docstxt/12064633444718.txt
.. , n n siis nimetatakse vastavat logaritmi naturaal- ehk loomulikuks logaritmiks ja tähistatakse ln x. Näited ln 20 = 2,9957... ln e = 1 / 2, sest e1/ 2 = e algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1. a log a x = x Sealhulgas e ln x = x, 10log x = x : 2. Logaritmid eksisteerivad vaid positiivsetel arvudel (logaritmfunktsiooni määramispiirkonnaks on positiivsete reaalarvude hulk). 3. log a xy = log a x + log a y x 4. log a = log a x - log a y y 5. log a x n = n log a x 7. log a 1 = 0 1 6. log a n x = log a x 8. log a a = 1 n
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub. Logaritme alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmideks ja tähistatakse sümboliga log (alust märkimata): log 10 x =log x Näiteid: 1) log 10=1 , sest 101 = 10. 2) log 100=2 , sest 102 = 100. ...
MATEMAATIKA GÜMNAASIUMILE valemid TRIGONOMEETRIA Sin x Cos Tan x x 0o 0 1 0 30o 0,5 45o 1 60o 0,5 90o 1 0 puudub VIETE'I TEOREEM ARITMEETILINE JADA kui a = 1, siis an = a1 + (n-1)d x1 + x2 = - b x1 * x2 = c TULETISED (u±v)'=u' ± v' GEOMEETRILINE n1 JADA (uv)' u'v + uv' an = a1q Hääbuv geomeetriline jada [u(v[x])]'=u'(v[x])v'[x] NEWTONI BINOOMVALEM VEKTORID KOMBINATOORIKA Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis Permutatsioonide arv Vektor =(x2-x1;y2-y1) Vektori pikkus: Kombinatsioonide arv . Skalaarkorrutis: . Kui kaks ...
Suur valik erinevaid valemeid- nii gümnaasiumis kui ka ülikoolis kasutamiseks. N: astmed, juured, integraalid, jada, trigonomeetria, setereomeetria, tõenäosus, võrrandid, logaritmid, statistika, vektorid jne.
Romb Rööpkülik Trapets Täisnurkne kolmnurk Sirge tasandil Siinusteoreem Vektor Silinder Püstprisma Kolmnurka pindala Koonus Korrapärane püramiid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada Kera Hääbuv geomeetriline jada Liitprotsent
viimane lugem võetakse atmosfäärirõhul. Teoreetiline põhjendus, valemid: Seadeldises valitsev (vedeliku auru-)rõhk Paur=P-h, kus P-atmosfäärirõhk(baromeetri lugem), h- elavhõbeda nivoode vahe manomeetris, mm Empiiriline võrrand (vastab lineaarsele sõltuvusele teljestikus ) Konstandid A ja B saab arvutada vähimruutude meetodil: Kus n-mõõtmiste arv, y- mõõdetud ln p väärtus, x- temperatuuri pöördväärtus. Logaritmid tuleb esitada vähemalt nelja kümnendkoha täpsusega. Katseandmed: Tabel 1 Atmosfäärirõhk P=762 mm Hg Jrk nr Keemistemperatuur T, h, Paur=P-h ln Paur t, °C K mm Hg 1 23,5 296,5 3,37*10-3 650 112 4,7185 2 42,5 315,5 3,17*10-3 561 201 5,3033
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {...
ümber." (Indrek) ,,Ärge uskuge armastust: naise armastus on ainult silmus mehe kägistamiseks. Jääge vabaks, nagu olen vaba mina, teie seltsimees. Ja parim vahend armumise vastu on matemaatika, ainult matemaatika. Mina arstin ennast ikka matemaatikaga. Aitab suurepäraselt. Isegi imestan mõnikord, kui ruttu ja hästi ta aitab. Korrake kasvõi ükskord ühte, esiti väikest, siis keksmist, pärast võtme käsile võrrandid, logaritmid, siinus, koosinus, tangens, kootangens. Kahju, et te ei tunne integraale ja diferentsiaale need aitavad kõige paremini. Aga ühte ütlen ma teile: hoiduge lõpmatuse eest, teate, number kaheksa küljeli; lõpmatus lõpeb armatusega, sest see on siisuke siga. Tema in itse armastuse isa ja ema kokku, sest armastuses on ika kas null või lõpmatus. Niisugune on armastus. Nii et seda midage meeles, seda kaheksat, mis küljeli. Kõik muu, mida raskem ja keerulisem, seda parem
Tallinna Tehnikaülikool Füüsikainstituut Üliõpilane: Taivo Tarum Teostatud: Õpperühm: EAEI20 Kaitstud: Töö nr: 24 OT allkiri: GAASIDE ERISOOJUSTE SUHE Töö eesmärk Töövahendid Õhu erisoojuste suhte Clement´i-Desormes´i riist, määramine Clement´i- ajamõõtja. Desormes´i [klemani-dezormi] meetodil. Töö teoreetilised alused Ideaalse gaasi adiabaatilisel paisumisel on kehtiv Poissioni [puasoni] seadus pV = const , cp kus p on gaasi rõhk, V - ruumala ja = - gaasi erisoojuste (või moolsoojuste) cv suhe ( Cp - gaasi erisoojus jääval rõhul ja Cv - gaasi erisoojus jääval ruumalal). Clement´i- Desormes´i meetod võimaldab lihtsal viisil määrata Cp ja Cv suhet. ...
merepinna. Love'i lained aga võngutavad maapinda horisontaalselt, risti laine leviksuunaga. Maavärinate tugevuse mõõtmine Seismograaf maavärinate iseloomulike parameetrite hindamiseks. (asukoht, kolde sügavus, maavärina intensiivsus, maapõue rõhkude suundi). Kuna maavärinate võimsus võib kõikuda väga suurtes piirides, võttis Richter võnkeamplituutide kajastavate arvude asemel kasutusele nende logaritmid ja nimetas nende väärtused maavärina magnituudideks. Inimene tajub maavärinat, mille võimsuseks on vähemalt 2,5 magnituudi. Maavärin on purustav, kui selle võimsus ületab 5 Richteri magnituudi. Tsunami rannalähedases merepõhjas aset leidnud maavärina tekitatud hiidlaine. Nõlvaprotsessid Nõlvaprotsessid raskusjõu mõjul nõlvadel toimuvad protsessid, mille tagajärjel muutub nõlva kuju.
kui x < . Tulemus ütleb, et funktsiooni piirväärtus kohal x=0 on 1 s.o.
x
sin x
lin =1
x 0 x
sin x
Funktsiooni väärtuste saab võtta vastavast tabelist.
x
10. Arv e. Naturaallogaritmid
Matemaatilises analüüsis pakuvad erilist huvi logaritmid, mille aluseks on arv e, s.o. logaritmid
lodex. Logaritme alusel e nimetatakse loomulikeks logaritmideks ehk naturaallogaritmideks ja
märgitakse sümboliga lnx. Vaatleme, kuidas on loomulikud logaritmid seotud logaritmidega
suvalisel alusel a, kus a>1 või a>1 või 0
Maavärinate iseloomulikke parameetreid asukohta, kolde sügavust, maavärina intensiivsust, maapõue rõhkude suundi hinnatakse seismograafiga. See registreerib maapinna võnkumise ja selle põhjustanud seismilised lained seismogrammina. 1935. aastal hakkas Richter väljendama maavärina võimsust seismogrammilt saadud kõige intensiivsema võnkeamplituudi kaudu. Richter võttis võnkeamplituude kajastavate arvude asemel kasutusele nende logaritmid ja nimetas nende väärtused maavärina magnituudideks. Suurimate, Ecuadori lähedal ja Hokkaido saare lähedal toimunud maavärinate võimsuseks mõõdeti 8.9 magnituudi. Inimene tajub maavärinat, mille võimsus on vähemalt 2.5 magnituudi. Maavärin on purustav, kui selle võimsus ületab 5 Richteri magnituudi. Tsunami on maavärina poolt põhjustatud 1540 m kõrgune ja 400800 km/h maa poole tormav hiidlaine.
vähimruutude meetodil: x 2 y x y x A n x 2 x 2 nx y x y B nx 2 x 2 kus n – mõõtmiste arv, y – lnp (või log p) väärtused, x – 1/T väärtused Vastuvõetava tulemuse saavutamiseks tuleb käsitsi arvutamisel logaritmid esitada vähemalt nelja kümnendkoha täpsusega. Soovitav on siiski kasutada tabelarvutusprogrammi, koostades tabeli vajalike valemitega (x 2, x y) ning need siis vastavalt summeerida. Graafiliselt leitud ja vähimruutude meetodiga saadud tulemused peavad kokku langema. Arvutused esitatakse järgmise tabeli kujul või lisatakse protokolli vastav Exceli tabel: paur,
Statistilile olulise me hindame Fisheri kriteeriumi järgi, mis peab olema <0,05, mitte F empiirile järgi. F empiiriline on alati positiivne, aga F kriitiline võib olla nii positiivne, kui ka negatiivne. F emp peab olema suurem kui F krit nullhüpoteesi tagasilükkamisel. F emp peab ületama F krit (piiri), kui ta seda teeb, siis nullhüpoteesi kohe tagasi lükatakse. Millised on võimalikud probleemid sõltuvate fiktiivsete muutujate kasutamisel? Sõltuvate fiktiivsete muutujate kasutamiseks valitakse lineaarse tõenäosuse, logit ja probit mudeleid. Nende kasutamise põhiliseks probleemiks on see, et jääkliikmed on heteroskedastiivsed. Samuti probleemiks võib olla see, et tõenäosuste näitajad võivad mitte olla lineaarses seoses selgitava muutujaga. Tõenäosuse koefitsiendid võivad olla suurem kui üks või negatiivsed. (seda ei tohi olla) Determinatsioonikordaja võib olla väike. Millised on negatiivse autokorrelatsiooni vähendamise võimalused: ...
teisendada on peaaegu võimatu. Sellises olukorras tuleb võrrandit ühega neist läbi jagada. Seda võib teha, kuna positiivne arv mistahes astmel pole kunagi 0. Logaritmvõrrand Logaritmvõrrandite peamisteks lahendusvõteteks on potentseerimine ja logaritmimine. Kui mõlemal pool võrdusmärki on üks logaritm samal alusel, siis võib logaritmid ära kaotada ja võrrelda ainult sisemist osa. Seda võtet nimetatakse potentseerimiseks. Näide: log57 + log53x = log5105 -> log521x=log5105 -> (Potentseerimine) 21x=105|:21 -> x=5 Kindlasti tuleb teada logaritmide omadusi, mis on kirjas ülevalpool. Kui muutuja on logaritmi aluses, siis tuleb kasutada logaritmi definitsiooni ning
Ebapüsivuskonstantide väärtuste võrdlemisel on näha, et [HgI4]2- on palju püsivam, sest ebapüsivuskonstant on väiksem. See tähendab, et tasakaaluolekus on lahuses nende ioonide kontsentratsioonid, millised moodustuvad [HgI4]2- dissotsiatsioonil, palju väiksemad kui [Cu(NH3)4]2+ korral. Järgnevas tabelis on toodud mõnede samatüübiliste (ühesugune ligandide arv) hõbeda kompleksioonide ebapüsivuskonstandid ja nende negatiivsed logaritmid. 4 Kompleksioon K1-2 pK1-2 [Ag(SO4)2]3- 5,210-1 0,28 [Ag(IO3)2]- 1,310-2 1,90 [Ag(NO2)2]- 1,5·10-3 2,83 [Ag(OH)2]- 1,010-4 4,0
x -2 Vastus. Jooniselt leitud lahendite ühend, esialgse võrratuse lahend on x -2. ******************************************************************* Vaatleme lõpuks veel näidet logaritmvõrratuste lahendamise kohta. Näide 8. Lahendame logaritmvõrratuse log (2x + 6) - log (15-x) > 1. Leiame MP: selleks, et logaritmid eksisteeriksid, peavad logaritmitavad avaldised olema positiivsed. 2 x + 6 > 0 15 - x > 0. Siit MP on ]-3;15[. 12 Nüüd asendame esialgses võrratuses 1 = log 10 ja edasi teisendades saame 2x + 6 log > log 10 . 15 - x
Kuna õli ja O2 on mittepolaarsed, siis hapnik lahustub õli-tüüpi vedelikes suhteliselt hästi. Veega reageerivad gaasid(CO2) Kd1 CO2+H2OHCO3+H+ / 3 H2CO (süsihape) Kd-tasakaalu konstant Kd2 HCO3-CO32-+H+ Mõlemas sees H+, kummale poole tasakaalu nihkub, sõltub pH-st. CO2 on rohkem selles vees, kus pH on üle 7 ehk aluseline. Kd1=4,45*107- Kd2=4,69*1011- Mida suurem on Kd, seda rohkem on reaktsioon suunatud saduste tekke sunnas. Negatiised logaritmid: pKd2=6,35 Selle pH väärtuse juures on anutd lähteaine ja saaduse koefitsendid võrdsed. pH alla 6 on CO2 molekulaarsel kujul, kui pH 6 ja 10 vahel, siis CO2 karbonaadi kujul, kui pH üle 10, siis lahustunud CO2 on karbonaadi kujul. Happevihm: pH alla 5,65 Halb, sest: · Tugev toksiline mõju taimedele · Hingamissüsteemide haiguste põhjustaja · Kaudsed mõjud taimedele · Vesi mutub happeliseks. Ökosüsteemid on vee pH-le tundlikud · Meallide korrosioon
.…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} .
Kehalained levivad maapõues kerapinnalaadsete frontidena nagu helilained õhus. Neid eristatexe kahtemoodi: P-lained e pikkilained (kiiremad) ja S-lained e ristilained (aeglasemad). Pinnalained levivad pikki maapinda epitsenterist eemale nagu veelained, kui vette on visatud kivi. Maavärina tugevusi mõõdetaxe Richteri skaala abil, mille töötas välja USA seismoloog C. Richter aastal 1935. Ta võttis kasutusele võnkeamplituudide kajastavate arvude asemel nende logaritmid ja nimetas need väärtused magnituudidex. Maavärin on purustav kui selle võimsus ületab 5 magnituudi. e) Maavärinate ja vulkaanidega kaasnevad nähtused ja mõju keskkonnale, inimesele ja majandustegevusele VULKAANID MAAVÄRINAD KAASNEVAD Suured tuhapilved, mudavoolud-lahaarid, Maapinna suur liikumine ja värisemine,
Esimese n liikme summa: S n = ehk S n = ( q 1) . q -1 q -1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q <1 . a1 Jada summa: S = . 1-q Üldliige: an = a1q n -1 . 2.18 Logaritmid 15 Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral:
Esimese n liikme summa: S n ehk S n q 1 . q 1 q 1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q 1. a1 Jada summa: S . 1 q n 1 Üldliige: an a1q . 2.18 Logaritmid Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. 15 log a b c , kui a c b a 0 a 1 . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b b . Naturaallogaritmide korral:
Aatomi- ja korpuskulaarõpetus andis võimaluse mõistuspäraselt ja kvantitatiivselt põhjendada keemiat, mis varem koosnes enamjaolt ainult tehnilistest retseptidest ja müstilistest seletustest. Inglismaal tegid matemaatika ja loodusteadused 17. saj. silmapaistvaid edusamme. Arst ja füüsik William Gilbert (1544-1603), uusaja katselise füüsika rajajaid, kirjutas töö magnetismist (1600). Temalt on pärit ka sõna elekter. Soti matemaatik John Napir (.1550-1617) leiutas logaritmid (1614). Füüsik ja keemik Robert Boyle (1627-1691) arendas oma teoses "Chemistus scepticus" ("Skeptiline keemik") empiirilist uurimissuunda Baconi vaimus. Ta vabastas keemia alkeemiast ja klassikalisest nelja elemendi õpetusest. Boyle oli üks Royal Society asutajaid. Boyle'i assistendina tegutses Robert Hooke (1635-1703), vaene mees, kellele teadus andis elatist. Tõenäoliselt tema valmistas Boyle'i katseriistad. Ta oli suurim fuüsik-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Eksponentfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Arv e. Pidev juurdekasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Eksponentsiaalsed mudelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Logaritmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Eksponentvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
asemel lihtsalt -ga. Nagu nimest võib aimata, on temaski midagi loo- mulikku ja ilusat. Näiteks nägime juba, et sel juhul on tuletis kõige lihtsamas kujus: . Arvust oleme juba rääkinud nii ilusate arvude peatükis [lk 102] kui äsja eksponentsiaalfunktsiooni juures. Temaga on tore koostööd teha. Logaritmi tähendus arvutusajaloos Logaritmid on ajalooliselt panustanud tublisti ka loodusteaduste ja eriti just astro- noomia arengusse: nad võimaldasid juba enne arvutite leiutamist inimestel korru- tada suuri ja keerulisi arve. Logaritmide abi oli nii määrav, et uhke astronoom ja matemaatik Laplace oli omal ajal logaritmidest lausa joovastuses: „Imetlusväärne nõks, mis taandab mitme kuu 296
Aritmeetika – arvutamisõpetus. Matemaatikateadus haru, mis tegeleb arvude lihtsamate omadustega ning nendega sooritatavate tehetega.Vanimate kirjalike allikate kohaselt kasutati lihtsamaid aritmeetilisi tehteid luba Vana-Egiptuses ja Babüloonias, kus seda oli vaja hoonete ja püramiidide rajamisel See toimus umbes 2000 aastat eKr. Aritmeetika põhioperatsioonid on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Aritmeetika alla kuuluvad aga ka tehted protsentidega, juurimine, astendamine ja logaritmid. Astroloogia – taevakehade põhjal tuleviku, saatuse ja isikuomaduste ennustamine. Astroloogiaga tegelevat inimest nimetatakse astroloogiks. Astroloogia põhineb seisukohal, et inimese iseloomu ja käitumist mõjutab lisaks maistele põhjustele ka taevakehade asend tema sünnimomendil. Astroloogide seisukohalt saadavad planeedid välja võnkeid, mis inimesi mõjutavad. Astroloogias lisandub objektiivsetele astronoomilistele andmetele subjektiivne tõlgendus
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
