2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja)
Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10
20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30
0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju............................................................................................................ 13 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada.......................................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 +
punktis x0,y0 suurem kõigist tema naabruses asuvatest funktsiooni väärtustest siis on see lokaalne maksimum. Kui on väiksem kõigist tema naabruses asetsevaist funktsiooni väärtustest siis lokaalne miinimum 8. Statsionaarne punkt(definitsioon) Punkti A, kus funktsiooni z kõik esimest järku osatuletised on nullid nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks 9. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm 10.Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. Globaalseid miinimume ja masksimume on ainult üks, aga lokaaseid võib olla mitu. Lokaalsete ekstreemumite leidmisel ei pea hakkama leidma statsionaarseid punkte piirkonna D rajal ja rajatippudes, aga globaalsete ekstreemumite leidmisel peab. 11.Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? z−z 0=f x ( x 0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y ( x 0 ; y 0 )( y− y 0)
Definitsioon (statsionaarne punkt) Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f '(a) = 0: Definitsioon (kriitiline punkt) Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a onstatsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ' märgi muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange' keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit. Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - ; a + ] ja diferentseeruv vahemikes (a - ; a) ja (a; a + ), kusjuures f '(x) 0; x (a - ; a) f '(x) 0; x (a; a + ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui f '(x) 0; x (a - ; a)
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus .
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma .
Saame järgmised laused: 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x (a; b) 15). (Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ’ märgi korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) < 0 iga x (a; b) korral siis f ‘ on muutus).) kahanev vahemikus (a; b). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi *Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmised väited: 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x (a; b) korral lokaalsete siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = ekstreemumite olemasoluks
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl
või mitmemuutuja juhul." kirjutaksin Lause 1. osast selle osa 1.7.3 ja 12. küsimuse puhul lause 1.7.4. Kuid ka tõestusest on võimalik midagi ära jätta - see aga suht keeruline, peaks liiga süvendatult lugema... kergem on kirjutada see kogu tõestus maha ja lõpetuseks kirjutada vastav osa Lause 1'sest. Ma ei usu, et Gert karistaks, kui kirjutada rohkem :) 13. Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. 14. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada.
15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ’ märgi = = =1 muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit.
- Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus
argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle
funktsiooni muutumise kiirust selles punktis.
-
5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis!
- y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0)
6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid.
Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni
tuletisega.
- Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. x1
muutuvkulu ühiku kohta 2000 kr. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on q(p) = - 0,5 p + 4000. Ülesanne 4.14. Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 2410 kr ja muutuvkulu ühiku kohta 14 kr. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on q(p) = - 2,5 p +315. 4.3. Lokaalsete ekstreemumite määramine II järku tuletiste abil 7 Statsionaarses punktis , kus y`( x) = 0 on funktsioonil · lokaalne miinimum , kui y``(x) > 0 · lokaalne maksimum, kui y``(x) < 0 Funktsiooni y(x) lokaalsete ekstreemumite määramiseks II järku tuletise abil tuleb: 1. leida funkstiooni I järku tuletis y`( x) 2
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1
Teoreem: Olgu antud funktsioon f, mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0. 1) kui A1 < 0 , A2 > 0 , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum; 2) kui A1 > 0 , A2 > 0 , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne miinimum; 3) kui A2 < 0 , siis funktsioonil f pole punktis P0 lokaalset ekstreemumit; 4) kui A2 = 0 , siis antud teoreem ei sobi lokaalse ekstreemumi määramiseks punktis P0. Lokaalsete ekstreemumite määramine: 1) Tuleb leida kõik funktsiooni f kriitilised punktid; 2) Tuleb kontrollida, kas statsionaarsetes punktides leidub lokaalseid ekstreemume kasutada eelmist teoreemi; 3) Tuleb kontrollida, kas ülejäänud kriitilistes punktides leidub lokaalseid ekstreemume kasutada definitsiooni. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,..
Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID. Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1).
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon.
33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''x2*Z''y2 (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 35
positiivsust vahemikus (a, b). Nullist suurem on ka vahe x2 − x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. Seega on valemi parem pool nullist suurem. Saame f(x2)−f(x1) > 0. Sellest järeldubki soovitud võrratus f(x1) < f(x2). 8. Defineerida funktsiooni statsionaarne punkt. Argumendi väärtust, kus funktsiooni tuletis võrdub nulliga, nimetatakse selle funktsiooni statsionaarseks punktiks ehk kriitiliseks punktiks. 9. Milline on funktsiooni lokaalsete ekstreemumite seos statsionaarsete punktidega? Kuidas selekteeritakse statsionaarsete punktide hulgas välja punktid, kus esinevad lokaalsed ekstreemumid? Fermat’ teoreemi põhjal on diferentseeruva funktsiooni lokaalses ekstreemumis selle funktsiooni tuletis võrdne nulliga, st tegemist on statsionaarse punktiga. Lokaalsete ekstreemumite väljaselekteerimiseks tuleks jälgida tuletise märki statsionaarsest punktist vasakul ja paremal. Kui statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk plussist
31. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. mitme muutuja funktsiooni osatuletis funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z'x. mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z'x ja z'y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad, siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z'x dx + z'y dy nt: 32. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y) kõigile punktile M lähedaste, kuid siiski erinevate punktide P(x; y) korral. funktsiooni z = f(x; y) kriitilisteks punktideks nimetatakse määramispiirkonna punkte, mis on funktsiooni statsionaarsed punktid (kõik esimest järku osatuletised on nullid) või kus esimest järku osatuletised pole määratud. iga kriitiline punkt pole ekstreemum. ekstreemumi tingimused:
Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Otsimis- ja viitamisfunktsiooni funktsioonid Funktsioon INDEX - üldpõhimõtted Funktsioon INDEX - näited 1 Funktsioon INDEX - näited 2 Andmed korterite kohta Otsimise üldpõhimõtted Funktsioon LOOKUP Funktsioon VLOOKUP Funktsioon MATCH Funktsiooni MATCH tööpõhimõte. Demo Funktsioonide INDEX ja MATCH kooskasutamine. Paralleelsed vektorid Funktsioonide ekstreemumite ja nende asukohtade leidmine Funktsioonide INDEX ja MATCH kooskasutamine. Tabel Vahemiku otsimine Harjutus "Komisjonitasu" Otsimine kahes suunas. INDEX & MATCH ja VLOOKUP. sed vektorid veeb klipp index Funktsioon INDEX Võimaldab viidata vektorite (rivid, tulbad) ja tabelite elementidele (lahtritele) indeksite abil. Kaks V(k); V[k] põhivarianti: INDEX (vektor; indeks) Vk = INDEX(V; k)
saame Maclaurini valemi ja¨ aklikme ¨ Lagrange kujul. f (n+1) (c) n+1 (Rn f )(x) = x , c [0, x]. (n + 1)! ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 13 / 13 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Lokaalsed ekstreemumid Definitsioon ¨ Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x| < y 0. Definitsioon ¨ Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x| < y 0. Kui definitsioonis y < 0 -range lokaalne maksimum
suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1).
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2)
(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1
Siis kehtivad järgmised väited: 1) Kui A > 0 ja 'xx(P1) < 0, siis on funktsioonil punktis P1 lokaalne maksimum. 2) Kui A > 0 ja ''xx(P1) > 0, siis on funktsioonil punktis P1 lokaalne miinimum. 3) Kui A < 0, siis ei ole funktsioonil punktis P1 lokaalset ekstreemumi. Juhul A = 0 jääb küsimus lokaalse ekstreemumi olemasolust punktis P1 lahtiseks. 27) Kahemuutuja funktsiooni tinglik ekstreemumülesanne. Lagrange'i funktsioon. Tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Vaatleme ülesannet kahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) ekstreemumite ehk suurima ja vähima väärtuse leidmiseks lisatingimusel (x, y) = 0 , kus on etteantud kahemuutuja funktsioon. See võrrand määrab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemumülesande lahendamisel leida funktsiooni z = f(x, y) graafiku madalaim ja kõrgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal.
J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1).
Siis kehtivad järgmised väited: 1) Kui A > 0 ja 'xx(P1) < 0, siis on funktsioonil punktis P1 lokaalne maksimum. 2) Kui A > 0 ja ''xx(P1) > 0, siis on funktsioonil punktis P1 lokaalne miinimum. 3) Kui A < 0, siis ei ole funktsioonil punktis P1 lokaalset ekstreemumi. Juhul A = 0 jääb küsimus lokaalse ekstreemumi olemasolust punktis P1 lahtiseks. 27) Kahemuutuja funktsiooni tinglik ekstreemumülesanne. Lagrange'i funktsioon. Tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Vaatleme ülesannet kahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) ekstreemumite ehk suurima ja vähima väärtuse leidmiseks lisatingimusel (x, y) = 0 , kus on etteantud kahemuutuja funktsioon. See võrrand määrab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemumülesande lahendamisel leida funktsiooni z = f(x, y) graafiku madalaim ja kõrgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal.
Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=du+dv 2. d (u-v )=du-dv 3. d (uv ) =vdu+ udv 4. d (Cu ) =Cdu, C-konstant (u) 5. d v = vdu-udv v2 , kui v 0 24.Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid 1.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses (x - , x + ); 2. Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2
tuletise test, teise tuletise test, n-ndat järku tuletise test. a) Optimeerimine on maksimeerimine või minimeerime (n kasumi max, kulu min-mine). Ekstreemum on maksimum või miinimum. Optimeerimisül püstitamisel tuleb määrata sihifunk (üldkujul y=f(x)) ning leida valikmuutujate väärtuste komplekt, mis tagab sihifunk-i ekstreemumi. b) Relatiivne miinimum ja maksimum: (e suhteline) y=f(x) korral f'(x)-e tähtis roll ekstreemumite leidmisel. Kui relatiivne ekstreemum esineb kohal x=x0, siis f'(x0)=0. c) Esimene tuletise test: Kui f'(x0), siis funk-i väärtus f(x0) on: 1. relat max, kui f'(x)-e märk on vasakul + ja paremal- (x 0 suhtes). 2. relat min, kui f'(x)-e märk on vasakul- ja paremal +. 3. ei kumbki, kui f'(x)-e märk säilub (punkti x0 ümbruses). d) Teise tuletise test: Kui f'(x0)=0, siis f(x0) on: 1. relat max, kui f''(x0)<0 f''(x0)=0 korral mitterakenduv 2
a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii
Negatiivne tagasimõju, mudel- süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise(teiste) komponendi muutuse, mis omakorda neutraliseerib esimese komponendi muutuse. On hea, viib süsteemi tasakaalu. Nt. mudel, mis vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisab erinevate reeglite järgi anumasse palle. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem juhusliku suuruse väärtusest: LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0 15. Ekstreemumite leidimine Stella abil. Integraal, tuletis integraali kaudu- Ekstreemumeid saab leida mudeli ,,Tuletis integraali kaudu" abil: 1. antakse juhtimisse ette funktsioon, mille ekstreemumit soovitakse leida. 2. Põhimuutujaks on ,,integraal" väärtusega 0. 3. Määrata juhtimismuutuja ,,tuletis integraali kaudu" väärtuseks: (integraal-viivitus)/DT, kus viivitus=DELAY(integraal,DT). Määratud integraali leidmise mudel: Põhimuutujaks on integraal, juhtimises on
Funktsiooni globaalsed ekstreemumid Funktsioon f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Kui piirkonnas A pideval funktsioonil f on üksainus lokaalne ekstreemum, siis on see ka funktsiooni globaalne ekstreemum selles piirkonnas. 14 Globaalsete ekstreemumite leidmine f ( x) = 3 x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 , x X = [0; 2] 1) leida funktsiooni f kriitilised f ' ( x ) = 12 x 3 + 12 x 2 - 24 x punktid; x1 = -2; x 2 = 0 x3 = 1 2) arvutada funktsiooni f f (0) = 0
kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrratus lim,+X ! lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! hüppepunktiks (hüppekohaks). 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim,+X ! või lim,U ! ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti funktsiooni ! teist liiki katkevuspunktiks. 13) Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt ) lõigult , nii, et iga teise punkti korral samalt lõigult kehtib võrratus ! ) ! , siis nimetatakse arvu ! ) funktsiooni ! suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul , . LIISI KINK 8
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limxa- f(x) = limxa+ f(x) = lim xa f(x),siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus limxa- f(x) = limxa+ f(x),siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul - Olgu antud funktsioon f, mis on määratud lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 4
Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange' funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike Kui funktsioon f(x) on (r+1) korda diferentseeruv kohal (x = (x1, ..., xn) C Rn), siis kehtib r-järku Taylori valem f(x+ x) = Trf(x+ ekstreemumite seos Lagrenge'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Globaalsed ekstreemumid. x) + Rrf(x,x), kus r-järku Taylori polünoom Trf(x+ x) := (j=0, r) (1/j!)d jf(x); djf(x) := ((i=1, n) (/x) xi )jf(x) ning mille Tingliku ekstreemumi ülesandeks ehk lisatingimustega esktreemumülesandeks nimetame ülesannet kujul "Leida funktsiooni jääkliige Rrf avaldub (Lagrange') kujul (0<<1) Rrf(x,x) = (1/(r+1)!)dn+1f(x + x) u=f(x1, ..
oma määramispiirkonnas pidevad. Seega, kui punkt x = a kuulub elementaarfunktsiooni f(x) määramispiirkonda (st on täidetud pidevuse 1. tingimus), siis on automaatselt täidetud ka pidevuse 2. ja 3. tingimus ning me saame piirväärtuse arvutamisel punktis a kasutada valemit limf(x) = f(a). xa 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul Olgu antud funktsioon f, mis on määratud l~oigul [a, b]. Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis
=- 2 x x IV. Ekstreemumid ( x ) = 2 1 x Kasvamis- ja kahanemispk f '(x)>0 V. Käänupunktid (x ) = nx n n -1 Kumerus- ja nõgususpunktid f ''(x)>0 VI. Skitseerime f-ni graafiku [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) 102. Ekstreemumite määramine teise tuletise abil I. Leiame f-ni tuletise f '(x) II. Leiame f-ni tuletise 0-kohad f '(x)=0 III. Leiame f-ni teise tuletise f ''(x) IV. Asendame esimese tuletise 0-kohad teise tuletisse KUI f ''(x1)<0 => kohal x1 on maksimum f ''(x1)>0 => kohal x1 on miinimum 103. Ekstreemumülesanded 12. klass 104. Tõenäosus Kindel p () = 1 Võimatu p (0/ ) = 0 Juhuslik Vastandsündmus A m( soodsad ) p ( A) =
= {(x, y) |(a ≤ x ≤ b) ∧ (ϕ (x) ≤ y ≤ ψ (x))} ,kus funktsioonid ϕ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a, 9. Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis 2. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 𝐴 ≔ 𝜕𝑥 2 , 𝐵 ≔ 𝜕𝑦 2 , b] , nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes). Analoogiliselt defineeritakse normaalne seob otsitavat funktsiooni tema tuletise ja sõltumatute muutujatega. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav
maksimum f(P)<=f(P0) Kahe muutuja Kui funktsioon f on antud piirkonnas D, siis funktsioonil on punktis P 0 D funktsiooni globaalne globaalne miinimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrratus f(P)>=f(P 0) miinimum Tarvilikud ja piisavad Funktsioonil y=f(x) on punktis x0 maksimum parajasti siis, kui f'(x0)=0 ja tingimused f''(x0)<0 ja miinimum parajasti siis, kui f'(x0)=0 ja f''(x0)>0 ekstreemumite leidumiseks Statsionaarne punkt Statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti, mille korral funktsiooni kõik osatuletised selles punktis on võrdsed nulliga Kriitiline punkt Kriitiliseks punktis nimetatakse punkti, kui see punkt on statsionaarne punkt või osatuletist selles punktis ei eksisteeri või osatuletis on lõpmatu. Tinglik kriitiline punkt Tinglikuks kriitiliseks punktiks nimetatakse punkti, kui see punkt on
2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim ¿ või ¿ +¿ x → a f ( x) lim ¿ puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni ¿ f teist liiki katkevuspunktiks. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x 1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f
Näiteks: 70.Mida nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks ja mida kriitilisteks punktideks? punkte x X, kus f `(x) = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks (punktid max ja min) funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks 71.Kirjeldage funktsiooni monotoonsuse piirkondade leidmist 72.Kirjeldage funktsiooni lokaalsete ekstreemumite leidmist. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 73.Millist funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks ja millist nõgusaks?
tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul: kus dx=x, dy=y 35. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''xx , z''yy , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''xx*Z''yy (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 36
Kui A > 0 ja fxx (P1 ) < 0, siis on funktsioonil f punktis P1 lokaalne maksimum. 2. Kui A > 0 ja fxx (P1 ) > 0, siis on funktsioonil f punktis P1 lokaalne miinimum. 3. Kui A < 0, siis ei ole funktsioonil f punktis P1 lokaalset ekstreemumi. Juhul A = 0 j¨a¨ ab k¨ usimus lokaalse ekstreemumi olemasolust punktis P1 lahtiseks. 27) Kahemuutuja funktsiooni tinglik ekstreemumülesanne. Lagrange'i funktsioon. Tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. Kahemuutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Vaatleme n¨ uu¨d u ¨lesannet kahemuutuja funktsiooni z = f (x, y) ekstreemumite ehk suurima ja v¨ahima v¨ a¨artuse leidmiseks lisatingimusel (x, y) = 0 , (6.62)
Kehtib ka kolme ja enama muutuja korral. r0*grad z*cos = r0*grad z. Kui avaldise väärtus on nullist väiksem, siis cos <0 ja <90° ning see tähendab, et funktsiooni väärtus kahaneb r 0 suunas, skalaarkorrutis väiksem nullist. Kui avaldise väärtus on suurem nullist, siis cos >0 ja >90° ning see tähendab, et funktsiooni väärtus kasvab r0 suunas ja skalaarkorrutis on suurem nullist. Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel- Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Statsionaarsed punktid on need punktid, kus kõige suurema tõenäosusega asuvad ekstreemumid. Seejärel võtame teised osatuletised ning ka segatuletised ja arvutame nende väärtused statsionaarsetes punktides. Saadud numbrite põhjal koostame 2x2 determinandi , kus a11=z''xx ; a12=a21=z''xy ; a22=z''yy statsionaarses punktis
väikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2
Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetakse vektorit gradz=(Z´x;Z´y) Kehtib sama moodi ka kolme ja enama muutuja korral. Gradieniks saab arvvektori, mis näitab funktsiooni kiireima kasvu suuna, gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas Funktsiooni Z=f(x,y) tuletiseks ühikvektori r0=(a,b) suunas nimetatakse selle ühikvektori ja gradiendi skalaarkorrutist grad* r0 z=a* Z´x + b* Z´y Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) on x = x0 ja y = y0 puhul ekstreemum, siis z esimest järku osatuletised selles punktis võrduvad nulliga või puuduvad. See (5) oli (analoogselt ühe muutuja funktsiooniga) ekstreemumi tarvilik tingimus, võib juhtuda, et see on täidetud, kuid punkt ei ole ekstreemumpunkt. Näiteks :z = x2- y2 punktis (0;0). Def: Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks.
annaabi.ee 
