45o, 70o ja 65 o kolmnurk 60o, 60o ja 60o kolmnurk 18o, 137o ja 25o kolmnurk 10o, 10o ja 160o komnurk Joonisel on täisnurkne kolmnurk KLM ja võrdhaarne kolmnurk PQR. Vali õiged lauselõpud: Külg KL on Külg MK on Külg LM on Külg PR on Külg QR on Nurk Q on Nurk R on Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 50o. Tipunurk on: kraadi Täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 63 o. Teine teravnurk on: kraadi Võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 70 o. Alusnurk on: kraadi Täisnurkse võrdhaarse kolmnurga üks teravnurk on: kraadi. Kolmnurga alus on 8 cm ning kõrgus 40 mm. Kolmnurga pindala on: cm2.
kolmnurk täisnurkne võrdkülgne kolmnurk kolmnurk nürinurkne kolmnurk KÜLGEDE JÄRGI LIIGITAMINE Erikülgseks nim. kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarseks nim. kolmnurka, millel on kaks võrdse pikkusega külge. Võrdkülgseks nim. kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk haar haar alusnurk alusnurk alus NURKADE JÄRGI LIIGITAMINE Teravnurkses kolmnurgas on kõik nurgad teravnurgad. Täisnurkses kolmnurgas on üks nurkadest täisnurk. hüpotenuus kaatet kaatet Nürinurkses kolmnurgas on üks nurkadest nürinurk. KOLMNURKADE OMADUSED ·Kolmnurga nurkade summa on 1800 ·Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külgkolmnurga
O võrdhaarne O täisnurkne kolmnurk kolmnurk O nürinurkne O võrdkülgne kolmnurk kolmnurk KÜLGEDE JÄRGI LIIGITAMINE O Erikülgseks nim. kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarseks nim. kolmnurka, millel on kaks võrdse pikkusega külge. Võrdkülgseks nim. kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk haar haar alusnurk alusnurk alus NURKADE JÄRGI LIIGITAMINE O Teravnurkses kolmnurgas on kõik nurgad teravnurgad. Täisnurkses kolmnurgas on üks nurkadest täisnurk. hüpotenuus kaatet kaatet Nürinurkses kolmnurgas on üks nurkadest nürinurk. KOLMNURKADE ·Kolmnurga nurkade summa OMADUSED on 1800 ·Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui
Kui üks kõrvunurkadest on 50°, siis teine on a) 40°; b) 50°; c) 100°; d) 360°; e) 130°. Kui üks tippnurkadest on 50°, siis teine on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 50°, siis teine teravnurk on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui kolmnurga kaks sisenurka on 40° ja 70°, siis kolmas nurk on a) 90°; b) 40°; c) 70°; d) 360°; e) 180°. Kui võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 20°, siis alusnurk on a)140°; b) 80°; c) 160°; d) 100°; e) 170°. Kui võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 80°, siis tipunurk on a) 100°; b) 60°; c) 140°; d) 20°; e) 50°. Kui kolmnurga ümbermõõt on 50dm, siis kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on a) 2,5m; b) 50cm; c) 25cm; d) 100dm; e) 50m. Kui kolmnurga üks külg on 20cm, siis sellele küljele vastav kesklõik on a) 4m; b) 40cm; c) 30cm; d) 4dm; e) 1dm.
toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga tipunurk o o o
haaraga nurga 16° NB saab kasutada välisnurkade leidmisel Leida: kolmnurga nurgad 1)täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90°, järelikult tipunurk on 90°-16°=74° 2)alusnurk on (180°-74°):2=53° 29.Kolmnurga kesklõik - lõik, mis ühendab Ül.799 joonis 2 kolmnurga kahe külje keskpunkte Nurk B=180°-130°=50°, sest kujund on trapets; trapetsi alused on kolmnurga külg NB kasutada trapetsi pindala arvutamisel ja kesklõik; trapetsi haara lähisnurkade summa on 180°. Nurk A=90°-50°=40°, sest täisnurkse
Arvutada kolmnurga küljed ja pindala. 20. Arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala, kui ta alus on 12 cm ja aluselejoonestatud kõrgus võrdub aluse ja haara keskpunkte ühendava lõiguga. 21. Võrdhaarse kolmnurga kahe mittevõrdse kõrguse summa on m ja tipunurk A. Avaldada kolmnurga haar. 22. Võrdahaarse kolmnurga haar on a ja haaradele joonestatud mediaanid on teineteisega risti. Avaldada koomnurga pindala. 23. Võrdhaarse kolmnurga alusnurga poolitaja on võrdne haaraga. Leida alusnurk. 24. Võrdhaarse kolmnurga kõrgus on 20 cm ning aluse suhe haaraga 4:3. Arvutada siseringjoone raadius. 25. Võrdhaarse kolmnurga haar on 2 cm ja tipunurk 120°. Arvutada ümberringjoone diameeter. 26. Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on A. Leida sise ja ümberringjoone raadiuste suhe. 27. Ringi ümber on joonestatud võrdhaarne kolmnurk tipunurgaga 120°. Leida kolmnurga küljed, kui ringi raadius on R. 28. Leida võrdkülgse kolmnurga pindala, kui tema kõrgus on 30 cm. 29
.................................................................... .................... ........................................................................................................................................ .................... VÕRDHAARSE KOLMNURGA NURKADE JA KÜLGEDE LEIDMINE. VÕRDKÜLGSE KOLMNURGA NURGAD 1. Arvuta võrdhaarse kolmnurga alusnurk, kui tipunurk on 100° ................ 45° ................ 60° ................ 100º .................. 120º .................. 68º .................. 45º .................. 178º .................. 33º .................. 2. Arvuta võrdhaarse kolmnurga tipunurk, kui alusnurk on 46° ................ 80° ...............
P= a + b + c 13 9. Kolmnurga alus ja kõrgus Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. Vajaduse korral võib kõrguse joonestamiseks kolmnurga alust pikendada (nürinurkse kolmnurga puhul). 14 10. Kolmnurga alusnurk Võrdhaarse kolmnurga aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 15 11. Kolmnurkade omadusi 1. Kolmnurga nurkade summa on 180°. 2. Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem, kui kolmas külg. 11.1 Võrdhaarse kolmnurga omadused 1
Trapetsi aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180 kraadi. Võrdhaarne ja täisnurkne trapets Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks. Võrdhaarse trapetsi alusnurgad on võrdsed. Kui trapetsi üks alusnurk on täisnurk, siis nimetatakse seda trapetsit täisnurkseks trapetsiks. Trapetsi pindala Trapetsi pindala võrdub aluste poolsumma (aritmeetilise keskmise) ja kõrguse korrutisega. a+b S= h 2 Ringjoon Ringjoone kõik punktid
aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud
toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga tipunurk o o o
28 7. ÜLESANNE (15 punkti) Ülesannete tekstid I Võrdhaarse trapetsi ABCD alused on paralleelsed y-teljega ja x-telg on trapetsi sümmeetriateljeks. Antud on tipp A(1,5; 5,5) ning vektor AD (3,2;2,4) . Tehke joonis. Leidke 1) trapetsi pindala; 2) trapetsi alusnurk; 3) selle sirge võrrand sirgele, millel paikneb haar AD; 4) haarade pikenduste lõikepunkt. II Võrdhaarse trapetsi ABCD alused on paralleelsed x-teljega ja y-telg on trapetsi sümmeetriateljeks. Antud on tipp A( 5,5; 1,5) ning vektor AD ( 2,4;3,2) . Tehke joonis. Leidke 1) trapetsi pindala; 2) trapetsi alusnurk; 3) selle sirge võrrand sirgele, millel paikneb haar AD; 4) haarade pikenduste lõikepunkt. III Rombi ABCD diagonaal AC on paralleelne y-teljega
mitmed varemõpitud sõltuvused on (või ei ole) võrdelised sõltuvused. Näited. a) s = 65v ühtlase liikumise korral sõltub tee pikkus s võrdeliselt kiirusest v; b) P = 4a ruudu ümbermõõt P sõltub võrdeliselt külje pikkusest a; c) S = a2 ruudu pindala S ei ole võrdelises sõltuvuses ruudu külje pikkusega a; 5 180o - d) = võrdhaarse kolmnurga alusnurk ei ole võrdelises sõltuvuses 2 tipunurgaga ; e) Sn = (n 2)180º hulknurga sisenurkade summa ei ole võrdelises sõltuvuses nurkade arvuga n. 2.1. Võrdelise sõltuvuse y = ax graafiku joonestamine Alustada tuleb lihtsate näidetega, kus argumendi väärtustele vastavad täisarvulised funktsiooni väärtused. Esimestes ülesannetes on soovitatav kasutada 5 6 erinevat argumendi väärtust
F a (tan2 + 2) R= B 4 tan A a © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 40 PRISMA Püstprisma põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on a ja alusnurk on . Leida prisma ruumala, kui tema külgpindala on võrdne aluste pindalade summaga. Ruumala V = SpH. Põhja pindala on Sp = 0,5ah = 0,5a · 0,5atan = 0,25a2tan. 1 Külgpindala Sk = aH + 2bH = Ha(1 + ).
246 trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Nagu siinus- ning koosinusteoreemi tõestuste juureski, on trigonomeetriliste funktsioonidega mängides alati hea mõte tõmmata üks kõrgus, seekord siis küljele pikkusega . Meie kolmnurk jaguneb nüüd kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, millest ühe hüpo- tenuus on ning alusnurk , ning teise hüpotenuus on ning alusnurk . Kasutades trigonomeetrilisi seoseid neis mõlemas täisnurkses kolmnurgas, võime leida, kui pikkadeks tükkideks kõrgus vaadeldava külje jagab: 247 trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Pikkuse saame leida järgnevalt: järelikult
annaabi.ee 
