1.Kinemaatika Mehaanika uurib liikumist ja selle muutmise põhjusi, kannab nime mehaanika. Kinemaatika uurib ja kirjeldab kehade liikumist ruumis. Dünaamika uurib, kuidas liikumine tekib ning erinevate mõjude tagajärjel muutub. Staatika uurib, mis tingimusel liikumine ei muutu. Mehaanika põhiülesanne leida keha asukoht mis tahes ajahetkel. Liikumine on suhteline. Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimetatakse koordinaatideks. Kokkulepitud mõõtmissuunad, mõõtühikud ja asukoha mõõtmise eeskirjad moodustavad koordinaadistiku. Niheks nimetatakse keha algasukohast lõppasukohta suunatud sirglõiku. Liikumisgraafikuks nimetatakse graafikut, mis näitab keha asukoha (koordinaadi x) sõltuvalt ajast. Sellist liikumist, mille kiirus muutubmis tahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguste väärtuste võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks.
seega taustsüsteemiks on tänav/maantee kus auto sõidab. 5. inertsiaalsüsteemid – kiirenduseta, üksteisesuhtes ühtlaselt, sirgjooneliselt liikuvad kehad. 6. valguse kiirus- on kiirus, millega levib valgus 7. valguse kiiruse postulaat ehk Einsteini erirelatiivsusteoorja esimene postulaat – kiirusega c liikuvad objektid liiguvad kõigis inertiaalsetes taustsüsteemides ühe ja sama kiirusega c. 8. aegruum – on neljamõõtmeline, tema koordinaatideks on üks aja ja 3 ruumi koordinaati 9. aja dilatatsioon – aja aeglustumine suurtel kiirustel 10. kellaparadoks ehk kaksikute paradoks - ehk aja dilatatsioon Nt. Kui üks kaksikutest läheb kosmosesse pooleks aastaks ning maale naastes pole vennad enam ühe vanused, kosmoses olev vend on noorem kui maal olnud vend. 11. pikkuse kontraktsioon – pikkuse lühenemine kiirusel 12. erirelatiivsus postulaat- pole olemas absoluutset liikumist ega absoluutset paigalseisu. 13
abstsisstelg IV (x-telg) III ordinaattelg (y-telg) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Punkti koordinaadid tasandil Suvalise koordinaattasandi punkti P asukohta koordinaatteljestiku suhtes saab kirjeldada arvupaariga (x; y). Neid arve x ja y nimetatakse punkti P koordinaatideks, arvu x esimeseks koordinaadiks e. abstsissiks ning arvu y teiseks koordinaadiks e. ordinaadiks. Punkti abstsissiks on tema ristprojektsiooni koordinaat abstsissteljel ja ordinaadiks tema ristprojektsiooni koordinaat ordinaatteljel. y C(-3 ; 2) Et märkida asjaolu, et B(0 ; 1) 1 A(3 ; 1) punkti P koordinaadid
7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende
..xn,u)=0, kus F on mingi n+1 muutuja funkts, siis öeldakse, et funkts f on antud ilmutamata kujul. Pinda punktruumis Rn , võrrandiga f(x1,...,xn)=C, kus CR, on etteantud konstant, nim funkts- i f nivoopinnaks. Ruumi R2 punkti P koordinaate ja , mida ristkoordinaatidega x ja y seovad valemid x=cos(); y = sin() nim polaarkoordinaatideks Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja z, mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=cos(); y = sin(); z=z, nim silindrilisteks koordinaatideks. Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja , mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=sin()cos(); y = sin()sin(); z=cos(), nim sfäärilisteks koordinaatideks Arvu c nim funkts-i u=f(x1,...,xn) piirväärtuseks punktis A(a1,...,an), kui iga > 0 korral leidub selline > 0, et iga PU (A), kus PA, kehtib võrratus |f(P)-c|<, kasutatakse ka lim PAf(P)=c Piirväärtust lim x1a1 lim x2a2...lim xnan f(x1,...,xn)= lim x1a1(lim x2a2...)lim xnan f(x1,...,xn))) nim korduvaks piirväärtuseks
vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Teine koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda y-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt. Kahe vektori liitmisel algebraliselt tuleb vektorite vastavad koordinaadid liita, tulemuseks saadakse vektor. a + b ( ax + bx ; ay + by ) Geomeetrilisel liitmisel kasutatakse kolmnurgareeglit ja rööpkülikureeglit.
mille pikkus vastab vektori absoluutväärtusele. Vektori komponentideks nimetatakse tema projektsioone koordinaattelgedel, mis on läbi korrutatud vastava telje suunalise ühikvektoriga. Kui koordinaattelgede x-, y- ja z- suunalised ühikvektorid on i , j ja k , siis saab vektori a üles kirjutada komponentide kaudu järgmiselt: a = ax i + a y j + az k kus skalaarseid suurusi ax, ay ja az nimetatakse vahel ka vektori a koordinaatideks. 1 y a ay j x axi Vektor ja tema koordinaadid kahemõõtmelisel juhul. Vektori pikkus arvutatakse järgmise valemi järgi: a = a x2 + a y2 + a z2 Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit, mille alguspunkt asub
arvestatavaks regionaalseks sadamaks Edela-ja Lõuna Eestis. Pärnu sadama tagamaaks on Pärnu, Viljandi, Tartu, Põlva, Võru ja Valga maakonnad ning Lääne-ja Järvamaa. Tagamaal asub oluline osa Eesti sadamate kaudu väljaviidavatest tooraineressurssidest (kuni 45% metsaressursist ja kuni 65% turbaressursist) ja töötlevast tööstusest. Sadam asub Liivi lahte suubuva Pärnu jõe suudmealal. Sadama keskpunkti (esimene laevade manööverdusala keskkoht) koordinaatideks on φ=58°23’N; λ=24°28,8’E. Sadama akvatooriumi üldpindala on 2 256 800 m². Sadama maa-ala üldpindala on 396 598 m². Sadamas suurima vastuvõetava laeva pikkus on 140 m ja laius 45 m. Suurim lubatud laius ei kehti maksimaalse lubatud süvise korral ja määratakse sel juhul igakordselt sadamakapteni poolt. Sadama süvendatud laevatee (kanali) üldpikkus on 6200 m, kanali deklareeritud sügavus veetaseme 0-seisu korral on 6,0 m ja vähim laius 45 m. Kanalis toimuv veeliiklus on
5.18 Kahe nurga summa ja vahe sin ja cos 5.19 Kahe nurga summa ja vahe tan 5.20 Kahekordse nurga sin, cos, tan Vektor tasandil Kui A(x1) ja B(x2), siis lõigu AB pikkus on AB=|x1-x2| Arvtelje lõigu keskpunkti koordinaat võrdub lõigu otspunktide koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Kui tasandil on määratud koordinaatteljestik siis on tegemist koordinaattasandiga (Descartes'i ristkoordinaadistik) 6.1 Lõigu keskpunkt Koordinaattasandil asuva lõigu keskpunkti koordinaatideks on lõigu otspunktide samanimeliste koordinaatide aritmeetilised keskmised. 6.2 Lõigu pikkus Olgu lõigu otspunktid A ja B. Projekteerime need punktid x ja y teljele ning tekib täisnurkne kolmnurk ABC. Selles kolmnurgas on AC=|y2-y1| ja BC=|x2-x1|. Tähistades punktide A ja B vahelise kauguse tähega d, saame seose: 6.3 Vektor · Igal sirgel on siht ja paralleelsetel sirgetel on sama siht. Määrates lõigul suuna, saame eri omadusega lõigu, mida
geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Nii on erinevatel aegadel maakerale arvutatud mitmeid erinevaid mõõte ja vastavalt mõõtudele osutuvad ka punkti geograafilised koordinaadid erinevateks. Maakera mõõtmeid täpsustatakse tänapäeval maa tehiskaaslaste abil. Geograafilised koordinaadid võib jagada sõltuvalt määramise viisist ning maa mudeli kujust veel geodeetilisteks, sfäärilisteks ja astronoomilisteks koordinaatideks. Kui geograafilised koordinaadid määratakse astronoomiliste vaatlustega, saadakse astronoomilised koordinaadid. Lähtesuunaks on sel juhul loodjoon ja punkti asukoht määratakse geoidil. Kolmandaks koordinaadiks maapinna punktile on siin absoluutne kõrgus H, mis määratakse geoidi suhtes nivelleerimise teel. Kui geograafilised koordinaadid määratakse geodeetiliste mõõtmistega, siis nimetatakse neid geodeetilisteks koordinaatideks B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti
Def.1 Hulka, mille elementideks on kõik m reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmeliseks ruumiks. Igat süsteemi (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmelise ruumi punktiks ja tähist. P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def
+ (±1)(1 1 + 2 2 + + ) - (1 1 + 2 2 + + ) + [(±1 )1 + (±2 )2 + + (± ) ] - [1 1 + (±)1 ] + [2 2 + (±)2 ] + + [ + (±) ] - (1 + 1 )1 + (2 + 2 )2 + + ( + ) Oleme saanud vektori ± avaldise baasi {, 1 , 2 ... } kaudu. Definitsiooni 10.4( 1 , 2 , ... , 10.2 {1 , 2 , ... , }) kohaselt vektori ± koordinaatideks on 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n Seega ± = ( 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n ) Leiame nüüd vektori avaldise baasi kaudu. Saame = (1 1 + 2 2 + + ) = (1 )2 + (2 )2 + + ( ) millest = (1 , 2 , ... . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum. Tõestus Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud
võib aja jooksul muutuda - meie loeme sidemed antud hetkel "tardunuks". Kui punktmassi kohavektor on r = (x; y; z), siis tema virtuaalsiiret tähistatakse tavaliselt 20) Virtuaaltöö on töö, mida teevad aktiivsed jõud, kui nende rakenduspunkte nihutada virtuaalsiirete võrra. (aktiivsed jõud on jõud, mis ei ole toereaktsioonid) 21) Aktiivsed jõud on kõik ülejäänud jõud, mis ei ole toereaktsioonid. 22) - virtuaaltöö jäiga keha juhtumil 23) Üldistatud koordinaatideks võib olla suvaline parameetrite hulk, mis täidab järgmist kolme nõuet: a) nad peavad süsteemi asendi andma üheselt, b) nad peavad olema üksteisest sõltumatud, c) nende arv peab olema võrdne süsteemi vabaduste arvuga. 24) 25) Matem pendlile mõjuva üldistatud jõu avaldis a) kohavektor b) virtuaalsiire c) jõud d) virtuaaltöö 26) Lagrange'i funktsioon 27) Lagrange'i teist liiki võrrand 28) Lagrange'i teist liiki võrrandite eelised:
telg maa ellipsoidi ekvatoriaaltasandiga. Koonus: Keskmise suurusega kolmnurksed alad. Abipinna telg ühidatakse maapinna teljega. Õigenurksed ja õigepindsed. 11) Geograafilised koordinaadid on maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline pikkus ja geograafiline laius. Geograafilisi koordinaate määratakse ellipsoidil või geoidil kraadides. Astronoomilised koordinaadid määratakse astronoomilise vaatlusega loodjoone suhtes geoidi pinnal. Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Tasapinnalised ristkoordinaadid x-teljeks võetakse telgmeridiaan võisellega paralleelne suund. y-telg on paralleelne ekvaatori suunaga ja on x-teljega risti. Eestis on x teljeks 24omeridiaan või sellega paralleelne suund. Geotsentrilised koordinaadid - koordinaatide alguspunkt on Maaraskuskeskmes. z- teljeks on maakera pöörlemistelg;x-telg lähtub z-teljelt ekvaatori
telg maa ellipsoidi ekvatoriaaltasandiga. Koonus: Keskmise suurusega kolmnurksed alad. Abipinna telg ühidatakse maapinna teljega. Õigenurksed ja õigepindsed. 11) Geograafilised koordinaadid on maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline pikkus ja geograafiline laius. Geograafilisi koordinaate määratakse ellipsoidil või geoidil kraadides. Astronoomilised koordinaadid määratakse astronoomilise vaatlusega loodjoone suhtes geoidi pinnal. Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Tasapinnalised ristkoordinaadid x-teljeks võetakse telgmeridiaan võisellega paralleelne suund. y-telg on paralleelne ekvaatori suunaga ja on x-teljega risti. Eestis on x teljeks 24omeridiaan või sellega paralleelne suund. Geotsentrilised koordinaadid - koordinaatide alguspunkt on Maaraskuskeskmes. z- teljeks on maakera pöörlemistelg;x-telg lähtub z-teljelt ekvaatori
............................................. 6 LABORATOORNE TÖÖ NR 1- AEROFOTODE KVALITEEDI JA FOTOGRAMM-MEETRILISTE KARAKTERISTIKUTE MÄÄRAMINE Kasutatud töövahendid: Joonlaud, mall, snipping ja paint Töö eesmärk: Koordinaatide mõõtmine ning pildistamise baasi, lennukiiruse ja pikikattuvuse arvutamine. Töö tulemus: Esmalt valisin aerofotol kaks situatsioonipunkti (nimetame A ja B-ks), mis olid plaanilised. Plaanilisteks koordinaatideks valisin teede ristumise kohad. Järgmisena määrasin antud punktide koordinaadid ja arvutan pildistamise baasi. Koordinaatide määramiseks esmalt otsisin aerofotol üles tsentri. Järgmisena määrasin punktide (X ja Y) kauguse aerofoto tsentri suhtes (vaata joonist 1.1.) Nii mõlematel aerofotodel ja kandsin töö tulemused tabelisse 1.1. Töö tulemused kandsin tabelisse millimeetri täpsusega. Joonis 1.1 Aerofoto koordinaatide määramine
baasiks. Vektorite arvu vektorruumi V mis tahes baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks ja seda tähistatakse dimV. V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 ,..., n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 ,..., n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x1 1 + x2 2 + ... + xn n , x1, x2 ,..., xn R. Vektoriga üheselt määratud arve x1, x2 ,..., xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..
Füüsik a KT kordamisküsimused 1. MÕISTED Aegruum- Punkti liikumise kirjeldamiseks on kasutatud nii aega, kui ruumi. On 4-mõõtmeline ning koordinaatideks on üks aja- ja kolm ruumikoordinaati. Ajadilatatsioon- Aeg liigub paigalseisja jaoks. EHK aja liikumine/aeglustumine valguse kiirusel liikuvas süsteemis paigalseisja/vaatleja jaoks. Pikkuste kontraktsioon- Pikkuste mõõtmete vähenemine liikuvas sihis, kui objekt liigub valguse kiirusel. Seisuenergia- Footoni seismajäämisel/peatumisel läheb ta mass üle seisuenergiaks. Mass ja energia võivad teineteiseks muutuda.
Hälbeid Euroopa taustsustemide nimetuste tahtluhendid. Meridiaanide koonduvus ellipsoidil- nurk γ` punkti K tekitavad häired võib jagada Millist ellipsoidi kasutatakse nenede meridiaani ja läbi punkti K moodustatud punkti J gravitatsioonilisteks ja mite taustsusteemide 3Dristkoordinaatide meridiaani paralleeli vahel. gravitatsioonilisteks. Esimeste hulka taandamiseks geodeetilisteks koordinaatideks? kuuluvad Kuu, Päike ja planeetide Ulemaailmsed on ITRF ja Euroopa ETRF.Nende külgetõmbest põhjustatud häired ja Maa koord.taandam.geodeetil.koordin.-ks.kasut. GRS-80. massi ebaühtlane jaaotus sh. Lapikus. Teiste 9. Kirjelda geograaf.koordin
4 Enesehinnang ja isiksus Isiksuse baasomadused mõjutavad nii inimeste käitumuslikke tendentse kui ka afektiivseid tundeid selle kohta, milliseks inimene ennast peab. Vaatamata enesehinnangu konstrukti populaarsusele ning sellele, et isiksusepsühholoogia raames on laialdaselt uuritud, kuhu paikneb enesehinnang isiksuseomaduste ruumis, mille koordinaatideks on suure viisiku (ekstravertsus, neurootilisus, avatus, sotsiaalsus ja meelekindlus) dimensioonid. Seda lünka on püüdnud täita Robins oma kolleegidega (2001). Analüüsides enesehinnangu ja suure viisiku baasomaduste suhteid, võib väita, et enesehinnang seostub mõõdukalt ekstravertsuse ja meelekindlusega ning nõrgalt sotsiaalsuse ja avatuse dimensiooniga. Kõige tugevam samapidine seos ilmnes emotsionaalse stabiilsusega (neurootilisuse vastand)
süsteemi entroopia hoopis kahaneb, kuna süsteem ühtlustub ning konstandi entroopia on 0 ? Süsteemi mikrooleku määramiseks on aga vaja teada kõigi süsteemi kuuluvate osakeste koordinaate ja Jää sulamine klaasis tüüpiline näide kasvava impulsse. Kõigi osakeste koordinaatide ja impulsside entroopiaga süsteemist ruumi nimetatakse faasiruumiks. Faasiruum on 6- mõõtmeline ruum, mille koordinaatideks on lisaks tavalistele ruumikoordinaatidele osakeste kiiruste või impulsside komponendid. Me ei vaata kontsentratsiooni vaid faasiruumi s.o. iga üksikut osakest liikumises. Jääs on osakesed kristalliliselt fikseeritud, vees on osakeste liikumisvõimalused suuremad, võimalikke olekuid
Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera radius ning lõiget nim. kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Pindala: S=4· r² Ruumala: V=4/3· r³ 11. Vektor: Mõiste: Vektoriks nim. suunaga lõiku. Vektori koordinaadid: Koordinaattelgede suunalised ühisvektorid i ja j moodustavad vektorbaasi tasandil. Iga vector v avaldub kujul v=Xi+Yj, kus arvud X ja Y on üheselt määratud. Neid arve X ja Y nim. vektori v koordinaatideks antud vektorbaasi suhtes ning kirjutatakse v=(X;Y). Vektori pikkus: Vektori, kui suunatud lõigu pikkuseks nim. selle lõigu pikkust. 12. Lineaarfunktsioon: Mõiste: Funktsiooni y=mx+b, kus m0 ja b on mingid kontstandid, nim. lineaarfunktsiooniks. Joonestamine: (näide) Asend ja tõusunurk: Lineaarfunktsioon on rangelt kasvav, kui m>0 ja rangelt kahanev, kui m<0 (joonisel). 13. Ruutfunktsioon: Mõiste: Ruutfunktsioon on (y=x²) mittenegatiivsete väärtustega paarisfunktsioon.
• Väljasirutatud käte laius sõrme otstest sõrme otsteni • Jalalaba pikkus e kukkesammu pikkus Geograafilised koordinaadid on maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline pikkus λ ja geograafiline laius φ. Geograafilisi koordinaate määratakse ellipsoidil või geoidil kraadides. Geograafilised koordinaadid võib jagada sõltuvalt määramise viisist ning maa mudeli kujust: • geodeetilisteks • sfäärilisteks • astronoomilisteks koordinaatideks Kui geograafilised koordinaadid määratakse geodeetiliste mõõtmistega, siis nimetatakse neid geodeetilisteks koordinaatideks B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Ristkoordinaadid väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. • Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes
Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni.
tasapinna ja algmeridiaani (Greenwichi meridiaani) tasapinna vahel. Pikkusi arvestatakse algmeridiaanist ida ja lääne suunas (0o−180o) ning nimetatakse vastavalt ida- või läänepikkusteks. Pikkus L on tähistatud joonisel 2.1 tähega L ja teda mõõdetakse kaarele K′A või BK vastava nurgana. Maapinna punkti asendit määravat pikkust ja laiust nimetatakse antud punkti geograafilisteks koordinaatideks. Kui geograafilised koordinaadid on arvutatud ellipsoidile redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste järgi, siis nimetatakse neid koordinaate geodeetiliseks pikkuseks ja laiuseks. Geograafilisi koordinaate võib määrata ka astronoomiliste vaatlustega. Sel teel saadud astronoomilised pikkused ja laiused erinevad veidi geodeetilistest koordinaatidest. 1 Koostanud: Ene Ilves
Geograafiline laius määrab ära antud punkti paralleeli arvulise väärtuse. Eesti asub 57°,5 ja 59°,7 vahel. Pikkus L on nurk, mis moodustab antud punkti läbiva meridiaani tasapinna ja algmeridiaani (Greenwichi m) tasapinna vahel. Pikkusi arvutatakse algmeridiaanist ida ja lääne suunas (0°- 180°) ning nimetatakse vastavalt ida- või läänepikkusteks. Maapinna punkti asendit määravat pikkust ja laiust nim antud punkti geograafilisteks koordinaatideks. Kui geograafilised koordinaadid on arvutatud ellipsoidile redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste järgi, siis nim neid koordinaate geodeetiliseks pikkuseks ja laiuseks. Ruumilised ristkoordinaadid X, Y, Z Z-teljeks on maa pöörlemistelg, X-teljeks on nullmeridiaani ja ekvaatori tasandi lõikejoon, Y- teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil Ristkoordinaadid tasandil Riigi geodeetilise põhivõrgu punktide ristkoordinaatide määramisel võetakse Eesti X- teljeks
loetakse nulliks. Kehaks võetakse punkt, mille mass on sama suur kui keha mass. Kuju ja mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Keha ei või siiski igas olukorras punktmassiks lugeda. Näiteks praamile sõitmisel on auto mõõtmed vägagi olulised. Need punktid, mida liikuv keha (punktmass) läbib, moodustavad alati mingi pideva joone. Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Koordinaadid Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimetatakse koordinaatideks. Koordinaadisüsteem ehk koordinaadistik ehk koordinaatide süsteem on eeskiri, mis määrab punkti asukoha ühe või enama arvu abil. Enam levinud koordinaadid on lineaarsed koordinaadid, mille alla kuuluvad ristkoordinaadid ja kaldkoordinaadid. Kõverjoonelised koordinaadid kahemõõtmelises ruumis, mille alla kuuluvad polaarkoordinaadid, elliptillised koordinaadid, paraboolsed koordinaadid, hüperboolsed kordinaadid, bipolaarsed koordinaadid.
ning ida poole jääv Sloveenia. Kui minna otse üle vahemere lõunasse, võib Itaalia naabriteks nimetada ka Liibia ja Tuneesia, kuigi neil maapiir ei ühendu. Itaaliat asub üldiselt Vahemeres ja teda ümbritsevad Türreeni, Aadria- ja Joonia meri. Itaalia pealinn on Rooma, mis asub Apenniini poolsaarel Tevere (Tiberi) jõe alamjooksul. Ta jääb Itaalia kahe väga erineva osa arenenuma, eduka Põhja-Itaalia ning mahajäänuma, põllumajandusliku Lõuna-Itaalia piirile. Rooma koordinaatideks on: laiuskraad: 41° 58' 0 N ; pikkuskraad: 12° 40' 0 E. Rooma asub minu kodulinnast, Tallinnast, umbes 2800 kilomeeteri kaugusel (linnulennult, mõõdetud joonlauaga ja seejärel kasutatud kaardi legendi) Itaalias on kell üks tund taga, võrreldes Eesti ajaga. Näiteks kui Eestis on kell 20.15, siis Itaalias on kell 19.15. See tähendab, et riigid on Eestiga peaegu samal laiusjoonel. ( Eesti on kõigest umbes 20° ida pool ) Riigi kuju
orginaalse funktsiooni f(x,y) lineariseerimiseks punktis ( x0 ; y0 ; z0 ) IDEE: 12.Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi df =f x dx + f y dy+ f z dz Rakendusi: veahinnang, kujundi ruumala 13.Gradient(definitsioon, omadused ja tähistused) DEF: Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse n- mõõtmelist vektorit, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised grad f =(f x , f y , f z) , ∇ f =grad f OMADUSED: Funktsiooni tuletis on maksimaalne gradiendi suunas ja võrdub gradiendi pikkusega ∥ grad f ∥=√ f 2x +f 2y + f 2z . Gradient on funktisooni nivoopinna normaaliks(risti nivoopinnaga) ja iseloomustab funktsiooni kiirema muutumise sihti. 14
filosoofia puuga: juured on metafüüsika, tüvi füüsika ning puuoksad rakendusteadused. (Nagu ka õunapuu vilju korjatakse okste, mitte tüve või juurte küljest, nii ilmneb ka filosoofia kasulikkus rakenduslike teaduste juures). Ta rajas uue matemaatikaharu, mille tuumaks oli algebra kasutuselevõtt geomeetrias. Ühtlasi leiutas ta graafiku (x ja y telge nimetatakse tema järgi kartesiaanlikeks koordinaatideks). Ta mõtles, et see, mis annab matemaatikale tema tõsikindluse, on ehk üle võetav ning rakendatav ka teistes teadmisvaldkondades. Rene Descartest peetakse ratsionalismi (ehk arusaama, et tõsikindel teadmine pärineb mõistusest enesest, olles sünnipärane) rajajaks. Descartese arvates ei esine tarkus mitte paljuteadmises, vaid mõistmises. Tema meelest järeldub tõeline teadmine printsiipidest ning tõeliselt tark on
Täpsed efemeriidid (ei ole prognoos, satelliidi X, Y, Z koordinaadid ~2 cm täpsusega, saadavad alles ~13 päeva pärast reaalselt toimunud mõõtmisi Kepleri orbiidi elemendid a ellipsi pikem pooltelg e ellipsi ekstsentrilisus i orbiidi kalle tõususõlme otsetõus perigee argument v tõeline anomaalia Lisaks modelleeritakse orbiidi elementide muutust (gravitatsioon jt) Mudeli abil saab satelliidi orbiidi reaalajas ~2 m täpsusega Saab arvutada satelliidi X, Y, Z koordinaatideks 2. Arutlege GPS-süsteemi kontrolljaamade otstarbe üle. Kontrolljaamade süsteem koosneb juhtivast kontrolljaamast, ülemaailmsetest monitooringujaamadest ja maapealsetest saateantennidest. Kontrolljaamade süsteemi peamiseks ülesandeks on satelliitide orbiitide määramine, satelliitide kellade jälgimine ja prognoosiv modelleerimine, satelliitide kellade sünkroniseerimine ja vastavate andmete saatmine satelliitidele
ja seda tähistatakse dimV ; Olgu V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 , ... , n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 , ... , n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x11 + x2 2 + ... + xn n , x1 , x2 , ... , xn . (1) Saab näidata, et vektor avaldub kujul (1) üheselt. Def. Vektoriga üheselt määratud arve x1 , x2 , ... , xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Seejuures kasutatatakse tähistust = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) B . Kui kontekstist on selge, millist baasi B vaadeldakse, siis jäetakse indeks B ära: = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) . 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1
u u x u y u z ( ) = + + + x y z ( ) lim =0 0 ? Vaatleme vektorit = PQ = { x, y , z} siit saame x y z cos = , cos = , cos = ? need on vektori = PQ suunakoosinused cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 x y z Ühikvektori e = = ; ; = { cos , cos , cos } koordinaatideks on suunakoosinused. ? Ka vektori s suuna ühikvektori koordinaatideks on suunakoosinused s s = = { cos,cos , cos } s s1 s2 s3 ? cos = , cos = , cos = , s = s12 + s 22 + s32 s s s Järelikult u u u u ( ) (10.2) = cos + cos + cos + s x y z Minnes üle piirväärtusele, kui 0 saame
Kuna geoidi kuju ei ole võimalik mat. valemitega kirjeldada, siis kasut. täpsete geodeetiliste arvutuste jaoks geoidi mat. mudelit pöördellipsoidi a=6378,137 km pikem pooltelg b=6356,7573141 km lühem pooltelg f=1/298,257222101 lapikus Kaasajal kasut. uurimistöödes GPS mõõtmisi (GPS mõõtmiste aluseks on geotsentrilised koordinaadid). 2. Geograafilised koordinaadid. Geograafilisteks koordinaatideks on geograafiline laius ja pikkus. Geograafilised koordinaadid määratakse kas astronoomiliste vaatlustega või arvutatakse ellipsoidi pinnale redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste andmetest. Kaasajal määratakse GPS mõõtmistega. 3. Geotsentrilised koordinaadid. Alguspunkt asub maa raskuskeskmes. Vertikaaltelg (z-telg) on maakera pöörlemistelg, x-telg on 0-meridiaani ja ekvaatori tasapindade lõikejoon ning y-telg on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil
Kuna geoidi kuju ei ole võimalik mat. valemitega kirjeldada, siis kasut. täpsete geodeetiliste arvutuste jaoks geoidi mat. mudelit pöördellipsoidi · a=6378,137 km pikem pooltelg · b=6356,7573141 km lühem pooltelg · f=1/298,257222101 lapikus Kaasajal kasut. uurimistöödes GPS mõõtmisi (GPS mõõtmiste aluseks on geotsentrilised koordinaadid). 2. Geograafilised koordinaadid. Geograafilisteks koordinaatideks on geograafiline laius ja pikkus. Geograafilised koordinaadid määratakse kas astronoomiliste vaatlustega või arvutatakse ellipsoidi pinnale redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste andmetest. Kaasajal määratakse GPS mõõtmistega. 3. Geotsentrilised koordinaadid. Alguspunkt asub maa raskuskeskmes. Vertikaaltelg (z-telg) on maakera pöörlemistelg, x-telg on 0-meridiaani ja ekvaatori tasapindade lõikejoon ning y-telg on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil
sõltumatu Moodustajate Vektorruumi V vektorite süsteemi M nimetatakse moodustajate süsteemiks, süsteem kui vektorruumi V iga vektor avaldub süsteemi M kuuluvate vektorite lineaarkombinatsioonina Vektorruumi baas Vektorruumi V baasiks {e1, ..., en} nimetatakse vektorruumi V lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi Vektori koordinaadid Vektori a koordinaatideks baasil {e1, ..., en} nimetatakse kordajaid x1, x2, ..., xn baasi suhtes avaldises a=x1e1+x2e2+...+xnen Arvrida Arvreaks nimetatakse lõpmatut summat, mis avaldub kujul u ( n ) =u ( 0 ) +u ( 1 )+ ...+u ( m )+ ... n=0 Arvrea summa Arvrea summaks nimetatakse piirväärtust (kui see eksisteerib) S= n lim u ( k )
pindasid); 2. Kujutise kvaliteedi halvenemine (tolm,suits,veeaur,valgustus,kontrast);3. Kujutise võbisemine (ei tohiks ületada 2” st. 0,1 bisektorit); 4. Instrumendi temperatuuri muutus; 5. Aluse vajumine. 13) Mis on geodeetilised algandmed? Valitud punkt, kus määratakse max. täpsusega astronoomilised koordinaadid ja teatud lähtesuuna astronoomiline asimuut ning loetakse need ühtlasi geodeetilisteks koordinaatideks ja asimuudiks. Selle punkti normaalvoi ortomeetriline kõrgus on geodeetiline kõrgus. 14. Instrumentaalsed vead nurgamõõtmisel: kollimatsiooniviga, pikksilma pöörlemistelje kalle, ümberfokuseerimise viga, limba ja alidaadi ekstsentrilisusest tingitud viga, limbi jaotiste ebavõrdsusest tingitud viga, teodoliidi vertikaaltelje kalle. Instrumentaalne viga paeks võrduma instrumendi juhendis toodud nominaalse
lõpmatumõõtmeliseks ehk lõpmatudimensionaalseks vektorruumiks Lõplikumõõtmeline vektorruum Vektorruumi, millel on baas(id) olemas, nimetatakse lõplikumõõtmeliseks ehk lõplikudimensionaalseks vektorruumiks Mõõtmed - Elementide arvu vektorruumi baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks. Vektorruumi V mõõdet tähistatakse dimV Vektori koordinaadid kordajaid x1,x2...xn avaldises x=x1e1 + x2e2 +...xnen nimetatakse elemendi x koordinaatideks baasil {e1,e2, . . .,en}: *elementide koordinaadid igal baasil määratakse üheselt TEOREEM: Elementide liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel tuleb elementide koordinaadid vastavalt liita, lahutada ja sama arvuga korrutada Baasiteisenduse maatriks - Maatriksit A nimetatakse baasiteisenduse maatriksiks üleminekul vanalt baasilt uuele baasile. Vahel nimetatakse maatriksit A ka lihtsalt baasiteisenduse maatriksiks.
..) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. Teooriaküsimused nr. 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon.
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . .
..) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon.
nurk. Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid, nende määramine Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid?
Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest. 43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu z ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise väärtus on maksimaalne, kui argument liigub gradientvektori suunas. 46. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse
rahuldavad järgmised omadused: V5. )= , V6. , V7. = , V8. 1 = 19. Aritmeetilised vektorid Vektoreid saab esitada ka koordinaatide kaudu. Näiteks kolmemõõtmelises ruumis Lihtne on üldistada, võttes kolme koordinaadi asemel rohkem koordinaate. Fikseerime naturaalarvu Definitsioon. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n koosnevat arvude jada Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks ja tähistatakse e. Definitsioon. Aritmeetiliste vektorite ja summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide: (2;-1; 0; 5) + (-3; 9; 7;-5) = (-1; 8; 7; 0), Definitsioon. Arvu (skalaari) ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide:
Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. 5. Iseloomusta geodeetilisi koordinaate Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. 6. Iseloomusta tasapinnalisi ristkoordinaate
ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM. Kui vektorid a, e1, e2, . . . , en moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis saab ühe neist alati avaldada teiste lineaarse kombinatsioonina: a = 1e1 + 2e2 + . . . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada: a = ( 1, 2, . . . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e
cos =± 2 2 a b cos = a b a ab 0 b 0 b 0 a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 p p x1; 2 = - ± -q 2 2 a3 b3 c3 Koordinaattasandil asuva lõigu keskpunkti koordinaatideks x +x 2 y1 +y 2 C 1 1 ; 2 on lõigu otspunktide 43 samanimeliste koordinaatide aritmeetilised keskmised
ORTONORMEERITUD BAASIKS. 4 VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS TEOREEM. Kui vektorid a, e1, e2, . . . , en moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis saab ühe neist alati avaldada teiste lineaarse kombinatsioonina: a = 1e1 + 2e2 + . . . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada: a = ( 1, 2, . . . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e
ruudustikest on eesti põhikaardi ja milline baaskaardi nomenklatuur 3. Koonuseline projektsioon – iseloomusta, millised on joonised, võrgustik, milleks kasutatakse 4. Koropleetkaart ja sümbolkaart – iseloomustus + näited mõlema kohta 5. Kaardiülesanded : märkida kindelpunktid, mida saaks koordinaatideks võtta. Milliste kaardikihtidega on 20 GEOINFOSÜSTEEMID Eksamiteemad digitaalkartograafias vm tegu? Milliste mõõtkavadega võiks tegu olla (olid variandid antud) 6. Aktiivne kaugseire – tööpõhimõte, mida uurida saab 7. Asetatakse üksteise peale viis topograafilist kaarti.
summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis. Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid: i 1,0,0 , i 1, j 0,1,0 , j 1,
annaabi.ee 
