Kõrgem matemaatika (0)

MTMM.00.340
Kõrgem  matemaatika  1
2016
KÄRBITUD
loengukonspekt
Marek  Kolk
ii
Sisukord
0
Tähistused.  Reaalarvud
1
0.1
Tähistused
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.2
Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.3
Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
0.4
Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
Maatriksid  ja  determinandid
7
1.1
Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Tehted  maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Maatriksite   korrutamine  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4
Teist ja kolmandat järku  determinant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5
Kõrgemat järku determinant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6
Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemid
15
2.1
Maatriksi pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Maatriksvõrrandite lahendamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3
Pöördmaatriksi leidmine valemi abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4
Maatriksi  astak  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5
Lineaarvõrrandisüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6
Cramer ’i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7
Gauss ’i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8
Süsteemi üldlahend ja  erilahend  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9
Homogeenne  lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
Funktsioonid ja  jadad
25
3.1
Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2
Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3
Liitfunktsioon  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4
Pöördfunktsioon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5
Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
SISUKORD
3.6
Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7
Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4
Funktsiooni piirväärtus ja pidevus
37
4.1
Jada piirväärtus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2
Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3
Ühepoolsed piirväärtused
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4
Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5
Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6
Pidevad  funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7
Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.8
Pidevate  funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5
Funktsiooni  tuletis  ja  diferentsiaal
47
5.1
Keskmine kiirus ja  hetkkiirus  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2
Tuletise definitsioon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3
Põhiliste elementaarfunktsioonide  tuletised
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4
Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5
Liitfunktsiooni tuletis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6
Nähtuskäigu kiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7
Kõrgemat järku tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.8
Joone  puutuja  ja  normaali  võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.9
Funktsiooni diferentsiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6
Funktsiooni  uurimine
59
6.1
Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2
L’ Hospital ’i reegel piirväärtuse arvutamiseks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3
Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4
Funktsiooni  ekstreemumid  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.5
Funktsiooni  kumerus  ja nõgusus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6
Funktsiooni graafiku joonestamine * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7
Algfunktsioon  ja määramata  integraal
69
7.1
Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2
Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3
Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4
Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5
Tehetega  seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.6
Muutuja  vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.7
Ositi   integreerimine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.8
Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iv
0.0. Sisukord
8
Diferentsiaalvõrrandid
77
8.1
Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2
Diferentsiaalvõrranditest üldiselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3
Esimest järku diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4
Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.5
Esimest järku  lineaarsed  diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9
Pindala ja  Riemann ’i integraal
83
9.1
Pindala leidmine lõplike summade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2
Riemann’i  summad  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3
Määratud (Riemann’i) integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.4
Määratud integraali omadused
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.5
Kõvertrapetsi pindala