trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. Trigonimeetrilised põhivõrrandid: sin x = m cos x = m tan x = m TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
Tasandi ühekordseks katmiseks polaarkoordinaatidega: 0 ≤ ρ< ∞ ja −π < φ≤ π . Positiivsed nurgad – kellaosutile vastassuunas Negatiivsed nurgad – kellaosuti suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ ρsinφ Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed Kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne Kompleksarvule z=ρ(cosφ−isinφ) vastav kaaskompleksarv on
(mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi. Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast a ja b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. Saame: a + bi = r (cos + i sin ) Näiteks arv 2+3i tuleb via triginomeetrilisele kujule. Seega leian esmalt mooduli r = 13 (vt. b Ülevalt). Edasi tuleb leida nurk, selleks kasutan teadmist, et tan =
maastikul tehtud mõõtmiste või kõrgusarvude järgi. Kõrguskasvu mõõdetakse nivelleerimise teel. Eristatakse geomeetrilist ja trigonomeetrilist nivelleerimist Geomeetriline nivelleerimine Geomeetriline nivelleerimine on horisontaalkiirega nivelleerimine. Lattidelt saadakse lugemid, millest lahutamise teel saadakse kõrguskasv hAB=i-e hAB kõrguskasv i punkti A lugem ehk horisontaalkiire kõrgus punkti A kohal e punkti B lugem ehk horisontaalkiire kõrgus punkti B kohal Trigonomeetriline nivelleerimine Trigonomeetriline nivelleerimine on kaldkiirega nivelleerimine, kus mõõdetakse kaldenurk ja punktidevaheline kaugus ning nendest suurustest arvutatakse kõrguskasv. hAB=s·tan +i-e s punktide A ja B vahelise kauguse horisontaalprojektsioon punktis A mõõdetud kaldenurk i instrumendi kõrgus punkti A kohal e viseeritud punkti kõrgus punkti B kohal
Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori OA pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos
5) Leidke selline a väärtus , mille korral funktsioon graafik lõikab x-telge kohal 1. x1 0; x2 log 3 2 0, 63 1; Vastus: 1) -2; 2) (1;0) (0;-2) ; 3) ; 4) 5) a = 3 9.Trigonomeetriline võrrand ja võrratus Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! a) sinx cosx = 0,5 Vastus : x = 450 +900n , n 2
Trigonomeetrilised võrrandid © T. Lepikult, 2010 Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3.
loodusliku objektini. Mööda piirimärke ühendavat sirgjoont (magistraaljoont) mõõdetakse piirimärkide vahekaugus. Samaaegselt mõõdistatakse ruleti ja ekri abil ristjoonte viisil looduslik kõverjooneline piirlõik. Magistraaljoone ja kõverjoonelise piirlõigu vaheline pindala arvutatakse maastikul tehtud mõõtmiste põhjal, kasutades kolmnurga ja trapetsi pindala valemit. 5. 5.1. Millised on peamised nivelleerimise meetodid ja nende täpsus? Geomeetriline Trigonomeetriline Hüdrostaatiline Baromeetriline GPS-nivelleerimine Kõige täpsemad, kuid samas kõige töömahukamad, on geomeetriline ja hüdrostaatiline nivelleerimine. Kõrguskasvu keskmine ruutviga on siin Kõrguskasvu keskmine ruutviga on siin ± 0,5 mm ühe kilomeetri kohta. GPS-mõõdistamisega on võimalik saada sentimeetrilit täpsust. Tehnilise geomeetrilise nivelleerimise täpsus on ± 10 mm/km. Trigonomeetrilise nivveleerimise täpsus on detsimeetri täpsus
arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning −→ olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA
2 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x Ande Andekas-Lammutaja Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. sinx = m: x = (-1)n arcsinm + n ; n Z x = (-1)n + n180° ;nZ Kontroll tehakse väärtustel n = 0 ja n = 1 cosx = m: x = ± arccosm + 2n ; n Z x = ± + n360° ;nZ Kontroll tehakse väärtustel + ja tanx = m: x = arctanm + n ;nZ x = + n180° ;nZ
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on
1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2, 3. K
Tahhümeetrid: topograafiline tm, geodeetiline manuaal tm, geodeetiline servo tm, geodeetiline tm automaatse prismajälgimise süsteemiga, geodeetiline tm automaatse prismajälgimise süsteemiga ja kaugjuhtimisega Nivelleerimine – erinevate punktide kõrguste vahe (kõrguskasvude määramine) ja nende järgi kõrguste arvutamine Nivelleerimise viisid: hüdrostaatiline, baromeetriline, GPS seadmega, geomeetriline ja trigonomeetriline Nivelliiride kontollimine: kompensaator peab töötama, ümaravesilooditelg peab olema paralleelne nivelliiri põhiteljega, niidistiku horisontaalniit peab olema risti nivelliiri põhiteljega, pikksilma viseerimiskiir peab olema horisontaalne GPS – koosneb satelliitidest, seirejaamadest ja kasutajad (vastuvõtjad) Mõõtmismeetodid: vastuvõtjate arvu järgi (absoluutse asukoha määramine ehk 1 ja diferentsiaalne
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine;
PRAKTILISED TÖÖD ARUANNE Õppeaines: ÜLDGEODEESIA PRAKTIKA Ehitusteaduskond Õpperühm: KHE 21 Juhendaja: lektor Katrin Uueküla Esitamiskuupäev:……………. Üliõpilase allkiri:…………….. Õppejõu allkiri: ……………… Tallinn 2017 1. trigonomeetriline nivelleerimine Kasutasime praktikumis praktilise töö tegemiseks elektrontahhümeetrit. Töö eesmärk oli leida kokku lepitud punktide edasi- ja tagasivaate lugemid, mõõta instrumendi kõrgus, viseerimiskõrgus ja nende andmete abil arvutada välja vertikaalnurk ʋ, punktide kõrgused H jne. B(1...7) 2.Pinnanivelleerimine Meil oli käsitleda maatükk suurusega 10x10 m. Teostasime antud joonisel pinnanivelleerimise.
Selline mõõtmine kus määratakse maapinna punktide omavahelisi kõrguslike erinevusi ehk kõrguskasve. Punktide kõrgused määratakse absoluutkõrgusarvudes, st nivoopinnast. Kui niveleerimistööde juures ei ole kõrgusmärke, lepitakse kokku suhtelised kõrgused Viisid: 1.Geomeetriline ehk horisontaalkiirega niveleerimine. Punktidevaheline kõrguskasv määratakse nivelliiri horisontaalse viseerimiskiire ja vertikaalsete lattide abil. 2.Geodeetiline ehk trigonomeetriline nivelleerimine. Punktidevahelise kõrguskasvu määramiseks mõõdetakse nende vaheline kaugus horisontaaltasapinnal ja vertikaalnurk, ning kasv määratakse trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 3.baromeetriline nivelleerimine. Erinevusi arvutatakse baromeetri näitude alusel, mis mõõdab õhu rõhku neis punktides. 4.hüdrostaatiline nivelleerimine. Erinevus määratakse ühendatud anumates vedeliku nivootasapinnast lähtudes. 5.mehaaniline nivelleerimine
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine;
m
.., 1*p arg z = Skalaarkorrutis: arg z = arg z + 2*k 2*1, 2*1, ..., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised:
mõõterattalt noonius nullindeksi järgi ning ühelised nooniuselt. Pindala mehaanilise määramise täpsus on 0,2%. Millal planimeetri jaotise väärtus muutub ja tuleb uuesti määrata? Kuidas toimub uue jaotise väärtuse määramine? Kuidas toimub mehaanilise või grafoanalüütilise meetodiga määratud kõlvikute pindalade tasandamine? Mis on pihustatud kontuur? Mis on magistraaljoone tagune pindala? 5. Grafoanalüütiline meetod 6. Peamised nivelleerimismeetodid on geomeetriline, trigonomeetriline, hüdrostaatiline, baromeetriline ja GPS-mõõtmine. Kõige täpsemad, kuid samal ajal kõige töömahukamad, on geomeetriline ja hüdrostaatiline nivelleerimine. Neid viise kasutatakse riiklike kõrgusvõrkude rajamisel ja suurt täpsust nõudvatel märkimistöödel. Kõrguskasvu määramise keskmine ruutviga on siin +-0,5 mm ühe kilomeetri kohta. Geodeetiliste kõrguste määramisel GPS-mõõtmistega on tänapäeval võimalik saavutada sentimeetrilist täpsust.
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2
Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega: Kehtivad järgmised omadused: Kompleksarvu geomeetriline kuju = kompleksarvu argument/amplituut |a|= r (moodul) Cos = a/b sin = b/a = r (cos + i sin ) kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist. Kompleksarvu 5 esitust 1) Algebraline =a+b*i 2) Vektor = (a;b) 3) Maatriks = 4) Trigonomeetriline = r (cos + i sin ) 5) Eksponent = r * e i* Algebralised süsteemid Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b ) seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe
Om1 || = ||= |-| = |-| Om2 ±= ± Om3 = Om4 (/)= / Kompleksarvu kujud. Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v
Nivelleerimiseks (kõrguslikuks mõõdistamiseks) nimetatakse selliseid mõõtmisi, mille järgi määratakse maapinna punktide omavahelisi kõrguslikke erinevusi ehk kõrguskasve. Kõrguskasvude järgi arvutatakse samade punktide kõrgused. Mis on geomeetriline nivelleerimine? Geomeetrilisel nivelleerimisel määratakse punktidevaheline kõrguskasv horisontaalse viseerimiskiire ja vertikaalsete lattide abil. Horisontaalse viseerimiskiire tagab instrument, milleks on nivelliir. Mis on trigonomeetriline nivelleerimine? Trigonomeetriline nivelleerimine on punktidevahelise kõrguskasvu määramine viseerimiskiire vertikaalnurga suuruse ja punktidevahelise kauguse järgi, arvestades instrumendikõrgust ja viseerimiskõrgust. Mis on nivelliir? Nivelliir on instrument, mis annab horisontaalse vaatekiire ning koos nivelleerimislattidega võimaldab määrata maastikupunktide kõrguslikke erinevusi ehk kõrguskasve. Millised on nivelliiride liigid; nende ehitus?
g) (1 + 2i)3 h) (4i - 5)3 i) ( 2 + i 3 )3 naalarvud, kompleksarvud, positiivsed arvud ja negatiivsed arvud. 827. Leia antud kompleksarvu kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE ESITUS. KOMPLEKSARVU a) 2 + i b) 1 - 5i c) 7i - 4,4 d) -7 + 0i TRIGONOMEETRILINE KUJU e) 0 + 0i f) -(3 - 5i) g) 8 - (3 - 5i) h) 1 - i - i 828. Kirjuta kaks kompleksarvu, mille 1. Kompleksarvu geomeetriline esitus a) summa on reaalarv; Iga reaalarvu a võime kujutada arvteljel punktina. Kehtib ka vastupidine: arvtelje igale
summa ja korrutamine arvuga *f. (f+g)()=f()+g(); (*f) ()=f(*) Kõik kujutused, mis rahuldavad eelpool mainitud 2. Kui determinandis 2 rida/veergu 3. Trigonomeetriline: =r*(+i*) ; Euleri valem: tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L. Nullvektorist erinevat vektorit, mis teatava lineaarteisenduse f
Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´ (1/x)´=-1/x² (uv)´=u´v+uv´ c´=0 (u/v)´=u´v-uv´/v² x´=1 (x)=1/2x n n-1 (x)´=n x x Liitfunktsioon e. funktsiooni funktsioon y=f(x)-lihtfunktsioon y=sin(x-3)-liitfunktsioon. Liitfunktsioon koosneb sisemisest- ja välimisest funktsioonist.
erinevus? Geomeetriline ehk lihtnivelleerimine Keskelt nivelleerimise tähtsus seisneb selles, et välistatakse viseerimiskiire mittehorisontaalsusest põhjustatud viga latilugemites (viseerimiskiire absoluutset horisontaalsust ei nõutagi). Otsastnivelleerimine Liitnivelleerimine juhul kui kahe punkti vahelist kõrguskasvu ei ole võimalik määrata nivelliiri ühest jaamapunktist, tuleb rakendada liitnivelleerimist. Trigonomeetriline nivelleerimine - Punktidevahelise kõrguskasvu määramiseks mõõdetakse nende vaheline kaugus horisontaaltasapinnal ja vertikaalnurk ning kõrguskasv määratakse trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. Baromeetriline nivelleerimine - Punktide omavaheline kõrguslik erinevus arvutatakse baromeetri, mis näitab õhu rõhu neis punktides, näitude alusel. 2
. . . . . . . . 132 14.6 Punkti kaugus tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 14.7 Nurk kahe sirge vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 14.8 Nurk kahe tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 15 Kompleksarvud. Algebraline ja trigonomeetriline kuju 137 15.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Kompleksarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dx f ( x ) dx = dx F [ g ( x ) ] = dg F [ g ( x ) ] dx g ( x ) = f [ g ( x ) ] dx g ( x ) a . Kompleksarvud z = x + iy kus i 2 = -1 kaaskompleksarv z * = x - iy reaalosa x = Re z imaginaarosa y = Im z trigonomeetriline kuju z = z (cos +i sin ) , i eksponentkuju z=ze , NB! e i =cos +i sin kus moodul z = x2 + y2 , argument = Arg z = arg z + 2k , y
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal
lõikeparalleele(Tln, Valga) on joon pikem, kui ellipsoidil 5. Loeng Nivelleerimine, erinevad viisid Nivelleerimine ehk loodimine. Maapinna punktide kõrguste vahe ehk kõrguskasvude määramine maastikul ja nende järgi kõrguste arvutamine. Kasutatakse: ehitiste, rajatiste rajamisel; võrkude rajamisel; maakooreliikumiste uurimisel. Viisid: 1) Geomeetriline ehk horisontaalkiirega (nivelliir) 2) Trigonomeetriline ehk kaldkiirega (elektrontahhümeeter) 3) Hüdrostaatiline 4) Baromeetriline (õhurõhu kaudu) 5) GPS- nivelleerimie Täpsuse järjestus: Alustades kõige täpsemast: 1) hüdrost. 2) geomeetr. 3) trigono. 4) GPS 5) baomeetr. Nivelliirid täpsuse järgi: 1) Kõrgtäpsed +/- 0,5 mm/km kohta 2) Täpsed +/- 3 mm/km 3) Tehnikad +/- 10 mm/km Nivelleerimislatid Ühepoolsed Kahepoolsed Digitaalsed Nivelliiride kontrollimine
Geodeesia II Tahhümeetriline mõõdistamine 1. Põhimõte Kontuurmõõdistamise tulemusena saadakse plaan, millel on kõik maastiku kontuurid ja objektid kujutatud topograafiliste leppemärkidega, kuid projekteerijal on tarvis saada ettekujutust ka maapinna reljeefist s.t. on tarvis määrata maapinna punktide kõrgused. Kõrguste saamiseks on kaks meetodit: trigonomeetriline nivelleerimine; geomeetriline nimelleerimine (kasutatakse horisontaalset vaatekiirt ja vertikaalseid mõõtelatte, mille abil määratakse punktide vahelised kõrguskasvud). Nivelleerimisega määratakse maapinna punktide kõrguste erinevused.ehk kõrguskasvud. Geomeetrilist nivelleerimist kasutatakse just tahhümeetrias kõrguskasv määratakse kauguse ja maapinna kaldunurga järgi. Tahhümeetria topograafilise mõõdistamise meetod, mille puhul määratakse korraga
Kahekordse integraali omadused (ühe tõestamine) Üleminek sfäärilistele koordinaatidele, jakobiaani leidmine Teist järku lineaarne homogeenne konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrand: Teist järku lineaarse mittehomogeense konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi erilahendi leidmine üldkujul, kui f(x) on polünoom: Teist järku lineaarse mittehomogeense konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi erilahendi leidmine üldkujul, kui f(x) on trigonomeetriline funktsioon: Teist järku lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erilahendi otsimine konstantide varieerimise meetodil: Lineaarse mittehomogeense n-järku diferentsiaalvõrrandi erilahendi otsimine konstantide varieerimise meetodil: Laused lineaarse osatuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendite kohta:
võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks.
Selgitavad märkused, arvud ja lühendid: kohanimed, maapinna kõrgusarvud, hoonete karakteristikud, puuliigid jne. 39. Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte Kontuurmõõdistamise tulemusena saadakse plaan, millel on kõik maastiku kontuurid ja objektid kujutatud topograafiliste leppemärkidega, kuid projekteerijal on tarvis saada ettekujutust ka maapinna reljeefist. Tarvis on määrata maapinna punktide kõrgused. Kõrguste määramiseks on kaks meetodit: Trigonomeetriline nivelleerimine Geomeetriline nivelleerimine Nivelleermisega määratakse maapinna punktide kõrguste erinevused ehk kõrguskasvud. Trigonomeetrilist nivelleerimist kasutatakse just tahhümeetrias. Kõrguskasv määratakse kauguse ja maapinna kaldenurga abil. Geomeetrilistel nivelleerimisel kasutatakse horisontaalset vaatekiirt ja vertikaalseid mõõtelatte, milliste abil määratakse punktide vahelised kõrguskasvud.
13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. · a + bi = r (cos + i sin ) Saame: · Paneme tähele, et lisades nurgale täispöördeid, saame alati sama kompleksarvu, seega ka a + bi = r (cos( + 2n ) + i sin( + 2n )) 15
3) Lahendage võrrand f(x) = -2 ; 4) Leidke funktsiooni 2 määramispiirkond 5) Leidke selline a väärtus , mille korral funktsioon y 9 a3 graafik lõikab x x x-telge kohal 1. Vastus: 1) -2; 2) (1;0) (0;-2) ; 3) x1 0; x2 log 3 2 0, 63 ; 4) 1; 5) a = 3 7. Trigonomeetriline võrrand Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! a) sinx cosx = 0,5 Vastus : x = 450 +1800n , n -6- - 2 x n ; x 2n n z
4 Nurga trigonomeetrilised funktsioonid nurga sin, cos, tan, cot 5.5 Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused 5.6 Taandamisvalemid Kui teise veerandi nurk kirjutada kujul 180-a, kolmanda kujul 180+a ja neljanda 360-a, kus a on teravnurk, siis mingi trigonomeetrilise funktsiooni väärtus ühest neist nurkadest on võrdne sama trigonomeetrilise funktsiooni väärtusega nurgas a, kusjuures selle väärtuse ette tuleb panna sama märk (+,-), mis märgiga on vaadeldav trigonomeetriline funktsioon selles veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk. 5.7 Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid 5.8 Nurga radiaanmõõt · Kraadimõõt · Detsimaalkraadimõõt e kümnendkraadimõõt. Täisnurk jaotatakse 100 võrdseks osaks, rahvusvaheline nimetus on goon. 100g=90o · Radiaanmõõdusüsteem. Mõõtühikuks nurgaradiaan, mis on kesknurk, ms toetub raadiuse pikkusele kaarele. 180=rad 5.9 Funktsioon y=sin x
Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 40. Ekker-mõõdistamise põhimõte Vajalikud instrumendid: mõõdulint, rulett, vardad, 2-3 tähist, ekker. Situatsiooni mõõdistamise aluseks on teodoliitkäigu küljed ja punktis. Vajaduse korral rajatakse mõõdistamise tarbeks diagonaalkäik. Hoonestatud või osaliselt hoonestatud maatüki mõõdistamisel on sobivaim ekkermõõdistamine. Ekker peab olema hoolikalt justeeritud. 41. Trigonomeetriline nivelleerimine. Trigonomeetrilist ehk kaldkiirtega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade puhul. Selle täpsus on mitu korda väiksem geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju.
põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 40. Trigonomeetriline nivelleerimine. Trigonomeetrilist ehk kaldkiirtega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade puhul. Selle täpsus on mitu korda väiksem geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju.
kõrgusarvude või maastikul tehtud mõõtmiste, st nivelleerimise andmete järgi. 25. Keskelt nivelleerimise olemus ja selle tähtsus. Keskelt nivelleerimise tähtsus seisneb selles, et välistatakse viseerimiskiire mittehorisontaalsusest põhjustatud viga latilugemites. Vaatekiir on kaldu, nivelliir asub täpselt keskel, mõlemal lati lugemil on ühesugune viga. Nivelleerimisõlad peavad olema võrdsed, aga nivelliir ei pea asuma sirgel AB. 26. Trigonomeetrilise nivelleerimise olemus. Trigonomeetriline nivelleerimine on punktidevahelise kõrguskasvu määramine viseerimiskiire vertikaalnurga suuruse ja punktidevahelise kauguse d järgi, arvestades instrumendikõrgust i ja viseerimiskõrgust v. Vertikaalnurk mõõdetakse teodoliidiga, kauguse saamiseks võib kasutada niitkaugusmõõturit ning viseerimiskõrguse fikseerimiseks peab kõrgust määratavas punktis olema vertikaalne latt. Samuti kasutatakse ka keskelt trigonomeetrilist nivelleerimist. 27. Nivelliiride liigid.
4) (1 + x) k 1 + x + x + x + ... 1! 2! 3! Trigonomeetrilised read. Dirichlet´ teoreem sin x, cos x perioodilised funktsioonid . T= 2 sin nx, cos nx perioodilised funktsioonid. T=2/n 12 Funktsionaalrida on trigomeetriline kui n=1un(x)= ao/2 + a1cos x+ b1sin x+ + a2cos 2x+ b2sin 2x+..... +ancos nx+ bnsin nx+..... = ao/2 +n=1(ancos nx+ bnsin nx) trigonomeetriline S(x) perioodiline: 2= n=1un(x)= ao/2 + (ancos (n /l )x+ bnsin (n /l)x)? (*) n =1 S(x) perioodiline: T=2l ao, an, bn kuulub reaalarvude hulka. 1. Millal on funktsioon arendatav trigonomeetrilisse ritta? 2. Kuidas leida kordajaid? 1. Dirichlet' teoreem: f(x) mis lõigul [a,b] pikkusega b-a=2lm rahuldab järgmisi tingimusi: a) f(x) on pidev lõigul [a,b] või omab lõplikku arvu katkevuspunkte.
8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor
plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 28. Trigonomeetriline nivelleerimine. Punkti A kohal on tahhümeeter ja punkti B kohal on latt pikkusega l. Punktide A ja B kõrgusvahe hAB = d * tan + i l. Kui viseerida latile instrumendi kõrgus i, siis l = i ja valem lihtsustub: hAB = d * tan . Praktilisel mõõtmisel ei ole viseerimiskiir risti latiga, lisaks sellele on tehniliste ebatäpsuste tõttu kaugusmõõturi konstant 100-st erinev. hAB = L / 2 * sin 2 + i l, kus L on niitkaugusmõõturi abil määratud kaugus, kus on juba
plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 28. Trigonomeetriline nivelleerimine. Punkti A kohal on tahhümeeter ja punkti B kohal on latt pikkusega l. Punktide A ja B kõrgusvahe hAB = d * tan + i l. Kui viseerida latile instrumendi kõrgus i, siis l = i ja valem lihtsustub: hAB = d * tan . Praktilisel mõõtmisel ei ole viseerimiskiir risti latiga, lisaks sellele on tehniliste ebatäpsuste tõttu kaugusmõõturi konstant 100-st erinev. hAB = L / 2 * sin 2 + i l, kus L on niitkaugusmõõturi abil määratud kaugus, kus on juba
puud,tornid, kaevud jne. Punktobjekti kujutamiseks plaanil ühitatakse kasutatava leppemärgi tsenter selle objekti keskpunktiga. Neljanda rühma moodustavad selgitavad märkused, arvud ja lühendid, mis kantakse plaanile lisaks nii punkt-, joon- kui ka pindobjektide leppemärkidele. Näiteks kohanimed, veekogude nimed, maapinna kõrgusarvud jne. 39. Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte 40. Ekker-mõõdistamise põhimõte 41. Trigonomeetriline nivelleerimine 42. Tahhümeetrilise mõõdistamise välitööd, krokii 43. Tahhümeetrilised arvutused 44. Tahhümeetrilise mõõdistamise plaani koostamine 45. Reljeefi kujutamine, samakõrgusjoonte omadused 46. Nivelleerimise liigid. Põhilised nivelleerimisviisid on geomeetriline, trigonomeetriline, hüdrostaatiline, baromeetriline ja GPS vahenditega mõõtmine. Kõige täpsemad ja töömahukamad on geomeetriline ja hüdrostaatiline. Kõrguskasvu määramise keskmine ruutviga on +- 0,5 mm
Mõõduliia võrra. Mõõduliig-on see suurus mis arvestab pikkuste vahet sirgjooni mööda mõõtes ja kõverat mööda mõõtes. Pikettide ja +punktide märkimisega üheaegselt tehakse ka tavaliselt situatsioonimõõdistamine trassi maa-alal 20-50 m ulatuses kummalegi poole. Situatsioni mõõdistatakse kas ristjoonte meetoodil või siis polaarmeetodil kui kasutatakse elektrontahhümeetrit. Piketaazi märkimise ajal koostatakse ka tee-maa-ala skeem, mida nim. Piketaazi raamatuks. 19.Trigonomeetriline nivelleerimine. C1 Punkti A kohale on üles seatud tahhümeeter ja i on instrumendi kõrgus. Punkti B on üles seatud nivelleerimislatt, mille pikkuseks on l B l ja sellisel juhul saame skeemilt avaldada kõrguskasvu järgmiselt. i h A
nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega: z1 = x1 + y1i = r1(cos1 + isin1); z2 = x2 + y2i = r2(cos2 + isin2) 1
annaabi.ee 
