MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad...
näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Igale reaalarvule vastab üks punkt arvsirgel ja vastupidi. Kahest reaalarvust loetakse...
Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14...
6 Reaalarvud R........................................................................................................................ 6 * Rooma numbrid..................................................................................................................... 6 Reaalarvu absoluutväärtus........................................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine...
Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse in...
Süsteemi moiste. Süsteemimudel. Muutujad ja parameetrid. Sisend-, oleku- ja valjundmuutujad. Millest soltub süsteemi kaitumine. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine. Algolek ja selle sisu. Dunaamiline süsteem. Pidev-ja diskreetaja süsteemid. 1.1. Süsteemi mõiste Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteemi mõiste komponendid on element/objekt (süsteemi osis, mida kasitletakse süsteemi suhtes jagamatuna, tervikuna), sidemed (mistahes laadi seosed elementide vahel, mis võivad olla orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne) ning terviklikkus (võib tähendada elementide koosluse täielikkust, mõtestatust, teatavat ühtset sihipära, eesmärki, otstarvet, naabruslikkust, kokkuseotust jne, s.o põhjust või võimalikkust vaadelda teatavat kooslust süsteemina, võimaldab süsteemi vaadelda ka jagamatu tervikuna ja samas ümbrusest eristuvana). Süsteemi põhiomadusteks on struktuuri- ja käitumisomadused. Süste...
Seega ka lahend x4=-3 rahuldab võrrandit. Kontrollime nüüd lahendeid graafiliselt ja vaatame, kas sel võrrandil võib olla veel lahendeid. Joonestame funktsioonide y =(x+2)x2-x, y =1 graafikud ja leiame nende lõikepunktid, mis ongi võrrandi (x+2)x2-x=1 lahenditeks. Siit graafikult näeme, et tegelikult pole funktsioon y =(x+2)x2-x määratud reaalarvude hulgal kui x<-2, sest siis ei saa kõikide reaalarvuliste x väärtuste korral funktsioonile väärtusi leida. Samuti näeme, et võrrandil on just nimelt need neli lahendit, mis me juba eespool leidsime. Vastus: x1=0 x2=1 x3=-1 x4=-3...
10.klass a1 b1 c1 1. Reaalarvude piirkonnad kui D = 0; D x = 0; D y = 0, siis = = a 2 b2 c 2 2. Astme mõiste üldistamine a m a n = a m +n c)pole lahendeid a1 b1 c a m : a n = a m -n , kui m > n kui D = 0; D x 0; D y 0, siis = 1...
NÄITEID: x3 x3 ' 2 1) Funktsioon f(x) = 3 on funktsiooni f(x) =x algfunktsioon reaalarvude hulgal R , sest 3 2 =x ja mõlemad funktsioonide määramispiirkond on reaalarvude hulk; iga reaalarvu puhul on funktsiooni x3 3 tuletiseks x2. x3 x3 ' 3 = x2 F(x) = 3 algfunktsioon tuletis f(x) = x2...
Määramispiirkond on muutuja x kõigi selliste väärtuste hulk, mille korral f-ni väärtust saab f ( x) arvutada. (x väärtuste hulk) Muutumispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtustele vastavaid f-ni f(x) väärtuste hulka. (y väärtuste hulk) 1 Näited: f(x) := x-1 x0 sest murrujoone alune avaldis ei tohi olla 0 Määramispiirkond on siis: Muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk. Määramispiirkond: Muutumispiirkond: 9. Mis on reaalmuutuja funktsioon? Esitage 2 näidet! Kui argumendi x ja funktsiooni f(x) väärtuseks on reaalarvud, siis funktsiooni f(x) nimetatakse yfx x0 () - < x< 1<< reaalmuutuja funktsiooniks. Näited: f(x)=2 1x 10. Mis on funktsionaalne sõltuvus? Esitage 2 näidet!...
UNIVERSUM PÄHKLIKOORES Referaat Õppeaines: Informaatika Ehitusteaduskond Õpperühm: II KEI Üliõpilane: Andrus Erik Kontrollis: Rein Ruus Tallinn 2004 SISUKORD Eessõna...........................................................................................................................2 1. Relatiivsusteooria lühilugu ........................................................................................3 2. Aja kuju ............................................................................................................... 8 3. Universum pähklikoores...........................................................................................16 4. Tulevikku ennustamas..............................................................................................20 5. Mineviku kaitsel......................................................................................................29 6. Meie...
Negatiivse arvuga jagades
võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb
samaks.
Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21.
Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21.
Võrratuse lahend
Kui võrratus sisaldab muutujat, siis
saame rääkida võrratuse
lahendamisest.
Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille
korral võrratus osutub tõeseks nim.
võrratuse lahendeiks ja kõiki koos
võrratuse lahendihulgaks.
Võrratuse lahendid on
enamasti reaalarvude
piirkonnad.
Reaalarvude piirkondade märkimiseks
kasutatakse järgnevaid sümboleid:
Lõik axb
x[a;b]
Vahemik a
2* (+)a= a+ a. 3* (a)=( )a. 4* (a+b)= a+ b. 5* 1 ·a=a. J5: =a(a)= · a. (-a)=-1 ·a. J6: ·0=0. J7: 0 ·a=0. J8: -(-a)=a. leiduvad vektorid {e, e2, e 3} x nii et mistahes vektor x on avaldatav x=x 1·e 1+x2·e 2+x3·e 3 kusjuures x1·e 1+x2·e 2+x3·e 3=0 peab paika vaid siis kui x 1+x2+x3=0. Olgu rahuldatud aksioomide 1 º-4 º ja 1*-5* ja nõuded, sel korral punktide hulga vektorite hulgaja reaalarvude hulga ühendamisel tekkinud hulka nim kolmemõõtmeliseks Affiinseks ruumiks. x=x1·e 1+x2·e 1+x3·e 3=(x1;x2;x3) ; y=(y 1;y 2;y 3) ; x=y x1=y1 x2=y2 x3=y3 ; ·x=(x1;x2;x3) ; -x=(-x1;-x2;-x3) ; x+y=(x1+y1;x 2+y2;x3+y3) ; x-y=(x1-y1;x 2-y2;x3-y3). Affiinse ruumi lineaarsete sõltumatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks e dimensiooniks. Kolmemõõtmelises affiinses ruumis A3 on võimalik 2 vektori x ja y korral defineerida uus tehe mida nim vektorite skalaarkorrutiseks...
00 (kuni kaheksanda n¨adalani ainult paa- risn¨adalatel) ja reedeti 18.00. 4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1.1.1 T¨ ahistused Arvuhulki t¨ahistatakse u ¨ldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - t¨aisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, l~oik, pooll~oik ja nende u ¨hendid. Piirkondi hakkame t¨ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... ....
kordusperioodiga T, saab teda esitada harmoonilistel jääksignaalile tingimuse, mis kasvab mudeli järgu omandab arvväärtuse reaalarvude hulgast ja temaga ja MA mudelite jaoks. tõttu lekkimine kasvab ja spektri tipud lähevad sagedustel olevate komplekseksponentide lineaarse kasvamisega, ja annavad hinnangu mudeli järgule...
i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Olgu antud reaalarvude jada a1, a2, a3,........ Avaldist S ai = a1+ a2+ a3+... nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1...
D efineerida relats ioon aRb nii et b j agub a-ga. Leida selle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mis p iirkond. R = { (2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)} D om(R )= { 2,3,4} R ange(R )= { 3,4,6} N 3: V aatle me relats ioone reaalarvude hulgal ehk olgu A = B= reaalarvud e hulk. Ele mend id a j a b loeme relats ioonis R olevateks kui kehtib võrratus |x |+ |y|< = 1 j a teis es relats ioonis S olevateks kui kehtib võrratus |x+ y|< = 1 M õlemad relats ioonid on alamhu lgad ots ekorrutis es t R × R j a on kuj utatavad tas andi punktihulkadena R elats ioon R on romb i s iss e Relats ioon S on riba j ääv punktipaaride hulk N 4: V aatle me relats ioone naturaal arvude hulgal ehk olgu A= B= naturaalarvude...
as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud B ool i algeb ra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S Iga a,b S , korral kehtib(ko mmut ati ivs us ): a b= b a ja a b= b a Iga a,b,c S , korral kehtib (as s ots iatiivs us ): a (b c)= (a b) c ja a (b c)= (a b) c Iga a,b,c S , korral kehtib (dis tributiivs us ):...
1990 Tim Berners-Lee Mida tehakse Javascript-iga? Kasutatakse veebilehtede arendamiseks 5) Tõeväärtustabel 9) Tõesta, et murdarvude hulk on sama võimas kui naturaalarvude oma. x1 x2 XOR reaalarvude hulk on sama võimas kui naturaalarvude hulk 0 0 0 N: 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ... 0 1 1 Z: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ......
2 Sissejuhatus.................................................................................................................................5 Põhivõimalused...........................................................................................................................6 Käivitamine.............................................................................................................................8 Ülesandeid...........................................................................................................................9 Suhtlus arvutiga.......................................................................................................................9 Arvutamine...