Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega (1)

Sisujuht

16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x → a+ ja f( a- ) = lim f(x); x → a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 4
17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x → a - on lõpmatu või ei eksisteeri 4
20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 4
1. Arvuhulgad : naturaal-, täis-, ratsionaal -, reaal- ja kompleksarvud . Nende omadused. 6
2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. 6
Absoluutväärtuse omadused 6
3. Muutuvad ja jäävad suurused, tuua näiteid. 6
4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. 6
5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. 7
6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud . 7
7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. 7
8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond . Tuua näiteid. 7
9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. 8
10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. 9
11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. 10
12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. 10
13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. 11
14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus , esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki 11
katkevuspunktid. Tuua näiteid. 11
15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. 13
16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. 13
17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. 14
18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). 14
19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y= loga x , y=ax tuletiste leidmine. 15
20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. 16
21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. 16
22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. 17
23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. 18
24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. 18
25. Funktsiooni diferentsiaal , diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. 19
26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. 19
27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist . 19
28. Rolle’i teoreem, tema geomeetriline interpretatsioon. L’ Hospitali reegel. 19
29. Taylori valem, Maclaureni valem. Taylori valemi tuletamine . 20
30. Kirjeldada Newtoni meetodit võrrandite ligikaudsel lahendamisel. 21
Lähendite jada koondumine 21
31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis -, kahanemis-ja konstantsustingimused. 21
32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. 22
33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. 22
34. Määramata integraal , määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). 23
35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. 23
36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. 24
Osamurdude integreerimine 24
37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist. 24
38. Määratud integraal ja tema omadused. 24
39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. 25
40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. 25
41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. 26
42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. 26
43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. 27
44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. 27
45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend , üldlahend, erilahend , singulaarne lahend. 28
46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega 29
diferentsiaalvõrrandi lahendamist. 29
47. Homogeenne diferentsiaalvõrrand, kirjeldada homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamist. 30
1. Tõestada, et funktsiooni piirväärtus on võrdne etteantud suurusega. 30
2. Tõestada, et funktsioon on pidev antud piirkonnas. 31
3. Põhjendada, miks funktsioon on pidev/ei ole pidev antud piirkonnas. 31
4. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis. 31
5. Avaldada antud funktsiooni n-järku tuletis. 31
6. Leida funktsiooni muut ja diferentsiaal. 31
7. Leida mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. 32
8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 32
9. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks . 32
1. Leida funktsiooni määramispiirkond. 32
2. Leida antud funktsiooni pöördfunktsioon ja pöördfunktsiooni määramispiirkond. 32
3. Leida antud funktsiooni katkevuskohad , kõrvaldatava katkevuse puhul kõrvaldada katkevus. 32
4. Leida antud ( ilmutatud ) funktsiooni tuletis. 32
5. Leida antud funktsiooni integraal. 32
6. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. 32

Põhimõisted ja -definitsioonid

1. Funktsioon - kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon.
2. Elementaarne põhifunktsioon - elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid;
3. Elementaarfunktsioon - funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
4. Tõkestatud funktsioon - funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | 0 korral leidub niisugune arv δ > 0 , et kehtib võrratus | f(x) – A | kirjutatakse lim f(x) = A kui x → a
13. Pidev funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. pidevaks kohal a, kui
lim f(x) , x → a = f(a) . Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x → a = f(a)
14. Katkev funktsioon - funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x → a = f(a) EI KEHTI.
15. Katkevuspunkt - Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks.

16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x → a+ ja f( a- ) = lim f(x); x → a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht,

17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x → a - on lõpmatu või ei eksisteeri

lim f(x); x → a+ on lõpmatu või ei eksisteeri
18. Funktsiooni tuletis - funktsiooni y = f(x) tuletiseks f ‘(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ‘ (x) = lim ∆y / ∆x ; ∆x → 0 = lim f ( x + ∆x) – f(x) / ∆x ; ∆x → 0, kui see piirväärtus eksisteerib.
19. Funktsiooni n-järku tuletis - funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema
(n – 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga.

20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas.

21. Funktsiooni diferentsiaal - on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega:
f ‘ (x) = lim ∆y / ∆x ; ∆x → 0
Suhe ∆y / ∆x läheneb ∆x → 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra:
∆y / ∆x = f ‘(x) + a , kus a → 0 kui ∆x → 0
∆y = f ‘(x)* ∆x + a*∆x
Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f ‘(x)* ∆x
22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal - funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n – 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali.
23. Funktsiooni statsionaarne punkt - punkte x € X, kus f ‘(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks.
24. Funktsiooni kriitiline punkt - funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks.
25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus
f (x) = f(a) – miinimum
Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum.
26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt - punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad )
27. Funktsiooni globaalne ekstreemum - funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A € X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum.
28. Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus.
29. Graafiku asümptoot - kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile , siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks.
30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F ‘(x) = f(x) iga x € A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c € R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks .
32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul:
y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid.
33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis
34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga.
36. Riemanni integraal - piirväärtust lim δ , λ → 0 = lim ∑ f ( ξ i) ∆x i , λ → 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] .
37. Kahe muutuja funktsioon - kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ).
38. n-muutuja funktsioon - kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, …, xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, …, xn )
39. lahtine piirkond - ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel.
40. kinnine piirkond - piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid.
41. tõkestatud piirkond - kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks.
42. kahe muutuja funktsiooni osamuut - kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : ∆x z = f ( x + ∆x, y ) – f ( x, y)
osamuut y järgi : ∆y z = f ( x, y + ∆y ) – f ( x, y)
43. kahe muutuja funktsiooni täismuut - kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) – f (x, y)
44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu ε > 0 korral leidub arv
r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | y → y0
45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,…) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu ∆x z ja muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile: z ‘ x = lim ∆x z / ∆x kui ∆x → 0
Osatuletis y järgi: z ‘ y = lim ∆y z / ∆y kui ∆y → 0
46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum.
47. harilik diferentsiaalvõrrand - võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y = y(x) tema tuletistega y’ , …, y (n) ja sõltumatu muutujaga x.
48. Cauchy ülesanne - ülesannet, milles tuleb leida diferentsiaalvõrrandi
F (x, y, y’ ) = 0 lahend tingimusel y (x0) = y0 , kus x0 , y0 € R on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust y (x0) = y0 ülesande algtingimuseks.

Kordamisküsimused

1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused.

• Naturaalarvud (0, 1, ,2,..,n,...) N arvude jada on lõpmatu, kaks N-i liites saame uue arvu mis on ka N. Kinnine liitmise ja korrutamise suhtes.
  
• Täisarvud – Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes;
  
• Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes.
  
• Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis)
  
• Kopleksarvud - Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu, mille ruut on –1, nimetatakse imaginaarühikuks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i.
  

2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused.

Reaalarvu x absoluutväärtuseks (ehk mooduliks , tähistatakse |x|) nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x| = x , kui x on suurem võrdne nullist ja |x| = -x kui x on väiksem nullist.

Absoluutväärtuse omadused

|x + y| ≤ |x| + |y|
|x - y| ≥ |x| - |y|
|x · y| = |x| ·|y|
|x / y| = |x| / |y|

3. Muutuvad ja jäävad suurused, tuua näiteid.

Üleminekul ühelt ringjoonelt teisele muutub ringjoone läbimõõt d ja muutub ka ringjoone pikkus l. Vaadeldavas ringide hulgas läbimõõt ja pikkus muutuvad suurused. Leides aga ringjoone pikkuse ja läbimõõdu suhte l/d, siis see suhe jääb kõikide ringjoonte puhul samaks; selle suhte väärtuseks on arv π. Suurused l ja d on vaadeldavas ringjoonte hulgas muutuvad suurused, nende suhe l/d aga muutumatu suurus.
Suurust, mis omandab mitmesuguseid väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks e. muutujaks. Tähised: x, y ,z,...
Suurust, mille väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks e. konstantseks e. muutumatuks suuruseks. : c=constant, π, jne..

4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid.

Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Tähis y = f(x)
Esitusviisid: tabel, graafik , ilmutamata, ilmutatud, parameetrilisel kujul.

5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid.

• paarisfunktsioon , kui f(-x) = f(x), ja
  
• paarituks funktsioon, kui f(-x) = -f(x)
  
• Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv ω, nii et (x + ω) = f(x)
  

• Monotoonsed f-d
  

kasvavaks, kui f(a)

monotoonselt kasvavaks, kui f(a) ≤ f(b)

kahanevaks, kui f(a) > f(b) N. y = -2x + 1

monotoonselt kahanevaks, kui f(a) ≥ f(b)

• Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f(x)| ≤ k iga x korral. N. Sin(x) on tõkestatud
  

6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud.

Loeng21, leht 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis
saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu
aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise
tulemusena.

7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid.

Pendelkella võnkeperiood T sõltub pendli pikkusest l, see
pikkus aga omakorda temperatuurist t, nii et võnkeperiood sõltub
ka temperatuurist, kuid mitte otseselt, vaid pendli pikkuse kaudu. T ongi liitfunktsioon .
Tähistus F(x) = g[f(x)] Nii defineeritud funktsiooni F nimetatakse liitfunktsiooniks.
Liitfunktsiooni z = g[f(x)] määramispiirkonnaks on kas
funktsiooni y = f(x) kogu määramispiirkond või selle niisugune
osa, millega määratud y väärtused ei välju funktsiooni g(y)
määramispiirkonnast.

8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid.

Kui iga y korral leidub täpselt üks x , nii et y = f(x),
siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon

määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X.
Tähis. x = f astmel -1(y)
Funktsiooni pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon ise.
Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y.
Kui iga yYkorral leidub täpselt üks xX, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f (x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X.
Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f -1(y)
NÄIDE 1:
Funktsioonil y  sinx , X=R
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi.
-1,5
Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul,
kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks
X=[-/2;/2]
sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon:
xarcsin y, y[-1;1]
Näide 2:
Leiame funktsiooni y=log(1-x) pöördfunktsiooni. Funktsiooni y=log(1-x) määramispiirkonnaks saame: 1-xxehk X=(-∞;1).
Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y=(-∞;+∞).
Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y =log(1-x) 10yxx10y x=f-1 (y)10y 
Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: Y= Y=(-∞;+∞).
Pöördfunktsiooni määramispiirkond: X=(-∞;1).

9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus.

Definitsioon 1
Arv a on muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui igas etteantud
kuitahes väikeses punkti a ümbruses raadiusega leidub selline x
väärtus, et kõik punktid, mis vastavad muutuva suuruse
järgmistele väärtustele, asetsevad selles ümbruses.
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust
|x - a| Kui arv a on muutuva suuruse x piirväärtuseks, siis öeldakse, et x läheneb piirväärtusele a ja kirjutatakse x→a ehklimx=a
Jääva (konstantse) suuruse piirväärtus on võrdne jääva suuruse endaga: kui c = const , siis lim c = c
Muutuval suurusel ei saa olla kaht piirväärtust.
Tõkestamatult kasvav (kahanev) suurus
Muutuja x läheneb lõpmatusele, kui iga etteantud positiivse arvu M korral saab näidata sellist x väärtust, millest alates muutuja x kõik järgnevad väärtused rahuldavad võrratust |x| > M.
Muutuv suurus “läheneb pluss lõpmatusele”, x> ∞, kui suvalise M > 0 korral muutuja kõik järgnevad väärtused alates mingist väärtusest, rahuldavad võrratust x > M . Sel korral nimetatakse muutuvat suurust x tõkestamatult kasvavaks suuruseks.
Muutuv suurus “läheneb miinus lõpmatusele”, x> ∞, kui suvalise M > 0 korral muutuja kõik järgnevad väärtused alates mingist väärtusest, rahuldavad võrratust x . Sel korral nimetatakse muutuvat suurust x tõkestamatult kahanevaks
suuruseks.

10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus.

Olgu funktsioon y = f(x) määratud punkti a mingis ümbruses või selle ümbruse mõnedes punktides. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et kehtib võrratus | f(x) . A | x . a | ja kirjutatatakse:
Kui funtsioon f(x) läheneb piirväärtusele A1 argumendi x lähenemisel mingile arvule a nii, et x omandab ainult arvust a väiksemaid väärtusi, siis kirjutatakse
ja arvu A1 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a.
Kui x omandab ainult arvust a suuremaid väärtusi, siis kirjutatakse
ja arvu A2 nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks piirväärtuseks punktis a.
Kasutatakse ka piirväärtuse tähistusi

11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon.

Funktsiooni f = f(x) nimetatakse xa või x> ∞, puhul tõkestamatult vähenevaks, kui
Kui funktsioon y = f(x) on esitatav konstandi b ja lõpmatult väheneva suuruse a summana y=b+a, siis
Ümberpöördult, kui lim y = b, siis y = b + akus aon lõpmatult vähenev suurus.
Kui x→ α või x→∞ puhul α= α(x) läheneb nullile, kuid ei
muutu nulliks, siis y = 1/ αon tõkestamatult kasvav suurus. Kahe, kolme ja üldiselt lõpliku hulga tõkestamatult vähenevate suuruste algebraline summa on tõkestamatult vähenev suurus
Kui x→ α või x→∞puhul α= α(x) on tõkestamatult vähenev
ning
z = z(x) tõkestatud, siis nende korrutis αz on tõkestamatult vähenev suurus.
Tõkestamatult väheneva suuruse α(x) ja nullist erinevat
piirväärtust omava funktsiooni z(x) jagatis α(x)/z(x) on
tõkestamatult vähenev suurus.
KASVAV:
Fuktsioon f(x) läheneb puhul x→a lõpmatusele ehk, teisiti, f(x) on x→a korral tõkestamatult kasvav funktsioon, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral leidub selline arv δ > 0, et kõigi arvust a erinevate ja võrratust | x - a | x väärtuste puhul kehtib võrratus | f (x)| > M. Kui f (x) läheneb x→a puhul lõpmatusele, siis kirjutatakse
Kui f (x) läheneb x→a puhul lõpmatusele ja omandab seejuures kas ainult positiivseid või ainult negatiivseid väärtusi, siis kirjutatakse vastavalt

12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused.

jagatise piirväärtus on piirväärtuste jagatis
korrutise piirväärtus on piirväärtuste korrutis
murru lugeja ei tohi olla null
summa piirväärtus on piirväärtuste summa
vahe piirväärtus on piirväärtuste vahe (tõestus summa järgi)
konstandi saab piirväärtuse märgi ette tuua
kui y>0 siis siis tema piirväärtus x->a on suurem võrdne 0 (kui on väiksem, siis on märgid ka vastupidised)
kui y>z siis limy on suurem võrdne limz (kui y on väiksem, on märgid vastupidised)
kui w on u ja v vahel ning u ja v piirväärtus on b, siis ka w piirväärtus on b

13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid.

lihtsustatud ->lim Dx > 0 ja Dy = 0 ; muidu kasulik teada

versioon - Funktsiooni y = f(x) on pidev kohal x = a siis

ja ainult siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile

läheneb ka vastav funktsiooni muut y=f (a+ x) – f(a)

nullile
funktsiooni ühepoolne pidevus – Fn on ühe poolselt pidev

siis kui näiteks lähenetakse paremalt v vasakuolt

piirväärtusega lim

piirkonnas pidev funktsioon – Funktsiooni nim. pidevaks

piirkonnas X, kui ta on pidev

piirkonna X igas punktis.Tuua näiteid.

14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki

katkevuspunktid. Tuua näiteid.

Katkev funktsioon
Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud
vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest:
1. f (x) pole määratud kohal a,
2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a,
3. kehtib
Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks.
Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed
piirväärtused
nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud
katkevuspunkti aga 2. liiki katkevuspunktiks.
Esimest liiki katkevuspunktide jaotus
1) hüppekoht
Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) hüppekohaks, kui
Näide
Arv 0 on funktsiooni
hüppekoht, sest
Esimest liiki katkevuspunktide jaotus
2) kõrvaldatav katkevuskoht
Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) kõrvaldatavaks
katkevuskohaks, kui
ja a ei kuulu hulka X
Katkevus võib sel korral aset leida kahel põhjusel:
1)
2) f (x) pole määratud kohal a
Katkevuse kõrvaldamine
Teisel juhul saab katkevuse kõrvaldada , kui defineerida
täiendavalt funktsiooni väärtus kohal a tingimusega
Siis on
pidev funktsioon.
Näide
Vaatleme funktsiooni
Antud juhul 0 ei kuulu hulkaX, on teada, et
Defineerime
saame pideva funktsiooni
Esimest liiki katkevuspunktide jaotus
3) koht a, mille korral leiduvad
ja , kuid
Teist liiki katkevuspunktid
Arvu a nimetatakse funktsiooni
katkevuspunktiks
kui
on lõpmatu või ei eksisteeri või
on lõpmatu või ei eksisteeri
(s.t. kui
on lõpmatu või ei eksisteeri).

15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid.

Pidevate funktsioonide omadused
Teoreem: Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis
ka funktsioonid
on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame,
et .
Näide
Funktsioon
on pidev piirkonnas R, sest
on pidevad selles piirkonnas.
Liitfunktsiooni pidevus
Teoreem: Liitfunktsioon
on pidev kohal a, kui g(x) on pidev a ja
on pidev kohal g(a).
Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad
on pidevad.
See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu
koostisosa .
Näide
Funktsioon
on pidev kõikjal, sest tema koostisosad
on pidevad kõikjal

16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast.

*Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest:

Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus.
*Weierstrassi teoreem ektremaalsetest väärtustest:
Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus.
*Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast:
kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht , s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0.

17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem.

*Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f’(x) kohal x nimetatakse piirväärtust:
Kui see piirväärtus eksisteerib.
*Tuletise leidmise skeem - vastavalt tuletise definitsioonile, koosneb funktsiooni tuletise leidmine järgmistest etappidest:
1. funktsiooni f(x) muudu ∆y arvutamine vastavalt valemile
2. jagatise
moodustamine
3. piirväärtuse
leidmine
*joone puutuja: joone puutujaks punktis nimetatakse lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P.

18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega).

Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferenseerimiseks.

Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0 , siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas.

Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõpplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal.

Tõestus: olgu funktsioonil y = f (x) olemas kohal x lõplik tuletis kus ∆x ja ∆y on vastavalt argumendi ja funktsiooni muudud kohal x.

Et siis seega

Mis ütlebki, et f on pidev kohal x .

MOTT .

19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine.

*Teoreem: y = sin x tuletis on cos x
Tõestus:
*Teoreem: kui y = loga x, siis
Tõestus:

Teoreem: y = cos x tuletis on – sin x

Tõestus:

y + y = cos (x + x)

MOTT

20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine.

Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0 , siis ka (kui g(x0) 0)

on diferentseeruvad selles punktis ja

Näide: Leiame funktsiooni y=tan x tuletise. Jagatise diferentseerimise reegli abil leiame

21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine.

Kui piirkonnas X kasvaval või kahaneval funktsioonil y=f(x) on punktis x olemas tuletis f’(x) 0, siis pöördfunktsioonil x=φ(y)=

Tõestus:

MOTT.

y = arcsin x

x = sin y

-1

y = arccos x

x = cos y

-1 y = arctan x
x = tan y
y = arc cot x
x = cot y

22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide.

Näide:

Leida funktsiooni tuletis

Funktsioon on määratud, kui sin x > 0, seega y > 0.

Logaritmides

Diferentseerides

23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks.

Funktsioon y = f(x) on ontud parameetriliste võrranditega:

Eeldused: 1) on diferentseeruvad

2) funktsioonil on olemas pöördfunktsioon

Siis

Saadud valem võimaldab leida parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletist leidmata otsest sõltuvust x ja y vahel.

Näide:

Leida kui

24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks.

F(x, y) = 0 - ilmutamata kujul funktsioon, kus tuletise leidmiseks diferentseeritakse võrduse pooli x’i järgi. Samas Y’t sisaldavaid osafunktsioone diferentseeritakse kui liitfunktsioone.
N: x100-y100= x2y2
d/dx(x100-y100-x2y2)=100x99y´-100y99y’+2xy2+2x2yy´
-100y99y´+2x2y´=-100x99-2xy2 | : (-2)
55y99y´-x2yy´=55+xy2
y´(55y99-x2y)=55+xy2
y´=(55+xy2)/55y99-x2y

25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel.

Diferentsiaal ehk tuletis on funktsiooni lähendava lineaarfunktsiooni muut vaadeldava punkti ümbruses. Avaldub kujul df=f´(x), kus f´(x) kohal x nim piirväärtuseks.
f´(x) = lim ∆y/∆x = lim f(x+∆x-f(x)/ ∆x
∆x-0 ∆x-0
Omadus: kui funktsioonil y=f(x) on tuletis punktsi x=x0, siis ütlen, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0, kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on deferentseeruv selles piirkonnas.
Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal võrdub funktsiooni graafiku puutuja tõusuga sellel kohal.
Üldavaldis näitab aga kuidas muutub funktsiooni graafiku tõus argumendi muutumisel.
(näide tehke ise mingist suvalisest funktsioonist)

26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis.

Funktsiooni y = f(x) 2. järku tuletiseks y´´ nim, funktsiooni y´f´(x) tuletist
y´´=d2y/dx2= (d/dx)*(y´)´
Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks yn=dny/dxn=(d/dx)*(y(n-1))=(y(n-1))´

27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist.

Puutuja võrrand y-y1=f´(x1)(x-x1) ehk y-y1=k(x-x1)
Leida parabolile y=x2-4x puutuja, kui on antud abstsiss x0 = 3
x0= 3 seega y0= 32-4*3=-3 Puutepunkt ehk P(3;-3)
tõusu k ehk f´(x)’i leian y´=2x-4 k=f´(3)6-4=2
Panen saadud andmed lihtsalt valemisse: y+3=2(x-3) y=2x-9
Normaali võrrand: y-y1=-(1/f´(x))*(x-x1) (ülesannet lahendan samamoodi nagu puutuja leidmisel ainult et lõpus on k ehk tõus negatiivne ja nimetajas!

28. Rolle’i teoreem, tema geomeetriline interpretatsioon. L’Hospitali reegel.

Rolle’i teoreem: Kui lõigus [a; b] pideva ja vahemikus (a; b) diferentseeruva funktsiooni f väärtused otspunktides a ja b on võrdsed, siis vahemikus (a; b) leidub vähemalt üks funktsiooni f
tuletise nullkoht.
Kui funktsioonil f (x) vahemikus (a; b) tuletist ei ole, siis
ei tarvitse teoreemi väide olla õige.
Näiteks on lõigul [-1; 1] pidev funktsioon y = (1- x2/3)3/2 ( alumina joonis), mille tuletis ei muutu nulliks selle lõigu üheski punktis.
L’Hospitali reegel:

Kui või ja eksisteerib piirväärtus siis

29. Taylori valem, Maclaureni valem. Taylori valemi tuletamine.

Taylori valem:

n-astme polünoom (hulkliige):

Näiteid polünoomidest: ; ;

Suvalise reaalarvu a korral on polünoom Pn(x) esitatav kujul:

Taylori valemi tuletamine:

Olgu y = f(x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n+1 korda diferentseeruv.

Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi:

; ; ;

Koraldame otsitava polünoomi (x-a) astmete järgi:

Leiame vajalikud tuletised :

Asendades C1, C2 ,..., Cn , saame otsitava polünoomi:

Jääkliige:

Taylori valem:

Kui a = 0, siis Maclaureni valem:

30. Kirjeldada Newtoni meetodit võrrandite ligikaudsel lahendamisel.

Eeldused võrrandile:

f on pidev lõigus [a;b], kus f(a) ja f(b) on vastupidiste märkidega

f’ ja f’’ on pidevad ning nullist erinevad lõigus [a;b]
Kui need eeldused on täidetud, siis saab näidata:

et võrrandil f(x)=o leidub lahend x, väärtuste a ja b vahel

seejuures x on ainus lahend a ja b vahel

alglähendiks tuleb valida lõigu otspunktidest see, kus f(x) märk ühtib f’’(x) märgiga

Lähendite jada koondumine

Tehtud eeldustel saab veel näidata, et:

lähendite jada(x0) koondub esialgse võrrandi lahendiks x

koondumise kiirust saab hinnata
kus
Olgu tarvis lahendada võrrand f (x) = 0.
Kuidas leida x*, et f (x*) = 0?
Olgu x0 esialgse võrrandi alglähend (lähislahend), mille võib
saada näiteks skitseerides funktsiooni f (x) graafiku.
Kirjutame punktis x0 välja funktsiooni f (x) jaoks esimest järku
Taylori valemi ja arvutame selle abil f (x*).

31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused.

mis on aluseks Newtoni iteratsioonalgoritmile
Saame x* ≈x1 s.o. x1 on lahendi x* teatav lähend, mis teatud tingimustel asutub paremaks lähendiks kui x0.
Teades nn. alglähendit x0, võime üksteise järel arvutada
lähendid x1, x2, …, xn, xn+1, …

Viimast valemit nimetataksegi
Newtoni iteratsioonivalemiks.
Eeldused võrrandile:
Teeme teatavad eeldused:
1. f on pidev lõigus [a; b], kus f (a) ja f (b) on vastupidiste märkidega
2. f ´ ja f´´ on pidevad ning nullist erinevad lõigus [a; b].
Kui need eeldused on täidetud, siis saab näidata:
1. et võrrandil f (x) = 0 leidub lahend x* väärtuste a ja b vahel
2. seejuures x* on ainus lahend a ja b vahel
3. alglähendiks tuleb valida lõigu otspunktidest see, kus f (x) märk ühtib f ´´(x) märgiga.

32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused.

Funktsiooni ekstreemumi tarvilik tingimus:
*Lokaalne ekstreemum võib funktsioonil olla vaid tema kriitilises punktis
Funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused:
* Kui f´ (x)> 0 (f - kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja
f´ (x)

* f´(x)0 (f-kasvab) punkti a parempoolses ü

* kui f´(x) on punkti a vasakpoolses ja parempoolses ümbruses ühe ja sama märgiga, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei ole.

33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis.

Kui funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks.
Asümptooti võrrandiga
x = a
nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks.
Asümptooti võrrandiga
y = mx + b
nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui m = 0, siis kaldasümptooti
nimeatakse rõht- ehk horisontaalasümptoodiks.
Kui punkt (x; y) läheneb kaldasümptoodile protsessis
. x → +∞ (x →−∞ )
siis kaldasümptooti nimetatakse parempoolseks (vasakpoolseks)
kaldasümptoodiks.
Asümptootide leidmine:
Sirge x = a on funktsiooni f graafiku püstasümptoot punkti a
parempoolses (vasakpoolses) ümbruses siis ja ainult siis, kui
lim f (x )= ±∞ ( lim f( x) = ±∞
x →a + x →a−
Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku parempoolne
kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui
m= lim f(x)/ x, b= lim(f( x) −mx)
x→+∞ x→+∞
Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne
kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui
m =lim f(x)/ x, b= lim(f(x) −mx)
x→−∞ x →−∞

34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte).

Määramata integraal
Avaldist F(x) + c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi
algfunktsioon ja c ∈ R on suvaline konstant, nimetatakse
funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul
∫ f(x) dx.
Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks.
Määramata integraali omadused
1) (∫f( x) dx)'= f (x)
2) ∫dF (x ) = F(x ) +c
3) ∫(f (x) ±g(x )) dx= ∫f(x ) dx± ∫g(x) dx
4) ∫a f(x ) = a ∫f(x) dx
Ositi integreerimine
Ositi integreerimise valem
Kui u = u(x) ja v = v(x) on diferentseeruvad funktsioonid ning
leidub, siis leidub ka , kusjuures
∫ udv= uv−∫vdu
Muutuja vahetus
Muutuja vahetus määramata integraalis
Kui x= ϕ(t) , siis
∫f(x ) dx=∫ f(ϕ(t ))ϕ′(t ) dt

35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist.

Ratsionaalfunktsiooni integreerimine
Seega on antud lihtmurru lahutus osamurdudeks:
(X2+2)/(x+1) 3*(x-2)= (-2/9)/(x+1)+(1/3)/(x+1)2+-1/(x+1)3+(2/9)/(x-2)
Ratsionaalfunktsiooni integreerimisel tuleb:
1) liigmurd teisendada polünoomi ja lihtmurru summaks .
2) lihtmurd lahutada osamurdudeks;
3) integreerida saadud polünoomi ja osamurde.

36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks.

Osamurrud
Ratsionaalseid lihtmurde alltood kujul nimetatakse vastavalt I, II, III ja IV tüüpi osamurdudeks.
I
II (k on positiivne täisarv, k
2)
III (nimetaja nullkohad ei ole reaalsed )
IV

Osamurdude integreerimine

I
II

37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist.

Kõvertrapetsi pindala
y=f(x) – lõigul [a;b] antud funktsioon, kus a 0
................................................

38. Määratud integraal ja tema omadused.

Määratud integraali definitsioon
Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraliks) lõigus [a;b] ja kirjutatakse
Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks . Lõiku [a;b] nimetatakse integreerimislõiguks
Määratud integraali omadused

Aditiivusus: kui , siis

Lineaarsus: kui , siis

Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus [a;b] ja iga , siis

Kui iga korral , siis

Olgu y = f(x) lõigul [a;b] pidev funktsioon. Siis leidub nii, et

39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks.

Tarvilik tingimus funktsiooni integreeruvuseks
Juhul kui a >b, siis defineeritakse määratud integraal:
Juhul kui a = b, siis
Teoreem: Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. Iga tõkestatud funktsioon ei ole integreeruv.
Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks
Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus.
Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles
lõigus.
Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte ,
on integreeruv selles lõigus.
Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on loenduv hulk
katkevuspunkte, s. t. mille katkevuspunktid moodustavad jada, on
integreeruv selles lõigus.
Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka
nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus.

40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil.

Leiame ligikaudse integraali väärtuse funktsioonile:
Selle leidmiseks on 2 võimalust:
või
Kuna tegu on ligikaudse arvutusega, leitakse lisaks veel arvutusvea δ maksimaalväärtus:
Integraali väärtus on seda täpsem, mida suuremaks võetakse n.

41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil.

Leiame ligikaudse integraali väärtuse funktsioonile:
Lõik [a;b] jagatakse n võrdseks osaks nii, et a=x0