Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks peab teadma vähemalt kahe punkti koordinaate. Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid. Ruutfunktsiooni graafik läbib y-telge ühes punktis. Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatveerandis. Funktsiooni y = ax² + bx + c graafik on parabool.
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus .
docstxt/134919721594.txt
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne
selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0). Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole. Vaatame edasi ülesandeid. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1
Ande AndekasLammutaja Matemaatika Ruutfunktsioonid Ruutfunktsiooni harud avanevad üles, kui a>0 ja alla, kui a<0. Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool, mis on sümmeetriline y- telje suhtes. y = ax² parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0;0). y =ax² + c parabooli haripunkt asub punktis (0;c) (y- teljel, punktis c). y = ax² + bx parabooli üks harudest läbib punkti (0;0) ja teine haru (-b/a;0). y = ax² + bx + c parabooli haripunkt võib asuda ükskõik kus. Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul y=0 (graafikul lõikepunktid x-teljega). Haripunti tähiseks on Xh
x2 + x 6 = 0 x1 = 0,5 + 2,5 = 2 x2 = 0,5 2,5 = 3 Kontroll: x1 = 2 vasak pool: (2 . 2 + 3)3 316 = 73 316 = 27 parem pool: (2 . 2 1)3 = 33 = 27 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 3 vasak pool: (2 . ( 3) + 3)3 316 = ( 3)3 316 = 343 parem pool: (2 . ( 3) 1)3 = ( 7)3 = 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus:
Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni y = x 2 - 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 20. Alljärgnev, osaliselt täitmata tabel peab esitama ruutfunktsiooni y = x 2 - 2 x muutujate x ja y vastavate väärtuste paare.
5. (8p) Talumees Toomasel on talumaad 2100m2. Ta soovis istutada oma maale metsa (48%), harida põllumaaks (22%), istutada maasikaid (10%) ning jätta heinamaaks ülejäänud osa. Leia, mitu hektarit maaalast tegi Toomas metsaks, põllumaaks, maasikate kasvatuseks ja heinamaaks. 6. (10p) On antud ruutfunktsioon y=x2-6x+9. 1) Arvuta selle funktsiooni nullkohad. 2) Täida funktsiooni väärtuste tabel ja joonesta ruutfunktsiooni graafik. 3) Leia arvutamise teel, kas punktid A(9;6) ja B (3;5) asuvad ruutfunktsiooni graafikul. x 0 1 2 3 4 5 6 y 4) Leia haripunkti koordinaadid.
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2
programmi GeoGebra. Joonis 13 Liikumise graafikule kanname ühe punkti nii, et on nähtavad ka selle punkti koordinaadid. Punkti liigutamisel muutuvad ka koordinaadid (sõiduks kulunud aeg ja sõidukiirus). Joonisel 13 annavad punkti A koordinaadid vastuse esimesele ülesandele. 5. Ruutfunktsioon ja selle graafik Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille saab esitada kujul y = ax2 + bx + c, kus a 0 ning b ja c on antud arvud. Ruutfunktsiooni käsitlemiseks koolis on mitmeid võimalusi: 1) ruutvõrrandi lahendamist käsitletakse enne ruutfunktsiooni tundmaõppimist; 2) ruutfunktsiooni graafiku konstrueerimine on seotud vastava ruutvõrrandi lahendamisega; 3) ruutfunktsiooni käsitletakse enne vastavat võrrandit. 10 Kuna olen juba aastaid kasutanud teist varianti, siis pakun välja võimaliku teemade käsitlemise järjekorra: 1. Funktsioon y = ax2. 2
Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja y = - x + 3 3 graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordi- naadid. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 120 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 5 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui kõrgele sel juhul vesi anumas tõuseb ja kui mitu protsenti anumast on veel täitmata? © Allar Veelmaa 2008 PÕHIKOOLI MATEMAATIKA PROOVIEKSAMI ÜLESANDED 2008.a. 1. (7 p
Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille liikmeteks on ruutliige, lineaarliige ning
ülespoole, kui a<0, siis allapoole. Mida suurem a, seda kitsam on parabool. Ruutfunktsioon y=ax+bx, kus a Ruutfunktsiooni Graafikuks on y=ax+bx: ja b on antud y=ax+bx parabool, mis ei arvud ning x ja y graafikuks on ole y teljega muutujad. kordinaatide sümeetriline. nullpunkti läbiv Parabool läbib 0 parabool, mida on punkti. võimalik ühitada Paraboolil
Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad
Leidke trapetsi pindala ruutdetsimeetrites (kümnendiku täpsusega). Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja 233yx=-+ graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordi- naadid. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 120 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 5 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui kõrgele sel juhul vesi anumas tõuseb ja kui mitu protsenti anumast on veel täitmata?
Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest on suuremad moodist? Tehke hinnete jaotusele vastav sektordiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x 2x 3 ja 223yx=-+ graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkt. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 20 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 7 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui palju värvi kulub selle anuma külgpinna värvimiseks, kui värvi kulu 1 m² kohta on 250 grammi? Vastus andke kümnendiku täpsusega.
.......................4 3.2 Orgaaniliste väetiste kasutamine..........................................5 3.2.1 Orgaaniliste väetiste tootmine..................................................5 3.2.2 Orgaaniliste väetiste normide planeerimine..................................5 3.3 Lämmastik-, fosfor- ja kaaliumväetiste kasutamine.........................6 3.3.1 Lämmastiku-, fosfori- ja kaaliumivajadus lihtsustatud bilansi meetodil........6 3.3.2 Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil............................ 3.3.3 Mineraalväetiste normide, andmisaegade ja viiside planeerimine............. 4. Kokkuvõte............................................................ 2 Sissejuhatus " Kase" talu asub Põlvamaal Laheda vallas Vana-Koiola külas. Lähimad keskused on Põlva ja Võru. Kilomeetri kaugusel talust asub ilus Vana-Koiola järv, kus külarahvas käib suviti ujumas
Sisukord Sissejuhatus 2. Külvikorraväljade agronoomiline iseloomustus 3. Külvikordade väetussüsteem 3.1. Orgaaniliste väetiste kasutamine 3.1.1. Orgaaniliste väetiste tootmine 3.1.2. Orgaaniliste väetiste normide planeerimine 3.1.3 Orgaaniliste väetiste andmise aeg ja tehnoloogia 3.2. Lämmastik-, fosfor- ja kaaliumväetiste kasutamine 3.2.1. Lämmastiku-, fosfori- ja kaaliumivajadus lihtsustatud bilansi meetodil 3.2.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil 3.2.3 Mineraalväetiste normide, andmisaegade- ja viiside planeerimine 2 Sissejuhatus Leevaku talu asub Järvamaal, Kareda vallas, Peetri külas. Talu on olnud pikka aega vanaisa hoole all, kuid nüüd otsustas ta selle ameti minu kanda jätta. Maad on 145 hektarit ja jaotatud viieks väljaks. Mulda on hästi hoitud ja huumusbilanss läbi aastate positiivne.Põllumaade harimiseks
..................................................................................................5 3.1. Orgaaniliste väetiste kasutamine.......................................................................................5 3.2. Lämmastik-, fosfor- ja kaaliumväetiste kasutamine.........................................................6 3.2.1. Lämmastiku-, fosfori- ja kaaliumivajadus lihtsustatud bilansi meetodil.....................6 3.2.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil.................................................8 3.2.3 Mineraalväetiste normide, andmisaegade- ja viiside planeerimine...........................10 4.Kokkuvõte.............................................................................................................................12 1. Sissejuhatus Töö eesmärk on kirjeldada Roose talu väetussüsteemi. Rose talu asub Jõgevamaal Pala vallas Nõva külas. Nõva asub Tartust umbes 60 km kaugusel
125 < 20u + u 2 u + 20u -125 > 0. 2 Lahendame vastava ruutvõrrandi: u 2 + 20u -125 = 0, u = -10 ± 10 2 +125 = -10 ±15 u1 = -10 -15 = -25, u 2 = -10 +15 = 5. Ülesanne 3 (III) Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni v = u 2 - 20u +125 graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk. Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale: u = 5 x > 5 = 51 Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav, seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega x > 1, mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks.
jõuab normaalvektori mõiste koos tasandi võrrandiga. Seega sobib normaalvektor sirgetevahelise nurga leidmiseks eksamieelsel kordamisel. Sirgete võrrandite abil saab kirjeldada ühtlast liikumist, temperatuuri muutusi, ürituse korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata õpikuid ja jälgi meedias toodud graafikuid). Saame õpilastele näidata, et õpitut on võimalik rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada joonestada graafikuid nii paberil kui arvuti abil, meenutada kõiki ruutfunktsiooni graafikuga seotud mõisteid (nullkohad, nende arv, avanemine, telg, haripunkt, lõikepunktid telgedega). Kitsa kursuse õppijad sellega piirduvadki, st parabooli ja hüperbooli võrrandeid nad koostama ei pea. Laias kursuses võib
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0.
.............4 3.2.1. Orgaaniliste väetiste tootmine............................................................................4 3.2.3. Orgaaniliste väetiste andmise aeg ja tehnoloogia..............................................5 3.3. Lämmastik-, fosfor- ja kaaliumväetiste kasutamine.................................................6 3.3.1. Lämmastiku-, fosfori- ja kaaliumi vajadus lihtsustatud bilansi meetodil..........6 3.3.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil.......................................7 3.3.3. Mineraalväetiste normide, andmisaegade ja –viiside planeerimine..................9 4. KOKKUVÕTE..............................................................................................................10 5. KASUTATUD KIRJANDUS.........................................................................................10 1.SISSEJUHATUS „Kloostri“ talu asub Harjumaal Pariisi külas.Talu kasvatab kartulit ja teravilja. Põldudel
ruutvõrrand. 355, 359 Ruutfunktsioon ja KONTROLLTÖÖ 30. 12. 10. 06 KT ruutvõrrand. "Ruutvõrrandi lahendamine" Ruutfunktsiooni mõiste. Ruutfunktsioon.Parabool. Ruutfunktsioon ja 1) lk 31-33 ül 115,117 31. 12. 10. 06 Ruutfunktsioonid y = x2 ja Parabooli telg, haripunkt. Nädalakodutöö ruutvõrrand. y =x2+c Nullkohad
taimetoitainete omastamine mullast ja väetistest - arvestatakse kõigi toitainetega, mida taim omastab ja kasutab bioproduktsioonis. Väetistega mulda viidud taimetoiteelementidest suudavad taimed omastada vaid osa, ülejäänud kogused alluvad mullas mitmesugustele muutustele ja ei põhjusta mitte alati keskkonna reostust! - andke hinnang väetiste kasutamise agronoomiliste majanduslike ja keskkonnakaitselistele aspektidele. Vaja selgitada ruutfunktsiooni põhiliselt, kuidas leida agronoomiliselt efektiivset väetiskogust ja majanduslikult efektiivset väetiskogust ja keskkonnaliselt, milline on see väetiskogus, mis keskkonnale kurja ei tee. Agromajanduslik geoinfosüsteem (AMGIS) aitab tõsta põllumajandustootmise konkurentsivõimet. Lehm võib päevas süüa maksimaalselt 70kg rohtu ja selles on kuivainet 1/5 ehk 14 kg. Juhul, kui 1 kg = 10 MJ, siis rohuga saab see lehm kätte 140 MJ.
....................... 5 3.2.2 Orgaaniliste väetiste normide planeerimine........................................................ 5 3.2.3 Orgaaniliste väetiste andmise aeg ja tehnoloogia...............................................6 3.3. Lämmastik-, fosfor-, ja kaaliumväetiste kasutamine........................................6 3.3.1. Lämmastiku-, fosfor- ja kaaliumivajadus lihtsustatud bilansi meetodil ........Error: Reference source not found6-8 3.3.2 Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil .....................................9-11 3.3.3 Mineraalväetiste normide, andmisaegade ja viiside planeerimine ...............11-12 4.Kokkuvõte........................................................................................................................13 1. Sissejuhatus Väetussüsteem on koostatud väljamõeldud põldudele. Talu tootmissuund on kombineeritud teravilja ja rapsi kasvatamisega. Põllud asuvad Põlvamaal Ahja vallas Kosova külas. Kokku
5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6. Joonisel on antud ruutf-ni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke: 1) ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; tema nullkohad ja haripunkti koordinaadid; 2) punkti A koordinaadid, kus y = ex lõikab y-telge; 3) funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab f-ni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; 4) antud f-de ühine positiivsuspiirkond; 5) puutuja võrrand funktsioonile f(x) kohal, kus ta lõikab y-telge. Joonista see puutuja f(x) graafikule. 7. Kui ärimees võtaks 15%-lise laenu,
väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
..........................................8 2.2.2. Orgaaniliste väetisnormide planeerimine.......................................................9 2.2.3.Orgaaniliste väetiste andmise aeg ja tehnoloogia.........................................10 2.3.Lämmastik-, fosfor- ja kaaliumväetiste kasutamine.............................................11 2.3.1 Lämmastiku-, fosfori- ja kaaliumi vajadus lihtsustatud bilansi meetodil........11 2.3.2.Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil...................................13 2.3.3.Mineraalväetiste normide, andmisaegade ja –viiside planeerimine..............14 KOKKUVÕTE.................................................................................................................. 17 KASUTATUD KIRJANDUS................................................................................................ 18
a) 3x-5y2;b) 3x3y2+5x2y4;c) 3x+5y2; d)-27x3y2+45x2y3; e)-x3y2+5x2y3. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Hulkade K= ja L={Mihkel; Karl; Maali} ühend on a) {Mihkel; Karl; Maali}; b) {Maali}; c) {Karl; Maali}; d) tühi hulk; e) hulk M. Hulkade A={1; 3; 7; 11} ja B={1; 2; 3; 11} ühisosa on a) {1; 3; 7}; b) {1;3;7;11}; c) {1; 3; 11}; d) {1; 2; 3; 7; 11};e) . Lineaarfunktsiooni graafikuks on a) hüperbool; b) sirge; c) parabool; d) ringjoon; e) punkt Ruutfunktsiooni graafikuks on a) sirge; b) hüperbool; c) punkt; d) ringjoon; e) parabool Positiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks erinevat lahendit; b) ei ole lahendeid; c) on kaks võrdset lahendit; d) on lõpmata palju lahendeid Negatiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks võrdset lahendit; b) on lõpmata palju lahendeid; c) ei ole lahendeid; d) on kaks lahendit Ruutvõrrandil ax2+bx=0 on alati a) kolm lahendit; b) neli lahendit; c) null lahendit; d) lõpmata palju lahendeid; e) kaks lahendit
51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete
funktsiooni suurim väärtus on 14. Näpunäited I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv. Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min ,
x b a Lahendid puuduvad. 3.17 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka ≥ 0 või ≤ 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. Kui b 2 − 4ac > 0 , siis on ruutvõrrandil kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkond ehk võrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendid järgmised:
Log- lnY=c0+a1 Kui X muutub E=a1*X Y=a0*ea1x lin(eksponentsiaa X ühe ühiku võrra, lne) siis Y muutub 100a1% võrra Lin- Y=c0+a1ln Kui X muutub E=a1*(1/Y) log(logaritmiline) X 1% võrra, siis Y muutub 0,01a1 võrra Ruutfunktsiooni mudel (parabool) Kõige enam praktikas kasutamist leidnud mittelineaarse funktsiooni tüübiks on parabool ehk ruutmudel. Y=a0+a1*X+a2*X2+e Võrrelda lihtsa regressiooni ja ruutfunktsiooni mudeli korrigeeritud determinatsioonikordaja R2 väärtusi. Kui ruutfunktsiooni mudeli korrigeeritud determinatsioonikordaja R2 on suurem kui lihtsa regressioonimudeli R2, siis on ruutfunktsiooni mudel selgitanud suurema osa sõltuva muutuja Y varieeruvusest. Hüperboolne mudel
tekstülesannete lahendamisele. Õpitakse ka lihtsamaid võrrandeid, protsent- arvutust ja geomeetrilisi kujundeid. tehakse algust statistika õppimisega (tulp- ja sektordiagramm, aritmeetiline keskmine). Palju tähelepanu pööratakse matemaatika kasutamisele igapäevases elus. 12 VII - IX klassis laiendatakse arvuhulka irratsionaalarvudeni, õpitakse arvu ruutjuurt, tehteid algebraliste avaldistega, lineaar- ja ruutfunktsiooni, trigonomeetriat täisnurkses kolmnurgas, ruutvõrrandeid ja 2 tundmatuga võrrandisüsteeme, andmete klassifitseerimist, suhtelist sagedust, andmete esitamise viise. Gümnaasiumis õpib umbes 60% õpilastest matemaatika lühikest kursust ja 40% pikka kursust. Ka Soomes koosneb ainekava gümnaasiumis ühesuguse pikkusega (38 tundi ) kursustest, kuid nende sisu erineb pikas ja lühikeses kursuses (tärniga märgitud kursused on ühesuguse sisuga).
hakanud kiirenevalt tagasi liikuma. Positiivne liikumine on, kui a > 0, ehk kui kiirus suureneb ja keha liigub edasi. 22.Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand ja graafik. Teades nihke sõltuvust ajast, on liikumisvõrrandit lihtne koostada. Näitab ju see võrrand keha koordinaadi sõltuvust ajast ja nagu ütleb seos, saame keha koordinaadi arvutada mis tahes ajahetke jaoks, liites algkoordinaadile selleks hetkeks sooritatud nihke pikkuse: x = x0 + s. Ruutfunktsiooni graafik on teatavasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga. Sõltuvalt ruutliikme kordaja (kiirenduse) märgist on parabooli harud suunatud kas üles (a > 0) või alla (a < 0). 23.Vabalangemise kiirendus Kõik kehad, kui miski neid ei takista, langemad maapinna poole sõltumata nende massist või kujust ühesuguse kiirendusega 9,8 m/s2 (tegur g=10m/s2) ________________________________________________ 24
keeles ka välja mõelda. Siiski on vähegi keerulisemate arutelude hulkade keelde ümber tõlkimine paras vaev ning matemaatikud on esialgu veel leidlikumad uute tulemuste tõestajad kui arvutid. Järgnevalt näitame, kuidas mõnda matemaatilist objekti hulkade abil kirjeldada. Meie raamatu piires neil kirjeldustel küll suurt oluli- sust pole, kuid võibolla on lihtsalt põnev lugeda. Näiteks võib hulkade abil kirjeldada kõiki funktsioone [lk 64]. Ruutfunktsiooni – masinat, mis seab igale reaalarvule vastavusse tema ruudu – võime kirjeldada järjestatud arvupaaride hulgana: . Idee on siin mõelda, et iga arvupaari esimese liikmega seatakse vastavusse teine liige. Kui vaatleksime funktsiooni ainult täisarvudel nullist seitsmeni, võksime kirjeldava hulga ka elementhaaval välja kirjutada: Naljakal kombel on mõne lihtsama matemaatilise objekti kirjeldamiseks aga tarvis kauem mõelda
vähem.Varieeruvuse suurenedes regressioonikordaja varieeruvus väheneb ehk regressioonikordaja stabiilsus (ustavus) suureneb. Järelikult mitteküllaldas varieeruvuse korral regressioonikordaja varieeruvus suureneb ehk regressioonikordaja stabiilsus(ustavus) väheneb. Seega sõltumatute muutujate mitteküllaldane varieeruvus vähendab regressioonikordajate stabiilsust (ustavust). .Astmefunktsiooni parameetrite leidmine. Isokvandid. Nende kasutamine. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooni kõrval teiseks enam kasutamist leidnud mitmese mittelineaarse regressioonimudeli regressioonivõrrandiks. Astmefunktsiooni iseärasused on järgmised: 1. Võrrandi parameetrid leitakse astmefunktsiooni logaritmimise teel; 2. Astmefunktsioon on minimaalse parameetrite arvuga mitmene mittelineaarne funktsioon 3. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooniga võrreldes tunduvalt jäigem 4. Astmefunktsioon läbib alati koordinaatide alguspunkti 5
-2- - 1 f x ln f) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist 2) koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis , mille abstsiss on 1 g x ax 2 c 3) määrake ruutfunktsiooni avaldises kordajate a ja c väärtrused tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) 0; ; f x ln x; 2) y x 1; 3) a 0,5 ; c 0,5 3. Puutuja võrrandi koostamine
1 f x ln x f) Antud on funktsioon 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist ; 2) koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis , mille abstsiss on 1; g x ax 2 c 3) määrake ruutfunktsiooni avaldises kordajate a ja c väärtused tingimusel , et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis , mille abstsiss on 1 ; 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) X= ( 0; ); f(x) = ln x; 2) y = x+1; 3) a = 0,5 ; c = 0,5 6.Puutuja võrrandi koostamine
Näide: elektrijaamade kulufunktsioon Näide: elektrijaamade kulufunktsioon, 2 nerlove1.gdt nerlove1.gdt Lineaarse funktsiooni korral esineb heteroskedastiivsus Ka ruutfunktsiooni korral esineb heteroskedastiivsus! Jääkide diagramm Jääkide diagramm Ei ole konstantse laiusega horisontaalne riba
...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N
• Kiirusega 15 m/s sõitval kaubarongil võtab aeglustamine kiiruseni 5 m/s aega 2 minutit. Kui suur on rongi kiirendus pidurdamisel? • Kiirusega 3 m/s sõitev jalgrattur alustas laskumist kiirendusega 0,3 m/s2. Kui suureks kasvas kiirus, kui laskumine kestis 7 sekundit? Ühtlaselt muutuva liikumise nihe, liikumisvõrrand ja graafik • Ühtlaselt muutuva liikumise nihe ja liikumisvõrrand Ühtlaselt muutuva liikumise graafik • Koordinaat X sõltub ajast t kui ruutfunktsioon. Ruutfunktsiooni graafik on teatavasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga Kokkuvõte ja Ülesanded • Ühtlaselt muutuva liikumise graafik- Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand kujutab endast aja ruutfunktsiooni. • Kiirusega 9000 m/s liikuvale sidesatelliidile antakse orbiidi muutmisel 10 sekundiks liikumissuunaline kiirendus 20 m/s2. Kui palju nihkub satelliit selle ajaga edasi, kui liikumist võib lugeda sirgjooneliseks?
ning seeläbi vähendavad regressioonmudelite kasutamise efektiivsust ja usaldusväärsust. Sõltumatute muutujate varieeruvus vähenemine, vähendab ka arvandmetes olevat info hulka. Seega sõltumatute muutujate mitteküllaldane varieeruvus vähendab regressioonkordajate stabiilsust. 8. Astmefunktsiooni (Cobb Douglase funktsiooni) parameetrite leidmine. Isokvandid. Nende kasutamine. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooni kõrval teiseks enam kasutamist leidnud mitmese mittelineaarse regressioonimudeli regressioonivõrrandiks. Astmefunktsiooni iseärasused on järgmised: 1.Võrrandi parameetrid leitakse astmefunktsiooni logaritmimise teel; 2.Astmefunktsioon on minimaalse parameetrite arvuga mitmene mittelineaarne funktsioon 3.Astmefunktsioon on ruutfunktsiooniga võrreldes tunduvalt jäigem 4
PRAKTILISED JÄRELDUSED (joon. 6.19): 1. Ilma joon-põikkoormuseta (p = 0) piirkonnas on: · varda põikjõu Q väärtus muutumatu (Q = const); · paindemomendi M väärtus muutub lineaarselt (M = f(x)); 2. Ühtlaselt jaotunud joon-põikkoormusega (p = const) piirkonnas muutub: · põikjõu Q väärtus lineaarselt (Q =f(x)); · paindemomendi M väärtus ruutfunktsiooni järgi (M =f(x2)); 3. Igasuguse seaduspärasuse järgi jautunud joon-põikkoormusega piirkonnas muutub: · põikjõu Q väärtus ühe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi; · paindemomendi M väärtus kahe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi; 4. Põikjõu Q väärtus näitab paindemomendi M epüüri puutuja tõusunurka ja suunda; 5
PRAKTILISED JÄRELDUSED (joon. 6.19): 1. Ilma joon-põikkoormuseta (p = 0) piirkonnas on: · varda põikjõu Q väärtus muutumatu (Q = const); · paindemomendi M väärtus muutub lineaarselt (M = f(x)); 2. Ühtlaselt jaotunud joon-põikkoormusega (p = const) piirkonnas muutub: · põikjõu Q väärtus lineaarselt (Q =f(x)); · paindemomendi M väärtus ruutfunktsiooni järgi (M =f(x2)); 3. Igasuguse seaduspärasuse järgi jautunud joon-põikkoormusega piirkonnas muutub: · põikjõu Q väärtus ühe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi; · paindemomendi M väärtus kahe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi; 4. Põikjõu Q väärtus näitab paindemomendi M epüüri puutuja tõusunurka ja suunda; 5
64
y = 0,5 log 22 x 2 - 3 log 2 ( 4 x ) + 12 graafik asub funktsioonide y = 8 ja y = log 2 vahel.
x
C-3 Põllumees pidi külvama 630 hektarit rapsi ja nisu. Mõlema kultuuri kasvatamisest saadav tulu
moodustab ruutfunktsiooni, argumendiks on külvipinna suurus. Rapsikasvatamisest saadav
maksimaalne tulu on 2 400 000 krooni, kui on külvatud 400 hektarit, nisu külvist saadav
maksimaalne tulu on 1 152 000 krooni, kui on külvatud 480 hektarit. Leia mitu hektarit rapsi ja
mitu hektarit nisu oleks vaja külvata, et tulu oleks maksimaalne.
C-4 Kolmnurkse püramiidi ABCF, põhitahuks on kolmnurk ABC, AB = 5, BC = 12, ja
annaabi.ee 
