeldamisel ja mõistmisel 
asendamatu tööriist!
MateMaatika Muutub ja areneb
Matemaatikas ei ole aga ainult keel – matemaatika uurib, muudab ja arendab ise 
sedasama  keelt, milles ta end väljendab. Matemaatilised mõisted muutuvad ja 
nende muutumises peitub ka suur osa matemaatikast. Isegi see, kuidas mõeldakse 
matemaatiliselt arvudest, on muutunud – kunagi ammu tunti ainult arve 1, 2, 3, ...,  
siis leiti, et   on samuti üsna mõistlik arv, ja alles hiljuti lepiti, et ka   on arv või 
et lausa 
, mis reaalteljele ei mahu, sobib sama hästi üldmõiste  arv alla [lk 78].
Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on 
vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või tei-
selt poolt vaadatuna  on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, 
korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega  1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keeru -
lisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline –  
kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks 
nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab  pike -
malt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78].
22
MiS on MateMaatika?
Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öel-
  ümber
dud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud  ranged  reeglid nen-
dega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid 
  meie
alati väänata. Seda on eriti paslik teha siis, kui see toob kaasa rohkem seoseid, roh-
tika
kem lihtsust , rohkem ilu ja rohkem mõistmist.
Siiski võib lugejat kummitama jääda õigustatud küsimus: kas oleme ikka vastanud, 
temaa
mis on matemaatika? Ei ole. 
ma
Nagu on raske öelda, mis ikkagi on õnn või mis tarkus, on raske ka öelda, mis on 
matemaatika. Tegemist on lihtsalt nii mitmetahulise ja laia mõistega . Naljakal 
kombel iseloomustab matemaatikat ennast veel just see, et ta ise tegeleb objekti-
dega, mille korral saab küsimusele „mis?” väga täpselt vastata.
Lõppude lõpuks õpetab matemaatika meile, et meil on millegi defineerimisel ka 
parasjagu vabadust. Küllap pole sellest suurt kurja, kui igaühel on veidi omamoodi 
arusaam matemaatikast. Loodame, et see raamatuke aitab oma isiklikku  aru-
saama leida ka lugejal. 
23
MikS õppida MateMaatikat?
  ümber
  meie
tika
Head mängu iseloomustavad kolm omadust: ta on mitmekülgne, ta arendab ja ta 
võimaldab midagi õppida. Mõnikord räägitakse ka matemaatikast kui mängust. 
temaa
Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks – matemaatikast on palju enam kasu kui 
ma
mõnest mängust –, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust  igati olemas.
MateMaatika on MitMekülgne
Matemaatika peidab endas erinevaid ja tihti lausa vastandlikke külgi.
Matemaatikast võib leida täpsust, rangust ja kindlust . Niipea kui ühe matemaa-
tiliselt korrektse selgituse või seose leiad, jääbki see õigeks – mitte nii nagu tuba, 
mida koristad ja koristad, aga mis ikka jälle mustaks saab. Nii ehitab iga matemaa-
tika õppija oma   teadmistele kindlat vundamenti.
Üksluine vundamendi ladumine tüütaks aga kindlasti ära. Vaja on ka ootamatusi 
ja üllatusi. Matemaatikas selle koha pealt kokku ei hoita – näiteks  selgub , et lisaks 
meile juba tuntud kujunditele, nagu  ruudud , ringid , kolmnurgad, leidub ka kujun-
deid, mille ümbermõõt on lõpmatu , aga pindala lõplik [lk 377]. Või 
näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis 
on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal  päe -
val sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt 
sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus   või   ja nii 
edasi.
Paljudele meeldib aga hoopis loomingulisus, meeldib 
vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige ras-
kem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel 
jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel 
vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaati -
lise mõtte kindel vorm loomingulisust. Oluline osa  
24
matemaatikast on uute seoste, uute mõtteviiside, uute objektide loomine. Kas pole 
t?
vahva arusaam, et võime geomeetriast – kehade kujust ja kumerusest – mõelda 
sugugi mitte ainult kolmemõõtmeliselt, vaid kahekümnes, kolmekümnes või lausa 
tika
tuhandes mõõtmes ? Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha? 
Proovi ette kujutada! Meie näiteks ei oska...
temaa
  ma

MateMaatika arendab MõtleMiSt
  õppida
miks
Kui tahad saada juristiks , on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente 
üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste argumenti-
dest vigu leidma – olgu nad kui kavalad tahes – õpetab ilmselt matemaatika. Mate-
maatilise arutelu jaoks on alati tarvilik välja käia täpsed eeldused, täpne arutluskäik 
ning täpsed järeldused – hajusad argumendid läbi ei lähe. Oletame, et prokurör 
leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud var-
gused satuvad samale ajale. Kas seda võib kasutada tõendina tema kahjuks?  Näi-
teks on ju selge, et kui jäätiste läbimüük ja päikesepaiste korreleeruvad, ei järeldu 
sellest, et jäätise ostmine toob kaasa päikesepaiste. Mida me lisaks peaksime 
teadma?
Kui tahad saada arstiks, on matemaatika kohustuslik. Statistika aitab aru saada, 
millal  ravimifirmade  reklaamloosungitel  on  ka   tegelikku   sisu  [lk  398]  ning  mida 
ikkagi tähendab, kui üks või teine DNA-s olev geen suurendab haigestumise riski.
Kui tahad saada arhitektiks, ei saa samuti ümber matemaatikast. Matemaatika 
õpetab rangelt kirja panema proportsioone ja seoseid. Samasuguse rangusega töö-
tavad ka kõik arhitektuuriliste mudelite ehitamise programmid , mis tahavad vahel, 
et arhitekt oskaks kirjeldada oma jooni ka matemaatiliselt, võrranditega. Arhitekt 
peab oskama arvutada ruumide ja pindade suuruseid , peab teadma, kuidas leida 
ühe või teise tala kandevõimet.
Kui tahad saada luuletajaks, ei tule matemaatika jällegi kahjuks. Prantsuse luule-
taja Paul Valéry näiteks armastas matemaatikat – tema päevikud on täis matemaa-
tilisi ja eriti geomeetrilisi mõttekäike. Matemaatika olevat ta enda sõnul avaldanud 
suurt mõju ka ta luulele. Samuti on matemaatikuharidusega nii „ Alice Imedemaal” 
kui „ Karupoeg Puhhi” loojad .
Kindlasti pole loetletud elukutsed ainsad, kus matemaatikat vaja läheb või kus ta 
kasuks võiks tulla – väike maadlus matemaatikaga on hea treening kogu eluks.
25
t?
MateMaatika õpetab tundMa   
ja ennuStaMa MaailMa
tika
Kõige enam tuleb matemaatika ehk siiski kasuks kõigile, kes tahavad mõista või 
temaa
kontrollida end ümbritsevat elus ja eluta loodust. Ühe kahekümnenda sajandi suu-
  ma
rima füüsiku Richard Feynman’i sõnul on matemaatika valdamine  looduse kirjelda-
miseks lausa möödapääsmatu.
  õppida
miks
MateMaatika kirjeldab
Matemaatilise vedelikefüüsika abil saame selgitust jõgede müsteeriumile: miks nii 
sinikaelpardi, vanaema kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt?
Matemaatilise bioloogia abil leiame seoseid geenide ja haiguste vahel ning suu-
dame mõista südame ja veresoonkonna tööd. Näiteks matemaatilised kirjeldused 
südamerakkude kaltsiumiradadest  annavad lootust, et suudame paremini kontrol -
lida südame rütmihäireid.
Meil on igas keharakus paarkümmend tuhat geeni, mille avaldumine või mitteavaldu-
mine peaks määrama  kogu meie olemise ja tervise. Tahaksime kindlate geenide aval-
dumist või mitteavaldumist siduda teatud haigustega – nii võiksime leida viise nende 
haiguste ravimiseks. Selliste seoste leidmine on juba oma olemuselt matemaatiline 
töö. Töö tulemusi saab esitada aga ka kenade graafikutega,  millelt  on võimalik näha, 
mis geenide avaldumiskombinatsioonid võiksid peituda ühe või teise haiguse põh -
justajatena. Selliseid graafikuid kutsutakse „kuumuse graafikuteks“:
Sarnast graafikut kasutame ka tuletise peatüki lõpus [lk 338].
26
Matemaatikaga saame kirjeldada ning seeläbi mõista sotsiaalvõrgustike olemust ja 
t?
omadusi. Tihti kirjeldatakse selliseid võrgustikke maatriksite abil [lk 152]. Näiteks  
tuleb välja, et inimtutvuste võrgustik on väga spetsiifilise struktuuriga – nimelt on 
tika
ta üsna tihedalt seotud, iga inimene siin maailmas on igast teisest maksimaalselt 6 
sõprussuhte kaugusel. Mis on Sinu seos  Tonga kuningaga?
temaa
  ma

  õppida
miks
MateMaatika ehitab
Matemaatiline õpetus dünaamilistest protsessidest ja võnkumistest annab head 
nõu, kuidas ehitada sildu ning milliseid sildu ehitada ei tohi. Ehitada ei tohi näi-
teks sildu, mis võiksid tugeva tuule tagajärjel sattuda resonantsi ning hakata järjest 
vägevamalt võnkuma. Kuigi seda oleks saanud matemaatiliselt  ennustada, saime 
vastava õppetunni hoopis katselisel meetodil – 1940. aastal purunes Tacoma sild 
Ameerikas just nimelt tuule tekitatud resonantsvõnkumise tõttu.  
Ka arvuti on leiutis , mille võimalikkust taipasid ning mille kirjeldusteni jõudsid 
esmalt just matemaatikud. Nagu juba mainisime, mõistavad arvutid ainult mate-
maatikal põhinevat algoritmilist keelt ning kui tahame, et arvuti midagi meie eest 
ära teeks , peab talle seda ütlema täpselt ja konkreetselt – matemaatiliselt. Võib-
olla tasub ka märkimist, et üks internetiprotokollide leiutajatest – Ameerika arvuti-
teadlane  Vint  Cerf – sai oma bakalaureusekraadi samuti matemaatikast.
27
t?
MateMaatika ennuStab
tika
Katseliselt võime küll järele uurida, mis kunagi juhtus või mis juhtub hetkel, aga me 
ei saa kunagi katseliselt leida, mis juhtub tulevikus – tulevikku ju katsetada ei saa. 
temaa
Ent tihti peame just ennustama, mis tulevikus juhtuda võiks. 
  ma
Matemaatika abil ennustati, et leidub elektroni antiosake positron, ja nüüdseks 
oleme seda katseliselt näinud. Matemaatiliselt pakuti, et suurtel kiirustel enam 
Newtoni klassikaline mehaanika ei kehti, ning ega tõesti ei kehtigi. Ilma selle tead-
  õppida
miseta ei töötaks meie GPS- navigeerimine .
miks
Majandusteoreetikud üritavad aru saada, kuidas üks või teine inim- või inimväline 
faktor võiks tulevikus mõjutada majandusnäitajaid ; hasartmängurid peavad vähe-
malt üritama ennustada, mis kaardid on teistel peos või jagajal pakis;  insenerid  
peavad suutma ette kujutada ettekujutamatuid tegureid, mis nende uhket konst -
ruktsiooni ohustada või mõjutada saaksid – kõike seda saab teha ainult matemaa-
tiliselt. Nii ongi matemaatika ka meie silm tulevikku.
Muidugi ei ole kõik meie  ennustused  alati õiged, aga matemaatika südametunnis-
tus jääb puhtaks – eksimused on meie oma eeldustes ja mudelites ja neid eksimusi 
lubab matemaatika ise ka hinnata.
Tänapäeval on populaarseks saanud ka tõenäosuslikud mudelid, kus me tunnis-
tame , et täpselt ennustada ei olegi võimalik – oskame ainult ennustada, kui tihti 
üks või teine sündmus võiks juhtuda. Näiteks kui aus sõber viskab ausat münti
võiksime ennustada, et umbes pooltel juhtudel jääb ülespoole kiri [lk 392].
MateMaatika ei ole valMiS
Nagu nägime, võimaldab matemaatika päris paljut kirjeldada, kontrollida, ennus-
tada. Siiski on ka üsna palju seda, mida me veel ei mõista ning mida matemaatika 
ei hooma. 
Näiteks on tänapäeva matemaatika endiselt hädas keeruliste ja paljuosaliste süs-
teemide ning protsesside – nagu näiteks ühe keharaku töö või meie aju töö või maa-
ilmamajanduse – kirjeldamisega. Neist arusaamine eeldab suurt katselist tööd, aga 
küllap ka uut ja põnevat matemaatilist raamistikku. 
28
Ka matemaatikas endas on veel palju lahendamata küsimusi ja mõistatusi. Paljusid 
t?
neist on keeruline sõnastada, aga nii mõnedki näivad esmapilgul väga lihtsad. Näi-
teks ei tea me isegi, kui palju leidub algarve (arvud, mis jaguvad ainult iseenda ja 
tika
ühega), mille vahe on kaks. Arvupaarid 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31  sobiksid  ja usutakse, 
et sellised paarid ei saa kunagi otsa, ent tõestada seda 2013. aastaks keegi veel ei 
temaa
oska. Või siis ei oska me öelda, kas meie praegune kirjeldus vedelike  liikumisest –  
  ma
niinimetatud Navier  Stokes’i võrrand, on üldsegi matemaatiliselt sobilik. Me ei tea, 
kas võrrandile leidub alati sobilik lahend .
  õppida
miks
29
?
  raske
kaS MateMaatika on raSke?
  on
tika
Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see 
temaa
raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, 
  ma
aastaarve, rodude viisi riikide pealinnu või hoopiski kirjeldada elusat rakku  bioloo -
kas
giatunnis. 
Matemaatikat teeb ilmselt juba keeruliseks levinud kujutlus , et ühed oskavad mate-
maatikat ja teised ei oska. Pigem on õige, et ühtedele meeldib matemaatika roh-
kem ja teistele vähem, just nii nagu on ka kirjanduse, lauatennise või koorilauluga. 
Ja muidugi, kellele meeldib matemaatika rohkem, tegeleb sellega samuti rohkem 
ning on lõpuks selles ka edukam. 
Aga see, mis meile meeldib, võib muutuda üleöö (või pigem üle aastate) ja kui üks-
kord hommikuvalguses leiate, et matemaatika teile siiski mokkamööda võiks olla, 
pole mõtet karta – tegelikult on matemaatika samamoodi õpitav nagu kõik muu.
Siiski on matemaatikas ka mõned isemoodi raskused ning neist raskustest on kasu-
lik aru saada.
pähe õppida ei õnneStu
Üks matemaatika eripära ja raskus peitubki ehk selles, et pähe õppida õnnestub 
vähe ja sellest ei ole tihti otsest kasu. Kui õpite pähe ühe võrrandi lahendi, ei aita 
see lahendada mõnda teist võrrandit; kui õpite pähe ringi pindala valemi, ei aita 
see leida kolmnurga pindala. Ja ometigi on matemaatikas erinevaid küsimusi, mida 
esitada saab, teiste ainetega võrreldes vahest kõige rohkemgi.
Nii on matemaatika õppimiseks tarvis mingit muud strateegiat. Alustuseks on vaja 
aru saada matemaatiliste objektide ning arutelude vahelistest seostest ja selgeks 
õppida teatud üldiseid meetodeid , mis ütlevad, kuidas leida pindala või lahendada 
võrrandeid. Need meetodid on vahel täitsa kokaraamatu moodi, kuid mida põne-
vamaks lähevad ülesanded, seda enam tuleb hakata retsepte kasutamise käigus 
muutma – lisada juurde soola, pipart või tihedamini uusi matemaatilisi mõtteid.
30
Sellist improviseerimist saab aga õppida ainult katsetamisega ja sellest pole sugugi 
?
hullu , kui mõni lahendus alguses vale rada mööda otsustab minna, olulisem on jul-
gus neid proovida.
  raske
  on

tika
MateMaatikal on oMa keel
temaa
Teisest matemaatika raskusest oleme juba juttu teinud ja teeme järgmises osas 
  ma
veel [lk 42]. See peitub matemaatikute kirjasõnas, asjaolus, et matemaatiline 
kas
tähistus ja keel erineb teatud määral igapäeva keelest. See lihtsustatud keel teeb 
matemaatikat lihtsamaks ja võimaldab matemaatikale tema täpsust ja üheselt 
mõistetavust. 
Lisaks on osa matemaatika enda ilust peidus just selles, et tema tõestused ja tähis-
tused on võimalik kirja panna ümbritsevast sõltumatult, lakooniliselt ja puhtalt. 
Ainult nii saavutavad matemaatilised argumendid oma võime kirjeldada ühtaegu 
nii erinevaid ja mitmekoelisi olukordi :  -dest ja  -test koosnev võrrand räägib teile 
tegelikult kuussada muinaslugu, need peab aga igaüks ise juurde mõtlema.
Aju vajab aga matemaatilise stiili, matemaatiliste sümbolite ja keelega pisut harju-
mist.
Nii kaua kui tuleb kogu aeg järele vaadata, mida ikkagi tähendab võrrandis istuv  
, sümbol > või mis täpselt on tuletis, toimib matemaatika justkui sõnaraamatu 
abil. Kes sõnaraamatu abil välisriigis vestelda on proovinud, teab, kui vaevaliseks 
see osutub – tervikliku teksti loomiseks tuleb sõnu juba unepealt vallata , muidu on 
lause algus lause lõpuks ununenud ja mõtet väljendada ei suudagi.
31
?
MateMaatikat on keeruline õpetada
  raske
Kolmas matemaatika raskus peitub ilmselt selles, et teda on keeruline õpetada. 
  on
Ühelt poolt tahaksid õpetajad alati tundi kindlasti põnevaks teha – näidata ilusaid 
pilte ja seostuvaid katseid. Sellega riskib ta aga, et lihtsad ja selged matemaatilised 
tika
argumendid jäävad ilusate  juttude ning kaunistuste varju. Nii alustatakse tihti ran-
gelt matemaatilisest sisust ja varju jäävad hoopis seosed eluga.
temaa
Muidugi, ideaalis toimuks õppetöö risti-rästi, vahele elulisi lugusid, vahele matemaa-
  ma
tilist selgust, ent see vajab väga palju aega. Kooliprogrammis on aga matemaatika 
kas
jaoks aega aina vähem, samas teadmisi, mida edasi tahetakse anda, aina enam. 
Nii antaksegi tihti edasi matemaatilised teadmised nende kõige kompaktsemas 
vormis  –  objektide  nimed,   definitsioonid ,  arvutusvõtted,  ilma  pikemalt  selgita-
mata, kust ikka tulevad need nimed, definitsioonid, meetodid. Võrrandite, teoree-
mide tagamaad jäävad tumedaks ning nad ei seostu muu kui tahvliga.  Mõnele ei 
ole see probleem ning piisabki ainult matemaatilisest sisust, mõnele teisele on aga 
eluline kontekst ja mõttelugu hädavajalik. Ilmselt tuleb siis selle jaoks aega leida ka 
väljaspool kooli ning ehk on abiks ka käesolev raamat.
MateMaatika vajab aega
Kuidas neist raskustest üle saada? Tuleb julge olla ja tuleb endale ning matemaa-
tikale aega anda. Matemaatika tahab, et temaga tegeletaks iga päev natukene. 
Tuleb mängida matemaatikaga ja seeläbi harjuda tema stiili ning keelega. Tuleb 
lahendada õpetaja antud ülesandeid ja endale ise ülesandeid juurde mõtelda. Tuleb 
lahendada ülesandeid, mida  oskate , ja proovida neid, mida ei oska. Tuleb otsida 
seoseid ja seoste vahelisi seoseid. Tuleb pabereid sodida ja tindiga mitte kokku 
hoida. Ja usu või mitte – seda kõike on võimalik teha lõbuga!
Üks on kindel, kui Sulle endale meeldib matemaatika ning temaga tegeled, meel-
did varsti ka ise matemaatikale. Igal juhul ei pea matemaatika nautimiseks kind-
lasti saama kohe matemaatikuks. Nii nagu juba lihtsad, aga tunnetatud kitarri- 
akordid teevad lõkke ääres kõrvale head, võiks mõttemustritele head teha ka 
natuke lihtsat, aga ilusat matemaatikat.
32
?
  raske
  on

tika
temaa
  ma
kas

33
innuStuSekS
innustuseks
Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel  
palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned 
isiklikud mõtisklused matemaatikast ja loodame, et nad mõjuvad omakorda innus-
tavalt ka lugejale.
MateMaatika aitab ajuSt aru Saada
Ajuprotsessid on aluseks kõigele, mis me tahame, mõtleme, tunneme . Aju määrab selle, 
kes ja millised me oleme. Aga praeguseni on üsna mõistatuslik, kuidas kõik need vaim-
sed protsessid ajus tekivad. Seega on aju tähtis uurimisobjekt , kui tahame mõista iseen-
nast .  Ajust arusaamiseks on tarvis matemaatikat. Ajuandmete uurimiseks kasutatakse 
matemaatilisi meetodeid ja nende andmete statistiline analüüs põhineb matemaatilis-
tel alustõdedel. Kuid mis peamine, ajust arusaamiseks on tarvis teooriat aju tööprintsii-
pide kohta, mis suudaks selgitada ja ennustada meie vaimseid protsesse. Sellised teoo-
riad põhinevad matemaatikal. Seega pole käesolev raamat, „Matemaatika õhtuõpik”, 
sugugi mitte ainult investeering kõrgemasse eksamihindesse või paremasse arusaami-
sesse matemaatikast, vaid loob aluse ka paljude teiste esialgu näiliselt matemaatikast 
kaugete nähtuste paremaks mõistmiseks.

Jaan Aru
Frankfurdi Max Plancki Aju-uuringute Instituudi doktorant
univerSuM on kirjutatud MateMaatika keeleS
Füüsikuna on mul äärmiselt hea meel sellise raamatu nagu „Matemaatika õhtuõpik” 
ilmumisest . Kahtlemata on ka „puhtal matemaatikal” omad võlud ja neistki võib 
raamatu huviline lugeja aimu saada, aga matemaatika tähtsus on palju laiem. See 
on keel, milles on kirja pandud kaasaegne loodusteadus , füüsika sealhulgas ja eriti. 
Pole imestada, et üks moodsa füüsika alusepanijatest – Sir Isaac   Newton – oli ühtlasi 

34
ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse looja, viimaseta muutuksid Newtoni kuulsad 
seadused rakendusväärtuseta metafoorideks. Matemaatilised mudelid ja meetodid 
leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka  
sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus - ja ennustusjõu. 

Galileo Galilei on ligi nelisada aastat tagasi kirjutanud: „Filosoofia on kirja pandud 
suurde raamatusse, mis pidevalt seisab avatuna me silme ees (ma pean silmas Univer-
sumit), aga me ei saa seda mõista enne, kui oleme selgeks õppinud keele ja tunneme 
tähestikku, mille abil see kirjutatud on. See on kirjutatud matemaatika keeles, mille 

innustuseks
tähtedeks  on kolmnurgad, ringid ja teised geomeetrilised kujundid, ilma milleta on 
inimlikult võimatu mõista kirjapandust ainustki sõna, ilma milleta ekseldakse pime-
das labürindis.” (
Il Saggiatore, 1623) Head lugema õppimist! Head lugemist! Ja ei pea 
üks õpik olema ju igav, tüütu ja raskesti mõistetav – „Matemaatika õhtuõpik” pole 
seda kindlasti mitte.

Jaak Kikas
Tartu Ülikooli Füüsika Instituudi direktor
MateMaatika on teadMiStepõhiSe ühiSkonna aluS
Matemaatika on mind võlunud alates lapsepõlvest.  Ehkki kooliajal oli tegemist ühe 
minu lemmikõppeainega, on matemaatika saatnud mind läbi elu, olles olnud kaasla-
seks nii ülikooliõpingutes kui igapäevases tööelus.

Matemaatika on fundamentaalne ja väga põnev , mille olulisust hariduses ning tead-
mistes on raske üle hinnata. Võimaldades kirjeldada nähtusi universaalses ja kõigile 
üheselt mõistetavas keeles, kuulub matemaatiline kirjaoskus hea hariduse juurde ning 
on targa inimese repertuaari lahutamatu osa.

Matemaatika on aluseks ühiskonnale tervikuna , nii kasutavad seda igapäevaselt inse-
nerid, õpetajad, ärimehed, arstid jne. Ilma matemaatikaalaste oskusteta ei ole võima-
lik oma teadmisi süstematiseerida ega neid reeglipäraselt edendada.

Numbrimaailmas orienteerumine on sedavõrd oluline, et vead matemaatilises mõt-
lemises võivad põhjustada korvamatut kahju. Selle väite illustreerimiseks võib tuua 
hiljutised sündmused seoses meie suusasangarile esitatud väidetava dopingu- 
süüdistusega. Ehkki dopingutesti viga on sisuliselt biokeemiline, oli selle kirjelda-
mine ja üheselt arusaadavaks tegemine võimalik vaid läbi matemaatilise kirjaos-
kuse. Inimkonna ajaloos on teisigi selliseid näiteid, kus puudulikud teadmised mate-
maatikast põhjustavad kas arusaamatusi, eksimusi või otsest kahju. Samas, head  

35
matemaatilised oskused annavad informatsiooni, mida saab kasutada konkurentsi- 
eelise tekitamiseks.

Võib väita, et teadmistepõhise ühiskonna vundamendiks on matemaatikat hästi 
tundvad liikmed. Seega, eeskujulik matemaatiline kirjaoskus on väravaks arenenud 
ühiskonda.

On tervitatav, et traditsiooniliste matemaatikaõpikute kõrvale on tulnud selgelt eris -
tuva lähenemisega raamat, tuues numbrite ilu- ja võlumaailma huvilistele senisest  

innustuseks
uudsema nurga all lähemale.
Sulev Kõks
Tartu Ülikooli arstiteaduskonna  
füsioloogilise genoomika professor ja füsioloogia vanemteadur

MateMaatika ei ole ainult krõnkSud
Paljude jaoks paistab matemaatika olevat sünonüümne nende krõnksude ja imelike 
tähtedega, mida põhikooli ja keskkooli matemaatikatundides pähe õppima sunniti. 
Sellest on aga tohutult kahju, sest tegeliku matemaatikaga on sel umbes sama vähe 
pistmist kui hiina hieroglüüfidel neis kirjutatud teoste sisuga.

On selge, et kirjatüki täiel määral nautimiseks on vaja tunda selle kirjutamise keelt 
kõigis selle nüanssides. Sama selge on aga ka see, et suurem osa teose sisulisest ja 
kirjanduslikust väärtusest on võimalik edasi anda läbi selle osava tõlkimise.

Koolimatemaatika keskendub paraku aga just selle keele õpetamisele ja nii jääbki 
sisuline tähendus õpilaste jaoks tihti vormi poolt varjatuks. Erinevalt tavalistest õpi-
kutest, mis sarnanevad sisult tihti just klassikaliste keeleõpikutega, on selle raamatu 
eesmärgiks olla pigem „tõlge”, tutvustades matemaatilise mõtteloo arengut ja selle 
põhiideid, näidates keelt selle juurde üksnes möödaminnes.

Loodan, et selle tõlke kaudu  avaneb  ka lugejale pilt sellesse lummavasse ideede maa-
ilma, mida mina ning raamatu autorid „päris” matemaatika nime all armastavad. Kui 
veab, annab see teos ehk mõnele motivatsiooni ka keeleõpinguid jätkata ning lõpuks 
neid teoseid ka originaalis lugema õppida.

Margus Niitsoo
Tartu Ülikooli arvutiteaduse õppejõud
36
MateMaatiline intuitSioon aitab rakendajat
Mind on  vist alati matemaatikast endast enam paelunud, kuidas see on tegelikult 
kasulik hoopis teistele valdkondadele. Oma eriala valides tahtsin aru saada, kuidas 
ikkagi arvuteid õpetatakse midagi sellist tegema, mida inimene soovib saavutada 
arvuti abil. Selle juures oli vaja aru saada ka arvuti enda töö põhimõtetest ehk näiteks 
lihtsast matemaatilisest loogikast. Õnneks ma ei kartnud matemaatikat ja mõtlesin, 
et kui teised on hakkama saanud, siis pean ka mina saama.

innustuseks
Hiljem, otsides omakorda IT-le rakendusi, jäi ette bioloogia, kus oli hakatud tootma 
tolle aja mõttes suuri andmestikke. Siis sai matemaatikast uuesti sõber, mis aitas 
lahendada uusi probleeme. Ja mälusoppidest tuli vahel võtta välja oskusi, mida kunagi 
gümnaasiumis või ülikoolis omandasime.

Ma arvan, et matemaatikal ongi kaks selget suunda – üks, mis kompab matemaa-
tika enda piire ja teine, mis rakenduste kaudu võtab matemaatikat kasutusse. Õppi-
des võib tunduda, et võetakse arvesse vaid matemaatika enda huve. Kuid tegelikult 
aitab matemaatiline intuitsioon kõige rohkem just rakendajaid, kõikide teiste erialade 
esindajaid. Loodan, et õpik aitab just neid teisi leidma oma sinasõprust matemaatika 
õppimisega ning olukordade jaoks, kus matemaatika nõuab tavalisest veidi rohkem 
tähelepanu.

Jaak Vilo
Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituudi juhataja
37
 
  keel
tikute
temaa
ma

38
 
  keel
tikute
temaa
ma

osa 1
keel ja 
põhimõisted
39
 
  keel
tikute
temaa
ma

40
 
  keel
tikute
temaa
ma

Vabastades aju tarbetust tööst,  
võimaldab hea tähistus keskenduda  
keerulisematele probleemidele 
ning suurendab seeläbi kogu inimkonna 
vaimset võimekust .

Alfred   North Whitehead
41
 
matemaatikute keel ja žanrid
  keel
tikute
Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju 
temaa
sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti. 
ma
Näiteks võib matemaatika õpikus kenasti ette tulla lause: „Võrrandi 
 = 0 
lahendid on 
 ning 
” ning selle otsa on joonistatud veel ka järgmine 
kõverik:
Kui nüüd ei tea, mida tähendab võrrand, mis asjaloom on see  , mida peetakse 
silmas lahendi all ning mida paganat on sellel imelikul joonel kõige sellega pistmist, 
võibki kõik jätta üsna maavälise mulje ning südamerahuks tuleb õpik hoopis kinni 
panna juba enne, kui sisu kallale on jõutud.
oskussõnad
Nii hull lugu matemaatikaga siiski pole. Tõesti, matemaatikal on oma oskussõnad 
nagu näiteks võrrand, lahend, funktsioon või muutuja, mis  tähistavad  teatud mate-
maatilisi objekte või teisendusi. Need objektid ei eksisteeri küll alati reaalsel füüsi-
kalisel kujul, aga siiski saab neist tihti üsna loomulikult mõelda.
42
Näiteks kui õpetaja räägib tasandist , võime mõelda lihtsalt paberilehele, lauapin-
nale või tasasele maastikule, olgugi et matemaatikas on tasandil täpsem tähen-
 
dus. Samuti on ju raske öelda, mis on arv kolm füüsikalises maailmas, aga temast 
mõtelda pole raske – kutsu oma kolm sõpra külla !
  keel
Tundub, et oluline ongi tunda nii matemaatiliste mõistete rangeid kirjeldusi kui 
lihtsaid viise ning intuitsiooni nendest mõtlemiseks. Käesolevas osas tutvustame 
tikute
matemaatika alusmõisteid – muutujat, võrdust, hulka ja funktsiooni. Nendest aru-
saamine ning nendega harjumine on edaspidi suureks abiks. 
temaa
ma

tähed ja sümbolid
Lisaks oskussõnadele leiab matemaatikast palju tähti nagu  ,  ,   või n ning palju 
sümboleid nagu näiteks =, 0):
        f = f * n
        n = n – 1
    return f
Jooksutades seda funktsiooni käsuga factorial(5), saaksime  vastuseks järg -
mise tulemuse: 120.
Arvutite keelest arusaamiseks ning neile käskluste jagamiseks peab teadma-
tundma sealset sõnavara. 
Antud  juhul  defineerime,  mida  teeb  funktsioon  nimega  factorial ning seejärel 
anname talle käsu jooksutada seda funktsiooni sisendiga 5. Ideeliselt peaks see 
funktsioon seejärel siis  lihtsalt korrutama kokku arvud 5, 4, 3, 2, 1.
Selle funktsiooni kirjapanek on järgmine.
72
Funktsiooni esimesel  real   antakse muutujale   väärtus 1. Siia hakkamegi salves-
tama faktoriaali väärtust. Järgmise käsuga palume arvutil jooksutada järgmist 
kahte rida nii kaua, kuni muutuja   väärtus on suurem 0-st.
Esmalt korrutatakse   läbi muutuja   väärtusega.
Teisalt vähendatakse muutuja   väärtust ühe võrra. 
See tähendab, et korrutame  -i läbi alguses   enda väärtusega, siis 
-ga, siis 
-ga täpselt nii kaua, kuni oleme läbi korrutanud ka ühega – väiksemaks me 
funktsioon
muutujal   tänu kolmandale koodireale enam minna ei lase.
Lõpuks ütleb viimane rida lihtsalt, et funktsioon peaks leitud väärtuse küsijale ka 
väljastama .
Nii mõnigi kord tulevad programmeerimiskeeltes esile ka funktsioonid, mis ei 
annagi väljundit, vaid lihtsalt teevad mõned kerged muudatused. Neist oleks võib-
olla segaduse vältimiseks siis lihtsam mõelda kui „protseduuridest“. 
73
gad
arvuhul
74
gad
arvuhul
osa 2
arvud
75
gad
arvuhul
76
gad
arvuhul
Jumal lõi naturaalarvud, 
ülejäänu on inimese kätetöö.

Leopold Kronecker
77
arvuhulgad
gad
arvuhul
Naturaalarvud
Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid 
kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse  -iga.
Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad matemaatilised objektid, lihtsad, 
aga tähtsad. Kuna nad tulevad esile kohe, kui loendama hakkame, ei saa nendest 
maailma kirjeldamisel üle ega ümber. 
Oma loomulikkuse tõttu on nad ka matemaatikas üheks keskseks objektiks ja 
nende  uurimine  pole veel sugugi päris lõppenud! 
Naturaalarvude matemaatiliNe kirjeldamiNe
Naturaalarvud võib üles ehitada ühe arvu – arvu 1 – ning ühe tehte  – arvu 1  liitmise  
baasil. Iga naturaalarvu  võime leida, kui ühte piisava arvu kordi iseendaga kokku 
liidame. Arvu 10 saamiseks peame näiteks arvule 1 veel 9 arvu 1 juurde liitma .
Nii leidub igast naturaalarvust veel ühe võrra suurem naturaalarv . Näiteks isegi kui 
meil on juba 1000 sõpra, võiksime leida veel ühe sõbraliku selli  Tiibeti mägedest 
ning meil olekski juba   1001  sõpra – ka teda peame oskama arvestada! 
Seega kõige suuremat naturaalarvu ei leidugi. See arusaam võib alguses tunduda 
natuke üllatav, aga teiselt poolt: kas on mingi põhjus, miks peaks leiduma kõige 
suurem arv? Nii  kohtame  ka esimest korda lõpmatust – naturaalarve peab kokku 
olema lõpmatult palju.
78
Naturaalarve võib kirjeldada ja defineerida ka mitmel muul moel. Näiteks  võite  hul-
kade  peatükist lugeda, kuidas naturaalarve kirjeldada ainuüksi hulkade abil  [lk 61].
Tasub ilmselt veel ära märkida, et mõnikord loetakse ka 0 naturaalarvude hulka, 
tähistamaks olukorda, kus veel midagi loendatud pole. See on aga rohkem maitse 
gad
küsimus, nii et lugeja võib täiesti vabalt ise otsustada, kas 0 on naturaalarv või pole. 
Meie positsioon on aga selge: alustasime ju raamatus esinevate osade loendamist 
just nullist.
arvuhul
Naturaalarvude tähistamiNe
Naturaalarvud on väga loomulikud , nad on erinevates kultuuriruumides sõltuma-
tult kasutusele võetud ja välja on arenenud erinevad tähistused. Järgnevalt tutvus-
tame nendest ka mõnda levinumat.
Kümnendsüsteem
Meile on kombeks naturaalarve tähistada kümne numbri abil  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 ja 9. 
Kuna kasutame täpselt kümmet erinevat sümbolit, siis sellist tähistust nimetatak-
segi kümnendsüsteemiks. Kümnendsüsteemis ehitame kõik arvud üles ühelistest, 
kümnelistest, sajalistest (kümme korda kümme), tuhandelistest (kümme korda 
kümme korda kümme)  ja nii edasi – kümnete meri.
Näiteks arv 128 tähendab lahtikirjutatult  
  
 
ning arv 9301 tähendab 
  
 
79
Arvu astme peatükis [lk 110] näeme, et võime ühelised, kümnelised , sajalised ja 
nii edasi kõik kirjutada arvu kümme astmete abil – lisame 10 ülemisse paremasse 
nurka tema astendaja, mis ütleb, mitu korda arvu 10 kokku korrutame:  
gad
Nii võime arvu 9301 kirjutada veelgi kompaktsemalt: 
arvuhul
Kahendsüsteem
Arvutitekogus toimub arvutamine aga kahendsüsteemis – kõik arvud kirjutatakse  
kahe numbri 0 ja 1 abil ja arve loendatakse mitte kümneliste, vaid kaheliste kaupa. 
Näiteks arvu 3 kuju kahendsüsteemis on 11, kuna 
, arv  5 on kujus 
101 kuna 
 ning arv 8 on kujus 1000, kuna 
.  
Sarnaselt kümnendsüsteemiga võime seega iga naturaalarvu kirjutada üldkujus 
arvu 2 astmete abil. 
Enne juba käsitletud arvu 9301 võime seega kahendsüsteemis kirja panna pisut 
pikemalt:
Teisisõnu  on kahendsüsteemis arvu 9301 kujuks 10010001010101.
Kindlasti tuleks küsida: miks ikkagi arvutites kõik kahendsüsteemis toimub?  
Põhjus on väga proosaline – kahendsüsteemis on meil vähim erinevaid sümboleid, 
mida kuidagi masinavärgis tähistama peaks. Kõige lihtsam ongi arvutit üles ehi-
tada „lülititest”, millel on täpselt kaks olekut – kas sees või väljas. Need vastavad 
siis väärtustele  1 ja 0. Nii on kahendsüsteemis lihtsam arve salvestada ja lihtsam ka 
tehteid teha. Mõelge ise, on ju endalgi kahte ühte ja nulli omavahel lihtsam kokku 
liita kui näiteks seitset ja viit
Ainus raskus võrreldes kümnendsüsteemiga on arvude lugemine – arvud lähevad  
kiiresti maru pikaks. Meil igapäevaelus oleks see probleem, aga arvuti võib ju ekraa-
nile meie jaoks midagi mugavamat kuvada.
Rooma numbrid
Roomlased vedasid aga naturaalarvude tähistamiseks hoopis kummalisi kriipse: 
näiteks meie ühte tähistati kriipsuga I, meie 12 kriipsudega XII ja meie 49 kriipsu-
dega IL.
80
Proovige leida reegleid Rooma numbrite liitmiseks või veel hullem, korrutamiseks. 
Näiteks liidaksid roomlased arve 69 ja 145 kokku järgnevalt.
LXIX + CXLV
1.   Tuleb asendada kõik „lahutavad liikmed”:
gad
LXVIIII + CXXXXV
2.   Kokku panna:
arvuhul
 LXVIIIICXXXXV
3.   Sorteerida:
CLXXXXXVVIIII
4.   Kombineerida gruppidesse :
CCXIIII
5.   Asendada lahutavad liikmed tagasi:
CCXIV
Veendute ilmselt üsna kiiresti, et sellise arvusüsteemiga on peaaegu võimatu arit-
meetikat teha. Ning tõepoolest, roomlased oma matemaatilistelt teadmistelt või 
tegudelt ajaloos just silma ei paista. 
Teisendamine
Oletame, et teie mitte eriti hea sõber on otsustanud põikpäiselt kasutada kahend -
süsteemi ja väidab teile, et olete talle võlgu täpselt 
 eurot. Loetuna küm-
nendsüsteemis oleks see päris märkimisväärne summa, nii et ilmselt tasub üritada 
arv kahendsüsteemist kümnendsüsteemi üle viia.  Kuidas seda teha? 
81
Kõik on tegelikult juba eelnevalt välja toodud. Kirjutame  kõigepealt välja, mida 
 kahendsüsteemis tähendab: 
. Edasi kirjutame liht-
salt kõik toodud kahe  astmed kümnendesitluses: 


  Lõpetu-
seks peame saadud arvud (nüüd kümnendesitluses) oma tavaliste liitmisnippidega 
gad
kokku liitma: saame vastuseks 42. 
arvuhul
täisarvud
Naturaalarvud on juba väga toredad, aga nendega tuleb esile ka mõningaid prob -
leeme. 
Naturaalarve saame omavahel liita ja summaks on alati naturaalarv: näiteks 
 või 
. Liitmisest võib siin väga vabalt mõelda lihtsalt loenda-
mise raames: keegi annab teie kolmele õunale neli lisaks või näiteks lisaks teile ja 
kassapidajale siseneb äkiliselt poodi veel 10 tantsulist. 
Tore oleks, kui saaksime ka kuidagi kirjeldada olukorda, kus neli õuna jälle tagasi 
küsitakse või kus 10 tantsulist jälle poest välja kepslevad. Ütlete kohe, et selleks on 
muidugi lahutamine:  
 või 
 
Tekib aga probleem: kui mul on ainult 3 õuna, ei saa mult nelja õuna ära võtta ja 
kui poes on ainult 2 inimest, ei saa sealt 10 ära minna. Seega osasid arve justkui ei 
saakski omavahel lahutada.
Veider! Mis on need arvud, mis võiksid tähistada midagi, mis on vähem kui mitte 
midagi?
82
Ja kuigi pakuti juba varakult välja, et tegelikult võiksid eksisteerida ka arvud 
 
ning 
, ei tahetud nendega pikka aega leppida. Neid peeti ebaloomulikeks. 
Mida peaks tähendama see  , mida mõni pakkus 
 vastuseks, või  , mida 
pakuti 
 vastuseks? Kui miski eksisteerib, on teda ju vähemalt üks? Kuidas 
saab olemas olla mitte millestki veel väiksem kogus?
gad
Tänapäeval kahjuks teab mõni seda liigagi hästi, mida negatiivsed arvud tähistada 
võivad – näiteks võlga! Katsetage internetis oma pangakontoga, ta võib kergesti 
sattuda ka miinusesse , kui raha liiga agarasti kulutada. Arvust   võibki näiteks 
arvuhul
mõelda kui õunavõlast vanemale  vennale ...
Sellega, et negatiivsed arvud on täiesti mõistlikud ja isegi loomulikud, lepiti aga 
alles 19. sajandil. Enne seda kutsuti neid küll absurdseteks, küll räpasteks ja tihti 
keelduti nendega igasugusest läbikäimisest. Tegelikult on ju negatiivsete arvudega 
siiski toredam ja ilusamgi – nende abil ei jää arvsirge  poolikuks, vaid on kenasti 
alguse ja lõputa.
Arvude liitmisest ja lahutamisest võimegi mõelda kui arvsirgel paremale või vase-
male poole liikumisest – liites neli, liigume neli sammu paremale; lahutades seitse
seitse sammu vasemale. Kõiki täisarve võime omavahel liita ja lahutada ning alati 
jälle vastuseks täisarvu saada.
Täisarvude hulka tähistatakse  -iga.
ratsioNaalarvud
Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu!  Tõepoolest, lihtne on võrdselt jagada 
kuus õuna kolme sõbra vahel – annad kõigile kaks. Ent kuidas võrdselt jagada üht 
suurt arbuusi kolme sõbra vahel? 
83
gad
arvuhul
Meil on muidugi vastus olemas, igale sõbrale tuleb anda kolmandik arbuusist. Prob-
leem on aga, et kolmandik ei ole  täisarv – peame  jagamise  jaoks arve veel mängu 
juurde  tooma . Piisab sellest, kui võtame appi kõik arvud, mis saame täisarvude 
jagamisel nullist erinevate täisarvudega.
Selliseid arve nimetatakse ratsionaalarvudeks – nad on kujus  , kus   ja   on täis- 
arvud. Ratsionaalarvud on näiteks 
, aga ka kõik täisarvud, sest näiteks 

Murrujoone peal olevat arvu nimetatakse murru lugejaks ja murrujoone all asuvat 
arvu murru nimetajaks. Ratsionaalarvude hulka tähistatakse  tähega   .
Hakates arvjoonele usinalt ratsionaalarve kirja panema, märkame, et neid on väga 
palju ja nad asuvad arvteljel ütlemata tihedalt. Tegelikult asub iga kahe ratsio-
naalarvu vahel alati veel üks ratsionaalarv: näiteks arvude   ja   vahel asub arv  
, arvude   ja 
 vahel 
. Üldisemalt, iga kahe suvalise ratsionaalarvu   ja   
vahel asub ju nende aritmeetiline keskmine 
84
taaNdatud murrud ja tehted
Ütlesime, et kõik ratsionaalarvud saame, kui jagame täisarve nullist erinevate 
täisarvudega. Nii saame tegelikult liiga palju arve – paljud neist on omavahel võrd -
gad
sed. See on küll väga lihtne, aga oluline tähelepanek. 
Tõepoolest, kuna kahe arbuusi jagamisel kuueks võrdseks tükiks on tükid sama 
suured kui ühe arbuusi jagamisel kolmeks võrdseks osaks, ei ole mitte kõik täis- 
arvuhul
arvude omavahelisel jagamisel saadud arvud erinevad, näiteks 
Kuna mitmed murrud on omavahel võrdsed, oleks tore leida neile kõigile üks parim 
esindaja. Selleks on murru taandatud esitus. Murru taandatud esituse saamiseks 
jagame murru nimetaja ja lugeja kõikide nende ühiste teguritega läbi: nii ongi näi-
teks ratsionaalarvude 
 ja   kõikide ühiseks taandatud kujuks  .
Ratsionaalarvudega on veelgi ohutum ja sujuvam ringi käia kui täisarvudega. Nimelt 
võime kõiki ratsionaalarve omavahel lisaks liitmisele-lahutamisele ka korrutada ja 
jagada (siiski mitte nulliga!) ning saame alati jällegi tulemuseks ratsionaalarvu.
kümNeNdesitus
Ratsionaalarvudel leidub ka esitus kümnendsüsteemis, kasutusele tuleb lihtsalt 
võtta komakohad. 
Näiteks  
 ning  
, kus sulgudes olev kolm tähistab, et 
number 3 jääb lõpmatult korduma. 
Selgub, et iga ratsionaalarvu saabki esitada kümnendsüsteemis kas lõpliku arvu 
komakohtadega nagu 
 või lõpmatult korduma jäävate komakohtadega: 
näiteks  
 ja 
. Teisel juhul esile tulevaid kümnend- 
esitusi nimetatakse perioodilisteks.
85
Järgnevalt selgitame natuke lähemalt, miks ratsionaalarvud on just nimelt kas lõp-
liku või perioodilise kümnendesitusega. Näitame esmalt, et iga lõpliku või perioo-
dilise kümnendesitusega arv on ratsionaalarv:
Oletame, et meil on lõpliku kümnendesitusega arv.
gad
Sel juhul võime arvu korduvalt 10-ga korrutades komakohtadest lahti saada. Näi-
teks kui arvul on kaks komakohta nagu arvul 0,25, peame seda täisarvu saamiseks 
korrutama 10-ga täpselt kaks korda – konkreetsel juhul on saadavaks täisarvuks 
arvuhul
25. Ja edasi võime juba lihtsalt avaldada arvu 0,25 kahe täisarvu jagatisena, kui 
jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga läbi.
Oletame, et meie arv on perioodiline kümnendesitus. 
Nüüd võime korduvalt kümnega korrutades komakohta liigutada nii palju, et 
pärast koma jääks alles ainult perioodiline osa. Kui näiteks periood algab üks koht 
pärast koma, peame korrutama kümnega. Näiteks arvu 0,8(32) korral saame arvu 
8, (32).
Edasi võime aga jätkata kümnega korrutamist nii kaua, kuni algab perioodilise osa 
teine tsükkel. Kui perioodi pikkus on kaks, peame juba saadud arvu veel 100-ga 
korrutama. Konkreetsel juhul saaksime siis arvu 832, (32).
Lahutades nüüd teisest arvust esimese, jääb alles täisarv – perioodiline osa pärast 
komakohta taandub ju täpselt välja. Edasi saame juba lihtsalt avaldada arvu 
0,8(32) ratsionaalarvuna.
Miks vastupidi igal ratsionaalarvul peaks just kirjeldatud kümnendesitus leiduma, 
on juba pisut kavalam ja jääb siinkohal tõestamata. 
Oluline on ka ära märkida, et kümnendesitus ei ole alati ühene. Näiteks matemaa-
tilise  võrduse peatükis [lk 52] näitame, et 
86
irratsioNaalarvud ja reaalarvud
Ratsionaalarvudega saame loendada, liita ja lahutada, korrutada ning jagada. Tun-
dub, et seda on juba päris palju. Üllatuslikult võime aga endiselt välja tulla geo-
gad
meetrilise konstruktsiooniga, mille kirjeldamiseks ratsionaalarvudest ei piisa.
arvuhul
ühikruudu diagoNaali pikkus ei ole ratsioNaalarv! 
Joonistame ilusa ühikruudu ja leiame selle  ühikruudu diagonaali pikkuse.
Tähistades seda diagonaali  -ga, teame näiteks  Pythagorase  teoreemist, et  
. Loomulik küsimus on: kas   on ikka ratsionaalarv? 
Oletame, et   on tõesti ratsionaalarv: sel juhul võime   kirjutada taandatud kujus  , 
kus   ja   on täisarvud ning neil ei ole ühiseid tegureid. Saame, et 
Aga nüüd on ju võrdusmärgist paremal pool paarisarv , seega peab ka vasemal 
olema paarisarv. Kui   on paarisarv, siis ei saa   paaritu olla, sest paaritu arv ruudus  
annab paaritu arvu. Järelikult ka   on paarisarv ja võime   kirjutada kujul 
Seega võime   kirjutada kui 
. Asendades selle esialgsesse valemisse 
saame 
Jagades kahega läbi, jääb alles 
Nüüd on aga vasem pool paaris ning seega peab ka   jaguma kahega. See on aga 
vastuolus meie eeldusega, et   oli taandatud murd . Seega ei saa   kuidagi olla rat-
sionaalarv, sest muidu jõuame loogilise vastuoluni. Seega on ta hoopis niinimeta-
tud irratsionaalarv !
irratsioNaalarvud
Oh seda häda, kui Antiik-Kreekas sellele riukale jälile saadi. Nende jaoks olid pro-
portsioonid ehk täisarvude suhted looduse üheks aluseks ning nii ei tahtnud nad 
sugugi leppida sellega, et leidub geomeetrilisi objekte, mille pikkust ei õnnestugi 
87
proportsioonide ehk täisarvude suhete abil kirjeldada. Räägitakse, et mõni mate-
maatik pidi selle avastuse tõttu lausa elust ilma jääma . Siiski jäädi matemaatikale 
truuks ja tänaseks ei nähta sellistes irratsionaalarvudes enam suurt ohtu ei tervisele 
ega ühiskonnale. Tegelikult lepiti nendega hoopis enne kui negatiivsete arvudega 
gad
– nad tundusid küll kummalised, aga neile oli ometi võimalik looduses ja geomeet-
rilises ettekujutuses vastet leida.
Irratsionaalarvudeks nimetataksegi kõiki arve arvteljel, millel ei ole  esitust kujus  .  
arvuhul
Paljud neist on esitatavad täis- või ratsionaalarvude juurtena [lk 111], näiteks 
 ja ka 
 on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks   
ja  . Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks tead-
mata, kas   on ratsionaalarv või irratsionaalarv.
Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei 
saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõp-
matult pikk. Näiteks arvu   esimesed 20 kohta on 
,  
aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem – neid 
tuleb lõpmatult palju.
Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks 
kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud 
kokku moodustavad reaalarvude hulga, mida tähistatakse arvuga  .
Kui ratsionaalarvud saime üles ehitada täisarvudest, siis kõikide irratsionaalarvude 
täpne matemaatiline  konstrueerimine on juba veidi keerulisem.  Võime küll irratsio -
naalarvudest mõelda kui arvudest, mida saame kirjutada lõpmatu ja mitteperioo-
dilise kümnendesituse abil, aga kuidas neid liita või korrutada? Õigupoolest jõudsid 
matemaatikuid rahuldava range kirjelduseni alles 19. sajandil ning selle jaoks võib 
kasutada piirväärtuseid [lk 319]. 
Praeguseks  on aga tore irratsionaalarvude sissetoomisest mõeldagi geomeetrili-
selt: irratsionaalarvud täidavad ratsionaalarvudest arvteljele jäänud auke, nende 
liitmine  tähendab – nagu  ratsionaalarvude liitminegi – lihtsalt arvtelje nihutamist.
88
kompleksarvud*
Reaalarvudega saab kõik igapäevatoimetused korda aetud... kui just ei taha igal 
õhtul leida ruutvõrrandile 
 lahendit. 
gad
Tõepoolest, ükski reaalarvu ruut ei ole ju negatiivne. Näiteks 
 ning ka 
 ehk meie ruutvõrrandi lahendiks ei kõlba 1 ega ka  . Lihtsam on 
seda vahest näha isegi ruutfunktsiooni graafikult:
arvuhul
Seega, kui tahame tõesti, et saaksime välja kirjutada lahendit ka ruutvõrrandile 
 või ruutvõrrandile 
 või näiteks ka neljanda astme võrran-
dile  
, peame tingimata oma arvusüsteemi veel kord laiendama ja 
veel rohkem arve kasutusele võtma.
Eelnevat võib ümber sõnastada ka järgmiselt: nägime, et reaalarvude abil saame 
leida kõik arvud x nii, et 
 iga mittenegatiivse a jaoks. Kui nüüd tahame aga 
lahti saada tingimusest „mittenegatiivne“, siis peamegi sisse tooma kompleks
arvud.
89
Kui lubada natukene mõttel lennata, siis võiksime õigustatult võrrandi
lahendiks pakkuda 
. Tõepoolest, kuna ruutjuure võtmine ning ruutu võt -
gad
mine taandavad teineteise välja, võime kirjutada
Seega, lubades ruutvõrrandi lahendiks ka uut leiutist 
, oleme laiendanud 
arvuhul
arvusüsteemi. Üllataval kombel piisab sellest laiendusest mitte ainult peatüki algu -
ses toodud võrranditele, vaid tegelikult absoluutselt kõikidele polünoomvõrrandi-
tele [lk 266] lahendite leidmiseks!
imagiNaararv   i ja komplekstasaNd
Irratsionaalarvude lisamisel toppisime reaaltelje kõik augud täis. Kuhu need komp-
leksarvud siis mahtuda võiksid? 
Märkame, et isegi kui tõmbame paberile ühe aukudeta sirge, jääb paberile veel 
ruumi kui palju – sirgest üles ja alla jääb mõlemale poole tühjus. Kompleksarvud 
täidavad kogu selle tühjuse, nad täidavad arvudega terve paberilehe.
Nii on kompleksarvud mingis mõttes kahemõõtmelised arvud: võib öelda, et neil 
on reaalmõõde ja imaginaar- ehk kompleksmõõde, mille toob kaasa uus sissetoo-
dud arv 
. Kohe selgitame! 
Seda arvu nimetataksegi imaginaararvuks ja kuna teda on tüütu kogu aeg välja kir-
jutada , anname talle tähiseks  . Nimi imaginaararv tuleneb just sellest, et   tundus 
vähemalt esialgu eksisteerivat ainult matemaatikute endi ettekujutuses ja mitte 
välises maailmas. 
Meenutame, et arvu 1 võib pidada reaalmõõtme ühikuks – seda kokku liites või 
suurendades-vähendades liigume mööda horisontaaltelge. Sarnaselt on   komp-
leksmõõtme ühikuks, teda liites või suurendades liigume mööda vertikaaltelge.  
Ta asub nullpunktist sama kaugel kui reaaltelje ühik.
90
gad
arvuhul
Nii on teised komplekstelje punktid antavad kujus 
 ja nii edasi.
Kõikvõimalikud kompleksarvud saame, kui vaatame arve kujus 
, kus   
ja   on reaalarvud. Reaalarvu a kutsutakse kompleksarvu   reaalosaks ja  -d tema 
imaginaarosaks. 
Joonistame komplekstasandile näiteks punktid 
91
Iga reaalarvu korral võime rääkida tema suurusest ehk absoluutväärtusest –  
peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Sama-
moodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle kompleks-
tasandil vastava punkti kaugusest nullpunktist. Seda kaugust võib muidugi leida 
gad
Pythagorase teoreemi abil.
arvuhul
aga kompleksarve pole ju olemas!
Nagu ennist rääkisime, oli matemaatikutel ja kogu inimkonnal suuri raskusi nega -
tiivsete arvudega – alles paarsada aastat tagasi lepiti, et tegemist on ikkagi täiesti 
mõistlike ja loomulike arvudega, millega tegelemine ei ole sugugi jumalateotus. 
Selles valguses on kompleksarvude mõistlikkuse ja loomupärasuse kahtlustamine 
igati mõistetav. Järgnev tabel, kus võrdleme negatiivseid arve ja imaginaararve, 
võiks siiski veenda, et ka kompleksarve pole mõtet karta. 
Küsimusele, kas arv 
 eksisteerib, on muidugi raske vastata, kuid sama raske 
on öelda, kas arv 4 või 5 eksisteerib. Siiski on kompleksarvud leidnud reaalarvude 
kõrval tänapäevases maailma ja looduse kirjelduses oma kindla koha. 
92
Negatiivsed arvud
Imaginaararvud
Anda tähendus
Arvule 
Arvule 
Väga veider, sest...
Kuidas saab midagi olla  Tavaliselt on arvuruut 
vähem kui mitte midagi? positiivne
gad
Moodustab osa
Reaalarvudest
Kompleksarvudest
Visuaalselt
Punktike arvteljel  
Punktike nullpunkti  
nullpunktist vasemal
läbival arvteljega  
arvuhul
ristuval teljel
Peeti absurdseks
18. sajandini
Tänapäevani
Lihtne korrutamise 
Arvuga –1:  1 –1; 1; –1; ...  Arvuga i:  1; i; –1; –i; 1; i; ... 
näide ja visuaalne  
Arvupunkti peegelda -
Arvupunkti pööramine  
tõlgendus
mine nullpunktist
90o komplekstasandil
 „Suurus”
Kaugus nullpunktist
Kaugus nullpunktist
Tuleb esile
Võlad , vastassuunas  
Kvantmehhaanika,  
liikumine, külmakraadid signaalianalüüs
tehted kompleksarvudega
Selgub, et kompleksarvud on väga toredad ja nendega saab teha kõike, mida 
reaalarvudega, ja veel rohkematki. 
Liitmine ja lahutamine
Kompleksarve saab liita ja lahutada, tuleb lihtsalt liita ja lahutada eraldi reaal- ja 
imaginaarosa: näiteks 
. Nagu reaalarvude liitmisest 
võib mõelda kui liikumisest ühes või teises suunas reaalteljel, võib ka kompleks- 
arvude liitmisest mõelda geomeetriliselt.  Seekord liigume lihtsalt komplekstasan-
dil, vastava arvu samme reaaltelge mööda, vastava arvu imaginaartelge mööda. 
93
Korrutamine ja jagamine
Kompleksarve saab edukalt ka korrutada ja isegi jagada. Tulemuseks on endiselt 
alati kompleksarv . Näiteks
d
A
Lg

ning
uhu
rV
A

Kompleksarvudega korrutamisel on ka ilus geomeetriline tõlgendus – tasandil  
pööramine. 
Näiteks oletame, et meile on antud kompleksarv 
 ning tahame leida uut 
kompleksarvu, mis on selle arvu suhtes 45-kraadise nurga all vastupäeva.
Tuleb välja, et sellise kompleksarvu leidmiseks võime lihtsalt algset arvu korrutada 
mistahes kompleksarvuga, mis on 45-kraadise nurga all reaaltelje suhtes: näiteks 
arvuga 
94
Seda kõike ei pea muidugi joonise põhjal uskuma. (Ei tohigi uskuda !) Õnneks kinni-
tab aga algebra kenasti meie väiteid. Tõepoolest, korrutamise võime välja kirjutada 
järgmiselt:
d
A
Lg

Ning nagu jooniselt näeme, asub 
 täpselt 45-kraadise nurga all 
 
suhtes, küll tõesti parasjagu nullpunktist kaugemal. See tuleneb lihtsalt sellest, et 
uhu
korrutamisel ei piisa ainult nurkade liitmisest, vaid tuleb omavahel korrutada ka 
rV
A

kaugused.
Imaginaararvuga   korrutamisel on järelikult tegemist ainult pöördega 90o – tema 
kaugus nullist on ju täpselt 1 ühik. Nii liigub arv 1 arvuga   korrutamisel täpselt  
-ks, arv 
 aga  -ga korrutamisel täpselt 
-ks. See pakub ka arvuga   kor-
rutamisele uue tõlgenduse: arvteljel oli arvuga   korrutamise tõlgenduseks pee-
geldus nullpunktist, nüüd aga teades, et 
, võime komplekstasandil arvuga 
 korrutamisest mõelda ka kui 180 kraadisest pöördest.
95
  e
A
  j

kuulsad arvud:   ja e
 
ud
rV
 A
d

Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe 
LSA
näiteks arvud null ja üks. 
kuu
Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel teistest erinevalt: korrutades 
mistahes arvu nulliga, saame vastuseks nulli, ning liites mistahes arvule nulli, saame 
sama arvu, mis enne. Samamoodi on üks isemoodi, sest korrutades ükskõik mis arvu 
ühega jääb see arv samaks ning ühe kõik astmed on tema endaga võrdsed. 
Ajalooliselt on mainimist väärt arvuks kindlasti ka  , mis näitas, et ratsionaalarvu-
dest pole maailma kirjeldamiseks sugugi küllalt [lk 87]. 
Miks mitte välja tuua ka imaginaararvu  , mille abil laiendasime reaalarve komp- 
leksarvudele [lk 89] või iluideaaliks loetud kuldlõike arvu 
 [lk 135].
Käesolevas peatükis räägime aga pikemalt kahest teisest põnevast ja kuulsast  
arvust, millest ei saa üle ega ümber ka koolimatemaatikas. Tutvustame tegelasi:
 ja e
   
Arv   seostub kõigile meile ilmselt ringjoonega. Nii alustamegi  arvuga   tutvumist 
väikese mõtisklusega ringjoonest
kuidas mõelda riNgjooNest?
Ringjoon on ilus matemaatiline objekt, millele ei ole muidugi raske leida ka päris-
maailmas vastet. Nii nagu igapäevaelus kohtame ringikujulisi objekte väga erine-
vates olukordades , saab ringjoonest ka matemaatiliselt mitut moodi mõelda. 
96
Sirkli abil
Hulkade juures [lk 60] mainisime juba ühte viisi ringjoone kirjeldamiseks: ringjoont  
  e
A
võib kirjeldada kui
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatika - Õhtuõpik #1 Matemaatika - Õhtuõpik #2 Matemaatika - Õhtuõpik #3 Matemaatika - Õhtuõpik #4 Matemaatika - Õhtuõpik #5 Matemaatika - Õhtuõpik #6 Matemaatika - Õhtuõpik #7 Matemaatika - Õhtuõpik #8 Matemaatika - Õhtuõpik #9 Matemaatika - Õhtuõpik #10 Matemaatika - Õhtuõpik #11 Matemaatika - Õhtuõpik #12 Matemaatika - Õhtuõpik #13 Matemaatika - Õhtuõpik #14 Matemaatika - Õhtuõpik #15 Matemaatika - Õhtuõpik #16 Matemaatika - Õhtuõpik #17 Matemaatika - Õhtuõpik #18 Matemaatika - Õhtuõpik #19 Matemaatika - Õhtuõpik #20 Matemaatika - Õhtuõpik #21 Matemaatika - Õhtuõpik #22 Matemaatika - Õhtuõpik #23 Matemaatika - Õhtuõpik #24 Matemaatika - Õhtuõpik #25 Matemaatika - Õhtuõpik #26 Matemaatika - Õhtuõpik #27 Matemaatika - Õhtuõpik #28 Matemaatika - Õhtuõpik #29 Matemaatika - Õhtuõpik #30 Matemaatika - Õhtuõpik #31 Matemaatika - Õhtuõpik #32 Matemaatika - Õhtuõpik #33 Matemaatika - Õhtuõpik #34 Matemaatika - Õhtuõpik #35 Matemaatika - Õhtuõpik #36 Matemaatika - Õhtuõpik #37 Matemaatika - Õhtuõpik #38 Matemaatika - Õhtuõpik #39 Matemaatika - Õhtuõpik #40 Matemaatika - Õhtuõpik #41 Matemaatika - Õhtuõpik #42 Matemaatika - Õhtuõpik #43 Matemaatika - Õhtuõpik #44 Matemaatika - Õhtuõpik #45 Matemaatika - Õhtuõpik #46 Matemaatika - Õhtuõpik #47 Matemaatika - Õhtuõpik #48 Matemaatika - Õhtuõpik #49 Matemaatika - Õhtuõpik #50 Matemaatika - Õhtuõpik #51 Matemaatika - Õhtuõpik #52 Matemaatika - Õhtuõpik #53 Matemaatika - Õhtuõpik #54 Matemaatika - Õhtuõpik #55 Matemaatika - Õhtuõpik #56 Matemaatika - Õhtuõpik #57 Matemaatika - Õhtuõpik #58 Matemaatika - Õhtuõpik #59 Matemaatika - Õhtuõpik #60 Matemaatika - Õhtuõpik #61 Matemaatika - Õhtuõpik #62 Matemaatika - Õhtuõpik #63 Matemaatika - Õhtuõpik #64 Matemaatika - Õhtuõpik #65 Matemaatika - Õhtuõpik #66 Matemaatika - Õhtuõpik #67 Matemaatika - Õhtuõpik #68 Matemaatika - Õhtuõpik #69 Matemaatika - Õhtuõpik #70 Matemaatika - Õhtuõpik #71 Matemaatika - Õhtuõpik #72 Matemaatika - Õhtuõpik #73 Matemaatika - Õhtuõpik #74 Matemaatika - Õhtuõpik #75 Matemaatika - Õhtuõpik #76 Matemaatika - Õhtuõpik #77 Matemaatika - Õhtuõpik #78 Matemaatika - Õhtuõpik #79 Matemaatika - Õhtuõpik #80 Matemaatika - Õhtuõpik #81 Matemaatika - Õhtuõpik #82 Matemaatika - Õhtuõpik #83 Matemaatika - Õhtuõpik #84 Matemaatika - Õhtuõpik #85 Matemaatika - Õhtuõpik #86 Matemaatika - Õhtuõpik #87 Matemaatika - Õhtuõpik #88 Matemaatika - Õhtuõpik #89 Matemaatika - Õhtuõpik #90 Matemaatika - Õhtuõpik #91 Matemaatika - Õhtuõpik #92 Matemaatika - Õhtuõpik #93 Matemaatika - Õhtuõpik #94 Matemaatika - Õhtuõpik #95 Matemaatika - Õhtuõpik #96 Matemaatika - Õhtuõpik #97 Matemaatika - Õhtuõpik #98 Matemaatika - Õhtuõpik #99 Matemaatika - Õhtuõpik #100 Matemaatika - Õhtuõpik #101 Matemaatika - Õhtuõpik #102 Matemaatika - Õhtuõpik #103 Matemaatika - Õhtuõpik #104 Matemaatika - Õhtuõpik #105 Matemaatika - Õhtuõpik #106 Matemaatika - Õhtuõpik #107 Matemaatika - Õhtuõpik #108 Matemaatika - Õhtuõpik #109 Matemaatika - Õhtuõpik #110 Matemaatika - Õhtuõpik #111 Matemaatika - Õhtuõpik #112 Matemaatika - Õhtuõpik #113 Matemaatika - Õhtuõpik #114 Matemaatika - Õhtuõpik #115 Matemaatika - Õhtuõpik #116 Matemaatika - Õhtuõpik #117 Matemaatika - Õhtuõpik #118 Matemaatika - Õhtuõpik #119 Matemaatika - Õhtuõpik #120 Matemaatika - Õhtuõpik #121 Matemaatika - Õhtuõpik #122 Matemaatika - Õhtuõpik #123 Matemaatika - Õhtuõpik #124 Matemaatika - Õhtuõpik #125 Matemaatika - Õhtuõpik #126 Matemaatika - Õhtuõpik #127 Matemaatika - Õhtuõpik #128 Matemaatika - Õhtuõpik #129 Matemaatika - Õhtuõpik #130 Matemaatika - Õhtuõpik #131 Matemaatika - Õhtuõpik #132 Matemaatika - Õhtuõpik #133 Matemaatika - Õhtuõpik #134 Matemaatika - Õhtuõpik #135 Matemaatika - Õhtuõpik #136 Matemaatika - Õhtuõpik #137 Matemaatika - Õhtuõpik #138 Matemaatika - Õhtuõpik #139 Matemaatika - Õhtuõpik #140 Matemaatika - Õhtuõpik #141 Matemaatika - Õhtuõpik #142 Matemaatika - Õhtuõpik #143 Matemaatika - Õhtuõpik #144 Matemaatika - Õhtuõpik #145 Matemaatika - Õhtuõpik #146 Matemaatika - Õhtuõpik #147 Matemaatika - Õhtuõpik #148 Matemaatika - Õhtuõpik #149 Matemaatika - Õhtuõpik #150 Matemaatika - Õhtuõpik #151 Matemaatika - Õhtuõpik #152 Matemaatika - Õhtuõpik #153 Matemaatika - Õhtuõpik #154 Matemaatika - Õhtuõpik #155 Matemaatika - Õhtuõpik #156 Matemaatika - Õhtuõpik #157 Matemaatika - Õhtuõpik #158 Matemaatika - Õhtuõpik #159 Matemaatika - Õhtuõpik #160 Matemaatika - Õhtuõpik #161 Matemaatika - Õhtuõpik #162 Matemaatika - Õhtuõpik #163 Matemaatika - Õhtuõpik #164 Matemaatika - Õhtuõpik #165 Matemaatika - Õhtuõpik #166 Matemaatika - Õhtuõpik #167 Matemaatika - Õhtuõpik #168 Matemaatika - Õhtuõpik #169 Matemaatika - Õhtuõpik #170 Matemaatika - Õhtuõpik #171 Matemaatika - Õhtuõpik #172 Matemaatika - Õhtuõpik #173 Matemaatika - Õhtuõpik #174 Matemaatika - Õhtuõpik #175 Matemaatika - Õhtuõpik #176 Matemaatika - Õhtuõpik #177 Matemaatika - Õhtuõpik #178 Matemaatika - Õhtuõpik #179 Matemaatika - Õhtuõpik #180 Matemaatika - Õhtuõpik #181 Matemaatika - Õhtuõpik #182 Matemaatika - Õhtuõpik #183 Matemaatika - Õhtuõpik #184 Matemaatika - Õhtuõpik #185 Matemaatika - Õhtuõpik #186 Matemaatika - Õhtuõpik #187 Matemaatika - Õhtuõpik #188 Matemaatika - Õhtuõpik #189 Matemaatika - Õhtuõpik #190 Matemaatika - Õhtuõpik #191 Matemaatika - Õhtuõpik #192 Matemaatika - Õhtuõpik #193 Matemaatika - Õhtuõpik #194 Matemaatika - Õhtuõpik #195 Matemaatika - Õhtuõpik #196 Matemaatika - Õhtuõpik #197 Matemaatika - Õhtuõpik #198 Matemaatika - Õhtuõpik #199 Matemaatika - Õhtuõpik #200 Matemaatika - Õhtuõpik #201 Matemaatika - Õhtuõpik #202 Matemaatika - Õhtuõpik #203 Matemaatika - Õhtuõpik #204 Matemaatika - Õhtuõpik #205 Matemaatika - Õhtuõpik #206 Matemaatika - Õhtuõpik #207 Matemaatika - Õhtuõpik #208 Matemaatika - Õhtuõpik #209 Matemaatika - Õhtuõpik #210 Matemaatika - Õhtuõpik #211 Matemaatika - Õhtuõpik #212 Matemaatika - Õhtuõpik #213 Matemaatika - Õhtuõpik #214 Matemaatika - Õhtuõpik #215 Matemaatika - Õhtuõpik #216 Matemaatika - Õhtuõpik #217 Matemaatika - Õhtuõpik #218 Matemaatika - Õhtuõpik #219 Matemaatika - Õhtuõpik #220 Matemaatika - Õhtuõpik #221 Matemaatika - Õhtuõpik #222 Matemaatika - Õhtuõpik #223 Matemaatika - Õhtuõpik #224 Matemaatika - Õhtuõpik #225 Matemaatika - Õhtuõpik #226 Matemaatika - Õhtuõpik #227 Matemaatika - Õhtuõpik #228 Matemaatika - Õhtuõpik #229 Matemaatika - Õhtuõpik #230 Matemaatika - Õhtuõpik #231 Matemaatika - Õhtuõpik #232 Matemaatika - Õhtuõpik #233 Matemaatika - Õhtuõpik #234 Matemaatika - Õhtuõpik #235 Matemaatika - Õhtuõpik #236 Matemaatika - Õhtuõpik #237 Matemaatika - Õhtuõpik #238 Matemaatika - Õhtuõpik #239 Matemaatika - Õhtuõpik #240 Matemaatika - Õhtuõpik #241 Matemaatika - Õhtuõpik #242 Matemaatika - Õhtuõpik #243 Matemaatika - Õhtuõpik #244 Matemaatika - Õhtuõpik #245 Matemaatika - Õhtuõpik #246 Matemaatika - Õhtuõpik #247 Matemaatika - Õhtuõpik #248 Matemaatika - Õhtuõpik #249 Matemaatika - Õhtuõpik #250 Matemaatika - Õhtuõpik #251 Matemaatika - Õhtuõpik #252 Matemaatika - Õhtuõpik #253 Matemaatika - Õhtuõpik #254 Matemaatika - Õhtuõpik #255 Matemaatika - Õhtuõpik #256 Matemaatika - Õhtuõpik #257 Matemaatika - Õhtuõpik #258 Matemaatika - Õhtuõpik #259 Matemaatika - Õhtuõpik #260 Matemaatika - Õhtuõpik #261 Matemaatika - Õhtuõpik #262 Matemaatika - Õhtuõpik #263 Matemaatika - Õhtuõpik #264 Matemaatika - Õhtuõpik #265 Matemaatika - Õhtuõpik #266 Matemaatika - Õhtuõpik #267 Matemaatika - Õhtuõpik #268 Matemaatika - Õhtuõpik #269 Matemaatika - Õhtuõpik #270 Matemaatika - Õhtuõpik #271 Matemaatika - Õhtuõpik #272 Matemaatika - Õhtuõpik #273 Matemaatika - Õhtuõpik #274 Matemaatika - Õhtuõpik #275 Matemaatika - Õhtuõpik #276 Matemaatika - Õhtuõpik #277 Matemaatika - Õhtuõpik #278 Matemaatika - Õhtuõpik #279 Matemaatika - Õhtuõpik #280 Matemaatika - Õhtuõpik #281 Matemaatika - Õhtuõpik #282 Matemaatika - Õhtuõpik #283 Matemaatika - Õhtuõpik #284 Matemaatika - Õhtuõpik #285 Matemaatika - Õhtuõpik #286 Matemaatika - Õhtuõpik #287 Matemaatika - Õhtuõpik #288 Matemaatika - Õhtuõpik #289 Matemaatika - Õhtuõpik #290 Matemaatika - Õhtuõpik #291 Matemaatika - Õhtuõpik #292 Matemaatika - Õhtuõpik #293 Matemaatika - Õhtuõpik #294 Matemaatika - Õhtuõpik #295 Matemaatika - Õhtuõpik #296 Matemaatika - Õhtuõpik #297 Matemaatika - Õhtuõpik #298 Matemaatika - Õhtuõpik #299 Matemaatika - Õhtuõpik #300 Matemaatika - Õhtuõpik #301 Matemaatika - Õhtuõpik #302 Matemaatika - Õhtuõpik #303 Matemaatika - Õhtuõpik #304 Matemaatika - Õhtuõpik #305 Matemaatika - Õhtuõpik #306 Matemaatika - Õhtuõpik #307 Matemaatika - Õhtuõpik #308 Matemaatika - Õhtuõpik #309 Matemaatika - Õhtuõpik #310 Matemaatika - Õhtuõpik #311 Matemaatika - Õhtuõpik #312 Matemaatika - Õhtuõpik #313 Matemaatika - Õhtuõpik #314 Matemaatika - Õhtuõpik #315 Matemaatika - Õhtuõpik #316 Matemaatika - Õhtuõpik #317 Matemaatika - Õhtuõpik #318 Matemaatika - Õhtuõpik #319 Matemaatika - Õhtuõpik #320 Matemaatika - Õhtuõpik #321 Matemaatika - Õhtuõpik #322 Matemaatika - Õhtuõpik #323 Matemaatika - Õhtuõpik #324 Matemaatika - Õhtuõpik #325 Matemaatika - Õhtuõpik #326 Matemaatika - Õhtuõpik #327 Matemaatika - Õhtuõpik #328 Matemaatika - Õhtuõpik #329 Matemaatika - Õhtuõpik #330 Matemaatika - Õhtuõpik #331 Matemaatika - Õhtuõpik #332 Matemaatika - Õhtuõpik #333 Matemaatika - Õhtuõpik #334 Matemaatika - Õhtuõpik #335 Matemaatika - Õhtuõpik #336 Matemaatika - Õhtuõpik #337 Matemaatika - Õhtuõpik #338 Matemaatika - Õhtuõpik #339 Matemaatika - Õhtuõpik #340 Matemaatika - Õhtuõpik #341 Matemaatika - Õhtuõpik #342 Matemaatika - Õhtuõpik #343 Matemaatika - Õhtuõpik #344 Matemaatika - Õhtuõpik #345 Matemaatika - Õhtuõpik #346 Matemaatika - Õhtuõpik #347 Matemaatika - Õhtuõpik #348 Matemaatika - Õhtuõpik #349 Matemaatika - Õhtuõpik #350 Matemaatika - Õhtuõpik #351 Matemaatika - Õhtuõpik #352 Matemaatika - Õhtuõpik #353 Matemaatika - Õhtuõpik #354 Matemaatika - Õhtuõpik #355 Matemaatika - Õhtuõpik #356 Matemaatika - Õhtuõpik #357 Matemaatika - Õhtuõpik #358 Matemaatika - Õhtuõpik #359 Matemaatika - Õhtuõpik #360 Matemaatika - Õhtuõpik #361 Matemaatika - Õhtuõpik #362 Matemaatika - Õhtuõpik #363 Matemaatika - Õhtuõpik #364 Matemaatika - Õhtuõpik #365 Matemaatika - Õhtuõpik #366 Matemaatika - Õhtuõpik #367 Matemaatika - Õhtuõpik #368 Matemaatika - Õhtuõpik #369 Matemaatika - Õhtuõpik #370 Matemaatika - Õhtuõpik #371 Matemaatika - Õhtuõpik #372 Matemaatika - Õhtuõpik #373 Matemaatika - Õhtuõpik #374 Matemaatika - Õhtuõpik #375 Matemaatika - Õhtuõpik #376 Matemaatika - Õhtuõpik #377 Matemaatika - Õhtuõpik #378 Matemaatika - Õhtuõpik #379 Matemaatika - Õhtuõpik #380 Matemaatika - Õhtuõpik #381 Matemaatika - Õhtuõpik #382 Matemaatika - Õhtuõpik #383 Matemaatika - Õhtuõpik #384 Matemaatika - Õhtuõpik #385 Matemaatika - Õhtuõpik #386 Matemaatika - Õhtuõpik #387 Matemaatika - Õhtuõpik #388 Matemaatika - Õhtuõpik #389 Matemaatika - Õhtuõpik #390 Matemaatika - Õhtuõpik #391 Matemaatika - Õhtuõpik #392 Matemaatika - Õhtuõpik #393 Matemaatika - Õhtuõpik #394 Matemaatika - Õhtuõpik #395 Matemaatika - Õhtuõpik #396 Matemaatika - Õhtuõpik #397 Matemaatika - Õhtuõpik #398 Matemaatika - Õhtuõpik #399 Matemaatika - Õhtuõpik #400 Matemaatika - Õhtuõpik #401 Matemaatika - Õhtuõpik #402 Matemaatika - Õhtuõpik #403 Matemaatika - Õhtuõpik #404 Matemaatika - Õhtuõpik #405 Matemaatika - Õhtuõpik #406 Matemaatika - Õhtuõpik #407 Matemaatika - Õhtuõpik #408
Punktid 5 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.
Leheküljed ~ 408 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2014-11-28 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 54 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor toivo1211 Õppematerjali autor

Mõisted

märtsist 2014, isbn 978, koolimatemaatika aeg, uut, alustame jada, tabelitest, osa 5, polünoomid, funktsioone, ilm, üheksas sümfoonia, tõenäosusteooria aluseks, aidata oskasid, vastuski, tavapärases keeles, koolimatemaatika, või tei, matemaatika, mõnest mängust, üles ehitama, prantsuse luule, alustuseks, matemaatikat, kooliprogrammis, ajuprotsessid, ajust arusaamiseks, sellised teoo, universum, füüsikuna, matemaatika, matemaatika, matemaatika, matemaatika, numbrimaailmas orienteerumine, sama selge, õppi, lahendid, matemaatika alusmõisteid, kokkuhoidmiseks, abu, abu, maatika, ted, teoreem, palju küsimusi, muutuja, vahel kut, head õpetajat, kümnendesitused, seejuu, võrdused, kolmandaks, dega ümberkäimiseks, ruutfunktsiooni, naljakal kombel, ühe kilekoti, selliselt mõeldes, iseenda element, matemaatikakesksem funktsioon, vis, objektiks, arvuruudud, lihtne näide, samal kuupäeval, funktsioonide esitamiseks, lihtne näide, faktoriaal, programmeerijatele, naturaalarvud, naturaalarvud, järgnevalt tutvus, teisisõnu, loetuna küm, naturaalarvud, prob, selliseid arve, ratsionaalarvud, ratsionaalarvudega, esitusi, proportsioonide, irratsionaalarvudeks, tiivsete arvudega, kompleksarvudega korrutamisel, täpselt 45, imaginaararvuga korrutamisel, mõnel arvul, ringjoon, mööda liikudes, lest, teisisõnu, täpne arvu, selleks kasu, arv, sioone, eelmise kirjeldusega, täpne selgitus, lee, lee, lee, lee, kut, arvu astmele, reaalarvu nagu, null korral, päikese mass, paarisarvude jada, küsimustel, järg, tulemiks, esi, viimaks, kindla arvuga, hetkeks, poolest kilomeetrist, algarvudega, proo, jada alustami, kuldlõike suhtarv, kolmemõõtmeline vektor, vektorile, kirjutusi ühe, vektoreid, summavektori leid, too, arvude liitmisel, omaette küsimus, annavad skalaarkor, kaks viisi, skalaarkorrutisel, mine ise, sihi valikuks, tut, maatriksi puhul, determinandi absoluutväärtus, maat, maatriksi puhul, vektor, saadud valemid, ruu, vaid suuruseid, võrrandite koostamiseks, panek, intuitiivselt, unustada, võrrandi teisendamine, intui, sed 0, ainsaks tundmatuks, kompleksarvudes, teoreemi nimi, muutujaga lineaarvõrrandid, sises, ühes seinas, sellepä, sem, võrratuse lahendamine, samaväärsed võrratu, tei, mid, võrrandi väikseimat, nulli puhul, kumb, geomeetri, õpetajad ise, jooniselt, sümbolites, lahendamisest, kosmosejaam, res seejuures, selliseid kolmnurki, teisisõnu küljepikkused, nagu mainisime, leitud funktsioonid, hüpotenuus, naadi, hil, graafiliselt, tangensiga, mõistlik valik, nurki, skalaarkorrutisel, sellel korral, kolme küljepikkusega, teisisõnu, tilt, looduse perioodiliste, tes, matemaatiliseks lähe, kolmnurk, kraadides mõõtmine, hämaras, diferentsiaalvõrrandiks, trigonomeetriliste funktsioonidega, nurgas, nagu siinus, siit edasi, tuletus, võnkumise matemaatili, siinus, kõiki siinus, põhivõnkumisi, fou, päris keeruline, latsioon, amplituudi modulat, polünoom, polünoomide korral, kolmandaks, esimest teisendust, polünoomi tuletis, polünoomide pere, polünoomid, noomfunktsioone, oluliseks märksõnaks, nullkohad, õigupoolest, teadmisel, lisateadmistest, võrrandi jagada, üldkujus, ainsa vahena, aluspunktiks, mingis mõttes, uued lõikepunktid, eksponentsiaalfunktsioonideks, üldkujul, negatiiv, eksponentsiaalfunktsioon, hetkeline kasv, tõepoo, vahel võrrelda, eksponentsiaalfunktsioonist, eksponentsiaalne kasvamine, transistor, graafikut, eksponentsiaalse kiirusega, logaritm, intuitiivselt, ruutjuurt, funktsioonist, põnev, muudel juhtudel, nägime eksponent, logaritmi alusel, logaritmid, astmena, tuse, logaritmiliseks, logaritmilised skaalad, väikseid maavärinaid, neid maavärinaid, korda suuremad, andmetöötlusprogrammile, sest seal, populaarsed valikud, funktsioonide korral, piirväärtuse tõlgenduski, piirväärtus kohal, piirväärtus kohal, üllatavalt, intuitiivselt, ruutfunktsioon, nitsioon, tuletis, matemaatilistes sümbolites, viimaks, funktsioone, selliseid kohti, ekstreemumite uurimine, millal üldse, funktsiooni uurides, teravikule, proovi ise, tuletis, samuti mängi, viimaks, dude abil, vertikaalkiirus, kõrgeimas punktis, veendumiseks, liks seadma, kraadi vahel, sellel graafikul, probleemi lahendus, taas kord, integraali vahel, matemaatilisemaks kirjelduseks, graafiliselt, ellips, pöördoperatsioonid, määramata integ, miku alg, üheks algfunktsiooniks, mõle, seose olemasolus, vaatame näi, külikud, kolmnurkadest, hulktahukate, ümbermõõt, kera ruumala, permutatsioon, neid lauseid, faktoriaali juures, variatsioonide puhul, esimese valik, tõenäosuse tõlgendus, vastandsündmuse tõenäosust, kahel viskel, kogu raskus, arv, geomeetriline tõenäosus, geo, tõlgen, segaduse vältimiseks, logaritm

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

100
pdf
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE
4
doc
Matemaatika mõisted
19
doc
Matemaatika valemid
3
doc
Matemaatika valemid
33
doc
Matemaatika riigieksam
2
doc
Matemaatika valemid
3
doc
Matemaatika valemid
108
doc
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE-Valemid





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun