Matemaatika - Õhtuõpik (0)

MateMaatika
õhtuõpik
1
2
MateMaatika
õhtuõpik
3
Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon   
tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel  
(Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 
Eesti litsents ( http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/ ).
 
Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014
 
Viies, parandatud trükk
 
Toimetaja: Hele Kiisel
Illustratsioonid ja graafikud : Elis Saar
Korrektor : Maris Makko
Kujundaja: Janek Saareoja
 
ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis)
ISBN 978-9949-489-96-1 (epub)
Trükitud trükikojas Print Best
4
SiSukord
oSa 0 – SISSEJUHATUS  ..................... 17
oSA 2 – arvud  .....................................75
mATEmAATIkA mEIE ümbEr  ..................20
ArvUHUlgAd   .........................................78
Matemaatika kui keel  ...................................21
Naturaalarvud   ..............................................78
Matemaatika muutub ja areneb  ....................22
Täisarvud  ......................................................82
Mis on matemaatika?  ...................................23
Ratsionaalarvud  ............................................83
Matemaatika on mitmekülgne  .................... 24
Irratsionaalarvud  ja reaalarvud   .....................87
mIkS õppIdA mATEmAATIkAT?  ..............24
Kompleksarvud *  ......................................... 89
Matemaatika arendab mõtlemist  .................25
kUUlSAd  ArvUd:   JA e ......................... 96
Matemaatika õpetab tundma ja  
  ................................................................. 96
    ennustama maailma  ................................. 26
e  .................................................................102
kAS mATEmAATIkA on rASkE?  .............30
Ilusaim valem matemaatikas  ......................108
Pähe õppida ei õnnestu   ................................30
ArvU ASTE  ...........................................110
Matemaatikal on oma keel  ...........................31
Juurimine kui  astendamise  vastandtehe  ..... 111
Matemaatikat on keeruline õpetada  .............32
Ratsionaalarvuline astendaja   ...................... 113
Matemaatika vajab aega  ..............................32
Negatiivne astendaja  ..................................114
InnUSTUSEkS  ..................................34
Astendaja null  .............................................114
Irratsionaalarvuline aste  ............................. 115
Arvude standardkuju  ..................................116
Astendaja null põhjendus nohikutele*  ........ 117
oSA 1 – keel ja põhiMõiSted  ........
ArvU AbSolUUTväärTUS  ......................120
39
Milleks meile arvu absoluutväärtus?  ...........121
matemaatikute keel ja žanrid  ...........42
Oskussõnad  ................................................. 42
Tähed ja sümbolid   ........................................43
Matemaatilised žanrid  ................................. 44
oSa 3 – arvude Sõbrad ja    
mUUTUJA   .......................................48
  SugulaSed .......................................125
Muutuja erinevates rollides   .......................... 48
JAdA  ....................................................128
võrdUS JA võrdSUS  .........................52
Aritmeetiline jada  .......................................129
Matemaatiline võrdus  ...................................54
Geomeetriline jada  ..................................... 131
Matemaatilise võrduse kasutused  .................55
Mõned teised põnevad jadad   ...................... 135
HUlk  ............................................58
vEkTor   ................................................138
Hulkade kirjeldamine  ....................................58
Kuidas vektorit matemaatiliselt  
Hulkade olulisus  ...........................................59
   kirja panna?  .............................................. 139
Hulgad ja peavalu  ........................................ 62
Vektoritega mängimine   ..............................139
fUnkTSIoon  ..................................64
mAATrIkS *  ...........................................152
Funktsioon kui masin  ....................................65
Maatriks ja võrgustikud  ..............................152
Range definitsioon ja mõisted  ..................... 66
Maatriks ja vektorid   .................................... 153
Funktsioonide omadusi  ............................... 68
Funktsioonide esitamise viise  .......................70
Funktsioon arvutimaailmas  ..........................72
5
oSA 4 – võrrAnd JA  võrrATUS   ....165
oSA 6 – tähtSad funktSioonid  .. 263
võrrAnd  .............................................168
polünoom   ..........................................266
Erinevat tüüpi võrrandid   ............................. 170
Omadused  ..................................................267
Võrrandisüsteem   ........................................ 172
Miks osutuvad polünoomid  
Mobiilioperaatori valimine  .......................... 174
  nõnda oluliseks?  ....................................... 268
võrrAndI  TEISEndAmInE  JA  
Nullkohad ja mugavale  kujule   
  
  tegurdamine   ............................................ 269
lAHEndAmInE  ....................................176
Võrrandi teisendamisest üldisemalt   ............ 176
Kuidas peita kolmekesi ühist varandust?  ..... 271
Väike võrrandijutt  ....................................... 179
Ruutfunktsioon ja tema lahendivalem  ........272
Veel võrrandi lahendamisest  .......................180
EkSponEnTSIAAlfUnkTSIoon  ................280
Eksponentsiaalfunktsioon ja astendamine   ..281
võrrAnd JA  gEomEETrIA   .....................184
Võrrandi ja geomeetria vaheline tõlkimine  ...184
Eksponentsiaalfunktsiooni omadused  ........282
Sirgete lõikumine tasandil ja vastav  
Kasvavad ja kahanevad protsessid  ............. 286
   võrrandisüsteem  ...................................... 187
logArITm   ............................................290
Sirgete ja tasandite  rakendused   ..................189
Logaritmfunktsioon   ....................................291
Logaritmi tähendus arvutusajaloos  ............ 296
võrrATUS  ............................................190
Võrratuste koostamine  ...............................191
Logaritmiline skaala  .................................. 299
Võrratuse lahendamine  ..............................191
Võrratuse teisendamine  ..............................194
Võrratused ja planeerimine   .........................195
oSA 7 – funktSioonidega  
Mõned levinud võrratused  ..........................197
  MängiMine  ......................................305
AbSolUUTväärTUSEgA võrrAnd  ..........202
pIIrväärTUS  JA pIdEvUS  .......................308
Jada piirväärtus  ..........................................310
Funktsiooni piirväärtus  ............................... 313
oSA 5 –  trigonoMeetria   ...............205
Funktsiooni pidevus  .................................... 317
proporTSIoonId JA kolmnUrgAd  .......208
TUlETIS   ................................................320
Küsimus kosmosest   ....................................208
Tuletise definitsioon  ...................................321
Võrdsed ja sarnased kolmnurgad  ................209
Tuletise geomeetriline tõlgendus  ................326
Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetrilised   
Millal tuletis eksisteerib?  .............................329
    põhiseosed   ..............................................212
Teine tuletis, kolmas tuletis jne  ................... 331
Siinusteoreem   ............................................222
Hoo pealt veepommi viskamine *  ................ 333
Koosinusteoreem   .......................................224
InTEgrAAl   ...........................................340
Trigonomeetria kosmoses: robotkäsi  .......... 227
Integreerimine   ............................................341
Integraal ja üldisemad pindalad   ..................347
TrIgonomEETrIA JA pErIoodIlISEd 
Kuidas integreerib arvuti?  ...........................349
fUnkTSIoonId  .....................................230
Ringliikumine ja trigonomeetria  ................. 231
InTEgrAAl JA TUlETIS  ...........................352
Kraadid ja radiaanid  ....................................234
Algfunktsioon ja määramata integraal   ....... 353
Koosinus , siinus ja elastne vedru* ...............236
Algfunktsioon ja määratud integraal ...........354
Newtoni-Leibnizi seos  ................................356
TrIgonomEETrIlISEd  AvAldISEd  JA  
   nEndE TEISEndAmInE  .......................240
trigonomeetriliste funktsioonide 
   vahelised seosed  ......................................241
kõIk võngUb*  ....................................254
Kuidas kaob helisalvestisest sahin ? .............258
AM-raadio   .................................................259
6
oSA 8 –  loendaMine ja  
oSA 9 –  luguSid   
  MõõtMine  .......................................359
  tõenäoSuSteooriaSt  .................389
ümbErmõõT , pIndAlA JA rUUmAlA  ......362
TõEnäoSUSTEoorIA  TäHEndUS JA  
Matemaatilised etalonid:  
  kASUTAmInE  ......................................392
    sirglõik , ruut, kuup   ...................................362
Väike mündilugu ehk mida tõenäosus  
Hulknurkade pindalad .................................364
   ikkagi tähendab?  ......................................393
Ringi ümbermõõt ja pindala ........................ 367
Tõenäosusteooria algus ehk kuidas valed  
Ruumiliste   kujundite pindalad  ....................369
   arvutused viivad pankrotti   .......................395
Mõned ruumalad  ........................................ 373
Kas mu sõbrannast saab riigikogu liige 
Kochi lumehelves  ....................................... 377
   ehk tõenäosuste määramise raskustest  ....398
pErmUTATSIoonId JA  fAkTorIAAl   ..........380
Kes on kõrgema IQ-tasemega ehk jaotuste  
Permutatsioon   ............................................380
võrdlemine ................................................. 400
Faktoriaal  ...................................................382
Geomeetriline tõenäosus ehk kuidas  
   leida tõenäosuse abil   väärtust  ...............402
kombInATSIoonId JA  vArIATSIoonId   ....384
Kombinatsioonide ja variatsioonide arv  ......385
TõEnäoSUS JA  InTUITSIoon   .................404
Monty Halli probleem  ................................ 404
Simpsoni paradoks   .....................................405
Sünnipäeva ülesanne  ..................................407
7
tere, lugeja!
S
tu
ejuha
SS
Meie lootus on, et „Õhtuõpikust” saab Sulle tore  kaaslane  matemaatikaga tutvumi-
Si
sel. Selle lihtsustamiseks pakume  Sulle  tulevasest kaaslasest ka väikese ülevaate. 
Alustame kolmest küsimusest.
Kas „Õhtuõpik” on mulle või kellele ta üldse mõeldud on?  
Miks „Õhtuõpikut” kirjutama hakkasime  ja kuidas ta valmis?  
Mida „Õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda?
Iga küsimus annab Sulle ka võimaluse sõbruneda ühega autoritest. 
Seejärel tutvustame Sulle veel kõiki teisi paljusid, kelleta  raamat kindlasti sellel 
kujul valmis poleks saanud. Ning pärast seda ei jää Sul küll üle muud, kui lugema 
hakata! Kirjuta meile kindlasti, kui Sul tekib küsimusi , soovitusi või niisama  
mõtisklusi.
kas „õhtuõpik” on mulle või kellele ta üldse mõeldud on?
Sellele küsimusele vastab Elis.
„Matemaatika õhtuõpik” on ideaalseks kaaslaseks kõigile neile, kelle jaoks tundub 
koolimatemaatika aeg-ajalt kuiv ja üksluine. Usun, et meie lugeja on kindlasti asja-
huviline, kellele ei piisa vahetult enne kontrolltööd paanilisest valemite pähe tuupi-
misest, vaid kes soovib neist aru saada ning osata neid ise tuletada. Siiski pole õpik 
ainult koolinoortele – see on mõeldud ka neile uudishimulikele, kes tunnevad , 
et matemaatika on jäänud kuidagi kaugeks, ja soovivad üht-teist uut ja põnevat 
juurde  avastada .
Seega, ole Sa gümnaasiumiks valmistuv põhikooliõpilane, matemaatikatunnis  
segadusse   aetud gümnasist, abiturient, kellel ees matemaatikaeksam, juba 
kooli lõpetanud täiskasvanu, kes soovib seniseid teadmisi kinnistada, või õpe-
taja täiendamas tunnimaterjale – soovime  Sulle pakkuda väikese rännaku läbi  
gümnaasiumimatemaatika põhiteemade, ning seda veidi värvikirevama nurga alt. 
Loodame näidata matemaatika kasulikkust ja põnevust – kui Sa pole seda veel 
mingil põhjusel avastanud, oled kindlasti õiges kohas!
8
S
tu
ejuha
Miks „õhtuõpikut” kirjutama hakkasime ja kuidas ta valmis?
SS
Si
Kristjanil on hea vastus olemas.
Raamatu idee sai alguse 2010. aasta kevadel, kui mina ja Juhan imestasime äsja 
vastu võetud matemaatika õppekava üle. Kuna õppekavasse lisandus uusi teema- 
sid, aga koolitundide arv kohati isegi vähenes, siis tekkis hirm, et õpilaste niigi niru 
suhtumine matemaatikasse võib veelgi süveneda. Meile meeldib matemaatika väga 
ja kuna olime ise matemaatikat erinevates kohtades õppinud , õpetanud ja – mis võib 
olla veelgi tähtsam – ka rakendanud, siis otsustasimegi, et võiksime seniseid õpikuid 
natukene teistsuguse lähenemisega toetada. Teistsuguse lähenemise realiseeri- 
miseks liitus selle plaaniga ka kunstnik Elis, kes tõi juurde oma ideed matemaatiliste 
mõttekäikude illustreerimiseks ja tegi võimalikuks teksti ja pildi ilusa sidumise.
Raamatu kirjutamine oli põnevam ja keerulisem, kui me algul arvasime, ning käsi-
kirja valmimiseni kulus lausa kolm aastat. Natukene teistsuguse lähenemise kin-
nitamiseks sai ka  kirjastamine  lahendatud väga moodsalt:  esialgse  finantsi  saime  
ühisrahastusplatvormi Hooandja kaudu enne raamatu ilmumist, mis võimaldas 
meil raamatu teha internetis kõigile tasuta kättesaadavaks. See tähendab, et võid 
julgelt meie tekste muuta ja kasutada, kuid raha teenimine pole siiski lubatud.  
Nii sai meie eesmärk – teha matemaatika paremaks mõistmiseks üks teistsugune 
raamat – täidetud isegi mitmekülgsemalt, kui me esialgu plaanisime.
Mida „õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda?
Kannatust, Juhan selgitab seda pikemalt :
„Õhtuõpiku” idee oli koondada kaante vahele kogu keskkooli matemaatika, tehes 
seda aga lõbusamalt ja elulisemalt kui lühikeses koolitunnis võimalik. Nii käsitleme 
vähemalt riivates kõiki koolis ettetulevaid teemasid ja veel nii mõndagi muud, mis 
meil endal nende teemadega seostus . 
„Õhtuõpik” on kirjutatud ja kujundatud hea tujuga ning just nii tuleks seda ka lugeda. 
Oleme ühelt  poolt teinud oma  parima , et raamatut ei peaks lugema algusest lõpuni, 
vaid võiks lugeda ka osade kaupa.  Teisalt oleme siiski osad ja peatükid seadnud selli-
sesse  järjekorda , kuidas meile endale raamatut otsast otsani lugeda meeldiks. 
9
Mõned peatükid said igavamad, kui oleksime soovinud; mõned pikemad, kui plaa -
nisime, mõned keerulisemad , kui tahtsime  – küll märkad! Tärniga peatükid ja lõi-
gud võid aga esmalugemisel vahele jätta. Seal on vahel midagi veidi keerulisemat 
S
või tunnivälist, vahel lihtsalt vähem asjakohast. Siinkohal olgu toodud ka sisukaart: 
tu
Osas 0 räägime sellest, kuidas meie  matemaatikast   mõtleme ; arutame, miks mate-
maatikat õppima peaks ning miks see õppimine vahel raske tundub. Osa lõpus 
ejuha
jagavad raamatu suurtoetajad omalt poolt innustust matemaatika õppimiseks ja 
SS
Si
„Õhtuõpiku” lugemiseks.
Innustus käes, tuleb osa 1. Osa 1 ei ole kindlasti raamatu kõige põnevam osa. Siin 
käsitleme matemaatika kirjapilti ja põhimõisteid – muutujat, võrdust, hulka, funkt-
siooni. Need mõisted on samas olulised kogu edasise raamatu tarvis, seetõttu soo-
vitame seda osa pingsalt lugeda, isegi kui pisut haigutama kisub . Usume, et midagi 
uut on siin osas siiski samuti peidus.
Edasi tulevad arvud ja osa 2. Arvud on kesksed kogu matemaatikas ja tegelikult 
kogu elus. Osas 2 anname lühikese  ülevaate sellest, kuidas arvu enda mõiste läbi 
aegade on muutunud, ning jõuame positiivsete täisarvude 1, 2, 3... juurest lõpuks 
imaginaararvuni 𝑖 ning kuulsate arvudeni 𝑒 ja π. Edasi räägime, kuidas korrutamist 
arvu astme mõiste abil ökonoomsemaks teha ning kuidas vahel loeb hoopis arvude 
vaheline kaugus, mida mõõdab arvu absoluutväärtus.
Osa 3 räägib arvude sõpradest ja sugulastest. Ühe arvu asemel uurime nüüd mate-
maatilisi objekte, mis koosnevad paljudest kokkupandud arvudest. Alustame jada-
dest, kuhu oleme lihtsalt arve ritta ladunud. Edasi räägime vektoritest, mis on ühelt 
poolt lihtsalt arvupaarid, arvukolmikud ja nii edasi  ning teiselt poolt geomeetrilised  
objektid – ilusad nooled. Viimaks jõuame ühe pika lisapeatükini, kus räägime arvu-
tabelitest ehk maatriksitest ning sellest, kuidas nende abil võrrandeid lahendada.
Edasi räägimegi võrranditest. Osas 4 selgitame, kuidas võrrandite abil elulisi küsi-
musi arvudesse panna, kuidas seejärel mõne matemaatilise trikiga need võrrandid 
ära lahendada ning lahenduste põhjal järeldusi teha. Võrranditest ainult sammuke 
edasi on võrratused, mille aluseks on küsimus – mis on suurem? – ning mis, nagu 
näeme, aitavad hästi toidulauda planeerida. 
Osa 5 on vahest visuaalselt üks raamatu kõige ilusamaid osasid, kahjuks ka üks 
kõige pikemaid ja sisutihedamaid. Räägime pikalt ja põhjalikult trigonomeetriast. 
Alustame kolmnurgast, siis mängime ringliikumisega, edasi kiusame ennast ja 
lugejat trigonomeetriliste teisendustega ning viimaks lõpetame lisapeatükiga, mis 
räägib, kuidas kõike maailmas vaadata võnkumise nurga alt. 
Järgmises osas naaseme pisut lihtsamate, aga sugugi mitte vähem oluliste funkt-
sioonide juurde. Osa 6 räägib alustuseks polünoomidest ehk funktsioonidest nagu 
10
ruutfunktsioon ja kuupfunktsioon. Polünoomid on nii paindlikud, et tegelikult 
saaks nendega pea kogu matemaatika tehtud. Ometi on lihtsam kasutusele võtta 
ka eksponentsiaalfunktsioon ning logaritmfunktsioon. Esimene neist aitab kirjel-
dada bakterite pooldumist, teine aitas astronoomidel juba sadade aastate eest 
S
kosmosearvutusi läbi teha.
tu
Funktsioone on tegelikult aga palju rohkem ja neid on tore kuidagi kirjeldada 
ejuha
ning teisendada. Osas 7 keskendumegi neile küsimustele. Alustame esmapilgul 
SS
üsna kummalise matemaatilise mõiste – piirväärtusega. Piirväärtus annab meile 
Si
mingis mõttes viisi  rangelt  rääkida lõpmatult suurtest ning lõpmatult väikestest 
suurustest.  Temal baseeruvad ka osa kolm järgmist peatükki – pidevus, tuletis ja 
integraal. Nagu juba sõnadest aru saada, läheb siin asi üpris tehniliseks kätte. Ilm-
selt peab seda osa lugema mitu korda. Siiski peljata ei maksa, sest pea kõikidest 
neist keerulistest mõistetest saab mõelda ka geomeetriliselt: pidevus tähendab, et 
funktsiooni graafikul pole  auke ; tuletis iseloomustab funktsiooni graafiku tõusmise 
või langemise kiirust; integraal arvutab funktsiooni graafiku alla jäävat pindala.
Pindalade ja ruumalade juurde jääme peatuma ka osas 8. Pöördume tagasi liht-
samate küsimuste juurde ja räägime, mida üldse tähendab mõõtmine ning kust 
pärinevad paljud koolis kohatud pindala ja ruumala valemid. Teatud määral oleme 
selles peatükis rangusest loobunud , sest nii mõneski kohas on intuitsioon tundu-
valt  olulisem ja ilusam kui tehnilised detailid. Et  intuitsiooni  siiski alati ei saa  usal -
dada, näitab samas kohe peatselt Kochi lumehelves. See on tükike matemaatilist 
põnevust, enne kui hakkame üsna üksluiselt loendama. Lühikesed peatükid per-
mutatsioonidest, kombinatsioonidest ja variatsioonidest ei sisalda suurt põnevust. 
Ometigi, kui nad hästi selgeks saad, võivad õhtud sõpradega kaardilauas küll põne-
vamaks muutuda.
Raamatu lõpetab osa tõenäosusest, osa 9. Üheksas  sümfoonia  on paljudel heliloo-
jatel mitte ainult jäänud viimaseks , aga osutunud võibolla ka üheks tähtsamaks, 
näiteks Beethovenil, Bruckneril, Schubertil. Meie ei saa küll väita, et osa 9 oleks 
nüüd kõige tähtsam osa, ent samas leiab tõenäosuslik mõtteviis ümbritseva elu 
kirjeldamisel järjest enam rakendust. Tõenäosusteooria aluseks on tõsiasi, et kõike 
juhtuvat täpselt ennustada ei saa. Siiski saame tihti piiritleda, mis täpselt juhtuda 
võiks, ning arvudesse panna oma ootuse , kui võimalik üks või teine stsenaarium  
ikkagi on. Osas 9 arutame lugulaulude abil, miks see kõik päris niisama lihtne ei 
ole, ning raamatu lõpuakordina üritame lugeja erinevate näidete abil põnevile ja 
segadusse ajada.
11
Suur, Suur aitäh !
innustuseks
Tahame tänada paljusid. Alustame neist kahest, kes (lisaks meile endile!) olid raa-
matu juba enne kirjastusse saatmist tervenisti läbi lugenud: meie sisutoimetaja 
Hele Kiisel ja  vabatahtlikust  sõber  Rainer   Küngas . Mõlema kommentaarid ja soovi-
tused aitasid kujundada nii raamatu üldpilti kui detaile. 
Meie õnneks oli meil võtta ka suur hulk sõpru, kes meid erinevate murede puhul 
aidata oskasid – Carita Hommik aitas meid kooliterminoloogia ja tähistustega, 
Mihkel Kree poole pöördusime kõikide tobedate  füüsikat puudutavate küsimus-
tega , Kaie  Kubjas kirjutas algversiooni lineaarsest optimeerimisest,  Jon McLoonelt 
leidsime inspiratsiooni Hansu ja  Grete  dialoogiks osas 9 ja Leopold Partsi sundisime 
kommenteerima mitmeid erinevaid tõenäosuse osasid... kuni lõpuks otsustasime 
hoopis millegi kergema ja lõbusama kasuks. 
Palju oli ka neid, kes lugesid raamatut osaliselt ja aitasid meil leida õiget tooni ja 
õiget mõtet. Tahaksime tänada Jaan ja Krista  Aru, kelle koormaks oli mitmete veel 
päris mustade   versioonide kommenteerimine; Laura Kaldat, kelle detailsus luge -
misel ei leidnud võrdset; Margus Niitsood, kes mitte ainult ei kommenteerinud 
mitut osa raamatust, vaid aitas leida raamatule parima võimaliku kunstniku; ning 
veel paljusid teisi, keda kõiki me  loetleda ei jõua. Täname teid südamest, isegi kui 
nimi ei jõudnud kirja!
Tahtsime üsna varakult saada ka raamatule tagasisidet – selle tegid jällegi võima -
likuks Carita Hommik ning tema kaks lõbusat klassi Poska gümnaasiumi õpilasi. 
Suur aitäh , üritasime teie kommentaare kõigiti arvesse võtta! 
Täname ka akadeemik professor  Jüri Engelbrechti, kes meid usaldas ning kirjutas 
sooja ja innustava soovituskirja juba enne, kui raamat päris valmis oli saanud. Ja 
muidugi täname ka kirjastajat, kes oli nõus võtma kirjastamisvaeva enda peale ole-
nemata sellest, et raamat saab olema internetis vabalitsentsi alusel tasuta kätte-
saadav.
Viimaks tahaksime tänada Hooandja portaali ning kõiki hooandjaid – tänu teile 
jõuab see raamat viimaks ka kaante vahele, oluline polnud meie jaoks mitte ainult 
teie rahaline toetus, vaid ka see, et uskusite projekti tähtsusesse ja toredusse.
12
Aitäh Sulle,
innustuseks
Janar Aadli, Virge Aas, Anneli Aasamets, Anne Aasamets, Kristi Aasma, Henrik 
Aavik, Ain Aaviksoo , Madis Aben, Priit Adler ,  Mikk Adler, Rait Agu, Kristjan Ait, 
Karen Alamets,  Kaur Alasoo, Jüri Aleksandrov,  Einar Aleksejev, Anne Almet,  Kris -
tel Altosaar, Peeter Anijalg, Tea Animägi, Lauri Anton, Triinu Arak, Indrek Ardel , 
Toomas Arike, Kristel  Arnik , Tiina Aro, Malle Aro, Jaan Aru, Lili Azin,  Märt  Bakhoff, 
Anzori Barkalaja,  Allan Berg,  Silver Bohl, Vivian Bohl, Karl-Erik Borkmann , Helena 
Braun , Indrek Bremraud, Heidi  Carolina, Reet Dalberg, Margus Eha, Andres Ehren-
preis , Seren Eilmann, Egon Elbre, Kadi Epler, Jürgen Esinurm, Erki Esken, Siim 
Esko , Hanno Evard, Carolyn Fischer, Dmitri  Gabbasov, Boriss Gubaidulin, Meelika 
Hainsoo ,  Aivar Halapuu, Martin Hallik , Erko Hansar, Harri Hanschmidt, Raivo Hein, 
Jelena Hein, Cattre Hein, Priit Heinsalu, Kaari Helstein, Reigo Hendrikson, Juuli Hiio, 
Carita Hommik, Hedy Hoomatalu, Mari Hunt, Jorma Härmsalu, Heiki Ilisson ,  Sten  
Ilmjärv, Maaja Ivask , Mari-Liis Jaansalu, Marianne Jaanson,  Veronika  Jaansoo, Leel 
Jaer-Eer, Jaan Jagomägi, Helena Jeret-Mäe, Priit Joonas , Indrek Juhani ,  Hannes  
Jukk,  Vahur Jõesalu, Martin Jõgeva, Liile Jõgi , Mairi Jõgi, Agur Jõgi, Jürgen Jänes , 
Tiia Järve, Marjaleena Jääger , Klen Jäärats, Priit Jürgenson , Kristjan Jürisalu, Indrek 
Kaarlõp, Kristo Kaarmann, Kadri Kaarna , Helle  Kaasik , Oliver Kadak , Jana Kadas-
tik,  Rando  Kalaus, Laura Kalda, Kärdi Kalda, Liis Kalda, Kristjan Kaldur,  Raul  Kalvo, 
Mihkel Kama, Laur Kanger, Marge Kanne, Karin Kapp,  Silva Kasela, Arvi Kass , Ind-
rek Kaus , Ilmar Kerm, Renee Kermon, Andres Kert , Kerttu Kibbermann, Källi Kiik , 
Martin Kiilo , Hele Kiisel, Jaak Kikas , Ülle Kikas, Krõõt Kilvet, Kirke Kisand, Andres 
Kitter , Kaiko Kivi, Kristi Klaasmägi, Kadri Klaos , Aivar Kodumäe, Raivo Kolde , Anas-
tassia Kolde, Junika Kolga, Riivo Kolka, Anti Konsap, Kaspar Korjus, Piret Korjus, 
Markko Krause, Karel Kravik, Toomas Krips, Ivo Krustok , Mari-Liis Kruup, Ivo Kruu-
samägi, Kaie Kubjas, Andres Kukk, Külli Kukk, Meelis Kull , Ivo Kund , Külli Kund, 
Mirjam Kundla, Tiia Kurel , Hanno Kuus, Anni Kuusik , Elis Kõivumägi, Sulev Kõks, 
Elvis Kõll , Mirko Känd,  Oskar Kärmas, Lauri Kärner , Emilia Käsper , Rainer Küngas, 
Kadri Kütt , Eve Laasi, Alvar Laigna, Anu Lajal, Rivo Laks , Margus Lamp, Johann 
Langemets,  Taavi Larionov , Rene Lasseron, Leho Laul, Henri Laupmaa, Teele Lem-
ber, Lennart Lennuk, Anna Leontjeva, Hillar Leoste, Delia Lepik, Kersti Leping,  
13
Tiit Lepp, Erik Liim, Aliis Liin , Oliver Liiv, Indrek Lillemägi, Martin Lillepuu, Peeter 
Lind,  Gerd Lindmaa, Mattias Linnap,  Taivo Lints, Piret Liv, Edvard Ljulko, Madis 
Lobjakas, Erkki  Lukk ,  Riina  Lulla, Taavi Lulla,  Tanel  Lumiste, Margit Luts, Eva-Mari 
Luts, Erki Lõhmus, Helli Lõoke, Priit Lätt, Mariann Maasi, Ethel Maasing, Tanel Mae, 
Martti Maimets, Ilja Maljutenko, Eva Maria, Kristi Markna, Mari Matjus, Külli Meier , 
Helo Meigas , Nele Meikar ,  Tauno Metsalu , Madis Metsis , Roman Migunov, Egert 
Milder, Epp  Mitt , Priit Mootse, Marianne Morgenroth, Alexey Morgunov, Marge 
Muna, Ülle Murumets, Pilleriin Mutso , Priit Muuga , Alar Mäerand, Ivo Mägi, Herki 
innustuseks
Mäll, Mart Mänd , Pille-Triin Männik , Ene-Ly Männing, Erki Männiste, Mihkel Mär-
tin, Madis Müller,  Aimar   Müürsepp , Aivar Naaber, Mattias Naan, Girti Naaris,  Kaisa  
Nei, Hendrik Nigul, Geily Niinemets, Rita Niineste, Margus Niitsoo, Jüri Nikolajev, 
Joosep Norma, Kaarel Nummert, Joonas Nurk, Anu Nutt , Rauno Nuut , Evert Nõlv , 
Alvar Nõmmik, Raimo Oinus, Agu Ojasoo , Tarvi Olbrei ,  Annika Oper , Kati Otepalu, 
Veljo Otsason, Peep Otstavel, Aita Ottson, Kaido Paabusk, Priit Paap , Markko Paas , 
Triin Paaver, Jaan Paaver, Maris  Paiste , Gea Pajula, Sander  Pajusalu , Silver  Pajuste , 
Aare   Palm , Priit Palta, Tauno Palts , Leopold Parts, Ülo Parve , Arie Passov, Jaan-
Eerik Past, Maarja Peegel , Brit Peensoo, Robert Peetsalu,  Tuuli Pentjärv, Aare Pere, 
Marie Pere, Hedi Peterson, Kristjan Peterson,  Janne  Pihelgas, Heino Pihlap, Krist-
jan Pihus , Morten Piibeleht , Tiiu Pirsko, Peep Pirso, Rainer Ploom , Triin Pomerants , 
Kristiina Praakli, Pille Pruulmann-Vengerfeldt, Vahur Puik, Taavi Pungas, Taivo 
Pungas, Merle Purre, Karl-Aksel Puulmann, Andres Puutsa, Paul- Kasper Põldmäe, 
Heija Pärtel, Priit Pääsukene, Rasmus Raag, Taavi Raidma,  Alari  Rajande,  Ramon  
Rantsus, Liisa Raud, Helen Raude, Evelyn Raudsepp, Eero Raun, Liisi Reemets, Lii 
Reikter, Tormi Reinson, Piia Reismann, Margus Rekor, Martti Remmelgas, Ago-Erik 
Riet, Pille Rinne, Marilin Ristikivi, Pille Roaldset, Lauri Rooden, Paul-Eerik Rummo, 
Renate  Rutiku , Siret Rutiku, Jüri Ruut, Toivo Räim , Mr S, Laur Saar, Elle Saar, Marit 
Saar, Indrek Saar, Lennart Saidla, Priit Salumaa, Silvi Salupere , Karl Saluveer , Vilja 
Saluveer,  Tõnu Samuel , Stella Sarapuu, Krista Sarv , Martin Sauk, Indrek Saul , Vlada 
Schotter, Annette Schultz, Toomas Schvak, Viire Sepp , Aneli Shmigelskite, Janno 
Siimar, Sirje Sild , Meelis- Mait Sildoja,  Kalli Sillamaa,  Ingvar Sinka,  Kairi Solmann, 
Mihkel Solvak, Siim Somelar,  Merlin Sooaru, Sigrid Sooman, Allan Soon, Silja Soon, 
Signe Susi, Erki Suurjaak,  Maret Suuroja,  Ivar  Zarans, Stanislav  Zavjalov,  Deivi  Taal, 
Annika Tallinn, Andres Talts,  Kerst Talving, Riivo Talviste, Hannes Tamjärv, Peeter 
Tamm, Piia Tamm, Harry  Tamm, Ronald  Tammepõld, Lauri Tammiste, Erik Tamre, 
Mare  Tannberg , Marju Tannberg, Sander Tanni,  Ludvig Tasane ,  Hardi Teder, Tauno 
Tedre, Krista Teearu, Mikk Teelahk, Mait Teesalu, Tõnis Telga, Hasso Tepper, Annika 
Teska, Taavi Tiirik, Annika Tina, Peeter Tinits,  Marek Tooming, Laur Tooming,  Siiri  
Toomiste, Tõnis Tootsen,  Konstantin Tretjakov, Renee Trisberg,  Elmo Trolla,  Katri  
Truu,  Andras Tsitskan, Lea Tui, Taavi Tuisk , Terje Tuisk,  Ando Tull, Tiina Turban,  
14
Toomas Tutt,  Reedik Tuuling, Eno Tõnisson , Villi Tõntson, Kai Tätte , Erle Tüür, Marju 
Unt, Anneli Unt,  Eero  Uustalu, Marko Vachtel, Avo Vahtramäe , Aigar Vaigu, Janar 
Vaik , Neeme Vaino, Triinu Vakmann, Kadri Vakmann, Maret Valdisoo, Uku Varb -
lane, Priit Vare, Signe Varendi, Tanel Vari, Madis Vasser, Kristjan Vassil, Kristjan 
Vedel, Marko  Veelma , Kadri  Veider , Martin Vels, Hanno Vene, Kadri  Veski , Kadri 
Vider, Mikk Viidebaum,  Gerli Viikmaa , Andres Vilgota, Katrin Vilimaa, Oliver Vilja-
maa, Rainer Villido, Jaak Vilo, Triin Viltrop, Kristi Vinter, Marie Vinter, Veiko Visna-
puu, Martin Vlassov, Jüri Vlassov, Katrin Vunk,  Helina  Võrno, Triin Võrno, Andres 
innustuseks
Võsa, Jorgan Võõrmann, Taimi Värva ja Kadri Õunap.
15
  ümber
  meie
tika
temaa
ma
16
  ümber
  meie
tika
temaa
ma
oSa 0
SiSSejuhatuS
17
  ümber
  meie
tika
temaa
ma
18
  ümber
  meie
tika
temaa
Kui inimesed ei usu, et matemaatika 
ma
on lihtne, siis vaid seetõttu, et nad ei 
mõista, kui keeruline on elu. 
John von Neumann
19
MateMaatika Meie üMber
  ümber
  meie
tika
Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, 
rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. 
temaa
ma
Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll 
peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused. Miks on 
seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü?
Tegemist ongi juba füüsikalise maiguga lõbusa matemaatilise küsimusega. Tema 
vastuski on segu füüsikalistest teadmistest ja matemaatikast: füüsikast teame, et 
seebikile sulgeb endasse võimalikult suure ruumala; matemaatika aga näitab, et 
sellise printsiibi korral peab mull olema täpselt kerakujuline. Raamatus puudutame 
ringi sarnast omadust – sama ümbermõõduga kujunditest piirab ta suurima pind-
ala [lk 97].
Matemaatikat võime näha ka kohviku teleekraanil, kus ülekantav jalgpallimäng 
on jõudnud penaltiseeriani. Kas mängijad valivad väravanurga, kuhu nad palli löö-
vad, mingi mustri järgi? Kas peaks valiku korral alustama penaltiseeriat lööjana või 
kaitsjana? Uurides möödunud penaltiseeriate tulemusi ja videokordusi, võime leida 
seaduspärasusi – sellega tegeleb matemaatiline statistika. Seaduspärasused kirjas, 
võime nende abil ehitada parima strateegia – sellele aitavad kaasa tõenäosuslikud 
kirjeldused [lk 392].
20
Kui lõpuks õnnestub ka kohvikust matemaatika juurest põgeneda, jääte tema küüsi 
jälle esimese lillepeenra kõrval. Matemaatiline kirjeldus aitab kirjeldada ja selgi-
tada erinevate mustrite teket ja seeläbi lillenuppude ilusaid kujusid .
  ümber
Näiteks teatud päevalillesortide õie paigutuses on 21  sinist ja 13 ookeanisinist spi-
raali. Need pole sugugi suvalised arvud – 21 ja 13 on Fibonacci arvud [lk 135], mis 
  meie
tulevad looduses tihti esile ning mille esinemist oskame ka selgitada.
tika
Viimaks, kui hakkate lille nime ja peret oma nutitelefoni või arvuti abil kindlaks 
tegema, küsite jälle abi matemaatikalt: otsingumootorite tööprintsiibid on olnud 
esmalt kirjas matemaatilises keeles ning arvutite sise-elu põhinebki ainult ühtedel, 
temaa
nullidel ning nendega arvutamisel.
ma
MateMaatika kui keel
Mõni ütlebki hoopis, et matemaatika ise on keel. Ja tõepoolest , matemaatika aitab 
ju kirjeldada maailma nagu iga teine keel ning lubab seeläbi omavahel suhelda ning 
informatsiooni vahetada. 
Siiski erineb matemaatika keel tavapärastest keeltest. Tavapärases keeles on meil 
peaaegu iga ettejuhtuva objekti tarvis üks sõna või sõnapaar. Tavapärased keeled 
hoomavad ja kirjeldavad peaaegu kõike, millega kokku puutume, ent teevad seda 
tihti mitmetähenduslikult. Näiteks pall võib tähendada põhimõtteliselt nii ümmar-
gust jalgpalli kui ka ovaalset Ameerika jalgpalli. Matemaatika otsustab kirjeldada 
21
vähem, aga see-eest täpsemalt – tihti vaid mõnda väikest detaili ühest või teisest 
objektist. Samas on need kirjeldused ise täpsed ja üheselt mõistetavad : palli kirjel-
daksime kera või ellipsoidina, olenevalt tema kujust, ning mõlemail neist mõiste-
  ümber
test on täpne ja ühene matemaatiline definitsioon [lk 44]. 
  meie
Kuna matemaatikud kasutavad eraldiseisvat sõnavara, tundub vahel, et matemaa -
tikud ei hooli üldse elust ning nende mõistetel ja käsitlusel kaob argipäevaga iga-
tika
sugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30]. 
Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus , et neist ükskord kasu ei 
temaa
võiks tulla. Mõnikord me ei oska lihtsalt  seoseid  ümbritsevaga näha ning nad või-
ma
vad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti 
pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma 
kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel – nende abil on hea kirja panna kõige väikse-
mate osakeste käitumist. Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstrakt -
sest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud 
koolimatemaatika on siiski igati eluline ning maailma kirjeldamisel ja mõistmisel 
asendamatu tööriist!
MateMaatika Muutub ja areneb
Matemaatikas ei ole aga ainult keel – matemaatika uurib, muudab ja arendab ise 
sedasama  keelt, milles ta end väljendab. Matemaatilised mõisted muutuvad ja 
nende muutumises peitub ka suur osa matemaatikast. Isegi see, kuidas mõeldakse 
matemaatiliselt arvudest, on muutunud – kunagi ammu tunti ainult arve 1, 2, 3, ...,  
siis leiti, et   on samuti üsna mõistlik arv, ja alles hiljuti lepiti, et ka   on arv või 
et lausa 
, mis reaalteljele ei mahu, sobib sama hästi üldmõiste  arv alla [lk 78].
Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on 
vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või tei-
selt poolt vaadatuna  on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, 
korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega  1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keeru -
lisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline –  
kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks 
nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab  pike -
malt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78].
22
MiS on MateMaatika?
Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öel-
  ümber
dud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud  ranged  reeglid nen-
dega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid 
  meie
alati väänata. Seda on eriti paslik teha siis, kui see toob kaasa rohkem seoseid, roh-
tika
kem lihtsust , rohkem ilu ja rohkem mõistmist.
Siiski võib lugejat kummitama jääda õigustatud küsimus: kas oleme ikka vastanud, 
temaa
mis on matemaatika? Ei ole. 
ma
Nagu on raske öelda, mis ikkagi on õnn või mis tarkus, on raske ka öelda, mis on 
matemaatika. Tegemist on lihtsalt nii mitmetahulise ja laia mõistega . Naljakal 
kombel iseloomustab matemaatikat ennast veel just see, et ta ise tegeleb objekti-
dega, mille korral saab küsimusele „mis?” väga täpselt vastata.
Lõppude lõpuks õpetab matemaatika meile, et meil on millegi defineerimisel ka 
parasjagu vabadust. Küllap pole sellest suurt kurja, kui igaühel on veidi omamoodi 
arusaam matemaatikast. Loodame, et see raamatuke aitab oma isiklikku  aru-
saama leida ka lugejal. 
23
MikS õppida MateMaatikat?
  ümber
  meie
tika
Head mängu iseloomustavad kolm omadust: ta on mitmekülgne, ta arendab ja ta 
võimaldab midagi õppida. Mõnikord räägitakse ka matemaatikast kui mängust. 
temaa
Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks – matemaatikast on palju enam kasu kui 
ma
mõnest mängust –, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust  igati olemas.
MateMaatika on MitMekülgne
Matemaatika peidab endas erinevaid ja tihti lausa vastandlikke külgi.
Matemaatikast võib leida täpsust, rangust ja kindlust . Niipea kui ühe matemaa-
tiliselt korrektse selgituse või seose leiad, jääbki see õigeks – mitte nii nagu tuba, 
mida koristad ja koristad, aga mis ikka jälle mustaks saab. Nii ehitab iga matemaa-
tika õppija oma   teadmistele kindlat vundamenti.
Üksluine vundamendi ladumine tüütaks aga kindlasti ära. Vaja on ka ootamatusi 
ja üllatusi. Matemaatikas selle koha pealt kokku ei hoita – näiteks  selgub , et lisaks 
meile juba tuntud kujunditele, nagu  ruudud , ringid , kolmnurgad, leidub ka kujun-
deid, mille ümbermõõt on lõpmatu , aga pindala lõplik [lk 377]. Või 
näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis 
on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal  päe -
val sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt 
sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus   või   ja nii 
edasi.
Paljudele meeldib aga hoopis loomingulisus, meeldib 
vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige ras-
kem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel 
jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel 
vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaati -
lise mõtte kindel vorm loomingulisust. Oluline osa  
24
matemaatikast on uute seoste, uute mõtteviiside, uute objektide loomine. Kas pole 
t?
vahva arusaam, et võime geomeetriast – kehade kujust ja kumerusest – mõelda 
sugugi mitte ainult kolmemõõtmeliselt, vaid kahekümnes, kolmekümnes või lausa 
tika
tuhandes mõõtmes ? Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha? 
Proovi ette kujutada! Meie näiteks ei oska...
temaa
  ma
MateMaatika arendab MõtleMiSt
  õppida
miks
Kui tahad saada juristiks , on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente 
üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste argumenti-
dest vigu leidma – olgu nad kui kavalad tahes – õpetab ilmselt matemaatika. Mate-
maatilise arutelu jaoks on alati tarvilik välja käia täpsed eeldused, täpne arutluskäik 
ning täpsed järeldused – hajusad argumendid läbi ei lähe. Oletame, et prokurör 
leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud var-
gused satuvad samale ajale. Kas seda võib kasutada tõendina tema kahjuks?  Näi-
teks on ju selge, et kui jäätiste läbimüük ja päikesepaiste korreleeruvad, ei järeldu 
sellest, et jäätise ostmine toob kaasa päikesepaiste. Mida me lisaks peaksime 
teadma?
Kui tahad saada arstiks, on matemaatika kohustuslik. Statistika aitab aru saada, 
millal  ravimifirmade  reklaamloosungitel  on  ka   tegelikku   sisu  [lk  398]  ning  mida 
ikkagi tähendab, kui üks või teine DNA-s olev geen suurendab haigestumise riski.
Kui tahad saada arhitektiks, ei saa samuti ümber matemaatikast. Matemaatika 
õpetab rangelt kirja panema proportsioone ja seoseid. Samasuguse rangusega töö-
tavad ka kõik arhitektuuriliste mudelite ehitamise programmid , mis tahavad vahel, 
et arhitekt oskaks kirjeldada oma jooni ka matemaatiliselt, võrranditega. Arhitekt 
peab oskama arvutada ruumide ja pindade suuruseid , peab teadma, kuidas leida 
ühe või teise tala kandevõimet.
Kui tahad saada luuletajaks, ei tule matemaatika jällegi kahjuks. Prantsuse luule-
taja Paul Valéry näiteks armastas matemaatikat – tema päevikud on täis matemaa-
tilisi ja eriti geomeetrilisi mõttekäike. Matemaatika olevat ta enda sõnul avaldanud 
suurt mõju ka ta luulele. Samuti on matemaatikuharidusega nii „ Alice Imedemaal” 
kui „ Karupoeg Puhhi” loojad .
Kindlasti pole loetletud elukutsed ainsad, kus matemaatikat vaja läheb või kus ta 
kasuks võiks tulla – väike maadlus matemaatikaga on hea treening kogu eluks.
25
t?
MateMaatika õpetab tundMa   
ja ennuStaMa MaailMa
tika
Kõige enam tuleb matemaatika ehk siiski kasuks kõigile, kes tahavad mõista või 
temaa
kontrollida end ümbritsevat elus ja eluta loodust. Ühe kahekümnenda sajandi suu-
  ma
rima füüsiku Richard Feynman’i sõnul on matemaatika valdamine  looduse kirjelda-
miseks lausa möödapääsmatu.
  õppida
miks
MateMaatika kirjeldab
Matemaatilise vedelikefüüsika abil saame selgitust jõgede müsteeriumile: miks nii 
sinikaelpardi, vanaema kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt?
Matemaatilise bioloogia abil leiame seoseid geenide ja haiguste vahel ning suu-
dame mõista südame ja veresoonkonna tööd. Näiteks matemaatilised kirjeldused 
südamerakkude kaltsiumiradadest  annavad lootust, et suudame paremini kontrol -
lida südame rütmihäireid.
Meil on igas keharakus paarkümmend tuhat geeni, mille avaldumine või mitteavaldu-
mine peaks määrama  kogu meie olemise ja tervise. Tahaksime kindlate geenide aval-
dumist või mitteavaldumist siduda teatud haigustega – nii võiksime leida viise nende 
haiguste ravimiseks. Selliste seoste leidmine on juba oma olemuselt matemaatiline 
töö. Töö tulemusi saab esitada aga ka kenade graafikutega,  millelt  on võimalik näha, 
mis geenide avaldumiskombinatsioonid võiksid peituda ühe või teise haiguse põh -
justajatena. Selliseid graafikuid kutsutakse „kuumuse graafikuteks“:
Sarnast graafikut kasutame ka tuletise peatüki lõpus [lk 338].
26
Matemaatikaga saame kirjeldada ning seeläbi mõista sotsiaalvõrgustike olemust ja 
t?
omadusi. Tihti kirjeldatakse selliseid võrgustikke maatriksite abil [lk 152]. Näiteks  
tuleb välja, et inimtutvuste võrgustik on väga spetsiifilise struktuuriga – nimelt on 
tika
ta üsna tihedalt seotud, iga inimene siin maailmas on igast teisest maksimaalselt 6 
sõprussuhte kaugusel. Mis on Sinu seos  Tonga kuningaga?
temaa
  ma
  õppida
miks
MateMaatika ehitab
Matemaatiline õpetus dünaamilistest protsessidest ja võnkumistest annab head 
nõu, kuidas ehitada sildu ning milliseid sildu ehitada ei tohi. Ehitada ei tohi näi-
teks sildu, mis võiksid tugeva tuule tagajärjel sattuda resonantsi ning hakata järjest 
vägevamalt võnkuma. Kuigi seda oleks saanud matemaatiliselt  ennustada, saime 
vastava õppetunni hoopis katselisel meetodil – 1940. aastal purunes Tacoma sild 
Ameerikas just nimelt tuule tekitatud resonantsvõnkumise tõttu.  
Ka arvuti on leiutis , mille võimalikkust taipasid ning mille kirjeldusteni jõudsid 
esmalt just matemaatikud. Nagu juba mainisime, mõistavad arvutid ainult mate-
maatikal põhinevat algoritmilist keelt ning kui tahame, et arvuti midagi meie eest 
ära teeks , peab talle seda ütlema täpselt ja konkreetselt – matemaatiliselt. Võib-
olla tasub ka märkimist, et üks internetiprotokollide leiutajatest – Ameerika arvuti-
teadlane  Vint  Cerf – sai oma bakalaureusekraadi samuti matemaatikast.
27
t?
MateMaatika ennuStab
tika
Katseliselt võime küll järele uurida, mis kunagi juhtus või mis juhtub hetkel, aga me 
ei saa kunagi katseliselt leida, mis juhtub tulevikus – tulevikku ju katsetada ei saa. 
temaa
Ent tihti peame just ennustama, mis tulevikus juhtuda võiks. 
  ma
Matemaatika abil ennustati, et leidub elektroni antiosake positron, ja nüüdseks 
oleme seda katseliselt näinud. Matemaatiliselt pakuti, et suurtel kiirustel enam 
Newtoni klassikaline mehaanika ei kehti, ning ega tõesti ei kehtigi. Ilma selle tead-
  õppida
miseta ei töötaks meie GPS- navigeerimine .
miks
Majandusteoreetikud üritavad aru saada, kuidas üks või teine inim- või inimväline 
faktor võiks tulevikus mõjutada majandusnäitajaid ; hasartmängurid peavad vähe-
malt üritama ennustada, mis kaardid on teistel peos või jagajal pakis;  insenerid  
peavad suutma ette kujutada ettekujutamatuid tegureid, mis nende uhket konst -
ruktsiooni ohustada või mõjutada saaksid – kõike seda saab teha ainult matemaa-
tiliselt. Nii ongi matemaatika ka meie silm tulevikku.
Muidugi ei ole kõik meie  ennustused  alati õiged, aga matemaatika südametunnis-
tus jääb puhtaks – eksimused on meie oma eeldustes ja mudelites ja neid eksimusi 
lubab matemaatika ise ka hinnata.
Tänapäeval on populaarseks saanud ka tõenäosuslikud mudelid, kus me tunnis-
tame , et täpselt ennustada ei olegi võimalik – oskame ainult ennustada, kui tihti 
üks või teine sündmus võiks juhtuda. Näiteks kui aus sõber viskab ausat münti , 
võiksime ennustada, et umbes pooltel juhtudel jääb ülespoole kiri [lk 392].
MateMaatika ei ole valMiS
Nagu nägime, võimaldab matemaatika päris paljut kirjeldada, kontrollida, ennus-
tada. Siiski on ka üsna palju seda, mida me veel ei mõista ning mida matemaatika 
ei hooma. 
Näiteks on tänapäeva matemaatika endiselt hädas keeruliste ja paljuosaliste süs-
teemide ning protsesside – nagu näiteks ühe keharaku töö või meie aju töö või maa-
ilmamajanduse – kirjeldamisega. Neist arusaamine eeldab suurt katselist tööd, aga 
küllap ka uut ja põnevat matemaatilist raamistikku. 
28
Ka matemaatikas endas on veel palju lahendamata küsimusi ja mõistatusi. Paljusid 
t?
neist on keeruline sõnastada, aga nii mõnedki näivad esmapilgul väga lihtsad. Näi-
teks ei tea me isegi, kui palju leidub algarve (arvud, mis jaguvad ainult iseenda ja 
tika
ühega), mille vahe on kaks. Arvupaarid 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31  sobiksid  ja usutakse, 
et sellised paarid ei saa kunagi otsa, ent tõestada seda 2013. aastaks keegi veel ei 
temaa
oska. Või siis ei oska me öelda, kas meie praegune kirjeldus vedelike  liikumisest –  
  ma
niinimetatud Navier  Stokes’i võrrand, on üldsegi matemaatiliselt sobilik. Me ei tea, 
kas võrrandile leidub alati sobilik lahend .
  õppida
miks
29
?
  raske
kaS MateMaatika on raSke?
  on
tika
Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see 
temaa
raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, 
  ma
aastaarve, rodude viisi riikide pealinnu või hoopiski kirjeldada elusat rakku  bioloo -
kas
giatunnis. 
Matemaatikat teeb ilmselt juba keeruliseks levinud kujutlus , et ühed oskavad mate-
maatikat ja teised ei oska. Pigem on õige, et ühtedele meeldib matemaatika roh-
kem ja teistele vähem, just nii nagu on ka kirjanduse, lauatennise või koorilauluga. 
Ja muidugi, kellele meeldib matemaatika rohkem, tegeleb sellega samuti rohkem 
ning on lõpuks selles ka edukam. 
Aga see, mis meile meeldib, võib muutuda üleöö (või pigem üle aastate) ja kui üks-
kord hommikuvalguses leiate, et matemaatika teile siiski mokkamööda võiks olla, 
pole mõtet karta – tegelikult on matemaatika samamoodi õpitav nagu kõik muu.
Siiski on matemaatikas ka mõned isemoodi raskused ning neist raskustest on kasu-
lik aru saada.
pähe õppida ei õnneStu
Üks matemaatika eripära ja raskus peitubki ehk selles, et pähe õppida õnnestub 
vähe ja sellest ei ole tihti otsest kasu. Kui õpite pähe ühe võrrandi lahendi, ei aita 
see lahendada mõnda teist võrrandit; kui õpite pähe ringi pindala valemi, ei aita 
see leida kolmnurga pindala. Ja ometigi on matemaatikas erinevaid küsimusi, mida 
esitada saab, teiste ainetega võrreldes vahest kõige rohkemgi.
Nii on matemaatika õppimiseks tarvis mingit muud strateegiat. Alustuseks on vaja 
aru saada matemaatiliste objektide ning arutelude vahelistest seostest ja selgeks 
õppida teatud üldiseid meetodeid , mis ütlevad, kuidas leida pindala või lahendada 
võrrandeid. Need meetodid on vahel täitsa kokaraamatu moodi, kuid mida põne-
vamaks lähevad ülesanded, seda enam tuleb hakata retsepte kasutamise käigus 
muutma – lisada juurde soola, pipart või tihedamini uusi matemaatilisi mõtteid.
30
Sellist improviseerimist saab aga õppida ainult katsetamisega ja sellest pole sugugi 
?
hullu , kui mõni lahendus alguses vale rada mööda otsustab minna, olulisem on jul-
gus neid proovida.
  raske
  on
tika
MateMaatikal on oMa keel
temaa
Teisest matemaatika raskusest oleme juba juttu teinud ja teeme järgmises osas 
  ma
veel [lk 42]. See peitub matemaatikute kirjasõnas, asjaolus, et matemaatiline 
kas
tähistus ja keel erineb teatud määral igapäeva keelest. See lihtsustatud keel teeb 
matemaatikat lihtsamaks ja võimaldab matemaatikale tema täpsust ja üheselt 
mõistetavust. 
Lisaks on osa matemaatika enda ilust peidus just selles, et tema tõestused ja tähis-
tused on võimalik kirja panna ümbritsevast sõltumatult, lakooniliselt ja puhtalt. 
Ainult nii saavutavad matemaatilised argumendid oma võime kirjeldada ühtaegu 
nii erinevaid ja mitmekoelisi olukordi :  -dest ja  -test koosnev võrrand räägib teile 
tegelikult kuussada muinaslugu, need peab aga igaüks ise juurde mõtlema.
Aju vajab aga matemaatilise stiili, matemaatiliste sümbolite ja keelega pisut harju-
mist.
Nii kaua kui tuleb kogu aeg järele vaadata, mida ikkagi tähendab võrrandis istuv  
, sümbol > või mis täpselt on tuletis, toimib matemaatika justkui sõnaraamatu 
abil. Kes sõnaraamatu abil välisriigis vestelda on proovinud, teab, kui vaevaliseks 
see osutub – tervikliku teksti loomiseks tuleb sõnu juba unepealt vallata , muidu on 
lause algus lause lõpuks ununenud ja mõtet väljendada ei suudagi.
31
?
MateMaatikat on keeruline õpetada
  raske
Kolmas matemaatika raskus peitub ilmselt selles, et teda on keeruline õpetada. 
  on
Ühelt poolt tahaksid õpetajad alati tundi kindlasti põnevaks teha – näidata ilusaid 
pilte ja seostuvaid katseid. Sellega riskib ta aga, et lihtsad ja selged matemaatilised 
tika
argumendid jäävad ilusate  juttude ning kaunistuste varju. Nii alustatakse tihti ran-
gelt matemaatilisest sisust ja varju jäävad hoopis seosed eluga.
temaa
Muidugi, ideaalis toimuks õppetöö risti-rästi, vahele elulisi lugusid, vahele matemaa-
  ma
tilist selgust, ent see vajab väga palju aega. Kooliprogrammis on aga matemaatika 
kas
jaoks aega aina vähem, samas teadmisi, mida edasi tahetakse anda, aina enam. 
Nii antaksegi tihti edasi matemaatilised teadmised nende kõige kompaktsemas 
vormis  –  objektide  nimed,   definitsioonid ,  arvutusvõtted,  ilma  pikemalt  selgita-
mata, kust ikka tulevad need nimed, definitsioonid, meetodid. Võrrandite, teoree-
mide tagamaad jäävad tumedaks ning nad ei seostu muu kui tahvliga.  Mõnele ei 
ole see probleem ning piisabki ainult matemaatilisest sisust, mõnele teisele on aga 
eluline kontekst ja mõttelugu hädavajalik. Ilmselt tuleb siis selle jaoks aega leida ka 
väljaspool kooli ning ehk on abiks ka käesolev raamat.
MateMaatika vajab aega
Kuidas neist raskustest üle saada? Tuleb julge olla ja tuleb endale ning matemaa-
tikale aega anda. Matemaatika tahab, et temaga tegeletaks iga päev natukene. 
Tuleb mängida matemaatikaga ja seeläbi harjuda tema stiili ning keelega. Tuleb 
lahendada õpetaja antud ülesandeid ja endale ise ülesandeid juurde mõtelda. Tuleb 
lahendada ülesandeid, mida  oskate , ja proovida neid, mida ei oska. Tuleb otsida 
seoseid ja seoste vahelisi seoseid. Tuleb pabereid sodida ja tindiga mitte kokku 
hoida. Ja usu või mitte – seda kõike on võimalik teha lõbuga!
Üks on kindel, kui Sulle endale meeldib matemaatika ning temaga tegeled, meel-
did varsti ka ise matemaatikale. Igal juhul ei pea matemaatika nautimiseks kind-
lasti saama kohe matemaatikuks. Nii nagu juba lihtsad, aga tunnetatud kitarri- 
akordid teevad lõkke ääres kõrvale head, võiks mõttemustritele head teha ka 
natuke lihtsat, aga ilusat matemaatikat.
32
?
  raske
  on
tika
temaa
  ma
kas
33
innuStuSekS
innustuseks
Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel  
palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned 
isiklikud mõtisklused matemaatikast ja loodame, et nad mõjuvad omakorda innus-
tavalt ka lugejale.
MateMaatika aitab ajuSt aru Saada
Ajuprotsessid on aluseks kõigele, mis me tahame, mõtleme, tunneme . Aju määrab selle, 
kes ja millised me oleme. Aga praeguseni on üsna mõistatuslik, kuidas kõik need vaim-
sed protsessid ajus tekivad. Seega on aju tähtis uurimisobjekt , kui tahame mõista iseen-
nast .  Ajust arusaamiseks on tarvis matemaatikat. Ajuandmete uurimiseks kasutatakse 
matemaatilisi meetodeid ja nende andmete statistiline analüüs põhineb matemaatilis-
tel alustõdedel. Kuid mis peamine, ajust arusaamiseks on tarvis teooriat aju tööprintsii-
pide kohta, mis suudaks selgitada ja ennustada meie vaimseid protsesse. Sellised teoo-
riad põhinevad matemaatikal. Seega pole käesolev raamat, „Matemaatika õhtuõpik”, 
sugugi mitte ainult investeering kõrgemasse eksamihindesse või paremasse arusaami-
sesse matemaatikast, vaid loob aluse ka paljude teiste esialgu näiliselt matemaatikast 
kaugete nähtuste paremaks mõistmiseks.
Jaan Aru
Frankfurdi Max Plancki Aju-uuringute Instituudi doktorant
univerSuM on kirjutatud MateMaatika keeleS
Füüsikuna on mul äärmiselt hea meel sellise raamatu nagu „Matemaatika õhtuõpik” 
ilmumisest . Kahtlemata on ka „puhtal matemaatikal” omad võlud ja neistki võib 
raamatu huviline lugeja aimu saada, aga matemaatika tähtsus on palju laiem. See 
on keel, milles on kirja pandud kaasaegne loodusteadus , füüsika sealhulgas ja eriti. 
Pole imestada, et üks moodsa füüsika alusepanijatest – Sir Isaac   Newton – oli ühtlasi 
34
ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse looja, viimaseta muutuksid Newtoni kuulsad 
seadused rakendusväärtuseta metafoorideks. Matemaatilised mudelid ja meetodid 
leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka  
sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus - ja ennustusjõu. 
Galileo Galilei on ligi nelisada aastat tagasi kirjutanud: „Filosoofia on kirja pandud 
suurde raamatusse, mis pidevalt seisab avatuna me silme ees (ma pean silmas Univer-
sumit), aga me ei saa seda mõista enne, kui oleme selgeks õppinud keele ja tunneme 
tähestikku, mille abil see kirjutatud on. See on kirjutatud matemaatika keeles, mille 
innustuseks
tähtedeks  on kolmnurgad, ringid ja teised geomeetrilised kujundid, ilma milleta on 
inimlikult võimatu mõista kirjapandust ainustki sõna, ilma milleta ekseldakse pime-
das labürindis.” (Il Saggiatore, 1623) Head lugema õppimist! Head lugemist! Ja ei pea 
üks õpik olema ju igav, tüütu ja raskesti mõistetav – „Matemaatika õhtuõpik” pole 
seda kindlasti mitte.
Jaak Kikas
Tartu Ülikooli Füüsika Instituudi direktor
MateMaatika on teadMiStepõhiSe ühiSkonna aluS
Matemaatika on mind võlunud alates lapsepõlvest.  Ehkki kooliajal oli tegemist ühe 
minu lemmikõppeainega, on matemaatika saatnud mind läbi elu, olles olnud kaasla-
seks nii ülikooliõpingutes kui igapäevases tööelus.
Matemaatika on fundamentaalne ja väga põnev , mille olulisust hariduses ning tead-
mistes on raske üle hinnata. Võimaldades kirjeldada nähtusi universaalses ja kõigile 
üheselt mõistetavas keeles, kuulub matemaatiline kirjaoskus hea hariduse juurde ning 
on targa inimese repertuaari lahutamatu osa.
Matemaatika on aluseks ühiskonnale tervikuna , nii kasutavad seda igapäevaselt inse-
nerid, õpetajad, ärimehed, arstid jne. Ilma matemaatikaalaste oskusteta ei ole võima-
lik oma teadmisi süstematiseerida ega neid reeglipäraselt edendada.
Numbrimaailmas orienteerumine on sedavõrd oluline, et vead matemaatilises mõt-
lemises võivad põhjustada korvamatut kahju. Selle väite illustreerimiseks võib tuua 
hiljutised sündmused seoses meie suusasangarile esitatud väidetava dopingu- 
süüdistusega. Ehkki dopingutesti viga on sisuliselt biokeemiline, oli selle kirjelda-
mine ja üheselt arusaadavaks tegemine võimalik vaid läbi matemaatilise kirjaos-
kuse. Inimkonna ajaloos on teisigi selliseid näiteid, kus puudulikud teadmised mate-
maatikast põhjustavad kas arusaamatusi, eksimusi või otsest kahju. Samas, head  
35
matemaatilised oskused annavad informatsiooni, mida saab kasutada konkurentsi- 
eelise tekitamiseks.
Võib väita, et teadmistepõhise ühiskonna vundamendiks on matemaatikat hästi 
tundvad liikmed. Seega, eeskujulik matemaatiline kirjaoskus on väravaks arenenud 
ühiskonda.
On tervitatav, et traditsiooniliste matemaatikaõpikute kõrvale on tulnud selgelt eris -
tuva lähenemisega raamat, tuues numbrite ilu- ja võlumaailma huvilistele senisest  
innustuseks
uudsema nurga all lähemale.
Sulev Kõks
Tartu Ülikooli arstiteaduskonna  
füsioloogilise genoomika professor ja füsioloogia vanemteadur
MateMaatika ei ole ainult krõnkSud
Paljude jaoks paistab matemaatika olevat sünonüümne nende krõnksude ja imelike 
tähtedega, mida põhikooli ja keskkooli matemaatikatundides pähe õppima sunniti. 
Sellest on aga tohutult kahju, sest tegeliku matemaatikaga on sel umbes sama vähe 
pistmist kui hiina hieroglüüfidel neis kirjutatud teoste sisuga.
On selge, et kirjatüki täiel määral nautimiseks on vaja tunda selle kirjutamise keelt 
kõigis selle nüanssides. Sama selge on aga ka see, et suurem osa teose sisulisest ja 
kirjanduslikust väärtusest on võimalik edasi anda läbi selle osava tõlkimise.
Koolimatemaatika keskendub paraku aga just selle keele õpetamisele ja nii jääbki 
sisuline tähendus õpilaste jaoks tihti vormi poolt varjatuks. Erinevalt tavalistest õpi-
kutest, mis sarnanevad sisult tihti just klassikaliste keeleõpikutega, on selle raamatu 
eesmärgiks olla pigem „tõlge”, tutvustades matemaatilise mõtteloo arengut ja selle 
põhiideid, näidates keelt selle juurde üksnes möödaminnes.
Loodan, et selle tõlke kaudu  avaneb  ka lugejale pilt sellesse lummavasse ideede maa-
ilma, mida mina ning raamatu autorid „päris” matemaatika nime all armastavad. Kui 
veab, annab see teos ehk mõnele motivatsiooni ka keeleõpinguid jätkata ning lõpuks 
neid teoseid ka originaalis lugema õppida.
Margus Niitsoo
Tartu Ülikooli arvutiteaduse õppejõud
36
MateMaatiline intuitSioon aitab rakendajat
Mind on  vist alati matemaatikast endast enam paelunud, kuidas see on tegelikult 
kasulik hoopis teistele valdkondadele. Oma eriala valides tahtsin aru saada, kuidas 
ikkagi arvuteid õpetatakse midagi sellist tegema, mida inimene soovib saavutada 
arvuti abil. Selle juures oli vaja aru saada ka arvuti enda töö põhimõtetest ehk näiteks 
lihtsast matemaatilisest loogikast. Õnneks ma ei kartnud matemaatikat ja mõtlesin, 
et kui teised on hakkama saanud, siis pean ka mina saama.
innustuseks
Hiljem, otsides omakorda IT-le rakendusi, jäi ette bioloogia, kus oli hakatud tootma 
tolle aja mõttes suuri andmestikke. Siis sai matemaatikast uuesti sõber, mis aitas 
lahendada uusi probleeme. Ja mälusoppidest tuli vahel võtta välja oskusi, mida kunagi 
gümnaasiumis või ülikoolis omandasime.
Ma arvan, et matemaatikal ongi kaks selget suunda – üks, mis kompab matemaa-
tika enda piire ja teine, mis rakenduste kaudu võtab matemaatikat kasutusse. Õppi-
des võib tunduda, et võetakse arvesse vaid matemaatika enda huve. Kuid tegelikult 
aitab matemaatiline intuitsioon kõige rohkem just rakendajaid, kõikide teiste erialade 
esindajaid. Loodan, et õpik aitab just neid teisi leidma oma sinasõprust matemaatika 
õppimisega ning olukordade jaoks, kus matemaatika nõuab tavalisest veidi rohkem 
tähelepanu.
Jaak Vilo
Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituudi juhataja
37
 
  keel
tikute
temaa
ma
38
 
  keel
tikute
temaa
ma
osa 1
keel ja 
põhimõisted
39
 
  keel
tikute
temaa
ma
40
 
  keel
tikute
temaa
ma
Vabastades aju tarbetust tööst,  
võimaldab hea tähistus keskenduda  
keerulisematele probleemidele 
ning suurendab seeläbi kogu inimkonna 
vaimset võimekust .
Alfred   North Whitehead
41
 
matemaatikute keel ja žanrid
  keel
tikute
Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju 
temaa
sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti. 
ma
Näiteks võib matemaatika õpikus kenasti ette tulla lause: „Võrrandi 
 = 0 
lahendid on 
 ning 
” ning selle otsa on joonistatud veel ka järgmine 
kõverik:
Kui nüüd ei tea, mida tähendab võrrand, mis asjaloom on see  , mida peetakse 
silmas lahendi all ning mida paganat on sellel imelikul joonel kõige sellega pistmist, 
võibki kõik jätta üsna maavälise mulje ning südamerahuks tuleb õpik hoopis kinni 
panna juba enne, kui sisu kallale on jõutud.
oskussõnad
Nii hull lugu matemaatikaga siiski pole. Tõesti, matemaatikal on oma oskussõnad 
nagu näiteks võrrand, lahend, funktsioon või muutuja, mis  tähistavad  teatud mate-
maatilisi objekte või teisendusi. Need objektid ei eksisteeri küll alati reaalsel füüsi-
kalisel kujul, aga siiski saab neist tihti üsna loomulikult mõelda.
42
Näiteks kui õpetaja räägib tasandist , võime mõelda lihtsalt paberilehele, lauapin-
nale või tasasele maastikule, olgugi et matemaatikas on tasandil täpsem tähen-
 
dus. Samuti on ju raske öelda, mis on arv kolm füüsikalises maailmas, aga temast 
mõtelda pole raske – kutsu oma kolm sõpra külla !
  keel
Tundub, et oluline ongi tunda nii matemaatiliste mõistete rangeid kirjeldusi kui 
lihtsaid viise ning intuitsiooni nendest mõtlemiseks. Käesolevas osas tutvustame 
tikute
matemaatika alusmõisteid – muutujat, võrdust, hulka ja funktsiooni. Nendest aru-
saamine ning nendega harjumine on edaspidi suureks abiks. 
temaa
ma
tähed ja sümbolid
Lisaks oskussõnadele leiab matemaatikast palju tähti nagu  ,  ,   või n ning palju 
sümboleid nagu näiteks =, 0):
        f = f * n
        n = n – 1
    return f
Jooksutades seda funktsiooni käsuga factorial(5), saaksime  vastuseks järg -
mise tulemuse: 120.
Arvutite keelest arusaamiseks ning neile käskluste jagamiseks peab teadma-
tundma sealset sõnavara. 
Antud  juhul  defineerime,  mida  teeb  funktsioon  nimega  factorial ning seejärel 
anname talle käsu jooksutada seda funktsiooni sisendiga 5. Ideeliselt peaks see 
funktsioon seejärel siis  lihtsalt korrutama kokku arvud 5, 4, 3, 2, 1.
Selle funktsiooni kirjapanek on järgmine.
72
Funktsiooni esimesel  real   antakse muutujale   väärtus 1. Siia hakkamegi salves-
tama faktoriaali väärtust. Järgmise käsuga palume arvutil jooksutada järgmist 
kahte rida nii kaua, kuni muutuja   väärtus on suurem 0-st.
Esmalt korrutatakse   läbi muutuja   väärtusega.
Teisalt vähendatakse muutuja   väärtust ühe võrra. 
See tähendab, et korrutame  -i läbi alguses   enda väärtusega, siis 
-ga, siis 
-ga täpselt nii kaua, kuni oleme läbi korrutanud ka ühega – väiksemaks me 
funktsioon
muutujal   tänu kolmandale koodireale enam minna ei lase.
Lõpuks ütleb viimane rida lihtsalt, et funktsioon peaks leitud väärtuse küsijale ka 
väljastama .
Nii mõnigi kord tulevad programmeerimiskeeltes esile ka funktsioonid, mis ei 
annagi väljundit, vaid lihtsalt teevad mõned kerged muudatused. Neist oleks võib-
olla segaduse vältimiseks siis lihtsam mõelda kui „protseduuridest“. 
73
gad
arvuhul
74
gad
arvuhul
osa 2
arvud
75
gad
arvuhul
76
gad
arvuhul
Jumal lõi naturaalarvud, 
ülejäänu on inimese kätetöö.
Leopold Kronecker
77
arvuhulgad
gad
arvuhul
Naturaalarvud
Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid 
kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse  -iga.
Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad matemaatilised objektid, lihtsad, 
aga tähtsad. Kuna nad tulevad esile kohe, kui loendama hakkame, ei saa nendest 
maailma kirjeldamisel üle ega ümber. 
Oma loomulikkuse tõttu on nad ka matemaatikas üheks keskseks objektiks ja 
nende  uurimine  pole veel sugugi päris lõppenud! 
Naturaalarvude matemaatiliNe kirjeldamiNe
Naturaalarvud võib üles ehitada ühe arvu – arvu 1 – ning ühe tehte  – arvu 1  liitmise  
baasil. Iga naturaalarvu  võime leida, kui ühte piisava arvu kordi iseendaga kokku 
liidame. Arvu 10 saamiseks peame näiteks arvule 1 veel 9 arvu 1 juurde liitma .
Nii leidub igast naturaalarvust veel ühe võrra suurem naturaalarv . Näiteks isegi kui 
meil on juba 1000 sõpra, võiksime leida veel ühe sõbraliku selli  Tiibeti mägedest 
ning meil olekski juba   1001  sõpra – ka teda peame oskama arvestada! 
Seega kõige suuremat naturaalarvu ei leidugi. See arusaam võib alguses tunduda 
natuke üllatav, aga teiselt poolt: kas on mingi põhjus, miks peaks leiduma kõige 
suurem arv? Nii  kohtame  ka esimest korda lõpmatust – naturaalarve peab kokku 
olema lõpmatult palju.
78
Naturaalarve võib kirjeldada ja defineerida ka mitmel muul moel. Näiteks  võite  hul-
kade  peatükist lugeda, kuidas naturaalarve kirjeldada ainuüksi hulkade abil  [lk 61].
Tasub ilmselt veel ära märkida, et mõnikord loetakse ka 0 naturaalarvude hulka, 
tähistamaks olukorda, kus veel midagi loendatud pole. See on aga rohkem maitse 
gad
küsimus, nii et lugeja võib täiesti vabalt ise otsustada, kas 0 on naturaalarv või pole. 
Meie positsioon on aga selge: alustasime ju raamatus esinevate osade loendamist 
just nullist.
arvuhul
Naturaalarvude tähistamiNe
Naturaalarvud on väga loomulikud , nad on erinevates kultuuriruumides sõltuma-
tult kasutusele võetud ja välja on arenenud erinevad tähistused. Järgnevalt tutvus-
tame nendest ka mõnda levinumat.
Kümnendsüsteem
Meile on kombeks naturaalarve tähistada kümne numbri abil  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 ja 9. 
Kuna kasutame täpselt kümmet erinevat sümbolit, siis sellist tähistust nimetatak-
segi kümnendsüsteemiks. Kümnendsüsteemis ehitame kõik arvud üles ühelistest, 
kümnelistest, sajalistest (kümme korda kümme), tuhandelistest (kümme korda 
kümme korda kümme)  ja nii edasi – kümnete meri.
Näiteks arv 128 tähendab lahtikirjutatult  
  
 
ning arv 9301 tähendab 
  
 
79
Arvu astme peatükis [lk 110] näeme, et võime ühelised, kümnelised , sajalised ja 
nii edasi kõik kirjutada arvu kümme astmete abil – lisame 10 ülemisse paremasse 
nurka tema astendaja, mis ütleb, mitu korda arvu 10 kokku korrutame:  
gad
Nii võime arvu 9301 kirjutada veelgi kompaktsemalt: 
arvuhul
Kahendsüsteem
Arvutitekogus toimub arvutamine aga kahendsüsteemis – kõik arvud kirjutatakse  
kahe numbri 0 ja 1 abil ja arve loendatakse mitte kümneliste, vaid kaheliste kaupa. 
Näiteks arvu 3 kuju kahendsüsteemis on 11, kuna 
, arv  5 on kujus 
101 kuna 
 ning arv 8 on kujus 1000, kuna 
.  
Sarnaselt kümnendsüsteemiga võime seega iga naturaalarvu kirjutada üldkujus 
arvu 2 astmete abil. 
Enne juba käsitletud arvu 9301 võime seega kahendsüsteemis kirja panna pisut 
pikemalt:
Teisisõnu  on kahendsüsteemis arvu 9301 kujuks 10010001010101.
Kindlasti tuleks küsida: miks ikkagi arvutites kõik kahendsüsteemis toimub?  
Põhjus on väga proosaline – kahendsüsteemis on meil vähim erinevaid sümboleid, 
mida kuidagi masinavärgis tähistama peaks. Kõige lihtsam ongi arvutit üles ehi-
tada „lülititest”, millel on täpselt kaks olekut – kas sees või väljas. Need vastavad 
siis väärtustele  1 ja 0. Nii on kahendsüsteemis lihtsam arve salvestada ja lihtsam ka 
tehteid teha. Mõelge ise, on ju endalgi kahte ühte ja nulli omavahel lihtsam kokku 
liita kui näiteks seitset ja viit . 
Ainus raskus võrreldes kümnendsüsteemiga on arvude lugemine – arvud lähevad  
kiiresti maru pikaks. Meil igapäevaelus oleks see probleem, aga arvuti võib ju ekraa-
nile meie jaoks midagi mugavamat kuvada.
Rooma numbrid
Roomlased vedasid aga naturaalarvude tähistamiseks hoopis kummalisi kriipse: 
näiteks meie ühte tähistati kriipsuga I, meie 12 kriipsudega XII ja meie 49 kriipsu-
dega IL.
80
Proovige leida reegleid Rooma numbrite liitmiseks või veel hullem, korrutamiseks. 
Näiteks liidaksid roomlased arve 69 ja 145 kokku järgnevalt.
LXIX + CXLV
1.   Tuleb asendada kõik „lahutavad liikmed”:
gad
LXVIIII + CXXXXV
2.   Kokku panna:
arvuhul
 LXVIIIICXXXXV
3.   Sorteerida:
CLXXXXXVVIIII
4.   Kombineerida gruppidesse :
CCXIIII
5.   Asendada lahutavad liikmed tagasi:
CCXIV
Veendute ilmselt üsna kiiresti, et sellise arvusüsteemiga on peaaegu võimatu arit-
meetikat teha. Ning tõepoolest, roomlased oma matemaatilistelt teadmistelt või 
tegudelt ajaloos just silma ei paista. 
Teisendamine
Oletame, et teie mitte eriti hea sõber on otsustanud põikpäiselt kasutada kahend -
süsteemi ja väidab teile, et olete talle võlgu täpselt 
 eurot. Loetuna küm-
nendsüsteemis oleks see päris märkimisväärne summa, nii et ilmselt tasub üritada 
arv kahendsüsteemist kümnendsüsteemi üle viia.  Kuidas seda teha? 
81
Kõik on tegelikult juba eelnevalt välja toodud. Kirjutame  kõigepealt välja, mida 
 kahendsüsteemis tähendab: 
. Edasi kirjutame liht-
salt kõik toodud kahe  astmed kümnendesitluses: 
, 
, 
  Lõpetu-
seks peame saadud arvud (nüüd kümnendesitluses) oma tavaliste liitmisnippidega 
gad
kokku liitma: saame vastuseks 42. 
arvuhul
täisarvud
Naturaalarvud on juba väga toredad, aga nendega tuleb esile ka mõningaid prob -
leeme. 
Naturaalarve saame omavahel liita ja summaks on alati naturaalarv: näiteks 
 või 
. Liitmisest võib siin väga vabalt mõelda lihtsalt loenda-
mise raames: keegi annab teie kolmele õunale neli lisaks või näiteks lisaks teile ja 
kassapidajale siseneb äkiliselt poodi veel 10 tantsulist. 
Tore oleks, kui saaksime ka kuidagi kirjeldada olukorda, kus neli õuna jälle tagasi 
küsitakse või kus 10 tantsulist jälle poest välja kepslevad. Ütlete kohe, et selleks on 
muidugi lahutamine:  
 või 
 
Tekib aga probleem: kui mul on ainult 3 õuna, ei saa mult nelja õuna ära võtta ja 
kui poes on ainult 2 inimest, ei saa sealt 10 ära minna. Seega osasid arve justkui ei 
saakski omavahel lahutada.
Veider! Mis on need arvud, mis võiksid tähistada midagi, mis on vähem kui mitte 
midagi?
82
Ja kuigi pakuti juba varakult välja, et tegelikult võiksid eksisteerida ka arvud 
 
ning 
, ei tahetud nendega pikka aega leppida. Neid peeti ebaloomulikeks. 
Mida peaks tähendama see  , mida mõni pakkus 
 vastuseks, või  , mida 
pakuti 
 vastuseks? Kui miski eksisteerib, on teda ju vähemalt üks? Kuidas 
saab olemas olla mitte millestki veel väiksem kogus?
gad
Tänapäeval kahjuks teab mõni seda liigagi hästi, mida negatiivsed arvud tähistada 
võivad – näiteks võlga! Katsetage internetis oma pangakontoga, ta võib kergesti 
sattuda ka miinusesse , kui raha liiga agarasti kulutada. Arvust   võibki näiteks 
arvuhul
mõelda kui õunavõlast vanemale  vennale ...
Sellega, et negatiivsed arvud on täiesti mõistlikud ja isegi loomulikud, lepiti aga 
alles 19. sajandil. Enne seda kutsuti neid küll absurdseteks, küll räpasteks ja tihti 
keelduti nendega igasugusest läbikäimisest. Tegelikult on ju negatiivsete arvudega 
siiski toredam ja ilusamgi – nende abil ei jää arvsirge  poolikuks, vaid on kenasti 
alguse ja lõputa.
Arvude liitmisest ja lahutamisest võimegi mõelda kui arvsirgel paremale või vase-
male poole liikumisest – liites neli, liigume neli sammu paremale; lahutades seitse , 
seitse sammu vasemale. Kõiki täisarve võime omavahel liita ja lahutada ning alati 
jälle vastuseks täisarvu saada.
Täisarvude hulka tähistatakse  -iga.
ratsioNaalarvud
Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu!  Tõepoolest, lihtne on võrdselt jagada 
kuus õuna kolme sõbra vahel – annad kõigile kaks. Ent kuidas võrdselt jagada üht 
suurt arbuusi kolme sõbra vahel? 
83
gad
arvuhul
Meil on muidugi vastus olemas, igale sõbrale tuleb anda kolmandik arbuusist. Prob-
leem on aga, et kolmandik ei ole  täisarv – peame  jagamise  jaoks arve veel mängu 
juurde  tooma . Piisab sellest, kui võtame appi kõik arvud, mis saame täisarvude 
jagamisel nullist erinevate täisarvudega.
Selliseid arve nimetatakse ratsionaalarvudeks – nad on kujus  , kus   ja   on täis- 
arvud. Ratsionaalarvud on näiteks 
, aga ka kõik täisarvud, sest näiteks 
. 
Murrujoone peal olevat arvu nimetatakse murru lugejaks ja murrujoone all asuvat 
arvu murru nimetajaks. Ratsionaalarvude hulka tähistatakse  tähega   .
Hakates arvjoonele usinalt ratsionaalarve kirja panema, märkame, et neid on väga 
palju ja nad asuvad arvteljel ütlemata tihedalt. Tegelikult asub iga kahe ratsio-
naalarvu vahel alati veel üks ratsionaalarv: näiteks arvude   ja   vahel asub arv  
, arvude   ja 
 vahel 
. Üldisemalt, iga kahe suvalise ratsionaalarvu   ja   
vahel asub ju nende aritmeetiline keskmine 
84
taaNdatud murrud ja tehted
Ütlesime, et kõik ratsionaalarvud saame, kui jagame täisarve nullist erinevate 
täisarvudega. Nii saame tegelikult liiga palju arve – paljud neist on omavahel võrd -
gad
sed. See on küll väga lihtne, aga oluline tähelepanek. 
Tõepoolest, kuna kahe arbuusi jagamisel kuueks võrdseks tükiks on tükid sama 
suured kui ühe arbuusi jagamisel kolmeks võrdseks osaks, ei ole mitte kõik täis- 
arvuhul
arvude omavahelisel jagamisel saadud arvud erinevad, näiteks 
Kuna mitmed murrud on omavahel võrdsed, oleks tore leida neile kõigile üks parim 
esindaja. Selleks on murru taandatud esitus. Murru taandatud esituse saamiseks 
jagame murru nimetaja ja lugeja kõikide nende ühiste teguritega läbi: nii ongi näi-
teks ratsionaalarvude 
 ja   kõikide ühiseks taandatud kujuks  .
Ratsionaalarvudega on veelgi ohutum ja sujuvam ringi käia kui täisarvudega. Nimelt 
võime kõiki ratsionaalarve omavahel lisaks liitmisele-lahutamisele ka korrutada ja 
jagada (siiski mitte nulliga!) ning saame alati jällegi tulemuseks ratsionaalarvu.
kümNeNdesitus
Ratsionaalarvudel leidub ka esitus kümnendsüsteemis, kasutusele tuleb lihtsalt 
võtta komakohad. 
Näiteks  
 ning  
, kus sulgudes olev kolm tähistab, et 
number 3 jääb lõpmatult korduma. 
Selgub, et iga ratsionaalarvu saabki esitada kümnendsüsteemis kas lõpliku arvu 
komakohtadega nagu 
 või lõpmatult korduma jäävate komakohtadega: 
näiteks  
 ja 
. Teisel juhul esile tulevaid kümnend- 
esitusi nimetatakse perioodilisteks.
85
Järgnevalt selgitame natuke lähemalt, miks ratsionaalarvud on just nimelt kas lõp-
liku või perioodilise kümnendesitusega. Näitame esmalt, et iga lõpliku või perioo-
dilise kümnendesitusega arv on ratsionaalarv:
Oletame, et meil on lõpliku kümnendesitusega arv.
gad
Sel juhul võime arvu korduvalt 10-ga korrutades komakohtadest lahti saada. Näi-
teks kui arvul on kaks komakohta nagu arvul 0,25, peame seda täisarvu saamiseks 
korrutama 10-ga täpselt kaks korda – konkreetsel juhul on saadavaks täisarvuks 
arvuhul
25. Ja edasi võime juba lihtsalt avaldada arvu 0,25 kahe täisarvu jagatisena, kui 
jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga läbi.
Oletame, et meie arv on perioodiline kümnendesitus. 
Nüüd võime korduvalt kümnega korrutades komakohta liigutada nii palju, et 
pärast koma jääks alles ainult perioodiline osa. Kui näiteks periood algab üks koht 
pärast koma, peame korrutama kümnega. Näiteks arvu 0,8(32) korral saame arvu 
8, (32).
Edasi võime aga jätkata kümnega korrutamist nii kaua, kuni algab perioodilise osa 
teine tsükkel. Kui perioodi pikkus on kaks, peame juba saadud arvu veel 100-ga 
korrutama. Konkreetsel juhul saaksime siis arvu 832, (32).
Lahutades nüüd teisest arvust esimese, jääb alles täisarv – perioodiline osa pärast 
komakohta taandub ju täpselt välja. Edasi saame juba lihtsalt avaldada arvu 
0,8(32) ratsionaalarvuna.
Miks vastupidi igal ratsionaalarvul peaks just kirjeldatud kümnendesitus leiduma, 
on juba pisut kavalam ja jääb siinkohal tõestamata. 
Oluline on ka ära märkida, et kümnendesitus ei ole alati ühene. Näiteks matemaa-
tilise  võrduse peatükis [lk 52] näitame, et 
86
irratsioNaalarvud ja reaalarvud
Ratsionaalarvudega saame loendada, liita ja lahutada, korrutada ning jagada. Tun-
dub, et seda on juba päris palju. Üllatuslikult võime aga endiselt välja tulla geo-
gad
meetrilise konstruktsiooniga, mille kirjeldamiseks ratsionaalarvudest ei piisa.
arvuhul
ühikruudu diagoNaali pikkus ei ole ratsioNaalarv! 
Joonistame ilusa ühikruudu ja leiame selle  ühikruudu diagonaali pikkuse.
Tähistades seda diagonaali  -ga, teame näiteks  Pythagorase  teoreemist, et  
. Loomulik küsimus on: kas   on ikka ratsionaalarv? 
Oletame, et   on tõesti ratsionaalarv: sel juhul võime   kirjutada taandatud kujus  , 
kus   ja   on täisarvud ning neil ei ole ühiseid tegureid. Saame, et 
Aga nüüd on ju võrdusmärgist paremal pool paarisarv , seega peab ka vasemal 
olema paarisarv. Kui   on paarisarv, siis ei saa   paaritu olla, sest paaritu arv ruudus  
annab paaritu arvu. Järelikult ka   on paarisarv ja võime   kirjutada kujul 
Seega võime   kirjutada kui 
. Asendades selle esialgsesse valemisse 
saame 
.  Jagades kahega läbi, jääb alles 
Nüüd on aga vasem pool paaris ning seega peab ka   jaguma kahega. See on aga 
vastuolus meie eeldusega, et   oli taandatud murd . Seega ei saa   kuidagi olla rat-
sionaalarv, sest muidu jõuame loogilise vastuoluni. Seega on ta hoopis niinimeta-
tud irratsionaalarv !
irratsioNaalarvud
Oh seda häda, kui Antiik-Kreekas sellele riukale jälile saadi. Nende jaoks olid pro-
portsioonid ehk täisarvude suhted looduse üheks aluseks ning nii ei tahtnud nad 
sugugi leppida sellega, et leidub geomeetrilisi objekte, mille pikkust ei õnnestugi 
87
proportsioonide ehk täisarvude suhete abil kirjeldada. Räägitakse, et mõni mate-
maatik pidi selle avastuse tõttu lausa elust ilma jääma . Siiski jäädi matemaatikale 
truuks ja tänaseks ei nähta sellistes irratsionaalarvudes enam suurt ohtu ei tervisele 
ega ühiskonnale. Tegelikult lepiti nendega hoopis enne kui negatiivsete arvudega 
gad
– nad tundusid küll kummalised, aga neile oli ometi võimalik looduses ja geomeet-
rilises ettekujutuses vastet leida.
Irratsionaalarvudeks nimetataksegi kõiki arve arvteljel, millel ei ole  esitust kujus  .  
arvuhul
Paljud neist on esitatavad täis- või ratsionaalarvude juurtena [lk 111], näiteks 
 ja ka 
 on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks   
ja  . Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks tead-
mata, kas   on ratsionaalarv või irratsionaalarv.
Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei 
saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõp-
matult pikk. Näiteks arvu   esimesed 20 kohta on 
,  
aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem – neid 
tuleb lõpmatult palju.
Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks 
kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud 
kokku moodustavad reaalarvude hulga, mida tähistatakse arvuga  .
Kui ratsionaalarvud saime üles ehitada täisarvudest, siis kõikide irratsionaalarvude 
täpne matemaatiline  konstrueerimine on juba veidi keerulisem.  Võime küll irratsio -
naalarvudest mõelda kui arvudest, mida saame kirjutada lõpmatu ja mitteperioo-
dilise kümnendesituse abil, aga kuidas neid liita või korrutada? Õigupoolest jõudsid 
matemaatikuid rahuldava range kirjelduseni alles 19. sajandil ning selle jaoks võib 
kasutada piirväärtuseid [lk 319]. 
Praeguseks  on aga tore irratsionaalarvude sissetoomisest mõeldagi geomeetrili-
selt: irratsionaalarvud täidavad ratsionaalarvudest arvteljele jäänud auke, nende 
liitmine  tähendab – nagu  ratsionaalarvude liitminegi – lihtsalt arvtelje nihutamist.
88
kompleksarvud*
Reaalarvudega saab kõik igapäevatoimetused korda aetud... kui just ei taha igal 
õhtul leida ruutvõrrandile 
 lahendit. 
gad
Tõepoolest, ükski reaalarvu ruut ei ole ju negatiivne. Näiteks 
 ning ka 
 ehk meie ruutvõrrandi lahendiks ei kõlba 1 ega ka  . Lihtsam on 
seda vahest näha isegi ruutfunktsiooni graafikult:
arvuhul
Seega, kui tahame tõesti, et saaksime välja kirjutada lahendit ka ruutvõrrandile 
 või ruutvõrrandile 
 või näiteks ka neljanda astme võrran-
dile  
, peame tingimata oma arvusüsteemi veel kord laiendama ja 
veel rohkem arve kasutusele võtma.
Eelnevat võib ümber sõnastada ka järgmiselt: nägime, et reaalarvude abil saame 
leida kõik arvud x nii, et 
 iga mittenegatiivse a jaoks. Kui nüüd tahame aga 
lahti saada tingimusest „mittenegatiivne“, siis peamegi sisse tooma kompleks - 
arvud.
89
Kui lubada natukene mõttel lennata, siis võiksime õigustatult võrrandi
lahendiks pakkuda 
. Tõepoolest, kuna ruutjuure võtmine ning ruutu võt -
gad
mine taandavad teineteise välja, võime kirjutada
Seega, lubades ruutvõrrandi lahendiks ka uut leiutist 
, oleme laiendanud 
arvuhul
arvusüsteemi. Üllataval kombel piisab sellest laiendusest mitte ainult peatüki algu -
ses toodud võrranditele, vaid tegelikult absoluutselt kõikidele polünoomvõrrandi-
tele [lk 266] lahendite leidmiseks!
imagiNaararv   i ja komplekstasaNd
Irratsionaalarvude lisamisel toppisime reaaltelje kõik augud täis. Kuhu need komp-
leksarvud siis mahtuda võiksid? 
Märkame, et isegi kui tõmbame paberile ühe aukudeta sirge, jääb paberile veel 
ruumi kui palju – sirgest üles ja alla jääb mõlemale poole tühjus. Kompleksarvud 
täidavad kogu selle tühjuse, nad täidavad arvudega terve paberilehe.
Nii on kompleksarvud mingis mõttes kahemõõtmelised arvud: võib öelda, et neil 
on reaalmõõde ja imaginaar- ehk kompleksmõõde, mille toob kaasa uus sissetoo-
dud arv 
. Kohe selgitame! 
Seda arvu nimetataksegi imaginaararvuks ja kuna teda on tüütu kogu aeg välja kir-
jutada , anname talle tähiseks  . Nimi imaginaararv tuleneb just sellest, et   tundus 
vähemalt esialgu eksisteerivat ainult matemaatikute endi ettekujutuses ja mitte 
välises maailmas. 
Meenutame, et arvu 1 võib pidada reaalmõõtme ühikuks – seda kokku liites või 
suurendades-vähendades liigume mööda horisontaaltelge. Sarnaselt on   komp-
leksmõõtme ühikuks, teda liites või suurendades liigume mööda vertikaaltelge.  
Ta asub nullpunktist sama kaugel kui reaaltelje ühik.
90
gad
arvuhul
Nii on teised komplekstelje punktid antavad kujus 
 ja nii edasi.
Kõikvõimalikud kompleksarvud saame, kui vaatame arve kujus 
, kus   
ja   on reaalarvud. Reaalarvu a kutsutakse kompleksarvu   reaalosaks ja  -d tema 
imaginaarosaks. 
Joonistame komplekstasandile näiteks punktid 
91
Iga reaalarvu korral võime rääkida tema suurusest ehk absoluutväärtusest –  
peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Sama-
moodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle kompleks-
tasandil vastava punkti kaugusest nullpunktist. Seda kaugust võib muidugi leida 
gad
Pythagorase teoreemi abil.
arvuhul
aga kompleksarve pole ju olemas!
Nagu ennist rääkisime, oli matemaatikutel ja kogu inimkonnal suuri raskusi nega -
tiivsete arvudega – alles paarsada aastat tagasi lepiti, et tegemist on ikkagi täiesti 
mõistlike ja loomulike arvudega, millega tegelemine ei ole sugugi jumalateotus. 
Selles valguses on kompleksarvude mõistlikkuse ja loomupärasuse kahtlustamine 
igati mõistetav. Järgnev tabel, kus võrdleme negatiivseid arve ja imaginaararve, 
võiks siiski veenda, et ka kompleksarve pole mõtet karta. 
Küsimusele, kas arv 
 eksisteerib, on muidugi raske vastata, kuid sama raske 
on öelda, kas arv 4 või 5 eksisteerib. Siiski on kompleksarvud leidnud reaalarvude 
kõrval tänapäevases maailma ja looduse kirjelduses oma kindla koha. 
92
Negatiivsed arvud
Imaginaararvud
Anda tähendus
Arvule 
Arvule 
Väga veider, sest...
Kuidas saab midagi olla  Tavaliselt on arvuruut 
vähem kui mitte midagi? positiivne
gad
Moodustab osa
Reaalarvudest
Kompleksarvudest
Visuaalselt
Punktike arvteljel  
Punktike nullpunkti  
nullpunktist vasemal
läbival arvteljega  
arvuhul
ristuval teljel
Peeti absurdseks
18. sajandini
Tänapäevani
Lihtne korrutamise 
Arvuga –1:  1 –1; 1; –1; ...  Arvuga i:  1; i; –1; –i; 1; i; ... 
näide ja visuaalne  
Arvupunkti peegelda -
Arvupunkti pööramine  
tõlgendus
mine nullpunktist
90o komplekstasandil
 „Suurus”
Kaugus nullpunktist
Kaugus nullpunktist
Tuleb esile
Võlad , vastassuunas  
Kvantmehhaanika,  
liikumine, külmakraadid signaalianalüüs
tehted kompleksarvudega
Selgub, et kompleksarvud on väga toredad ja nendega saab teha kõike, mida 
reaalarvudega, ja veel rohkematki. 
Liitmine ja lahutamine
Kompleksarve saab liita ja lahutada, tuleb lihtsalt liita ja lahutada eraldi reaal- ja 
imaginaarosa: näiteks 
. Nagu reaalarvude liitmisest 
võib mõelda kui liikumisest ühes või teises suunas reaalteljel, võib ka kompleks- 
arvude liitmisest mõelda geomeetriliselt.  Seekord liigume lihtsalt komplekstasan-
dil, vastava arvu samme reaaltelge mööda, vastava arvu imaginaartelge mööda. 
93
Korrutamine ja jagamine
Kompleksarve saab edukalt ka korrutada ja isegi jagada. Tulemuseks on endiselt 
alati kompleksarv . Näiteks
d
A
Lg
ning
uhu
rV
A
Kompleksarvudega korrutamisel on ka ilus geomeetriline tõlgendus – tasandil  
pööramine. 
Näiteks oletame, et meile on antud kompleksarv 
 ning tahame leida uut 
kompleksarvu, mis on selle arvu suhtes 45-kraadise nurga all vastupäeva.
Tuleb välja, et sellise kompleksarvu leidmiseks võime lihtsalt algset arvu korrutada 
mistahes kompleksarvuga, mis on 45-kraadise nurga all reaaltelje suhtes: näiteks 
arvuga 
94
Seda kõike ei pea muidugi joonise põhjal uskuma. (Ei tohigi uskuda !) Õnneks kinni-
tab aga algebra kenasti meie väiteid. Tõepoolest, korrutamise võime välja kirjutada 
järgmiselt:
d
A
Lg
Ning nagu jooniselt näeme, asub 
 täpselt 45-kraadise nurga all 
 
suhtes, küll tõesti parasjagu nullpunktist kaugemal. See tuleneb lihtsalt sellest, et 
uhu
korrutamisel ei piisa ainult nurkade liitmisest, vaid tuleb omavahel korrutada ka 
rV
A
kaugused.
Imaginaararvuga   korrutamisel on järelikult tegemist ainult pöördega 90o – tema 
kaugus nullist on ju täpselt 1 ühik. Nii liigub arv 1 arvuga   korrutamisel täpselt  
-ks, arv 
 aga  -ga korrutamisel täpselt 
-ks. See pakub ka arvuga   kor-
rutamisele uue tõlgenduse: arvteljel oli arvuga   korrutamise tõlgenduseks pee-
geldus nullpunktist, nüüd aga teades, et 
, võime komplekstasandil arvuga 
 korrutamisest mõelda ka kui 180 kraadisest pöördest.
95
  e
A
  j
kuulsad arvud:   ja e
 
ud
rV
 A
d
Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe 
LSA
näiteks arvud null ja üks. 
kuu
Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel teistest erinevalt: korrutades 
mistahes arvu nulliga, saame vastuseks nulli, ning liites mistahes arvule nulli, saame 
sama arvu, mis enne. Samamoodi on üks isemoodi, sest korrutades ükskõik mis arvu 
ühega jääb see arv samaks ning ühe kõik astmed on tema endaga võrdsed. 
Ajalooliselt on mainimist väärt arvuks kindlasti ka  , mis näitas, et ratsionaalarvu-
dest pole maailma kirjeldamiseks sugugi küllalt [lk 87]. 
Miks mitte välja tuua ka imaginaararvu  , mille abil laiendasime reaalarve komp- 
leksarvudele [lk 89] või iluideaaliks loetud kuldlõike arvu 
 [lk 135].
Käesolevas peatükis räägime aga pikemalt kahest teisest põnevast ja kuulsast  
arvust, millest ei saa üle ega ümber ka koolimatemaatikas. Tutvustame tegelasi:
 ja e. 
   
Arv   seostub kõigile meile ilmselt ringjoonega. Nii alustamegi  arvuga   tutvumist 
väikese mõtisklusega ringjoonest . 
kuidas mõelda riNgjooNest?
Ringjoon on ilus matemaatiline objekt, millele ei ole muidugi raske leida ka päris-
maailmas vastet. Nii nagu igapäevaelus kohtame ringikujulisi objekte väga erine-
vates olukordades , saab ringjoonest ka matemaatiliselt mitut moodi mõelda. 
96
Sirkli abil
Hulkade juures [lk 60] mainisime juba ühte viisi ringjoone kirjeldamiseks: ringjoont  
  e
A
võib kirjeldada kui kõikide tasandipunktide 
 hulka, mis asuvad ühest välja vali-
  j
tud punktist (ringi keskpunktist) võrdsel kaugusel. See selgitab, miks saame ring-
 
joont joonistada just nimelt sirkli abil.
ud
rV
 A
d
LSA
kuu
Kõige ümmargusem
Eelnev ei ole siiski ilmselt esimene kirjeldus, mille peale mittematemaatik tuleks. 
Eelkõige jääb ju ringjoone juures meelde tema ümarus ja sümmeetria. Näiteks 
õhku tõstetud jalgratta ratast võib lõpmatult ümber tema telje pöörata ja me mär-
kame ainult kodarate liikumist – ratas ise oleks justkui paigal.
Tuleb välja, et ka sellest vaatlusest lähtudes on võimalik ringjoon rangelt ja mate-
maatiliselt  korrektselt  defineerida:  ringjoon  on  ainus  kahemõõtmeline  suletud 
joon, mida võime ükskõik kui palju pöörata, ilma et tema kuju muudaksime. Mate-
maatilisemalt: ringjoon on kõige rohkemate (pöörd)sümmeetriatega kujund.
Pindala ja ümbermõõdu suhe
Kui lambakarjusel oleks vaja lammastele ehitada tara, nii et sama materjalihulga 
ehk ümbermõõdu korral saaks kasutada võimalikult suurt rohumaad ehk pindala, 
siis saab ta jällegi täiesti ausa ringi.
97
Füüsikute kombel
  e
Füüsikud seevastu ütleksid ilmselt, et ringjoon on ainus trajektoor tasandil, mida 
A
  j
mööda liikudes on alati kiirendus ja kiirus risti. Sel juhul muudab kiirendus ainult 
 
kiiruse suunda ja mitte tema suurust. Tekib ilus ühtlane ringliikumine.
ud
Näiteks on enamik satelliite Maa ümber ringliikumises. Täpselt ringikujulise orbiidi 
rV
 A
tekitamiseks tuleb siiski kiirus hoolega valida. Füüsikud tulevad sellega hästi toime. 
d
Näiteks komeedid seda aga ei oska ja tiirlevad ümber Päikese väga väljaveninud 
LSA
ellipsit mööda.
kuu
Parameetrilise võrrandi kaudu
Ülikoolis matemaatikaga kokku puutudes võib aga kohtuda veel hoopis uutmoodi 
ringjoone  definitsiooniga.  Nimelt  saab  iga  kõverjoont  tasandil  vaadelda  kui  ühe 
funktsiooni väärtuseid. Õigesti valitud funktsioon kirjeldab täpselt ringjoone kuju 
ning funktsiooni argument tähistab siis intuitiivselt lihtsalt meie asupaika ringjoo-
nel. Ringjoone kirjeldamiseks peame kasutama funktsioone siinus ja koosinus, mil-
lest on juttu ka trigonomeetria peatükis [lk 230].
Ringjoone kõiki punkte 
 kirjeldava parameetrilise võrrandi saame, kui muu-
dame funktsiooni sisendit    nullist kuni  -ni ning arvutame  -i ja  -i järgnevalt:
98
Nõnda saadud kirjeldust nimetatakse parameetriliseks võrrandiks.
Kõik ülaltoodud viis ringjoone definitsiooni on matemaatiliselt võrdväärsed. Seega 
  e
A
pole vist sugugi liig öelda, et ringjoon on üks mitmekülgne ja ilus matemaatiline 
  j
objekt. Ringjoon loob seoseid matemaatikas ja on kesksel kohal kogu looduse kir-
 
jeldamisel. Ringliikumine oli ideaaliks juba vanadel kreeklastel ja selle valguses on 
ud
muidugi päris tore, et isegi  liikluse  planeerijad on otsustanud, et kõige ohutumad 
rV
 A
ristmikud on just ringristmikud.
d
LSA
kuu
riNgjooN ja   
Teame, et kui näiteks ruudu külge kümme korda suurendada, suureneb sama palju  
kordi ka tema ümbermõõt. Teisisõnu on tema ümbermõõdu ning küljepikkuse  
suhe alati sama arv – neli. Sama kehtib ka kõikide teiste korrapäraste hulknurkade 
korral. Tegemist on üldisema reegliga – lihtsad joonelemendid suurenevad või 
vähenevad suumides täpselt sama palju. Tuleb välja, et ka ringjoone ümbermõõdu 
ja diameetri suhe on alati üks ja seesama arv. Just seda arvu kutsumegi  -ks. 
Nagu irratsionaalarvude juures juba mainisime, on   irratsionaalarv ehk teisisõnu 
tema kümnendkohti ei saa kunagi välja kirjutada, sest neid on lõpmata palju ja nad 
ei hakka kunagi perioodiliselt korduma. Komakohti natuke lähemalt uurides tun-
dub, et   komakohtades ei ole ka ühtegi mustrit ega seaduspära – kõiki numbreid  
paistab esinevat ühe palju ja täiesti juhuslikult läbisegi. 
99
 väärtuse leidmiNe
  e
A
  j
Arvu   täpset väärtust ei ole sugugi lihtne arvutada. Babüloonlased kasutasid juba 
 
19. sajandil eKr  -d, mille väärus oli  , mis on kõigest 0,5% vale õigest väärtusest. 
ud
Sarnaseid   ligikaudseid väärtusi on olnud kõikidel iidsetel tsivilisatsioonidel. 
rV
 A
d
Kõik need ümardused on päris lähedal   tegelikule väärtusele ja sellisest täpsu-
sest piisas näiteks igati ehituskonstruktsioonide tarvis. Praktiliste rakenduste jaoks 
LSA
ümardame meie koolis   väärtuseks umbes 3,14 ning Ameerika Ühendriikides 
kuu
kasutatakse näiteks ümardust  . Võib tekkida kohe küsimus:  kumb  ümardus on 
täpsem?
Siiski jääb õhku üks veelgi huvitavam küsimus: kuidas aga arvutada   täpne arvu-
line väärtus? Või õigemini, kuidas leida järjest rohkem   komakohti?
Kuna   on võrdne iga ringjoone ümbermõõdu ja diameetri suhtega, võime vabalt 
valida ringjoone, mille diameeter on võrdne ühega. Sel juhul on meil   arvutamiseks 
vaja teada veel vaid ümbermõõtu. Koolis õpetatakse muidugi, kuidas ümbermõõtu 
leida   abil, aga sellest ei ole meile sugugi abi, kui me   väärtustki veel ei tea. 
Archimedes oli teadaolevalt esimene, kes leidis 250. a eKr hea viisi ringi ümber-
mõõdu ja seega    arvulise väärtuse leidmiseks. Auväärt mõtleja hakkas lihtsalt 
ringjoone ümber ja sisse joonistama järjest rohkemate nurkadega korrapäraseid 
hulknurki. Nagu jooniselt näha, muutuvad need hulknurgad järjest sarnasemaks 
ringjoone endaga. Korrapäraste hulknurkade ümbermõõtu on aga lihtne leida ja nii 
ongi võimalik järjest täpsemalt ka   väärtust välja arvutada. 
Archimedes ise viitsis kindlaks määrata ainult, et   asub arvude 3,14084 ja 
3,142857 vahel. Siiski teoreetiliselt saaksime tema meetodil   välja arvutada soo-
vitud täpsuseni. 
India matemaatik Madhava Sangamagrama leidis 600 aastat tagasi toredalt lihtsa 
valemi, millega võiks   defineerida hoopis erineval viisil:
100
Kuna liidetavad selles summas muutuvad järjest väiksemaks, võime ka selle vale-
miga järjest täpsemalt   väärtust leida. 
  e
A
Arvu   väärtust võime samuti hinnata geomeetrilise tõenäosuse abil, sellest aga 
  j
pikemalt tõenäosuse osas [lk 402].
 
ud
Tänapäeval kasutatakse   komakohtade väljaarvutamiseks loomulikult arvuteid 
rV
ning hetkel on teada rohkem kui 10 000 000 000 000   komakohta. Selleks kasu-
 A
d
tatakse John Machini poolt 1706. aastal avastatud valemi analooge:
LSA
kuu
 komakohtade päheõppimine
Arv   on paljudele tundunud maagilise arvuna ja nii on läbi ajaloo pähe õpitud ka   
komakohti. Legendi järgi õppis isegi näiteks Isaac Newton 16   komakohta pähe. 
Siiski vabandas ta hiljem rahva ees, et sellise lollusega oma aega raiskas. Praegu-
seks teavad mõned (nii paberiteta kui paberitega) hullud peast juba üle 100 000   
komakoha.
Kas   on õigesti defineeritud?
Kogu selle maania puhul on irooniline , et äkki oleks võinud defineerida   natukene 
teistmoodi. Selle asemel, et ringi ümbermõõt jagada läbi diameetriga, võinuks ju 
ringi ümbermõõdu läbi jagada hoopis näiteks raadiusega . 
101
Nii defineeritud arvu   väärtus oleks võrdne kahekordse   väärtusega. See oleks 
mitmes mõttes isegi ilusam: näiteks oleks siis veerand ringjoone kaarest tõesti 
  e
A
pikkusega 
ja mitte kummaline   ning siinuse ja koosinuse [lk 214] perioodi  
  j
 
 
pikkuseks oleks kenasti   ja mitte  . Veelgi enam, siis meenutaks ka ringi pindala 
ud
uus valem: 
 füüsikast tuntud valemeid näiteks kineetilise energia või kons-
rV
tantse kiirendusega läbitud teepikkuse leidmiseks.
 A
d
Muidugi, vaesed   peastlugejad peaksid siis jälle nullist alustama...
LSA
kuu
Sarnaselt arvuga   tähistab   ühte kindlat arvu – 
2,718281828459045236028747135266249775724709369995...
Täies uhkuses teda siia kahjuks kirja panna ei saa, kuna tegemist on irratsionaal- 
arvuga [lk 87].
Õigupoolest pole see ka täpne arvude järjestus, milles matemaatikud suurt ilu 
näeksid. Arvu   tähtsus ja ilu seisneb pigem tema mitmenäolisuses. Ta vaatab välja 
mitmest erinevast matemaatika harust ja loob nende vahel üllatavaid seoseid.
kus  e esile tuleb?
Arv   tuleb kõige tihedamalt esile eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi raames. 
Nimelt on just astmel   kõige parem mõelda eksponentsiaalfunktsioonist [lk 284] 
ja alusel   kõige loomulikum logaritmida [lk 295].
102
Ta on tuntud ka selle poolest, et peidab ennast paljudes valemites . Juba selles pea-
tükis näeme neist nii mõndagi, näiteks kuidas  -d defineerida lihtsalt korrutamise 
  e
ja liitmise abil.
A
  j
Väljaspool raamatut patseerib   veel mujalgi. Näiteks tuleb välja, et kompleksarve 
 
võib esitada   abil hoopis mugavamas kujus ning et ka trigonomeetrilisi funkt-
ud
sioone on signaalide analüüsimisel kasulik esitada just   toel. Lisaks astub    ülla-
rV
 A
tuslikult esile veel näiteks tõenäosusteoorias. Võib vist öelda küll, et   on üsna laia 
d
ampluaaga sell ja matemaatikas seetõttu tähtsal kohal.
LSA
kuu
mitu moodi e kirjeldamiseks ja defiNeerimiseks
Arvu   peatükki alustasime mitme erineva ringjoone matemaatilise kirjeldusega. 
Tuleb välja, et ka arvul   on arvukalt erinevaid kirjeldusi. Järgnevalt toome neist 
esile kaks ja üritame neid ka intuitiivselt siduda.  
Arv e läbi liigprotsendi
Oletame, et tekib võimalus vara hoiule panna õige lahkete inimeste panka, mis või-
maldab aastasele hoiusele küsida kas
100% intressi aastas
50% intressi pooles aastas 
25% intressi kvartalis
Milline neist valikutest kõige kasulikum oleks? Või oleks hoopis kasulik küsida igaks 
päevaks 
 intressi ja lahke inimese lahkust veel kuritarvitada? 
Et olukorrast täpsemalt mõelda, on mugav oletada, et alushoiuseks on näiteks unts 
kulda.
100% intressi aasta kohta tähendab, et aasta lõpuks on täpselt 2  untsi kulda.
50% intressi poolaastas tähendab, et poole aasta möödudes on hoius juba 1,5 
untsi kulda. Järgneva poolaastaga lisandub sellele veel 50% juba olemasolevast 
kogusest ja kokku on aasta lõpus juba 2,25 untsi kulda.
103
  e
A
  j
 
ud
rV
 A
d
LSA
kuu
25% intressi kvartalis tähendab, et veerandaasta lõpuks  on hoius 1,25 untsi kulda. 
Poolaasta lõpuks lisandub veel 25% ehk kokku oleks tolleks hetkeks 1,5625 untsi 
kulda. Kolme kvartali lõpuks koguneb juba 1,953125 untsi kulda ning aasta lõpus 
võib rõõmustada 2,44140625 untsi kulla üle.
Tundub, et kuigi kõigil kolmel juhul on intresside summa kogu perioodil sama, on 
palju tulusam intresse tihedamalt saada. 
Kas sellel tulususel on ka mingi piir või võib üle aasta saada miljonäriks?
Aastas on umbes 
 sekundit. Jagades aasta sekundilisteks perioodideks 
ning saades intressi iga sekundi järel, koguneb aasta lõpuks
untsi kulda. 
Hoolikas lugeja märkab, et saadud kogus on juba väga lähedal sissejuhatuses too-
dud arvu   väärtusele – esimesed kuus komakohta kattuvad.
Selgubki, et ükskõik kui tihedalt me intresse maksame, leidub aasta koguintressil 
ülempiir, mis rakendub, kui intressi makstakse pidevalt [lk 317] ehk veelgi kiiremini 
kui iga nanosekund. Seesama ülempiir ongi võrdne  -ga! Just eelnevast arutelust 
lähtub ka matemaatika tunnis kohatav kompaktne valem: 
104
Tõepoolest, oletame, et aasta on jagatud    perioodiks . Iga perioodi lõpuks suu-
reneb kullahunnik 
 korda. Seega esimese perioodi lõpuks on kulda 
 
  e
A
untsi, teise perioodi lõpuks 
 untsi ning aasta lõpuks 
 untsi. 
  j
 
Piirprotsessis, kus  -i väärtus muutub lõpmatult suureks, saabki 
  väärtu -
ud
sest täpselt arv  . 
rV
 A
Arv   läbi funktsioonide
d
Selgub, et seda pideva intressiga kasvuprotsessi kirjeldab eksponentsiaalfunkt-
LSA
sioon kujus   [lk 280], kus  -ga tähistame siin harjumatult aega. See funktsioon 
kuu
on väga eriline teiste funktsioonide seas, sest igal hetkel on tema kasvukiirus ehk 
tuletis võrdne funktsiooni enda väärtusega. Teiste sõnadega jääb funktsiooni    
tuletiseks sama funktsioon ehk   .
Tuleb välja, et kõik toodud tingimust rahuldavad funktsioonid ongi kujus 
,  kus  
 on mõni  suvaline reaalarv . Kui   just null pole, on iga sellise funktsiooni jaoks 
tema suhteline kasv ühes ühikus ehk suhe 
 võrdne täpselt   -ga. Tõepoolest, 
võime kirjutada 
Selle tähelepaneku abil võime ka   defineerida: valime ühe funktsiooni 
, mille 
tuletis on jälle 
 ise, ning seejärel defineerime   kui selle funktsiooni suhtelise 
kasvu ühes ühikus 
105
faktoriaal ja e*
  e
A
  j
Eelmise kirjeldusega on seotud ka arvu   defineerimine ainult liitmise ja  korruta -
 
mise kaudu kujus: 
ud
rV
 A
d
LSA
Kui kasutame faktoriaali [lk 382] ja kirjutame näiteks 
 ning lisaks veel 
summavahemiku kõverikku [lk 50], näeb see valem päris ilus ja kompaktne välja:
kuu
Kas pole päris üllatav? Kuidas seda selgitada?
Täpne  selgitus on üsna tehniline ja eeldab arusaama nii tuletise [lk 320] kui polü-
noomi [lk 266] mõistest.
Tuletame alustuseks meelde polünoomide ilusa omaduse [lk 268]. Nägime, et iga 
funktsiooni saab teatud mõttes väga täpselt kirjeldada hästi valitud polünoomiga. 
Kas on ehk isegi võimalik leida polünoomi, mille tuletis on igas punktis peaaegu 
võrdne tema endaga?  
Teame, et iga astmefunktsiooni   tuletis on 
. Seega kui polünoomis on liige 
, peab seal olema ka liige 
, sest muidu poleks algne polünoom ja tule-
tise  võtmisel saadud polünoomi võrdsed. Vastupidi, kui polünoomis on liige 
,  
peab olema ka liige  
 
Oletame nüüd, et polünoomis on konstantne  liige 1. Siis peab kindlasti leiduma ka 
liige  , edasi liige 
 ja nii edasi. 
 
106
Näeme, et me ei saa kunagi lõpetada, sest muidu ei oleks tuletis võrdne funktsiooni 
endaga. Siiski võime välja kirjutada kõikide nende liikmete summa
  e
A
  j
.
 
ud
See summa ei ole küll enam polünoom ja ei ole selge, kas ta üldse on mõistlik objekt 
rV
(näiteks võiks ju iga  -i korral väärtus olla lõpmatult suur). Igal juhul puhtalt for-
 A
d
maalselt saame tuletise operatsiooni rakendades tulemiks täpselt sama summa. 
LSA
Õnneks on matemaatika ilus ja tuleb välja, et see summa on igati mõistlik. Tal on 
tõepoolest iga reaalarvulise  -i korral kindel väärtus ning see on võrdne täpselt 
kuu
funktsiooni   väärtusega, mida enne juba mainisime. Nii võimegi kirjutada 
.
rahvasuu
Eesti keeles on kõige sagedasem täht a, aga nii inglise, saksa kui ka prantsuse kee-
les on selleks täheks e. Ja kuigi vaevalt et seda võiks pidada märgiks nende rah-
vaste suuremast matemaatika armust, on e just matemaatikutele armsaim  täht. 
Ka meie armastame teda nõnda palju, et ei suutnud loomata jätta väikest rahva-
laulu:
Sa kõnnid nurmel
ja kajab vastu
linnurahva hüüd
lee-lo-lee,
uhkeim matemaatikas on  !
Sa  istud  klassis
õpetaja kriit
loomas võrrandeid
lee-lo-lee
tahvlilt vastu laulab   !
Sa oled pangas
ja Sulle  vaikselt
sosistatakse
lee-lo-lee
Su raha kasvab, täna  -d!
107
Sa kõnnid linnas
ja kajab vastu
  e
A
linnarahva hüüd
  j
lee-lo-lee,
 
ud
miks kurat õppima pean  -d?
rV
 A
d
LSA
ilusaim valem matemaatikas
kuu
Käesolevas peatükis oleme maininud korrutamise ühikut – arvu üks, liitmise ühi -
kut – arvu null, eksponentsiaalse kasvamisega seotud arvu  , ringi ja geomeetriaga 
seotud  -d ning reaalarvudest kompleksarvudesse viivat imaginaararvu  . 
Kas need arvud on omavahel kuidagi seotud? Esialgu tundub, et ei tohiks küll olla. 
Siiski näitab järgnev valem matemaatika võimet pakkuda ilu ja üllatusi: 
Seda valemit peavad paljud (üsna õigustatult!) matemaatika kõige ilusamaks vale-
miks. Näiteks on 20. sajandi suurim füüsik , Nobeli auhinna laureaat Richard Feyn-
man kutsunud seda „meie juveeliks” ning „üheks tähelepanuväärseimaks valemiks  
kogu matemaatikas”.
108
  e
A
  j
 
ud
rV
 A
d
LSA
kuu
109
arvu aste
  aste
arvu
Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähen-
dab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet:
Seega vähemalt neil lihtsatel juhtudel pole korrutamine küll mitte midagi uhkemat 
kui üksluine korduv liitmine. 
Mis aga juhtuks, kui vahetame „ ” märgi „  ” märgi vastu? Saame tehted 
ning seega... üksluise korduva korrutamise. 
Seda üksluist korduvat korrutamist nimetataksegi astendamiseks. Et lahti saada ka 
kirjutamisvaevast, tähistame
ja ütleme, et võtame arvu 3 astmesse 4 ning arvu 5 astmesse 6. Nelja ja kuut kutsu-
takse sellises olukorras astendajateks ning kolme ja viit astendatavaks ehk astme 
aluseks. 
Kas see ongi kõik? 
Muidugi mitte, võib tekkida mitmeid küsimusi.
1. Kas astendamisel on vastupidine tehe , nagu näiteks liitmisel on 
lahutamine? 
2. Mis juhtuks, kui astendada komakohti sisaldavate arvudega 
nagu   või   
3. Kas saame astendada ka negatiivse arvu või nulliga?
110
Neile küsimustele üritamegi järgemööda läheneda. Kuna küsimusi on palju ning 
nende peale mõtlemine näitab päris hästi matemaatika arengut, siis jagub seletusi  
mitmetele lehtedele: head lugemist!
  aste
juurimiNe kui asteNdamise vastaNdtehe
arvu
Nagu korrutamise vastandtehteks on jagamine, on astendamise vastandtehteks 
juurimine.
Tõepoolest, arvu 12 jagamisest kolmega võime mõelda kui küsimusest: millist arvu 
on vaja kokku liita täpselt kolm tükki , et saada vastuseks 12? 
Muidugi on vastuseks 4, sest 
Kui võtame arvust 81 neljanda juure, on analoogseks küsimuseks: millist arvu on 
vaja kokku korrutada täpselt neli tükki, et saada vastuseks 81? 
Vastus on 3, sest 
Juurimist tähistatakse mitmes erinevas kujus. Näiteks neljandat juurt 81-st võib 
tähistada kahel viisil järgmiselt: 
 ning 
Kuigi puhtalt peale vaadates võivad need kaks tähistust tekitada väga  erinevaid 
emotsioone, on vastuseks mõlemal juhul muidugi 3. 
Teine tähistus on ehk informatiivsem, sest ta vihjab ka järgnevale analoogiale kor-
rutamisega: nii nagu jagamisest kolmega saame mõelda kui korrutamisest arvuga  
, samuti  võime ka neljanda juure võtmisest mõelda kui astendamisest astenda-
jaga  .
Juurimise korral tuleb olla ka ettevaatlik: nagu juba arvude peatükis nägime, ei 
leidu ühtegi reaalarvu, mis annaks endaga korrutades tulemuseks mõne negatiivse 
reaalarvu nagu –1 või –4 või –100. Seega ei ole võimalik negatiivsetest arvudest 
reaalarvulist ruutjuurt ega ühtegi teist paarisarvulist juurt võtta. 
Kui kasutusele võtta kompleksarvud [lk 89], siis enam sellist muret ei ole – võib 
kõike rahu ja rõõmuga juurida. 
111
NatukeNe ajalugu
Matemaatilises mõttes juurimisega tegeleti juba 3700 aastat tagasi Babüloonias. 
Vana-Kreekas muutus aga olukord matemaatikute jaoks eluohtlikuks. 
  aste
Nimelt nagu juba irratsionaalarvude juures [lk 87] mainisime, avastasid Pytha- 
gorase  järeltulijad , et ühikruudu diagonaali pole võimalik kirja panna täisarvude 
arvu
suhtena, ehk teisisõnu 
 ei ole ratsionaalarv, vaid irratsionaalarv. 
Ega keegi päris täpselt ei tea, kuidas kõik just juhtus, aga räägitakse, et esimesena 
märkas ruudu diagonaali irratsionaalsust keegi härra Hippasus Metapontu. Ühe 
legendi järgi olevat see leid olnud lausa Kreeka riiklik saladus ning kui vaese Hippa-
suse arutelu enam teisiti ümber lükata ei osatud, uputati ta merre.
Meie tänapäevase sümboli 
  leiutas  1525. aastal Christoph Rudolff, kes on ka   
ja   märkide autor. Kas oskad näha mõnd head põhjust, miks kasutusele on võetud 
just sellised märgid ja mitte  teistsugused ? 
112
ratsioNaalarvuliNe asteNdaja
Ratsionaalarvulise astendajaga tutvumiseks on hea alustada jälle analoogiast kor-
rutamisega ja mõelda, mida tähendab ratsionaalarvudega korrutamine. Oluline on 
meelde tuletada, et korrutamisel pole tehete järjekord oluline.
  aste
Näiteks korrutades arvu 12 arvuga  , teame, et võime seda teha mitmel viisil.
arvu
Võime esmalt jagada  12 arvuga 4 ning seejärel korrutada arvuga 3: 
või korrutada 12 arvuga 3 ja seejärel alles jagada arvuga 4:
Seega võimegi ratsionaalarvudega korrutamisest mõelda kui lihtsalt järjestikusest 
täisarvudega korrutamisest ja jagamisest.
Täpselt samamoodi võime lahti mõtestada ka ratsionaalarvuga astendamise – 
tegemist on järjestikuse täisarvuga astendamise ja juurimisega. Ka sel korral pole 
astendamise ja juurimise järjekord oluline. 
Näiteks tehtest 
 võime mõelda järgmiselt.
Esiteks pärime arvu 81 neljanda juure ning seejärel võtame saadava arvu kolman-
dasse astmesse:
või võtame kõigepealt arvu 81 astmesse kolm ning seejärel alles küsime, mis on 
selle suure arvu neljas juur :
Vastus tuleb muidugi sama, aga esimesel juhul on tema leidmine (vähemalt peast 
arvutades) palju lihtsam – eks katsuge võtta arvu 81  astmesse 3. 
Muidugi on parem, kui sellist pikka ja tüütut mõttekäiku iga kord pikalt läbi ei pea 
tegema, aga see muutub automaatseks päris kiiresti – vaja on ainult pisut arvutada 
ja harjutada . 
113
NegatiivNe asteNdaja
Üritame järgmiseks mõelda, kas ka negatiivne astendaja annab midagi mõistlikku. 
Ehk teisisõnu, mida võiks tähendada näiteks 
? Kuidas sellest mõelda? 
  aste
Tegelikult ei ole siingi midagi keerulist: kui positiivne astendaja tähendas korduvat 
korrutamist, siis negatiivne astendaja tähendab mingis mõttes korduvat jagamist. 
arvu
Näiteks
Ehk teisisõnu võtame kolmandasse astmesse arvu 4 pöördarvu, milleks on  .  
Märgates nüüd, et pöördarvust võime mõelda kui arvust astmel  , ning tuletades 
meelde, et asendamisel tehete järjekord ei loe, võime lihtsalt ka mõelda, et 
 ei 
ole midagi muud kui lihtsalt arvu    pöördarv . 
asteNdaja Null
Nullist erinevast astmest mõtleme kui korduvast korrutamisest või korduvast jaga-
misest. Mida tähendab aga astendaja null? Astendaja null võiks siis tähendada, et 
me ei võtagi ühtegi arvu, mida omavahel kokku korrutada või jagada. Mis võiks olla 
sellise tühja tehte väärtus?
Üks viis on mõelda, et astmesse null võtmine peaks olema väga sarnane mingi 
väga väikese astendaja kasutamisega: näiteks arvu  0,000001 ehk 
 kasuta-
misega. Ratsionaalarvuliste astendajatega aga oskame juba ringi käia ning võime 
leida, et näiteks
Kahtlaselt lähedal arvule 1, kas pole? 
Tuleb välja, et ükskõik, mis arvu me võtame astmesse 0, saame vastuseks 1. Selle 
taga on muidugi ka kena matemaatiline põhjendus, millest võite lugeda lisapea- 
tükist [lk 117]. 
114
irratsioNaalarvuliNe aste
Irratsionaalarvuliste astendajate jaoks ei ole senisest intuitsioonist suurt kasu – näi-
teks on päris raske vastata küsimusele, mitu korda ma pean korrutama arvu 2, et 
saada arv   või arv  .
  aste
Siiski on neistki võimalik rangelt ja täpselt mõtelda, tuleb lihtsalt muuta oma vaa-
tenurka. Sellest võib täpsemalt juba lugeda eksponentsiaalfunktsiooni peatükist 
arvu
[lk 280]. Teatud mõttes on tegemist täpselt samasuguse aukude täitmisega nagu 
ratsionaalarvudelt reaalarvudele üle minnes – seekord ei ole augud ainult arvteljel, 
vaid on eksponentsiaalfunktsiooni graafikul. Oluline on märgata, et seda saab teha 
ainult positiivsete aluste korral – negatiivsete aluste korral jäime juba ratsionaalar-
vuliste astmetega hätta, rääkimata siis irratsionaalarvulistest astmetest.
Praktikas võime irratsionaalarvuliste astmetega käituda samamoodi nagu astme 
null korral –  otsime  lihtsalt mõne ratsionaalarvulise astendaja, mis on meie irrat-
sionaalarvule piisavalt lähedal. Täpselt nii käituvad ka arvutid – irratsionaalarve nad 
nagunii salvestada ei oska.
efektiivNe asteNdamiNe
Naturaalarvuliste astmete võtmine on üpriski igapäevane tegevus (kui mitte isikli-
kult Sulle, siis kindlasti mõningatele teadlastele ja ka arvutitele). 
Näiteks   arvutamiseks on vaja 2 korrutamistehet 
 ning 
. 
Mitme tehtega saaks aga arvutada arvutada 
? Kas tõesti läheb selleks 99 tehet 
või on võimalik leida mõni kiirem viis?
Selgub, et on olemas ka kiirem viis. Selle kiirema viisi tabamiseks tuleb märgata, et 
järjest arve ruutu tõstes jõuame päris kiiresti kõrgete astmeteni: 
115
Nüüd on idee kirjutada 100 selliste astmete summadena, mida võime ruutuvõtmise 
abil leida: 
 ja seega saamegi välja arvutada 
  aste
Kokku lugedes näeme, et vajasime ainult 8 korrutustehet 99 asemel. 
Hoolas lugeja märkab, et astendajad, mille astmeid oskame kiiresti välja arvutada, 
arvu
on kõik kujus  . Teisisõnu peame kiire astendamise jaoks kirjutama lihtsalt asten-
daja tema kahendesituses: näiteks 
. Kahendesitusest rääki-
sime pisut pikemalt arvuhulkade juures [lk 80]. 
arvude staNdardkuju
Päikese mass on umbes 
 kg ning 
elektroni mass on umbes 
 kg.
Neid arve on suhteliselt keeruline lugeda ning veel hullem, kui peaks näiteks arvu-
tama, mitu korda on Päikese mass suurem kui elektroni mass. Kuna peame tihti 
tegelema väga suurte ja väga väikeste arvudega, siis on lihtsam väga suuri ja väga 
väikseid arve esitada standardkujus: 
, kus   on mingi arv ühe ja kümne vahel. 
Kümne astendaja   näitab selles kujus arvu suurusjärku.
Näiteks Päikese mass on standardkujus 
 kg ning elektroni mass on 
 kg. Nüüd on ka tunduvalt kergem leida, mitu korda on Päike raskem 
kui elektron :
ehk ligi 60 suurusjärku!
116
asteNdaja Null põhjeNdus Nohikutele*
Üritame järgnevalt ka natuke matemaatiliselt motiveerida , miks kõikide arvude 
nullis aste peaks ikkagi olema ühega võrdne.
Mõtleme korra uuesti korrutamisest – tuletame meelde, et mistahes arvu nulliga 
  aste
korrutamine annab vastuseks nulli. Sellest, miks nulliga korrutamine peaks nulli 
andma, võib mõelda mitmel moel.
arvu
Üks viis on öelda, et meile meeldiks, kui korrutamine ja liitmine saaksid omavahel 
hästi läbi. Tahaksime, et võiksime näiteks kenasti sulge avada ja kirjutada:
 
 
Seda korrutamise ja liitmise kokkusobimist nimetatakse ka uhkelt korrutamise 
ja jagamise distributiivsuseks. Tegelikult kasutate seda igapäevaselt, näiteks 
Kui nüüd võtaksime aga arvu   võrdseks nulliga ja arvu   näiteks kahega, saaksime, et 
Nüüd on mõlemal poolel liige 
 ja seega peab parema poole üleliigne liige 
 
olema võrdne nulliga. Arvu kaks valisime aga täiesti suvaliselt, seega tõesti nulliga 
korrutamisel peaks iga arv andma tulemuseks nulli. 
Millist ilusat omadust tahaksime astendamiselt? Me tahaksime, et ta saaks kor-
rutamisega hästi läbi. Kui korrutame sama arvu läbi esmalt n korda ja seejärel m 
korda, peab tulemus olema võrdne arvuga, mille saame siis, kui korrutame arve 
kohe kokku 
 korda ehk teisisõnu tahame, et  
. Aga kui nüüd 
võtame m-i võrdseks nulliga ja  -i võrdseks 2-ga, saame 
Seega kuna ainult ühega korrutades saame täpselt sama arvu, peab   olema 
võrdne ühega! Ja muidugi jällegi oleksime võinud ju arvu kaks asemel võtta (pea-
aegu) ükskõik mida muud – seega astendades suvalist arvu nulliga saame vastu-
seks ühe.
117
Null astmel Null
Eelnev arutelu pole siiski päris korrektne – end eelmises lõigus sulgudes peitev 
„peaaegu” käib arvu 0 kohta. Nimelt kui võtaksime eelnevas arutelus arvu   võrd-
seks nulliga, saaksime tehte 
. Kuna aga   on võrdne nulliga vähemalt 
  aste
iga 
 jaoks (korrutame ju lihtsalt positiivse koguse nulle kokku), ei saa me sel-
arvu
lest tehtest midagi öelda   väärtuse kohta. 
Selgub, et ajalooliselt ongi   matemaatikutele suurt peavalu valmistanud, ühel 
nõul pole olnud ka päris suured matemaatikud. Ka täna leidub veel kaks vastas-
leeri: ühed ütlevad, et   ei olegi defineeritud, ja teised on veendunud, et see peab 
olema võrdne ühega. Milles on probleem? 
Ühelt poolt peaks   olema võrdne arvuga, mille saame, kui avaldises   muudame 
positiivset arvu   järjest väiksemaks. Kuna   on iga positiivse  -i jaoks võrdne nul-
liga, siis peaks ka   olema võrdne nulliga. 
Teiselt poolt peaks aga   olema võrdne ka arvuga, mille saame, kui avaldises   
muudame positiivset arvu   järjest väiksemaks. Eelneva põhjal teame, et   on 
võrdne ühega iga nullist erineva   jaoks. Seega peab ka   olema võrdne ühega.
Kuna meil on matemaatiliselt   defineerimiseks kaks erinevat võimalust, mis oma-
vahel sugugi kokku ei sobi, ei tundu sugugi ülekohtune teda mittedefineeritavaks 
pidada. Siiski leidub neid, kes arvavad , et meil on piisavalt põhjuseid arvamaks, et 
. 
118
Kusjuures  kõik on vähemalt selles päri, et kui üldse    arvuna defineerida, siis peaks 
tema väärtuseks saama justnimelt 1 ja mitte näiteks 0 või hoopis mõni muu arv.
Esiteks, nagu juba mainisime, tahaksime kinni hoida juba meile tuntud tehetest ja 
valemitest. Kui valiksime ükskõik millise teise väärtuse, siis võiksime leida mõne 
valemi – nagu näiteks ennist kasutatud �(𝑚+𝑛) = �𝑚 · �𝑛 –, mis enam selle valiku 
  aste
korral kahjuks ei kehtiks. Kui võtame juba selles samas valemis � = 0, 𝑚 = 0, 𝑛 = 0,  
näeme, et    ·   =   . Seega, kui otsustame defineerida arvu   , peab selle arvu 
arvu
ruut olema tema endaga võrdne. Ehk ta ei tohiks olla ükski teine arv peale arvude 
1 ja 0, mida kohtasime võimalike variantidena juba eelnevas arutelus.
Valides aga järgnevalt valemiks �𝑛 =        
1     , mis kehtib alati kui � > 0, näeme, et    
�_𝑛
väärtuseks ei tahaks hästi sobida isegi arv 0. Muidu oleks ju üks valemi pool 0, ent 
teisel pool üritaksime jagada nulliga, ja see meile muidugi ei meeldi. Seega, kui    
on arv, siis olgu ta arv 1.
Lisaks toetab kokkulepet    = 1 pisut ka tõlgenduslik pool. Näiteks meiegi mõtle-
sime astendajast 0  kui tühjast tehtest ja sel juhul ei tohiks ju vahet olla, mis astme 
aluseks on – tühi tehe jääb alati tühjaks tehteks ning peaks olema ka sama väärtu-
sega. Kõik teised arvud astmel 0 on aga võrdsed ju täpselt 1-ga.
Kokkuvõttes, ega ei teagi, kuidas on parem – kas jätta segaduse vältimiseks   
defineerimata või talle siiski anda mugavuse  tõttu väärtus 1?
119
arvu absoluutväärtus
äärtus
Joonistame arvtelje, lööme sinna naelaga keskele  nulli, võtame nöörijupi ning 
tähistame kaks arvu   ja 
. Need arvud on nullpunktist samal kaugusel. Seda kau-
absoluutv
gust nullpunktist nimetatakse arvu absoluutväärtuseks.
Seega arvude   ja   absoluutväärtus on  , kuna nad asuvad mõlemad nullpunktist 
täpselt ühiku kaugusel, ning samamoodi on arvude   ja 
 mõlema absoluutväär-
tus  . 
Kuna arvu absoluutväärtus tähistab kaugust, ei saa ta muidugi olla negatiivne. 
Arvu absoluutväärtust tähistatakse, asetades arv püstkriipsude vahele. Näiteks 
 ja 
. Võibki mõelda, et kriipsud suruvad miinuse kokku. 
Matemaatiliselt võib arvu absoluutväärtuse defineerida nii:
kui x on positiivne, siis 
kui x on negatiivne, siis 
kui x on võrdne nulliga, siis 
Kui leiame iga reaalarvu jaoks tema absoluutväärtuse, saame järgmise graafiku – 
funktsiooni   graafiku.
120
Oluline on võibolla ka märgata, et kuigi defineerisime arvu absoluutväärtuse kui 
tema kauguse nullist, võime absoluutväärtuse abil kirjeldada tõesti kõikide arvude 
vahelisi kauguseid. On ju arvude   ning   vahelise kauguse leidmine täpselt võrdne 
nende vahe 
 (või miks ka mitte 
) kaugusega nullpunktist.
äärtus
milleks meile arvu absoluutväärtus?
absoluutv
Selgub, et nii mõnigi kord oleneb arvude käitumine rohkem nende absoluutväärtu-
sest kui nende täpsest asetusest arvteljel.
Oletame näiteks, et hakkame ühte arvu iseendaga korrutama. Kui selle arvu abso-
luutväärtus on suurem kui 1, satume nullist järjest kaugemale, kui aga arvu abso-
luutväärtus on 1-st väiksem, läheneme järjest  nullile . Järgnevatel graafikutel oleme 
võtnud neli arvu x , õ , y  ja z  ja hakanud neid iseendaga korrutama. Kahe esimese 
0
0
0
0
absoluutväärtus on ühest suurem ning nii suunduvad iseendaga korrutamisel saa-
dud arvud nullist järjest kaugemale. Kahe viimase absoluutväärtus on ühest väik-
sem ning nende korrutised koonduvad nulli suunas.
121
äärtus
absoluutv
Saadud arvude järjendeid kutsutakse geomeetriliseks  jadaks  ja nendega  kohtume  
veel lähemalt [lk 131]! 
Arvu absoluutväärtus tuleb esile ka füüsikas, kus tihti huvitab meid mitte ühe või 
teise objekti positsioon, vaid hoopis objektide vaheline kaugus. Samamoodi võime 
mõelda ka kiirustest. Kui oleme ise näiteks keset pikka sirget teed ja lööme enda 
kõrvale nullpunkti, on meie poole liikuvatel objektidel negatiivne kiirus. Selle kii-
ruse suurust näitab siis tema absoluutväärtus. 
122
Arvu absoluutväärtusega saab kirja panna ka võrrandeid [lk 168]. 
Näiteks võrrand kujus
tähendab, et otsitakse väärtusi  , mis on arvust 1 kaugusel 2. Absoluutväärtustega 
äärtus
võrrandit käsitleme veidi pikemalt juba raamatu neljandas osas [lk 202].
absoluutv
123
jada
124
jada
osa 3
arvude sõbrad 
ja sugulased
125
jada
126
Töö efektiivsus suureneb vastavalt  
geomeetrilisele jadale,  
kui just katkestusi pole. 
jada
André Maurois
127
jada
jada
Arvujada mõistet võib selgitada pikkade sõnadega, aga alustame parem näidetega.
paarisarvude jada ehk aritmeetiline jada vahega kaks
suvaline lõplik üheksaliikmeline  täisarvude jada
lõpmatu konstantne jada
arvule π lähenev ratsionaalarvude jada
geomeetriline jada teguriga kolm
Fibonacci arvude jada
Jada ongi tavaline arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust hulgast arvudest 
või lausa lõpmatult paljudest. Kui hakkad lihtsalt arve ritta seadma, ongi tulemu-
seks arvujada. Igaüks võib muidugi kirja panna oma lemmikjada ja kinkida selle 
südamekaaslasele sünnipäevaks ning kui ka seda juhtub harva, on jadad siiski nii 
päriselus kui matemaatikas levinud ja olulised objektid. 
Näiteks võib õppelaenu igakuistest tagasimaksetest mõelda kui arvujadast ja ka 
vihmaste päevade arv igas aastas tekitab arvujada.
Jadade kohta võib esitada erinevaid matemaatilisi küsimusi ning selgub, et neil 
küsimustel on ka täiesti elulised tähendused. Mis on jada kümnes liige ehk mis on 
mu kümnes laenu tagasimakse? Mis on jada kuuekümne esimese liikme summa või 
kui palju päevi sadas esimese kuuekümne aasta jooksul? Kas on võimalik öelda, mis 
on kõikide jada liikmete summa?
128
Üldjuhul võivad need küsimused osutuda üsna keerulisteks. Nii huvitavadki mate-
maatikuid algul lihtsamad juhud, mille korral nad kõikidele küsimustele vastata 
oskavad. Ka see on põnev, sest
•  esiteks võib nii leida ideid ka keerulisemate olukordade jaoks 
•  ning teiseks selgub, et tihti ongi kõk elus ettetulevad jadad 
tegelikult matemaatiliselt üsna lihtsad. 
jada
Need lihtsamad jadad tulevad ette kooliprogrammis ja järgnevalt tutvustamegi 
neid lühidalt. 
aritmeetiline jada
Kõige lihtsamad jadad on konstantsed ja lõplikud jadad. Lihtsuselt järgnevad arit-
meetilised jadad. Nendel jadadel on iga kahe järjestikuse liikme vahe võrdne. Järg-
nevas näites on see vahe  . Seda vahet kutsumegi jada vaheks ja tähistame tihti 
-ga. 
Aritmeetilise jadaga teevad ihnuskoid algust algkoolis – pannes iga nädal kõrvale 
kogu antud  taskuraha . Nii moodustavad nende iganädalased rahakogused arit-
meetilise jada ja koolis õpivad nad ennustama, millal võiksid miljonäriks saada. 
Peab kahjuks tunnistama, et aritmeetiline jada kasvab sellise eesmärgi tarvis pisut 
liiga aeglaselt.
Aritmeetilise jada jaoks on eeltoodud küsimustele lihtne vastuseid leida. 
Näiteks teades jada esimest liiget oskame lihtsalt kirja panna ka teise liikme: lii-
dame esimesele liikmele vahe juurde. Nii saamegi, et näiteks jada sajanda liikme 
võime leida esimese liikme põhjal talle lihtsalt 99 korda vahet juurde liites ehk 
matemaatiliselt: 
. Siin tuleb märgata, et võtsime salamahti 
kasutusele uue tähistuse: 
 all mõtleme jada sajandat liiget. 
129
Üldkujus võime jada  -nda liikme   kirjutada kujul
Jada summa valemi leidmiseks tuleb märgata, et kahte jada, millest üks suureneb 
ja teine väheneb sama arvu võrra, on kerge kokku liita. Näiteks kui tahame leida 
jada  summat , mille liikmed on ühest sajani, võime jada lihtsalt kokku liita tema 
jada
ümberpööratud versiooniga, mille liikmed on sajast üheni. 
Tulemiks on konstante  jada, milles on täpselt sada liiget, iga neist väärtuseks 101. 
Kuna ümberpööratud jada liikmete summa on võrdne algse jada liikmete sum-
maga, järeldub tehtud tähelepanekust ka esimese 100 arvu summa:
Leidmaks üldkujus aritmeetilise jada 
 esi-
mese 
 liikme summavalemit, peame talle lihtsalt juurde liitma jada 
 
Kasutades seejärel eelnevat arutelu, saame tulemuseks:
Kui soovid, et valem oleks lühem, siis ei pea viimast liiget välja kirjutama:
nimetus
Viimaks on õigustatud ka uudishimu: kust õige pärineb nimi „aritmeetiline jada“? 
Täpset vastust meil lugejale pole. Üks võimalus on öelda, et aritmeetiline jada on 
seotud aritmeetilise keskmisega: kolmest järjestikusest aritmeetilise jada liikmest 
on keskmine liige äärmiste aritmeetiliseks keskmiseks [lk 198].
Teine võimalus on mõelda aritmeetikast laiemalt. Nimelt võib mõelda, et kõige 
lihtsamas vormis tegeleb aritmeetika naturaalarvude liitmise, korrutamise ja 
130
võimaluse korral ka lahutamise , jagamisega. Kui nüüd vaatame lõpmatult pikka 
aritmeetilist jada, mille esimene liige on null ning vahe  , siis saame arvud kujus 
 Lihtne on näha, et sellise aritmeetilise jada arve omava-
hel liites ja korrutades saame alati tulemuseks jälle sama aritmeetilise jada liikme. 
Seega mingis mõttes võime teha aritmeetilise jada liikmetega aritmeetikat! See 
pole muidugi suur ime, kui mõelda, et toodud aritmeetiline jada on peaaegu natu -
raalarvude koopia, ainult arvuga d läbikorrutatult. 
jada
geomeetriline jada
Kui võtta malelaud (
 ruutu) ning asetada esimesele ruudule üks riisitera, tei-
sele juba kaks riisitera ja igale järgnevale ruudule kaks korda rohkem riisiterasid kui 
eelnevale, siis mitu tera on lõpuks malelaual kokku?
Legendi kohaselt tutvustas male leiutaja oma uut mängu kohalikule 
valitsejale. Valitseja oli uue mänguga väga rahul ning lubas leiutajal 
endale valida ka väärilise tasu. Mees, kellel tarkust puudu ei tulnud, 
sõnas kuningale : „Auväärt kuningas, ma paluksin endale niipalju riisi- 
terasid, kui on kokku malelaual asetades esimesele maleruudule ühe, 
teisele kaks, kolmandale neli ning igale järgnevale veel kaks korda 
enam riisiteri.” Valitseja, kes polnud matemaatika ega matemaati-
liste veidrustega sina peal, nõustus kiirelt ettepanekuga, pidades 
seda vahest isegi solvavalt vähenõudlikuks. Niisiis käskiski ta vara-
hoidjal riisiterade hulga välja arvutada ning leiutajale üle anda. 
Varahoidjal läks aga terve nädal lubatud riisikoguse leidmiseks. Kui 
valitseja päris viivituse põhjust, siis varahoidja näitas talle arvutuse  
lõpptulemust ning selgitas, et sellist tasu ei suudaks kuningas ka oma 
elu jooksul välja käia. Nüüd oli valitsejale selge, mis leiutajaga pihta 
hakata: ta lasi nutika mehe nutika pea maha lüüa, et seeläbi igasu-
gustele ülekavaldajatele koht kätte näidata.
Terade arv malelaua ruutudel on järgnev:
Mis on selle jada 64. liige? 
Mis on jada 64 esimese liikme summa?
131
Kui aritmeetilises jadas leitakse iga järgmine liige, liites eelnevale teatud kindla 
arvu, siis praegu leiame iga järgmise jadaliikme, korrutades eelmist liiget mõne 
kindla arvuga – meie konkreetsel juhul on selleks arvuks kaks. Selliseid jadasid 
nimetatakse geomeetrilisteks jadadeks ning arvu, millega iga järgnevat läbi korru -
tatakse, jada teguriks .
Kui tähistame jada kordajat  -ga ning jada liikmeid nagu ikka tähistu-
jada
sega 
, saame analoogiliselt aritmeetilise jada juhuga 
, seejärel  
 ning üldisel kujul
Nii võime ka välja arvutada, et malelaua viimasel ruudul peab olema 
 riisitera, mis on umbes 200 miljar-
dit tonni riisi.
geomeetrilise jada summa valem
Geomeetrilise jada summa valemi leidmiseks on taas kord vaja vaid ühte tähelepa-
nekut ja head kannatust sümbolitemölluga. 
Meenutame, et korrutades suvalise jada liikme   arvuga  , saame jada järgmise 
liikme 
. Seega on jada esimese   liikme summa 
 ainult   
korda erinev summast  
, mis on sama jada   liikme summa alates 
teisest liikmest.
Kuna need jadad erinevad aga ainult kahes liikmes – esimeses neist esineb   ja ei 
esine 
 ning teises esineb 
, aga ei esine   –, siis on nende jadade summade 
vahe täpselt võrdne 
-ga.
Seega tähistades geomeetrilise jada esimese n liikme summat jällegi   abil, võime 
eelneva arutluse kirja panna kompaktsemalt nii:
Jagades mõlemad pooled läbi 
-ga, jõuame valemini 
, mis kasu-
tades jada üldliikme valemit annab  tulemuseks 
Hääbuv geomeetriline jada
Kui geomeetrilise jada tegur on absoluutväärtuselt väiksem kui üks, nimetatakse 
saadud jada hääbuvaks geomeetriliseks jadaks.
Näiteks jada 
 on hääbuv jada teguriga  . Mis on sellise jada kõikide 
liikmete summa? 
132
Kuna kokku on sellises jadas liikmeid lõpmata palju, võiks ju arvata, et seda sum-
mat ei annagi hästi arvutada – ta võiks ju ka olla lõpmatult suur, nii suur, et teda ühe 
arvuga väljendada ei saagi. Selgub siiski, et tegemist on alati lõpliku ning tihti isegi 
mitte väga suure arvuga.
Selle probleemiga on tihedalt seotud ka vanakreeka filosoofi Zenoni 
paradoks, mis väidab järgmist: kui aeglasemale startijale on antud 
jada
võidujooksus edumaa, siis ei saa kiirem  jooksja  kunagi aeglasemast 
jooksjast ette jõuda. Nimelt enne, kui kiirem jooksja aeglasest möö-
dub, peab ta esiteks jõudma punkti, kust aeglasem alustas. Selleks 
hetkeks on aga aeglasem jooksja juba edasi, järgmisesse punkti 
jõudnud. Nüüd peab kiirem jooksja enne möödumist hoopis sellesse 
punkti jõudma. Ja jälle on aeglasem edasi jõudnud. Nii võime lõpma-
tult jätkata, kuna iga kord, kui kiirem jooksja jõuab aeglasema eelmi-
sesse punkti, on too sealt juba lahkunud. 
Ometigi teame, et kiiremad jooksjad mööduvad aeglastest – sellest siis ka põhjus, 
miks seda arutlust paradoksiks kutsutakse. Võib-olla suudate pärast selle peatüki 
läbitöötamist näha, miks see „intuitiivne” argument siiski päris hästi paika ei pea.
Pirukad ja hääbuva geomeetrilise jada summa
Vaatleme nüüd enne toodud jada 
 pisut lähemalt.
Võime sellest jadast ka muinasjutuliselt mõelda. Oletame, et täpselt kilomeetri 
kaugusel asub pirukaputka, mille poole hiilib saabasteta kass. Jõudnud poolele 
teele, on tal läbitud pool kilomeetrit ja läbida jäänud samuti veel pool kilomeetrit. 
Tähistagu jada esimene liige selle esimese jalutuse pikkust: 
 km.
Luuranud hetke, otsustab ta hiilida veel poole jäänud maast – see tähendab pool 
poolest kilomeetrist ehk veerand kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse 
 km. 
Piilunud veel kord ümberringi ja hinganud sügavalt sisse, otsustab kass kõndida  
veel poole järele jäänud maast – veel poole veerandist kilomeetrist ehk kaheksan -
diku kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse 
 km.
Nii ongi iga edasiliikumine  vastavuses ühe jada liikmega ja jada summa on vastavu-
ses kokku läbitud distantsiga. Aga pirukaputkani oli alguses täpselt üks  kilomeeter  
ja seega, kuna kass putkast kaugemale kindlasti ei jõua, ei saa ka jada summa olla 
suurem kui üks. Tegelikult on see summa täpselt üks, sest pirukaputkani jääv maa 
muutub nii olematuks , et saabasteta kass paneb tingimata mõne piruka ka nahka.
133
Seda, et jada summa on lõplik, võib muidugi selgitada ka kasutades eelnevas tär-
niga osas leitud jada liikmete summa valemit:
Nüüd kui 
, siis on see valem igati lõpliku väärtusega ning lisaks kahaneb   
jada
astendaja n kasvades järjest väiksemaks ning läheneb kiiresti nullile.  
Nii võime tegelikult näha, et kõikide liikmete summa läheneb arvule 
.  
Täpsemalt on   jada   piirväärtus [lk 310].
Jada 
 jaoks on 
 ja 
 ning seega on tõesti selle jada summa 
täpselt 1.
nimetus
Aritmeetilise jada nime põhjendasime osati hüüdlausega „Aritmeetilise jadaga 
saab teha aritmeetikat!“. Oleks ju väga tore, kui geomeetrilise jadaga saaks teha 
geomeetriat... ja mingis mõttes saabki! Nimelt võib mõelda, et alustame ühest tea-
tava pikkusega lõigust ja kõik edasised liikmed lihtsalt suurendavad seda teataval 
määral. Seega on geomeetriline jada seotud ühe lihtsaima geomeetrilise  teisen -
duse – skaleerimise ehk suurendamise ja vähendamisega. 
Kuigi lihtne mõte, võib see vaateviis siiski osutuda kasulikuks. Näiteks pirukapoe 
külastuse  juures illustreerisimegi jada 
 summa lõplikkust ka geomeetriliselt. 
Muidugi on lisaks sellele ka geomeetriline jada seotud geomeetrilise keskmisega – 
jällegi on kolmest järjestikusest liikmest keskmine äärmiste geomeetriliseks kesk-
miseks [lk 198].
134
mõned teised põnevad jadad
Nagu juba sissejuhatusest näha, leidub ka teisi põnevaid jadasid, mille omaduste 
kallal on matemaatikud palju pead murdnud. Toome neist mõned matemaatiku-
tele meelepärased näited.
jada
Algarvude jada
Meenutame, et algarvudeks kutsutakse arve, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega. 
Esimeses osas näitasime, et algarvusid on lõpmatult palju [lk 46]. Algarvude jada 
algab nii:
Algarvudega on endiselt seotud palju veel lahendamata küsimusi. Näiteks ei ole 
teada, kas leidub lõpmatult palju kaksikalgarve – algarvude paare, mis erinevad 
teineteisest kahe võrra. Sellisteks paarideks oleks näiteks 
 või 
. 
Suurimal leitud paaril on tänaseks kümnendesituses 200700 numbrit!
Huvitav hiljuti tõestamist leidnud teoreem väidab, et algarvude jadade sees võib 
leida soovitud pikkusega aritmeetilisi jadasid. Teisisõnu, on võimalik leida nii 10,  
1000 kui 20 350 liikmega aritmeetiline jada, mille kõik liikmed on algarvud . Proo-
vige kasvõi leida 4 liikmega aritmeetiline jada, mille liikmed on algarvud!
Algarvude pöördarvude jada
Huvitavaks osutub ka algarvude pöördarvude jada
Selle jada muudab huvitavaks tema liikmete summa ääretult aeglane, kuid visa  
suurenemine. Ükskõik mis arvu jaoks võime alati leida teise arvu  , nii et algarvude 
pöördarvude jada   esimese jada liikme summa oleks mõeldud arvust suurem. 
Samas aga suureneb see jada nii aeglaselt, et näiteks kui soovime, et esimese   
liikme summa oleks kokku 7, peab selleks summeerima ligikaudu 
 jada 
liiget!
See jada on ka ilus näide sellest, kuidas  arvutitega  tehtavad katsed võiksid meid 
eksiteele viia. Algarvude pöördarvude jada kasvab nii aeglaselt ning iga arvutiga 
tehtud eksperiment veenaks meid, et jada summa ei saa kuidagi olla lõpmatult 
suur.
Ometigi on matemaatiliselt võimalik näidata, et jada summa on lõpmatult suur.
135
Naturaalarvude pöördarvude ruutude jada
Selle jada kõikide liikmete kokkuliitmine annab jälle ühe üsnagi üllatava seose:
jada
Kas oskate leida mõne põhjuse, miks naturaalarvude pöördarvude ruutude summa 
peaks olema seotud ringi pindalast tuntud arvuga  ?
Selle huvitava seose leidis üks läbi aegade suurimaid matemaatikuid Leonhard 
Euler 1735. aastal. 
Huvitaval kombel ei rahuldanud tema tõestus teisi tolleaegseid matemaatikuid 
ning läks veel kuus aastat pärast avastust, enne kui ta suutis ka teisi selle seose 
tõesuses veenda. 
Fibonacci jada
Fibonacci jada iga järgnev liige tekib kahe eelneva liikme liitmisel. Jada alustami-
seks tuleb meil seega lihtsalt määrata kaks esimest liiget
Kõik järgnevad liikmed saame seejärel lihtsalt välja arvutada.
Näiteks 
, 
 ja nii edasi. Üld- 
kujus võiksime kirjutada Fibonacci jada liikmeid siduva võrrandi
Fibonacci arvud tulevad esile erinevates ja üllatavates kohtades. Üks lihtsam üles-
anne, mille  lahendavad Fibonacci arvud, on järgmine: 
Kui mitu erinevat võimalust on n astmega trepist ülesronimiseks, hüpates korraga 
alati kas ühe või kaks astet edasi? Näiteks kolmeastmelisest trepist on võimalik üles 
minna kolme moodi: 
 või 
, neljaastmiselisest viit moodi jne.
Üllatavalt palju rakendatakse Fibonacci arve viimasel ajal informaatikas: nende 
abil üritatakse tekitada juhuslikke arve, leida  uusi otsingualgoritme ning luua isegi  
136
andmestruktuure. Kahtlustatakse, et Fibonacci jada on kasutatud ka  muusika kom-
poneerimiseks ning hoolikas loodusvaatleja leiab Fibonacci jadaga seotud spiraale 
ja mustreid ka kosutaval matkal. 
jada
Lisaks selgub, et Fibonacci järjestikuste liikmete suhe läheneb ühele kindlale arvule. 
Veelgi enam, see arv pole mingi suvaline arv, vaid niinimetatud kuldlõike suhtarv 
 
Kuldlõike suhtarv on leidnud läbi ajaloo palju austust ja lugupidamist. Tema nime-
tus tuleb sellest, et ta peaks olema aluseks ilusaimatele proportsioonidele. Näiteks 
arvatakse, et just  kuldlõige  annab ristküliku jaoks kõige  ilusama  pikkuse ja  laiuse  
proportsiooni.  Seetõttu on nii mõnigi autor otsustanud ka oma raamatu välja anda 
just nendes proprotsioonides. 
Siinkohal lõpetame veel tänaseks lahendamata matemaatilise küsimusega. Kas 
eksisteerib lõpmata palju Fibonacci arve, mis on algarvud (esimesed sellised arvud: 
)? Arvatakse, et vastuseks on jah, aga seda tõestada 
ei osata. Huvitav, mis selles nii rasket on?
Väike mõistatus neile, kellel on aega ja agarust ülearu:
Antud on ühe jada algus:
Mis on jada järgmine liige? 
137
vektor
or
vekt
Kui eelmise peatüki lõpetasime väikese mõistatusega, siis seekord alustame väi-
kese mõistatusega: mis on pildil?
Tahtsite vastata nooled? Ei, matemaatiku, füüsiku ning hoolsa koolijütsi jaoks on 
need hoopis vektorid! 
Vektoritest võibki lihtsalt mõelda kui nooltest. Nagu iga noolt , iseloomustab vek-
toreidki teatav suund ja teatav pikkus. Vektorid osutuvad oluliseks, kuna nende abil 
võib kirjeldada objekte, mille puhul on olulised nii nende suund kui tugevus. 
Näiteks professionaalsed tuulelohetajad (või purjetajad) on kindlasti uurinud koha-
liku piirkonna tuulte kaarti – sealsed paljud nooled, mis kirjeldavad tuulte suunda ja 
tugevust, on tuulevektorid. 
Samuti on füüsikutel kombeks rääkida jõuvektoritest: kui ikkagi kellegagi kätt 
surute, tuleb jõudu avaldada nii teatud tugevusega kui ka õiges suunas. 
Iga liikujat võib aga iseloomustada kiirusvektoriga: igas punktis liigub ta mingis 
suunas mingi kiirusega.
138
kuidas vektorit matemaatiliselt   
kirja panna?
Kahemõõtmeline vektor ei ole midagi muud kui lihtsalt reaalarvude paar – näiteks 
or
  Kolmemõõtmeline vektor on tavaline reaalarvude  kolmik – näiteks 
Kena näide kümnemõõtmelisest vektorist on igal juhul  
 
vekt
ja mis on kahe tuhande üheteistkümne mõõtmeline vektor, pole vist ka keeruline 
välja nuputada... kuigi võib olla keerulisem kirja panna.
Et seost nooltega meelde tuletada, tähistatakse vektoreid ka tavaliselt tähe ja noo-
lekesega, nagu näiteks   või   või  . Näiteks vektor 
. Muidugi ei keela  
keegi näiteks liikumisvektorile nimeks panna 
, ainult kirjavaeva oleks nii roh-
kem.
Arvulise kirjapaneku ja visuaalse mõtte vahelist seost illustreerib järgmine joonis. 
Kahemõõtmelist vektorit kirjeldavad kaks arvu (mida kutsutakse  koordinaatideks ) 
näitavad, kui kaugele ulatub nool kahes ristuvas suunas. Kolmemõõtmelise vektori 
korral oleks meil juba vaja kolme ristuvat suunda, neljamõõtmelise joonistamine 
läheks juba raskeks...
vektoritega mängimine
Vektorile on väga lihtne intuitiivne selgitus – 
nooleke pikkuse ja suunaga. Ometi on vektoril 
kui matemaatilisel objektil palju erinevaid oma-
dusi, teda võib mitmel moel teisendada ning 
temaga teha erinevaid tehteidki. 
139
Sellest lähtuvalt on kogu see alapeatükk täis uusi mõisteid ja trikikesi, millest ühe 
korraga läbinärimine võib olla üsna väsitav . Nii soovitamegi vaadata kõiki järgnevaid  
kirjutusi ühe- või kahekaupa ja iga omaduse, teisenduse  ja tehte juures võtta kõrvale 
mõni konkreetne näide, nägemaks, et midagi keerulist kogu peatükis siiski pole.
or
vekt
võrdsed vektorid
Kui oleme defineerinud mõne uue matemaatilise objekti, siis on esimene loomulik 
küsimus: millal on kaks sellist objekti võrdsed? Ehk millal on kaks vektorit võrdsed?
Õnneks on vektorite puhul vastus üsna ilmne ja lihtne. Kui mõelda vektorist kui 
mitmest ritta seatud arvust, on üsna kärmelt selge, mida peaksid tähendama võrd-
sed vektorid: kõik vektori koordinaadid peavad olema võrdsed.
vektori pikkus
Vektori   pikkust   arvutame täpselt nagu punkti kaugust nullpunktist. Seega 
kahemõõtmelise vektori pikkuse võime välja arvutada nii nagu ikka täisnurkse  
kolmnurga hüpotenuusi. 
140
Juhul kui vektor on kolmemõõtmeline, peame seda arutluskäiku rakendama liht-
salt kaks korda. Siin on näide vektoriga 
or
vekt
vektorite liitmine
Vektorite liitmisest saame mõelda mitmel viisil. Vektoreid on vaja liita näiteks siis, 
kui tahame kokku liita mitu erinevat ühele objektile mõjuvat jõudu.
Esmalt võime liitmisest mõelda arvulise esituse abil. Sel juhul teeme seda koordi-
naatide kaupa: näiteks 
Samas võime vektorite liitmisest mõelda ka geomeetriliselt. Summavektori leid-
miseks peame lihtsalt liidetavad vektorid teineteise järele seadma.
Summavektor viib niisiis esimese vektori  alguspunktist  teise lõpp-punkti. Too-
dud jooniselt on hästi näha, miks geomeetrilist liitmist kutsutakse ka „ rööpküliku  
reegliks”.
Toodud geomeetriline mõtteviis annab hea tõlgenduse juhule, kui näiteks kolme 
või nelja või kuue vektori summa on null. 
141
Tõepoolest, kui kolme vektori summa on null, siis peab kolmanda vektori lõpp-
punkt olema esimese vektori alguspunktiks ning joonisele tekib kolmnurk . Näiteks 
kui meil on vektorid 
 ja 
, siis kokku liites saame tõesti null- 
vektori 
or
vekt
Samamoodi kui näiteks nelja vektori summa on null, defineerime selle abil neli-
nurga, ja kui kuue vektori summa on null, siis kuusnurga. 
Hoolikas lugeja muidugi märkab, et oleme siin natuke luisanud. Kui võtame vek-
torid 
 ja 
, siis ei teki ju siiski kolmnurka, sest kõik vektorid on 
samal sirgel.
Õnneks ongi see pisiasi ainus, mis saab muidu nii ilusa seose untsu  ajada.
Nullvektor , vastandvektor
Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites 
saame tulemuseks selle arvu enda.  Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvek-
tor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvek-
tor on siis muidugi 
. Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvek-
tori :  vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori. Näiteks vektori 
 
vastandvektor on 
142
or
vekt
vektorid ja korrutamine
Vektoreid võime reaalarvudega korrutada. Sellest võib jällegi mõelda vektori koor-
dinaatide abil: korrutame lihtsalt iga koordinaati reaalarvuga. 
Samas on olemas ka geomeetriline mõtteviis: vektorit reaalarvuga korrutades 
pikendame või lühendame vektoreid. Kui reaalarv, millega vektorit korrutame, on 
negatiivne, siis muudame lisaks veel vektori suuna vastupidiseks. 
Seega ei ole väga raske korrutada vektoreid reaalarvudega. Aga kas vektoreid saab 
ka omavahel korrutada? 
Vastus on jällegi jah, aga selle jaoks peame natuke  loobuma  oma senisest arusaa-
mast korrutamise kohta. Õigem oleks siis võib-olla öelda, et neid saab omavahel 
„korrutada“.
Õigupoolest saab vektoreid omavahel korrutada mitmel moel, aga kuna ükski neist 
ei ole päris analoogne arvude korrutamisega, on neile antud ka eraldi nimetused:  
1) skalaarkorrutis ja 2) vektorkorrutis . Kahe vektori skalaarkorrutis annab tulemu-
seks lihtsalt reaalarvu, vektorkorrutis aga jälle ühe uue vektori. 
143
Omaette küsimus on muidugi, miks peaksime tahtma vektoreid üldse omavahel 
„korrutada”. Matemaatiliselt on see soov üsna loomulik, kuna kõik hästi valitud 
teisendused ja tehted kannavad endas lootust luua rohkem seoseid erinevate 
matemaatika harude vahel ning seega võivad viia parema arusaamani kogu mate- 
maatikast. 
or
Õnneks leidub praktilisele lugejale siiski ka eluline vastus: nimelt nagu varsti näeme, 
vekt
on füüsikutel nii skalaarkorrutise kui vektorkorrutise jaoks olemas igati intuitiivne 
ja looduslik tõlgendus: skalaarkorrutis näitab, mil määral füüsikalised suurused 
töötavad ühe eesmärgi nimel. Näiteks kui üht keha liigutatakse teatavas suunas 
ühe jõu abil, siis skalaarkorrutis annab meile teada, kui palju tehti keha liigutamisel 
kasulikku tööd. Vektorkorrutis omakorda aitab kirjeldada, mil määral üks või teine 
jõud suudab kehasid pöörlema panna.
Lisaks  selgub,  et  skalaar-  ja  vektorkorrutis  osutuvad  oluliseks  arvutigraafikas. 
Nimelt võib nende abil taandada kõiksugu geomeetrilised teisendused nagu pöör-
ded, peegeldused puhtalt koordinaatidega arvutustele, millega arvutid kenasti 
toime tulevad.
Lõpetuseks võib õhku jääda muidugi küsimus: kas vektoreid kuidagi omavahel 
„jagada” ka saab?  
Seekord saame lõpuks vastata „ei“, vähemalt skalaarkorrutise ja vektorkorrutise 
jaoks jagamistehet ei leidu. Põhjus on üsna proosaline – kui me fikseerime ühe vek-
tori, siis leidub terve hulk teisi vektoreid, mis temaga „korrutades” annavad täpselt 
sama skalaar- või vektorkorrutise. Näiteks vektoriga 
 annavad skalaarkor-
rutise null kõik vektorid kujus 
. Need moodustavad aga kogu 
 tasandi ja 
me ei suuda nende hulgast jagamistehte vastust välja valida! 
skalaarkorrutis
Kui intuitiivselt kannab skalaarkorrutis samasuunalisuse mõtet, siis matemaati-
liselt võib skalaarkorrutisest mõelda ja teda defineerida [lk 44] kahel viisil. Need 
kaks viisi on ka igati samaväärsed. Seda samaväärsust tuleks matemaatiliselt tões-
tada, aga siinkohal piirdume siiski ainult nende kahe viisi tutvustamisega.
Skalaarkorrutis läbi koordinaatide
Üks  viis  skalaarkorrutise  defineerimiseks  on  koordinaatide  põhine:  kahe  vektori 
skalaarkorrutise saame, kui esmalt korrutame kahe vektori vastavad koordinaadid 
ning seejärel liidame kõik saadud korrutised omavahel kokku. 
144
Tähistades skalaarkorrutist silmapaistva punktiga , võime kirjutada näiteks:
Huvitav on märgata, et nii defineeritud korrutustehte tulemuseks on reaalarv.
Ei ole sugugi lihtne kohe aru saada, miks selline üsna lihtne definitsioon võiks sama-
or
aegselt ka huvitav või kasulik olla. Teatavat lootust annab juba teadmine, et võime 
teda samahästi defineerida ka hoopis teisel viisil.
vekt
Skalaarkorrutis läbi vektorite vahelise nurga
Skalaarkorrutis seob ka kavalalt vektorite vahelise nurga ja nende pikkused. Ta on 
võrdne vektorite pikkuse ning nendevahelise nurga koosinuse korrutisega: 
Kuigi sel moel on koordinaatidega antud vektorite vahelist skalaarkorrutist raskem 
leida, pakub see definitsioon hea viisi, kuidas skalaarkorrutisest näidete abil pisut 
aimu saada.
Märkame, et sellest  definitsioonist  lähtuvalt võime skalaarkorrutist vaadelda kui 
vektori   pikkuse korrutist selle osaga vektorist  , mis näitab vektoriga   samas 
suunas.
Seega
•  kui üks vektoritest on nullvektor, siis skalaarkorrutis on 0, sest 
nullvektori pikkus on null,
•  ühe vektori korrutis iseendaga annab täpselt vektori pikkuse 
ruudu, sest nurk vektorite vahel on   ja 
 – vektorid 
näitavad täiesti samas suunas,
•  kui kaks vektorit on omavahel risti, siis on nende skalaarkorrutis 
null, sest 
145
Üldisemalt näemegi, et kahe vektori skalaarkorrutis on maksimaalne, kui vektorid 
on samasuunalised. Hakates vektorite vahelist nurka suurendama , skalaarkorrutis 
väheneb ning tema väärtus on minimaalne siis, kui vektorid on  vastassuunalised.
Fakt,  et  skalaarkorrutist  saab  defineerida  kahel  moel,  muudab  tema  omaduste 
or
tõestamise üsna mugavaks – vähemalt ühes kujus on iga omadust lihtne tõestada. 
Samuti on erinevad kujud kasulikud erinevates probleemides: pikkuste ja nurga 
vekt
abil antud kuju on füüsikute lemmik, samal ajal kui arvutigraafikas on lihtsam kasu-
tada skalaarkorrutise leidmist koordinaatide abil.
Skalaarkorrutis ja füüsika
Suur osa füüsikalistest suurustest on samuti suuruse ning suunaga – näiteks liiku-
mine toimub ju teatud suuna ja kiirusega ning jõud mõjuvad mingis suunas ja mingi 
tugevusega. Skalaarkorrutis tuleb mängu füüsikaliste suuruste kombineerimisel. 
Näiteks kui vanasti kasutati hobuseid, et paati mööda jõge edasi viia, siis oli kõige 
targem hobust paralleelselt mööda jõeäärt talutada võimalikult kalda lähedalt.
 
Sellest võib mõelda skalaarkorrutise abil. Kui paat piki jõge liigub, võime tema lii-
kumist kirjeldada kiirusvektoriga. Hobune avaldab talle tõmbamisega jõudu, mida 
kirjeldame jõuvektoriga. Nende vektorite omavaheline skalaarkorrutis annab nüüd 
ajaühikus tehtava kasuliku töö ehk võimsuse. Intuitiivselt kannab skalaarkorrutis 
endas teadmist, et paadi edasiliikumisele aitab kaasa ainult jõu kiirusvektori suuna-
line komponent . Seda võiks kutsuda kasulikuks jõuks. Tõepoolest, kui hobune tõm-
baks paati risti jõega, oleksid jõuvektor ja kiirusvektor risti, skalaarkorrutis oleks 
null ja hobune paadi edasiliikumises rolli ei mängiks. Mida lähemal hobune jõele 
jalutab, seda paralleelsem on kiirusvektoriga ka jõuvektor, seda suurem skalaar-
korrutis, seda suurem kasulik jõud.
146
mõned skalaarkorrutise omadused   
ja pytHagorase teoreem*
Skalaarkorrutisel on tavalise korrutamisega mitmeid sarnaseid omadusi.
or
Esiteks võime koordinaatkuju abil kergesti näidata, et ka skalaarkorrutis on distribu-
tiivne: teisisõnu, iga kolme vektori 
 jaoks kehtib 
. 
vekt
Näiteks kahemõõtmeliste vektorite 
 korral võime kirjutada koordi-
naatkuju definitsiooni abil:
 
Samamoodi näeme emmast-kummast definitsioonist, et skalaarkorrutis on kom-
mutatiivne, ehk vektorite järjekord skalaarkorrutise võtmisel ei loe:
Samas  meenutame,  et  nurga  abil  antud  definitsioonist  järeldasime,  et  ristiole-
vate vektorite skalaarkorrutis on null ning vektori skalaarkorrutis tema endaga on 
võrdne vektori pikkuse  ruuduga . 
Kasutades nüüd neid kahte omadust, võime näiteks tuletada Pythagorase teo-
reemi.
Olgu antud täisnurkne kolmnurk, mille küljevektorid   ja   on risti – ehk siis 
. Samas nägime ennist, et kolmnurga küljevektorite jaoks kehtib ka 
 ehk 
 [lk 142]
Võtame nüüd mõlema poole skalaarkorrutise iseendaga ja saame:
Kasutades peatüki alguses toodud esimest skalaarkorrutise omadust näeme, et 
vasema poole väärtus on 
 Kuid 
 ning
Seega tõepoolest jääb järele  samasus  
, mis ongi Pythagorase 
teoreem.
147
vektorkorrutis*
Nägime, et kui keha liigub mööda sirgjoonelist trajektoori ning talle mõjub teatav 
jõud, võime keha liikumiskiirust mõjutava kasuliku, samasuunalise jõu leida jõu- 
or
ning kiirusvektori skalaarkorrutise abil.
Kui aga näiteks fikseerime keha kauguse teatavast keskmest (ehk pöörlemisteljest) 
vekt
mingi hoova abil ning piirame seeläbi sirgjoonelise liikumise, võib keha veel ainult 
pöörelda ümber selle telje.
Keha pöörlemiskiirust mõjutab sel juhul hoopis hoovaga ristsuunaline jõukompo-
nent, mida võib siis seekord kasulikuks jõuks nimetada. Kõige mugavam on pöör-
lema panevat mõju kirjeldada niinimetatud jõumomendi abil, milleks ongi täpselt 
hoova defineeriva vektori (füüsikute keeles: jõu mõjumispunkti tõmmatud koha-
vektori) ja kehale mõjuva jõuvektori vektorkorrutis. 
148
or
vekt
Nagu jooniselt näeme, on jõumomendi näol tegemist mingi üsna kummalise vek-
toriga. Järgnevalt üritamegi selgitada, kuidas on vektorkorrutis ja seega ka jõumo-
ment defineeritud ning miks just nii.
Alustame pöörlemise kirjeldamisest. Määratud sihis, näiteks sirgjoonelisel liikumi-
sel mõjuva jõu kirjeldamiseks on vaja ainult ühte arvu – mõju suund on ju teada. 
Samas, pöörlemisse panustava mõju kirjeldamine on juba keerulisem, sest pöörle-
mine ise on pisut keerulisem liikumine. Kõige loomulikum on pöörlemist kirjeldada: 
1) pöörlemistelje, 2) pöörlemissuuna ja 3) pöörlemiskiiruse või -tugevuse abil. 
Need kõik kolm peavad olema seega peidetud ka jõumomendi kirjeldusse ehk jõu 
ning hoova vektorite vektorkorrutisse.
149
Seetõttu ongi vektorkorrutise tulemuseks uus vektor, mille suund annab meile 
pöörlemistelje, mille siht annab meile pöörlemise suuna ning mille pikkus määrab 
pöörlemise kiiruse. 
Sihi valikuks on meil kaks võimalust – kokkuleppeliselt toimub pöörlemine vastu-
or
päeva ümber pöörlemistelje sihi. Sellest kokkuleppest tuleneb ka nii-öelda parema 
käe reegel.
vekt
Kui skalaarkorrutise korral leidsime tema suuruse vektorite samasuunaliste kom-
ponentide korrutisest, siis vektorkorrutise suuruse leiame ristkomponentide abil. 
Vektorkorrutise suuruseks on 
Seega, mida enam „risti” on kaks vektorit, seda suurem on ka nende vektorkor-
rutis. Nagu jooniselt näeme, on sellele suurusele ka kena tõlgendus: ta on võrdne 
kahe vektori poolt määratud rööpküliku pindalaga. Tõepoolest, võime mõelda, et   
annab meile rööpküliku aluse, 
 rööpküliku kõrguse ja pindala leiame 
nende korrutisest [lk 366]. Selle pindalade põhise tõlgenduse tõttu on vektor- 
korrutis seotud ka determinantidega, millest räägime maatriksite peatükis [lk 152].
150
Kokkuvõtlikult on vektorkorrutise tulemina saadud vektor risti mõlema vektoriga 
ning tema pikkus on võrdne esialgsete vektorite poolt moodustatud rööpküliku 
pindalaga. Kõike seda võib meelde jätmiseks ette kujutada järgmisel joonisel.
or
vekt
Lisaks jõumomendile aitab vektorkorrutis kirjeldada ka muud pöörlemisega seo-
tut – näiteks pöörlemisimpulssi –, aga ka elektromagnetväljas toimuvat: näiteks 
magnetväljas liikuvale laengule mõjuv jõud on võrdeline tema kiirusvektori ning 
magnetväljavektori vektorkorrutisega.
151
maatriks*
triks
maa
Nägime, et kui ühe arvu asemel seada ritta mitu arvu, saame vektori. Aga miks 
peaks meil ainult üks rida arve olema? Meil võiks ju olla terve arvutabel! 
Tõepoolest, ka arvutabelid osutuvad matemaatiliselt väga põnevaks ning neid 
nimetatakse maatriksiteks.
maatriks ja võrgustikud
Maatriksite abil annab väga mõnusalt esitada toredaid andmeid ja seoseid. Näiteks 
võib tabelis kirjeldada neljase seltskonna sõprusvõrgustikku järgmiselt.
•  Nummerdame olendid arvudega 
. 
•  Seame lahtritesse 
 arvu 1, kui isikule i meeldib j, ning 0, kui 
ei meeldi.
152
Nagu näeme, on see, et isendile 1 ei meeldi ükski teine kolmest isendist, lihtsalt 
väljaloetav nii maatriksist kui jooniselt.
Esitus maatriksina võimaldab uurida ka palju  suuremaid ja keerulisemaid võrgus-
tikke kui meie raamatu tegelaste sõpruskond. Näiteks võime maatrikskujul esitada 
närvirakkude võrgustikke või rakus toimuvate protsesside vaheliste seoste võrgus-
tikke. Närvirakkude võrgustikud võivad olla kuni 
triks
10 miljardi neuroniga ja nii on neid 
päris raske geomeetriliselt ette kujutada või kirja panna, maatrikskirjeldus aitab 
maa
neid siiski arvutite abil uurida.
maatriks ja vektorid 
Meid huvitab aga siin raamatus pisut teistmoodi, geomeetriline mõtteviis maat -
riksitest. 
Idee on vaadata iga arvutabeli veergu  kui ühte vektorit. Nii annab näiteks 
 
maatriks kolm kolmemõõtmelist vektorit, 
 kaks kolmemõõtmelist vektorit ja 
 maatriks kaks kahemõõtmelist vektorit. 
Märkame, et nüüd ja edaspidi selles peatükis ei kirjuta me vektoreid enam arve 
ritta seades, vaid neid  tulpa  ladudes. See vahetus teeb edasise kirjutamise lihtsalt 
mugavamaks.
Selline vaatevinkel aitab meil varsti siduda maatriksid ka lineaarvõrrandite  süstee -
miga.
153
determinant ja lineaarvõrrandisüsteem
Kuigi väga põnevaks osutuvad nii 
 kui muu suurusega maat-
riksid, keskendume edasises 
 ning 
 maatriksitele. 
Esiteks tutvustame ühte ruutmaatriksite ( ruutmaatriksis on sama palju tulpasid 
triks
ja veerge) karakteristikut, mida kutsutakse determinandiks. Seejärel üritame sel-
maa
gitada, kuidas determinandid on seotud lineaarvõrrandisüsteemide lahenditega 
ning kust ikkagi pärinevad kooliõpikute mõned müstilised võrrandisüsteemide 
lahendamisviisid.
Käesolev peatükk ulatub kindlasti kooliprogrammist välja, aga ühtlasi aitab ehk 
paremini mõista teisi teemasid. Võibolla on kasulik enne lugemist lähemalt tutvuda 
võrrandite lahendamisega osas 4 [lk 176].
determinant
Determinandiga tutvumist võime alustada ühest üsna ehituslikust küsimusest. 
Mida saame  konstrueerida kahe kahemõõtmelise vektoriga   ja   ning mida kolme 
kolmemõõtmelise vektoriga 
Kui kaks kahemõõtmelist vektorit pole juhuslikult samasihilised ehk kui neid ei saa 
asetada piki sama sirget, võime nende abil moodustada rööpküliku. 
Sarnaselt saame, juhul kui kolm kolmemõõtmelist vektorit ei asu ühel tasandil, ehi-
tada nende abil kena rööptahuka .
154
Mõlemal juhul on neil geomeetrilistel kujunditel üks kena parameeter – nende 
maht. Ruutmaatriksi determinant kirjeldabki seda mahtu. 
 maatriksi puhul on tema determinandi absoluutväärtus võrdne kahe tulp - 
vektori poolt moodustatud rööpküliku pindalaga. 
Näiteks maatriksi 
 determinandi absoluutväärtus on võrdne kahega, kuna 
triks
maatriksi tulbad kirjeldavad ristkülikut küljepikkustega 2 ja 1. Tuletame meelde, et 
rööpküliku pindala andis meile ka vektorkorrutise pikkuse. Tõepoolest, 
 maat-
maa
riksi determinant annabki tema tulpvektorite vektorkorrutise pikkuse.
 maatriksi puhul on determinandi absoluutväärtus võrdne kolme tulpvektori 
poolt moodustatud rööptahuka ruumalaga. 
Determinantide abil võib otsustada, millal lineaarvõrrandisüsteemidel lahendid 
leiduvad ning kuidas neid lahendeid ka leida. Järjepanu need küsimused nüüd ette 
võtamegi.
millal leidub kaHe muutujaga lineaar - 
võrrandisüsteemil laHend?
Tuletame meelde, et kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi võib üldkujus kirja 
panna järgnevalt:
Kõigil kümnel tähistusel on siin oma roll ja see pole sugugi segaduse tekitamine. 
Arve 
 ja   vaatleme kui juba teadaolevaid arve. Tähistame neid 
tähtedega, lihtsalt et käsitleda paljusid võrrandeid korraga [lk 48]. Seega palub 
käesolev võrrandisüsteem lihtsalt leida väärtused kahele tundmatule   ja  , nii et 
võrdusmärgid kehtiksid. Näiteks võiksime anda teadaolevatele arvudele kindlad 
väärtused ning saada konkreetsema näite: 
Neid kahte lineaarvõrrandit võib ka vaadata eraldi ning kirjeldada näiteks sirgega  
nagu võrrandite peatükis [lk 184]. 
155
Võrrandisüsteemi lahendamiseks tuleb kaks võrrandit omavahel kuidagi siduda. 
Üks võimalus seda teha on seada mõlemad võrrandeid kirjeldavad sirged ühele 
koordinaattasandile [lk 184]. Veel kavalam on aga kasutada maatriksit:
triks
Nagu enne kirjeldasime, võime mõelda tulpadest
 ja
 
 
 kui kahemõõtmelis-
maa
test vektoritest, ja kuna tulpasid on tüütu pidevalt välja kirjutada, tähistame neid 
vastavalt   ja  -ga.
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest võime nüüd mõelda järgnevalt: eesmärk 
on leida reaalarvud   ja  , nii et saame vektori 
 kirjutada vektorite   ja   sum-
mana :  
. Esialgu on lihtsam seda ette kujutada joonise ja konkreetse 
näite abil: joonistame vektorid 
 ja 
 ning üritame neid kokku liita, nii et saak-
sime vektori 
Millal on see võimalik? Kui meile on antud kaks vektorit, siis millal saame neid 
pikendades/lühendades ja liites esitada mingi kolmanda vektori?
Kui kaks antud vektorit oleksid 
  ja 
 ehk  - ning  -telje ühikuid  
kirjeldavad vektorid, siis saaksime muidugi selle protsessi käigus kätte iga teise 
vektori. Vektor 
 on võrdne lihtsalt 
-ga:
156
See on ilmne ka võrrandisüsteemist endast. Sel juhul oleks süsteem väga lihtsas  
kujus
Põnev on – ja selles võib hea usu korral usina joonistamise abil veenduda –, et olu-
triks
kord on sarnane peaaegu iga algvektorite valiku korral! Peaaegu alati saame iga 
maa
kolmanda vektori esitada antud kahe vektori summana ja seda ühel ja ainsal viisil.  
Ainult juhul kui vektorite poolt moodustatud rööpküliku pindala on 0 ehk ainult siis, 
kui vektorid on samasihilised, pole see võimalik. Sel juhul saab nende summana 
esitada ainult teisi samasihilisi vektoreid.
Nüüd aga tuletame meelde, et vektorite 
 ja 
 poolt moodustatud rööpküliku 
pindala oli võrdne maatriksi 
determinandiga. 
 
Sellest järeldubki õpikutest leitav tingimus:
•  kui determinant pole võrdne nulliga ja seega vektorid   ja   
pole samasihilised, leidub võrrandisüsteemile alati täpselt üks 
lahend, 
•  kui aga determinant on võrdne nulliga ja seega vektorid   ja   
on samasihilised, leidub null või lõpmatult palju lahendeid: 
– kui vektor 
 on vektoritega   ja   samasihiline, leidub lõp-
matult palju lahendeid ja 
– muul juhul ei leidu ühtegi lahendit.
Järgnevalt lähme sammu edasi ja näitame, kuidas determinantide abil ka kahe 
muutujaga lineaarvõrrandi süsteemi täpsed lahendid üles leida.
157
kaHe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi 
laHendamine determinandiga
Nagu nägime, võime lineaarvõrrandisüsteemi
triks
maa
vektorite abil kirja panna järgnevalt:
Mugavuse ja tindi kokkuhoiu eesmärgil tähistame tulpvektorid jälle järgmiselt:
 
ning 
. 
 
Seega saame võrrandi:
Teisisõnu, tahame vektoreid   ja   parasjagu lühendada ja pikendada, just niipalju, 
et nende kokkuliitmisel saaksime kolmanda vektori  . Oletame, et   ja   ei ole 
samasihilised ning nendest võib moodustada ilusasti rööpküliku. Just selle rööpkü-
liku abil võime siis visualiseerida ka oma ülesannet:
Lühendamise ja  pikendamise  mahtu kannavad endas reaalarvud   ja  . Kuidas 
nende suurust leida? 
Joonise abil märkame, et meie otsitav arv   peab vektori   otspunkti viima „sama 
kaugele” vektorist  , kui on vektori   otspunkt.
158
triks
maa
Nüüd tuletame meelde, et rööpküliku pindala võime kirjutada tema aluse ja kõr -
guse  korrutisena [lk 366]. Nii saame omavahel  võrduma  panna kaks võrdse pind-
alaga rööpkülikut: 
•  esiteks rööpkülik , mis tekib vektorite   ja   vahele, 
•  teiseks rööpkülik, mis tekib vektori   ja   vahele. 
Tõepoolest, mõlema alus on   ning nende kõrgused on samad. 
Puhtalt sellest tähelepanekust võimegi tuletada muutujale   sobiva väärtuse. 
Nimelt rööpkülik, mis on tekkinud vektoritest   ja  , on   korda „kõrgem” kui  
rööpkülik, mis tekib vektoritest   ja  . Samas teame, et vektorite   ja   vahele tek-
kiva rööpküliku pindala kirjeldab just determinant
Seega on intuitiivselt üsna selge, et vektoritele   ja   ehitatud rööpküliku pindala 
leidmiseks peame determinandi 
 
lihtsalt arvuga   läbi korrutama. 
Samas on vektoritele   ja   ehitatud rööpküliku pindala antud determinandiga
159
Seega saamegi võrrandi kordaja   suhtes:
Siit saame juba kergesti leida  -i enda väärtuse:
triks
maa
Kui sooviksime leida  -i väärtust, siis peaksime lihtsalt sama protseduuri läbi 
tegema, kasutades vektoreid vektoritest   ja  . Tulemuseks on:
Sarnane meetod toimib ka kolmes , neljas, kaheksas mõõtmes, kuigi selle geomeet-
riline ettekujutamine läheb muidugi järjest keerulisemaks. Teisisõnu saab determi-
nantide abil lahendada ükskõik kui paljude muutujatega lineaarvõrrandisüsteeme. 
Saadud valemid on eriti väärtuslikud arvutitega töötamisel – nad annavad väga 
kiire ja vähemalt arvutite jaoks lihtsa viisi ka väga suurte lineaarvõrrandisüstee-
mide lahendamiseks.
millal leidub kolme muutujaga lineaar-
võrrandisüsteemil laHend?
Et kindlaks teha, kas kõik sai kenasti selgeks, arutame lühidalt läbi ka kolme muu-
tujaga juhu . Kõik on tegelikult analoogne. Kui vaatame võrrandisüsteemi
 ,
võime moodustada maatriksi
160
ja mõelda vektoritest 
 ja 
 
kui kolmest kolmemõõtmelisest vektorist. 
triks
Seegi kord tahame kirjutada vektori 
 vektorite 
 lineaarse summana 
maa
Jällegi on küsimus, millal saame kolme antud vektori abil ühte antud vektorit nõnda 
kirjeldada, ja on ilmne, et vektorite 
korral on see alati võimalik. 
Näiteks vektori 
 saaksime, kui korrutaksime vektorid 
 vastavalt 
reaalarvudega 
 ja   ning liidaksime kokku: 
Sellest on võibolla lihtsam mõelda hoopiski graafiliselt:
161
Selgub, et ka ainus takistus on väga sarnane kahemõõtmelisele juhule – iga vektori 
 saame vektorite 
 lineaarse summana ühel moel kirjutada just siis, kui
vektorid 
 ei asu kõik ühel tasandil, ehk teisisõnu kui nende poolt moodus -
triks
tatud rööptahuka ruumala pole null. Kui vektorid asuvad aga ühel tasandil, saab 
nende summana esitada ainult sel samal tasandil esitatavaid vektoreid.
maa
Nüüd, kuna toodud maatriksi determinant oli vastavuses rööptahuka 
 ruu-
malaga, leidubki kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemil ühene lahend para-
jasti siis, kui see determinant pole nulliga võrdne. 
Kui determinant on võrdne nulliga, siis tuleb uurida, kas 
 asub vektoritega
samal tasandil või mitte – kui asub, on lahendeid lõpmatult palju, ja kui ei 
asu, siis lahendeid polegi.
 
Ka seekord saab determinandi abil lahendidki kirja panna, selle jätame aga huvilis-
tele nuputada. 
162
triks
maa
163
võrrand
164
võrrand
oSA 4
VÕRRAND JA 
VÕRRATUS
165
võrrand
166
võrrand
Mees, kes teab kõike algebrast,  
on sageli siiski loru,  
kui see ongi kõik,  
mida ta teab. 
Frederich Suur
167
VÕRRAND
võrrand
Võrrand aitab täpselt ja matemaatiliselt kirja panna teatavaid tingimusi. See on 
looduse ja ümbritseva kirjeldamise esimene etapp – maailma matemaatilistesse 
seostesse  surumine .
Oletame näiteks, et tahame ehitada uut lauluväljakut. Kõige olulisem on ehituse 
juures muidugi, et laulukaare alla mahuks piisavalt huvilisi. Teades, kuivõrd laul-
jatele meeldib ligistikku ümiseda, võib näiteks optimistlikult arvestada, et ühele 
trepiruutmeetrile  mahub kolm lauljat. 
Selle tingimuse võime matemaatiliselt kirja panna järgmiselt:
Kui meid pikk kirjutamine ära tüütab, võime võimalikku lauljate arvu tähistada  
-ga, vabade ruutmeetrite arvu  -ga ning kirjutada sama võrrandi järgmiselt:
Kuigi nüüd peame hoolega meeles pidama , mida ikkagi   ja   tähistavad, on kirju-
tamisvaeva vähem. 
Võrrandid aitavadki tingimusi ökonoomselt kirja panna ja elulisi küsimusi ümber 
sõnastada, nii et järele jääb ainult küsimuse jaoks oluline. Näiteks oleme ju täiesti 
unustanud, milline on laulupeo ajal ilm või kuidas keegi riides on, ja seda õigustatult.
Võrrandi moodustavad
1.  mõned muutujad ehk meile veel tundmata väärtusega suuru-
sed [lk 48]; 
2.  mõned arvud, mida kutsutakse kordajateks, kui nad korrutavad 
läbi mõnda muutujat, ning vabaliikmeteks, kui nad on omapäi;
3.  võrdusmärk „=”,  mis neid muutujaid ja arve omavahel seosesse 
seab.
Näiteks meie võrrandis on kaks muutujat:   ja  , arv 3 on meie võrrandis kordajaks 
ja ühtegi vabaliiget nagu polegi. 
168
Kui tahaksime juurde lisada tingimuse, et 100 ruutmeetrit peab siiski ka orkestri 
tarvis jääma, peaksime lauljatele mõeldud ruutmeetrite arvu 100 võrra vähendama 
ja saaksime koos vabaliikmega võrrandi:
võrrand
Muidugi tuleks lõpetuseks võrrand ka veel ära lahendada ehk leida kõik arvupaarid, 
mis kirjapandud võrrandit lahendavad. 
Siin pole see eriti raske: seos 
 seab ju ainult piirangu, et üks arv on tei-
sest kolm korda suurem. Nii on lahendiks näiteks 
 
, 
, kui 
 
Nagu varsti näeme, kogunevad kõik need lahendid ühele sirgele. On kerge märgata, 
et mitte sugugi iga lahend ei ole enam tõlgendatav meie algülesande raames. Tõe-
poolest, lahendite tagasitõlkimisel elu konteksti peame jälle olema hoolikad – üks 
viis järgimaks, et kõik läheb sobivalt, on uurida algses ülesandes peituvaid ühikuid.
VÕRRAND JA  ühikUD
Elulise alusega võrranditel on tavaliselt kaasas ka ühikud. Näiteks rääkisime meie 
võrrandis ruutmeetritest ja inimestest. 
Esiteks on oluline neil järge ajada, sest kui sassi lähevad 
 
m ja  km, võib ikka 
s
h
üsna hiljaks jääda.
Teiseks aitavad nad aru saada, kas kirja on saanud mõistlik võrrand. Nimelt võime 
näiteks vaadata, kas võrrandi mõlemal poolel olevad arvud kirjeldavad võrrelda-
vaid suuruseid ehk kas neid saab loendada samades ühikutes – võrduse mõlemal 
poolel peavad olema ju samad ühikud.
Näiteks meie võrrandi vasakul poolel on lauljate arv ehk teatud inimeste arv. Mis on 
aga võrrandi paremal poolel? 
169
Esmapilgul oleks seal justkui ainult ruutmeetrite arv – pindala ühik. Siiski, tuleta-
des meelde, et kordaja 3 tähistab inimeste arvu iga ruutmeetri kohta, saame ikkagi 
ühikuks inimeste arvu:
Võrrandite matemaatilise lahendamise ajaks võib aga ühikud unustada – peaasi , et 
võrrand
nad alguses ja lõpus õigesti ritta saavad.
ERiNEVAT Tüüpi VÕRRANDiD
Võrrandid võivad välja näha väga erinevad, näiteks kõik järgnevad on võrrandid:
Esimene erinevus on muidugi selles, et oleme muutujatele valinud erinevaid tähi-
seid . Mõned oleme tähistanud tähtedega, mõned sõnadega. 
Erinevusi on aga teisigi: mõnes võrrandis on üks muutuja, mõnes mitu. Mõnes  
võrrandis on muutuja esimeses astmes, mõnes on ta kõrgemasse astmesse tõste-
tud. Mõnes võrrandis tolkneb ka mõni nullist erinev arv, mida nimetasime vabaliik-
meks, teises on ainult muutujad. 
Erinevat tüüpi võrrandid aitavad kirjeldada erinevaid tingimusi, kuid küsivad ka eri-
nevate lahendusmeetodite järele. 
ühE mUUTUJAgA VÕRRAND
Võrrandites 
 ning 
 on mõlemas ainult üks muutuja 
ehk otsitav suurus. Kuna matemaatiliselt pole mingit vahet, kuidas muutujaid 
tähistada, eristab neid võrrandeid eelkõige aste, millel muutuja ette tuleb. 
170
Esimest nimetataks lineaarvõrrandiks, kuna muutuja   kõige kõrgem aste on 1, 
teist kuupvõrrandiks, kuna muutuja kõige kõrgem aste on 3.
Kooliprogrammi kõige ohtlikum on muidugi ruutvõrrand , mille lahendivalemit 
nõutakse une- ja mängupealt. Seetõttu näitame ka, et see lahend ei ole sugugi 
müstilise päritoluga, vaid üsna selge matemaatilise arutluse tagajärg [lk 275].
Muidugi ei ütle keegi, et astmed peaksid ainult ühest suuremad olema. Nii rää-
gitakse ka juurvõrranditest, kui mängu tuleb ka ruutjuur muutujast. Näiteks 
võrrand
 
Üldiselt on nii, et mida keerulisemad muutuja astmed on mängus, seda keerulisem 
on võrrandit ka lahendada.
miTmE mUUTUJAgA VÕRRAND
Võrrandis võib muidugi ka olla mitu muutujat. Näiteks peatüki alguses too-
dud lauljate ja laululava pindalaga võrrand oli kahe muutujaga võrrand. Võrrand 
 on aga näiteks kolme muutujaga võrrand, kus   on teadaolev arv.
Ühed lihtsamad mitme muutujaga võrrandid on kahe muutujaga lineaarvõr-
randid, kus mõlemate muutujate aste peab olema üks. Näiteks 
 või 
 on kahe muutujaga lineaarvõrrandid . 
Kuna siin on kaks muutujat, võime nende suhte kirja panna ka koordinaattasandil. 
Nendest võrranditest võib visuaalselt mõelda kui sirgetest: kõik arvupaarid, mis 
kahe muutujaga lineaarvõrrandit rahuldavad, moodustavad sirge tasandil. 
Ka meie algne võrrand 
 on tegelikult sirge võrrand.
171
Sarnaselt moodustavad kõik arvukolmikud, mis rahuldavad kolme muutujaga  
lineaarvõrrandit, ühe ilusa tasandi.
võrrand
Sirge ja tasandi võrrandist räägime muidugi varsti ka pikemalt [lk 184].
Keegi ei keela moodustada ka nelja, kuue või kahesaja liikmega võrrandeid. Näi-
teks on tore võrrand 
Kas seda võrrandit oleks võimalik kuidagi ka tõlgendada? Üks pisut hullumeelne 
võimalus oleks öelda, et võrrandi lahendite hulk moodustab 27-mõõtmelises ruu-
mis 26- mõõtmelise  tasandi. Seda on aga pigem raske ette kujutada! Lihtsam on 
sellest võrrandist mõelda kui 27 sahkerdajast, kes jagavad omavahel ära kokku 
näpatud miljon eurot.
VÕRRANDiSüSTEEm
Mõnikord ei õnnestu kõiki soovitavaid tingimusi ühe võrrandiga kirja panna. Otsi-
tavad suurused rahuldavad mitut tingimust samaaegselt. Nii saamegi mitmest võr -
randist koosneva võrrandisüsteemi. Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab, et 
otsime suurusi, mis rahuldavad kõiki võrrandeid korraga.
Näiteks võib meil olla teada, et ristküliku kujuga toa pindala on kümme ruutmeet-
rikest ja ümbermõõt neliteist meetrit, ning meid huvitaks, mis kujuga see tuba on. 
Mis on toa pikkus ja mis tema laius? 
172
Ümbermõõtu kirja pannes saame võrrandi: 
Pindala kirjeldades aga võrrandi: 
Et leida sobivat pikkust-laiust, peame nüüd üheaegselt lahendama mõlemad võr-
randid. 
võrrand
Proovimise teel näeme, et näiteks 
 ja 
  rahuldab esimest võr-
randit, ent ei rahulda teist võrrandit. Samas 
 ja 
 rahuldab 
esimest, kuid mitte teist võrrandit. 
Üheaegselt lahendavad mõlemat võrrandit ainult:
Muidugi ei olnud võrrandil endal aimugi, kumba meie nimetasime toa „pikkuseks” 
ja kumba tema „laiuseks“, ning nii saamegi sisuliselt sama toa kuju kaks korda.
Kuna meil on kaks erinevat muutujat, võime jällegi seda võrrandisüsteemi ka geo-
meetriliselt ette kujutada. Nagu ennist, võime esimest võrrandit kirjeldada sirgega 
; teist võrrandit kirjeldab aga joon kujus 
 ehk 
. 
Nende kahe joone lõikepunktid annavadki meile lahendid:
Sellest räägime aga pikemalt juba võrrandite ja geomeetria peatükis [lk 184].
173
mobiiliopERAAToRi VAlimiNE
Võrrand ei ole mitte ainult üks tähtsamaid matemaatilisi seoseid, vaid on lisaks üks 
tihedamaid seoseid matemaatika ja meid ümbritseva vahel. 
Nagu mainisime, aitavad võrrandid tingimusi ja olukordi täpselt ning matemaa-
tiliselt kirja panna. Kui võrrandite lahendamisega tulevad suurepäraselt toime ka 
võrrand
arvutid, siis nende kirjapanemine jääb siiski veel inimeste hooleks. 
Võrrandite koostamiseks on väga hästi vaja lahti mõtestada olukord ning otsus-
tada, millisel täpsusel seda kirjeldada. Milliseid nähtuseid, omadusi ja komponente 
peaksime arvesse võtma? Kuidas nad täpselt omavahel seotud on? Võrrandi kirja-
panek on tähtis ja huvitav etapp, kus ebatäpsest elulisest probleemist saab täpne 
matemaatiline ülesanne.
Seetõttu kutsume lugejat veel kord kogu seda protsessi läbi tegema.
Oletame, et valid endale uut mobiilioperaatorit, kelle paketid on järgnevad. 
•   Operaator A: 5 eurot kuumaks pluss 0,01 eurot kõneminut. 
•  Operaator B: 1 euro kuumaks pluss 0,02 eurot kõneminut. 
On üsna intuitiivne, et kui satume hoogu ja räägime ülemäära palju, siis peaks 
operaator A hinnapakett odavam tulema , sest kõneminuti hind on poole väiksem.
Samas kui räägime väga vähe, on jällegi operaatori B pakett kasulikum.
Seega on üsna mõistlik ja oluline küsida: vähemalt kui mitu minutit peaks kuu jook -
sul rääkima, et tasuks valida operaator A?
Sellele küsimusele vastamiseks on üks võimalus koostada võrrand ja leida, millise 
kõneaja korral on operaatorite tasud võrdsed. Intuitiivselt on siis selge, et rohkem 
rääkides oleks kasulik valida operaator A ja vähem rääkides operaator B. Selle „roh-
kem kui” idee saaksime veel täpsemalt kirja panna võrratuste abil [lk 190].
Võrrandi koostamine
Rolli mängivad siin olukorras räägitud kõneminutite arv, kõneminuti hind ja kuu-
maks.  Viimased kaks neist on lihtsalt arvud, kõneminutite arvu me alles otsime – 
tema on muutujaks ning võime tema väärust tähistada  -ga. 
Kogutasu saamiseks peame kuutasule liitma kõneminutite ja minutihinna korru-
tise. Kokku maksaksime siis kuus: 
•  operaator A juures:
 eurot,
•  operaator B juures:
 eurot.
174
Tingimuse, et mõlema operaatori juures oleks kogumakse võrdne, võime siis kirja 
panna järgmiselt:
Võrrandi lahendamine
Nüüd võime kogu konteksti ära unustada ja võrrandi 
võrrand
muutuja   suhtes juba tunnis õpitud teisenduste  varal ära lahendada:
 
                                                           
Tegelikult oleme siin juba tunginud järgneva peatüki, võrrandite teisendamise 
ja lahendamise territooriumile, millest räägime kohe palju pikemalt ja põhjaliku-
malt.
Enne jääb vaid üle veel saadud lahendust tõlgendada.
Võrrandi tõlgendamine
Tuleb välja, et kuutasud on võrdsed, kui räägiksime täpselt 400 minutit. See teeb 
üle 10 minuti päevas, mis tundub ikka päris palju. Seega tasub ilmselt ikka valida 
operaator B.
175
VÕRRANDi TEiSENDAmiNE  
ine
M
JA lAhENDAmiNE
a
  teisend
Enamasti on võrrandi kirjapanek alles esimene samm. Järgneb võrrandi lahenda-
mine: see tähendab, et tahame leida kõik arvud, mis kõiki võrrandiga ette kirjuta-
õrrandi
tud tingimusi rahuldavad.  
 v
Võrrandi lahendamise ajaks võib kõikide võrrandi liikmete ühikud ja konteksti ära 
unustada – võrrandi lahendamise ajal ei loe, kust see võrrand tuli, loeb vaid mate-
maatika.
Võrrandi tõlgendamisel tuleb muidugi lisada jälle juurde ka kontekst ja ühikud. Siis 
seome  taas elu matemaatikaga ja see vajab palju tähelepanu, sest tihti tekivad 
vead just selles etapis.
Praegu  asume  aga  lahendamise  juurde.  Alustame  võrrandi  teisendamise  mate-
maatilisest küljest ja seejärel teeme kogu protsessi läbi veel ühe konkreetse lugu-
loo taustal.
VÕRRANDi TEiSENDAmiSEST ülDiSEmAlT
Niipea kui võrrand on kirja saanud, on eesmärk seda lahendada. See toimub tihti 
võrrandi teisendamise abil. Võrrandi teisendamine tähendab võrrandi viimist teise, 
ent siiski samaväärsesse kujusse. Ideaalselt jõuame võrrandiga kujusse, kust on 
vastust juba kerge välja lugeda.
Kõik teisendused, mis pähe tulevad, ei säilita muidugi võrrandi samaväärsust: näi-
teks kui korrutame mõlemad pooled arvuga null, siis saame mõlemale poole võr-
dusmärki nulli. Null on aga nulliga võrdne, ükskõik millise väärtuse me algsele muu-
tujale ka annaksime.
Kõige lihtsam viis võrrandi erinevate kujude samaväärsuse näitamiseks on veen -
duda, et võime võrrandi uuest kujust mõne teise sammu abil jälle võrrandi algsesse 
kujusse tagasi jõuda. 
176
Näiteks võime võrrandile alati arve liita, sest vastandarvude liitmine teisendaks 
 
uue võrrandi jälle tema algkujusse. Nii on näiteks samaväärsed võrrandid
ine
M
a
ja 
  teisend
Esimesest saame teise kahte lahutades, teisest esimese kahte juurde liites.
Samamoodi võime võrrandeid nullist erineva arvuga korrutada, kuna sama arvuga 
jagamine (sellest siis ka nullist erinevus!) viiks võrrandi taas algkujusse tagasi. Nii 
õrrandi
on samaväärsed ka võrrandid
 v
ja
Esimesest saame teise pooli neljaga jagades ning teisest esimese, kui mõlemat 
poolt neljaga korrutame. 
Neid kahte teisendust järjepanu tehes näeme, et võrrand 
 on sama-
väärne võrrandiga 
. Ehk teisisõnu selle esimese võrrandi lahendiks on  
Vaatame igaks juhul veel teistki näidet – sisu ja soustita võrrandit 
. 
Tema lahenduskäigu saame kompaktselt kirja panna nii: 
Siin oleme püstkriipsu taha lihtsalt märkinud, mida täpselt teeme ühelt realt järg-
nevale üleminekuks, kõik need on samaväärsed teisendused.
Tihti on võrrandi teisendamisel samaväärsust säilitavatel sammudel ka hea intui-
tiivne selgitus:
•  näiteks võime võrrandi mõlemale poole juurde liita arve. Intui-
tiivselt on see selge: kui meil on täna sõbraga sama vanus, siis 
on meil ka täpselt kahe aasta pärast sama vanus;
•  samuti võime võrrandi mõlemaid pooli korrutada suvalise nul-
list erineva arvuga – kui oleme praegu võrdses kaalus, oleksime 
ka siis, kui meie mõlema kaalud kolmekordistuksid. (Loodame 
siiski, et seda ei juhtu.)
Kõik teisendused aga samaväärsust ei säilita.
177
VÕRRANDi TEiSENDAmiNE Nii, ET SAmAVääRSUS Ei Säili
ine
M
Võrrandit saab muidugi teisendada ka nii, et uus võrrand ei ole päris samaväärne. 
a
Sel juhul võib võrrandile uusi lahendeid juurde tekkida või ära kaduda – mõne tei-
senduse korral muudame lihtsalt võrrandi algset tingimust väetimaks ja mõnikord 
lisame hoopis juurde väärinformatsiooni.  
  teisend
Näiteks kui korrutame võrrandi mõlemat poolt 0-ga, kaotame ju kohe kogu tingi-
musega antud informatsiooni, sest pärast seda on mõlemad võrrandi pooled võrd-
õrrandi
sed 0-ga ning see võrdus kehtib iga muutuja väärtuse jaoks.
 v
Samamoodi võime ruutu võttes lahendeid juurde tekitada: öelda, et 
, annab 
täpselt ühe vastuse, aga 
 juba kaks vastust, kuna teist võrrandit rahuldab ka 
. 
Üldiselt ei tasu sellepärast aga väga muretseda – teisendage võrrandit mõnuga, 
kuni oskate temast midagi välja lugeda. Pärast tuleb lihtsalt üle kontrollida, kas 
saadud lahendid ka algseid tingimusi rahuldavad või on kaasa tulnud teisendus -
tega kaasnenud informatsiooni kao käigus. Ettevaatlik ja hoolas tasub siiski olla.
Tõestus, et  
, ehk miks võrrandi teisendamisel tuleb ette vaadata.
Kirjutame välja üsna sisutühja võrrandi 
 ja hakkame teda põnevuse tekita- 
miseks teisendama.
– korrutame mõlemaid võrrandi pooli
 
 – avame  sulud
 – liidame mõlemale poole liikme   
 – jagame  -iga läbi
 – saame uue vastuse
Aga kui me nüüd vaatame ühes algset võrrandit
 ning viimast võrrandit 
,  
siis saame, et sama arv   on võrdne nii nulli kui ühega, ja peame järeldama, et 
! 
Ometigi teame, et see on jaburus ning algne võrrand 
 ei ole samaväärne vii-
mase võrrandiga 
. 
Seega peame tee peal olema kasutanud mõnda algtingimusi väänavat teisendust. 
Tõepoolest, vaadates üleminekut sammult  4 sammule 5, oleme võrrandi mõlemat 
poolt läbi jaganud  -iga. Ent   on ju võrdne nulliga ning nulliga jagamine toobki 
alati ainult jama kaasa!
178
VäikE VÕRRANDiJUTT
 
ine
M
Nüüd aga aitab hetkeks puhtast matemaatikast, lähme pimekohtingule ja vaa-
a
tame, kas kõik sai selgeks. 
Juba joomegi meile üsna mokkamööda seltsilisega koos kohvi,  sööme kooki, naera- 
  teisend
tame ja tutvume. Küsime kaaslaselt ka piinlikkust tundmata  vanust . Ent mis juh-
tub? Kaaslane hakkab vastu õhtut kiusama ja vigurdama! 
Ta sõnab muiates, et kui võtta tema vanusest kaks kolmandikku ja lahutada sealt 
õrrandi
kaks, saate sama tulemuse, kui võtta tema vanusest pool ja liita sinna üks. Milline 
 v
õudus , kaaslane tahab teada, kas oskame võrrandeid koostada ja neid lahendada!
Võtame väljakutse  vastu! Taskust välja salvrätt, ja kaaslase  avaldused lähevad sinise 
tindiga hoolikalt kirja. Teisisõnu, koostame elulise loo põhjal võrrandi. 
VÕRRANDi kooSTAmiNE
Ainsaks  tundmatuks  on  kaaslase  vanus,  mida  alguses  kirjeldamegi  muutujaga
. Tema sõnades järge ajades võime kirjutada: 
Nüüdseks on meil kõik tingimused kirjas ning edasi on meie töö võrrand ka ära 
lahendada. 
179
VÕRRANDi lAhENDAmiNE
ine
M
a
Kaaslase vanuse väljalugemiseks võime oma võrrandit näiteks teisendada järgmi-
selt:
  teisend
(kellele meeldiksid murrud, saagem neist lahti!)
õrrandi
 v
(tahame leida vanust, lahutame mõlemalt poolt 
 viies kõik tema kord-
sed ühele poolele)
(liidame, lahutame)
Hurrraa, matemaatiline osa on läbi!
Ja siinkohal vist suurt midagi ka jäänud pole. Võrrandi lahendi tõlgendamine pole 
eriti raske – isegi muutuja nime jätsime selliseks, mis päriselulist mõtet kenasti kaa-
sas kannab.
VEEl VÕRRANDi lAhENDAmiSEST
Siin alapeatükis ründame kahte küsimust: mida ikkagi peame silmas võrrandi 
lahendamise all ning miks seda üldse õppima peaks.
VÕRRANDi lAhENDAmiNE ERiNEVATES ARVUhUlkADES
Seni oleme rääkinud, et võrrandi lahendamine tähendab teatud tingimusi täitvate 
arvude leidmist. Matemaatiliselt pole see mitmel põhjusel päris täpne kirjeldus. 
Näiteks oleme jätnud mainimata, milliseid arve silmas peame. Ometigi nägime 
arvuhulkade peatükis [lk 78], et leidub mitu erinevat arvude hulka. Seega kui rää-
gime arvude leidmisest , kas mõtleme naturaalarve, täisarve, reaalarve, komp-
leks-arve? 
180
Kui kirjeldame võrrandi abil mõnda elulist olukorda, määrab seesama olukord 
 
lahenditele antavad tingimused. 
ine
Näiteks kui meil on otsitavaks muutujaks inimeste arv, oleks tore, kui tegemist 
M
a
oleks naturaalarvuga. Samuti oleks meid üllatanud, kui kaaslase vanus oleks osutu-
nud nullist väiksemaks. Samas kui otsitavaks on sõbra sõidukiirus, võiks see vabalt 
olla mistahes positiivne reaalarv.
  teisend
õrrandi
 v
Kui lahendame võrrandeid oma lõbuks, võime täiesti ise otsustada, milliste arvu-
dega ennast piirame. Näiteks kahe muutujaga lineaarvõrrandi korral on mõistlik 
end piirata reaalarvudega – nii saame ilusa vastavuse sirgetega tasandil [lk 184].
Ka ruutvõrrandi korral piirame end reaalarvudega [lk 87], kui tahame joonistada 
ilusat graafikut, ja samas võtame arvesse ka kompleksarvud [lk 89], kui soovime
lahendit leida igale võimalikule ruutvõrrandile. 
Üldiselt kehtibki, et mida rohkem arve endale lubame, seda rohkem lahendeid 
võime ka leida. Näiteks võrrandil 
 puuduvad lahendid ratsionaalarvudes, ent 
ometi eksisteerivad nad juba irratsionaalarvude hulgas. Võrrandil 
 ei leidu 
lahendeid reaalarvude hulgas, aga neid on täpselt neli, kasutades kompleksarve. 
Võrrandite lahendamine erinevates arvuhulkades on väga erineva raskusega. Näi-
teks ei ole mingit raskust lahendada kolme muutujaga võrrandit 
 
kompleksarvudes – nimelt igale  -i ja  -i kompleksarvulisele väärtusele saame 
leida kompleksarvulisi  -i väärtusi täpselt 10. 
Täisarvudes suudeti seesama võrrand aga lahendada alles pärast kolmesaja-aas-
tast pingutust – positiivsetes täisarvudes ühtegi lahendit ei leidugi! 
Teoreemi, mis väidab,  et kui   on kahest suurem täisarv, siis ühelgi võrrandil kujus 
positiivsetes täisarvudes lahendit ei leidu, kutsutakse Fermat ’ suureks teoreemiks. 
181
Teoreemi nimi on antud 17. sajandi prantsuse matemaatiku Pierre de Fermat’ järgi. 
Ta oli küll ametilt jurist , aga vabal ajal tegeles kõige meelsamini just matemaati-
ine
M
kaga. Ta mõtles põhjalikult küsimusele, millal ikkagi ülaltoodud võrrandi lahendid 
a
leiduvad, ning ühe paberilehe äärel väitis ka, et tal on lihtne tõestus, mis näitab, et 
juhul kui   on kahest suurem täisarv, täisarvulisi lahendeid ei leidugi. Seda tõestust 
aga keegi tema paberitest leidnud pole ning pole keegi suutnud lihtsat tõestust ka 
  teisend
välja mõelda. 
Tänaseks on küll Fermat’ suur teoreem tõestatud, kuid lahendus laiutab üle paari- 
saja lehekülje ning on matemaatiliselt ikka parajalt keeruline.
õrrandi
 v
mikS VÕRRANDEiD lAhENDADA?
Isegi kui arvutid ei oska elu võrranditesse panna, on nad tingimata head võrrandite 
lahendamisel. Neile tuleb lihtsalt võrrand ja mõned lahendusnipid ette sööta ning 
jääda vastuseid ootama.
Näiteks kasutades maatriksesitlust [lk 152], võib arvutitele anda täpse algoritmi , 
mille abil võivad nad iga lineaarvõrrandisüsteemi täpselt ja kiiresti lahendada.
Sadade muutujate ja lineaarvõrranditega võrrandisüsteem võtab arvutil aega 
ainult hetke. 
Võib tekkida küsimus: miks siis üldse ise õppida nende lahendamist?
Esiteks, kuna meid ei huvita mitte ainult võrrand ise, vaid ka tema eluline kontekst, 
siis võib ka võrrandi lahendamine anda ideid sellesama konteksti kohta. Nii mõnigi 
kord saame lahendussamme ka eluliselt tõlgendada ja sellest kasugi saada.
Teiseks annab võrrandite lahendamine oskused matemaatiliste tehetega mölla- 
miseks, mida tuleb ette mujalgi, kus elu matemaatikasse lööme.
Viimaks, paljude kõrgema astme võrrandite lahendamise jaoks ei leidu (veel) täp-
seid retsepte, mida arvutile  ette sööta – nende lahendamine vajab tõepoolest 
nupukust. Näiteks on teada, et võrrandil 
 leidub lahendeid, neid 
kõiki leida aga arvuti ei oska. Ja ka kõik praegused retseptid , mida arvutid kasuta-
vad, tulenevad just varasemate matemaatikute mõttetööst – ka sellele tahab ehk 
mõni lugeja ükspäev kaasa aidata.
182
 
ine
M
a
  teisend
õrrandi
 v
183
RiA
VÕRRAND JA gEomEETRiA
  geomeet
A
  J
Mõni muutujarägastikuga võrrand võib alguses üsna eemaletõukav tunduda. Kuid 
ühte ilusti tõmmatud kõverat, mis väljendab sedasama võrrandit, on alati kaunis 
vaadata.
VÕRRAND
Õnneks tuli 16. sajandil prantsuse matemaatik ja filosoof Descartes selle peale, kui-
das omavahel võrrandeid ja geomeetriat siduda. 
Kõige lihtsam seos on kahe muutujaga lineaarvõrrandite ja sirgete ning kolme 
muutujaga lineaarvõrrandite ja tasandite vahel. Nendest seostest pajatame ka 
käesolevas peatükis.
VÕRRANDi JA gEomEETRiA VAhEliNE TÕlkimiNE
Võrrandil 
 on muutujale antud väga  karmid  tingimused ning võimalik on 
täpselt üks lahend:   peab olema võrdne ühega. Geomeetriliselt võime sellest võr-
randist mõelda kui sellise arvtelje punkti leidmisest, mis on arvust 3 kahe ühiku 
võrra vasemal. 
184
RiA
Üks viis tingimusi väetimaks muuta ja võrrandile rohkem lahendeid tekitada, on 
mängu tuua rohkem muutujaid. Näiteks võrrandil 
 on lahendeid maa ja 
ilm: iga   -iväärtuse jaoks leidub sobiv väärtus ka  -ile. Kui   on võrdne 2-ga, peab 
  geomeet
 olema võrdne ühega. Kui   on võrdne 
A
3-ga, peab   võrduma nulliga ja nii edasi. 
  J
Kõik võrrandi 
 lahendid on antud arvupaaridena – üks neist ütleb võima-
liku muutuja   väärtuse ja teine muutuja   väärtuse. Iga selline arvupaar tähistab 
aga täpselt ühte punkti arvutasandil:  -i väärtus annab punkti  -koordinaadi ning  
VÕRRAND
-i väärtus punkti  -koordinaadi. 
Kui hakkame kõiki neid punkte joonistama, näeme, et nad otsustavad kõik ennast 
kenasti ühele sirgele ritta seada. 
Selgub, et iga kahe muutujaga lineaarne võrrand (mõlema muutuja aste on üks) 
kirjeldabki täpselt ühte sirget tasandil ja vastupidi ka: kui meile on antud üks sirge 
tasandil, võime kirjeldada teda kahe muutujaga lineaarse võrrandi abil. 
Kõikvõimalikud sirged tasandil oskame kergesti joonistada, kõikvõimalikud kahe 
muutujaga lineaarvõrrandid on aga antud järgmise kujuga:
Siin on 
 lihtsalt suvalised reaalarvulised kordajad ning   reaalarvuline vabaliige.
See seos on päris kihvt ! Meil on ühelt poolt midagi geomeetrilist, joon, mida võime 
pliiatsi või pastakaga paberile vedada, ning teiselt poolt kuivana näiv võrrand ja 
ometigi kirjeldavad mõlemad sama matemaatilist objekti!
185
Ka praktilisema poole pealt on see seos vägagi kasulik, kuna võimaldab tingimusi 
ja seoseid kirjeldada nii geomeetria kui võrrandite keeles. Seega kui sirgel on mõni 
RiA
omadus, siis peab see vastav omadus olema kirjeldatav ka võrrandite keeles ja vas-
tupidi. 
Oletame näiteks, et meie geomeetriliseks omaduseks on teadmine, et sirge läbib 
  geomeet
A
punkti null. Milline oleks see omadus võrrandite keeles? 
  J
Kui sirge läbib punkti null, siis rahuldab arvupaar 
 võrrandi tingimusi. Sises-
tades 
 ja 
 võrrandi üldkujusse, saame, et 
. Seega kui sirge läbib  
punkti null, puudub vastaval võrrandil vabaliige ning sellise võrrandi võib kirja 
VÕRRAND
panna kujul 
. Näiteks joonistatud sirge võrrand on 
Lähtudes võrrandite keelest võiksime aga küsida: millised sirged vastavad võrran-
ditele kujus 
 mingi suvalise arvu   jaoks? 
186
Joonistades võib veenduda, et kõik need sirged on kenasti paralleelsed. 
RiA
  geomeet
A
  J
VÕRRAND
Nii nagu iga kahe muutujaga lineaarne võrrand on täpselt vastavuses mõne tasandi 
sirgega, on iga kolme muutujaga lineaarne võrrand ilusas vastavuses mõne tasan-
diga kolmemõõtmelises ruumis.  
Ka siin võime geomeetrilisi omadusi kirjeldada võrrandite keeles ja vastupidi. Näiteks 
võrrandid kujus 
 kirjeldavad kõik tasandeid, mis läbivad koordi- 
naatteljestiku nullpunkti. Kõike seda on muidugi juba palju keerulisem joonistada. 
SiRgETE lÕikUmiNE TASANDil   
JA VASTAV VÕRRANDiSüSTEEm
Nagu nägime, on iga sirge tasandil vastavuses ühe lineaarvõrrandiga kujus 
  Seeläbi on sirgete omaduste kirjeldamine võrdväärne lineaarvõr-
randi kirjeldamisega. 
Olukord muutub veelgi põnevamaks, kui tasandile  asetada neid mitu. Kui meil on 
kaks sirget, tekib ju mitmeid geomeetrilisi võimalusi nende kahe sirge suhestumi-
seks. Kaks sirget võivad kas
•  lõikuda ühes punktis,
•  olla paralleelsed,
•  või kattuda.
187
Samaaegselt võime mõlemat sirget aga kirjeldada ka kahe muutujaga lineaarse 
võrrandiga. Mis kirjeldab nende võrrandite omavahelist suhestumist?
RiA
Selleks on muidugi neist kahest võrrandist koosnev võrrandisüsteem! 
Tõepoolest, võrrandisüsteem otsib ju kõiki punkte, mis rahuldavad mõlemat sirge 
  geomeet
võrrandit ühtaegu, ehk teisisõnu kõiki punkte, mis asuvad korraga nii ühel kui teisel 
A
  J
sirgel. 
Neid punkte on 
•  täpselt üks, kui sirged lõikuvad,
VÕRRAND
•  null, kui sirged on paralleelsed,
•  lõpmatult palju, kui mõlemad sirged on tegelikult  
üks ja sama sirge.
Nii saamegi võrrandisüsteemi lahendamisega täpselt teada, kuidas nende võrran-
ditega kirjeldatud sirged omavahel asetsevad.
188
SiRgETE JA TASANDiTE RAkENDUSED
RiA
Sirgete ja tasandite võrrandid, nende koostamine ja nendega mängimine kuuluvad 
väheste lemmikhobide kilda. Siiski tasub nendega hästi läbi saada juba näiteks sel-
lepärast, et nad mängivad täiesti arvestatavat rolli arvutigraafikas.
  geomeet
A
Näiteks võivad sirge ja tasandi võrrandid ette tulla arvutimängude  loomisel.
  J
Kujutame ette, et arvutimängus on kolmemõõtmeline tuba. Ühes seinas on aken, 
millest paistab sisse ilus päevane valgus. Mõni päikesekiir levib kenasti sirgjooneli-
selt ning muidugi otse vastu põrandat, millest võime mõelda kui tasandist. Valgus-
VÕRRAND
kiire levikut kirjeldab seega sirge võrrand ja põrandat tasandi võrrand. 
Kuid päris elus ei jää valgus lihtsalt põrandale , vaid peegeldub sealt edasi. Sellepä-
rast tulebki iga sellise valguskiire ehk sirge jaoks välja arvutada tema peegelduse  
järgne suund ning seega jälle uus sirge. Muidugi ei piirdu valguskiir ainult ühe pee-
geldusega, vaid levib ja peegeldub järjest edasi seintelt , laelt, mööblilt. Nii tuleb 
korduvalt välja arvutada sirgete ja tasandite võrrandeid.
Õnneks ei pea me seda ise tegema – tuleb lihtsalt arvutile õpetada, kuidas arvuta-
mine käib, ja edasi teeb ta kõiki neid tehteid meeletu kiiruse ja täpsusega. 
Päris lõpmatult valguskiiri siiski põrgatama ei pea. Pärast sadat põrget on toas juba 
kenasti eri toonides seinad, pehmete servadega varjud ja kõik muu, mis tekitab 
meile hea koduse tunde. Oleme arvutile päriselu selgeks teinud ja meie mäng näeb 
realistlik välja.
189
VÕRRATUS
tus
võrra
Nagu nägime, võimaldab võrrand [lk 168] üsna täpselt ja arvuliselt tingimusi ja 
seoseid kirja panna. Mõnikord ei ole aga tingimused nii põhjalikud, et neid saaks 
võrrandiga kirja panna, ning mõnikord ei huvitagi meid see, millised on suuruste 
täpsed väärtused.  Meid huvitab ainult nende suuruste vaheline seos – mis on suu-
rem, mis väiksem.
Näiteks valides kahe rahapauna vahel, ei huvita rahalembelist, kui palju on täpselt 
ühes või teises paunas raha, vaid huvitab pigem, kummas paunas on rohkem raha. 
Samuti ei huvita meid näiteks kahe marsruudi vahel valides, kui pikad teekonnad 
täpselt on, vaid kumb on lühem, kumb pikem. 
Ka võrrandi peatükis toodud näited oleksid loomulikumad võrratuste keeles. 
Küsime ju tegelikult, mitu inimest maksimaalselt mahuks nii või nii suurele  laulu- 
lavale. Nii saaksime ka toodud võrrandi asemele hoopis võrratuse.
Märk   asetataksegi kahe suuruse vahele, kui vasem on paremast väiksem või sel-
lega võrdne. Märk   isepäini tähendab, et vasem suurus on paremast rangelt väik-
sem ehk võrdus pole sel juhul lubatud. Näiteks 
 tähendab, et arv   on arvust 
3,5 väiksem. Mõlemat märki võib muidugi kasutada ka teisipidi, näiteks 
. 
190
VÕRRATUSTE kooSTAmiNE
Nagu võrrandi korralgi, koostame ka võrratusi tihti mõne elulise situatsiooni kir-
jeldamiseks või mõne elulise küsimuse lahendamiseks. Võrratuste ja võrrandite 
tus
koostamine on väga sarnane – seame elulistele suurustele vastavusse muutujad ja 
määrame nendevahelised suhted.
võrra
Meenutame näiteks mobiilioperaatorite näidet. Meil oli kaks operaatorit järgmiste 
pakettidega:
•  operaator A: 5 eurot kuumakse pluss 0,01 eurot kõneminut, 
•  operaator B: 1 euro kuumakse pluss 0,02 eurot kõneminut. 
Võrrandi peatükis küsisime, kui palju peaksime  telefoniga rääkima, et operaatorite 
juures oleksid kuutasud võrdsed. Kuna on aga selge, et operaator A muutub sood-
samaks, kui räägime palju, oleks loomulikum küsida: kui palju peaksime telefoniga 
rääkima, et operaator A muutuks soodsamaks?
Kuna kuutasu sõltub mõlemal juhul otseselt räägitud kõneminutite arvust, tuleb ta 
kindlasti mängu tuua ning võime ta tähistada näiteks muutujaga  . Seega võime 
kuutasud välja kirjutada järgmiselt:
•  Operaator A juures:
 eurot
•  Operaator B juures:
 eurot
Meie küsimust, millal on operaator A kuutasu odavam, esitab siis täpselt võrratus:
Nagu võrranditegi korral, on võrratuses endas nüüd kontekst kadunud: küsime liht-
salt, milliste  -de korral on vasem pool väiksem paremast. Pärast võime vastuse 
tõlkida jälle elukeelde ja vastatagi, milliste kuuminutite arvu korral on operaator A
pakett odavam. 
Nüüd räägimegi võrratuste lahendamisest lähemalt.
VÕRRATUSE lAhENDAmiNE
Võrratuse lahendamine tähendab täpselt sama, mida võrrandi lahendaminegi – 
tuleb leida antud tingimustega sobivad muutuja väärtused [lk 176]. 
191
Näiteks kui tahtsime leida arve, mille ruut oli võrdne 4-ga, saime võrrandi: 
.  
Samamoodi võime otsida arve, mille arvuruut on 4-st suurem. Seda kirjeldab võr-
ratus: 
. 
Võrratuste lahendamisel on tihti kasulik mõelda geomeetriliselt – üritame kogu 
tus
võrratuse taandada mõne funktsiooni graafiku uurimisele.
Ülaltoodud võrratuse korral näeme, et kõik otsitavad arvud peavad olema kas 
võrra
kahest suuremad või miinus kahest väiksemad, sest muudel juhtudel on ruut- 
funktsiooni 
graafik 4-st madalamal.
Sama strateegia toimib ka keerulisemate võrratuste puhul. Näiteks oletame, et 
küsitakse, milliste reaalarvude   jaoks on 
Kasutades võrratuse omadusi võime selle võrratuse ümber viia kujusse 
Sellises kujus vastab võrratus küsimusele: millal asub kuupfunktsioon  - teljest üle-
val pool?
Kuupfunktsiooni graafik teeb kokku maksimaalselt kaks pööret, aga sellest räägi- 
me pikemalt osa 6 juures [lk 266].
Kuupfunktsiooni oskame umbkaudu joonistada niipea, kui teame ta nullkohti 
[lk 269]. Seega tegurdame vasemat poolt ja saame samaväärse võrratuse 
. Nüüd võime vastuse välja lugeda, joonistades umb-
kaudselt kuupfunktsiooni 
graafiku.
192
Meile sobivad kõik arvud vahemikus 
 ning kõik ühest suuremad arvud:
tus
võrra
Graafiline  meetod  põhineb  sisuliselt  funktsioonide  graafikute  võrdlemisel. Olek-
sime võinud eelnevalt ka lihtsalt võrrelda funktsioonide  3 + 2 2 ja   + 2 graafi-
kuid, aga lihtsam oli teisendada võrratust nii, et üks funktsioon oli kuuppolünoom 
ja teine lihtne nullfunktsiooni, mille graafikuks on siis  -telg ise. 
Mõnikord peame aga tõesti joonistama välja kaks erinevat funktsiooni. Näiteks 
näeme graafikult, et 
 iga mittenegatiivse  -i jaoks. 
Selle fakti range tõestus kasutab tuletist [lk 320] ja põhineb täpselt graafikult saa-
dud intuitsioonil: kohal 0 on mõlemad funktsioonid võrdsed ning edasi kasvab 
funktsioon 
 kiiremini kui funktsioon 
Kuna võrdusjuht on mingis mõttes võrratuse piirjuhuks, võime võrratuste lahen-
damise taandada tihti võrrandite lahendamisele. Mingis mõttes tegime seda ka 
kogu eelnenud arutelus: leidsime geomeetriliselt, kus on mingid lõikepunktid, ning 
otsustasime, kummale poole jäävad siis võrratuse lahendid. Lõikepunktid ise aga 
tähistasidki võrrandite lahendeid ja piirasid võrratuse lahendite ala. Just selle seose 
tõttu saime ka tegelikult mobiilioperaatorite küsimusele ainult võrrandite raames 
vastuse leida.
193
VÕRRATUSE TEiSENDAmiNE
Võrratustega võib teha peaaegu kõike, mis võrranditegagi. Samaväärsed võrratu-
sed saame näiteks, kui 
tus
1.  liidame mõlemale võrratuse poolele sama arvu juurde. See on 
ju igati intuitiivne – kui Sul on rohkem raamatuid kui vennal , on 
võrra
Sul neid rohkem ka pärast seda, kui kirjandushuviline tädi mõle -
male teile uue raamatu kingib;
2.  korrutame võrratuse mõlemat poolt sama positiivse arvuga. Ka 
see on loomulik: perepitsa on suurem kui tavaline pitsa ning ka 
pool või neljandik perepitsat on suurem kui pool või neljandik 
tavalisest pitsast.
Siinkohal on oluline märgata, et mõlemaid pooli võib ainult positiivse arvuga läbi 
korrutada ja mitte negatiivse arvuga. Negatiivse arvu korral tuleb võrratuse märk 
muuta vastupidiseks. Miks see nii on?
Alustame ühest näitest, võrratusest
. Kui mõlemad pooled korrutada läbi 
-ga, saame arvudeks vastavalt 3 ja  . Kuid enam ei ole 3 väiksem kui  . Selle 
vältimiseks pöörame märgi vastupidiseks ning saame, et 
Tähendab ju mõlema võrratuse poole miinus ühega läbi korrutamine tegelikult arv-
telje peegeldust 0 punkti suhtes ja nii muutubki võrratuse märk – suurus, mis enne 
oli arvteljel kõige paremal ning seega suurim, asub pärast peegeldust kõige vase-
mal ning on seega väikseim. 
Kui korrutame võrratuse pooled läbi mõne miinus ühest erineva negatiivse arvuga, 
nagu näiteks arvuga 
, siis võime sellest mõelda kahes sammus : 1) esmalt kor-
rutame mõlemat poolt arvuga   ja seega vahetame võrratuse märgi ning 2) see-
järel korrutame pooli arvuga 
Muidugi võib ka võrratusega teha teisendusi, mis samaväärsust tingimata ei säilita. 
Siin tuleb hoolikas olla just sellepärast, et iga kord negatiivse arvuga korrutades 
võib märk muutuda. Näiteks kui võrratuse mõlemad pooled ruutu võtame, siis saa-
194
dud võrratus on algsega samaväärne ainult juhul, kui mõlemad võrratuse pooled 
on positiivsed.
Tõepoolest, kui 
, siis ka 
. Samas aga 
, kuid 
tus
VÕRRATUSED JA plANEERimiNE
võrra
Matemaatiline planeerimine tegeleb teatud mõttes elulistele probleemidele 
 
parimate lahenduste leidmisega. Seejuures on võrratustel matemaatilises planee-
rimises oluline osa. Toome mõned näited.
1.  Kuidas peaks bussifirma korraldama bussiliiklust, nii et teenida
võimalikult palju kasumit? Ühelt poolt tahab bussifirma teha või-
malikult vähe kulutusi bussijuhtidele, bussidele ja kütusele. Tei-
selt poolt peab ta pakkuma võimalikult head teenust, et reisijad  
ei läheks konkurentide juurde või ei hakkaks sõitma autoga .
2.  Milline on parim istekohtade jaotus klassiruumis, nii et õpilased 
oleksid võimalikult õnnelikud? Arvesse tuleb võtta nii õpilaste
istekoha- kui ka pinginaabrite eelistusi.
3.  Mida peaks vaene üliõpilane sööma, nii et ta kulutused toidule 
oleksid võimalikult väiksed, kuid päevased toitainete normid 
oleksid täidetud?
Järgnevalt vaatame viimast probleemi lähemalt üsna lihtsustatud näite varal, kus 
tudengi ostukorvi saavad kuuluda vaid kartulid ja oad. Peab tõdema, et päriselt ei 
taha küll vist keegi ainult kartulitest ja ubadest toituda, aga realistlikumad problee-
mid on liiga keerulised, et neid paberil ilma arvutite  abita lahendada.
Igal juhul alustame oma teadmiste ülesloetlemisega.
•  Kilo kartuleid maksab 0,7 eurot, sisaldab 20 g valke ning 170 g 
süsivesikuid. 
•  Kilo  ubasid  tomatikastmes  maksab  1,4 eurot, sisaldab 60 g 
valke ja 120 g süsivesikuid. 
•  Täiskasvanud  inimene vajab päevas 50 g valke ja 300 g süsi- 
vesikuid. 
Meie küsimus on, millise toidurahaga saab vaene  tudeng  päevas hakkama ainult 
kartuleid ja ubasid  süües , nii et päeva valkude ja süsivesikute norm oleks täidetud? 
195
Kõigepealt peame selle ülesande tõlkima matemaatika keelde ehk koostama  
matemaatilise mudeli. 
Esmalt leiame koguhinna. Selle jaoks tähistame kartulite kogust kilodes  -iga 
ning ubade kogust kilodes  -iga. Nii lähevad kartulid maksma 
 eurot, oad  
tus
 eurot ning mõlemad kokku 
 eurot. Tahaksime seda maksumust 
minimeerida, kusjuures kogustele   ning   on seatud teatud piirangud, mis tule-
vad päevastest toitainete normidest – peame sööma vähemalt teatud arvu valke 
võrra
ja süsivesikuid.
Üritame nüüd need piirangud võrratuste keeles kirja panna. 
Valke on kartulites 
 grammi ja ubades 
 grammi. Kuna täiskasvanud ini-
mene peaks päevas sööma vähemalt 50 grammi valke, siis saame võrratuse  
. 
Sarnaselt saame süsivesikute jaoks tingimuse 
 
Lisaks ei saa ei kartulite ega ubade kogused olla negatiivsed arvud. Seetõttu on 
meil veel võrratused 
 ja 
 
Oleme saanud järgneva matemaatilise mudeli. „min” tähendab siin, et otsime 
võrrandi väikseimat ehk minimaalset väärtust ning muidugi peavad lisaks olema 
rahuldatud kõik toodud võrratused:
Seda ülesannet on kõige lihtsam lahendada graafiliselt. Selleks kanname koordi-
naatteljestikku kõik neli võrratust ning märgime ära piirkonna, mis kõiki võrratusi 
rahuldab.
196
Viimaks leiame märgistatud piirkonnas punkti, kus funktsiooni 
 väärtus 
on minimaalne. Kuidas seda teha? 
Meenutame, et sirged kujus 
 on kõik omavahel paralleelsed 
ning vähendades   väärtust, liigutame seda sirget lihtsalt allapoole. Nüüd asub 
 minimaalne väärtus kindlasti ühel sellistest sirgetest ning lahendiks 
tus
on paar 
 täpselt siis, kui ta ka omakorda lahendipiirkonda jääb. Seega on meie 
ülesanne leida minimaalne   väärtus, mille korral sirge 
 lõikab veel 
võrra
endiselt lahendipiirkonda. 
Nagu jooniselt näeme, juhtub see täpselt sirgete 
 ja 
   lõikumispunktis, mida oskame juba lihtsalt leida: 1,54 kg 
kartuleid ja 0,32 kg ubasid lähevad maksma 1,53 eurot. 
mÕNED lEViNUD VÕRRATUSED
Nii nagu koolist on hästi teada, et õpetaja on alati targem kui õpilane, kehtivad 
ka teatud võrratused väga paljude erinevate arvude või elementide jaoks. Näiteks 
kehtivad mõned võrratused absoluutselt kõikide positiivsete reaalarvude jaoks või 
kõikide ühest suuremate reaalarvude jaoks või kõikvõimalike kolmnurkade  jaoks. 
Loetleme ja selgitame neist siinkohal mõnda.
REAAlARVU RUUT
Kõige tuntum võrratus on ilmselt järgmine: iga reaalarvu ruut on mittenegatiivne 
ehk 
. Võrdus kehtib muidugi parajasti juhul, kui   on võrdne nulliga. Miks see 
ikkagi on nii? 
197
Nulli puhul on muidugi asi selge, on ju nulli ruut jällegi null.
Ka positiivsete arvude puhul pole asi palju keerulisem:   on ju täpselt küljega   
ruudu pindala ning ruudu pindala peabki positiivne olema. 
Iga negatiivse arvu võime aga kirjutada kujul 
, kus   on ise positiivne. 
tus
Sel juhul võime kirjutada
võrra
ning tulemus on jällegi positiivne.
kUmb oN SUUREm, ARV VÕi TEmA RUUT?
Võibolla kõlab see alguses natuke mitteintuitiivselt, aga arvu ruut ei ole mitte 
sugugi alati suurem kui arv ise. Negatiivse arvu ruut on muidugi alati temast suu-
rem, sest eelneva põhjal on arvuruut ise alati positiivne.
Samuti, kui positiivne reaalarv on ühest suurem, siis on ta ruut arvust suurem. Kui 
aga positiivne reaalarv on ühest väiksem, siis on ta ruut arvust väiksem: 
Ka seda pole väga raske tõestada – teame ju, et võime iga võrratust positiivse 
täisarvuga läbi korrutada: 
•  korrutades võrratuses
 mõlemad pooled  -ga, saame võr-
ratuse 
•  korrutades võrratuses
 mõlemad pooled  -ga, saame võr-
ratuse 
ARiTmEETiliNE JA gEomEETRiliNE kESkmiNE
Arvude  aritmeetiline  keskmine  tuleb  esile  üsna  tihti:  näiteks  arvutatakse  välja
keskmist hinnet, eksamitulemuste keskmist või rahva keskmist vanust. Selle jaoks 
liidetakse lihtsalt kõik uuritavad tulemused kokku ja jagatakse summa tulemuste 
arvuga:
198
Keskmistada võib aga teisiti: võib kõik tulemused kokku korrutada ning siis võtta 
nendest nii mitmes juur , kui palju tulemusi oli.
Geomeetriline keskmine tuleb esile näiteks televiisorite kuvasuhete määramises. 
tus
Vana kinostandard oli kuvasuhe 
 (pilt on 2,39 korda laiem) ning vana tele-
viisor näitas filme suhtes
. Nende kahe standardi vahel kompromissi leidmiseks 
võrra
kasutati geomeetrilist keskmist ning saadi tulemuseks 
 standard. Geomeetri -
lise keskmise kasutamine võimaldas saavutada olukorra, kus mõlemaid proport-
sioone „muudeti” ühepalju.
Nii aritmeetiline kui geomeetriline keskmine on ka seotud vastavanimeliste jada-
dega [lk 128]. Nimelt on aritmeetilise jada kolmest järjestikusest liikmest keskmine 
äärmiste aritmeetiliseks keskmiseks ning täpselt sama juhtub ka geomeetrilises 
jadas, kasutades geomeetrilist keskmist.
Üks tuntud võrratus väidab, et kahe mittenegatiivse reaalarvu aritmeetiline kesk-
mine on vähemalt sama suur kui kahe arvu geomeetriline keskmine. Ehk: 
Kuidas seda tõestada?
Vaatame arvu 
. Kuna tegemist on arvuruuduga, siis on ta mittenega-
tiivne. Avades sulud, saame
, ehk tõesti 
. 
Graafiliselt võib aritmeetilisest ja geomeetrilisest keskmisest ning nendevahelisest
võrratusest mõelda järgnevalt:
199
Tõestus vajaks natuke kolmnurkade ja trigonomeetriaga mängimist. Huvitunud 
lugeja võib seda proovida näiteks peale trigonomeetria peatüki läbimist [lk 205].
Kuigi meie tõestasime siin ainult, et kahe arvu aritmeetiline keskmine on suurem 
geomeetrilisest keskmisest, siis tegelikult kehtib väide mistahes paljude arvude 
tus
kohta. Suvalise   mittenegatiivse arvu aritmeetiline keskmine on suurem kui  
geomeetriline keskmine. Seda on siiski juba pisut keerulisem tõestada.
võrra
lühim mURDJooN
Lõpetame peatüki ühe väga lihtsa geomeetrilise võrratusega. See väidab, et kahe 
punkti vahelistest murdjoontest on vähima pikkusega neid punkte ühendav sirg -
lõik.
Sellest võrratusest järeldub kohe näiteks tuntud kolmnurga võrratus: kolmnurga 
iga kahe küljepikkuse summa on pikem kui kolmas külg. See lihtne väide osutub 
järelikult üsna sisukaks.
200
tus
võrra
201
AbSolUUTVääRTUSEgA 
õrrand
VÕRRAND
  v
äärtusega
Meie eesmärk siin raamatus ei ole alati õpetada – õpetada oskavad palju paremini 
õpetajad ise – vaid pigem anda ideid, kuidas koolimatemaatikast mõelda. Seega 
üritame ka siin pisikeses peatükis ainuüksi selgitada, kuidas absoluutväärtusega 
võrrandit tõlgendada. Meenutame, et arvu absoluutväärtusest kirjutasime juba ka 
absoluutv
arvude peatükis [lk 120].
Oletame, et teid on vastamisi seatud võrrandiga:
Tundub päris hirmuäratav? Põhjuseta! 
On mitu viisi, kuidas ennast veenda, et tegemist on üsna ohutu olukorraga.
Esmalt võib üritada võrrandi lahti sõnastada „kauguste” abil.
Oletame näiteks, et meil on lihtsam võrrand 
. Võrrandi vasak pool kir-
jeldab siis punkti   kaugust arvust 1 ja võrrandi lahendamine tähendab kõikide sel-
liste punktide    leidmist arvteljel, mis on arvust 1 kahe ühiku kaugusel: 
Jooniselt on lihtne näha, et võimalikud on täpselt kaks punkti: 
 või 
. 
Kui meile on aga antud keerulisem võrrand nagu lehekülje alguses, on joonise abil 
lahendamine juba päris raske. Näiteks võrrandi
võime küll lahti sõnastada kauguste abil:
•  võrrandi vasak pool kirjeldab arvu   kauguste summat arvudest  
2 ja 0,
•  võrrandi parem pool kirjeldab arvu   kaugust arvust 1 ja lisab 
sellele kaugusele veel 2 juurde.
202
Ent siiski läheb joonise abil lahendamine keeruliseks. Niisiis mõtleme korra, kuidas 
veel lihtsama võrrandi  
 lahendamisest mõelda.
õrrand
Joonisel hakkame automaatselt proovima kahte erinevat juhtu:  
  v
•  punkt   asub arvust 1 paremal pool
•  punkt   asub arvust 1 vasemal pool
Sümbolites tähendab see aga, et me vaatasime läbi kaks juhtu: 
äärtusega
•
 on positiivne
•
 on negatiivne
Kasutades absoluutväärtuse definitsiooni, annavad need kaks juhtu meile kaks eri-
absoluutv
nevat võrrandit:
•
•
On lihtne näha, et esimene annab täpselt meile vastuse 3 ja teine vastuse  .
Täpselt sama strateegia aitab ka keerulisemate võrrandite puhul. Peame iga võr-
randis asuva absoluutväärtuse jaoks vaatama läbi kaks juhtu – juhu, kus absoluut -
väärtuste vahel olev avaldis on positiivne, ja juhu, kus ta on negatiivne.
Nii ei erine absoluutväärtusega võrrandi lahendamine sugugi tavalise võrrandi 
lahendamisest – absoluutväärtusega võrrandi puhul tuleb lihtsalt läbi vaadata mitu 
tavalist võrrandit.
203
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
204
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
osa 5
TrigonomeeTria
205
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
206
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
Ükski tööandja ei saa läbi ilma  
aritmeetikata, ükski mehaaniline   
leiutis ilma geomeetriata.
Benjamin Franklin
207
proporTsioonid ja 
Kolmnurgad
 kolmnurgad
 ja
Siin peatükis läheneme trigonomeetriale eelajaloolisest vaatevinklist, vaadeldes 
trigonomeetriat kitsamalt kui õpetust seostest kolmnurkades ning laiemalt kui 
õpetust suhetest ja proportsioonidest. 
Trigonomeetria motivatsiooniks tuuakse tihti õigustatult majaehitust: hea ehitise 
proportsioonid
projekteerimine nõuab täpset nurkade ja pikkuste seadmist. 
Meie aga läheme esimese looga Maa pealt veidi kaugemale ja vaatame, kuidas tri-
gonomeetria avakosmoses kasuks võib tulla. 
Küsimus KosmosesT
Oletame, et pärast keskkooli pääsed tööle kosmosejaama. Milline  rõõm , kosmose- 
jaam! 
Kosmosejaam on aga katki ja vajab paikamist ühe antenni otsa juurest. Seega tuleb 
välja saata astronaut ja ta õigesse kohta toimetada. Kuidas kosmonauti avakosmo-
ses liigutada?
Tänases kosmosejaamas on astronautide liigutamine lahendatud mit-
meosalise robotkäe abil, mille moodustavad pööratavad liigesed  
ja sirged jupid – just nagu inimkäegi.
Kuidas seda robotkätt kontrollida? Kuidas välja arvutada, kui 
palju ja kuidas erinevaid liigeseid pöörata, et astronaut õigesse 
paika viia ja jaam ära paigata?
Selgub, et siin tuleb appi kolmnurga elementide ühen-
damine trigonomeetria abil. Tõepoolest, lihtsamale 
juhule leiad lahenduse käesoleva peatüki lõpust . 
Rännakut trigonomeetriasse alustame aga väikese 
sissejuhatusega kolmnurkadesse. 
208
Võrdsed ja sarnased Kolmnurgad
Nagu juba raamatu esimeses osas mainisime, on kaks kolmnurka võrdsed või uhke-
malt öeldes kongruentsed siis, kui neid võib täpselt üksteise peale asetada, kusjuu-
 kolmnurgad
res seejuures on lubatud kolmnurk ka tasandilt välja tõsta ja teistpidi pöörata.
 ja
Kahe kolmnurga kongruentsuse garanteerib näiteks kõigi kolme külje võrdsus. See 
kõlab esialgu üsna lihtlabaselt, aga tegelikult vajab tõestamist.
Tõepoolest, näiteks sellest, kui kõik kolm nurka on võrdsed, kolmnurkade endi 
võrdsus ju ei järeldu, sest kolmnurgad võivad olla erineva suurusega. 
proportsioonid
Samuti ei järeldu nelinurkade puhul kõige nelja külje võrdsusest nelinurkade kong-
ruentsus.
Selle tõestamine, et kolme külje võrdsusest järeldub kolmnurkade  kongruentsus , 
siiski väga raske ei ole. Tuleb lihtsalt märgata, et sirkli ja joonlaua abil võib kolme 
külge teades konstrueerida täpselt ühe kindla kolmnurga.
Esmalt võtame suvaliselt ühe kolmest küljest ja paigutame selle joonisele. Järgne-
valt tahaksime selle külje otspunktidesse paigutada teised kaks nii külge, et nad 
lõikuksid. Selle jaoks kirjeldame mõlema külje jaoks sirkliga kõik tema võimali-
kud otspunktid: saame kaks ringjoont. Need ringjooned lõikuvad kahes punktis ja 
seega saame kaks võimalikku kolmnurka. Õnneks on aga ülemine ja alumine pool 
sümmeetrilised ning mõlemad võimalused annavad sama tulemuse: üheainsa või-
maliku kolmnurga. 
209
 kolmnurgad
 ja
Tegelikult jagub kolmnurkade kongruentsuse garanteerimiseks veel teisigi tingi-
proportsioonid
musi: piisab sellest, kui näiteks kaks külge ja nendevaheline nurk on võrdsed, või 
isegi sellest, kui kolmnurga kõik kõrgused on võrdsed. Kõik need tingimused põhi-
nevad trigonomeetrilistel seostel.
sarnased Kolmnurgad
Käesolevas peatükis huvitab meid aga eelkõige see, millal on kolmnurgad „sama 
kujuga” ehk millal võib neid suurendamise ja vähendamise teel kongruentseteks 
muuta. Selliseid kolmnurki nimetatakse sarnasteks kolmnurkadeks. 
Esimese joonise hoolikam silmitsemine vihjab, et ilmselt piisab „sama kuju” garan-
teerimiseks juba ainuüksi nurkade võrdsusest. Tõepoolest, järgnev joonis peaks 
seda tõest fakti veelgi veenvamalt esitama:
Kasulik on märgata, et kuna kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi, piisab kolm-
nurga kõikide nurkade kindlaks  määramiseks  tegelikult ainult kahe nurga teadmi-
sest.
210
Kuidas on omavahel seotud sarnaste kolmnurkade küljed? 
Nagu mainisime, võib sarnaseid kolmnurki suurendamise ja vähendamise teel 
võrdseteks muuta ning võrdsetel kolmnurkadel on muidugi võrdsed küljed. 
Geomeetriliste kujundite suurendamisest ja vähendamisest võib aga mõelda liht-
 kolmnurgad
salt kui kõikide pikkuste läbikorrutamisest positiivse reaalarvuga, jättes nende 
 ja
paiknemise samaks. Näiteks kui suurendame kolmnurka kaks korda, korrutame 
kõik küljepikkused läbi kahega.
proportsioonid
Seega teame, et kui kolmnurgad on sarnased, siis ühe kolmnurga külgede pik-
kustest 
 saab teise kolmnurga küljepikkused 
, kui korrutada neid  
sama reaalarvuga. Teisisõnu küljepikkused on proportsionaalsed ehk võrdelised: 
Sellest aga lähtub, et sarnastes kolmnurkades on võrdsed ka vastavate külgede  
vahelised suhted. Tõepoolest, mõlemaid külgi suurendame sama palju kordi ning 
see kordaja taandub külgede suhtes välja. Võime seda näha ka toodud seose 
esimest võrdust pisut teisendades – võime selle ümber kirjutada kujus 
.  
Sarnaselt ka 
 ning
. 
 
Kokkuvõttes näeme, et nii nurgad kui külgedevahelised suhted on suurusteks, 
mis kolmnurga suurendamisel ja vähendamisel ei muutu. Võime nii ainult nurkade 
kui ka ainult külgedevaheliste suhete abil kirjeldada tervet sarnaste kolmnurkade 
peret. See vihjab, et nurgad ja külgedevahelised suhted võiksid ka omavahel kui-
dagi seotud olla. Selle seose annavadki just nimelt trigonomeetrilised põhiseosed, 
mis on algupäraselt defineeritud täisnurksete kolmnurkade jaoks. 
211
TäisnurKne KolmnurK ja   
TrigonomeeTrilised põhiseosed
 kolmnurgad
Tuletame meelde, et täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks 
 ja
nurk on 90 kraadi. Täisnurkse kolmnurga külgedel on erilised nimetused: 90-kraa-
dilise nurga lähiskülgi nimetatakse kaatetiteks ning vastaskülge hüpotenuusiks. 
proportsioonid
Nagu mainisime on „sama kujuga” kolmnurkades võrdsed kõik nurgad ning ka üks-
teisele vastavate nurkade lähiskülgede suhted. 
Kui teame lisaks, et kolmnurk on täisnurkne, siis piisab kõikide nurkade määrami-
seks veel ainult ühe nurga teadmisest – on ju sel juhul üks nurk 90 kraadi, teist 
nurka teame ja kolmanda nurga võime välja arvutada, kuna kõige kolme nurga 
summa on 180 kraadi. 
Ehk teisisõnu, kui meile on antud üks kindel teravnurk (miks just teravnurk?), mille 
tähistame kokkuleppeliselt kreeka tähestiku esimese tähega  , siis teame, millise 
kujuga on meie kolmnurk ning saame kindlaks määrata ka külgedevahelised suh-
ted:
•  nurga   vastaskaateti pikkus jagatud hüpotenuusi pikkusega
•  nurga   lähiskaateti pikkus jagatud hüpotenuusi pikkusega
•  nurga   vastaskaateti pikkus jagatud lähiskaateti pikkusega
Kõik kolm suhet annavad vastuseks ühe arvu. Kuna need arvud sõltuvad üheselt 
ainult valitud nurgast  , on tegemist funktsioonidega [lk 64] nurgaväärtusest. 
Näiteks kui 
, siis on ka teine teravnurk 
 ning seega kolmnurk võrd-
haarne. Kaatetitevaheline suhe on seega täpselt 1.
212
Leitud funktsioonid on käibel nii tihedasti, et neile on mõistlik anda lühemad nime-
tused: 
•  vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet kutsutakse siinuseks  
nurgast   ,
 kolmnurgad
•  lähiskaateti ja hüpotenuusi pikkuste suhet kutsutakse  
 ja
koosinuseks nurgast  ,
•  vastaskaateti ja lähiskaateti suhet nimetatakse  
tangensiks nurgast  .
Neid kolme funktsiooni kokku kutsutakse trigonomeetrilisteks funktsioonideks 
ning otse definitsioonist võib märgata seost nende vahel:  tangens  on võrdne sii-
proportsioonid
nuse ja koosinuse jagatisega.
Nende vanamoodsate nimetuste jaoks on matemaatiliselt kasutusel veel järgne-
vad lühendid :
Eelneva tulemuse, kus 45-kraadise nurga puhul on kaatetitevaheline suhe täp- 
selt 1, saaksime nüüd kirja panna järgnevalt:
Olgugi et nende funktsioonide väärtused ise on leitud külgedevaheliste suhete 
kaudu ühes nurga poolt kindlaks määratud täisnurkses kolmnurgas, siis ei pea 
funktsiooni ennast sugugi rakendama ainult täisnurkse kolmnurga nurkadele.  
Trigonomeetrilisi funktsioone võib vabalt rakendada ka nurgaväärtustele, mis päri-
nevad viisnurgast, lihtsalt kahe haara vahelt või mujaltki.
Tõsi küll, praegu nõuame endiselt, et kasutatav nurgaväärtus oleks teravnurkne 
ehk väiksem kui 90 kraadi, sest oskame ainult sel juhul külgedevahelisi suhteid 
leida ja seega trigonomeetrilisi funktsioone defineerida. Kohe vabaneme aga sel-
lestki ettekirjutusest, alustades üsna loomulikust küsimusest.
213
Kuidas TrigonomeeTrilised funKTsioonid   
Välja näeVad? 
 kolmnurgad
Sellele küsimusele vastamiseks peame lihtsalt joonistama kolmnurki erinevate 
 ja
nurga   väärtustega.
Kolmnurga suuruse võime muidugi ise valida. Kaval on valida kolmnurga suurus nii, 
et hüpotenuusi pikkuseks on üks. Sel juhul on nurga siinus võrdne täpselt vastas-
kaateti pikkusega ning nurga koosinus võrdne lähiskaateti pikkusega.
Seame nüüd ühe kolmnurga tipu koordinaatteljestiku nullpunkti ning joonistame 
sinna hüpotenuusi pikkusega üks. Kaatetiteks jäävad hüpotenuusi otsast  -teljele 
proportsioonid
viiv lõik ja ka lõik, mis sealt tagasi nullpunkti jõuab.
Nüüd, siinus mingist nurgast on vastaskaateti ja hüpotenuusi pikkuste suhe. Kuna 
hüpotenuus  on üks, siis siinus ongi siin võrdne vastaskaateti pikkusega. Joonisel on 
näha, kuidas siinuse väärtus kasvab koos nurga väärtusega.
214
Vastaskaateti pikkuse annab aga täpselt haara ja ringjoone lõikepunkti 
 
- koordinaat . Koosinuse annab samas raamistikus selle lõikepunkti  -koordinaat 
ning tangensi   - ja  -koordinaadi suhe. Seda viimast võime tõlgendada veel liht-
samaltki: tangens näitab haara poolt määratud sirge tõusu. Kui jagame  -koordi-
naadi   -koordinaadiga, siis saame teada, kui palju haara määratud sirge iga ühiku 
 kolmnurgad
kohta tõuseb.
 ja
Edasi on lihtne panna arvuti, mõni sõber või sõbranna siinuse, koosinuse ja tan-
gensi graafikuid joonistama:
proportsioonid
Märkame aga, et meie nüüdses konstruktsioonis ei ole küll midagi teravnurkade 
jaoks spetsiifilist. Leidsime nurga siinuse, koosinuse ja tangensi lihtsalt kui nurga-
haara ja ühikringjoone lõikepunkti koordinaadid. See nurga haar võib ju aga  -tel-
jega  jätta ükskõik millise nurga, mitte ainult teravnurga. Nii saamegi defineerida 
trigonomeetrilised funktsioonid suvalise nurgaväärtuse, näiteks 2013 kraadi jaoks.
215
Trigonomeetrilised funktsioonid näevad oma täies pikkuses välja järgmised: 
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
Esiteks võib märgata, et trigonomeetrilised funktsioonid on ilusasti perioodilised 
ehk teisisõnu nende kuju on mööda  -telge edasi liikudes korduv. See tuleneb mui-
dugi otseselt definitsioonist – nurgad, mis erinevad täispöörde võrra, paiknevad ju 
-telje suhtes täpselt ühte moodi ning seega annavad ka täpselt sama siinuse, koo-
sinuse , tangensi. Trigonomeetrilistest funktsioonidest ja perioodilisusest räägime 
aga pikemalt juba teises alapeatükis [lk 230].
Teise asjana ehmatab muidugi ära tangensi katkevus iga poolringi ehk iga 180 
kraadi järel. Seejuures esimene katkemine on juba 90 kraadi juures. Selles ei ole 
siiski midagi ehmatavat – see juhtub ju lihtsalt sellepärast, et neis kohtades on koo-
sinus võrdne nulliga ning kuna nulliga jagada ei saa, ei saa ka tangensile väärtust 
leida.
Sellest murest võib mõelda ka sirge tõusu raames: sirgele, mis on vertikaalne ehk  
- teljega paralleelne, ei oskagi ju tõusu vastavusse seada. Tõuseb ta lõpmatult kii-
resti ülespoole või allapoole?
216
TrigonomeeTrilisTe funKTsioonide 
pöördfunKTsioonid
Mitmel pool õpikus tulevad esile pöördfunktsioonid. Lühidalt rääkisime neist juba 
 kolmnurgad
funktsioonide peatükis [lk 68], kus täheldasime, et pöördfunktsioonid rahuldavad 
 ja
järgmist seost:
Teisisõnu, ühe funktsiooni pöördfunktsioon nullistab täpselt tema efekti ning 
annab tagasi algse väärtuse. 
Näiteks võiks öelda, et kolme liitmise pöördfunktsioon on kolme lahutamine. Hil-
proportsioonid
jem näeme, et eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon 
[lk 290], ning et tuletis ja integraalgi on teineteise pöördoperatsioonid [lk 352].
Trigonomeetria kontekstis mõtleme pöördfunktsiooni all üsna lihtsat küsimust: kui 
enne leidsime nurga abil tema siinuse või koosinuse või tangensi, siis nüüd tahak-
sime ette antud väärtuse abil leida, mis nurga siinus, koosinus või tangens ta  paras -
jagu on.
Graafiliselt tähendab see järgmist: joonistame oma trigonomeetrilise funktsiooni 
graafiku, valime mingi väärtuse   ning siis küsime, kus kohas funktsiooni graafik 
lõikab sirget 
Näiteks  kui  teaksime,  et  siinus  annab  väärtuseks  nulli,  läheksime  tema  graafiku 
juurde ja vaataksime, kus ta lõikab  -telge. Vastuseks saaksime, et nurk võiks olla 0 
kraadi või 180 kraadi või mõni teine 180 kraadi kordne.
arKussiinus ja arKusKoosinus
Nagu graafikult näeme, siis siinus- ning koosinusfunktsiooni jaoks neid lõikepunkte 
alati ei leidugi. Nimelt kui 
, on sirge 
 funktsiooni graafikust täienisti 
ülal- või allpool. Kõikidel teistel juhtudel on aga lõikepunkte lõpmatult palju. 
217
See  tähendab,  et  pöördfunktsiooni  defineerimisel  peame  olema  üsna  ettevaat-
likud. Esiteks saame pöördfunktsioonile väärtuse anda ainult vahemikus 
,  
mis siis on tema nii-öelda määramispiirkonnaks. Teiseks tuletame meelde, et funkt-
sioon saab võtta täpselt ühe väärtuse – seega peame iga sirge jaoks kuidagi välja 
 kolmnurgad
valima  just ühe lõikepunkti.
 ja
Üks võimalus selle tegemiseks on lihtsalt nõuda, et vastus oleks mingis kind-
las vahemikus – jooniselt näeme, et siinusfunktsioon võtab kõik oma võimalikud 
väärtused vahemikus 
  ning koosinusfunktsioon näiteks vahemikus  
. Nendes piirkondades on funktsioonid üksühesed [lk 68] ning võime kohe 
defineerida ka pöördfunktsioonid.
proportsioonid
Nii ongi enamasti defineeritud arkussiinus, mida tähistatakse tihti arcsin , kui 
 
 
funktsioon, mis on siinuse pöördfunktsioon vahemikus 
 ehk siis rahul-
dab selles vahemikus seost arc
   .
Sarnaselt on siis defineeritud ka arkuskoosinus ehk  arccos  , ainult vahemikuna 
 
 
on kasutuses 
. 
Olenevalt eesmärgist võib mõnikord kasutada muidugi ka mõnda muud vahe-
mikku. Veelgi enam, vahepeal tahaksime kõiki vastuseid korraga esitada. Siis kirju- 
tame umbes nii:
218
 kolmnurgad
 ja
Sel juhul ei ole meil küll rangelt enam funktsioon, vaid  loetleme lihtsalt kõik  sirge 
 ning siinusfunktsiooni lõikepunktid ja neid on palju!
arKusTangens
proportsioonid
Tangensiga on selles suhtes lihtsam lugu, et ta võib võtta kõiki reaalarvulisi väär-
tusi. Seega on tangensi pöördfunktsiooni ehk arkustangensi määramispiirkonnaks 
kogu reaaltelg.
Probleem, et tangensfunktsioon on mitmes kohas sama väärtusega, muidugi säi-
lib. Seega tuleb ka arkustangensi kui funktsiooni määramiseks välja valida üks kin-
del piirkond. Mõistlik valik on näiteks 
, aga sobiks ka mõni teine.
Arkustangensit tähistatakse arctan(�).
Tähistustest
Nobeli auhinna võitjale füüsik Richard Feynmanile ei meeldinud trigonomeetri- 
liste funktsioonide tähistused sugugi. Talle tundus, et 
 tähendab kolme arvu s, 
i ja n kokkukorrutamist. Veel vähem meeldis talle siinuse pöördfunktsioon, mida 
mõnel pool mujal tähistatakse kui 
 Õigusega tekitas see  segadust , sest 
seda võiks tõlgendada kui 
, mida sellega enamasti silmas ei peeta. Igal juhul 
kasutas ta kooliajal siinuse ja siinuse pöördfunktsiooni järgmisi tähistusi:
219
Üsna varsti märkas ta siiski, et selliseid tähistusi kasutades ei saanud keegi teine 
tema mõtetest ja selgitustest suurt midagi aru. Seega soovitame siiski jääda tähiste 
 ja 
 juurde.
 kolmnurgad
 ja
miKs jusT TäisnurKsed Kolmnurgad?*
Natuke järele mõeldes võib kummitama jääma üks küsimus. Miks me seome nurki 
ja külgedevahelisi suhteid ikkagi just kolmnurkade kaudu ning miks just täisnurk -
sete kolmnurkade kaudu? Kas see on lihtsalt ajalooline  relikt või võib sellele ka sel-
gitust leida?
proportsioonid
Esimese vastusena võiks kohe öelda, et kolm-
nurkadest ei saa üle ega ümber. Niipea kui meil 
on  defineeritud  kaks  lõigupikkust  ja  nendeva-
heline nurk, ongi meil juba kolm punkti – nurga- 
tipp ja lõikude teised otspunktid – ja seega ka 
kolmnurk. Lisaks võib ju iga teise  hulknurga  
alati kolmnurkadeks jagada.
Eelkõige on aga põhjus järgmine: kolmnurgad on ainsad hulknurgad, kus
•  küljepikkuste vahelised suhted määravad üheselt ära kõik nurgad
•  ning ka vastupidi, teades kõiki kolmnurga nurkasid, on üheselt 
määratud kõik külgedevahelised seosed. 
Kumbki neist seostest näiteks nelinurkade puhul enam ei kehti. Nimelt kui neli-
nurga neli külge on võrdsed, võivad nurgad olla endiselt erinevad: meil võib olla nii 
kena ruut või ka üsna lapergune  romb .
Teistpidi, teadmine, et kõik neli nurka on täisnurgad, ütleb meile vaid, et tegemist 
on ristkülikuga, ning muidugi leidub väga erineva külgede suhtega ristkülikuid . 
220
Aga isegi kui lepime, et just kolmnurgad on mõeldud nurkade ja külgedevaheliste 
suhete sidumiseks, siis miks on kasutusel just täisnurksed kolmnurgad?
Nagu mainisime, on kolmnurga „kuju” määramiseks vaja teada vähemalt kahte 
nurka. Ainult ühest nurgast lähiskülgede suhte määramiseks ei piisa, sest sama 
 kolmnurgad
nurga lähiskülgede suhe võib olla väga erinev:
 ja
proportsioonid
Kuna teame, et iga kahe nurga teadmisest piisab kolmnurga „kuju” määramiseks, 
on kaval nipp üks nurk alatiseks  fikseerida . Nagu  eespool  ka nägime, on sel juhul 
kolmnurga „kuju” leidmiseks vaja veel teada ainult ühte nurka ning on täiesti  mõist -
lik rääkida selle nurga lähiskülgede vahelisest suhtest.
Fikseeritava nurga suuruse võiksime muidugi vabalt valida. Siiski, kõige paremini 
käsitletava , loomulikuma ja ilusama teooria saame kasutades täisnurkseid kolm-
nurki – ehk siis fikseerime ühe nurga täisnurgaks. 
Põhjuseid selle valiku eelistamiseks on mitmeid, mõned üksikud neist on näiteks 
järgnevad.
•  Nurk 
 on kõige sümmeetrilisem valik – ta on täpselt poolel 
teel 0 kraadist 180 kraadini.
•  Nagu  nägime,  võime  sel  juhul  trigonomeetrilisi  funktsioone 
defineerida lihtsalt ühikringjoone  - ning  -koordinaatide abil.
•  Skalaarkorrutisel  on  tänu  sellele  valikule  ilus  valem  vektorite 
pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse abil [lk 144].
•  Iga  muu  kolmnurga  saame  jagada  täisnurkseteks  kolmnurka-
deks ja seeläbi leida ka algses kolmnurgas nurkade ja külgede 
vahelisi seoseid – ühte neist nimetatakse siinusteoreemiks.
221
siinusTeoreem
Kasutades täisnurkse kolmnurga jaoks defineeritud trigonomeetrilisi põhiseoseid, 
 kolmnurgad
võime omavahel siduda nurkasid ja külgi ka mittetäisnurksetes kolmnurkades. 
 ja
Tuntuim selline seos on ilmselt siinusteoreem, mis väidab, et iga nurga vastaskülje 
ja selle nurga siinuse suhe on võrdse väärtusega. Kuigi intuitiivselt on selge, et nur-
gad ja külgede suhted peavad olema omavahel seotud, siis siinusteoreemi täpne 
sõnastus on siiski üllatavalt leidlik ja lihtne:
proportsioonid
Enne kui siinusteoreemi tõestama asume, räägime mõnest tema matemaatilisest 
rakendusest.
Mõned siinusteoreemi rakendused
Esimese rakendusena aitab siinusteoreem leida puuduvaid elemente kolmnurgas –  
tema abil võime teadmised nurkadest pöörata teadmisteks küljepikkuste kohta ja 
vastupidi.
Samuti võime siinusteoreemist vähemalt teravnurkse kolmnurga jaoks üsna ker-
gesti järeldada midagi päris ilusat: kolmnurga pikemate külgede vastas on suure-
mad nurgad. 
Tõepoolest, siinusteoreemist teame, et
. 
Nüüd kui küljepikkuste vahel kehtib 
, siis peab kehtima ka 
. 
Samas aga nägime ennist, et teravnurksete nurkade jaoks on siinus kasvav funkt-
sioon. Seega järeldame, et nurk   peab nurgast   suurem olema. Ehk suurema 
nurga vastas on ka suurem külg.
Siinusteoreemi tõestus teravnurkse kolmnurga jaoks
Lugeja võib paberi, pastaka ja natukese kritseldamisega veenduda, et siinusteo-
reem ei ütle täisnurkse kolmnurga jaoks midagi uut – kogu seos järeldub  siinuste  
definitsioonist.
222
Mittetäisnurkse kolmnurga jaoks on siiski tegemist millegi uue ja põnevaga, mida 
on vaja ka tõestada, teisisõnu selgitada meile juba varasemate teadmiste abil.  
Miks muidu peaksime seda uskuma?
Kuidas siis argumenteerida? Tuletame meelde, et siinus on defineeritud täisnurkse 
 kolmnurgad
kolmnurga kaudu. Seega tuleks kuidagi konstrueerida täisnurkne kolmnurk, milles 
 ja
neid definitsioone kasutada võiksime.
Üks võimalus on lihtsalt tõmmata kõrgus. Nii jagame algse kolmnurga kaheks täis-
nurkseks kolmnurgaks. See tundub juba päris hea algusena, sest nende täisnurk-
sete kolmnurkade üks külg on ju lisaks veel võrdne – just seesama külg, mille abil 
saame nurga siinust välja kirjutada. 
proportsioonid
Seega kirjutamegi lihtsalt välja mõlemast kolmnurgast siinuse definitsiooni:
 
Avaldades mõlemast avaldisest kõrguse  , näeme, et 
 ja samuti 
Seega kehtib ka 
 ehk 
Samamoodi võiksime muidugi ka tõmmata mõne teise kõrguse ja nii näidata kõi -
kide  suhete võrdsust. 
Nürinurkse kolmnurga puhul satub kõrgus küll kolmnurgast välja, aga see ei põh-
justa probleeme. Nimelt kui vaadata hoolikalt siinusfunktsiooni definitsiooni suva-
lise nurga jaoks, näeme, et 
. Tõepoolest, mõlemad haara 
otspunktid lõikavad ju ühikringjoont samal kõrgusel.
223
Siinusteoreemi laiendus
Tuleb välja, et tegelikult võib siinusteoreemi veel laiendada. 
Nimelt on teada ka selle iga vastaskülje ja nurga siinuse suhte täpne väärtus – see 
 kolmnurgad
on alati võrdne kolmnurga ümberringjoone diameetri pikkusega. Seega võime, 
 ja
kasutades ikka samu vanu tähiseid nurkade külgede jaoks ning tähistades kolm-
nurga ümberringjoone raadiuse  -iga, kirjutada siinusteoreemi täiskujul välja järg-
nevalt: 
Sellel korral on tõestus pisut kavalam ja jätame ta huvitunutele nuputamiseks või 
proportsioonid
järele pärimiseks.
KoosinusTeoreem
Teine tuntud trigonomeetriline seos iga kolmnurga jaoks on koosinusteoreem.
Koosinusteoreem võimaldab leida kahe küljepikkuse ning nende külgede vahelise 
nurga abil kolmanda külje pikkust: 
Koosinusteoreemist järeldub näiteks kohe ka see, et iga kolmnurga määravad ühe-
selt ära kaks küljepikkust ning nende külgede vaheline nurk. Tõepoolest, lähtudes 
neist teadmistest võime leida kolmanda külje pikkuse ja seda me juba teame, et 
kolme küljepikkusega on kolmnurk üheselt määratud. 
Koosinusteoreem näeb juba peaaegu välja nagu Pythagorase teoreem. See 
visuaalne seos pole sugugi petlik . Tuletades meelde, et 
 näeme, et 
224
täisnurkse kolmnurga korral väidabki koosinusteoreem täpselt sedasama, mida 
Pythagorase teoreemgi.
Oleks tore ka teada, kuidas koosinusteoreemi eelnevatest teadmistest järeldada. 
Teisisõnu on küsimus: kuidas kahe külje ja nendevahelise nurga abil leida kolmanda 
 kolmnurgad
külje pikkus?
 ja
Konkreetsemalt seame siis eesmärgiks leida külje   pikkus külgede 
 ja nendeva-
helise nurga   abil.
Üks võimalus on alustada siinusteoreemi puhul kirjeldatud viisil ning tekitada  
kõrguse abil täisnurkne kolmnurk. Nii seame end toredasse olukorda, kus saame 
kasutada koosinuse definitsiooni täisnurkses kolmnurgas ning lisaks veel koosinus-
teoreemi sugulast Pythagorase teoreemi. 
proportsioonid
Seega saame Pythagorase teoreemi abil kirjutada külje   pikkuse kolmnurga kõr-
guse   ning abilõigu    toel: 
Edasi tahaksime kuidagi kirjutada lahti ka need abiliikmed. Kõrguse võime oma-
korda avaldada Pythagorase teoreemist, kasutades teist, vasemale tekkinud täis-
nurkset kolmnurka: 
Abilõigu   pikkuse saame aga kirjutada külje   ning sama abilõigu   abil: 
 
ja seega 
Võib küsida, mis sellest ikkagi kasu on, kui kirjutame abilõigu   asemele hoopis abi-
lõigu  . Õnneks on meil ka vastus: uurides veel kord vasemal asuvat täisnurkset 
kolmnurka, võime välja kirjutada koosinuse definitsiooni: 
Seega abilõigu   pikkuse võime esitada meile  sobivate elementide abil.
225
Pannes kõik kokku, saame 
Lihtsustame
 kolmnurgad
 ja
Asendades nüüd leitud abilõigu   pikkuse 
, saamegi koosinusteo-
reemi nime all välja kuulutatud seose:
Nürinurkse nurga puhul on jällegi olukord pisut segasem, aga hoolikalt näpuga 
proportsioonid
jälge ajades võime siiski kasutada peaaegu samasugust arutlust.
Alternatiivne  viis oleks kasutada vektoreid ja skalaarkorrutise omadusi. Et midagi 
sellist võiks toimida, vihjab muidugi juba kahe vektori skalaarkorrutise definitsioon 
[lk 144]:
Siin on ju olemas täpselt seesama liige, mis koosinusteoreemi Pythagorase teoree-
mist eristab! Pärast vektoritega seose loomist järeldubki kogu koosinusteoreem 
tegelikult ainult skalaarkorrutise omadustest. 
Sisuliselt on tõestus sama kui see, mille pakkusime lisaloona Pythagorase teoreemi 
jaoks vektorite peatükis [lk 147], – huvitunud lugejal soovitame detailid siiski ise 
kokku panna.
226
TrigonomeeTria Kosmoses: roboTKäsi
Naaseme nüüd probleemi juurde peatüki algusest: kuidas kontrollida kahe liige-
sega robotkätt, et ta jõuaks katkise antenni otsani?
 kolmnurgad
 ja
Meenutame, et olukord oli täpselt nii hea või halb nagu pildil.
proportsioonid
Olukorrast matemaatiliseks mõtlemiseks peame üleliigsetest detailidest lahti 
saama ning kõike veidi lihtsustama. Näiteks oletame, et robotkäsi liigub ainult ühel 
tasandil ning et see ongi just jooniseks valitud tasand. Võib ju näiteks optimistlikult 
mõelda, et kolmandas mõõtmes võime robotkätt niisama nihutamise teel liigu-
tada.
Edasi peame meile olulised elemendid kuidagi tähistama. Meile on teada robotkäe 
kahe hoova pikkused   ja   ning oletame, et võime mootorite abil kontrollida lii-
geste  pöördenurkasid   ja  . Nimetame neist alumist õla- ja teist küünarliigeseks. 
Meie eesmärk on viia robotkäe ots (ja astronaut) etteantud punkti  , kusjuures 
muuta võime nurkade   ja   väärtuseid.
227
Ülesande lahendamiseks on muidugi vaja ka veel täpsustada, mida me punkti   
kohta juba teame. Tundub üsna mõistlik eeldada, et teame esiteks punkti   kohta 
tema kaugust õlaliigesest – näiteks laserite peegeldust uurides. Teisalt võime eel-
dada, et teame nurka, mille jätab see kiir õlaliigesest punkti   horisontaalse tasan-
 kolmnurgad
diga. Tähistame saadud kaugust näiteks  -iga ning nurka ennast  -iga. Nii on meil 
 ja
lõplik joonis järgmine: 
proportsioonid
Siin võime anda oma ülesande juba üsna matemaatiliselt: eesmärk on seega leida 
pikkuste 
 ja   ning nurga   abil nurgad   ja  . Lahendusviisiks on meil trigono-
meetria.
Tuletame meelde, et kolmnurga kolm küljepikkust määravad täpselt ära kolmnurga 
kuju ja suuruse. Kuna lisaks on veel teada kaks kolmnurga tippudest –  õlaliiges ja 
punkt   –, jääb meil saadava kolmnurga jaoks täpselt kaks võimalust, olenevalt  
sellest, kuidas punktile   läheneme. 
228
 kolmnurgad
 ja
proportsioonid
Oletame, et valime joonisel näidatud viisi. Järgmine küsimus on siis, kuidas külje-
pikkustest nurgad leida. Selle jaoks leiame abi juba läbitud peatükist: koosinusteo-
reem seob omavahel kõik kolmnurga küljed ning ühe nurga koosinuse. Nii võime 
leida nurga   koosinuse:
Nagu nägime pöördfunktsioonide juures, võime nurga koosinuse põhjal kergesti 
leida ka nurga enda väärtuse. Kõige lihtsam on küsida nurga väärtust taskuarvu-
tilt – igal uhkemal taskuarvutil on nurga koosinuse väärtuse põhjal nurga leidmine 
tähistatud funktsiooniga  
 või cos–   
Täpselt samamoodi võime leida ka nurga   koosinuse:
ja seejärel arkuskoosinuse abil nurga   väärtuse.
Viimaks saame nüüd ka nurga   lihtsalt välja arvutada. Olenevalt sellest, kummalt 
poolt läheneme, on 
 või 
. 
Oleme nüüd täpselt kirjeldanud arvutusi , mis tuleks teha robotkäe antennini juh-
timiseks. Edasi tuleks need tehted ja kõikide andmete täpsed väärtused arvutile 
edasi anda ning kosmosejaam saabki korda!
229
TrigonomeeTria ja 
perioodilised funKTsioonid
  funktsioonid
Eelmises peatükis jõudsime trigonomeetriliste funktsioonideni, uurides küljepik-
kuste suhteid täisnurkses kolmnurgas. Saadud funktsioone kasutasime edasi seoste 
leidmiseks suvalise kolmnurga küljepikkuste ning nurkade vahel. Tänu neile seostele 
muutus kolmnurga puuduvate elementide kindlaks tegemine hoobilt üsna lihtsaks. 
Perioodilised
Siinus ja koosinus tulevad funktsioonidena aga esile veel teiseski kontekstis –  
looduse perioodiliste ehk korduvate protsesside kirjeldamisel.
Seda võib igaüks (juhul kui koristamine  vastumeelt ei ole) ka kodus proovida. Seo 
pika nööri otsa üks korralik pang , kalla värvi täis ning tee põhja sisse auk. Lisaks 
varu suur rull paberit. 
Nüüd pane see pang pendlina võnkuma ning tõmba paberit ühtlase kiirusega pange  
alt läbi. Paberile tekkiv värvijoon ongi ilus siinuse või koosinuse graafik.
Skeptiline  lugeja võib muidugi kahelda, miks peaks paberile joonistuma täpselt sii-
nus või koosinusfunktsioon ja mitte mõni teine sarnase kujuga perioodiline funkt-
sioon.
See  kahtlus  on igati õigustatud – on ju nii palju erinevaid perioodilisi funktsioone, 
miks peaks loodus just trigonomeetriliste funktsioonide otsa komistama? Ometigi 
komistab. Selle põhjendamine on aga juba pisut keerulisem ning nõuab ka paras-
jagu füüsikat – huvitunu ja skeptik saab sellest lugeda lisapeatükist [lk 236].
Järgnevalt üritame aga intuitiivselt aru saada, kuidas perioodilised liikumised trigo -
nomeetriaga seotud on, ja teeme seda kõige kaunima perioodilise liikumise, ring-
liikumise näitel.
230
ringliiKumine ja TrigonomeeTria
Lähed sõitma 100-meetrise diameetriga vaaterattaga. Kas oled mõelnud, kuidas 
muutub vaaterattaga sõidu ajal Sinu kõrgus maapinnast? Võibolla Su kaaslane kar-
dab kõrgust, võibolla armastab . Oskad talle öelda, kui palju aega veedate äärmus-
  funktsioonid
tes – hästi kõrgel või hästi madalal – ning kui palju ülesminekul  ja allatulekul?
Perioodilised
Neile küsimustele saab matemaatiliselt kenasti vastata. Matemaatiliseks lähe-
nemiseks peame kõigepealt nii mõnedki detailid ära unustama: näiteks selle, 
kui ilus on vaade, kui kaunis kaaslane või kui logu on vaateratas ise. Järele jääb 
pöörlev ringjoon koos punktikesega, millele võime mõõtmiseks taustale lüüa ka  
koordinaattasandi nii, et  -teljeks on maapind. 
231
On üsna mõistlik oletada, et vaateratas liigub ühtlase kiirusega – muidu saaks ju 
mõnes kabiinis istujad ägedamat sõitu kui teised.
Kõrgus on nüüd vastavuses teljestiku  -koordinaadiga. Kui oletame lisaks, et täis-
pöörde läbime 10 minuti jooksul, võime joonistada ka oma kõrguse profiili. Peale 
ronid vaaterattale muidugi päris alt.
  funktsioonid
Perioodilised
See näeb ju aga välja täpselt nagu siinusfunktsioon, ainult pisut ülespoole nihuta-
tult ning pisut suurendatult. Ja tõepoolest, tuletades meelde, kuidas me eelmises 
peatükis siinusfunktsiooni defineerisime, ei tohiks see üllatada. 
Defineerisime ju nurga siinuse täpselt kui nurga haara ja ühikringjoone lõikepunkti  
-koordinaadi. Seega kui nüüd nurka ühtlaselt suurendada, saamegi ringliikumise 
ja seega kõrguskoordinaat joonistab siinusfunktsiooni. Muidugi, see funktsioon ei 
pruugi olla täpselt kujus 
, vaid võib olla kujus 
, kus   on aeg, mis kulub 
ühe täispöörde jaoks.
Nüüd võime ka vastata tekkinud küsimustele. Kui palju aega veedad vaaterattaga 
päris üleval , kõrguse ülemises neljandikus?
Graafikul huvitab siis meid, kui palju aega asub kõrgusfunktsioon oma  maksimumi  
suhtes ülemises neljandikus:
232
Kuna liikumine on ühtlane ja veedame ringjoone igas punktis sama kaua aega, 
võime oma küsimuse ümber tõlgendada üsna lihtsaks geomeetriliseks küsimuseks: 
kui suur osa ühikringjoonest asub kõrgemal kui  ?
  funktsioonid
Perioodilised
Seega on vaja lihtsalt leida, milliste  -i väärtuse korral on 
 Õnneks  
näitab järgnev ilus geomeetriline konstruktsioon täpselt, et 
Joonistame 
 kraadi kolmnurgale juurde teise samasuguse. Kuna tekkinud 
kolmnurk on võrdkülgne, siis tema servad on võrdsed. Järelikult 
 on pool 
külge jagatud terve küljega ehk 0,5.
Kuna 
 kraadile vastav ringjoone osa on täpselt kolmandik kogu 
ringjoonest, võimegi öelda, et ülemises neljandikus veedate kolmandiku kogu-
ajast. Päris hea tehing!
Meelde jätta võiks sellest peatükist aga hoopis seda, et trigonomeetrilistele funkt-
sioonidele võibki läheneda ka hoopis ringliikumise vaatevinklist!   
233
Kraadid ja radiaanid
Seni oleme hoidunud arutelust, kuidas nurka peaks mõõtma – kas seda oleks tar-
gem teha  kraadides  või radiaanides? Õigupoolest oleme seda seni teinud ainult 
  funktsioonid
kraadides. Ometigi on nii mõnigi kord kasulikum kasutada hoopis radiaane.
Juba kraadidest ja radiaanidest mõtlemine on üsna erinev.
Kraadid
Kraadides mõõtmine on nurga tipus istujale.   Kraadide  leidmiseks vaatame lihtsalt, 
kui suure osa täispöördest moodustab nurk kahe nurgahaara vahel. 
Perioodilised
Kraadides arvestatakse näiteks tihti kaugete objektide  mõõte ja vahemaid.  
Kraadide juurde käib ka üks huvitav kokkulepe. Nimelt tundub, et kuskil ajaloo-
hämaras on mingi hetk üsna vägivaldselt otsustatud, et täispööre olgu täpselt  
360 kraadi. Muud nurgad arvestatakse siis vastavalt sellele, kui suure osa täispöör-
dest nurk moodustab – näiteks pool pöördest on siis täpselt 180 kraadi. 
Aga miks peaks täispööre olema just 360 kraadi ja mitte näiteks 100 või 222 kraadi?
Paistab, et see võib seotud olla päevade arvuga aastas – vanasti tundus, et taeva-
sed objektid teevad ringi peale umbes 360 ööpäeva jooksul.
Lisaks on arvul 360 kena omadus, nimelt jagub ta väga paljude erinevate arvudega. 
Kõik järgnevad arvud on tema jagajad, neid on kokku tervelt 24:
234
Nii saab aastat jagada väga paljudeks erinevateks ühepikkusteks täistsükliteks. 
Näiteks senini on ju kasutusel 12 kuud, mille pikkused on küll meie teadmiste varal 
ebaühtlaseks muutunud. 
Radiaanid
Nurga radiaanmõõdu arvestamiseks on vaja minna ja ringjoone kaare pikkus kor-
  funktsioonid
ralike sammudega ära mõõta – seega on siinkohal tegemist matkamehe nurga- 
mõõduga.
Kui kraadide leidmiseks arvutasime, kui suure osa moodustab nurk täispöördest, 
siis radiaanide puhul lööme kokku selle ringjoone osa pikkuse, mille moodustab 
nurga haarade vahele jääv ühikringjoone kaar.
Perioodilised
Tuletame meelde, et ühikringjoone pikkus on   ning seega on täispöörde suuruseks  
 radiaani. Poole pöörde suuruseks jääb aga näiteks   radiaani. 
Ka radiaanide juures on tegelikult mängus teatud meelevaldne valik – miks me 
pidime just valima ühikringjoone? Kui oleksime oma nurgamõõduks valinud näi-
teks raadiusega 0,5 ringjoone, osutuks täispöörde suuruseks   radiaani. Kas see 
poleks kenam? Või oleks hoopis kenam, kui   ise oleks teisiti defineeritud [lk 101]?
Kumba neist ikkagi kasutada?
Tuleme nüüd tagasi peatüki alguses püstitatud küsimuse juurde: kas kasutada kraade 
või radiaane? Selgub, et see oleneb kontekstist. Nii kaua kui kasutame trigonomeet-
riat ainult kolmnurkadega tegelemiseks , suurt vahet ei olegi – kraadid ja radiaanid 
on mõlemad ühtmoodi head ning kasutame neid siin raamatuski läbisegi. 
Nii pea kui aga hakkame trigonomeetriliste funktsioonidega tegelema, tuleks 
eelistada radiaane.
Näiteks  radiaane  kasutades  on  siinusfunktsiooni  graafiku  tõus  nullpunkti  juures 
täpselt üks ehk matemaatiliselt:
235
Kraade kasutades see valem enam ei kehti. Intuitsiooni selle valemi tagamaadest 
annab järgnev graafik: nimelt on siinus täpselt võrdne haara otspunkti kõrgusega. 
Kui aga nurk on väga väike, siis on see peaaegu sama pikk kui tema kõrvale jääv 
kaare pikkus. Seda kaare pikkust mõõdab aga täpselt nurga radiaan !
  funktsioonid
Perioodilised
Tänu sellele ilusale omadusele on näiteks siinusfunktsiooni 
 tuletis [lk 320] 
radiaanide korral 
, kraadide korral aga hoopis 
. Miks see nii peaks 
olema, näeme juba varsti [lk 251].
Lõpuks ei ole ka väga hullu, kui sõbraga erinevat mõõtu kasutate, radiaanidest 
kraadidesse ja tagasi viivad lihtsad teisendused. Radiaanidest kraadide saamiseks 
peame nurga korrutama lihtsalt 
-ga ning vastupidi kraadidest radiaanide saami-
seks korrutama        -ga. 
Meie oleme seni töötanud kraadidega, aga nüüd lähemegi vahelduseks hoopis 
radiaanidele üle ja edasi kasutame neid täpselt nii, kuidas tuju on.
Koosinus, siinus ja elasTne Vedru*
See alapeatükk on skeptilisele ja huvitunud lugejale, kes ei taha uskuda, et pendel  
on seotud just täpselt siinuse ja koosinusega, mitte mõne muu perioodilise funkt-
siooniga. 
236
See on igati õigustatud kahtlus! 
Õnneks annavad füüsika ja matemaatika käsikäes siiski hea põhjendatud vastuse. 
Lihtsuse mõttes käsitleme küll siin peatükis hoopis elastset vedru, aga situatsioon 
ja ideestik on täpselt sama:
•  meil on üks keha,
  funktsioonid
•  mida liigutab üksainus jõud,
•  mis surub objekti tagasi tasakaaluasendisse, 
•  aga kahjuks liiga tugevasti ning keha jääb võnkuma tasakaalu-
asendi ümber.
perioodilised
Elastse vedru korral on mõjuvaks jõuks elastsusjõud . Inglise füüsik Hooke  tegi  
17. sajandil hoolega katseid ja veendus, et mida pikemalt on vedru välja venitatud, 
seda suurem jõud tõmbab teda kokku ning vastupidi, mida rohkem vedru on kokku 
surutud, seda suurem jõud lükkab teda jälle lahti. 
Hooke oli hoolikas sell ja ta mõõtis ka täpselt välja, kuidas see jõud täpselt vedru 
väljavenitusest või kokkusurutusest sõltub. Ta tegi kaks järeldust:
•  jõud on erinevatest materjalidest vedrude jaoks erinev,
•  jõud sõltub täpselt  ühtemoodi  vedru pikkuse  muudust  – alati  
võrdeliselt.
237
Tähistame nüüd vedru suurusemuutu tasakaaluasendi suhtes  -ga (positiivse  -i 
korral on vedru välja veninud, negatiivse korral kokku surutud) ning keha mater-
jali jäikust iseloomustavat tegurit  -ga. Sel juhul väidab Hooke’i seadus, et vedru  
algkujusse kiskuvat elastsusjõudu   võib igal ajahetkel   kirjeldada valemiga
  funktsioonid
perioodilised
Samaaegselt oli Hooke’i kaasaegne ja rahvuskaaslane Newton leidnud veelgi üldi-
semaid printsiipe  meid ümbritseva maailma kirjeldamiseks. 
Ta märkas, et kui kehale mõjub mingi jõud, siis keha kiirendus – see, kuidas keha 
liikumiskiirus muutuma hakkab, – sõltub täpselt võrdeliselt mõjuvast jõust. 
Veelgi enam, ta avastas, et mõõtes ka keha massi, võib ta täpselt kirjeldada, kui-
das jõud keha kiiruse muutuma paneb: tähistades keha kiirendust  -ga, tema massi  
-iga ning kehale ajahetkel   mõjuvat kogujõudu 
-ga, võib Newtoni teise sea-
duse välja kirjutada kujus:
Meie olukorras on ainus vedrule mõjuv jõud igal hetkel antud täpselt eeltoodud 
elastsusjõuga, mis tema kuju taastada üritab. Gravitatsiooni võime näiteks lihtsalt 
eirata, kuna horisontaalset liikumist ta ei mõjuta.
Seega võime kirjutada, et vedrule mõjub kogujõud 
, ning valemitest asen - 
dades saame
Nii on liikumine igal ajahetkel   kirjeldatud võrrandiga
Selles võrrandis on peidus kaks arvkonstanti   ja  , mis sõltuvad keha omadustest; 
 ja 
 kirjeldavad aga igal ajahetkel vastavalt vedru venituse  kiirendust ja väl-
javenituse suurust.
Ometigi on intuitiivselt üsna selge, et ühe objekti kiirendus – tema kiiruse muutu-
mine – on juba olemuslikult ka seotud tema asupaigaga. 
238
Seda seost toob täpsemalt esile tuletise peatükk [lk 320]. Nimelt kiirenduse näol 
on tegemist läbitud teepikkust või teisisõnu vaadeldava keha  asukohta kirjeldava 
funktsiooni teise tuletisega. Isegi kui tuletis tundub ohtliku sõnana, ei ole sel-
les suurt midagi keerulist – funktsiooni esimene tuletis näitab lihtsalt, kui kiiresti 
funktsiooni väärtus muutub, ning funktsiooni teine tuletis näitab, kui kiiresti see 
muutumine ise muutub. Nii ongi näiteks kiirus teepikkuse esimene tuletis ning  
  funktsioonid
kiirendus tema teine tuletis.
Seega ütleb meie võrrand, et igal hetkel   on vedru venituse muutumise kiirendus 
võrdeline tema kogumuutusega:
perioodilised
Võime neid iga ajahetke kohta antud võrrandeid vaadata ka ühe seosena üle kogu 
aja korraga – seosena ajast sõltuva funktsiooni ning tema teise tuletise vahel. 
Sellist võrrandit, mis seostab funktsiooni ja tema tuletisi nimetatakse uhkelt  
diferentsiaalvõrrandiks – diferentseerimine  tähendab ju lihtsalt tuletise võtmist. 
Nende lahendamine päris käkitegu pole, aga sel korral võib sellega siiski hakkama 
saada, kui meenutame trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi. 
Siinusfunktsiooni 
 tuletiseks on 
 ning sarnaselt on koosinusfunktsiooni  
 tuletiseks 
  [lk 251]. 
Need kaks teadmist kokku pannes näeme, et siinusfunktsiooni teine tuletis on 
. Seega rahuldab ta etteantud diferentsiaalvõrrandit, juhul kui 
. Saa-
megi ilusa siinuskujulise liikumise, mille periood on täpselt  .
Kui aga  on mõne teise väärtusega, peame vastuse leidmiseks muutma oma  
 
siinuslaine sagedust kas aeglasemaks või kiiremaks. 
Tuleb välja, et üldjuhul on sobivaks lahendiks 
Siingi võiks veel nuriseda – sarnaselt sobib ju lahendiks ka koosinusfunktsioon ning 
veelgi enam, ka koosinus ja siinusfunktsiooni summa! Vedru võngub ju aga ometigi 
täpselt ühtemoodi, mitte mitut moodi korraga. Tõepoolest, selgub, et puhta siinus- 
või koosinusfunktsiooni määramiseks tuleb teha veel üks tähelepanek. Nimelt on 
vedru kiirus kõige suurema väljavenimise ja kokkusurutuse hetkel võrdne nulliga. 
See tuleneb energia jäävuse seadusest – neil hetkedel on kogu energia muundunud  
potentsiaalseks energiaks. Seda teadmist arvesse võttes on meie siinusfunktsioon 
juba üheselt määratud.
Loodame, et nüüd on ka skeptilisem lugeja veendunud, et vedru või ka pendli 
perioodilise liikumise kirjeldamiseks ei sobi sugugi mitte mingi suvaline siksak või 
muu perioodiline funktsioon. Sobib just meile juba teada ja tuntud siinusfunkt-
sioon.
239
TrigonomeeTrilised 
aValdised ja nende 
 teisendamine
Teisendamine
 avaldiste
Üks koolimatemaatikas enim tuska põhjustavaid teemasid on ilmselt trigono- 
meetriliste valemite teisendamine ja lihtsustamine .
Antakse ette mingi järjestus sümboleid ja kästakse sellest teha natuke lühem jär-
jestus sümboleid. Selle jaoks, et teisendusi läbi viia, tuleb kasutada käputäit vale-
meid, mis näevad kõik välja täpselt ühesugused, aga mille hulgast iga kord vaid üks 
trigonomeetriliste
viib kiirelt sihile! 
Nii jääbki tunne, et teha tuleb mingit maagiat ja on üsna selgusetu, mis kogu selle 
vaeva ja maagia mõte on. 
Kui tegevus tundub raske ja ebameeldiv, tekivad muidugi automaatselt kaitsva 
hoiakuga küsimused: kas see trigonomeetriliste valemite teisendamine on ikka 
oluline tegevus? Kus seda vaja võiks minna? Kas lihtsamalt kuidagi ei saaks?
Tuleb välja, et neid läheb tõesti tarvis. Juba sellessamas raamatus läheb meil neid 
tarvis mitmel korral. Esiteks, matemaatilise rakendusena saame tänu siinusfunkt-
siooni summavalemile leida siinusfunktsiooni tuletise [lk 251]. Teiseks peame  
trigonomeetriliste funktsioonide teisendusi kasutama, et leida kõige paremat  
viskenurka veepommi lennutamisel [lk 333]. 
240
Lisaks on trigonomeetriliste funktsioonide teisendamine olulisel kohal ka signaali- 
analüüsis . Näiteks aitab ta aru saada, kuidas ikkagi toimub raadiosignaalide edas-
tamine näiteks AM-raadios.
 teisendamine
Käesolevas osas tahamegi selgitada, kuidas trigonomeetriliste valemite ning nende 
teisendamisega hästi läbi saada. Peatüki algus on üsna visuaalne, kuid mingist het-
kest võtavad koha üle valemid. Valemirohketele alapeatükkidele viskasime juurde 
 avaldiste
ka tärnid, meenutamaks, et võibolla esimesel lugemisel see kõik väga meeldiv ei 
tundu. Midagi väga rasket siiski pole, lihtsalt palju sümboleid.
TrigonomeeTrilisTe funKTsioonide 
Vahelised seosed
trigonomeetriliste
Trigonomeetriliste funktsioonidega on seotud väga mitmeid erinevaid valemeid 
ja teisendusi. Võibolla kõige tuntumad ja lihtsamad neist pärinevad juba siinuse ja 
koosinuse definitsioonist täisnurkse kolmnurga kaudu. Nendest alustamegi. See- 
järel käsitleme valemeid, mis on seotud trigonomeetriliste funktsioonide graafi- 
kute ilusate omadustega. Viimaks leiame valemeid, mis aitavad leida erinevaid 
summa- ja vahevalemeid.
seosed TäisnurKsesT KolmnurgasT
Vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille hüpotenuusi pikkus on 1 ning mille  terav -
nurgad on   ja 
, täpselt sellist, millega on ka trigonomeetrilised funkt-
sioonid defineeritud.
Esimese seose trigonomeetriliste funktsioonide vahel leiamegi juba, kui esitame 
kaateti a pikkuse kahel viisil. 
241
Esiteks võime seda teha nurga   ja vastaskaateti abil, saades tulemuseks 
.   
Teiseks võime kaateti   pikkuse leida ka nurga   ja lähiskaateti abil, saades 
.  
 teisendamine
Kuna 
, saamegi
Teise tuntuima seose saame Pythagorase teoreemist. Teame, et täisnurkses kolm-
 avaldiste
nurgas on kaatetite pikkuste ruutude summa võrdne hüpotenuusi pikkuse ruu-
duga  
Samas võime kirjutada
trigonomeetriliste
Asendades need väärtused Pythagorase teoreemi, saamegi, et 
graafiKuTe ilusaTesT omadusTesT päriT seosed
Järgnevalt vaatame aga valemeid, mis on seotud trigonomeetriliste funktsioonide 
graafikute ilusate omadustega.
Tuletame  meelde,  et  funktsiooni  graafiku  teisendamine  on  aidanud  meil  ennegi 
funktsioonist aimu saada – näiteks näeme varsti, kuidas ruutfunktsiooni lahendi-
valemi taga on mingis mõttes tegelikult peidus lihtsad geomeetrilised teisendused 
[lk 278].
Trigonomeetriliste funktsioonide korral tuleb jällegi funktsiooni graafiku teisenda-
mine suuresti abiks – nimelt on siinus- ja koosinusfunktsiooni graafikud mitmete 
geomeetriliste teisenduste suhtes invariantsed ehk teisisõnu neid parajal määral 
nihutades ja peegeldades saame jälle uuesti samad funktsioonid. Nii aitab teisen-
duste raames mõtlemine hästi meeles hoida siinus- ning koosinusfunktsiooniga 
seotud valemeid. 
242
Nimelt, joonise abil on end kerge veenda, et siinusfunktsioon on perioodiline – 
nihutades  tema  graafikut  täispöörde  ehk 
 võrra emmas-kummas suunas, 
saame taas tagasi siinusfunktsiooni graafiku
 teisendamine
 avaldiste
Sellest järeldub, et 
trigonomeetriliste
Lisaks on siinusfunktsioonil teatav sümmeetria  -telje  suhtes  –  graafikut  poole 
täispöörde ehk 
 võrra emmas-kummas suunas nihutades ning siis  -teljest 
peegeldades saame jälle siinusfunktsiooni graafiku.
Sellest järeldub, et 
Veel on seal teatav sümmeetria ka  -telje suhtes – graafikut 
 võrra emmas- 
kummas suunas nihutades ja siis  -teljest peegeldades saame tagasi siinusfunkt-
siooni graafiku.
243
Meenutame, et peegeldamine   -telje suhtes juhtub, kui argument läbi korrutada 
arvuga 
, ning paremale poole liikumine toimub, kui argumendist lahutada 
 teisendamine
(mitte  liita)  mingi  suurus.  Näiteks  kui  liigutame  graafikut  paremale,  siis  sellest  
järeldub, et 
 avaldiste
Siinusfunktsiooni graafikut järjepanu vertikaal- ning horisontaaltelgedest peegel-
dades saame jälle tagasi siinusfunktsiooni graafiku.
trigonomeetriliste
Järelikult
Kõigele lisaks on siinus- ning koosinusfunktsiooni graafikud samasugused: nihu-
tades siinusfunktsiooni graafikut veerandpöörde ehk 
 võrra vasemale, saame 
koosinusfunktsiooni graafiku. 
Sellest järeldub, et 
Kasutades lisaks ka eelnevat omadust, mis ütleb, et 
, 
leiame taas kord ka peatüki alguses leitud teada-tuntud seose:
Samuti näeme nüüd, et see valem ei kehti sugugi ainult teravnurksete nurkade, 
vaid kõikvõimalike nurkade korral. Süda on rahulik, kui kõik klapib!
Kõik need omadused vajaksid tegelikult tõestuseid ning neid tõestuseid pole sugugi 
väga keeruline kokku keevitada: tuleb vaid tõlkida funktsiooni graafikute teisendused 
ühikringjoone teisendusteks ning kasutada siinus- ja koosinusfunktsioonide omadusi. 
244
Valemite meeldejätmiseks piisab aga sellest, kui neid omadusi usute, ja ega oma 
silm ju ei peta !
 teisendamine
Täpselt analoogiliselt võime mängida ka koosinusfunktsiooniga ning tuletada jäl-
legi terve ämbritäie valemeid. Kõik nad võiks muidugi välja lugeda ka kasutades 
lihtsalt viimasena kirjeldatud omadusest saadud seost siinus- ja koosinusfunkt-
sioonide abil. Mõned neist valemitest:
 avaldiste
Viimaks, kui peaks tekkima suur huvi lisaks teada ka tangensfunktsiooni vale-
meid, tuleb meil  eelnevaga  kombineerida tangensfunktsiooni  kirjutus  kujus 
trigonomeetriliste
Näiteks 
seosed nurKade liiTmise ja lahuTamise Kaudu*
Eelmises alapeatükis nägime, kuidas siinusfunktsiooni graafikut hoolikalt nihuta-
des ja peegeldades saame tulemuseks jällegi siinusfunktsiooni või mõnikord ka 
koosinusfunktsiooni graafiku. Kas meil õnnestuks aga kuidagi kirjeldada ka funkt-
siooni, mille graafikuks on suvalisel määral nihutatud siinusfunktsiooni graafik?
Näiteks kui nihutame funktsiooni 
 vasemale   kraadi võrra, saame funkt-
siooni 
. Kas seda õnnestub kuidagi kirjutada baasfunktsioonide 
 ja 
 abil?
245
Tuleb välja, et see on igati võimalik. Meenutame, et siinus- ja koosinusfunktsioon 
andsid meile võimaluse  seostada kolmnurga nurgad külgede  suhetega . Veelgi 
 teisendamine
enam, näiteks täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusiga 1 ongi kaks kaatetit pikkus-
tega 
 ja 
Kui tahaksime  samasse  kolmnurka paigutada nii nurgad   ja  , kui ka küljepikkused 
 avaldiste
, 
, peame olema ainult veidi kavalamad. Esmalt oletame lihtsustuseks, 
et nurgad   ja   on teravnurksed – siis võime kindlasti konstrueerida kolmnurga, 
millel on täpselt kaks nurka   ja  . Nende vastasküljed a ja b võime seejärel leida 
laiendatud siinusteoreemist [lk 222]: 
kus   on kolmnurga ümberringjoone raadius. Seega, kui valiksime kolmnurga, 
trigonomeetriliste
mille ümberringjoone diameeter on pikkusega üks, olekski nurkade   ja   vastas 
küljed pikkustega 
 ning 
. 
See on juba üsna hea algus. Päris rõõmsaks teeb aga tähelepanek, et kolmnurga 
kolmas nurk on ju 
ning eespool leitud valemite põhjal kehtib võrdus
Seega, kasutades veel kord laiendatud siinusteoreemi, näeme, et kolmas, puuduv 
külg on täpselt pikkusega 
. Nüüd on üsna selge, et siit jooniselt saame 
ilusaid valemeid. 
246
 teisendamine
 avaldiste
Nagu siinus- ning koosinusteoreemi tõestuste juureski, on trigonomeetriliste 
funktsioonidega mängides alati hea mõte tõmmata üks kõrgus, seekord siis küljele 
pikkusega 
trigonomeetriliste
Meie kolmnurk jaguneb nüüd kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, millest ühe hüpo-
tenuus on 
 ning alusnurk   , ning teise hüpotenuus on 
 ning alusnurk  .
Kasutades trigonomeetrilisi seoseid neis mõlemas täisnurkses kolmnurgas, võime 
leida, kui pikkadeks tükkideks kõrgus vaadeldava külje jagab:
247
Pikkuse   saame leida järgnevalt:
 teisendamine
järelikult 
 avaldiste
Sarnaselt saame leida ka pikkuse  .
Kuna nende tükkide pikkuste summa annab külje enda pikkuse, olemegi tuletanud 
valemi
Praegu tõesti tegime seda küll ainult teravnurksete nurkade   ja   jaoks, ent kasu-
trigonomeetriliste
tades eelmise alapeatüki valemeid, võib lugeja end veenda, et valem kehtib suva-
liste nurkade   ja   jaoks.
Siit edasi on üsna kerge tuletada ka nurkade vahe valem, kirjutades 
kus teises võrduses kasutasime jällegi eelmise alapeatüki valemeid.
Topeltnurga 
 lihtsustava valemi leidmine on seejärel veelgi lihtsam – asen-
dame summa valemisse 
Poolnurga valemiga vajame veel veidi kannatust!
Nimelt üritame enne leida ka koosinuse summavalemi ehk kirjutada 
 
lahti 
 ja 
  abil. 
Seda võime teha, kombineerides mitmeid meile juba teadaolevaid võtteid:
248
Asendades 
, leiame siit ka koosinuse topeltnurga valemi:
 teisendamine
Seades aga 
, leiame, et 
ehk teisisõnu oleme taas tuletanud Pythagorase teoreemist tuleneva seose siinus- 
 avaldiste
ja koosinusfunktsiooni vahel.
Koosinuse topeltnurga valemist on lihtne omakorda tuletada poolnurgavalemid: 
seades 
, leiame, et 
 
trigonomeetriliste
Kasutades nüüd Pythagorase teoreemist pärinevat seost, võime selle kirjutada 
kahes erinevas kujus: 
Neid valemeid läheb meil hiljem vaja siinusfunktsiooni tuletise leidmiseks. Lisaks 
saame nende abil välja kirjutada ka niinimetatud poolnurga valemid:
kusjuures märgi ruutjuurele peame valima olenevalt sellest, kui suur nurk   paras-
jagu on.
Viimaks heidame lühikese pilgu ka tangensile. Nagu ikka, pole meil siin muud takti-
kat, kui lihtsalt siinuse ja koosinuse valemeid ära kasutada. Kirjutame 
Nüüd tahaksime hädasti siit segadusest üles leida funktsioonid 
 ja tan .  
Selle jaoks jagame lihtsalt nii murru nimetaja kui lugeja läbi korrutisega 
. 
249
Saamegi kohe
 teisendamine
 avaldiste
Ehk teisisõnu
Analoogselt võiksime leida ka nurkade vahe, topeltnurga ja muud kooliõpikuis 
figureerivad valemid. Siinkohal sai meil aga jaks otsa.
trigonomeetriliste
TrigonomeeTrilisTe funKTsioonide liiTmine   
ja lahuTamine*
Seni rääkisime, mis juhtub, kui teeme tehteid trigonomeetriliste funktsioonide 
argumendiga. Teisisõnu tuletasime lihtsustavaid valemeid näiteks nurkade summa 
siinuse 
 või poolnurga siinuse 
 jaoks.
Samas võiks aga ka küsida, kas õnnestub kuidagi teisiti kirjutada ka tehteid funkt-
sioonide endaga. 
Näiteks kõrvutades valemeid
näeme, et neid kokku liites kaob üks liige hoopis ära ja saame:
Selle võime kirjutada kujus:
või asendades 
 ka kujus
250
See on väga kena! Oleme näidanud, et koosinusfunktsioonide korrutise võib lahti 
kirjutada nende summana ning vastupidi. Sama kehtib muidugi ka siinusfunktsiooni 
kohta ja suurema vaeva korral leiame valemeid ka tangensfunktsiooni tarvis. 
 teisendamine
Kui selle kõige tarvilikkus tundub esmapilgul ka küsitav, siis aitab see näiteks pare-
mini mõista, kuidas ikkagi toimib AM-raadio [lk 259].
 avaldiste
siinusfunKTsiooni TuleTis*
Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on peidus pea iga perioodilise liikumise 
kirjeldamisel, siis osutub oluliseks ka nende funktsioonide muutumise kiirus ehk 
tuletis. Näiteks on meil endalgi tarvis see tuletis välja arvutada, kui asume leidma, 
trigonomeetriliste
kuidas ikka veepommi kõige kaugemale  visata  [lk 333]. Nagu juba mainisime, on 
trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste leidmisel kasulikum kasutada radiaane 
[lk 234], niisiis seda teemegi.
Eelteadmised
Siinusfunktsiooni tuletise võtmiseks on (lisaks tuletisest arusaamisele [lk 320]) vaja 
kasutada kahte juba tuletatud trigonomeetrilist valemit:
Lisaks peame kasutama teadmist, et kui   on mõõdetud radiaanides, siis väga väi-
keste argumendi   väärtuste korral on 
 umbes võrdne  -iga. Täpsemalt, keh-
tib järgmine piirväärtuste [lk 313] abil kirjapandud seos:
Miks see nii on, selgitasime intuitiivselt juba ühes eelnevas peatükis [lk 99].
Tuletuskäik
Asume nüüd julgelt 
 tuletist leidma, lähtudes täpselt tuletise definitsioonist 
[lk 321]:
251
Kasutades siinuste summavalemit, võime selle omakorda kirjutada kui
 teisendamine
Edasi on kaval murru nimetaja ümber kirjutada kahte  ossa  ning kuna summa piir-
väärtus on igal mõistlikul juhul võrdne piirväärtuste  summaga , saame
 avaldiste
Järgmisena võime ainult liikmega   seotud olevad väärtused piirväärtusest välja 
tõsta – nad ei sõltu ju sellest, mis me parajasti muutujaga   pihta hakkame:
trigonomeetriliste
Nüüd kasutame esimese liikme jaoks valemit 2) ning teise jaoks seost 3) ja saame: 
Viimaks võime esimeses liikmes veel korra kasutada seost 3), seekord funktsiooni 
 jaoks:
 
. 
Asendades  selle juba leitud valemisse, näeme, et esimene liige on piirprotsessis 
võrdne 
  -ga: 
Kuid me teame, et siinusfunktsioon on pidev ning võrdne nulliga kohal null. Seega 
on ka piirprotsessis, kus   ise muutub nulliks, esimese liikme väärtus null.
Nii jääb piirprotsessis alles ainult teine liige ning saamegi
Huh, tehtud! Siinusfunktsiooni tuletis on koosinusfunktsioon.  Tuletus on sisuliselt 
ainult viis rida pikk, aga nõudis siiski kahte trigonomeetrilist avaldist .
252
253
KõiK Võngub*
õngub
 v
kõik
Harva on asjad tasakaalus, ikka kipuvad nad minema veidi paremaks ja siis jälle veidi 
halvemaks ja nii edasi. Füüsikud kirjeldavad sellist korduvat tasakaaluasendi ümber 
toimuvat pendeldamist sõnaga võnkumine . Meie ümber võib märgata palju ilusaid 
võnkumisi: kiiged, pendlid, vedrud , helikeeled ja nii edasi. Võnkumise matemaatili-
seks kirjelduseks kasutame perioodilisi funktsioone. Siinus- ja koosinusfunktsioon 
on ilmselt kõige ilusamad näited perioodilistest funktsioonidest. Nagu elastse 
vedru näite juures nägime [lk 236], kirjeldavad nad mingis mõttes kõige lihtsamaid 
ja loomulikumaid võnkumisi. Kuna need võnkumised on kõige levinumad ja üpris 
ilusad, kutsutakse neid ka harmoonilisteks võnkumisteks.
Kuigi trigonomeetriliste funktsioonide 
 ja 
 periood on alati sama – täp-
selt   –, võime otsustada nurka ka kiiremini või aeglasemalt muuta ning seega 
kirjeldada kiiremaid ja aeglasemaid harmoonilisi võnkumisi. Nägime seda juba ka 
vedru juures [lk 236], kus olenevalt vedru omadustest olid lahendiks kiiremad või 
aeglasemad harmoonilised võnkumised.
Funktsiooni 
 asemel võime nii vaadata ka funktsioone 
 või 
, 
mille perioodid on vastavalt kaks ja neli korda väiksemad. 
Funktsioonid kujus 
 ning 
, kus   on positiivne täisarv, kirjeldavad 
kõiki siinus- ja koosinusfunktsioone, mis läbivad vahemikus 
 täpselt täisarvu 
täisperioode. 
254
Sellised funktsioonid kirjeldavad ühe otstest kinnitatud pillikeele kõiki erinevaid 
põhivõnkumisi ehk osahelisid. Nende võnkumiste sagedused (ehk kui mitu täis- 
perioodi nad läbivad) annavad kõik põhivõnkesagedused.
õngub
 v
kõik
Nagu muusikast teame, võime iga liitheli või  akordi  lahti kirjutada osahelidena. 
Samamoodi selgub, et tegelikult võime iga piisavalt ilusa perioodilise funktsiooni 
esitada põhivõnkumiste summana. Eri põhivõnkumisi tuleb erinevate funktsioo-
nide esitamiseks muidugi kasutusele võtta erineval määral.
255
Sellist perioodiliste funktsioonide  esitamist põhivõngete abil nimetatakse nende 
Fourier ’ esituseks. Vaatame näiteks niinimetatud saehamba funktsiooni:
õngub
 v
kõik
Ettevaatlikuks  peaks  muidugi  tegema  asjaolu,  et  funktsiooni  graafikul  asuvad 
vertikaalsed jooned. Nii jääb mulje, nagu kohtadel   ja   ja nii edasi oleks funkt-
sioonil lõpmatult palju väärtuseid, aga ometigi on definitsiooni järgi funktsioonil 
igale kohale lubatud vaid üks väärtus [lk 64]. Ja kõik on õige, teemegi siin natuke 
haltuurat, õigupoolest on saehamba funktsioon nendes kohtades võrdne täpselt 
poolega, aga see näeks hoopis koledam välja.
Saehamba Fourier’ esitus ehk lahtikirjutus võnkumiste summana on järgmine kee-
ruline moodustis:
Nagu näeme, peab aeglaseid võnkumisi võtma suuremal määral kui kiiremaid – 
kordaja siinusfunktsioonide ees ju aina kahaneb. Järgmisel joonisel näitame kõige-
pealt viit esimest siinusfunktsiooni oma kordajatega. Seejärel liidame nad kokku, 
paneme veel juurde pool ning saamegi midagi üsna saehamba sarnast: 
256
Mida rohkem siinusfunktsioone kokku liidame, seda sarnasem on tulemus ka sae-
hambaga. Nagu näeme, ei tea ka meie lihtne lähendus saehambale, kas olla   juu-
res väärtusega üks või null.
Fourier’ esitus ja spekter
Fourier’ esitus pakub hea vaatevinkli signaalide ja protsesside uurimiseks. Fou-
õngub
rier’ esitus paneb teatud mõttes tööle analoograadiod, võimaldab leida kosmilisi 
 v
objekte ning teha automaatset pilditöötlust.
kõik
Kogu asja võlu seisneb lihtsustatult selles, et teatud signaalidest on palju lihtsam 
aru saada, kui mitte vaadata nende arengut ajas, vaid uurida, kui palju üht või teist 
põhivõnkumist signaali kirjeldamiseks kasutama peab. Tihti on see ka ainus loomu-
lik vaateviis. Funktsiooni Fourier’ esitust saab näidata graafiliselt nii-öelda spektri 
abil: spekter näitab täpselt, kui suure osa signaalist moodustab üks või teine põhi-
võnkumine.  
Näiteks järgnevalt võtame kaks võnkumist, ühe madalamal ja teise kõrgemal sage-
dusel. Seejärel leiame signaali, milles esimese võnkumise  amplituud on kaks, teise 
amplituud aga üks. Kogu see informatsioon ongi kompaktselt kirjas joonisel pare-
mal all nurgas olevas spektris . 
Tavaliselt on muidugi sagedused ka täpsete arvuliste väärtustega ning sagedus-
komponendid näitavad iga osavõnkumise amplituudi. Need on aga juba detailid. 
Toome järgnevalt ka näite, kus signaali esitamisest võnkumiste summana võiks ka 
otseselt kasu olla.
257
Kuidas Kaob helisalVesTisesT sahin?
Oletame, et otsustad sõbrale sünnipäevaks ühe omamoodi sünnipäevalaulu lindis-
tada. Mikrofon on olemas, arvuti ka ja lindistamine ise ei valmista mingeid muresid . 
õngub
 v
kõik
Ometigi jääb salvestisele tugev sahin. Kas sellest on võimalik kuidagi lahti saada?
Võtmetähelepanek on järgmine: sahin on tihti seotud eelkõige üleliigsete kiirete 
võnkumistega. Ehk teisisõnu, kui vaatame oma salvestist tema Fourier’ esituses 
ehk võngete summana, siis on sahin sinna suurel määral salvestunud väga kõrge 
sagedusega komponentidesse. 
Kuna laul ise koosneb põhiliselt hoopis väiksema sagedusega võngetest, on Fourier’  
esituses sahin ja hääl teatud mõttes eraldatud. Seda näeme spektrist, kust hää-
lele vastavad eelkõige need kõrged tipud spektri vasemal ja sahin on paremale jääv 
madal osa.
258
Nüüd võime sahina komponendi Fourier’ esituses ära kustutada ja ülejäänu jälle 
kokku liita. Saame uue signaali, mis kannab peaaegu kõiki häälega kaasas käivaid 
võnkumisi, kuid ei sisalda enam sahinat ja kõlab seega puhtamalt. Uus signaal ja 
tema spekter näevad välja järgmised:
õngub
 v
kõik
Umbes nii töötavadki digitaalsed  filtrid  näiteks muusikaloomeprogrammides. Kas 
pole kaval?
am-raadio 
Võnkumise levimisprotsessi ruumis kutsutakse laineks. Helilised võnkumised levi-
vad helilainetena. Oma vestluse ja muusika kaugele sõbrale  saatmine oli vanasti 
päris keeruline – lihtsalt suuga teele saadetud helilained eriti kaugele ei ulatu. 
Kaval viis helilainete edastamiseks on teisendada nad elektromagnetlaineteks 
ning hoopis neid edasi saata. Aga sealgi on omad raskused. Näiteks on kohe prob-
leemiks see, et meie hääl ja muusika on madalal sagedusel ning madalsageduslike  
elektromagnetlainete saatmiseks peab olema kilomeetrite  pikkune antenn! Teine 
probleem tuleb sellest, et samal ajal tahaksime võibolla ringi saata väga erinevat 
sisu ja kui need oleksid kõik salvestatud sama sagedusega elektromagnetlaine-
tesse, seguneksid sisud omavahel ja välja tuleks mingi tohuvabohu. Seega on hea 
raadiosüsteemi väljatöötamine parajalt keeruline.
259
Õnneks on alati leidunud nupukaid selle, kes keerulistele olukordadele lahenduse 
leiavad. Toodud muredest lahti saamiseks hakati raadiosignaale  edastama  nii- 
öelda moduleerimise teel – madalsageduslik sisu salvestati väga kõrgsageduslikele 
lainetele. Esiteks saab selliseid laineid saata ja vastu võtta täitsa mõistliku anten-
niga. Teiseks tuleb välja, et nii võime paralleelselt saata ka väga palju erinevaid sig-
õngub
naale. 
 v
Kõige lihtsam neist moduleerimise tehnoloogiatest, AM ehk amplituudi modu-
kõik
latsioon on lähedalt seotud tähelepanekuga, et trigonomeetriliste funktsioonide 
korrutise võib lahti kirjutada nende summana ning vastupidi. Amplituudi modulat-
sioon ei tähenda seejuures midagi muud kui seda, et ühe laine amplituudi muude-
takse teise laine abil. Seeläbi salvestatakse algsesse lainesse informatsiooni.
Lihtsustatult võib mõelda, et saatjast teelepandav raadiosignaal 
 koosneb 
ühest kandvast lainest kõrgel sagedusel  . Kui tahame talle informatsiooni külge 
pookida, muudame kandva laine amplituudi mingi madalama sagedusega laine 
abil.
Näiteks kui sagedusega   liigub kandev laine, mille amplituudi muudetakse koo-
sinuselainega sagedusel 
, siis võiks kogu signaal olla kujus:
Kuna trigonomeetriliste funktsioonide korrutise võime lahti kirjutada ka nende 
summana [lk 250], võime signaali samas näha ka kui eraldiseisvate lainete kooslust:
260
Teisisõnu, meie signaal koosneb kolme laine summast: kandvast lainest ja kahest 
lisalainest. Nende lainete taga peidus olevate võnkumiste sagedusesitus ehk spek-
ter oleks siis järgmine:
õngub
 v
kõik
Need lisalained või lisavõnkumised saab nüüd vastuvõtjas Fourier’ teisenduse  
[lk 257] abil eraldada, just nii nagu sahina eraldamiselgi. Seeläbi õnnestub meil 
kandvale lainele lisatud signaal vastuvõtjas välja lugeda! 
Veelgi enam, kui meie kandev laine on näiteks sagedusel 1000 kHz ja sisuks on 
signaal alla 5 kHz, siis mahub ju kogu signaal ehk kõik kasutatavad lainekompo-
nendid 995 kHz ja 1005 kHz vahele. Seega juba sagedusega 1020 kHz  kandelainel 
võiksime julgelt paralleelselt teise sisuga signaali edastada – kasutatavad lained ei 
kattuks ja neid saaks ilusasti vastuvõtjas eraldatult välja lugeda.
Muidugi on kandelainele lisatav sisu enamasti palju keerulisem kui üks pisike laine 
ning lisaks muutub ta veel ajas, ent põhimõte jääb samaks: saatjas lisatakse infor-
matsioon kandjalaine amplituudi muutmise teel ning vastuvõtjas saadakse see sig-
naali komponentideks jagamise abil taas kätte.  
Siinkohal sai küll kirjeldus kiire ning ebatäpne, aga huvi korral uurige, see on päris 
põnev! Tõtt-öelda on muidugi AM-raadio juba üsna iganenud tehnoloogia . Täna-
seks on pigem kasutusel niinimetatud FM-raadio, kus muudetakse hoopis kandva 
laine sagedust, mitte amplituudi. Ja juba varsti minnakse ilmselt kõikjal üle digitaal- 
sete signaalide edastamisele. See jääb aga kahjuks siit raamatust väljapoole.
261
polünoom
262
polünoom
osa 6
tähtsad 
funktsioonid
263
polünoom
264
polünoom
Igaüks, kes usub, et eksponent -
siaalne kasv võib lõplikus maail -
mas igavesti jätkuda, on kas hullu-
meelne või majandusteadlane.
Kenneth Boulding
265
polünoom
polünoom
Polünoom on üks keeruline võõrsõna, aga sellel ei maksa end heidutada lasta – 
hullemategi sõnade taga peitub vahel täiesti toredaid selle: näiteks trubaduur või 
seismoloog. Polünoomide korral on tegemist vaid teatud  lihtsate  ja hästi uuritud 
funktsioonidega.
Üks polünoom oskab sisendarvudega teha ainult väga tavalisi tehteid: ta võib neid 
võtta erinevatesse naturaalarvulistesse astmetesse, neid mingi arvuga (kordajaga) 
läbi korrutada ning siis saadud tulemusi liita ja lahutada. Seega vägagi sõbralik sell.
Kui räägitakse reaalarvulistest polünoomidest, siis on nii sisendarvud, kordajad kui 
ka saadav väljund reaalarvud. Näiteks kõik järgmised funktsioonid on reaalarvuli-
sed polünoomid: 
Nagu majaga katus, nii käib polünoomiga alati kaasas tema aste. Siin peetakse 
lihtsalt silmas kõige kõrgema astmega liikme astet. Näiteks esimene toodud polü-
noomidest on teise astme polünoom ehk ruutfunktsioon, teine on esimese astme 
polünoom ehk lineaarne funktsioon ning kolmas viienda astme polünoom.
266
Polünoomi aste on oluline, sest ta määrab, kui palju jõnkse võib maksimaalselt 
olla polünoomi graafikul – lineaarfunktsioonil neid polegi, ruutfunktsioonil on üks,  
kuupfunktsioonil kuni kaks ja nii edasi.
 
polünoom
omadused
Kas Sa usud , et kui liidad või korrutad omavahel kaks polünoomi, siis on tulemu-
seks jällegi üks polünoom?
See omadus on hea ja kasulik sellepärast, et nüüd võime alati julgelt polünoome 
kokku liita, lahutada ja korrutada, ilma et peaksime kartma , et meid ootab ees  
mingisugune hirmus funktsioon, mille arvutamine võiks meil üle jõu käia.
Katsetame neid omadusi järgnevate polünoomide peal: 
 ja 
.  
Tähistame esimest polünoomi 
-ga ja teist 
-ga. Neid kokku liites, lahutades 
ja korrutades saame kolm uut polünoomi:
Teiseks heaks omaduseks on polünoomide sile ja  mõnus  graafik – nende graafiku 
saab tõmmata joonisele ühe  joonega ehk nad on pidevad . Pidevuse  kirjeldusest ja 
tähtsusest loe pidevuse peatükist [lk 317].
267
Kolmandaks on polünoomid sõbralikud ka kahe reaalfunktsioonidega ette võetava 
teisenduse suhtes. Esimest teisendust nimetatakse tuletiseks – sisuliselt näitab tule-
tis funktsiooni muutumise kiirust [lk 320]. Teist nimetatakse integraaliks ning see ise-
loomustab näiteks funktsiooni graafiku ja  -telje vahele jäävat pindala [lk 340]. Tuleb 
välja, et polünoomidega neidsamu teisendusi tehes saame vastu jälle polünoomid.
•  Polünoomi tuletis on ühe võrra väiksema astmega polünoom.
polünoom
•  Polünoomi määramata integraal on ühe võrra kõrgema astmega 
polünoom.
Polünoomide pere on üsna kinnine – pea kõik tähtis, mis nendega teha võib, annab 
tulemuseks taas polünoomi.
miks osutuvad polünoomid nõnda oluliseks?
Polünoomid on tänu piiratud operatsioonidele üsna lihtsad – neid on lihtne kirjel-
dada, nendega on lihtne ringi käia, nende väärtusi on lihtne leida nii inimesel kui ka 
arvutil.
Samas on nad kõigest sellest lihtsusest hoolimata uskumatult laia haardega tege-
lased : ükskõik millise teise vähegi mõistliku (näiteks pideva) funktsiooni jaoks lei-
dub alati polünoom, mis näeb temaga nii sarnane välja, et isegi luubiga vaadates 
võiks nad omavahel sassi ajada. 
Näiteks polünoom 
 
näeb piirkonnas 
 kuni   välja täpselt nagu siinusfunktsioon [lk 214]:
268
ning polünoom
kirjeldab nulli lähedal hästi eksponentsiaalfunktsiooni 
polünoom
See, et võime teisi funktsioone nii kergelt polünoomidega segamini ajada, tähen-
dab, et nii mõnigi kord võimegi reaalses elus ning arvutustes käsitleda ainult polü-
noomfunktsioone – oskame nendega hästi ringi käia ning samas annavad nad meile 
piisavalt head informatsiooni päriselt toimuva kohta.
Võime lugeja meelehärmiks avaldada lausa ühe saladuse : isegi kui käsite oma  
taskuarvutil logaritmi võtta, arvutab too kaabakas ainult polünoome – ta jäljendab 
õiget funktsiooni aga nii kavalalt ja tublilt, et sellest ei olegi võimalik taskuarvuti 
täpsuse juures aru saada. Arvutid kasutavadki kõikide enda arvutuste jaoks ainult 
polünoome.
nullkohad ja mugavale kujule tegurdamine
Oluliseks märksõnaks on polünoomide puhul nende nullkohad: sisendarvud, mille 
korral polünoomi väärtus on null.
Selgub, et nende abil on võimalik esitada polünoomi väga mugaval kujul: kui 
teame, et polünoomi 
 nullkohad on 
, võime   kirjutada kujul
kus   on lihtsalt üks reaalarv. 
269
Näiteks ruutfunktsiooni korral saame
mis ongi kogu see tegurdamise (ja igasuguse teisendamise) lõbu, mida koolipingis 
hoolega õpitakse: funktsioonide esitamine mugavamas kujus.
Võib tekkida küsimus, miks peaksid meid huvitama just nullkohad ja mitte näiteks 
„kolmkohad” – kohad, kus polünoomi väärtus on kolm. Õigupoolest on vastus õige 
polünoom
lihtne: nulli korral on tekkiv kuju lihtsalt kõige kompaktsem ning nullkohad jäävad 
paika ka funktsiooni läbikorrutamisel mõne reaalarvuga.
Lisaks kui oskame leida nullkohti, siis kolmkohtade leidmiseks tuleb polünoomist 
lahutada kolm ning leida saadud tulemuse nullkohad.
Saame näidata, et kui polünoomi aste on  , siis tal ei saa olla rohkem kui   null-
kohta (või „kolmkohta”). Sellest tulemusest võib intuitiivselt aru saada, kui mõelda, 
et lineaarfunktsioon ei tee ühtegi jõnksu, ruutfunktsioon teeb maksimaalselt ühe 
jõnksu, kuupfunktsioon kaks jõnksu ja analoogselt teeb   astme polünoom 
 
jõnksu. Et pärast teatud nullkohta polünoomiga jälle nulli tagasi jõuda, on meil alati 
tarvis ühte jõnksu ja 
 jõnksu abil võime nõnda nulli jõuda täpselt   korda.
Kõigest sellest võib kavalam järeldada, et kui kaks  -astme polünoomi on võrdsed  
 punktis, siis on nad võrdsed absoluutselt igal pool (tõestuseks tuleb lihtsalt 
uurida nende kahe polünoomi lahutamisel saadavat polünoomi). Sellel üllataval 
teadmisel on rakendused ka päriselus. 
270
kuidas peita kolmekesi ühist varandust?
Oletame, et leiate sõpradega seiklusmatkalt kena koguse briljante ja otsustate 
peita kogu saagi viieks aastaks seifi. Eks ikka selleks, et enne hästi järele mõelda, 
mis kogu varaga pihta hakata.
polünoom
Teil on olemas ka 9-märgilise salakoodiga ultramodernne seif, kuhu briljandid var-
jule  panna. Kuidas aga kindlaks teha, et te ainult kolmekesi üheskoos  saaksite  seifi 
avada? Toredaks abimeheks osutub siin polünoomide  tundmine , eriti üks märkus  
lisateadmistest – iga  -kohalise polünoomi määravad üheselt ära temal asetsevad 
 punkti.
Seega, kui näiteks on antud ruutpolünoom 
, siis niipea kui teame kolme 
temal asetsevat punkti, teame tegelikult kõiki polünoomil asetsevaid punkte. Kuid 
suvalise kahe punkti teadmine ei ütle polünoomi kohta just väga palju.
Idee on nüüd selge: lasete arvutil välja mõelda mõne suvalise polünoomi ning iga-
ühele väljastada täpselt ühe punkti sealt polünoomilt. Salakoodiks saab olema  
kokkukirjutatult selle polünoomi väärtus kohtadel 
 ja 2.
Näiteks kui salajaseks polünoomiks osutub
siis osutub salakoodiks 
, sest näiteks funktsiooni väärtus kohal   on  
 jne.
271
Kui sõber Mart saab punkti 
, sõber Ants punkti 
 ning ise saad 
punkti 
,  siis  nagu  graafikult  näete,  pole  Mardil  ja Antsul  kahekesi  õigeks 
vastuseks suurt lootust: neil ei olekski õigupoolest põhjust ühtegi kombinatsiooni  
väga eelistada, sest kaks punkti ei ütle võimaliku polünoomi kohta peaaegu mitte 
midagi. 
polünoom
Tähelepanelik lugeja võiks vaielda , et miks ei võiks seda olukorda lahendada tun-
duvalt lihtsamalt: andes igale sõbrale lihtsalt kolm salakoodi numbrit. See on tõesti 
võimalik, kuid siis peaks kood olema tunduvalt pikem, sest vastasel korral võivad 
kaks sõpra kokku tulla ning kolmanda sõbra puuduvad numbrid lihtsalt läbi proo-
vida, mis eelneva lahenduse puhul poleks võimalik.
ruutfunktsioon ja tema lahendivalem
Ruutfunktsioon või teisisõnu ruutpolünoom on ilmselt koolitunni populaarseim 
ning käsitletuim funktsioon. 
Seda populaarsust saab ka natuke selgitada: ta on väga levinud (mäletate ehk 
füüsikast läbitud distantsi avaldamist kiirenduse kaudu?), teda on piisavalt lihtne 
joonistada ning kirja panna ja samas on ruutfunktsiooni nullkohtadel esmapilgul 
keerulisena näiv lahendivalem, millega õpilasi hirmutada. Või siiski?
Alustame  ruutfunktsiooniga  tutvumist  tema  graafiku  juurest  ja  näitame,  kuidas 
kõik erinevad ruutfunktsioonid on lihtsate geomeetriliste teisenduste kaudu oma-
vahel seotud. Seejärel leiame ruutfunktsiooni lahendivalemi ja anname sellelegi 
geomeetrilise intuitsiooni.
272
ruutfunktsiooni graafik
Niipea kui oleme joonistanud ühe funktsiooni graafiku, saame hakata sellega  män -
gima. Näiteks võime seda graafikut nihutada ja erinevatest sirgetest peegeldada.
Kuigi lõbus on see alati, saab sellest protseduurist ka mõnikord kasu lõigata. Näi-
teks saame nende teisenduste abil meeles pidada trigonomeetriliste teisenduste 
valemeid [lk 242]. Ruutfunktsiooni korral võime selliste geomeetriliste teisenduste 
polünoom
teel luua ühest algfunktsioonist pea kõik teised ruutfunktsioonid ning, nagu hiljem 
näeme, leida isegi ruutvõrrandi lahendivalemi.
Alustame ruutfunktsioonist
Teda üles-alla nihutades saame funktsioonide kujus 
graafikud.
273
Nihutades algset funktsiooni aga horisontaalselt – või teisisõnu nihutades  -telge 
tema suhtes –, saame kõik funktsioonid kujus 
polünoom
Nüüd, kui peegeldame esialgset funktsiooni  -telje suhtes, saame funktsiooni 
graafiku.
Algse funktsiooni peegeldus   -telje suhtes ei tee aga midagi huvitavat – meie 
funktsioon on  -telje suhtes sümmeetriline ja jääb peegelduse tõttu samaks. 
274
Kõiki neid teisendusi võib muidugi teha ka järjepanu ning nii neid kombineerides 
leiaksime kõikide funktsioonide kujus
graafikud. Kui tahaksime päris üldkujusse jõuda, peaksime lisaks veel lubama ka  
-telje skaleerimist. 
Varsti näeme, et selline geomeetriline mõtlemine annab aimu ka ruutfunktsiooni 
lahendivalemi tagamaadest. Enne seda lahendame aga ruutvõrrandi puhtalt alge- 
polünoom
braliselt.
ruutfunktsiooni lahendivalem
Ruutfunktsiooni lahendivalem võib jääda pisut müstiliseks, kuna tihti ei ole aega 
seda korralikult tuletada. Tegelikult ei ole selles lahendivalemis midagi hirmsat, kui 
on viitsimist pisut kaasa mõtelda. Lubame, et ei lähe kauem, kui korraliku suure 
koorejäätise söömine aega võtaks, ning lubame jäätise ka seltsi võtta. Üritame siis 
valemi samm-sammult tuletada.
Kõige lihtsam võrrand, mis võib ette tulla, on muidugi 
 ehk 
. 
Sel juhul – kuna ruutjuurt [lk 111] oskame ju hästi võtta – teame, et vastuseks on  
. Oluline on märgata, et miinusmärk   ees ei tähenda sugugi, et meil peaks 
kohe tegemist olema negatiivse arvuga. Näiteks kui 
, saame võrrandi 
 ning lahenditeks oleksid 
 ehk   ja  .
Raskusi ei valmista ka võrrand 
, kuna sel juhul võime lihtsalt kogu 
võrrandi jagada  -ga läbi ning jõuame sarnaselt eelnevaga vastuseni 
275
Mis aga juhtub, kui juurde tuleb liige 
 ehk kui ruutvõrrand on kujus 
? Tuletame meelde, et võrrandi lahendamine tähendab endiselt, 
et leiame vastuse kujul
Üldkujus on aga sees ka  -i ruut. Eelnevalt saime temast lahti, rakendades ruut-
juurt, ja ausalt öelda, ega mingit muud müstilist trikki ruudust lahti saamiseks pole. 
polünoom
Seega tahame ka seekord võtta ruutjuurt. Aga millest? 
Ruutjuurt oskame võtta hästi ainult ruutavaldistest. Esimesel juhul oli meil lihtne 
ruutavaldis  , seekord jõlgub kaasa aga ka libe  -liige. Kuidas temast lahti saada?
Tuleb lihtsalt märgata, et tegelikult oskame me võtta ruutjuurt mitte ainult   -st,  
vaid ka näiteks 
-st või 
-st. 
See on abiks, kuna 
 annab meile ka  -iga liikme! Nii 
saame avaldisest 
 võtta ilusti ruutjuurt
Seega tuleb juurimise jaoks leida  -ile sulgudesse õige kaaslane, mis lahtikorruta-
des annaks liikme  .
Tuletame meelde, et ruutliikme tegurdamine käib järgnevalt:
Kui nüüd valime 
, ongi liikme   ees soovitud kordaja 
See näeb välja juba peaaegu nagu meie algne võrrand 
. 
Ainsa vahena on ülemises valemis lihtsalt üks üleliigne liige   ning liige    on hoopis 
puudu. 
Seega peame algse ruutfunktsiooni kirjeldamiseks lihtsalt ruudust 
maha 
lahutama üleliigse osa   ja tagasi liitma  :
Nii saab meie võrrand 
 kuju
276
Viies osa liikmeid teisele poole, oleme juba väga heas positsioonis juurimiseks:
Siin saame võtta ruutjuure ning vastuseks tuleb
polünoom
ehk
Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem ongi käes! 
Kui   ees on veel kordaja  , peame lihtsalt   ja   läbi jagama   -ga ning jõuame just 
läbi arutatud olukorrani. Nii on ruutvõrrandi üldkuju 
 lahendi- 
valemiks
mida tihti kirjutatakse ka kujus
Kontrolli, et ka viimane teisendus kehtib!
Selle valemi abil võib lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Näiteks kui õpetaja 
lööb lauale ruutvõrrandi 
, võime välja võtta oma valemi, sinna 
sisse pookida 
, 
 ning 
 ning saamegi vastuseks lahendid   ja  . 
277
LahendivaLem geomeetriLiseLt
Lubasime, et lahendivalemi leidmisest saab ka geomeetriliselt mõelda. Kuna meil 
on tegelikult juba ruutvõrrandi lahendivalem leitud, siis mingis mõttes on see 
muidugi tühi töö. Siiski aitab järgnev mõttekäik anda ruutvõrrandi lahendivalemi 
leidmise erinevatele etappidele ja seega ka lahendivalemile endale geomeetrilist 
intuitsiooni ning seeläbi ehk aitab valemit ja selle tuletust meeles pidada. 
polünoom
Aluspunktiks on tähelepanek, et ruutvõrrandi 
 lahendamine tähendab 
geomeetriliselt täpselt funktsioonide 
 ning 
 graafikute lõikepunktide 
-koordinaatide leidmist. Seda muidugi oskame teha ruutjuurt võttes ja vastuseks 
on 
Peaaegu üldkujus ruutvõrrandi 
 lahendamine tähendab omakorda 
muidugi ruutfunktsiooni 
 ning  -telje lõikepunktide leidmist. 
Kogu ruutfunktsiooni lahendivalemi leidmiseks vaja läinud teisendusterea ees-
märk oli taandada teine olukord esimesele, taandada keerulisemate lõikepunk-
tide leidmine lihtsamate lõikepunktide leidmisele. Mingis mõttes tähendab see, et 
tahame oma suvalise ruutfunktsiooni graafiku teisendada ruutfunktsiooni 
 
graafikuks. 
278
Selle jaoks nihutame esmalt funktsiooni graafikut   võrra horisontaalselt (positiivne 
suund on paremale), et funktsiooni graafik oleks sümmeetriline  -telje suhtes. 
Seejärel liigutame graafikut 
 võrra vertikaalselt (positiivne suund on üles), et 
viia graafiku kõige alumine punkt täpselt koordinaatteljestiku nullpunkti. 
Nii oleme kahe teisenduse abil jõudnud funktsiooni 
 graafikuni.
polünoom
Kuidas on teisenenud algse ruutvõrrandi nullkohad? Kui enne olid nad sirge 
 
ning algse ruutfunktsiooni lõikepunktid, siis teisenduste käigus esiteks nihutasime 
neid lõikepunkte   võrra horisontaalselt ning seejärel tõstsime 
 võrra. 
Nende teisenduste järel said nullkohtadest funktsiooni 
 ning sirge 
 lõikepunktid. 
Nende lõikepunktide  -koordinaadid on aga täpselt antud valemiga 
Kuna vertikaalsed, üles-alla teisendused  -koordinaate ei muuda, peame ainult 
arvesse võtma veel horisontaalse nihke. Uued lõikepunktid on algsete suhtes   
võrra nihutatud, seega peame algsete lõikepunktide  -koordinaatide leidmiseks 
lahutama veel  . 
Saamegi taas kord loodetud vastuse 
. 
Seekord on aga mõlemal liikmel ka taust: esimene tuleb funktsiooni sellisest üles-
alla nihutamisest, et ta istuks täpselt horisontaalteljel. Teine pärineb horisontaalsest 
nihutamisest, mis viib funktsiooni graafiku sümmeetriliseks vertikaaltelje suhtes. 
279
eksponentsiaalfunktsioon
Kui mõni pahaloomuline  bakter  on organismi jõudnud, ei pruugi  sellest algul aimu- 
gi saada, sest iga bakteripere ei hakka kohe tramburaid korraldama, vaid ootab 
vahel veel päris mitmeid  tunde. Miks nii? 
eksponentsiaalfunktsioon
Nimelt ei ole ühel või kahel või isegi tuhandel bakteril mõtet hakata vallatusi 
tegema ja mürkaineid eritama, sest immuunsüsteem saadaks selle peale kohe välja 
oma ustava armee  ja teeks neile tuule alla.
Seega paljunevad bakterid vaikselt, kuni neid on piisavalt palju, ja hakkavad alles 
seejärel kurja tegema. Sel juhul on immuunsüsteem juba raskustes. Bakteritel ei 
lähe paljunemiseks eriti palju aega, sest iga bakter pooldub ideaalsetes tingimus-
tes umbes iga poole tunni järel.
Selle tagajärjeks on väga kiire kasv! Näiteks kui 
 bakteril lasta ideaalsetes tin-
gimustes seltsida, kasvab nende arv järgmise   tunni jooksul järgnevalt:
280
Juba poole päevaga on tuhandest saanud rohkem kui sada tuhat!  Tuleb välja, et 
saadud graafikut kirjeldab täpselt üks ilus ja tähtis funktsioon: eksponentsiaalfunkt-
sioon. Ja kuigi maos ei ole bakteritele ideaalsed kasvutingimused , aitab see ikkagi 
ehk piisavalt hirmutada – ka pisike pahaloomuline bakteripere on juba ohtlik!
eksponentsiaalfunktsioon ja astendamine
Eksponentsiaalfunktsioonideks on näiteks funktsioonid 
 või 
, kus   
võib olla ükskõik mis reaalarv. 
eksponentsiaalfunktsioon
Samuti võib eksponentsiaalfunktsiooni alus olla ühest väiksem, näiteks 
Üldkujul on eksponentsiaalfunktsioon kujus  , kus   on positiivne reaalarv. Õpiku-
tes otsustatakse tihti ka lisada tingimus, et 
. Seda lihtsalt selle jaoks, et välis-
tada konstantne funktsioon 
. Mõnikord arvatakse juurde veel ka kordaja: loe-
takse eksponentsiaalfunktsiooniks ka funktsioone  
, kus   on suvaline reaalarv.
281
Seda, miks   peab olema positiivne, selgitab kõige paremini üks võimalik ekspo-
nentsiaalfunktsiooni definitsioon: eksponentsiaalfunktsiooni näol ei ole tegemist 
millegi enama kui astendamise laiendamisega irratsionaalarvulistele  astmetele ja 
astme aluselt nõudsime ju ka positiivsust [lk 110]. 
See laiendus on täpselt analoogne ratsionaalarvude reaalarvudele laiendamisega: 
tuleb lihtsalt graafikule jäävad imepisikesed augud täis toppida. Rangelt tähendab 
see ratsionaalarvulistele astmetele nende piirväärtuste lisamist [lk 313]. Negatiiv-
sete aluste korral on graafik aga hüplik ja mingist aukude täitmisest seal väga juttu 
olla ei saagi. 
Õigupoolest, nagu astme peatükist mäletame, tekib negatiivsete aluste korral häda 
eksponentsiaalfunktsioon
juba täisarvulistelt astmetelt ratsionaalarvulistele üle minnes – et anda tähendus 
arvule 
, pidime ju sisse tooma hoopis kompleksarvud [lk 89]. Ühe- 
sõnaga negatiivsed alused jätame mängust välja.
Eksponentsiaalfunktsiooni võib defineerida ka teisiti. Näiteks alusel   võib ekspo-
nentsiaalfunktsiooni defineerida järgmise polünoomi meenutava avaldise  abil:
Selle valemi tagamaid selgitasime natuke ilusate arvude peatükis [lk 106].
eksponentsiaalfunktsiooni omadused
Eksponentsiaalfunktsioon   on määratud kõikide reaalarvude korral ehk tema 
määramispiirkonnaks on reaalarvude hulk. Tema graafik on ilus ja pidev ehk teda 
võib joonistada pliiatsit paberilt tõstmata. 
282
Eksponentsiaalfunktsiooni kuju sõltub tema alusest.
•  Kui alus   on suurem kui üks, on   kasvav funktsioon.
•  Kui alus   asub nulli ja ühe vahel, siis on tegemist kahaneva 
funktsiooniga.
•  Alusel üks on tegemist konstantse funktsiooniga, mida nii 
mõnigi kord eksponentsiaalfunktsioonide hulka ei loeta, kuna 
ta ei kasva ega kahane.
•  Viimaks, nagu mainisime, negatiivsete aluste korral ekspo-
nentsiaalfunktsiooni defineerida ei saagi.
eksponentsiaalfunktsioon
Selgub, et see, kas alus on ühest suurem või väiksem, ei muuda teatud mõttes eks-
ponentsiaalfunktsiooni olemust, vaid lihtsalt tema suunda. 
Nimelt on pöördarvulistel alustel (näiteks alustel   ja  ) eksponentsiaalfunktsioonid 
teineteise peegeldused  -telje suhtes. Ühel juhul rändab eksponentsiaalfunktsioon 
-telje kohal nullist lõpmatusse ja teisel juhul vastupidi.
Miks see nii peaks olema, pole just raske näha: teame ju, et 
 ja seega 
, mis ongi ju täpselt funktsioon   loetuna negatiivses suunas.
Eksponentsiaalfunktsiooni   muutumispiirkonna moodustavad kõik positiivsed 
reaalarvud. Teisisõnu leidub iga positiivse reaalarvu   jaoks  , nii et 
. Selles 
võib ilmselt veenduda puhtalt graafikut vaadates – graafik on pidev, ühel pool lähe-
neb nullile, teisel pool tormab lõpmatusse. Tegemist on olulise omadusega , mis 
võimaldab meil hiljem defineerida eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsiooni – 
logaritmfunktsiooni [lk 290]. 
283
Eksponentsiaalfunktsiooni graafikut uurides näeme, et ühest suurema aluse korral 
kasvab ta aina kiiremini. Selgub, et asi on veelgi hullem – ka eksponentsiaalfunkt-
siooni kasvamise kiirus ehk tuletis [lk 320] kasvab järjest kiiremini, ja ka tema kii-
rendus ja nii edasi. 
eksponentsiaalfunktsioon
Funktsiooni kasvamise kiirust näitab tema tuletis. Selgub, et eksponentsiaalfunkt-
siooni   tuletise võtmiseks tuleb funktsiooni ainult mingi reaalarvulise konstan-
diga läbi korrutada: ehk siis   tuletiseks on 
, kus konstandi   väärtus sõltub  
 väärtusest. Seda fakti võib tõlgendada järgmiselt: eksponentsiaalfunktsiooni 
hetkeline kasv on alati võrdeline funktsiooni väärtuse endaga. See osutub oluliseks 
just kasvuprotsesside tõlgendamisel. 
Eksponentsiaalfunktsioon kasvab igas kindlas vahemikus sama arv kordi. Tõepoo-
lest, näiteks vahemikus pikkusega üks kehtib 
 iga reaalarvu   jaoks. 
Üldisemalt võibki mõelda, et eksponentsiaalfunktsioon teeb liitmisest korruta-
mise. See on tegelikult juba astendamisest tuntud omadus: 
. Ka 
selle omaduse kaudu saab tegelikult eksponentsiaalfunktsiooni defineerida: tege-
mist ongi ainsa pideva reaalarvulise funktsiooniga, mis teeb liitmisest korrutamise 
ehk mille korral kehtib võrrand 
eksponentsiaalfunktsioon erinevatel alustel 
Nägime juba, et eksponentsiaalfunktsiooni   käitumine sõltub tema alusest  .  
Huvitaval kombel võime aga tegelikult kõiki eksponentsiaalfunktsioone kirjutada 
ka ühel ja samal alusel – peame selle jaoks lihtsalt astendajat muutma. 
284
Näiteks funktsiooni   võime kirjutada alusel    funktsioonina  
 ning alusel   
funktsioonina 
, sest ühtepidi 
 ja teisalt 
 . Üldisemalt, 
kui tahame kirjeldada funktsiooni   alusel  , peame lihtsalt otsima välja arvu   nii 
et 
. See on iga positiivse reaalarvu   korral ka võimalik, kuna eksponent-
siaalfunktsiooni muutumispiirkonnaks on kõik positiivsed reaalarvud.
eksponentsiaalfunktsioon
Seega võime kirjutada 
. 
Funktsioonide ühel astmel kirjutamine on lihtsustav, sest nii on neid kergem oma-
vahel võrrelda – näiteks oleks ju päris raske öelda, kas kiiremini kasvab protsess 
 või 
. Jääb küsimus, milline ühine alus valida.
Mõnikord kasutatakse kümnendsüsteemist pärit alust 10, mis räägib kümne- 
kordistamisest, mõnikord alust 2, mis räägib kahekordistamisest. Kõige enam kirju- 
tatakse aga eksponentsiaalfunktsioon ilusa-arvulisele alusele   [lk 102]. Funkt-
sioon   annab teatud mõttes kõige loomulikuma kasvuprotsessi: sellel juhul on 
kasvu hetkekiirus alati täpselt võrdne hetkesuurusega ehk funktsioonide keeles:   
tuletis on igas punktis täpselt   [lk 320]. 
Kõikide teiste eksponentsiaalfunktsioonide korral peame juba tuletise leidmiseks 
funktsiooni ise veel niinimetatud naturaallogaritmiga [lk 295] läbi korrutama. 
Näiteks    tuletis on 
. Lisaks, nagu nägime kuulsate arvude peatükis  
[lk 102], on protsessile   ka ilus tõlgendus – see on protsess, mille saame, kui aja-
ühiku peale lubatud 100% intressi makstakse hetkeliselt, pausideta. 
Kuna alus   teeb mugavaks nii arvutused kui tõlgendused, on tavaks, et kõiki eks-
ponentsiaalselt kasvavaid protsesse esitataksegi kujus 
 ning eksponentsiaal -
selt kahanevaid protsesse kujus 
, kus   on mõlemal juhul positiivne reaalarv. 
Siin tähistab   siis algkogust ning   iseloomustab kasvukiirust.
285
kasvavad ja kahanevad protsessid
Eksponentsiaalfunktsioonist on kõige õigem mõelda kui teatavat tüüpi väga kiirest  
kasvamisest või kahanemisest ajas. Nagu nägime, on eksponentsiaalse kasvamise 
korral kasvamise kiirus igal hetkel proportsionaalne ehk võrdeline koguse või suu-
ruse endaga. Nii nimetatakse eksponentsiaalset kasvamist ka proportsionaalseks 
kasvamiseks. Just seetõttu kirjeldas ta ka bakterite koloonia laienemist – koloonia 
kasvu kiirus igal hetkel sõltub ju täpselt sellest, palju baktereid parasjagu pooldu-
mas on, ehk tegelikult koloonia enda suurusest.
eksponentsiaalfunktsioon
Eksponentsiaalne  kasvamine on palju kiirem kui polünomiaalne ehk polünoomiga 
antud kasvamine. 
arvutite kiiruse kasv on eksponentsiaalne
Transistor on hirmutav sõna ja tõepoolest, selle taga peidab end võimas seade. 
Transistoreid kasutatakse elektrisignaalide tekitamiseks, võimendamiseks, muun-
damiseks ja lülitamiseks. Transistoritel põhineb kogu elektroonika ning nad on ka 
arvutite protsessorite arvutuskomponentideks.
Transistorite arv arvutis väljendab tema kiirust – seda, kui palju operatsioone ta 
suudab ajahetkes teha. Arvutite võimsus kasvab kiiresti, umbes iga kahe aasta järel 
kahekordistub transistorite arv protsessoris. 
286
Teisisõnu umbes iga kahe aasta järel saab arvuti kaks korda võimsamaks:
eksponentsiaalfunktsioon
Seda seaduspära märkas esimest korda juba 1965. aastal arvutiprotsessorite tootja 
Inteli kaasasutaja  Gordon E. Moore. Nii kutsutakse seaduspära vahel ka Moore’i 
seaduseks. Kasvu kiiruse illustreerimiseks kasutas Moore ise järgnevat analoogiat: 
kui autotööstus areneks sama kiiresti kui elektroonikatööstus, siis tänaseks sõi -
daks auto liitri bensiiniga miljon kilomeetrit ning odavam oleks auto maha kanda 
kui teda kesklinnas tunniks ajakski parkida . 
Graafikut  on  natukene  keeruline  lugeda,  sest  esimesed  punktid   tunduvad   kõik 
olevat praktiliselt nullis. See tuleneb just nimelt väga kiirest, eksponentsiaalsest 
kasvust. Tuleb välja, et sellisel juhul on mõttekas  -telge kujutada nii-öelda logarit-
miliselt, kus ühikud ei muutu liitmise vaid korrutamise teel. Selle võtte kasulikkust 
näitame järgmises peatükis [lk 299].
mõni arvutiprogramm jääb aga ikka aeglaseks 
Kuna arvuti kiirus kahekordistub iga kahe aastaga, võiks arvata, et ükskõik kui kee-
rulist tööd me ka arvutile ei annaks, varem või hiljem on see vaid minutite küsimus. 
Siiski nii lihtne olukord ei ole. Nimelt on paljud ülesanded, mida arvutiga lahen-
dada võiks, lahendatavad ainult eksponentsiaalse ajaga : see tähendab, et iga kord 
kui arvutiprogrammi sisendit suurendada ühe ühiku võrra, kasvab programmi aeg 
kindla arvu kordi. Näiteks võiks programmi aeg iga sisendi jaoks pikeneda kaks 
korda – sel juhul kirjeldaks aja kulumist funktsioon 
 ning isegi kui sisend  
pikkusega   võtaks   sekundit arvutusaega, siis sisend pikkusega 40 võtaks juba 
 aastat. Eluliste probleemide lahendamiseks on vahel aga vaja sisendeid suu-
rusjärgus tuhat või isegi miljon. 
287
Kuigi Moore’i seadus protsessorite kiirenemisest on üsna hämmastav , siis praeguse 
murega ta toime ei tule. Nimelt, oletame, et arvutustele kuluva aja kulumist kir-
jeldab tõesti eksponentsiaalfunktsioon 
. Sel juhul, isegi kui kaks korda 
rohkem transistoreid tähendaks tõesti ka kaks korda rohkem arvutusi ajaühikus, 
saaksime ühel arvutil arvutades iga kahe aasta järel sisendit vaid ühe ühiku võrra 
pikendada! 
Sellest lähtuvalt ei või endiselt arvutiprogrammidega hooletu olla – tuleb leida häid 
ja efektiivseid viise arvutite tegemiseks ning selliste heade programmide kirjuta-
mine on üks tänapäevase arvutiteaduse põhilisi eesmärke.
eksponentsiaalfunktsioon
temperatuuri ühtlustumine
Oled äsja valanud endale tassi kohvi ja kohe jooma hakates põletaksid kindlasti 
oma keelt ja huuli. Õnneks pole sellest hullu. Selgub, et kohvi jahtumine toimub 
eksponentsiaalse kiirusega ehk nagu juba nägime – väga kiiresti.
Nimelt märkas juba Newton oma vaatlustest, et kui asetada üks väiksem keha 
suurde väliskeskkonda, siis sõltub selle väiksema keha temperatuuri muutumise 
kiirus proportsionaalselt väliskeskkonna ja keha temperatuuride erinevusest. Nagu 
juba teame, tähendab see aga täpselt, et temperatuuri ühtlustumine on antud eks-
ponentsiaalse funktsiooniga. Seega kui väiksem objekt on alguses väliskeskkon-
nast soojem, kirjeldab temperatuuride vahe vähenemist hästi eksponentsiaalselt 
kahanev protsess kujus 
, kus   tähistab aega ning 
 on lihtsalt 
algne vahe temperatuurides.
Kui tahate täpselt ennustama hakata, kui kiiresti kohv ikkagi jahtub, oleks esmalt 
vaja teha mõned katsed, mille abil määrate konstandi  , mis sõltub kohvi enda 
omadustest ja näiteks ka tassist.  
288
Edaspidi on – vähemalt sama kohvi ning sama tassi korral – igal hommikul vaja 
ainult mõõta kohvi ja toa temperatuuri. Seejärel saad täpselt ennustada, kaua aega 
läheb, kuni kohv joodavaks muutub. Loomulik on küsida: mil määral need ennus-
tused kehtivad ja mil määral nad erinevad rohelise tee, kuumade pirukate ja teist-
suguste, näiteks suuremate ja väiksemate tasside jaoks? Aus vastus on, et ega me 
täpselt ei tea – rohelise tee jaoks ei tohiks suurt midagi muutuda, aga pirukatega 
on lugu juba kahtlasem. 
Edasi võib veel nuputada, kuidas käituda, kui lisad kohvile ka piima. Mis Sa arvad , 
kas   minuti möödudes on külmem kohv, millele on lisatud kohe veidi piima, või 
kohv, millele lisad piima alles   minuti lõppedes? Newtoni seaduse ja mõne lisa- 
eelduse abil saab vastuse välja nuputada, või lihtsalt katsetades.
eksponentsiaalfunktsioon
Muidugi pole ennustused alati sajandiku pealt täpsed – tegelikult on soojusülekande 
protsess palju keerulisem ning Newtoni seadus on nagu ikka lihtsustatud kirjeldus ja 
kehtib ainult osaliselt. Siiski on see väga tore, et klassikaline füüsika ja veidi lihtsat 
matemaatikat aitavad selgitada ja ennustada igapäevaseid olukordi. 
289
logaritm
logaritm
Logaritm on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon [lk 69] ehk teisisõnu, kui 
järjest rakendada arvule 
 kõigepealt eksponentsiaalfunktsiooni mingil alusel 
ning siis logaritmfunktsiooni samal alusel, saame jälle tulemuseks sama arvu: 
Intuitiivselt tähendab see järgmist. Meenutame, et eksponentsiaalfunktsiooniga 
kirjeldame kasvavaid suuruseid. Söötes talle ette teatava ajahetke, saame vastu-
seks kasvava suuruse väärtuse selleks hetkeks. Logaritm vastab aga vastupidisele 
küsimusele: kui kaua võtaks aega, et eksponentsiaalne kasvuprotsess jõuaks ühe 
või teise suuruseni? 
Näiteks oletame, et panete oma vaevaga kogutud 
 eurot panka kasvama ning 
pangas makstakse intressi 
 aastas. 
290
Kuna iga aasta möödudes suureneb summa täpselt 
 korda, võime summa kas-
vamist kirjeldada eksponentsiaalfunktsiooni abil:
   aasta pärast on meil 
 eurot.
Logaritm vastab aga küsimusele, mitu aastat läheb aega, et sellest algsummast 
kasvaks 
 eurot ehk summa kümnekordistuks. Teisisõnu  küsib logaritm sel-
list  -i väärtust, mille jaoks
logaritm
ehk
Matemaatiliselt kirjutatakse see välja nii:
Vastus on muuseas  47,2 aastat...
logaritmfunktsioon
Oletame, et meile on antud mingi alus 
, 
 nagu eksponentsiaalfunkt-
siooni korralgi. Kui 
, siis kirjutame 
 ja loeme, et logaritm arvust 
 alusel   on  . Kolm sümbolit järjest! Näiteks kuna 
, siis 
 ehk 
logaritm arvust   alusel   on  . 
Logaritmfunktsiooni alusel   saame nüüd, kui vaatamegi arvu    funktsiooni sisen-
dina. Ei ole muidugi kohe päris selge, mis loom see logaritmfunktsioon ikka on ning 
mis väärtuste jaoks ta on üldsegi defineeritud.
Ilusam on võibolla mõelda geomeetriliselt. Nimelt kuna logaritmfunktsioon on 
eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon, võib teda kirjeldada eksponentsiaal-
funktsiooni enda graafiku abil.
Kui joonistame koordinaattasandile eksponentsiaalfunktsiooni 
  graafiku, 
siis saame logaritmfunktsiooni alusel   lihtsalt siis, kui  - ja  -teljed ära vahetame. 
Nagu juba nägime, võib sellest mõelda ka kui eksponentsiaalfunktsiooni graafiku 
peegeldamisest sirgest 
291
logaritm
Graafikult näeme, et logaritmfunktsioon on kenasti defineeritud kõikide positiiv-
sete reaalarvude jaoks – põhjuseks on muidugi see, et eksponentsiaalfunktsiooni 
väärtused saavad olla ainult positiivsed arvud.
Võib tekkida ka teine küsimus: miks me nõudsime, et alus   peab olema positiivne? 
Vastus tuleneb eelmisest peatükist: eksponentsiaalfunktsioon ise on defineeritud 
ainult positiivsete aluste korral. Negatiivsete alustega tekkis ju teadupärast prob-
leeme: näiteks ei oska me reaalarvude raames võtta arvu   ruutjuurt ehk tõsta 
teda astmele  . See on küll võimalik, tuues sisse kompleksarvud [lk 89], aga 
praegu tahaksime, et meie funktsioonid võtaksid nii sisendina kui annaksid ka väl-
jundiks ainult reaalarve.
logaritm: tehe või funktsioon?
Logaritm tuleb mõnikord lisaks funktsioonile esile ka tehete kontekstis, kui temast 
räägitakse kui logaritmimisest. See võib alguses üllatav tunduda, aga tihti võib 
mõnest matemaatilisest objektist või teisendusest mõelda mitut moodi. 
Näiteks ka astendamisest võisime mõelda kui tehtest või kui funktsioonist. Tehtest 
rääkisime peatükis arvu aste – valisime arvu   ja arvu   ning andsime tähenduse 
arvu astmele   – kahest arvust meisterdasime kokku ühe kolmanda. Eelmises 
peatükis aga fikseerisime astendamise aluse   ja rääkisime hoopis eksponentsiaal- 
funktsioonist   – masinast, mis võttis sisendiks reaalarve ja andis vastu positiiv-
seid reaalarve. 
292
Samamoodi võime logaritmimisest mõelda kui tehtest: kui valime positiivse 
reaalarvu   logaritmi aluseks ning mingi arvu  , siis võime võtta logaritmi 
.  
Niipea, kui aga oleme otsustanud fikseerida mõne aluse, näiteks kahe, võime vaa-
delda funktsiooni 
Muidugi ei piirdu näited ainult astendamise ja logaritmimisega, lugeja võib veen-
duda, et ka näiteks liitmisest võime mõelda nii tehete kui funktsioonide raames. 
Selline  paindlikkus on matemaatikale üsna omane – mida rohkem vaatevinkleid, 
logaritm
seda rohkem võimalusi.
Ka selles peatükis käsitleme logaritmi nii ühes kui teises võtmes.
logaritmfunktsiooni omadused
Kõige olulisem on vahest logaritmfunktsiooni juures see, et tegemist on ekspo-
nentsiaalfunktsiooni pöördfunktsiooniga. Oleme seda juba mitu korda öelnud, aga 
sõnastame selle veel korra ümber ka skemaatilis-matemaatiliselt!
Arv → logaritm → astendamine → arv ehk  
Arv → astendamine → logaritm → arv ehk  
Logaritmfunktsiooni võime võtta kõikidest positiivsetest reaalarvudest. Väär-
tustena annab ta lahkelt vastu kõikvõimalikke reaalarve. Ka logaritmfunktsiooni 
käitumine sõltub tema alusest. Näiteks logaritmfunktsioonid alusel   ja alusel   on 
teineteise peegeldused  -telje suhtes: 
Põnev on ka meenutada, et eksponentsiaalfunktsiooni korral tuli aluse pöördarvuks 
muutmisel funktsiooni peegeldada hoopis  -teljest. Oskad seda mustrit selgitada?
293
Ka logaritmfunktsioon on kenasti pidev. Vaadeldes natuke tema graafikut näiteks 
ühest suurema aluse korral, näeme, et logaritmfunktsioon küll kasvab piiramatult, 
aga järjest aeglasemalt. 
logaritm
Tõepoolest, logaritmfunktsiooni kasvu kiirust näitav tuletis on antud funktsiooniga 
kujus   ning see on suurte   väärtuste korral nullist juba üsna eristamatu. 
Konstandi   väärtus sõltub logaritmfunktsiooni alusest, näiteks kui aluseks on  , on 
 võrdne ühega nagu eelneval joonisel. 
Muudel juhtudel on selleks konstandiks 
, kus   on logaritmi aluseks. 
Miks see nii on, selgitame juba varsti logaritmi erinevate aluste peatükis.
Korrutamisest liitmine
Kui eksponentsiaalfunktsioon tegi liitmisest korrutamise, siis logaritmfunktsioon 
teeb korrutamisest liitmise. Kuna tegemist on eksponentsiaalfunktsiooni pöörd-
funktsiooniga, pole seda muidugi raske uskuda. Enda täielikuks veenmiseks võib 
aga näiteks läbi teha järgneva arutelu.
•  Kuna logaritmfunktsioon ja eksponentsiaalfunktsioon on 
pöördfunktsioonid, siis 
•  Samamoodi aga ka 
 ja 
•  Eksponentsiaalfunktsioon teeb aga korrutamisest liitmise: 
seega 
Kokkuvõttes saame, et 
Kas sellest järeldub ka kohe, et 
? Päris automaat -
selt ei järeldu, peame oleme ettevaatlikud. Näiteks teame ju, et ruutu võtmisel 
294
annavad   ja   sama tulemuse, ja seega kui teaksime, et 
, ei saaks me 
järeldada, et 
Õnneks on eksponentsiaalfunktsiooni korral olukord lihtsam. Nägime eksponent-
siaalfunktsiooni graafikult, et tegemist on kas rangelt kasvava või rangelt  kaha -
neva funktsiooniga ja seega ei võta ta ühtegi väärtust mitu korda. Seega kui teame, 
et 
, võime järeldada, et 
 Nii võime sellest, kui 
logaritm
tõesti ka järeldada, et 
logaritmi erinevad alused
Nagu eksponentsiaalfunktsiooni korral, on ka logaritmfunktsiooni iseloom alusest 
sõltuvalt natuke erinev. Samas on ka logaritmfunktsiooni aluse vahetamine päris 
lihtne ja analoogne eksponentsiaalfunktsiooni puhul toimunuga.
Nimelt oletame, et meile on antud mingi arvu   logaritm alusel   Tähistame seda 
 ning võime võrdväärselt ka kirjutada 
. Kuidas nüüd üle minna 
alusele  ?
Eksponentsiaalfunktsiooni peatükis nägime, et võime arvu   kirjutada arvu   ast-
mena, ehk 2
. Edasi saame kirjutada 
See tähendab täpselt, et 
. Aga me teame juba, et 
, ning 
samas puhtalt definitsioonist 
Seega saame 
 ehk logaritmfunktsiooni alusel   saame 
lihtsalt, kui korrutame logaritmfunktsiooni alusel   ühe kindla arvuga. Selle arvu 
võime leida: 
 ning 
. 
295
Üldkujus astme vahetamist, üleminekut aluselt   alusele   iseloomustab valem: 
Jällegi tähendab see ainult, et astme vahetamiseks korrutame logaritmfunktsiooni 
lihtsalt läbi ühe teatava arvuga – arvuga 
. Seetõttu jõuame pisut ehk ülla-
tavale järeldusele: erinevatel alustel logaritmfunktsioonid on äärmiselt sarnased, 
võime alustada logaritmfunktsioonist alusel   ja saada kõik teised logaritmfunkt-
logaritm
sioonid seda funktsiooni lihtsalt nullist erineva arvuga läbi korrutades. 
Millist alust valida?
Ka seekord on teatud olukordades mõne alusega kergem ja mugavam ringi käia, 
eriti kui sõna saavad ka loodusteadlased ja arvutimehed. Logaritm mingil alusel   
muutub oluliseks, kui vaadeldav „suurusjärk” ehk olulised erinevused suurustes on 
määratud arvu   kordsetega. 
Päriselus ja füüsikas teeme arvutusi kümnendsüsteemis. Loomulikud suurusjärgud 
on ühelised, kümnelised, sajalised ehk siis kümnekordsed. Seega on mugav kasu-
tada ka logaritme alusel  .
Kui aga näiteks töötame kahendsüsteemis, on kõik arvud antud kahe astmete 
summana ehk oluline muutus toimub arvude kahega korrutamisel. Nii on ka loo-
mulik suurusjärk kaks ning loomulik logaritmimine käibki alusel kaks. Kuna arvutid 
teevad kõike kahendsüsteemis, tuleb ka logaritm alusel kaks ehk 
 esile just 
arvutitega tegelemisel.
Logaritmi alusel   nimetatakse naturaallogaritmiks ning teda tähistatakse vahel ka 
 asemel lihtsalt 
-ga. Nagu nimest võib aimata, on temaski midagi loo-
mulikku ja ilusat. 
Näiteks nägime juba, et sel juhul on tuletis kõige lihtsamas kujus:  . Arvust   oleme 
juba rääkinud nii ilusate arvude peatükis [lk 102] kui äsja eksponentsiaalfunktsiooni 
juures. Temaga on tore koostööd teha.
logaritmi tähendus arvutusajaloos
Logaritmid on ajalooliselt panustanud tublisti ka loodusteaduste ja eriti just astro-
noomia arengusse : nad võimaldasid juba enne arvutite leiutamist inimestel korru-
tada suuri ja keerulisi arve. 
Logaritmide abi oli nii määrav, et uhke astronoom ja matemaatik Laplace  oli omal 
ajal logaritmidest lausa joovastuses: „Imetlusväärne nõks, mis taandab mitme kuu 
296
töö vaid mõnele päevale, kahekordistades nõnda astronoomi elu ja hoides teda 
pikkade arvutustega kaasnevatest vigadest ja tülgastusest.” Kust see kõik tuleb?
Kõige motiveerivam on ilmselt veidi peast arvutada: 
Õudus! Mida küll teha sellise tehtega? Tänapäeval on muidugi väga lihtne: võtad 
pinginaabri kotist taskuarvuti või nutitelefoni ja arvutus saab pärast mitut ebaõn-
nestunud katset siiski tehtud. Võib ka pikalt ja kirjalikult korrutama hakata, aga see 
võtab mõistuspäratult aega ja pole ei põnev ega lõbus. 
logaritm
17. sajandil ei olnud astronoomidel veel taskuarvuteid, kuid nende arusaam lõbust 
polnud sugugi nii palju erinev: neilegi ei meeldinud  pikki  ja igavaid arvutusi teha. 
Ometigi oli taevakehade liikumises tihti vaja korrutada suuri ja kosmiliselt suuri 
arve. Appi tuli logaritm.
Kuidas logaritm siis arvutusi lihtsustas?
Logaritmi idee arvutuste lihtsustamisel peitub tema kuulsas  omaduses  teha kor-
rutamisest liitmine: 
.  Nii taandame korrutamise liitmi-
sele ja liita on ju määratult lihtsam.
Kuidas siis näiteks korrutada omavahel 
 ja 
? 
Võtame kõigepealt mõlemast arvust logaritmid alusel  , seejärel liidame need 
logaritmid kokku ning kasutame tulemust   astendamisel:
Kaks esimest tehet on muidugi võimalikud, kuna logaritmfunktsioon on igal alusel 
määratud kõikide positiivsete reaalarvude korral.
Tulemuse saamiseks piisaks nüüd ühest suurest tabelist. Esiteks peaks sealt saama 
piisava täpsusega järele vaadata arvude logaritme ehk kuidas neid esitada kümne 
astmena – näiteks 
 juures oleks kirjas 
 ning 
 juures 
.  
Teiseks peaks sealt leidma ka vastupidist teavet: iga arvu   jaoks astme 
 väär-
tuse – näiteks 
 koha peal oleks kirjas 
. Muidugi ei saaks tabelis olla lõp-
matult palju arve ja seega peaksid kõik arvud tabelis olema antud mingi teatava 
täpsusega, näiteks kolme või nelja komakohaga.
297
Nii võiksime oma arvutuse teha väga kiirelt. Alustuseks leiaksime tabelist arvud 
  ja 
, siis liidaksime nad, et saada 
, ning viimaks vaataksime 
tabelist järele arvu 
  väärtuse: 
 Kuna päris vastus on 
, näeme, et meie täpsus on nõnda üsna talutav.
Muidugi pidid logaritmitabelid olema kavalalt kokku pandud, et sinna mahutada 
võimalikult palju arve. Võid ise näha, kui pikaks läheks tabel, kui lihtsalt laduda ühte 
ritta arvud ja teise nende logaritmid:
logaritm
Ülemisel real oleme edasi liikunud seitsme lahtriga ainult 0,006 võrra! Joonisel asuv 
tabel on küll tõesti avatud hoopis teiselt kohalt ja on ka hoopis teisel alusel, aga see 
suurt ei muuda. Muuseas, võibolla nuputad välja, mis aluse jaoks see tabel on?
Siiski on ka suurtest arvutabelitest vaatlemine ja ise kokku liitmine tüütu ning 
peatselt peale logaritmi leiutamist tuldi lagedale veel kavalama idee ja riistapuuga. 
Selle nimeks on lükati ja teda kasutati veel 20. sajandi keskpaigaski, niikaua kui 
taskuarvutid ta välja puksisid.
Korrutamist lihtsustaval lükatil on arvud paigutatud kavalalt, logaritmskaalalisel 
kaugusel ja nii võib korrutamistehtega ühele poole saada lihtsalt lükati ülemist 
hooba alumise suhtes liigutades. Näiteks antud joonisel on omavahel korrutatud   
ja  . Suure täpsuse jaoks joonistati skaaladki ülitäpsed. Räägitakse, et observatoo-
riumites kasutati tähtsamateks arvutusteks mitmemeetriseid lükateid ning skaala-
sid uuriti samal ajal mikroskoobiga.
298
logaritmiline skaala
Kui  soovime  mingeid  andmeid  graafiliselt  kujutada,  ei  olegi  arvtelgedel  tavalise 
skaala kasutamine alati parim valik. Tavalise ehk lineaarse skaala all peame siis sil-
mas seda, et ühikud vertikaalteljel muutuvad ühtlaselt, nagu näiteks eelmises pea-
tükis transistorite arvu tutvustaval graafikul:
logaritm
Kuigi kõik nägi väga kena välja, on suurem osa protsessoritest tegelikult üsna eris-
tamatult nulljoone külje all. Probleem on selles, et ettetulevad suurused erinevad 
mitu suurusjärku ja lineaarne skaala jääb lihtsalt liiga kitsaks . Mingis mõttes toi-
mus transistorite arvu areng mitte liitmise, vaid korrutamise teel. Seda saab ka 
graafiliselt kujutada, võttes appi arvude kujutamise logaritmilisel skaalal. Sel juhul 
tähendab iga ühikuline samm vertikaalteljel tervet suurusjärgu muutumist – jällegi 
liitmise asemel korrutame.
Näiteks kasutades transistorite arvu esitamiseks logaritmilist skaalat , on pilt palju 
ilusam ja ülevaatlikum :
299
Logaritmiliseks nimetatakse seda skaalat seetõttu, et logaritmimise suhtes muutu-
vad vertikaaltelje ühikud jällegi ühtlaselt, nagu kombeks. Tõepoolest, meenutades 
kümnendlogaritmi tähistust, võime vertikaaltelje skaala ümber tõlkida järgmise 
tabeli abil:
logaritm
maavärinad
Logaritmilised skaalad on kasutusel ka paljude nähtuste hindamiseks, mis võivad 
esineda väga erinevates suurusjärkudes.
Ka maavärinate tugevust mõõdetakse logaritmilisel skaalal. Seda skaalat kutsu-
takse pidulikult tema kasutusele võtja järgi Richteri skaalaks. Lihtsustatult näitab 
maavärina tugevus Richteri skaalal, kui mitu suurusjärku võimsam on värinaga 
kaasnenud maakoore võnkumine maakoore tavapärasest võnkumisest. 
Kuna Richteri skaala kasutab kümnendlogaritmi, tähendab iga lisapall tegelikult   
korda suuremat maavärinat.
Väikseid maavärinaid on päris palju: maavärinaid, mille suurus on   kuni   palli, juh-
tub üle 
 korra aastas. Neid maavärinaid on nõrgalt tunda, aga õnneks need 
tavaliselt purustusi ei tekita. Maavärinad, mis on 
 korda suuremad ehk   kuni 
 palli, on nõrgematele majadele hävitava jõuga sadade kilomeetrite raadiuses ja 
neid juhtub maakeral keskmiselt iga kolme päeva tagant. Üle   palli maavärinaid 
juhtub paar korda sajandis ning nende läheduses ei jää enam püsti ükski maja.
Suurim maavärin, mille tugevust on mõõdetud, juhtus Tšiilis 1960. aastal. Tema 
võimsuseks oli lausa   palli – seega oli ta isegi purustavatest  - kuni  -pallistest 
maavärinatest veel 
 korda võimsam. Selle asemel, et õudustele mõelda, 
mõtle hoopis, kui seda kõike peaks kirjeldama lineaarse skaalaga –   palli asemel 
peaksime näiteks kasutama arvu 
. 
300
kuidas paigutada punkte arvteljele?
Joonista endale arvtelg . Pane kuskile kirja nullpunkt ja kuskile punkt 
. Kuhu pai-
gutaksid arvu  ?
logaritm
Koolitunnis kasutame arvteljel peaaegu alati lineaarset skaalat: kui arvude vahed 
on võrdsed, on võrdsed ka nendevahelised kaugused arvteljel. Seda mõttelaadi jär-
gides peaksid arvu   paigutama viiendikule   ja 
 vahelisest kaugusest.
Selgub siiski, et see ei olegi võibolla meile kõige loomuomasem valik. Näiteks on 
leitud, et esimese klassi juntsud paigutavad arvu   arvteljel palju kaugemale kui 
meie. Umbes siia:
Leidmaks selle paigutuse tagant mingit loogikat, paluti lastel arvteljele seada ka 
paljusid teisi arve. Selgus, et üldine  komme on jätta väiksematele arvudele roh-
kem ruumi kui suurematele. Täpsem uurimine näitas, et arvteljel kasutatud kaugus 
sõltub arvu enda suurusest logaritmiliselt ehk teisisõnu lapsed kasutasid arvteljel 
hoopis logaritmilist skaalat!
301
Seda valikut saab võibolla ka natuke intuitiivselt selgitada. Nimelt tundub ju, et 
arvude   ja   erinevus on vähem tähtis kui arvude   ja   erinevus. Mõõtes arvude 
vahet mitte absoluutselt, vaid suhteliselt, on see tunne ka igati täpne:   on   -st 
umbes 
 korda suurem, aga   arvust   tervel   korda suurem. Selline suhtelise 
erinevuse kasutamine tookski näiteks endaga kaasa logaritmilise skaala. 
Kuidas joonistada logaritmilist skaalat?
logaritm
Oleme üritanud selgitada, et logaritmiline skaala on kasulik, laialt kasutatav ja tore. 
Aga kuidas seda ise joonistada? Kõige lihtsam on muidugi anda ülesanne mõnele 
andmetöötlusprogrammile – ütled neile logaritmiline skaala ja ongi valmis.
Järgnevalt mõtiskleme, kuidas seda käsitsi teha, ja selle jaoks vaatleme näiteks 
võrdlevalt Eesti linnade suurust.
Kas  saaksime  kuidagi  ühele  graafikule  kanda  nii  Eesti  kõige  rohkem  kui  kõige 
vähem rahvastatud linnad? Nende linnade rahvaarv varieerub tuhandest inimesest 
kuni peaaegu poole miljonini: Tallinn 
, Tartu 
, Kallaste  
 ning 
Mõisaküla 
. 
Tavaline, lineaarne skaala meid jällegi väga ei aita. Kuna vertikaalteljel on ühtlane 
samm, siis mahuvad pildile kas ainult väikesed linnad või mahub Tallinn ja väikse-
maid linnu polegi näha. Tuhandese sammu korral peaksime ju liikuma 400 ühikut 
ülespoole, et ka Tallinna leida!
Nagu ennist juba rääkisime, peaks logaritmiline skaala seda olukorda parandama, 
sest seal tähendab iga samm ülespoole hoopis korrutamist. 
Logaritmilise skaala joonistamiseks peame esmalt fikseerima sammu suuruse ehk 
mis arvuga me ülespoole liikudes korrutame.  Populaarsed   valikud  on   ja  , aga 
täpne valik sõltub eelkõige kontekstist – mis suurusjärkudes tegelikult suuruseid 
võrrelda tahame. Praegu võtamegi selleks suhtarvuks kümne.
302
Nüüd hakkame vertikaaltelje samme nimetama   astmete abil, iga edasine samm 
tähendab kümnega korrutamist. Kuskilt tuleb alustada ja linna rahvastiku kok-
kulöömisel võime alustada näiteks arvust 
. Järgmine samm vertikaalteljel 
viiks rahvaarvu   korda suuremaks , seega järgmise joone juurde kirjutame juba  
. Veel üks ühik edasi tähendaks juba arvu 
 ja nii edasi, iga sammuga ikka 
kümme korda suuremaks. Kõnealusel juhul, kuna üheski linnas pole rohkem kui 
miljon elanikku, jätkame veel neli sammu, kuni miljonini välja. Saame järgneva 
graafiku: 
logaritm
Kui nüüd lisame suurimate ja väikseimate linnade rahvaarvu kujutavad tulbad, siis 
näeme hoopis ilusamat pilti. Samale graafikule mahuvad nii suurimad kui väiksei-
mad linnad:
Niisiis, logaritmiline graafik ei ole sugugi keerulisem kui tavaline graafik, ent mõni-
kord palju ülevaatlikum. Vertikaalsel teljel tuleb siis liitmise asemel lihtsalt korru-
tada.
303
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
304
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
 osa 7
funktsioonidega 
mängimine
305
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
306
  pidevus
  ja
Jumal ei hooli meie matemaatilistest raskustest. 
äärtus
Ta integreerib katseliselt.  
piirv
Albert Einstein
307
Piirväärtus ja Pidevus
  pidevus
  ja
Piirväärtustest räägitakse kooliprogrammis eelkõige jadade ja funktsioonide puhul.
äärtus
Näiteks jada 
 liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja lähenevad hoogsalt 
piirv
nullile. Tõepoolest: 
, 
, 
, 
, ...
Sellisel juhul tundub mõistlik rääkida ka sellest, mis juhtub siis, kui jada liikmed 
otsa lõpevad. Mingis mõttes tahame rääkida jada „lõpmatult kaugest” liikmest. 
Tema väärtus konkreetsel juhul peakski olema null. 
Jada piirväärtuse mõiste annab sellisele „lõpmatu kaugele” liikmele täpse tähen-
duse, aitab kindlaks teha, millal ta eksisteerib, ning leida tema väärtuse. 
Ka funktsioonide korral võime rääkida väärtustest, mis jäävad lõpmatult kaugele 
– näiteks funktsiooni 
 piirväärtus, minnes lõpmatult kaugele, on analoog-
selt jada näitega null.
Funktsioonide korral on piirväärtustel siiski ka teine, ilustav roll. 
Vaatame näiteks funktsiooni 
. Kui   on ühest erinev, võime nimetaja ja 
lugeja 
-ga läbi jagada. Saame, et iga ühest erineva arvu korral on meie funkt-
sioon võrdne sirgega 
. Kohal   me funktsiooni väärtust aga välja arvu-
tada ei tohi – nulliga ju jagada ei saa. 
Ometigi, joonistades funktsiooni 
  graafiku  kõikide  ühest  erinevate 
argumendi   väärtuste jaoks, näeme, et valides argumendi väärtuseid järjest lähe-
mal ühele, läheneb 
 väärtus ühtlaselt kahele. 
308
Näiteks 
, 
, 
, 
Seda demonstreerib ka kenasti  funktsiooni graafik:
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
Nii tundub, et funktsiooni 
 loomulik väärtus kohal üks peaks olema 
täpselt kaks. 
Piirväärtus annabki funktsioonide korral sellisele loomulikule augutäitmisele täpse 
tähenduse. 
Kokkuvõttes võib öelda, et piirprotsessid aitavad meil aru saada ja kindlaks määrata, 
mis juhtub seal, kuhu meil pole lubatud vaadata või kuhu me ei  ulatu vaatama.
309
jada Piirväärtus
Tuletame meelde, et märgiga   tähistavad matemaatikud lõpmatust – midagi, mis 
  pidevus
on suurem kui ükski teine reaalarv. Nii on mõistlik jada piirväärtust ehk tema lõp-
  ja
matu kauget liiget tähistada: 
äärtus
Kirjutame igaks juhuks veel kord välja ka tõlgenduse: 
 tähendab, 
et jada liikmete väärtused hakkavad mingist hetkest alates järjest enam lähenema 
piirv
väärtusele  , kusjuures jada väga kaugetel liikmetel ja arvul   on pea võimatu 
vahet teha. Matemaatikutele meeldib seda sõnastada öeldes, et jada   koondub 
väärtusesse   või et jada   piirväärtus on  .
Näiteks on jadade 
   või   
 
piirväärtuseks null: mõlema jada liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja nullile 
lähemale.
Räägitakse ka sellest, et jada koondub lõpmatusse – sel juhul mõeldakse, et jada 
liikmed muutuvad mingist hetkest järjest suuremaks ja nende suurusel pole ühtegi 
tõket ning tähistatakse
Näiteks on jada 
 või ka jada 
 piirväärtuseks lõpmatus .
Tegelikult ei ole sugugi selge, millal me üldse piirväärtusest täpselt rääkida tohime. 
Millised on tingimused  selleks, et jada piirväärtus eksisteeriks?
310
millal Piirväärtus eksisteerib?
Seni oleme rääkinud, mida piirväärtus  vaistlikult tähendab ning kuidas temast 
mõtelda, kuid oleme hoidunud rangest matemaatilisest definitsioonist. 
  pidevus
Matemaatiliselt range definitsiooni kirjapanek ei ole küll hirmraske, kuid vajab tea-
  ja
tavat täpsust ja tähelepanu – selleni jõuti alles 19. sajandil, just siis, kui romantism  
nõudis tundetäpsust. 
äärtus
Järgnevalt üritamegi jada näitel vastata küsimusele: millal oleks mõistlik öelda, et 
piirväärtus eksisteerib, ning kuidas seda täpselt matemaatiliselt defineerida? Siin-
piirv
kohal vaatame ainult juhtu, kus piirväärtus on lõplik.
Mõtleme korra veel sissejuhatuses toodud jadale 
, mille piirväärtus oli 0. 
Tundub, et esimene mõistlik nõue piirväärtuse leidumiseks on see, kui võime jõuda 
teatud väärtusele nii lähedale, kui süda lustib.
Ainult sellest siiski ei piisa, sest näiteks jada 
  korral jõuame argu-
mendi   suurenemisel lähedale nii väärtustele   kui ka  .
Kuna pendeldame nende kahe arvu lähedal, ei tundu mõistlik defineerida piirväär-
tust. Tahaksime piirprotsessides näha ikka teatavat eelistust!
Seega nõuame lisaks sellele, et jada väärtused jõuaksid mõnele arvule väga lähe-
dale , ka seda, et nad jääksid sinna lähedale püsima. Selgub, et nendest kahest tin-
gimusest juba täiesti piisab.
Jada   piirväärtuseks saame lugeda arvu   parasjagu siis, kui võime alati leida 
mõne jadaliikme   
•  mis on arvule   nii lähedal, kui vähegi soovime,
•  ja millele järgnevad jadaliikmed on  -le vähemalt sama  
lähedal. 
311
Graafiliselt võime mõelda sellest nii.
Tõmbame väärtuse   ümber kaks horisontaalset sirget. Jada koondub väärtusesse 
 parajasti siis, kui olenemata sellest, kui lähedale  -le need sirged tõmbasime, 
on kõik jada liikmed mingist hetkest alates ikkagi nende kahe sirge vahel. Näiteks 
  pidevus
meie esimesel jadal on see omadus kindlasti olemas.
  ja
äärtus
piirv
Kui tõmbaksime jooned nullile palju lähemale, näiteks kaugusele 0,001, siis peak -
sime ootama 
 liiget, enne kui jõuaksime jadaga kahe joone vahele. Kui aga 
, siis 
 liiget. Igal juhul jõuame alati kahe joone vahele ja selle 
pärast ütlemegi, et jada piirväärtus on  . 
Fanaatikutele anname ka matemaatilise kirjelduse, aga ärge peljake – esimest 
korda nähes peab igaüks seda lauset mitu korda lugema:
 parajasti siis, kui iga positiivse arvu   jaoks saame leida mõne natu-
raalarvu   nii, et iga  -ist suurema naturaalarvu   korral kehtib 
. 
Tegelikult oleme muidugi lihtsalt ümber sõnastanud geomeetrilise mõtte – R 
tähendab siin seda, kui kaugele arvust   sirged tõmbasime, ning N tähistab seda 
hetke, millest alates kõik jada väärtused nende sirgete vahele jäävad.
Võib tekkida küsimus: miks sellist keerulist matemaatilist kirjeldust üldse vaja on? 
Esiteks on punktides üks ja kaks toodud intuitiivsetel kirjeldustel endiselt veel palju 
tõlgendamisvabadust ning seega ei sobi need hästi matemaatika tegemiseks.  
Teiseks teeb esialgne keeruline definitsioon pärast elu lihtsamaks. Selline lühike 
kirjeldus aitab kiiresti, graafikuid joonistamata, otsustada, kas jadal leidub piirväär-
tus ja mis ta parasjagu on. 
312
funktsiooni Piirväärtus
Funktsiooni 
 piirväärtust kohal   tähistatakse väga sarnaselt jadadega:
  pidevus
  ja
Piirväärtuse tõlgenduski on analoogne. Toodud kirjeldus tähendab, et kui funkt-
siooni argumendi   väärtus läheneb väärtusele  , siis funktsiooni 
 väärtus 
 
läheneb järjest väärtusele  . Vahel öeldakse ka, et funktsioon 
 koondub kohal 
äärtus
 väärtusesse   või et funktsiooni 
 piirväärtus kohal   on  .
piirv
Mõnikord on funktsiooni piirväärtuse leidmine päris lihtne. Näiteks ruutfunktsiooni 
 korral on igas punktis piirväärtus võrdne funktsiooni enda väärtusega. Näi-
teks kohal   on tema piirväärtus seega  . See tuleneb lihtsalt sellest, et ruutfunkt-
sioon on kena pidev funktsioon – tema graafikut võib joonistada pastakat paberilt 
tõstmata.
Ent funktsiooni 
 piirväärtus kohal   puudub, sest nulli lähedal võtab funkt-
sioon nii väga suuri positiivseid kui negatiivseid väärtusi ning jällegi ei suuda me 
otsustada, mida täpselt siis ikkagi piirväärtuseks valima peaks. 
313
Samas funktsiooni 
 piirväärtus kohal   on lõpmatus. 
Siin oleme otsustusvaevast pääsenud, mõlemal pool nulli muutub funktsiooni väär-
tus aina suuremaks. Matemaatika keeles võiks kirjutada:
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
Muidugi võib ka funktsioonide piirväärtuse olemasolu üle mõtiskleda veel pike-
maltki.
Millal leidub funktsioonil piirväärtus?
Nagu nägime, pole seekordki sugugi selge, millistel funktsioonidel ja millistel koh-
tadel leidub piirväärtus. Tuleb välja, et ranged tingimused piirväärtuse leidumiseks 
on umbes sarnased kui jadade korral. Erinevus on vaid selles, et seekord ei vaata me 
järjest suuremaid jada liikmeid, vaid järjest sarnasemaid funktsiooni argumente.
Sellest on kõige lihtsam ilmselt mõelda jällegi geomeetriliselt.
Oletame, et tahame teada, kas funktsiooni 
 piirväärtus kohal   on  . Tõm-
bame nagu jadadegi puhul väärtuse   ümber alt ja ülevalt tõkestavate sirgjoonte 
paari. Kui nüüd olenemata valitud sirgjoontest võime alati leida argumendi   
ümber vahemiku, mille jaoks 
 graafik jääb nende sirgjoonte vahele, siis ongi 
 piirväärtus kohal   võrdne  -ga. 
Näiteks eelmise funktsiooni 
 piirväärtus kohal lõpmatus on null ehk
314
sest me saame nulli ümber tõmmata kaks horisontaalset sirget ning võime kindlad 
olla, et piisavalt suure sisendi korral jääb funktsiooni väärtus kindlasti nende joonte 
vahele. 
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
Muuseas, on võibolla natuke üllatav, aga see tingimus jätab vabaks ka järgmise 
võimaluse: funktsioonil leidub küll mingil kohal kindel väärtus, aga piirväärtust 
seal pole. Näiteks võib vaadata funktsiooni, mis võtab väärtuseks miinus ühe, 
kui sisendarv on negatiivne; pluss ühe, kui sisendarv on positiivne, ning nulli, kui  
sisendarv on null. Mis peaks olema selle funktsiooni piirväärtus kohal null?
Piirväärtuse tähtsus matemaatikas
Funktsiooni piirväärtus võib esmapilgul tunduda ehk tühi-tähi, justkui ainult mingi 
augutäide. Üllatavalt on tema roll funktsioonide uurimisel väga märkimisväärne. 
Miks?
315
Esiteks aitab piirväärtus rangelt kirja panna matemaatilisi mõisteid, mis räägivad 
„lõpmatult väikesest“.  Näiteks on piirväärtuste abil defineeritud tuletis – funkt-
siooni muutumise hetkekiirus. Võime mõelda, et tegemist on keskmise kiirusega 
lõpmatult väikese ajavahemiku jooksul. 
  pidevus
Samamoodi  on  piirväärtuste  abil  defineeritud  integraal  [lk  340],  millest  võime 
  ja
mõelda kui kõverkujundi pindalast ja mille võime arvutada lõpmatult väikeste  rist -
külikute pindalade kokkuliitmisel. 
äärtus
Põnevust lisab ka see, et saame piirväärtuse abil defineerida ka näiteks arvud   ja   
ning veel teisigi põnevaid arve [lk 96]. Muuseas,   defineerimisel on seejuures piir-
piirv
protsess oma olemuselt geomeetriline: vaatame, kuidas korrapärased hulknurgad 
järjest enam ringjoonega sarnanema hakkavad. Tegelikult osutuvadki oluliseks 
mitte ainult arvulised, vaid ka geomeetrilised piirprotsessid.
Õigupoolest võib ka reaalarvude hulga kokku panna ratsionaalarvudest ja hästi vali-
tud piirväärtustest: näiteks arvu   koondub jada 
, 
kus võtame lihtsalt appi järjest rohkem   komakohti.
Piirväärtusi kasutades saame lisaks irratsionaalarvude leidmisele nendega ka teh-
teid tegema hakata. Nimelt selgub, et kui piirväärtused eksisteerivad ja on lõpliku 
suurusega, saab neid väga kenasti liita ja korrutada.
Näiteks kui soovime leida funktsioonide   ja   summa 
 piirväärtust kohal  ,  
siis võime 
•  esmalt leida piirväärtuse funktsioonile   kohal   – vastuseks  ,
•  seejärel piirväärtuse funktsioonile   kohal   – vastuseks  ,
•  viimaks saadud piirväärtused kokku liita – lõppvastuseks  . 
Matemaatiliselt kirjutaksime:
Selle reegli kasutamisel peab siiski ettevaatlik olema: tuleb alati kontrollida, et 
mõlema liidetava piirväärtused üksipäini eksisteerivad.  Samasugune reegel kehtib 
ka korrutamise jaoks, kusjuures peab olema samavõrra ettevaatlik.
316
Piirväärtuse kõige suurem sõber on aga pidevuse mõiste.
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
funktsiooni Pidevus
Intuitiivselt on funktsioon pidev siis, kui võime tema graafiku joonistada pliiatsit 
paberilt tõstmata. Aga kas saaksime ka kuidagi graafikut joonistamata teada, kas 
funktsioon on pidev?
Selle jaoks peame üritame aru saada, mida ikkagi tähendab, et me ei pea pliiatsit 
paberilt tõstma . 
Oletame, et oleme joonistanud juba funktsiooni piirkonnas näiteks nullist peaaegu 
kolmeni  ja  tahame  nüüd  graafikut  edasi  päris  argumendi  kolm  väärtuseni  välja 
tõmmata. Selle jaoks, et saaksime kolmele vastava punkti joonistatud pliiatsit 
paberilt tõstmata, peame tema väärtusele olema pliiatsi otsaga jõudnud juba väga 
lähedale, võiks isegi öelda „lõpmatult lähedale”. 
317
Vahele ei või jääda kõige miniatuursematki auku  – muidu peaksime pliiatsiga ju 
teatava hüppe tegema: 
  pidevus
  ja
äärtus
piirv
Toodud kirjelduses võib ära tunda jälle idee koondumisest – uurime, kuidas funkt-
siooni väärtused muutuvad, kui jõuame argumendile   järjest lähemale. Ja tõepoo-
lest, funktsiooni pidevust saab rangelt kirja panna just piirväärtuste abil.
Funktsiooni pidevusest räägitakse alguses lokaalselt, ühe valitud punkti ümbruses. 
Funktsiooni nimetatakse mingil kohal pidevaks, kui selles punktis eksisteerib funkt-
sioonil piirväärtus ning see piirväärtus on sama, mis funktsiooni enda väärtus. 
Mõned sõnad võime matemaatilisemaks ja kompaktsemaks esitamiseks asendada 
ka sümbolitega.
Funktsioon 
 on pidev kohal  , kui leidub piirväärtus 
 ning ta on 
võrdne funktsiooni väärtusega kohal 
. 
Näiteks 
 on pidev kohal  , sest
ning samas
Muidugi ei ole see kellelegi uudiseks, sest teame, et ruutfunktsiooni graafikut võib 
joonistada ühe kiire pliiatsitõmbega, isegi märkamata, kuidas kohast     möödume.
Ruutfunktsioon on pidev kogu reaalteljel ning üldisemalt nimetatakse selliseid 
funktsioone, mis on pidevad kõikides oma määramispiirkonna punktides, pideva-
teks funktsioonideks.
Kõik eelmises peatükis nähtud funktsioonid – eksponentsiaalfunktsioon, logaritm 
ja polünoomid – on pidevad. Samuti on pidevad trigonomeetrilised funktsioonid. 
Võib küll mõelda, et  tangensfunktsioon teeb ju kummalise hüppe, aga see hüpe ei 
kuulu tema määramispiirkonda.
318
Võib mõelda, et pidevus lisab funktsioonidele teataval määral regulaarsust, kor-
rapära ja muudab neid seega lihtsamaks: nimelt ei saa pidev funktsioon hüppeid 
teha, funktsiooni väärtust igal kohal on võimalik ennustada teda ümbritsevate 
väärtuste abil.
  pidevus
Siiski võib ka pidev funktsioon välja näha väga hüplik ja näiteks leidub pidevaid 
  ja
funktsioone, millel ei leidu üheski kohas tuletist [lk 320] – neile ei saa üheski  punk -
tis tõmmata puutujajoont! See avastati alles 19. sajandi lõpus ning nii mõnigi tähtis 
matemaatik nimetas selliseid funktsioone peletisteks.
äärtus
piirv
Pidevuse trikk : funktsioonist ratsionaalarvude 
funktsioonini reaalarvudel*
Pidevast funktsioonist võime rääkida ka ratsionaalarvuliste funktsioonide korral: 
sel juhul on lihtsalt kõik piirprotsessid defineeritud ainult ratsionaalarvude hulgal.
Näiteks arvude puhul defineerisime arvu astme ainult ratsionaalarvuliste astenda-
jate korral ja tulemuseks oli pidev funktsioon ratsionaalarvudel [lk 110]. 
Üldiselt on pideva ratsionaalarvulise funktsiooni laiendamiseks reaalarvudele väga 
palju võimalusi. Võime ju iga lubatud irratsionaalarvu jaoks valida mingi suvalise 
funktsiooni väärtuse. 
Näiteks oleks täiesti lubatud funktsioon, mis igale ratsionaalarvule seab vastuseks 
iseenda ning igale irratsionaalarvule hoopis nulli. See poleks küll eriti kena masin, 
aga igati lubatud.
Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks 
täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil. 
See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist  ratsionaal - 
arvudel ning alles lõpus pidevuse abil reaalarvudele üle minna. Näiteks saime täp-
selt selle triki abil laiendada astendamise ilusaks pidevaks eksponentsiaalfunkt-
siooniks [lk 280]. Täpselt sama meetod aitab meid veel ka näiteks ristküliku pind- 
alade defineerimisel tükeldamise meetodil [lk 362].
319
tuletis
tuletis
Rahvaarv on riigi seisukohalt tähtis näitaja – ta mõõdab mõne rahva suurust ja 
vägevust, meie puhul küll vist pigem väiksust ja haavatavust.  Siin on viimase poole 
sajandi Eesti rahvaarvu graafik:
Rahvaarvu suurus määrab selle, kui palju riik makse koguda saab ja kui paljude 
kodanike eest on vaja hoolt kanda. Nii ei piisa meile lihtsalt rahvaarvu teadmisest, 
vaid tuleb ka aru saada, kuidas rahvaarv muutub.
Kas pole põnev, kuidas rahvastiku kasvamise üleminek kahanemiseks langeb kokku 
Eesti riigi taastekkimisega? Või see, et kuigi nüüdseks on rahvastiku kahanemine 
aeglustunud, pole kasv siiski veel taastunud? Veel näeme, et 1970-ndate alguses 
paistab kasv olevat olnud kõige kiirem. Miks just siis? 
Rahvastiku muutumisest parema ülevaate saamiseks oleks kaval joonistada rahva- 
arvu  muutumise  graafik.  Kui  soovime  näha,  kui  mitme  inimese  võrra  rahvaarv 
aasta jooksul muutus, siis võiksime iga aasta rahvaarvust lahutada eelneva aasta 
rahvaarvu. 
320
Kui teeme seda iga aasta kohta ja tõmbame saadud punktidest läbi ilusa joone, 
saame sellise graafiku:
tuletis
See  graafik  ongi  juba  peaaegu  rahvaarvu  kirjeldava  funktsiooni  tuletise  graafik! 
Tuletis annab meile ühe funktsiooni muutumise kiiruse igas punktis, täpsem  defi -
nitsioon on küll pisut keerukam. 
Lisakeerukus tuleneb sellest, et rahvaarvu puhul peame muutumise kiiruse leidma 
mingite   ajavahemike abil, nagu aasta või kuu või nädal – liiga lühikeses ajavahe -
mikus (näiteks üks nanosekund) ei juhtu ju tihti midagi. Lisaks peame valima, kas 
vaatame muutust lähitulevikus või lähiminevikus. Matemaatikas juhtub aga kogu 
aeg midagi ja nii kirjeldab tuletis funktsiooni väärtuse hetkelist muutumise kiirust –  
muutumist, mis toimub kiiremini kui mistahes nano - või pikosekund ja seda nii 
mineviku kui tuleviku suunal. 
Käesolevas peatükis uurimegi, kuidas sellest hetkekiirusest siis ikkagi mõtelda ja 
kuidas teda etteantud funktsioonide jaoks ka leida.
tuletise definitsioon
Tuletis on ajast sõltuva funktsiooni jaoks justkui spidomeeter – iga ajahetke kohta 
näitab ta funktsiooni muutumise hetkekiirust. Aga kuidas leida spidomeetri näitu, 
kui teada on ainult läbitud tee pikkus?
Vastates  sellele  küsimusele  jõuame  ka  tuletise  range  definitsioonini,  kõike  seda 
ühe talvise loo saatel.
321
talvine lugu
Kujutle , et oled metsa vahel suusatades jõudnud kõrgele  mäe otsa ning võid nüüd 
hakata vabakäigul alla kihutama. Sind huvitab väga, kui suur on Su kiirus näiteks 
kümnendaks sekundiks. Kuidas võiksid seda hinnata?
tuletis
Üks võimalus oleks lihtsalt mõõta, kui kaugele oled kümnendaks sekundiks jõud-
nud ning kaua see aega on võtnud. Jagades tee pikkuse ajaga, võiksid leida esimese 
kümne sekundi keskmise kiiruse ning selle abil oma kiirust ka kümnendal sekundil 
hinnata. Kogemuse põhjal aga teame, et kiirus kasvab päris hoogsalt ning ilmselt 
see poleks eriti hea hinnang. 
Täpsema hinnangu saaksid aga näiteks siis, kui teaksid, kui kaugele oled jõudnud 
ka viiendaks sekundiks. Võiksid oma kümnenda sekundi kiirust hinnata vahemikus 
viiendast kümnenda sekundini toimunud laskumise keskmise kiirusena. Kui aga 
teaksid, kaugele oled jõudnud üheksandaks sekundiks, võiksid vaadata, palju läbi-
sid veel viimasel sekundil, ning vastus oleks veelgi täpsem. Ja nii edasi – kui teak-
sid oma läbitud tee pikkust 
-ndal sekundil, oleks Su vastus juba peaaegu sama 
täpne nagu GPS-il. GPS-gi peab ju kiiruse kuidagi arvutama !
Leitud kiirus läheb järjest lühemat ajavahemikku kasutades aina täpsemaks, 
ent mis on see täpne vastus? Täpse vastuse nimi ongi tuletis ehk hetkekiirus. Kui 
tahame teda leida, peame keskmise kiiruse leidma järjest väiksemate vahemike 
jaoks ning lootma , et lõpuks koorub välja üks kindel vastus. 
Sellist järjest väiksemate vahemike  uurimist nägime eelmises peatükis piirprot-
sesside all. Tuletis ongi määratud piirprotsessiga [lk 313]: tuletis teatud hetkel on 
võrdne keskmise kiiruse piirväärtusega, kui uuritava ajavahemiku pikkus muutub 
olematult väikeseks . Matemaatilistes sümbolites tähendab see järgmist:
konkreetne näide
Praktikas on küll hetkekiiruse leidmine võimalik ainult juhul, kui oma liikumist juba 
kuidagi matemaatiliselt kirjeldame – on ju võimatu, et leiame tee pikkuse iga nano-
sekundi tagant. Ise mõõtes jääme alati lähendusteni.
322
Täpsuseni aitab meid aga näiteks füüsika. Mäest alla sõitu võime füüsikatunni tar-
kuse abil lihtsalt matemaatiliselt kirjeldada. Nimelt kui kallak on ühtlase nurga all, 
kui hõõrdejõu, liikumisele vastu võitleva tuulejõu ja muu tühja-tähja ära unustame  
ning kui alustad mäe otsast nullkiirusega, siis on laskumisel läbitud tee pikkus  
antud ruutfunktsiooniga ajast: kujus 
Konstant   peaks olema konkreetne reaalarv, mis sõltub gravitatsioonikonstandist 
ja kaldenurgast, aga lihtsuse huvides ütleme, et valisid kõige ilusama mäe siin maa-
tuletis
ilmas ning 
. Sel juhul saame läbitud tee pikkuse funktsiooniks 
 ehk näi-
teks   sekundit pärast laskumise algust oled jõudnud 
 meetri kaugusele.
Selle valemi põhjal võime nüüd kergesti leida ka oma hetkekiiruse. Kusjuures enam 
ei ole vahet, kas teeme seda ainult   sekundi või iga üldise ajahetke   jaoks. Lühi-
kese ajavahemiku pikkust kirjeldame sümboliga  , aga nagu ikka on see kokku-
leppeline.
Teame, et suvalisel ajahetkel   oleme jõudnud   meetri kaugusele.
323
Ajahetkeks 
 oleme samas jõudnud 
 kaugusele:
tuletis
Nüüd on meil olemas kõik keskmise kiiruse leidmiseks ajavahemikus  
 kuni  :
Edasi võime saadud valemit pisut lihtsustada. Korrutades ruudus oleva liikme lahti, 
koondades sarnased liikmed ning taandades murru, saame järgmise hinnangu: 
Märkame, et ajavahemiku pikkus   mõjutab üsna selgelt meie kiiruse hinnangut . 
Samas, kui muudame selle ajavahemiku järjest väikesemaks, kahaneb tema mõju 
järjepanu. Viimaks on ta nullist päris eristamatu ning alles jääbki ainult  . Järelikult 
funktsiooni   muutumise hetkekiirus ehk tuletis suvalisel hetkel   on 
 
Seega meie füüsikalise kirjelduse põhjal suureneb sellest ideaalsest mäest alla las-
tes laskumiskiirus iga sekundi kohta   m/s võrra. Seega näiteks viiendal sekundil on 
kiiruseks   m/s ning kümnendal sekundil juba   m/s ehk üle   km/h – kui kiirust 
kardad, ära pikka laskumist ette võta.
324
matemaatiline definitsioon
Matemaatikud ei viitsi muidugi iga kord nii pikalt sõnu seada ning seega on tuletise 
leidmine võimalik ka lihtsalt mõne rea sümbolitega. Visates tee pikkuse ja aja ase-
mele ka tavapärasema funktsiooni nime   ning argumendi  , saame funktsiooni 
. Võime esmalt uhkelt välja kuulutada järgmist.
tuletis
Funktsiooni 
 tuletis kohal   on defineeritud kui:
Märkame, et kui lugulaulus defineerisime tuletise ühel kohal argumendist vasakule 
jäävate vahemike abil, siis nüüd nõuame muutumise vahemikult   ainult seda, et 
ta koonduks nulli. Ta võib olla nii positiivsete (tulevikku vaatav), negatiivsete (mine-
vikku vaatav) kui vaheldumisi väärtustega. Nagu hiljem näeme, on selline üldisus  
oluline, et võiksime tuletisest üheselt rääkida.
Eelneva arutluskäigu funktsiooni 
 tuletise leidmiseks võiks seetõttu kom-
paktselt kirja panna ka tulevikku vaatavalt:
Tore, et vastus on sama!
Igaks juhuks mainime, et tähistused 
 ja   tähendavad täpselt sama asja. Tihti 
tähistatakse reaalarvulisi funktsioone   abil, sest meile meeldib ju funktsiooni 
graafikuid joonistada x- ja y-telje abil. Sel juhul unustatakse tihti üldse märkida, 
et argumendiks on   – seda loetakse vaikimisi teadmiseks. Vahel nimetatakse 
funktsioone 
-ks, kuna   on ju  sõna funktsioon esimene täht. Siis märgitakse 
segaduse vältimiseks ka ära, et funktsiooni argumendiks on ikkagi just nimelt  .  
Märgi    võttis  tuletise  tähistamiseks  alles  18.  sajandi  lõpus  kasutusele  itaallane  
J. L. de  Lagrange .
325
tuletise geomeetriline tõlgendus
Funktsiooni tuletisest saab mõelda ka funktsiooni graafikule tõmmatud  puutuja -
sirgete abil. Nimelt on funktsiooni tuletis igas punktis võrdne seal punktis funkt-
siooni graafikut puudutava sirge tõusuga. 
tuletis
Miks see peaks nii olema? Keskmise kiiruse idee ise on juba seotud sirge tõmba-
misega: selle asemel, et uurida, kuidas tee pikkus detailselt muutub, võtame aja-
vahemiku otspunktid ning ühendame need sirgega. Selle sirge tõus on siis ka selle 
vahemiku keskmine kiirus. 
326
Tuletise leidmiseks teeme aga ajavahemiku lõpmatult väikeseks ehk teisisõnu 
muudame ajavahemiku ots- ja alguspunkti samaks: nii saab sirgest puutujasirge.
Vaatame näitena veel siinusfunktsiooni graafikut, mille abil saab kirjeldada palju-
sid perioodilisi protsesse, sealhulgas näiteks ka pendli liikumist [lk 236]. Tõmbame 
siinusfunktsiooni graafikule lahkesti erinevaid puutujasirgeid:
tuletis
Nende puutujasirgete tõusudest uut joonist tehes näeme, et see ei paista eelmi-
sest sugugi väga palju erinevat – ainult nihutamise võrra. Natukene mälus sobrades 
leiame, et saadud joonis sarnaneb väga koosinusfunktsiooni graafikule:
Tõepoolest, tulebki välja [lk 251], et siinusfunktsiooni tuletis on koosinusfunktsioon 
ning koosinusfunktsiooni tuletis omakorda horisontaalteljest peegeldatud sii-
nusfunktsioon. Seega on trigonomeetrilised funktsioonid üsna eraldihoidev pere.
327
ekstreemumid
Graafiline mõtteviis aitab ka aru saada sellest, miks tuletise nullkohad on nõnda 
olulised. Nimelt näeme, et tuletis on võrdne nulliga täpselt kohtades, kus puutuja- 
sirge on paralleelne  -teljega – ehk teisisõnu kohtades, kus funktsioonil on kogu 
oma ümbrusest suurem või väiksem väärtus. Selliseid kohti nimetatakse ekstree-
tuletis
mumiteks. Ekstreemumit, mis on mingil väiksel alal kõige suurema väärtusega, 
nimetatakse maksimumpunktiks ning madalamat punkti miinimumpunktiks.
Ekstreemumite uurimine on päris oluline, kuna tänapäeval on ikka kombeks kõike 
kas maksimeerida või minimeerida: majandusteadlased tahavad maksimeerida 
kasumit, vormeli-insenerid tippkiiruseid ja õpilased uneaega.
Kuidas see täpsemalt käib, räägime lahendades vägagi olulist probleemi näiteks 
tutipäevaks: mis nurga alt visata ratta seljast veepomme [lk 333]? Enne aga veel 
midagi pisut matemaatilisemat.
328
millal tuletis eksisteerib?
Sissejuhatuses rääkisime rahvaarvu muutumisest – see oli tuletise kontekstis pisut 
eksitav, kuna rahvaarvu täpselt kirjeldavale funktsioonile ei saagi igal pool tuletist 
leida. 
Nimelt, tegelikult ei ole ju rahvaarvu muutumine sugugi pidev protsess, vaid toi-
tuletis
mub konkreetsete juhtumite kaupa, keegi sünnib, keegi sureb . Nii meenutab  
rahvaarvu graafik sissesuumitult treppi:
Seega on piisavalt väikesel ajavahemikul rahvaarvu muutus alati kas null või abso-
luutväärtuselt vähemalt üks – just on keegi sündinud või surnud. Esimesel juhul 
on tuletis null ning teisel juhul hoopis defineerimata. Tõepoolest, kui muutu ei ole 
üheski suunas, on tuletis definitsiooni järgi null. Teisalt, kui muut on aga ükskõik 
kui väikese ajavahemiku jaoks fikseeritud, siis ju keskmine kiirus vahemiku vähe-
nedes aina kasvab või kahaneb ning jõuabki lõpmatusse. Kui see jäi segaseks, võib 
mõelda näiteks puutujasirgetele – hüppepunktis muutub ta ühe suunas hoopis ver-
tikaalseks ehk tõus saab lõpmata suureks või väikeseks:
329
Seega ei kanna tuletis rahvaarvu muutuse kohta tegelikkuses eriti mingit teavet. 
Teda ei saa isegi igal pool ilusasti defineerida ning peame rahvaarvu uurimisel kasu-
tama ebatäpsemaid hinnanguid, nagu tegime seda sissejuhatuses – peame  uurima  
muutust ühe aasta, ühe kuu või muu lõpliku ajavahemiku vältel.
Nii mõnelgi teisel funktsioonil ei saa osades kohtades tuletist leida ja tuleb välja, et 
leidub lausa funktsioone, mis on küll pidevad, aga kus ei saa üheski kohas tuletist 
tuletis
leida! Need on parajad  monstrumid  ning mõned neist meenutavad mõningal mää-
ral fraktaalset lumehelvest, mille kohta saab lugeda juba järgmisest osast [lk 377].
Ja isegi kui füüsikud tegelevad peaaegu alati funktsioonidega, millel tuletis leidub –  
nagu näiteks juba nähtud ruutfunktsioon või siinusfunktsioon – on oluline küsida, 
millal üldse on tuletisest mõistlik rääkida. Seda järgnevalt arutamegi.
Meenutame, et defineerisime funktsiooni tuletise mingil kohal piirprotsessi kaudu. 
Seega leidubki funktsiooni tuletis sellel kohal täpselt siis, kui sellel piirprotsessil 
tõepoolest leidub piirväärtus.
Seda tingimust veidi lähemalt uurides selgub näiteks, et iga funktsioon, millel lei-
dub mingis punktis tuletis, peaks olema tingimata sealsamas punktis ka pidev. See 
oli täpselt probleem, mida kohtasime mõni lehekülg tagasi rahvaarvu kirjeldavat 
funktsiooni uurides – hüppekohale ei saa tuletist joonistada.
Tuleb välja, et tuletise olemasoluks ei piisa ka lihtsalt pidevusest – näiteks ei leidu 
absoluutväärtuse funktsioonil 
 tuletist punktist  . Ka sellest on lihtne aru 
saada just geomeetriliselt. Teravikule on jällegi väga raske joonistada puutuja- 
sirget. Paremalt poolt lähenedes tundub, et puutujasirge peaks olema võrdne  
sirgega 
, vasemalt poolt lähenedes sirgega 
. Kumma peaksime 
valima?
Või hoopis mõne keskmise? Ükski sirge ei kirjelda funktsiooni muutumist ühe- 
aegselt nii negatiivses kui positiivses suunas.
330
Üldiselt kehtib, et kui ühel funktsioonil leidub igas punktis tuletis, on ta konaruste 
ja teraviketa. Proovi ise – ainult siis saad igasse  punkti joonistada üheselt puutuja-
sirge. Puutujasirge olemasolu aga tähendab, et funktsioon muutub vähemalt ime-
pisikeses piirkonnas üsna lineaarselt ehk sirgjooneliselt mõlemas suunas, umbes nii 
nagu kerajas Maa pind tundub koduümbruses igati lame.
tuletis
teine tuletis, kolmas tuletis jne
Tuletis on põnev, kuna oleme teatud mõttes asunud teisendama keerulisemaid 
objekte kui arve. 
Kui ühel funktsioonil leidub igas punktis tuletis, siis võime tuletise võtmisest mõelda 
kui ühe funktsiooni teisendamisest uueks funktsiooniks: funktsioonist 
 
saab tuletise võtmisel uus funktsioon, mida tavaliselt tähistatakse 
 ning 
mille väärtus igas punktis annabki algse funktsiooni tuletise väärtuse selles punktis.
Nüüd ka   on funktsioon ning seega võime ju samamoodi uurida tema muutumist. 
Kui ta muutub piisavalt kenasti, võime võtta temastki tuletise ning saada funkt-
siooni  . Kui nüüd omakorda funktsioon   on kena ning sile, võime leida veel 
kolmandagi tuletise ja nii edasi. 
331
Funktsioonid, millest saame palju tuletisi võtta, on eriti sujuvad ja siledad. Heaks 
näiteks on jälle polünoomid või trigonomeetrilised funktsioonid siinus ja koosinus. 
Nagu mainisime, muutub siinusfunktsioon tuletist võttes koosinusfunktsiooniks 
ning koosinusfunktsioon  -teljest peegeldatud siinusfunktsiooniks. Nii võime tule-
tise võtmist lõputult jätkata:
tuletis
Füüsikas esineb teine tuletis väga sagedasti ning tähistab kiirendust ehk kiiruse 
muutumise kiirust. Newtoni teine seadus on ju kirja pandud just kiirenduse abil: 
 ehk keha kiirenduse ja massi korrutis on võrdne talle mõjuva jõuga! Tea-
des, et kiirendus on kiiruse esimene tuletis, võiksime kirjutada 
 ja nüüd, 
lisades, et kiiruse enda leiame tee pikkuse tuletisena, võiks ka kirjutada 
.  
Füüsikas kasutatakse küll tihti ülakoma tähistuse asemel hoopis punkte: näiteks 
 ning 
Nii saame näiteks pendli liikumist üsna täpselt kirjeldada kolme funktsiooniga: 
esiteks pendli kaugus nullpunktist, seejärel tuletis sellest funktsioonist ehk pendli 
liikumise kiirus ning viimaks tuletis kiirust kirjeldavast funktsioonist ehk pendli lii-
kumise kiirendus.
332
hoo Pealt veePommi viskamine*
Oled  gangsterifilmidest  saanud  natukene  halba  inspiratsiooni  ja  otsustad  jalg- 
rattalt veepomme pilduda. Mis nurga all peaksid viskeid sooritama , et veepommid 
võimalikult kaugele lendaksid?
tuletis
Tänaseks on vist üsna levinud tarkus, et seisult on kõige kasulikum palli või ka vee-
pommi visata täpselt  -kraadise nurga alt. Aga kuidas muutub see nurk siis, kui 
sõidad samal ajal ratta või autoga või hoopis jooksed?
Järgnevalt üritamegi üheaegselt leida põhjendust rahvatarkusele ning arvutada ka 
välja parima nurga hoo pealt viskamiseks. Selle jaoks peame esiteks leidma olukor-
rale sobiva füüsikalise kirjelduse, seda veidi matemaatiliselt analüüsima ning siis 
järeldustesse ruttama. Seejuures tähendab analüüsimine siinkohal mingi optimaal- 
se väärtuse leidmist ja mängu tulebki tuletis, mis võrdub nulliga just funktsiooni 
maksimumpunktis.
füüsikaline kirjeldus
Hea füüsikalise kirjelduse aluseks on otsus, milliseid faktoreid veepommi viskel  
arvesse võtta ning mida eirata.
333
Veepommi langemist põhjustab gravitatsioonijõud, nii et sellest me loobuda ei 
saa. Tähistame gravitatsioonijõust tulenevat kiirendust tähega  . Samuti mängi- 
vad kindlasti rolli jalgratta kiirus ning veepommile meie poolt antav algkiirus.  
Kuna nende täpseid väärtuseid me ei tea, tähistame ratta kiirust tähega   ning palli- 
viske kiirust tähega  . Viimaks on oluline muidugi otsitav viskenurk ise – tähistame 
teda  -ga. 
tuletis
Selline üldkujus lahendamine võimaldab meil ka hiljem proovida, kuidas vastus sõl-
tub näiteks sõidu- või viskekiirusest.
Kõike muud aga otsustame esmajoones eirata – kui veepomm on piisavalt kom-
paktne, siis tuuletakistus ei tohiks liialt suurt rolli mängida. Samuti näiteks eirame 
fakti, et vise  ei toimu päris maapinnalt, vaid veidi kõrgemalt. 
Newtoni teise seaduse põhjal võime keha liikumist kirjeldada temale mõjuvate jõu-
dude abil – ainult jõudude mõjumisel muutub ka keha liikumise kiirus. Kõnealuses 
olukorras on meil ainult üks jõud, gravitatsioonijõud, mis mõjub vertikaalselt alla-
poole. Horisontaalselt ei mõju ühtegi jõudu ning seega jääb horisontaalkiirus ka 
terve lennu ajal samaks. 
Võime need kiirused ka trigonomeetriliste funktsioonide abil kirja panna: 
334
Horisontaalkiirus on konstantselt 
Vertikaalkiirus on algselt antud 
, hakkab seejärel tänu gravitatsioo-
nijõule vähenema, kuni jõuab nulli (kõrgeim punkt!), ning seejärel jälle suurenema, 
kuni veepomm prantsatab maapinnale.
Just selle vertikaalkiiruse kirjelduse abil saame leida ka lennuaja. 
Leiame esmalt lennuaja, mis kulub veepommi tõusmiseks kuni kõrgeima punktini. 
tuletis
Teame, et vertikaalkiiruse tuletis ehk kiirendus on ülesviskel võrdne  -ga. Seega 
võime kiiruse ajahetkel   kirjutada kujus: 
Kõrgeimas punktis on vertikaalkiirus täpselt null ning saame võrrandi tõusmiseks 
kulunud aja   suhtes:
Siit võime avaldada üleslennule kulunud aja:
Natuke mõeldes selgub, et ka allalennule kulub täpselt sama aeg. Üks viis selles 
veendumiseks on kasutada energia jäävuse seadust. Nii viske kui maandumise het-
kel peab palli koguenergia olema sama. Kuna potentsiaalne energia on neil hetke-
del võrdne ning samuti ka horisontaalne kiirus, peavad suuruselt võrdsed olema ka 
vertikaalsed kiirused – ainult vastupidises suunas. Seega langemisel muutub verti-
kaalkiirus sama palju nagu tõusmisel. Kuna kiiruse muudu määrab endiselt ainult 
raskuskiirendus , kulub ka kiiruse muutumiseks täpselt sama aeg. 
Seega peame kogu lennuaja leidmiseks korrutama tõusule kulunud aja kahega. 
Tähistades kogu lennuaega lihtsalt  -ga,  saamegi:
Nüüd võime horisontaalkiiruse abil leida ka viske pikkuse. Kuna horisontaalses 
suunas on kiirus konstantne, peame selle jaoks lihtsalt korrutama kiiruse ning aja- 
pikkuse. 
Saame:
335
Kasutades siinusfunktsiooni topeltnurga valemit [lk 245] 
,  
saame seda veel veidi lihtsustada:
Ikkagi päris  õudne  valem! Vähemalt näeme, millest viskepikkus sõltub: viskekii-
tuletis
rusest  , jalgratta kiirusest  , viskenurgast   ning gravitatsioonilisest kiirendusest 
. Just nagu ootasime. Nüüd asume seda viskepikkust analüüsima!
matemaatiline analüüs
Eesmärk on viskepikkust nurgast   sõltuvalt maksimeerida. 
Võime esmalt vaadata, mis juhtub mingil konkreetsel juhul. 
Teame, et gravitatsiooniline kiirendus on 
. 
Eeldame näiteks, et veepommi viskekiirus on 
 ning rattasõidu kiirus näi-
teks 
. 
Sel juhul võime viskekauguse sõltuvust viskenurgast kirjeldada järgmisel graafikul:
Näeme, et veepomm lendab kõige kaugemale, kui viskenurk on veidi suurem kui 
 ja veidi väiksem kui 
. 
Kui tahame aga optimaalse viskenurga leida üldjuhul sõltuvuses viskekiirusest 
ning sõidukiirusest, peame  lahendama ekstreemumülesande: maksimaalse kau-
336
guse korral on kauguse tuletis viskenurga suhtes võrdne nulliga. Tõepoolest, nagu 
nägime, on funktsiooni maksimumis ja miinimumis puutujasirge paralleelne  -tel-
jega ja seega on tuletis null [lk 328].
Samas, sellest, et punktis on tuletis null, ei selgu küll kohe, et tegemist on maksi -
mumiga, sama hästi võiks tegemist olla ka miinimumiga. Siiski, vaadeldes eelnevat 
joonist või usaldades füüsikalist intuitsiooni, võime selle mure kõrvale jätta – konk-
reetsel juhul annab ekstreemum meile just nimelt maksimumi. 
tuletis
Leiame siis selle tuletise. Teame, et siinusfunktsiooni tuletis on koosinusfunkt-
sioon  [lk  251]  ning  analoogiliselt  saab  näidata,  et  funktsiooni 
 tuletis on  
. Seega saame:
Ekstreemumi ning sel juhul just nimelt maksimumi leidmiseks peame tuletise nul-
liks seadma ehk lahendama võrrandi:
Võime seda võrrandit lihtsustada, korrutades mõlemad pooled läbi liikmega  :
Nüüd on meil trigonomeetriline võrrand optimaalse viskenurga suhtes ning oleme 
juba heas seisus – parameetritena on mängus ainult viskekiirused ja viskenurk. Kas 
pole pisut huvitav, et gravitatsioonilise kiirenduse väärtus ei mängigi mingit rolli 
ehk et Kuu peal on optimaalne täpselt sama viskenurk, mis Maa peal!
Edasi peame veidi kavaldama, et leida lahend nurga   suhtes.
Kasutame topeltnurga valemit [lk 245] 
 ja saame sarna-
seid liikmeid koondades:
Nüüd jääb veel vaid lahendada ruutvõrrand 
 suhtes, mille lahendame ruut-
võrrandi lahendivalemi abil [lk 275]:
Mõistliku vastuse annab ilmselt ainult üks kahest lahendist. Näiteks võime 
eeldada, et vise ja liikumine on samas suunas ning et liikumine on positiiv-
337
ses suunas. Seega peaks viskenurk olema   ja   kraadi vahel. Kuna selles piir-
konnas on koosinusfunktsioon positiivne, peame valima ka positiivse lahendi:  
See ongi üldkujul lahend. Iga konkreetse juhu jaoks võiksime nüüd siia arvud sisse 
tuletis
visata ning järeldusi teha.
mida järeldada?
Järeldusi saame aga kaardistada ka üldisemalt.
Nimelt kuna teame, et   ja   kraadi vahel on koosinusfunktsioon rangelt kaha-
nev, võime graafikult iga koosinusfunktsiooni väärtuse kohta leida ka nurgaväär- 
tuse. Seost, mis selle annab, nimetatakse ka arkuskoosinuseks ning tähistatakse 
. Nii võiks lahendi lausa välja kirjutada:
Nüüd võime selle lahendi abil koostada pildi, mis näitab, kuidas optimaalne viske-
nurk sõltub viskekiirusest ning liikumiskiirusest.
338
Nagu näeme, tuleb suurte kiiruste korral tõesti oma strateegiat muuta. Näiteks 
kui ratta kiirus on 
 ja viske kiirus on 
, siis pikima viske saavutaks umbes 
 
puhul, mis on juba päris erinev   kraadist. Samas väikeste kiiruste puhul suurt 
vahet pole.
tuletis
339
integraal
integraal
Pärast pikka talve on käes kevad, viskad suusad nurka ja asud rattaga ärkavat loo-
dust avastama. Sõidad hoogsalt kodust eemale, kuid sooviksid siiski teada, kui 
kaugele oled jõudnud – jõudu peab ju jätkuma ka naasmiseks. Sul on võimalik igal 
hetkel näha ratta spidomeetri näitu ehk hetkekiirust. Kuidas saaksid leida kogu 
läbitud tee pikkuse?
Kui sõidaksid esimesed kaks tundi muutumatu kiirusega   km/h, siis selle ajaga 
jõuaksid läbida 
 kilomeetrit. Seda võib ka graafiliselt kujutada, joonis-
tades kiiruse sõltuvuse ajast. Sellel graafikul on esimese kahe tunniga läbitud tee 
pikkus antud täpselt kiiruse ning ajatelje vahele jääva ristküliku pindalaga:
Täpselt ühtlase kiirusega sõidetakse väga harva. Tegelikult muutub Su kiirus ilmselt 
peaaegu kogu aeg. Kuidas sellisel juhul leida läbitud tee pikkus? 
Ka seda olukorda võime kirjeldada graafiliselt, just nii nagu enne. Tuleb ka välja, et 
jällegi on läbitud tee pikkus antud  kiiruse ning ajatelje vahele jääva piirkonna pind-
alaga. Läbitud tee pikkuse ehk funktsiooni graafiku alla jääva ala pindala aga annabki 
integraal.
340
integreerimine
Kui tuletis oli ajast sõltuva funktsiooni spidomeetriks ning näitas funktsiooni het-
kelist muutumise kiirust, siis integraali tähendus on vastupidine: integraal leiab 
funktsiooni spidomeetri põhjal tema kogumuudu. Järgnevalt alustame integraali 
idee selgitamisest ja loodame jõuda lõpuks siiski ka integraali matemaatilise defi-
nitsioonini [lk 44]. 
integraal
lugulaul
Kuna integraal ja tuletis on tihedalt seotud, alustame ka sarnase lugulauluga – 
kihutad mäest alla. Muidugi, nagu sissejuhatuses juba mainisime, on nüüd käes 
kevad ning suuskade asemel oleme andnud Sulle hoopis ratta. Lisaks on meil see-
kord käepärast spidomeeter ja tahame arvutada hoopis läbitud tee pikkust.
Kuidas seda teha? Oskame tee pikkust kiiruse ja aja abil leida siis, kui kiirus on kons-
tantne. Sellisel juhul on ka kiiruse graafiku alla jääv kujund kenasti  ristkülik  ning 
pindala valem ühtib täpselt tee pikkuse leidmise valemiga: 
Probleem on aga selles, et mäest alla veeredes kiirus aina suureneb. Seega küm-
nendaks sekundiks läbitud tee pikkuse leidmiseks ei piisa enam sellest, kui vaa-
taksime spidomeetrit näiteks alles viimasel sekundil ning kasutaksime seda kii-
rust oma läbitud tee pikkuse leidmiseks. Probleemi lahendus on siiski üsna lihtne: 
jagame aja lühikesteks vahemikeks ehk vaatame spidomeetrit üsna tihedalt. 
Idee peitub selles, et väga lühikese ajavahemiku jooksul kiirus väga ei muutu. 
Seega võime igas lühikeses ajavahemikus läbitud tee pikkuse leida üsna täpselt, 
kui korrutame lihtsalt ajavahemiku pikkuse ning spidomeetrilt saadud kiiruse.  
Liites seejärel kokku igas lühikeses ajavahemikus läbitud tee pikkused, saamegi 
päris täpse vastuse. 
341
Nagu tuletisegi peatükis – mida väiksemad ajavahemikud võtame ehk mida tihe-
damalt spidomeetrit vaatame, seda täpsem on ka meie vastus. Seekord annab 
integraal selle täpse vastuse, mida otsime – täpse tee pikkuse – ja taas kord tule-
vad matemaatiliselt mängu ka piirprotsessid [lk 308]. Nagu hiljem näeme, on nad 
seekord ainult veidi keerulisemad kirja panna.
Kõike seda võib ette kujutada ka geomeetriliselt.
integraal
Esiteks, aja lühikesteks vahemikeks jagamine tähendab geomeetriliselt lihtsalt kii-
ruse graafiku alla jääva kujundi jagamist väikesteks tükkideks. 
Teiseks, igas vahemikus tavalise teepikkuse valemi kasutamine tähendab, et iga 
väikese tüki pindala lähendame ristkülikukujulise tüki pindalaga. 
Lõpuks liidame kõik need pindalad kokku. 
Joonist lähemalt vaadates on üsna selge, et mida väiksemad ajavahemikud, seda 
täpsem vastus. Kasutades ristkülikutega lähendamist, teeme iga väikese pindala 
arvutamisel teatava vea, aga mida väiksem vahemik, seda vähem oma hinnangus  
eksime.
342
Seega kokkuvõttes, täpne läbitud tee pikkus ongi kiirusfunktsiooni integraal ning 
omakorda on see antud kiirusfunktsiooni alla jääva kõvertrapetsi (nii nad seda kut-
suvad ...) pindalaga.
Taas kord on praktikas, spidomeetri abil täpse tee pikkuse ehk integraali leidmine 
võimatu – lõpmatult tihedalt ei ole võimalik spidomeetrit vaadata. Niipea kui meil 
on käest võtta matemaatiline kirjeldus, saame aga  kohe  asuda integreerima .
integraal
konkreetne näide
Täpsustame nüüd, et tuiskad rattaga jällegi alla meile juba tuntud ideaalsest mäest. 
Tuletame meelde ka tuletise peatükist, et sel juhul on Su kiirus ajas antud valemiga 
. Kuna laskumised pole väga pikad, mõõdame jälle aega sekundites. 
Nagu juba märkasime, võime kiiruse ja aja suhet kirjeldada graafiliselt:
Nii on kahe sekundi möödudes juba saavutatud kiirus   m/s. Kui tahame nüüd leida 
nende kahe sekundiga läbitud tee pikkust, peame lihtsalt leidma joone alla jääva 
kujundi pindala.
343
Kavalpead võivad kohe näha, et võime seda teha näiteks kolmnurga pindala vale-
mist ning saada vastuseks
Teine ning levinuim viis selle integraali leidmiseks on kasutada seost tuletise ja 
integraali vahel – kuna integraal ja tuletis on teatud mõttes pöördoperatsioonid, 
võime integraali leidmise taandada tuletise teadmisele ning vastupidi. Sellest pike-
integraal
malt integraali ja tuletise peatükis [lk 352].
Viimaks näitame aga, kuidas integraali leida näppudel, kiiruse graafiku alla jäävat 
kujundit väikesteks tükkideks jagades ning nende pindalasid kokku liites, ehk lühe-
malt – kuidas  käsitsi integreerida:
Jagame oma lühikese ajavahemiku   sekundit   väikeseks vahemikuks , millest iga 
pikkus on täpselt  . 
Vahemik   ulatub siis ajahetkest 
 kuni ajahetkeni  .
Igas selles vahemikus hindame kiirust vahemiku lõppkiiruse abil. 
Kasutades valemit 
, on meie hinnang vahemiku   lõppkiiruse jaoks  . 
Selles vahemikus läbitakse seega hinnanguliselt tee pikkus  . 
Liites need väikesed tee pikkused kokku, saame 
See kõverik on juba varem kirjeldatud [lk 50] summa märk, aga meeldetuletuseks 
kirjutame summa ka pikalt välja:
344
 Me juba teame (näiteks aritmeetilise jada summavalemist), et
seega
integraal
Meie hinnang sõltub selgelt ajavahemike arvust   liikme   kaudu. 
Samas kui   viia lõpmatult suureks, muutub see liige imepisikeseks ning piirprotses-
sis kaob hoopis. Seega saame kogu tee pikkuseks ehk integraaliks vastuse  . Ühikud 
tuleks muidugi eraldi juurde sobitada, et saada nagu enne vastus   meetrit. 
Integraali tähis ja matemaatiline kirjapanek
Matemaatilisemaks kirjelduseks on kunstilembesed matemaatikud integraalile 
andnud ka tähise, mis on lihtsalt üks välja venitatud  . 
 on ta just sellepärast, et integraal ise on lõputult paljude asjade kokkuliitmisel 
justkui üks välja venitatud summa.
Sellises kõverikus endas on aga veel üsna vähe informatsiooni. Et teda mõistlikult 
kasutada, on veel vaja ära märkida, mida me integreerime, mille suhtes ja kui pikas 
vahemikus. 
345
Kui meil on antud mingi muutumist kirjeldav funktsioon 
, siis tema integraali 
või kogumuutust  -i suhtes vahemikus 
 tähistame:
Graafiliselt  on  see  integraal  vastavuses  siis  -telje, joonte 
 ning 
 ja 
funktsiooni 
 graafiku vahele jääva piirkonna pindalaga:
integraal
Ülaltoodud näites integreerime kiirust 
 aja t suhtes, vahemikus ajahetkest   
kuni ajahetkeni  , sel juhul võime integraali kirja panna kujus: 
Meie konkreetse näite korral leidsime siis järgmise integraali:
kuhu jääb definitsioon?
Aga kuhu jääb integraali matemaatiline definitsioon? 
Lihtne vastus: suur osa täpsest definitsioonist jääb ülikooli. Integraali mõistlikuks 
defineerimiseks tuleb olla päris hoolas.  
Tuletame meelde, et integraal mõõtis spidomeetri põhjal tee pikkuse kogumuutu 
mingis vahemikus. Tema leidmiseks jagasime vahemiku väikesteks tükkideks 
ning leidsime muudu neis vahemikes. Liites need muudud kokku, saime hinnangu  
integraalile. Piirprotsessis, kus vahemikke oli aina rohkem ning nad olid aina lühe-
mad, saimegi integraali enda. 
Konkreetses näites kasutasime tee pikkuse leidmiseks ühepikkuseid ajavahemikke 
ning mõõtsime igas vahemikus kiirust ajavahemiku otspunkti põhjal. 
346
Võttes  sellest  kõigest   malli ,  võiksime  matemaatiliselt  defineerida,  et  integraal 
tähendab just seda, et jagame ajavahemiku järjest rohkemateks  osadeks , valime 
alati pisikeste ajavahemike otspunktid ning arvestame neid tee pikkuse leidmiseks. 
Integraali saame piirprotsessis, kus   tormab lõpmatusse.
Sümbolite keelde tõlkides tähendaks see, et defineeriksime:
integraal
Ent stopp ! Siin teeme kaks üsna suvalist valikut. Esiteks on suvaline see, et jagame 
kogu vahemiku võrdseteks tükkideks. Teiseks, miks peaksime muutu hindama just 
vahemiku parema otspunkti põhjal?
Ühtegi väga head põhjust kummakski ei ole ja see peaks juba valvsaks tegema – 
kas me tegime õiged valikud? Kas teised valikud annaksid ikka sama integraali? 
Kas leidub mõni „õige” valik? Kas saab kuidagi üldisemalt integraali defineerida, nii 
et ei täpsustagi täpselt, kuidas vahemikke võtame ning millise punkti neis valime? 
Kõik need on põnevad küsimused, kahjuks jäävad aga sellest raamatust juba kau-
gemale. Integraali rangeks defineerimiseks leidubki tegelikult mitu erinevat viisi 
– intuitsiooni jääb aga alati samaks, selleks, mille ülalpool ka esile tõime. Kusjuures 
võibolla on ka oluline lisada, et konkreetsed siin tehtud valikud pole just parimad – 
neid kasutades võime integreerida ainult üsna ilusaid funktsioone,  kõik keerulisem 
toob juba kaasa probleeme.
Viimaks, kui siiski definitsiooni puudumine teeb tõesti tuska, võib integraali defi-
neerida tuletise ja integraali vahelise seose toel. Nii teeme seda juba tuletise ja 
integraali peatükis [lk 352].
integraal ja üldisemad Pindalad
Arutlesime, et integraalist võib mõelda ka kui mingi kindla joone ja  -telje vahele 
jääva ala pindalast. Tegelikult võime pisut kavaldades leida integreerimise abil ka 
paljude teiste kujundite pindalad. 
Üks viis kavaldada polegi nii väga keeruline. Vaatame näiteks üht kena väljavenita-
tud ringjoont ehk ellipsit. 
347
integraal
Kuidas integraali abil selle ellipsi pindala leida? Esiteks peame ta muidugi asetama 
koordinaatteljestikule. Nagu näeme, tekib siis tegelikult kaks kaart – ülemine ja 
alumine –, mida mõlemat võiksime vaadata funktsioonina  -st: 
Leides ülemise kaare integraali, saame vastuseks ellipsi ülemise osa pindala. Aga 
ellips on ju kenasti sümmeetriline ja nii võime saadu lihtsalt kahega korrutada ning 
saadagi kogupindala!
Üldisemalt, isegi kui kena sümmeetriat abiks pole, võime mõne kõvera kujundi 
pindala leidmiseks jagada kujundi horisontaalteljega kaheks, leida ülemise ja alu-
mise kaare  integraalid ning lõpuks lahutada ülemise kaare integraalist alumise 
kaare integraali. Lahutama peame seetõttu, et alumise kaare integraal annab 
meile negatiivse vastuse – allpool  -telge asuv osa tähendab ju negatiivset muutu.
348
See pole aga kõik! Tegelikult ei ole alati loomulik jagada kujundit just ristkülikute 
abil tükkideks. Näiteks ringi pindala leidmiseks võiksime ta ju jagada hoopis väikes-
teks rõngasteks ning seeläbi leida ringi pindala. Sellest aga pikemalt juba pindalade 
peatükis [lk 367]. 
Viimaks ei ole muidugi mingit põhjust piirduda ainult pindalade ehk kahemõõtme-
liste mahtudega. Integreerimist võime kasutada  ka näiteks ruumalade leidmiseks. 
Osas 8 leiamegi sel viisil näiteks kera ruumala valemi [lk 375].
integraal
kuidas integreerib arvuti?
Eluliste ülesannetega maadeldes kohtame vahel ka funktsioone, mille integreeri-
mine on paras piin. Ei saa nende integraali leida mõne kavala pindala valemiga ega 
ole abi ka seosest tuletisega – me lihtsalt ei tea, millise funktsiooni tuletiseks nad 
on. Nii peame määramata integraali leidma käsitsi integreerimisega. 
Päris käsitsi oleks see muidugi paras õudus, ent õnneks on meil tänapäeval olemas 
arvutid, kes oskavad teha miljoneid väikseid tehteid sekundis. Nii võime eeltoodud 
mooduse integraali leidmiseks – jagada piirkond paljudeks vahemikeks, leida muut 
igas vahemikus ning need muudud kokku liita – arvutile selgeks teha.
Näiteks võime lasta arvutil jagada integreerimisvahemiku miljoniks võrdseks osaks, 
leida nende osade pikkused ning kogumuudud ja arvutadagi lähenduse integraalile. 
Muidugi saame seeläbi alati natuke ebatäpse väärtuse, ent samas võime selle eba-
täpsuse teha nii väikseks kui vähegi soovime.
349
See viis ei ole aga integraalide arvutamiseks kõige efektiivsem ning praeguseks on 
välja arendatud kümneid algoritme, mis on täpsemad, usaldusväärsemad ja efek -
tiivsemad.
Näiteks väga mitmemõõtmeliste ja keeruliste funktsioonide puhul osutub vahel 
kõige paremaks algoritmiks niinimetatud Monte   Carlo  meetod. Tutvustame seda 
lihtsa näitega: oletame, et soovime leida väärtuse integraalile
integraal
Monte Carlo meetodi idee on kasutada niinimetatud geomeetrilist tõenäosust:  
[lk 402]  kui me võtaksime mõne juhusliku arvu ruudust 
, siis tõe-
näosus, et ta jääb funktsiooni   graafiku alla, on täpselt võrdne graafiku alla jääva 
pindala ning kogupindala suhtega. 
350
Edasi on meil vaja lihtsalt juhuslikke arve genereerida ning seda tõenäosust hinnata. 
Sobivate juhuslike arvude genereerimine on aga üsna vähenõudev ning samuti on 
kiire ka kontrollimine, kas arv jääb funktsiooni graafiku alla. Nii saamegi ühe üsna 
efektiivse meetodi integraalide ligikaudseks arvutamiseks. Seekord on meie vastus 
seda täpsem, mida rohkem juhuslikke arve kasutame. 
integraal
351
integraal ja tuletis
 tuletis
 ja
Pöördoperatsioonid on matemaatikas üsna levinud. Kõige lihtsam näide tulebki 
võibolla pööretest endast: kui pöörame oma joonist tasandil   kraadi päripäeva, 
integraal
siis teda seejärel 90 kraadi vastupäeva keerates on ta jälle algseisus tagasi. Samuti 
võime liitmisest ja lahutamisest mõelda kui pöördoperatsioonidest: kui liidame 
mõnele arvule kolm ja siis jälle lahutame, jõuame  algpunkti tagasi. 
Teineteisele vastupidiselt käituvad ka integraal ja tuletis. Näiteks võib mõelda, 
et tuletis arvutab funktsiooni muutumise kiirust, integraal aga liidab funktsiooni 
muute kokku. 
Liikumise kirjeldamise korral on lugu näiteks järgmine:
•  tuletis annab meile etteantud tee pikkuse abil liikumise kiiruse 
•  ning integraal arvutab liikumise kiiruse põhjal omakorda läbi-
tud teepikkuse.
Seega on tõesti tegemist justkui teineteise pöördoperatsioonidega. Täpne seos 
integraali ja tuletise vahel on ainult veidi segasem, veidi tähelepanu vajab näiteks 
määratud ja määramata integraali eristus .
Tuletise ja integraali seos on ka praktiliselt kasulik. Ühelt poolt on kasu puhtalt 
arvutuslik: võime integraalide leidmise taandada tuletise teadmisele ja vastupidi. 
Teisalt annab see seos teatava mõttelise aluse üsna suurele osale looduse kirjel-
damisest: selle jaoks, et kirjeldada mingi suuruse kogumuutu ehk integraali ajas, 
piisab sellest, kui kirjeldame tema hetkelist muutumise kiirust ehk tuletist. Selle 
lihtsa mõtte rakenduseks on diferentsiaalvõrrandid, mis panevad aluse suurele 
osale klassikalisest füüsikast. Neil me siiski pikemalt ei peatu.
352
algfunktsioon ja määramata integraal 
Meenutame, et kui meile on antud piisavalt sile funktsioon, millele saame igas 
punktis tuletise leida, võime tuletisest mõelda kui teisendusest, mis seab ühe 
 tuletis
funktsiooniga 
 vastavusse tema tuletise funktsiooni 
. 
 ja
Nagu mäletame, tähendab see geomeetriliselt, et sinine graafik on kokku pandud 
helerohelise graafiku puutujasirgete tõusudest:
integraal
Nüüd võib mõelda ka selle teisenduse pöördteisendusele – ehk küsida, mis juh-
tub siis, kui tahaksime hoopis alustada sinisest joonisest ja leida funktsiooni, mille 
graafiku puutujatõusudest  moodustuks see sinine joon? 
Teisisõnu tahaksime leida funktsiooni, mille jaoks igas punktis kehtib 
Iga võimalikku vastust sellele nimetatakse funktsiooni 
 algfunktsiooniks ning 
mitmust kasutame siin üsna asjakohaselt – võimalikke vastuseid on palju!
Tõepoolest, kui 
 on mõne funktsiooni 
 algfunktsioon, siis on seda ka 
 iga konstandi   jaoks. Konstandi   lisamine ju ainult nihutab funktsiooni 
 üles-alla, ent ei muuda tema muutumise kiirust – puutujad jäävad paral -
leelseks. Õigupoolest tuleb välja, et midagi muud teha ei võigi – kõikvõimalikud 
algfunktsioonid saamegi ühteainsat üles-alla nihutades.
353
 tuletis
 ja
integraal
Nüüd funktsiooni 
 määramata integraal kogubki kõikvõimalikud vastused ehk 
teisisõnu algfunktsioonid ühte ja samasse avaldisse 
. Siin 
 tähistab 
ühte võimalikest algfunktsioonidest ning   suvalist konstanti. Määramata integ -
raali tähiseks on integraali kõverik ilma ülemise ja alumise rajata. Seega kirjutak-
sime:
algfunktsioon ja määratud integraal
Algfunktsioonide abil võiksime tegelikult defineerida ka määratud integraali. 
Nimelt võiksime öelda, et funktsiooni 
 määratud integraal vahemikus 
 on 
võrdne mõne tema algfunktsiooni muuduga selles vahemikus. Ehk siis:
kus jällegi 
 on üks 
 suvaliselt valitud algfunktsioon. 
Oluline on märgata, et sellest, millise algfunktsiooni me valime, väärtus ei muutu. 
Tõepoolest, konstant taandub ju lahutamistehtes välja. Geomeetriliselt mõeldes: 
kui nihutame funktsiooni 
 graafikut, nihutame võrdselt nii tema väärtust vahe-
miku alg- kui lõpppunktis, nende vahe jääb samaks.
354
integreerimine tuletise abil
Leitud seosest saame ka üsna lihtsa viisi integreerimiseks – meil on vaja lihtsalt ära 
arvata vastav algfunktsioon ehk tunda tuletisi!
 tuletis
Tõepoolest, näiteks integraali peatükis käsitletud integraali
 ja
leidmiseks piisab teadmisest, et lineaarfunktsiooni   üheks algfunktsiooniks on  .  
integraal
Seejärel võime kirjutada
Või näiteks, kuna siinusfunktsiooni tuletiseks on koosinusfunktsioon, võiksime kir-
jutada:
Seda  on  muidugi  võimalik  näha  ka  graafikult,  teades  koosinusfunktsiooni  süm-
meetrilisust ja meenutades, et  -telje alla jääv pindala näitab negatiivset kogu-
muutu:
355
newtoni-leibnizi seos
Newtoni-Leibnizi seoseks nimetatakse juba toodud seost funktsiooni 
, tema 
 tuletis
määratud integraali ning algfunktsiooni muudu vahel:
 ja
See ongi kõige täpsem ja kasulikum sõnastus integraali ja tuletise vahelisele seo-
integraal
sele. Selle seose alusepanijad Isaac Newton ja  Gottfried Leibniz ei suutnud omava-
hel kuidagi kokku leppida, kumb on ikkagi rohkem tunnustust ära teeninud . Mõle-
mad pidasid just oma panust olulisemaks ja nii nad jäidki Leibnizi surmani tülli. 
Üsna tühine tüli ilusa matemaatika ümber.
Kui  määratud  integraal  ise  selle  kurikuulsa  seose  kaudu  defineerida,  ei  ole  seda 
seost muidugi vaja tõestada, tegemist oleks pigem siis seaduse või aksioomiga.
Samas ei ole ju sugugi selge, miks peaks selle seose kaudu defineeritud määratud 
integraal ikkagi olema seotud pindalade ning nende jupitamisega. 
Seose olemasolus on kõige lihtsam ennast veenda geomeetriliselt. Vaatame näi-
teks ühte ilusat pidevat funktsiooni 
 vahemikus 
 ja alustame teadmisest, 
et määratud integraal
annab meile 
 graafiku ning  -telje vahele jääva pinnatüki pindalaga kuni punk-
tini  . Tähistame seda pindala F(b)-ga.
Funktsiooni 
 tuletis punktis   tähendab nüüd pindala hetkemuutu. Tuletame 
meelde definitsiooni:
356
Geomeetriliselt võime murru lugejast seega mõelda kui funktsiooni 
 graafiku 
alla jäävate pindalade vahest vastavalt punktideni 
 ja  :
 tuletis
 ja
integraal
Ehk siis parempoolse osa pindala on 
 Väga väikese   väärtuse 
jaoks on aga see pindalade vahe peaaegu nagu ristkülik. Seega kuna ristküliku laiu-
seks on   ise, siis annab jagatis
meile ristküliku kõrguse. 
Mis aga on see kõrgus? Jooniselt näeme, et kõrguseks on funktsiooni   väärtus   
ja 
 vahel. Kui   väärtus muuta lõpmatult väikeseks, siis saab sellest muidugi 
-i väärtus kohal   ise. Nii näemegi, et 
Ehk teisisõnu annab pindalade põhine integraal meile kenasti ühe algfunktsiooni 
ja kõik klapib.
357
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
358
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
 osa 8
loendamine 
ja mõõtmine
359
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
360
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
Ringjoonel ei ole lõppu. 
Isaac Asimov
361
Ümbermõõt, pindala ja 
ruumala
, ruumala
t, pindala
Alustame väikese mõtisklusega teemal, mida üldse tähendab mõõtmine. Mida me 
täpselt teeme, kui igapäevaelus asju mõõdame?
Üks võimalus on mõõtmisest mõelda kui teatavast võrdlusest mingite kokkulepi-
ümbermõõ
tud suurustega. Joonlauale või mõõdulindile on täpselt kirja pandud, mida võime 
lugeda üheks sentimeetriks ja mida üheks meetriks, ning nende kokkulepitud näi-
dissuurustega võrreldes leiamegi oma jala- või ninapikkuse. Sarnaselt võime kasu-
tada mõõtmiseks ka mõnda nööri, mille pikkuseks teame üht meetrit, keraamika-
plaati pindalaga sada ruutsentimeetrit või miks mitte ka poolt liitrit vett: idee on 
ikka ja jälle sama, leiame, kui palju kordi meile juba teatud suurus mingit pikkust, 
pinda või ruumala katab. 
Seega on meil vaja mõõtmiseks mõnda mõistlikku „etaloni”, mille suurust tema 
lihtsuse tõttu teame, ja seejärel vilumust temaga hästi katta erinevaid pikkuseid  
või pindu. Järgnevalt näitame, millised on matemaatilised „etalonid” ja kuidas neid 
kavalalt kasutada.
Päriselus käib iga mõõtmisega kaasas ka teatav mõõteviga – oleme ise mõõtmisel 
ebatäpsed ja ka kehad ise pole päris ideaalse kujuga. Siin peatükis tegeleme aga 
matemaatikaga, kus saame kõik mõõtmised absoluutse täpsuseni viia. 
matemaatilised etalonid: 
sirglõik, ruut, kuup
Ümbermõõdu või joonepikkuse mõõtmiseks on meil varnast võtta suur hulk häid 
mõõdutükke: pisikesed sirglõigud erinevate pikkustega. Ilmselgelt piisab neist, et 
mõõta iga sirglõikudest koosneva murdjoone pikkust: 
362
Aga tegelikult ei valmista muret ka kõverjooned, kui oleme nõus väikest viga sal-
lima: nimelt jagades kõverjoone väga pisikesteks tükkideks on iga tükk peaaegu 
sirgjoon : 
, ruumala
t, pindala
Sellisele lähendamisele annab matemaatilise tähenduse integreerimine [lk 340] ja 
tuleme selle juurde veel hiljem tagasi.
Pindalade leidmisel valime samuti kõige lihtsama võimalikest etalonikomplekti-
dest: erineva küljepikkusega ruudud. Esmalt peaksime end aga veenma , et teame 
ümbermõõ
iga etaloni enda pindala.
Õnneks pole see väga keeruline: niipea kui teame, et näiteks ühikruudu pindala on 
, võime teisi ruute võrrelda ühikruuduga ja joonis aitab meil veenduda, et küljepik-
kus   annab pindalaks 
Matemaatilise tõestuse tarvis peaks muidugi olema pisut hoolikam.
•  Naturaalarvuliste küljepikkustega ruutude jaoks võime kasu-
tada joonisel toodud strateegiat.
•  Naturaalarvude pöördarvude   jaoks kasutame joonisel toodud 
strateegiat vastupidi: täidame ühikruudu ruudukestega külje-
pikkusega  .
•  Kasutades nüüd seda teadmist, võime jällegi joonist järgides  
leida pindala kõikide ratsionaalarvuliste küljepikkuste   jaoks. 
•  Viimaks peame midagi tegema ka irratsionaalarvuliste külje-
pikkustega. Siin on tarvilik pisut teistlaadi, kuid üsna levinud 
strateegia, millest kirjutame üldisemalt funktsioonide pidevuse 
all [lk 319] – idee on selles, et kui mõni reaalarvuline suurus 
muutub pidevalt, siis tema määramiseks piisab ainult ratsio-
naalarvuliste väärtuste teadmisest.
363
  Selle argumendi võib aga siinjuhul kergesti ka üksipulgi kirja 
panna.
Idee on selles, et iga irratsionaalarvu   jaoks võime leida rat-
, ruumala
sionaalarvude jada  , mille piirväärtuseks on meie valitud 
irratsionaalarv. Kuid iga ratsionaalarvulise küljepikkusega    
ruudu pindala me juba teame – see on  . Lõpuks, kui arvud   
t, pindala
koonduvad arvu  , siis nende arvude ruudud koonduvad arvu 
, mis annabki soovitud tulemuse. 
Võib ka küsida: miks peaks ühikruudu pindala olema  ? Pragmaatiline lugeja võib 
siinkohal otsustada, et see tundub mõistliku valikuna, ja las filosoofilisem lugeja
ümbermõõ
mõtleb, mis ta mõtleb.
Ruumalade tarvis kasutame kuupe ning näeme sarnaselt eelnevaga, et kuubi külje-
pikkusega   ruumalaks on  .
Hulknurkade pindalad
ruut ja ristkÜlik
Mõtleme nüüd, kuidas oma ruudukujulise  jupi abil välja nuputada ristküliku pindala. 
Kui küljepikkused on piisavalt sõbralikud, on see lihtne: näiteks jooniselt näeme, et  
külgedega 3 ja 5 ristküliku pindala on 
 ning külgedega    ja   ristküliku 
pindala on  . 
364
Ilmselt pole raske märgata, et näiteks kõik ratsionaalarvuliste küljepikkustega rist-
külikud on sõbralikud: saame alati leida mingi imepisikese ruudu, mille abil ristkülik 
ruudukestega täielikult katta. Iga kord saame tulemuseks, et 
 ristküliku pindala 
on täpselt 
, ruumala
Edasi peame taas kasutama ruudu küljepikkuse leidmisel  mainitud  „pidevuse print-
siipi” – kui meil on mingi pidevalt muutuv reaalarvuline suurus, siis piisab sellest, kui 
me teame tema väärtusi ainult ratsionaalarvulistes kohtades. Nii võimegi väita, et
t, pindala
iga 
 ristküliku pindala on  
ümbermõõ
kolmnurk
Kolmnurkadest on kõige lihtsam alustada täisnurksete kolmnurkadega – neid kaks 
tükki kokku pannes saame täpselt ristküliku: 
Siit pole muidugi raske järeldada, et täisnurkse kolmnurga pindala on pool moo-
dustunud ristküliku pindalast ehk 
, kus   ja   on tema kaatetite pikkus. 
Aga nüüd võime ju etalonina juba kasutada ka täisnurkseid kolmnurki ja see teeb 
iga teise kolmnurga pindala leidmise väga lihtsaks: tõmbame lihtsalt kolmnurka 
mõne kõrguse ja jagame ta kaheks täisnurkseks kolmnurgaks!
365
Isegi kui joonised on erinevad, näeme, et järeldus on nii kolmnurga sisse kui kolm-
nurgast välja jääva kõrguse puhul sama – iga kolmnurga pindala on 
, kus   
on mõni kolmnurga küljepikkus ja h tema vastastipust tõmmatud kõrguse pikkus.
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
rööpkÜlik ja trapets
Rööpküliku võime jagada lihtsalt kaheks kolmnurgaks. Nii näeme, et rööpküliku
pindala on 
, kus   on tema vaadeldav küljepikkus ning   nende külgede 
vaheline kaugus. See tuleneb muidugi sellest, et mõlema kolmnurga pindala on 
eelmise osa põhjal  . Nagu jooniselt näeme, võime rööpküliku pindala tuletada
veel vähemalt kahel erineval moel:
Ja trapets? Sama lugu, kasutame seniseid etalone, täisnurkseid kolmnurki ja rist- 
külikut, ning saamegi väikese kavaluse abil õpetaja väljakuulutatud tulemuse.
366
Tegelikult saame ju nüüd leida ka iga viisnurga, kuusnurga või ka kakssadanurga 
pindala, kui ainult kannatust jagub: võime nad ju alati jagada ühel või teisel viisil 
kolmnurkadeks (nii kuidas mugavam on) ja kolmnurkade pindalad kokku liita.
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
ringi Ümbermõõt ja pindala
Ring on oma olemuselt üks lihtsamaid ja ilusamaid kujundeid. Nagu nägime kuul-
sate arvude peatükis, võib teda ka mitmel moel defineerida ning temast mitmel
moel mõelda [lk 96]. Siiski, hoolimata sellest, et ring on peale vaadates ilus ja lihtne 
kujund, peab temaga matemaatiliselt ümber käima teistmoodi ja isegi pisut keeru-
lisemalt kui hulknurkadega.
Ringi ümbermõõduga pole asi siiski liiga hull. Kuna    on  juba  defineeritud  kui
ümbermõõdu ja diameetri suhe (
), siis ümbermõõdu   saabki sealt lihtsalt 
avaldada:
Traditsiooniliselt kirjutatakse see välja ringi raadiuse abil: 
Kuidas aga leida ringi pindala? 
Meie seniseid pindalade etalone on siin raskem ära kasutada – kõik nad olid nurge-
lised, samas kui ringjoon on ju kenasti kaardus. Seega peame olema kavalamad.
Üks võimalus on siiski kasutada juba teadaolevaid etalone, kuid seda koos integ-
raaliga. Tuletame meelde, et integraali abil saame lähendada kujundite pindalasid, 
jagades kujundi õhukesteks ristkülikukujulisteks juppideks ning liites nad kokku. 
Piirprotsessis, kus õhukesi tükke on järjest enam, saamegi vastuseks täpse pindala. 
Sellest on meil natuke pikemalt juttu integraali peatükis [lk 347].
367
Siin kasutame vägagi sarnast ideed, ainult loobume kujundi ristkülikuteks jagami-
sest ning jagame ta hoopis väga paljudeks peenikesteks rõngasteks paksusega  , 
mis on õige sarnased juba ringidele. Nende raadiused muutuvad siis  -ist kuni  -ini 
, ruumala
sammuga  .
t, pindala
ümbermõõ
Iga väike rõngas panustab algringi pindalasse umbkaudu 
, kus   on näiteks 
rõnga välimise ringi raadius. Tõepoolest, kui paksus   on väga väike, siis ei pea rõnga 
sise- ja välisraadiust eristama. Pindala leidmiseks peame seejärel liitma kokku kõik 
need lõpmata paljud ümbermõõdud ja saame
Siin 
 moodustavad aritmeetilise jada vahega   ja seega lähendavad  
lineaarfunktsiooni. Nüüd peaks meenuma, et see on juba väga sarnane meie määra- 
tud integraali kirjeldusele. Tõepoolest, piirprotsessis, kus ketaste paksus 
, 
võimegi pindala kirja panna määratud integraali abil [lk 340]:
Edasi jääb vaid integreerida ja leiamegi kuulsa ringi valemi:
Kui tahame lugu veel enam integraali ja tuletise raamistikus näha, võib mõelda, et 
ringi pindala muutumise kiiruse annab just tema ümbermõõt. See on üsna loomu-
lik, kuna ringi raadiust õige pisut,   võrra suurendades, muutub ringi pindala umbes 
 võrra.   oleks selles kontekstis seega „aja parameetriks” ning kiiruse annakski 
ümbermõõt  .
368
Võib korraks ka mõtiskleda, kas see valem meile üldse usutav näib. Järgnev  
joonis, kus on antud neli ruutu küljega   ning ring raadiusega  , võib veenda, et ringi 
pindala võiks tõesti olla umbes   kuni   korda (ja seega umbes   korda) suurem ühe 
ruudu pindalast.
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
ruumiliste kujundite pindalad
Lisaks kahemõõtmelistele kujunditele võib meid muidugi huvitada ka mõne kolme- 
mõõtmelise kujundi välispinna suurus.
Hulktahukate ehk igasugu erinevate risttahukate ja püramiididega, mille tahud on 
hulknurksed, käib asi üsna lihtsalt: lõikame kujundi mööda servasid lahti ning arvu-
tame iga tahu pindala eraldi välja. Liites need kõik kokku, saamegi kogu pindala. 
Näiteks kolmnurkse põhjaga püramiidi külgpindala leidmiseks peame kokku liitma
nelja kolmnurga pindala.
koonuse pindala
Üldiselt läheb kumeramate kehadega  olukord keerulisemaks, aga koonuse kor-
ral aitab siiski üsna sarnane strateegia. Alustuseks võime koonuse pinna jagada 
kaheks – saame ringikujulise põhja ning teatava kujuga külgpinna.
369
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
Kuna ringi pindala juba oskame leida, on põhja pindala arvutamine kerge. Aga kui-
das leida selle allesjäänud  koonuselise tüki pindala?
Seegi kord aitab meid veel lõikamine ning tasandile asetamine. Nimelt kui lõikame
koonuse külgpinna mööda moodustajat – ehk mööda suvalist koonuse tippu ja 
põhja äärt ühendavat sirglõiku – lahti ja laotame tasandile, saame ilusa ringi sektori.
See  sektor  moodustab teatava osa suurest  ringist  raadiusega  , kus   on siis nii-
nimetatud koonuse moodustaja. Selle algse ringi pindala oskame jälle lihtsalt leida: 
370
Seega oleks vaja lihtsalt aru saada, kui suure osa moodustab laiali laotatud sektor 
kogu ringist. Ringjoone sektori pindala suhe kogu ringi pindalasse on aga täpselt 
sama kui sektori kaarepikkuse suhe kogu ringjoone ümbermõõtu. Kuna kogu ringi 
ümbermõõt on meile teada (
), siis piisab lihtsalt sektori kaare pikkusest. Sek-
, ruumala
tori kaare pikkus on aga täpselt koonuse põhja ümbermõõt! Seega, kui põhja raa-
diuseks on näiteks  , siis saame põhja ümbermõõduks ja ka kaare pikkuseks 
. 
t, pindala
ümbermõõ
Kui jagame saadud tulemused, näeme, et sektori pindala moodustab kogu pindalast 
Nüüd võime külgpindala leida, korrutades saadud suhte läbi suure ringi pindalaga:
Liites põhja pindala:
Võime leida ka koonuse täispindala
371
kera pindala
Kera pindala leidmiseks aga mõnest lõikamisest enam tõesti ei piisa. Võite proovida 
, ruumala
apelsinikoort mõistlikult laua peale laiali laotada, nii et ükski koht õhus ei oleks –  
lihtne see ei ole. Tuleb kasutada juba ringi pindalast tuttavat integreerimise stra-
teegiat. 
t, pindala
Intuitiivselt tahaksime ka seekord pinna rõngasteks jagada ning seejärel nende 
rõngaste pindalad osavalt kokku liita.
ümbermõõ
Ringi pindala leidmisest on olukord pisut keerulisem, kuna rõngaste pindalad ise ei 
muutu enam ilusalt ühtlaselt.
Seega piirdume siinkohal lihtsalt kera pindala valemiga:
Kera ruumala juures anname siiski ka ühe viisi selle pindala leidmiseks.
372
mõned ruumalad
Laias plaanis võime ruumalade leidmisel käituda üsna analoogiliselt pindalade 
, ruumala
juhule: alustame kuubi ruumalast, siis leiame  risttahuka ruumala, seejärel rööp- 
tahuka ruumala ja nii edasi.
t, pindala
ümbermõõ
Natuke keerulisemaks läheb püramiidide korral, aga siiski aitab natukene kavalust
meid hädast välja.
Näiteks toodud jooniselt näeme, kust tuleb vähemalt ruutpüramiidi korral kurikuu-
lus üks kolmandik: nimelt saame täita ühikkuubi kuue võrdse ruumalaga püramii-
diga, mille kõrgus on täpselt pool kuubi küljest.
Kõikide võimalike eripüramiidide jaoks samasuguste konstruktsioonide väljanupu-
tamine osutub juba aeganõudvaks, kuigi on ilmselt võimalik nii kaua, kuni aluspin-
naks on mõni hulknurk . Jällegi on idee alustada lihtsamatest püramiiditüüpidest 
ning samm-sammult minna üldise kuju poole – see osutub üsna pikaldaseks, kuna 
peame sisuliselt iga püramiidi külge ükshaaval lihtsamast keerulisemaks muutma. 
Võib siiski kinnitada, et püramiidi ruumala valem jääb samaks: 
, kus 
 on seekord püramiidi aluse pindala ning   tema vastastipust tõmmatud kõr-
gus. Seesama  valem jääb kehtima ka siis, kui aluseks on hoopis ring.
373
, ruumala
t, pindala
Toodud valemi sarnasus kolmnurga pindala valemiga võib mõtlema panna, kas neil 
kahel on mingi seos – räägime mõlemal korral ju alusest ja kõrgusest ning eesolev 
kordaja paistab täpselt seoses olevat ruumimõõtmete arvuga. See seos põhineb 
ümbermõõ
tegelikult väga lihtsal mõttel, mida juba ka mainisime.
Nimelt nägime ringi pindala juures, et ringi raadiust suurendades võime mõelda,  
et ringi pindala kirjeldava funktsiooni tuletiseks on tema ümbermõõt.
Samamoodi võime mõelda, et mõõtes kolmnurga kõrgust, on kolmnurga pindala 
muutumise kiiruseks tema alumise külje pikkus. Kui aga leiame püramiidi ruumala 
kõrgusest sõltuvalt, on muutumise kiiruseks hoopis tema põhja pindala:
Nüüd  on  lihtne  veenduda,  et  kolmnurga  aluse  pikkus  sõltub  tema  kõrgusest  
lineaarselt – ehk seda võib kirjeldada funktsiooni   abil. Püramiidi pindala aga 
muutub kõrguse suhtes nagu ruutfunktsioon 
. Esimese integreerimisel saame 
ette kordaja  , sest kui seame integreerimisega kaasaskäiva konstandi nulliks, 
saame
ning teise integreerimisel leiamegi kordaja  : 
Täpsemat näidet esimesest viisist nägime ringi pindala leidmisel, teise näite teeme 
läbi nüüd kera ruumala arvutamiseks.
374
kera ruumala
Kera ruumala on jällegi raske leida lihtsalt nurklike etalonide abil. Peame kasutama 
, ruumala
ringi pindala puhul abiks olnud strateegiat – integreerimist. Teisisõnu lähendame 
kera paljude õhukeste ketastega, leiame nende ruumalad ning liidame nad kokku. 
Piirprotsessis saame integraali, mis annabki meile koguruumala [lk 347].
t, pindala
ümbermõõ
Tähistame tähega   horisontaalset kaugust kera keskpunktist ning tähega   kera 
pinnal asuva ringjoone raadiust tollel kaugusel. Ketta, mille välimine äär on kaugu-
sel   ning mille paksus on  , ruumala on umbkaudu 
 ehk 
Selle ringjoone raadiuse  , mis sõltub  -ist ja kera raadiusest  , saame avaldada 
Pythagorase teoreemi kaudu: 
375
Neid kettaid aina väiksema paksuse korral kokku liites saame nagu kera pindala
leidmiselgi integraali [lk 340], seejuures vasemalt äärelt paremale välja jõudmiseks 
muutub horisontaalne kaugus   vahemikus 
. Seega võime ruumala kirjutada 
, ruumala
järgmise integraalina:
t, pindala
Seda oskame kooliõpiku abil juba arvutada:
ümbermõõ
Tulemuseks saamegi kera ruumala valemi
Huvitav on see, et sellest kera ruumala valemist saame tegelikult nüüd tuletada ka 
kera pindala valemi. Nimelt võiksime ju ka mõelda, et kera koosneb mitte ketas-
test, vaid hoopis sfäärilistest kihtidest:
Seega saaksime kera ruumala, kui liidaksime kokku nende sfääriliste kihtide ruum- 
alad. Keskpunktist kaugusel   asuva peenikese sfäärilise kihi ruumala oleks nüüd 
umbes 
, kus   on raadiusega   kera pindala ning   siis õhukese sfääri paksus. 
Seega võiksime analoogiliselt eelnevaga kirjutada ruumala integraalina üle nende 
sfääriliste kihtide:
376
See aga tähendab täpselt, et kui vaatame kera ruumala kui funktsiooni raadiusest, 
siis on kera pindala selle funktsiooni tuletis! Seega kui teame juba kera ruumala, 
võime leida tema pindala, kasutades integraali ja tuletise vahelist seost.
, ruumala
Tõepoolest, nägime ju tuletise ja integraali vahelise seose peatükis [lk 352], et ühe 
funktsiooni 
 integraal annab meile vastuseks ühe niinimetatud algfunktsiooni: 
funktsiooni, mille tuletis on igas punktis võrdne funktsiooniga 
. 
Nüüd aga, vaadates kera pindala funktsioonina raadiusest, annabki ruumala ühe
t, pindala
võimaliku algfunktsiooni. Seega peame pindala leidmiseks ühes punktis lihtsalt 
leidma ruumala tuletise samas kohas. Valemites: 
ümbermõõ
kocHi lumeHelves
Muidugi tahaksime, et matemaatikas oleks kõik nii, nagu meie vaist seda õigeks 
peab. Siiski selgub, et niipea kui mõne definitsiooni rangelt matemaatiliselt kirja
paneme, alustab ta justkui oma elu, libiseb meie käe alt välja ja korraldab midagi 
üllatavat. Tihti peame seejärel matemaatikaga paremaks läbisaamiseks oma intuit-
siooni ümber kujundama.
Kirjeldame järgnevalt ühte kujundit, mis näibki algul pigem mõistusevastane: tal 
on lõplik pindala, aga lõputu ümbermõõt. Seda kujundit kutsutakse Kochi lume-
helbeks.
Kochi lumehelbe saamiseks peame läbima järgmise protsessi:
•  alustame võrdkülgsest kolmnurgast,
•  esimesel sammul jaotame iga külje kolmeks võrdseks osaks ja
ehitame iga külje keskmisele kolmandikule väljapoole võrd-
külgse kolmnurga, 
  nagu jooniselt näha, võib nüüd eristada kuut väiksemat kolm-
nurka, millest igal on kaks väljapoole avatud külge,
•  edasi konstrueerime analoogselt eelnevaga iga väljapoole ava-
tud külje keskele uue kolmnurga,
377
•  aina jätkame ja jätkame protsessi uute, väiksemate külgedega...
, ruumala
t, pindala
ümbermõõ
Nagu  jooniselt  näeme,  tekib  nii  midagi  lumehelbe  sarnast.  Kui  protsessi   kange -
kaelselt jätkata, näeb tekkiva kujundi piirjoon iga suurusega luubi all välja umbes 
ühesugune (alati paistab, et on üks külg, mille keskele on konstrueeritud kolmnurk, 
ja siis veel natukene väikest müra ):
378
Mis võiks olla tekkiva kujundi ümbermõõt? Kui alguses on  kolmnurga ühe külje 
pikkus  , siis pärast esimest  etappi  oleme külje asendanud   lõiguga, millest iga- 
 ühe pikkus on   ehk kokku on tema pikkus  . Igal järgmisel etapil on   korda rohkem 
, ruumala
lõike, kuid iga lõik on   korda lühem ehk lõikude kogupikkus suureneb   korda. 
Seega pärast sajandat konstruktsiooni on lõikude kogupikkus juba 
 
ning protsessi lõpmatult jätkates muutub ka kujundi ümbermõõt lõpmata suureks:
t, pindala
Lähemalt vaadeldes selgub samas, et pindala ei saa sellel kujundil väga suur olla ja 
ümbermõõ
kindlasti peab ta olema lõplik. Nimelt mahub Kochi lumehelves näiteks alati jooni-
sel toodud sinisesse ristkülikusse:
Pärast mõningat arvutustööd selguks, et tema pindala on täpselt  . 
Kui nüüd järele mõtleme, miks meile toodud olukord paradoksaalne tundub, siis 
ilmselt on põhjus väga lihtne: igapäevaelus me ilmselt sellist kujundit kohanud 
pole, kus ümbermõõt oleks lõpmatu ning pindala lõplik. Meie masinavärk ei luba 
lihtsalt selliseid pikkuseid mõõta: päriselus ei ole meil tegelikult ju kasutada lõp-
matu suurendusega luupe ning iga lõpliku suurusega luubi korral tunduks ka Kochi 
lumehelbe ümbermõõt lõplik. Samuti paistab, et tänane füüsika ei tahaks hästi sel-
liseid kujundeid lubada. 
Siiski, matemaatikat need kaalutlused ja kitsendused ei sega – võime sama vabalt 
leida ka näiteks lõpmatu pindala ja lõpliku ruumalaga kujundeid (näiteks niinime-
tatud Gabrieli pasun) ning teisi sarnaseid veidrikke.
379
permutatsioonid  
oriaal
ja faktoriaal
 fakt
 ja
permutatsioon
atsioonid
Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel ülesrivistus. Näiteks
permut
on jalgpallimeeskonna täpne reastus hümni laulmise aegu üks võimalik põhikoos-
seisu permutatsioon. Samuti on permutatsioon nelja tinasõduri ülesrivistus akna-
laual ning kõikvõimalikud laused, mida võib moodustada kolme sõnaga – mulle, 
meeldib, matemaatika.
Põhiliselt huvitab meid siin peatükis permutatsioonide arv, mida   objekti korral 
tähistatakse  . Muidugi ei ole siin objektide enda täpne olemus oluline – meil on 
sama palju reastusi  -st tinasõdurist kui  -st tõsisest kaitseväelasest.
380
permutatsioonide arv
oriaal
Kui palju lauseid võib moodustada kolme sõnaga mulle, meeldib, matemaatika? 
Rõõmuks ja motivatsiooniks paneme nad esiteks muidugi kirja:
 fakt
 ja
Mulle meeldib matemaatika.
Mulle matemaatika meeldib.
Meeldib mulle matemaatika.
atsioonid
Meeldib matemaatika mulle.
Matemaatika mulle meeldib.
permut
Matemaatika meeldib mulle.
Neid lauseid on seega täpselt kuus. Eesti keel on vahva, kuna paljudes teistes keel-
tes ei oleks kõik toodud kuus lausest grammatiliselt võimalikud, meil aga teatud 
mööndustega on.
Siiski oleks olnud ilmselt meeldivam , kui ei oleks pidanud kõiki lauseid loetlema 
ning oleksime võinud kohe mõne valemi abil öelda, palju erinevaid lauseid leidub. 
Kuidas sellist valemit leida?
•  Märkame,  et  esimese  sõna  valikuks  on  meil  kolm  võimalust:
mulle, meeldib või matemaatika. 
•  Kui  oleme  esimese  sõna  valinud,  jääb  täpselt  kaks  võimalust
teise sõna valikuks. 
•  Kui  aga  teinegi  sõna  on  valitud,  võime  kolmanda  sinna  vaid
lõppu visata. 
Esimesel sammul oli meil   võimalust, teisel   ja kolmandal ainult   võimalus. Kuna 
kõik valikud on üksteisest sõltumatud, on võimalusi kokku täpselt 
Oleks meil neli sõna, ei oleks kõik moodustatavad laused ilmselt enam gramma-
tiliselt korrektsed, ent sarnase arutelu kaudu näeksime siiski, et moodustada on 
võimalik 
 erinevat lauset.
Sama mõttemustrit edasi viies näeme, et   sõna jaoks oleks lausete arv 
 ehk teisisõnu
381
faktoriaal
oriaal
Selgub, et järjestikuste arvude korrutamine on nii mõnus ja nii tihti ettetulev tege-
 fakt
vus, et sellele tasub ka päris oma tähistus anda. 
 ja
Nii tähistabki  -faktoriaal esimese kümne positiivse täisarvu korrutist 
 
ning  -faktoriaal seega korrutist 
. Kuni 19. sajandini tähistati 
-faktoriaali sümboliga  . Varsti leidis õnneks esteetilise tunnetusega prantsuse 
atsioonid
matemaatik  Christian Kramp , et tegemist ei ole teab mis kena sümboliga, ning tõi 
kasutusele tänapäevase tähistuse:  .
Nagu äsja lugesime, ongi   objekti permutatsioonide arv täpselt võrdne  -fakto-
permut
riaaliga ehk, kuna matemaatikud sümbolitega ei priiska: 
faktoriaali kasv*
Faktoriaali juures on muljet avaldav tema kasvukiirus. Kui hakkame järjest fakto-
riaali välja arvutama, oleme varsti pigis – taskuarvuti ütleb üles! 
Juba 
 annab meile arvu 
. Kui faktoriaali meile juba 
tuntud funktsioonidega võrrelda, siis faktoriaal kasvab kiiremini kui ükskõik milline 
polünoom [lk 266] ja isegi kiiremini kui ükskõik milline eksponentsiaalfunktsioon 
[lk 280].
Eks lihtsaim viis ülevaate saamiseks on ikka oma silmaga mõnd näidet uurida. Jälgi, 
kuidas kolm erinevat funktsiooni (lilla on polünoom, tumesinine eksponentsiaal-
funktsioon ning helesinine faktoriaal) kasvavad:
382
Faktoriaal kihutab juba üsna varakult polünoomist mööda ja veidi hiljem möödub ka 
eksponentsiaalfunktsioonist. Kui ainult pilt pole veel piisavalt veenev , siis võib lugeda 
ka järgnevat selgitust, mis küll rangele matemaatilisele täpsusele ei pretendeeri. 
oriaal
Märkame, et ...
 fakt
 ja
1. Polünoomi 
 kasvust võime mõelda järgmiselt: kui tema 
argumenti (muutuja   väärtust)   korda suurendame, siis funkt-
sioon kasvab 
 korda. 
2. Eksponentsiaalfunktsiooni 
 kasvust võime mõelda 
atsioonid
järgmiselt: kui tema argumenti ehk  -i suurendada   korda, siis 
on see võrdväärne funktsiooni ruutu tõstmisega.
permut
Kumb neist kasvab kiiremini? Mõtleme juhule, kui meil on argumendiks väga suur 
arv, näiteks 
. 
Selle argumendi väärtuse kahekordistamisel suureneb polünoomfunktsioon ainult 
 korda, eksponentsiaalfunktsioon aga tervelt 
 korda – seega kasvab ekspo-
nentsiaalfunktsioon vähemalt selles vahemikus palju kiiremini. Kiire  mõtisklus näi-
tab, et küllap ta siis rebib varem või hiljem ette.
Aga mida tähendab faktoriaali jaoks argumendi kahekordistamine? 
Arvust   saab 
 ja seega argumendi 
 jaoks saame argumendi kahekordis-
tamisel algse faktoriaali 
  asemele faktoriaali 
. See tähendab, et korru-
tame kokku 
 esimest naturaalarvu.
Seega faktoriaal kasvab täpselt
korda. See arv on aga palju suurem kui 
 – meil on kokku 
 tegurit, millest iga 
on suurem kui 
!. Teisisõnu, argumendi kahekordistamisel suureneb faktoriaal 
veel mitu korda rohkem kui ruutuvõtmise korral. Jällegi, varem või hiljem rebib ta 
ka eksponentsiaalfunktsioonist ette.
Niisiis peaks olema täiesti usutav, et faktoriaal kasvab kiiremini kui eksponentsiaal-
funktsioon ja seega ka kiiremini kui polünomiaalfunktsioon. 
Järelikult kui keegi räägib oma varade eksponentsiaalsest kasvust, tuleb muidugi 
üle kelkida ja vastata: see pole veel midagi, minu  varandus kasvab faktoriaalselt!
383
kombinatsioonid ja 
variatsioonid
iatsioonid
  var
  ja
Kui permutatsioonid olid seotud teatud objektide järjekorraga, siis kombinatsioo-
nid ja variatsioonid on seotud objektide valikuga. 
tsioonid
Üks kombinatsioon on näiteks kodupeenralt südamekaaslasele valitud kolm lille-
nuppu või pokkerimängus jagatud viis kindlat kaarti või kolm õpilast, kes tahvli ees 
vastama peavad.
kombina
Ehk teisisõnu on üks kombinatsioon kindla arvu objektide valik mingi kindla arvu 
objektide hulgast. Kombinatsioonide puhul valime objektid välja ilma kindla jär-
jestuseta.
Variatsioonide puhul on samuti tegemist samasuguse objektide valikuga, aga sel 
juhul huvitab meid ka nende järjekord – me valime kolm õpilast, kes tahvli ees vas-
tama peavad, ning anname neile lisaks ka vastamisjärjekorra.
384
Variatsioonid ja kombinatsioonid on omavahel tihedalt seotud. 
Variatsioonist saame kombinatsiooni siis, kui võtame  variatsiooni ning seejärel 
unustame elementide järjekorra. Näiteks õpetaja võib tunni jaoks välja valida kolm
järjestikust vastajat , seejärel ümber mõelda ja lasta neil korraga kirjalikult vastata, 
iatsioonid
nii et järjekorral ei ole enam tähtsust.
  var
Kombinatsioonist saame aga variatsiooni, kui võtame ühe kombinatsiooni ning siis 
  ja
anname valitud elementidele ka järjekorra. Näiteks õpetaja võib valida kolm vasta-
jat ja siis anda neile vastamisjärjekorra.
tsioonid
kombinatsioonide ja variatsioonide arv
kombina
Pokkerihaisid (kui nad tahavad olla ohtlikud haid) huvitab muidugi, kui palju leidub 
erinevaid pokkerikäsi ühest pakist – see võimaldab näiteks arvutada, kui suur on 
tõenäosus, et mõnel teisel sõbral lauas on paremad kaardid. 
Kui mängid pokkerit, kus igale mängijale jagatakse viis kaarti, huvitab meid 5-kaar-
diste kombinatsioonide arv   kaardi hulgast. Seda arvu tähistatakse  . Üldise-
malt tähendabki   või 
 võimaluste arvu valida   objekti hulgast   erinevat.
Näiteks leidub
 erinevat pokkerikätt.
Variatsioonide arvu tähistatakse omakorda  .  Näiteks  kui  tahaksime  mingil
põhjusel leida kõikvõimalike järjestatud pokkerikäte arvu, siis võib arvutada: 
Väikeste arvude korral võime kõik kombinatsioonid ja variatsioonid muidugi üles 
lugeda, aga nagu nägime, on juba pokkerikäte korral tegemist päris suurte arvu-
dega ning neid järjest lauale seades võime märkamatult päris vanaks saada. 
Seega üritame järgnevalt mõelda, kuidas leida kombinatsioonide ja variatsioonide 
arvu kõiki võimalusi läbi vaatamata.
variatsioonide arv
Leiame kõigepealt variatsioonide arvu. Arutelu on analoogne permutatsioonide 
arvu leidmisega – järjestuse esimese kolme elemendi kindlaks määramine ongi ju 
täpselt kolme järjestatud elemendi väljavalimine.  
385
Ehk siis kui meil on näiteks vaja valida   järjestatud kaarti  -st, siis valime nad üks-
haaval, järgemööda. Esimese valik on täpselt   võimalust, teise valikuks jääb siis 
 võimalust, kolmanda valikuks  , neljanda valikuks   ja viienda valikuks   või-
malust. Kuna kõik valikud on sõltumatud, näeme, et 
,  
iatsioonid
mis annab tõesti arvu 
  var
Üldjuhul saame siis samasuguse arutelu abil, et 
. 
  ja
Selle korrutise võime ka faktoriaalide abil kirja panna:  murru lugejasse seame kogu 
korrutise ning murru nimetaja abil taandame ära korrutise lõpuosa: 
tsioonid
Tegelikult oleksime võinud variatsioonide arvu leidmiseks kasutada ka teistsugust 
kombina
arutelu ja lähtuda otse permutatsioonide arvust. Nimelt  -elemendi reastamisest 
(ehk ühest permutatsioonist) võime mõelda järgmiselt:
1.  Kõigepealt seame ritta mingid   esimest elementi ehk valime 
 elemendist   elementi, arvestades ka järjekorda, milleks ongi 
variatsioon:  .
2.  Seejärel reastame sinna järele kõik ülejäänud 
 elementi 
ehk valime permutatsiooni: 
Kuna need sammud on sõltumatud, on  -permutatsioonide arv kokku 
ehk
See annabki aga täpselt eelmise valemi, seekord koos intuitiivse selgitusega.
kombinatsioonide arv
Leidmaks lõpetuseks kombinatsioonide arvu, tuletame meelde enne mainitud 
seose kombinatsioonide ja variatsioonide vahel: igast  -variatsioonist võime teha 
-kombinatsiooni, kui elementide järjekorra ära unustame. 
-elemendi järjekordade arv on aga täpselt võrdne permutatsioonide arvuga  .  
Seega on iga kombinatsiooniga seotud täpselt   erinevat variatsiooni. Nii peame
kombinatsioonide arvu saamiseks jagama variatsioonide arvuga   ehk 
386
Eelmises alapeatükis leidsime, et 5 kaardi võtmiseks (kui järjekord on oluline) on 
meil 
 võimalust.
iatsioonid
Kui meil on   kaarti, siis kaartide permutatsioon näitab erinevaid võimalusi nende 
  var
kaartide järjestamiseks, milleks on 
  ja
Kui järjekord ei ole tähtis, siis kokku on kaardipakist   kaardi võtmiseks
tsioonid
võimalust.
kombina
387
ähendus
  t
osusteooria
tõenä
388
ähendus
  t
osusteooria
tõenä
 osa 9
lugusid 
tõenäosusteooriast
389
ähendus
  t
osusteooria
tõenä
390
ähendus
  t
Ei ole kindel, et midagi kindlat  
pole olemas.
osusteooria
Blaise Pascal
tõenä
391
tõenäosusteooria  
tähendus ja kasutamine
ähendus
  t
Tõenäosus tundub lihtne ja intuitiivne mõiste. Ühe kindla sündmuse tõenäosus 
võiks tähendada täpselt seda, kui tihti see konkreetne sündmus juhtub võrreldes 
teiste, temaga konkureerivate  sündmustega. 
osusteooria
Teisisõnu tahaksime sümbolite keeles lihtsalt defineerida:
tõenä
See definitsioon on siiski üsna hägus, sest ta jätab  vastamata  päris paljudele küsi-
mustele.
•  Milliseid teisi sündmuseid me sageduse arvutamiseks arvesse 
peaksime võtma? Koduõues täringuga kuue viskamine ei ole ju 
kuidagi seotud näiteks kaardipaki segamisega Austraalias, aga 
on seotud sama täringuga kahe või kolme viskamisega.
•   Kui palju vaatlusi on vaja teha, et võiksime sündmuse sageduse 
mõistlikult välja arvutada? Ilmselt ühest vaatlusest ei piisa – sel 
juhul võiks ju tõenäosus olla ainult null või üks. Aga kas näiteks 
kolmesajast on küll?
•   Mida  teha  sündmustega,  mis  võivadki  juhtuda  ainult  maksi-
maalselt üks kord? Tahaksime ju võrrelda tõenäosuseid, et üks 
või teine meie sõber saab presidendiks, või isegi rääkida tõe-
näosusest, et maaväline elu eksisteerib. Sageduse abil tõenäo-
susest mõtlemine on sel juhul üsna selgelt raskendatud.
Selgub, et hoolimata nendest küsimustest on tõenäosus igati mõistlik idee väga 
paljudes erinevates olukordades. Tema käsitlus nõuab küll tõesti natuke rohkem 
täpsust, kui alguses välja pakutud idee. Järgnevalt selgitame mõne loo abil, kuidas 
tõenäosusest võiks mõelda, kuidas teda võib elu kirjeldamisel rakendada ning mil-
liseid ohte  mõlemal juhul silmas tuleks pidada.
392
Väike mündilugu ehk mida tõenäosus   
ikkagi tähendab?
ähendus
  t
Hans ja Grete istuvad keset metsa pimedavõitu onnis . Hans, keda pimeduses istu-
mine järsku ära tüütab, süütab salaja kaasa võetud küünla, võtab taskust välja 
särava mündi ning hakkab Gretet tõenäosusteooriaga kiusama.
Hans: Grete, mis on tõenäosus, et ma nüüd viskan oma mündiga kulli ja mitte kirja?
osusteooria
Grete: Kallis Hans, kindlasti hakkad mind nüüd kavaldama, aga praegu arvan küll, 
et kull ja kiri on täiesti võrdväärsed ning seega on tõenäosus täpselt pool.
tõenä
Hans viskab sõnagi lausumata münti, aga kohe, kui münt käeseljale maandub, 
katab ta teise käega, nii et tulemust ei näe ei Grete ega Hans isegi.
Hans: Aga nüüd, Grete, mis on tõenäosus, et siin käe all  varjus  olev münt  varjab  
kulli?
Grete: Ma ei ole  harjunud   niimoodi  tõenäosusest mõtlema – münt on ju juba visa-
tud, nüüd tal kas on kull pealpool või ei ole. Kuidas ma nii tõenäosusest üldse rää-
kida saan? 
Hans:  Aga kas sa oleksid nõus näiteks kihlveoga, kus ma annan sulle kaks šoko-
laadi , kui tegemist on kulliga, ning sina mulle ühe, kui tegemist on kirjaga?
Grete: See tundub sinust palju lahkem kui tavaliselt. Ma oleksin nõus küll. Sa tead 
sama vähe kui mina, meie mõlema meelest võiks praegu mündi peal olla sama 
hästi nii kull kui kiri... Seda sa vist mõtlesidki tõenäosuse all? Minu meelest on tõe-
näosus, et münt on kull, endiselt pool.
393
Hans: Väga hea, Grete, väga hea. 
Hans piilub nüüd ise münti ja ütleb Gretele, et tegemist on kulliga, ent ei näita seda 
veel Gretele.
Hans: Mis on Sinu meelest nüüd tõenäosus, et münt on kull?
ähendus
  t
Grete: Münt ise on ammu juba visatud ja nüüd sa ju just ütlesid, et see on kull, kui-
das ma siis saan veel tõenäosusest rääkida?
Hans: Aga Grete, enne ütlesin ma ka sulle, et mul ühtegi küünalt ei ole, sest tahtsin 
natuke aega sinuga pimedas olla.
osusteooria
Grete: Seega sa võiksid jälle valetada nagu enne?
Hans: Võiksin.
tõenä
Grete: Münt on visatud, ta on kas kull või kiri, sina juba tead tulemust, ütled mulle, 
et tegemist on kulliga, ja nüüd peaksin mina ütlema, mis on tõenäosus, et tegemist 
on kulliga. Ma ei saa enam midagi aru. 
Hans: Mõtle, Grete, muidu kustutan küünla jälle ära!
Grete: Ma proovin ju. Kui sa mulle kunagi ei  valetaks , siis oleks tegemist kindlasti 
kulliga ja tõenäosus oleks seega üks. Kui sa kogu aeg valetaksid, oleks tegelikult kiri 
ülalpool ning kulli tõenäosus oleks null. Kui sa ajaksid kogu aeg täiesti suvalist juttu, 
siis võiksin sinu ütlust ignoreerida ja tõenäosus oleks jälle pool. Aga...
Hans: Aga vahepeal ma ikka räägin tõtt ka. Näiteks siis, kui ütlesin, et oleme kadu-
nud.
Grete: Jah, kahjuks või õnneks küll. Seega tõenäosus, kas münt on kull või mitte,  
on nüüdseks hoopis tõenäosus, kas sa räägid tõtt või mitte. 
Hans: Väga tubli , Grete. Kas sa seda tõenäosust tead?
Grete: Ei tea.
Hans: Aga kas sa saaksid seda kuidagi leida?
Grete:  Kui  ma  oleksin  kõik  meie  jutuajamised  lindistanud  ning  seejärel  loeksin 
pärast kokku, kui palju kordi sa oled valetanud ning kui palju tõtt rääkinud, siis võik-
sin seda tõenäosust vähemalt hinnata.
Hans: Grete, lindistamine ei ole ilus, Edgar korra juba proovis.
Grete: Tõsi, Hans, aga mis on see tõenäosus, et ka mina vahele jääksin?
394
järelnoodid
Tõenäosustest rääkides peab olema väga hoolikas, mis sündmuse tõenäosusest 
ähendus
just parasjagu räägime. Iga tõenäosuslik kirjeldus on tegelikult lihtsustus maail-
  t
mast – me ei tea täpselt, mis juhtub, aga tahame seda ennustada või kirjeldada. 
Tõenäosusliku kirjelduse jaoks loetleme sündmused, mis juhtuda võiksid, ning 
anname neile hinnangud, kui tihti üks või teine neist juhtub. Need hinnangud ongi 
sisuliselt niinimetatud tõenäosused.
osusteooria
Nagu  nägime,  sõltub  nende  hinnangute  või  tõenäosuste  määramine  meie  enda 
teadmistest. Kui teame, et münt on sümmeetriline, võiksime hinnata, et kulli või 
kirja viskamine on täpselt pool.
tõenä
Kui aga teaksime, et ta on natukene vildakas, on selle hinnangu andmine palju 
raskem – peaksime ilmselt tegema enne sadu viskeid ning selle põhjal tõenäosust 
hindama. See hinnang jääks aga alati ligikaudseks ja peegeldaks lihtsalt meie tolle 
hetke teadmist.
tõenäosusteooria algus   
ehk kuidas Valed arVutused ViiVad pankrotti 
Tõenäosusteooria algusloo kohta on liikvel huvitav legend. Selle legendi kohaselt 
ei ole tõenäosusteooria aluskiviks sugugi intellektuaalne huvi, vaid hoopis kirglik 
hasartmäng.  Nimelt  hakkas  paadunud  ja  tunnustatud  hasartmängur  ning  ama-
töörmatemaatik   Chevalier   de  Méré  (1607– 1684 )  enda  loodud  reeglitega  järsku 
täringumängus  pidevalt kaotama.
395
Probleemile lahenduse leidmiseks otsustas ta kirjutada ühele oma heale  sõbrale, 
kuulsale prantsuse matemaatikule ja filosoofile Blaise Pascalile (1623–1662). See 
17. sajandil kirjutatud murekiri panigi praeguse arusaama kohaselt aluse tõenäo-
susteooria arengule. 
ähendus
Oma kirjas kurtis Chevalier de Méré Blaise Pascalile, et täringutepaar, mis oli talle 
  t
sisse toonud hulgaliselt raha, on nüüd järsku hakanud alt vedama. 
Algupäraselt oli kihlvedu järgmine: Chevalier de Méré väitis, et ta suudab nelja vis-
kega raudselt vähemalt korra kuue visata. Kirja autorile tundus loogiline, et sellise 
kihlveoga peaks rohkem võitma kui kaotama, ning aja jooksul saadud võidud aina 
osusteooria
süvendasid seda uskumust. Kui alguses leidus tublisti huvitunud mängijaid, kes 
olid oma kuueviskamisandes kindlad, ei jätkunud kihlvedusid siiski kuigi kauaks –  
Chevalier  de  Méré  pidevad  võidud  kahandasid  kiiresti  nende  inimeste  arvu,  kes 
tõenä
mänguga soostusid.
Nii otsustas Chevalier de Méré mängureegleid muuta. Nüüd väitis ta, et suudab   
täringupaari viskega saada vähemalt korra topeltkuued. Ta oli veendunud, et siingi 
peaks kihlvedu tema kasuks olema. Ometigi hakkas aga vaene Chevalier de Méré 
aina kaotama...
Kuna temagi argumendid olid ta enda meelest üsna matemaatilised, läks ta oma 
tusatujus nii kaugele, et kuulutas matemaatika ja päriselu vahelise suhte olema-
tuks. Nagu kohe näeme, matemaatika temaga siiski päris nõus ei ole.
396
mida arVab CheValier de méré   
kihlVedudest matemaatika
ähendus
  t
Chevalier de Méré väitis, et ta suudab:
1)  visata nelja täringuga vähemalt ühe kuue,
2)  visata kahekümne nelja täringupaariga vähemalt korra  topelt -
kuued.
osusteooria
Esimese kihlveoga oli ta rikkaks saamas, ent  teisega  mängis oma  varanduse  kär-
melt  maha. Chevalier de Méré oleks nende kihlvedudega raha kokku ajanud para-
jasti siis, kui ta oleks rohkem kui pooltel kordadel suutnud oma lubatut täita. 
tõenä
Kuidas oleks ta võinud ette juba aimata, kui tihti ta võidab või kaotab?
Üks võimalus oleks olnud leida täringuviskele tõenäosuslik kirjeldus. Nimelt, üks 
tõenäosuse tõlgendus on ju just nimelt sageduslik – tõenäosus näitab, kui tihti üks 
või teine sündmus meie kirjelduse kohaselt pikas perspektiivis juhtub. Rohkem 
kui pooltel kordadel tähendab seega, et selle sündmuse tõenäosus on suurem kui 
pool. 
Näeme, et armas hasartmängur pidanuks rikkaks saama parajasti siis, kui tal oleks 
olnud täringuviskest täpne kirjeldus ning mõlema tema lubaduse tõenäosus selles 
kirjelduses oleks olnud poolest suurem.
Täringuviske tõenäosuslik kirjeldamine on üsna lihtne. Nii kaua kui mäng on aus 
(ja vaevalt et petturiga keegi täringuid viskaks!) on mõistlik eeldada, mõelda või 
postuleerida, et kõik täringu küljed on võrdväärsed – on võrdne võimalus, et viskel 
tuleb ükskõik milline külgedest. Seega on kõikide nende tõenäosus täpselt  .
Esimese kihlveo korral on soodsaks sündmuseks see, et  visatakse  nelja viske jook-
sul vähemalt korra üks kuus. Selgub, et lihtsam on aga arvutada selle sündmuse 
vastandsündmuse tõenäosust – ehk siis sündmuse, et igal viskel visatakse üks kuni 
viis silma, tõenäosust. Nimelt piisab sel juhul iga viske eraldi uurimisest ja nende 
sidumisest sõltumatute sündmuste reegli abil.
Tõenäosus, et ühel viskel viskame üks kuni viis silma, on  . Kõik visked on aga oma-
vahel sõltumatud ning võime nende tõenäosused kokku korrutada, leidmaks tõe-
näosus, et me ei viska ühtegi kuut. See on parasjagu
. 
397
Kuna vastandsündmuste tõenäosuste summa on üks, siis järeldame, et vähemalt 
ühe kuue viskamise tõenäosus on umbes 
 ehk rohkem kui pool. Siit tulevad 
võidud!
Ka teise kihlveo korral on lihtsam välja arvutada vastandsündmuse tõenäosust – 
ähendus
tõenäosust, et igal täringupaari viskel ei saada topeltkuut. Iga sellise viske tõenäo-
  t
sus on täpselt  , kuna kokku on   võimalikku paari. Seega leiame, kasutades jällegi  
sõltumatute sündmuste reeglit, et mitte  ühegi kuute paari viskamise tõenäosus on
. See on aga rohkem kui pool! Seega on ühe   silmaga täringupaari 
viskamise tõenäosus omakorda vähem kui pool ning selge see, et härra de Méré 
osusteooria
oma rahast ilma jäi. 
Matemaatika igal juhul süüdi pole!
tõenä
Mille  vastu Chevlier  de  Méré  siis  eksis?  Selle  asemel,  et  hoolsalt  arvutada  (peab 
tunnistama, et tol ajal ei olnud muidugi arvude  . astme leidmine nii väga lihtne), 
uskus ta oma intuitsioonil põhinevat mõtteviisi . Ta arutles, et kahe kuue viskamine 
kahel viskel on   korda vähem tõenäoline kui ühe kuue viskamine ühel viskel ja et 
seega tuleb   korda rohkem viskeid teha, et seda kompenseerida. Kõlab isegi päris 
usutavalt?
kas mu sõbrannast saab riigikogu liige 
ehk tõenäosuste määramise raskustest
Tore oleks vahel Toompeal teed juua. Üks võimalus selle  unistuse  realiseerumiseks 
on see, kui parimast sõbrannast saab Riigikogu liige. See ei ole sugugi kindel, aga 
päris võimatu ilmselt ka mitte. Kas sellele on võimalik mingi mõistlik tõenäosuslik 
hinnang anda?
Selle jaoks oleks meil vaja jällegi mingit tõenäosuslikku kirjeldust. Kõige lihtsam 
võimalik kirjeldus tegelebki ainult lõpptulemusega: meie sõber kas saab või ei saa 
Riigikogu liikmeks, seega on meil täpselt kaks elementi, millele tahaksime tõenäo-
sused külge pookida. Lisaks peaks nende tõenäosuste summa olema veel üks – 
seega sisuliselt jääb hinnata ainult üks arv.
Kogu raskus on aga neile võimalustele tõenäosuste määramises. See ongi ju täp-
selt meie küsimuse ümbersõnastus!  Kuidas neid tõenäosuseid määrata?
Võrdväärsuse eeldus siin kehtivat ei paista – tundub siiski tõenäolisem, et sõbran-
nast ei saa Riigikogu liige. Seega pool ja pool peame ilmselt välja jätma.
398
Ka statistika ei paista kohe kaasa aitavat: meil on ju üks konkreetne sõbranna ja 
temaga saame katset teha täpselt ühe korra ja see katse saab läbi alles mitme-
kümne aasta pärast!
ähendus
Seega selgub, et meie matemaatiline mudel on liiga täpne – peame seda hajusa-
  t
maks muutma, et üldse midagi öelda või ennustada. 
Üks viis selle tegemiseks on sõbra unikaalsusest loobuda. Võiksime küsida hoopis: 
mis on tõenäosus, et mõni neiu saab Riigikogu liikmeks? Siin võiksime küll kõik 
Eesti naiskodanikud kokku arvata ja vaadata, paljud neist on saanud Riigikogu liik-
osusteooria
meteks, ning hinnang olekski käes!
Aga ometi, meie sõbranna ei ole ju lihtsalt üks tavaline eestlanna. Tal on näiteks 
tõenä
punane pea. Ehk mängib see olulist rolli, ehk peaksime ka seda arvesse võtma? Või 
seda, et ta on väga tark? Kuidas seda otsustada?
Ideaalis tuleks teha statistikat! Otsustada, millised omadused ( juuksevärv ,  haridus , 
jalanumber  jpt)  mängivad  rolli  Riigikogusse  valimisel  ja  millised  ei  mängi.  Liiga 
palju omadusi arvesse võtta ei saa – muidu jõuaksime jälle olukorda, kus ainult 
meie sõbrannal ongi kõik need omadused. Samas, liiga vähe omadusi arvesse võt-
tes oleksime liiga ebatäpsed.
Hea tõenäosusliku kirjelduse ning sinna sobivate tõenäosuste leidmine on väga 
raske. Mõnikord üritatakse sellest üle hüpata ja mitte täpsustada, mille kohta täpselt 
tõenäosuslik kirjeldus käib, või jätta teatamata, kust on tõenäosused ise võetud –  
on nad pärit eeldustest, on nad pärit mingitest andmetest, millistest andmetest 
nad pärit on. 
Näiteks  kui   reklaam   ütleb,  et   hambapasta   tapab 
 bakteritest, siis mida see 
tähendab? Mis on see tõenäosuslik kirjeldus seal taustal? 
Kas see tähendab, et bakterikultuuridele pandi mitmeid kordi peale hambapastat 
ning 
 juhtudest tapeti kõik bakterid? Milliseid baktereid sel juhul üldse kasu-
tati, kas neid, mis on  suus , või suvalisi, mis ehk kannatavad vähem  fluori ? Millises 
keskkonnas neid kasvatati? Miks see peaks üldistuma suukeskkonnale?
399
Või äkki mõõdeti tõesti bakterite arvu suus enne  hambapesu  ja pärast hambapesu 
ning iga kord oli pärast pesu alles 
 baktereid? Kas alati just täpselt 
 või kesk-
miselt 
? 
Arv 
 on ilus, aga mida ta ikkagi tähendab?
ähendus
  t
Kuigi kõigesse maksab suhtuda optimistlikult – üks korralik inimene ju niisama 
petuaktsiooni ei korralda –, tuleb siiski olla ettevaatlik. Niipea kui õhku tõusevad 
protsendid ja tõenäosused, tasub mõelda, mis on ikkagi peidus olev kirjeldus. 
Ja kui tahad ikka Toompeal teed juua, on Sul ilmselt vaja rohkem kui ühte sõbran-
nat.
osusteooria
tõenä
kes on kõrgema iQ-tasemega   
ehk jaotuste Võrdlemine
Oletame, et mingil kummalisel põhjusel tahaksime omavahel võrrelda mehi ja 
naisi või noori ja vanu. Üldiste järelduste tegemiseks ei piisa sel juhul mõne konk-
reetse  paari  tulemuste  või  mõõtude  võrdlemisest.  Näiteks  selle  jaoks,  et  öelda, 
kas mehed või naised on pikemad, ei saa ju võtta lühimat meest ja pikimat naist. 
Tuleb ikka ühte patta panna andmeid paljude meeste kohta, teise andmeid paljude 
naiste kohta ning võrrelda nende padade sisusid. 
Kõiki andmeid ühes pajas koondabki endas tõenäosus- või sagedusjaotus. Tihti 
esitatakse neid jaotuseid graafiliselt, histogrammi abil, mis näitabki, kui sagedasti 
üks või teine sündmus juhtus. Näiteks siin on hirmutamiseks toodud matemaatika 
eksamitulemuste jaotus eraldi poiste ning tüdrukute jaoks:
400
ähendus
  t
osusteooria
tõenä
Kuna jaotuste kõrvutamisel ei võrdle me enam kahte arvu, vaid kahte pajatäit arve, 
pole see kõrvutamine ega selle põhjal järelduste tegemine enam sugugi nii lihtne 
ja ühene.
Näiteks oletame, et meil on kaks hõimu „tartlased” ja „tallinlased” ning meil on 
teada mõlema hõimu kõikide liikmete IQ-testi tulemus. Hõimus „tartlased” on 
 
inimestest IQ 
 ning 
 IQ  . Hõimus „tallinlased” on kõikidel võrdselt IQ 
Kumb hõimudest on kõrgema IQ-tasemega?
Ühelt  poolt  on  hõimus  „tartlased”  keskmine  IQ-tase: 
 
ning hõimus „tallinlased” vaid 
. Teiselt poolt on kõik hõimu „tallinlased” liikmed 
kõrgema IQ-tasemega kui tervelt 
 hõimu „tartlased” liikmetest. 
Selgub, et meie küsimus on liiga ebatäpne: mida me ühe hõimu kõrgema IQ-ta-
seme all silmas pidasime? Seda, et tema keskmine IQ-tase on kõrgem? Et suurema 
osa  tema  liikmete  IQ-tase  on  kõrgem?  Et  hõimu  minimaalne  või  maksimaalne 
IQ-tase on kõrgem? Või et kõik need parameetrid on kõrgemad? Need on kõik eri-
nevad küsimused ning vastused võivad olla vastukäivad.
401
Nii ei olegi alati võimalik kõike üheselt omavahel võrrelda ja ega vist ei maksagi 
seda tingimata üritada. Tallinn on tore ja Tartu ainult natuke toredam.
Konkreetsel  juhul  oleksime  ka  jaotuste  graafikutelt  võinud  näha,  et  lihtne  kesk-
miste võrdlus ilmselt palju ei tähenda:
ähendus
  t
osusteooria
tõenä
Tihti ongi kõige lihtsam jaotuseid võrrelda nende graafikute põhjal. Nii on lihtne 
märgata, kummas jaotuses on suuremad maksimumtulemused, kuhu umbes jääb 
keskmine tulemus ja nii edasi. Kohe võib ka silma jääda, et mingit mõistlikku võrd-
lust ei saagi teha.
geomeetriline tõenäosus ehk kuidas leida 
tõenäosuse abil   Väärtust
Koolipingis räägitakse ka millestki, mille nimi on geomeetriline tõenäosus. Geo-
meetriline  tõenäosus ei ole matemaatilise tõenäosuse  alternatiiv , tegemist on liht-
salt veel ühe viisiga , kuidas tõenäosust tõlgendada ning mille raames ka küsimusi 
esitada. Ka siin üritame teatud sündmusi kirjeldada ja nende mahtu mõõta, teeme 
seda lihtsalt geomeetria abil. 
Kahemõõtmelises maailmas põhineb geomeetriline tõenäosus pindaladel. Tõlgen-
dame kõike võimalikku, mis juhtuda võiks, mingi piiratud tasanditükiga ning meid 
huvitavat sündmust mingi kujundiga selle tüki piires. Selle sündmuse tõenäosuse 
saaksime siis täpselt, leides meid huvitava kujundi ning kogu tasanditüki pindalade 
suhte.
402
Seda meetodit või tõlgendust ümber pöörates võiksime näiteks leida hea lähen -
duse   [lk 99] väärtusele. Nimelt joonistame ruudukujulisele põrandajupile mõõt-
metega   m korda   m siseringjoone nii nagu joonisel näidatud. 
ähendus
  t
osusteooria
Sel juhul on ringjoone sisse jääv pindala   ning ruudu pindala täpselt  .
tõenä
Oletame nüüd, et meil õnnestub lae alt  kukutada  paberitükikesi, nii et nad  kukuvad  
selle ruudu raames enam-vähem ühtlaselt juhuslikult. Kui ruut on piisavalt väike 
ning lagi piisavalt kõrge, peaks see üsnagi võimalik olema. 
Nüüd, ühelt poolt teame, et ringi ja ruudu pindalade suhe on   ning seega on ring-
joone sisse kukkumise tõenäosus täpselt  . Teisalt võime seda tõenäosust hinnata, 
niipea kui oleme kukutanud mõned paberilipakad. Neid piisavalt palju kukutades 
saame tegelikult väga hea hinnangu ka   väärtusele!
Joonisel võib seda kõike kujutada umbes nii: 
Seesama protseduur ja idee on ka aluseks Monte Carlo integreerimisele [lk 349]. 
Sel juhul ei visata lihtsalt enam paberilipakaid, vaid juhuslikud punktid genereeri-
takse arvuti abil. 
403
tõenäosus ja intuitsioon
tuitsioon
 in
 ja
Eelmises  peatükis  nägime,  et  tõenäosusteooriast  mõtlemine  ning  tõenäosuslike 
osus
kirjelduste ja vahendite kasutamine praktikas ei olegi alati nii lihtne, kui ainult 
täringute ja müntide baasil mõelda võiks. Saame lugejat rõõmustada – tegelikult 
tõenä
on asi veel hullem! Tõenäosusteooria üllatab juba enne matemaatilistesse ja filo-
soofilistesse sügavustesse piilumist.
monty halli probleem
Oletame, et oled telemängus ning pead valima kolme ukse vahel. Ühe ukse taga 
on soliidne sportauto, ülejäänud kahe ukse taga seisab aga kurvameelne  kits . Kuna 
kõik uksed on täpselt ühesugused, valid ilmselt alustuseks ühe neist ustest üsna 
suvaliselt. Enne veel, kui kõike teadev  mängujuht  Monty Hall selle ukse lahti teeb, 
avab ta kahest allesjäänud uksest veel ühe ukse. Kusjuures ta avab just sellise, mille 
taga peidab end kurvameelne kits. Nüüd pakub mängujuht Sulle valiku: kas Sa soo-
viksid muuta oma ukse valikut? 
404
Loomulik küsimus on: kas oleks kasulik see vahetus teha?
Esimene reaktsioon võiks olla, et kui pärast on kaks ust alles, siis ei ole vahet, kas 
vahetada või mitte – on ju ühe avamata ukse taga kits ja teise taga auto ning seega 
auto võitmise tõenäosus täpselt pool. Sellist esmast intuitsiooni jagavad paljud, 
tuitsioon
sealjuures ka uhkete doktorikraadidega matemaatikud ja teadlased. 
 in
Siiski tuleb välja, et see intuitsioon on ekslik – tegelikult tuleb alati ust vahetada, sel 
 ja
juhul on auto võitmise tõenäosus tervelt kaks kolmandikku.
osus
Tõepoolest, oletame, et valisid alguses suvalise ukse. Kolmandikul juhtudel valisid 
Sa kohe ukse, kus oli auto. Sellisel juhul on ukse vahetamine kahjulik – teise ava-
mata ukse taga peidab ennast kits.
tõenä
Kahel kolmandikul (
) juhtudest valid aga alguses ukse, mille taga seisab kits. 
Kuna mängujuht avab iseseisvalt veel teisegi ukse, mille taga on kits, jääb viimase 
avamata ukse taha auto. Sel juhul on vahetamine kasulik.
Seega, kui Sa mitte kunagi ust ei vahetaks, siis võidaksid alati esimesel juhul ehk 
kolmandikul kordadest. Kui Sa aga alati vahetaksid ust, siis võidaksid kahel kol-
mandikul kordadest.
Segaduse vältimiseks on ilmselt kõige targem kohe alguses välja kirjutada, mis on 
kogu olukorra tõenäosuslik kirjeldus. Seejärel järge ajades ei saa intuitsioon meie 
kulul nalja teha.  
Edasiseks  mõtlemiseks  jätame  järgmise  küsimuse:  kuidas  muutuksid  tõenäosu- 
sed, kui telejuht ise ei teaks , mis uste taga on, ning avaks kogemata ukse, mille 
taga on kits?
simpsoni paradoks
Järgnevalt toome tõesti sündinud loo neerukivide vastaste ravimite katsetamisest. 
1980-ndatel katsetati kahte erinevat ravimit, mõlemat eraldi väikeste neerukivi-
dega ja suurte neerukividega patsientidel. 
Saadud tulemused võib koondada järgmisesse tabelisse, kus on toodud igas rüh -
mas paranenud juhtumite protsent, sulgudes on veel lisaks kirjas täpselt, kui palju 
katsealuseid ühte või teise rühma kuulus. 
405
Nagu näeme, näitavad esmapilgul tulemused, et nii väikeste kui suurte neerukivide 
korral toimib ravim  A paremini. Kui jätta aga suurte ja väikeste kivide eristamine 
ära, näeksid kokku liidetud tulemused välja järgnevad:
tuitsioon
 in
 ja
Nüüd osutub paremaks hoopis ravim B! Seda on ehk raske uskuda, kontrolli parem 
osus
arvutused hoolega üle ja veendu, et me Sulle vingerpussi ei mängi. 
Selles veendunud, on muidugi mõistlik küsida, kumba ravimit Sa ise  eelistaksid . 
tõenä
Kas see, kui Sa teaksid, et sul on väikesed  neerukivid , peaks Su otsust muutma? 
Päris raske otsustada!
Sellise paradoksaalse olukorra tagamaa ise ei ole väga keeruline. Nimelt ravimi B 
jaoks oli meil lihtsalt tunduvalt rohkem katseisikuid väikeste neerukividega, kellel 
on paremad raviväljavaated ning seega ka parem paranemisprotsent. Need paljud 
õnnelikud  patsiendid  viivad ka ravimi B üldise paranemistõenäosuse üles. Ravimi 
A korral oli küll väikeste neerukividega patsientidel veelgi suurem paranemise tõe-
näosus, kuid neid patsiente oli ise õige vähe ning seega kogu paranemisprotsenti 
mõjutasid eelkõige suurte neerukividega patsiendid.
See tagamaa selgitus ei anna muidugi veel head vastust sellele, milline peaks 
olema õige otsus. Otsus oleneb sellest, kumba tõenäosuslikku kirjeldust peame 
täpsemaks  ja  tahame  rakendada.  Esimeses  tabelis  toodud  tulemused  vastavad 
täpsemale kirjeldusele: siin on eraldatud väikesed ja suured neerukivid. Teine tabel 
vastab üldisemale kirjeldusele: kõiki neerukivisid käsitletakse ühtlaselt. 
Uurides neid tabeleid lähemalt, tundub, et neerukivide suurus siiski mängib  ravis  ja 
paranemises teatavat rolli. Seega tundub loomulik, et kui oma neerukivide suurust 
teame (ja seda teadmist pole keeruline hankida), peaksime kasutama spetsiifilise-
mat kirjeldust ning valima ravimi A. 
Ainus probleem võiks olla selles, et võibolla on liialt vähe katseisikuid näiteks 
väikeste  neerukividega. Võibolla  on  saadud  protsent  seeläbi  liiga  ebatäpne?  Kui  
kardame seda, peaksime valima ravimi B. Nagu juba varemgi, oleme valiku ees: kas 
spetsiifilisem kirjeldus ja vähem andmeid või vähem spetsiifiline ja rohkem and-
meid. Tegelikult on võimalik igati ka välja arvutada, kas ebatäpsus kaalub spetsiifi-
lisuse üles või mitte, siit raamatust jääb see aga väljapoole.
406
sünnipäeVa ülesanne
Kui klassis on   õpilast, siis kui suur on tõenäosus, et kahel neist on sünnipäev 
samal päeval? Enne kui arvutusteni läheme, tee oma pakkumine!
tuitsioon
 in
 ja
osus
tõenä
Ja  nüüd  mõtle,  mida  see  tõenäosus  täpselt  tähendab.  Nagu  oleme  terves  osas 
rõhutanud,  viitab  sõna tõenäosuse kasutamine kohe, et meil on mõttes mingi 
lihtsustatud kirjeldus. Lihtsustatud tähendab seda, et peame tegema ja teemegi 
mõned eeldused. 
Näiteks  seekord  eeldame,  et  igal  aasta  päeval  on  sündimise  tõenäosus  võrdne. 
Kuigi tegelikult sünnib nädala sees rohkem lapsi kui nädalavahetusel ning kõik 
kuud ei ole aasta jooksul päris ühtlased, näeme ühe internetist leitud valimi graafi-
kust, et tegemist on päris mõistliku eeldusega.
407
Teiseks, kui õpilaste hulgas pole just kaksikvendasid, võime eeldada julgelt, et kõi-
kide õpilaste tõenäosus sündida ühel või teisel päeval on sõltumatu.
Seega võime mõelda, et veeretame lihtsalt   täringut, millel igal on 
 võrdväär-
set külge. Meie küsimus, mis tõenäosusega on kahel õpilasel samal päeval sünni-
tuitsioon
 in
päev, on siis tõlgendatav kui küsimus, mis tõenäosusega jääb kahel täringul peale 
 ja
sama külg 
-st küljest.
Lihtsam on leida selle sündmuse vastandsündmuse tõenäosus: tõenäosus, et kõik 
osus
täringud annavad erineva tulemuse. 
Selle tarvis hakkame järjepanu arvutama. Kui meil on ainult    täring , siis ta annab 
tõenä
kindlasti eelnevatest erineva tulemuse. Kui nüüd veeretada järgmine täring, siis 
tõenäosus, et tulemus tuleb erinev, on  . Kui võtta ette kolmas täring, siis juhul, 
kui esimeste täringute tulemused on erinevad, on tõenäosus, et tema silmade arv 
erineb mõlemast  . 
Nii võime jätkata kuni 
 täringuni välja ning leida tõenäosuse, et kõik täringud 
andsid erineva tulemuse
Seega on vastandsündmuse tõenäosus, selle, et vähemalt kaks täringut  -st 
andsid sama tulemuse, tervelt 
. Teisisõnu, selle kirjelduse ning 
nende  eelduste põhjal on tõenäosus, et ühes   õpilasega klassis on kahel inimesel 
samal päeval sünnipäev, rohkem kui   ehk rohkem kui 
! See on ikka päris 
kõrge! 
Sama kirjeldust kasutades võib ka näidata, et juba   õpilasega klassis on tõenäo-
sus, et kahel õpilasel juhtub sünnipäev täpselt samale päevale, rohkem kui pool. 
Kuidas on lugu Sinu klassis? Kui see tulemus üllatav tundub, siis ürita välja mõelda, 
miks see ikkagi üllatav tundub!
 
Palju õnne!  
Kust iganes Sa ka ei alustanud, oled nüüdseks jõudnud „Õhtuõpiku” lõppu.  
Suur aitäh lugemast!
408