KORRUTAMISE ABIVALEMID Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=a²-b² Näide: (7+k)(7-k)=49-k² Summa ruudu valem (a+b)²=a²+2ab+b² Näide: (4+a)²=4²+2·4·a+ a²=16+8a+ a² Vahe ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² Näide: (4-a)²=4²-2·4·a+ a²=16-8a+ a² Kuupide summa valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b)² Näide: 27+a³=(3+a)(9-3a+a²) Kuupide vahe valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b)² Näide: 27-a³=(3-a)(9+3a+a²) Summa kuubi valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Näide: (2+a)³=8-3·2²·a+3·2·a²+a³=8+12a+6a²+a³ Vahe kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Näide: (2-a)³=8-3·2²·a+3·2·a²-a³=8-12a+6a²-a³
7 valemit ja reeglit 1. Ruutude vahe valem (kahe üksliikme summa ja vahe ruut) (a+b)(a-b)= a²- b² Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega 2. Summa ruudu valem (kahe üksliikme summa ruut) (a+b)²= a²+2ab+b² Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimene liige ruudus pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 3. Vahe ruudu valem (kahe üksliikme vahe ruut) (a-b)²= a²-2ab+b² Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimene liige ruudus miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 4. Summa kuubi valem (kahe üksliikme summa kuup) (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³
Ruutude vahe valem (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2 Summa ruudu valem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Vahe ruudu valem (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 Kuupide summa valem (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3 = a3 + b3 Kuupide vahe valem (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3 Summa kuubi valem (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Vahe kuubi valem (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
x1 = 0 ja 2x 3 = 0 ehk x2 = 1,5. Kuigi saadud võrrandil on kaks lahendit, sobib neist ülesande vastuseks ainult teine, sest ruudu külje pikku ei saa olla 0 cm. Kontroll: Kui ruudu külje pikkus on 1,5 cm, siis pindala on 1,5 . 1,5 = 2,25 cm2. Ristküliku küljed on 3 cm ja 1,5 cm ning pindala 3 . 1,5 = 4,5 cm2, mis on 2 korda suurem kui ruudu pindala. Vastab ülesande tingimustega. Vastus: Ruudu külg on 1,5 cm. 4. Kahe arvu vahe on 6. Nende arvude ruutude summa on 260. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame ühe arvuga x, siis teine arv on 6 + x. Nende arvude ruutude summa st x2 + (6 + x)2, on 260. Saame võrrandi: x2 + (6 x)2 = 260. Lahendame selle. x2 + 36 + 12x + x2 = 260; 2x2 + 12x 224 = 0; 2 x 2 +12 x - 224 = 0 :2 x + 6 x -112 = 0; 2 x = -3 ± 3 2 +112 ; x = -3 ±11; x 1 = -3 +11 = 8; x 2 = -3 -11 = -14. Kui üks arv on 8, siis teine arv on 6 + 8 = 14.
Kuupide vahe ja summa Sa juba oskad tegurdada ruutude vahet. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) . Näide 1.(Ruutude vahe): Tegurda x - 9 . Võttes ruutjuured üksliikmetest x2 ja 9, me saame x ja 3. 2 Kirjutades (x 3) kaks korda, me saame (x 3)(x 3). Kirjuta "+" märk ühte ja "- " teisse sulgu, siis saad (x + 3)(x - 3). Pane tähele, et ruutude summat a + b ei saa tegurdada (reaalsete arvude korral). 2 2 Kuupide vahe a - b = (a - b)(a + ab + b ) . Et näidata, kuidas see valem töötab, 3 3 2 2 kasutame konkreetset näidet: Näide 2. (kuupide vahe): Tegurda x - 27. 3 i) Esiteks, võta kuupjuur üksliikmest x3 , mis võrdub x.
Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis samade külgede vahelise nurga koosinusega ehk a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos , b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos , c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos . Kolmnurga pindala arvutamise valemid: ah 1) S = ( h on kolmnurga küljele a tõmmatud kõrgus); 2 1 2) S = ab sin ; 2
1. Pythagorase teoreem Pythagorase teoreemi sõnastus: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. c²=a²+b² 1.1 Pythagorase ''püksid'' Pythagorase teoreemi väljendavas võrduses võib vaadelda suurusi a², b², c² kui selliste ruutude pindalasid, mille kylgedeks on a, b ja c. Seoses sellega võib pythagorase teoreemi sõnastada ka järgmiselt: täisnurkse kolmnurga kaatetitele joonestatud ruutude pindala summa on võrdne hüpotenuusile joonestatud ruudu pindalaga. 1.2 Kasutamine 1.2.1 Täisnurkne kolmnurk c²=a²+b² c= a2+b2 a²=c²-b² a= c ²-b ² b²=c²-a² b= c ²-a ² 1.2.2 Ruut d²=a²+a²=2a² d= 2 a2 a²+a²=d² 2a²=d² | :2 2 a²= d 2 a= d 2 2 1.2.3 Ristkülik d²=a²+b² d= a2+b2 b²=d²-a² b= d ²-a² a²=d²-b² a= d ²-b ² 1.2.4 Võrdhaarne kolmnurk 2 b²=h²+ ( a ) 2
Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)= Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega. (a+b)(a-b)= Kaksliikme ruut (a+b Kahe üksikliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Summa ruut) (a-b Kahe üksikliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Vahe ruut) 1) - arvude a ja b ruutude vahe.
TÄISNURKSE KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on . Pythagorase teoreem: täisnurkses kolmnurgas kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenussi ruuduga. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega
Pytharoras avastas ka, et maailm on kerakujuline. Pytharoras leidis ka 5 elemendi: eetri. 4 elementi on tuli, vesi, maa ja õhk. Peale tema surma lagunes ka kool. Täisnurksel kolmnurgal on 2 kaatetit ja 1 hüpotenuus. Kaatetid a;b, hüpotenuus c. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. (Ringile teotub nurk ja diameetriks on hüpotenuus) Sellel teoreemil on 150 tõestust. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile konstrueeritud ruudu pindala on võrdne kaatetitele konstrueeritud ruutude pindalade summaga. Ehk lihtsamalt: TÄISNURKSE KOLMNURGA KAATETITE RUUTUDE SUMMA ON VÕRDNE HÜPOTENUUSI RUUDUGA. Eeldus: kolmnurk on täisnurkne Väide: aruut+bruut=cruut
Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R.
vastav üksliige vajaliku märgiga, NB sulgudesse peavad jääma samad kaksliikmed 3)tuua ette sulgudes olev kaksliige, NB kirjutada tema ise ka sulgudesse =m(m+3)+4(m+3)=(m+3)(m+4) 4)kirjutada teise sulgu varem ette toodud ühistegurid oma märgiga am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= =a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) NB kontrollida, kas saadud kaksliikmete läbi korrutamisel saab esialgse avaldise 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis - võrdub nende üksliikmete ruutude vahega selgitus: ainult ruudud tulevad sellepärast, et neljast korrutisest teine ja kolmas koonduvad NB see on ka nn. ruutude vahe valem NB kasutada saab siis, kui sulud erinevad ainult märgi poolest 14.Kaksliikme ruut (summa) - esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teisi liikme ruut kui valemi kasutamine on raske, siis kasuta
Ta oli Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja.Pythagoras määras helide arvsuhteid monokordi abil.Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja.Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchos, foiniikia kaupmees Tüürosest. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane.Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda babüloonia ja egiptuse matemaatikas. Ta oli arvatavasti Pherekydese õpilane ja sai mõjutusi Anaximandroselt. Ta lahkus Samoselt, sest talle oli vastuvõetamatu türann Polykratese valitsus, ning reisis tõenäoliselt Egiptuses ja Babüloonias. Püsivamalt elas ta Lõuna-Itaalias Krotonis, kus rajas usulis-eetilise ühingu taolise kooli. Ta oli esimene idealistlik kreeka filosoof.
Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil Alustuseks selgitan mis asi üldse on Pythagorase teoreem: Pythagorase teoreemi põhimõte kehtib vaid täisnurkse kolmnurga juhul. Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H. 0 Arvutame põhja pindala (a ruudus (näiteks 4cm ruudus võrdub 16 ruutsentimeetrit)) 0 Arvutame külgpindala Pythagorase teoreemi abiga. (Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja
teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega: 10)Summa ruut: Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 11)Vahe ruut: Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 12)Kuupide summa:
teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega: 10)Summa ruut: Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 11)Vahe ruut: Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 12)Kuupide summa:
[ U A ( d´ ) ] + ¿ U C ( d´ )=√ ¿ Vastus: Plaadi paksus d = (6,07 ± 0.0365) mm, usutavusega 0.95 2. Toru siseläbimõõdu mõõtmine nihikuga Nooniuse täpsus T= 0,05 mm, null-lugem 0 mm Toru keskmine siseläbimõõt : ´ 3 ∙68,90+ 2∙ 69,10+2 ∙68,30+2 ∙ 69,00+68,80 =68,83 mm d= 10 Hälve ruutude keskväärtus : d 2 3∙ 0,0049+2 ∙ 0,0729+ 2∙ 0,181+2 ∙0,0289+ 0,0009 (¿ ¿ i−d´ ) = =0,0058 mm2 10 10 ∑¿ i =1
sõltuvust ajast. Horisontaalteljele kanda aeg sekundites ja vertikaalteljele voolutugevus mikroamprites. 5. Tehke kindlaks, kui suur laeng vastab vihiku ruutu pindalale graafikul. Selleks leidke, mitu sekundit vastab ruudu pikkusele horisontaalteljel ja mitu amprit (mitte mikroamprit!) ruudu kõrgusele vertikaalteljel. Korrutades need arvud, saategi laengu q o kulonites. qo = 6. Määrake ruutude arv n graafiku alla jäävas kujundis. Täisruutude arv n1 loendage eraldi ja osaliselt graafiku poolt ära lõigatud ruutude arv n2 eraldi. Graafiku alla n2 jäänud kujundi pindala vihiku ruutudele vastavas pindalaühikutes võrdub: n = n1 + 2 n1 = n2 = n2
( 21,5 10 )-3 2 3,4 10 -10 0,95 10 -6 4 Kus: D - toru siseläbimõõt [mm] - vedeliku kinemaatiline viskoossus [m2/s] Järgmiseks arvutasin välja diafragma kuluteguri arvutamiseks vajalikud diafragma ava läbimõõdu ja toru siseläbimõõdu ruutude suhte m ning diafragma ava pinna F0. ( d 10 -3 ) (15 10 -3 ) 2 2 2 15 2 m=d = = 0, 48675 F = = = 0,000177 D2 21,5 2 0
( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega. *Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige läbi jagada selle üksliikmega. ( a + b + c ) : d = a+b+c = a:d + b:d + c:d d 8) Hulkliikme korrutamine hulkliikmega. * Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega, võimalusel koondatakse. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd 9) Ruutude vahe * Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega. ( a + b ) ( a b ) = a2 b2 10) Summa ruut. * Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 11) Vahe ruut. * Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut miinus kahekordne esimese ja teise liikma korrutis + teise liikme ruut. ( a b ) 2 = a2 2ab + b2
kirjeldab energia tasakaalu voolava vedeliku joas. 26. Millised on suunaventiilide ülesanded? Suunaventiilidega juhitakse õhujoa/töövedeliku liikumissuunda. Nende ülesandeks on vooluteede avamine ja sulgemine. 27. Kuidas suunaventiile nimetatakse ning tööasendeid ja avasid tähistatakse? Neid nimetatakse ühenduskanalite ja tööasendite arvu jäärgi. Tingmärkides kujutatakse suunaventiili tööasendeid ruutude reana. Üks ruut kirjeldab suunaventiili üht tööasendit. Ruutude sisse joonistatakse antud tööasendile vastavad voolteed ja ühenduskanalid. 28. Kuidas suunaventiile juhitakse?
113:10 = 11,3 Et arvutada standardhälvet, tuleb esmalt arvutada iga väärtuse hälve kõigi väärtuste aritmeetilisest keskmisest ja võtta saadud tulemused ruutu: (0-11,3)2 = 127,69 (3-11,3)2 = 68,89 (0-11,3)2 = 127,69 (5-11,3)2 = 39,69 (1-11,3)2 = 106,09 (20-11,3)2 = 75,69 (2-11,3)2 = 86,49 (30-11,3)2 = 349,69 (2-11,3)2 = 86,49 (50-11,3)2 = 1497,69 Järgmiseks tuleb jagada hälvete ruutude summa väärtuste arvuga ning võtta tulemusest ruutjuur. Antud valimi standardhälve on 16,02. 7. Standardhälve (poisid) Valimis on järgmised väärtused: 0112344578 Nende kaheksa väärtuse aritmeetiline keskmine on 3,5: 35:10 = 3,5 Et arvutada standardhälvet, tuleb esmalt arvutada iga väärtuse hälve kõigi väärtuste aritmeetilisest keskmisest ja võtta saadud tulemused ruutu: (0-3,5)2 = 12,25 (4-3,5)2 = 0,25
5. Leia mood M o (kõige sagedamini esinev väärtus) Leia mediaan M e (variatsioonirea keskmine element) Arvuta keskväärtus X (aritmeetiline keskmine) Mo = 4 Me = 4 Mediaan on variatsiooni keskkoht! (2 3) + (3 7) + (4 10) + (5 8) X = = 3,8 28 6. Kanna tabelisse hälve X 1 - X (erinevus keskväärtusest) 2 3,8 = -1,8 3 3,8 = -0,8 4 3,8 = 0,2 5 3,8 = 1,2 7. Kanna tabelisse hälvete ruutude rida (X- X )2 1,8 2 = 3,24 0,8 2 = 0,64 0,2 2 = 0,04 1,2 2 = 1,44 8. Kanna tabelisse ( X - X ) 2 f rida 3,24 3 = 9,72 2 0,64 7 = 4,48 =26,12 0,04 10 = 0,4 1,44 8 = 11,52 9. Arvuta standardhälve Standardhälve on ruutjuur hälvete ruutude summa ja variatsioonirea elementide arvu jagatisest: ( X 1 - X ) f 1 + ( X 2 - X ) f 2 + ...( X n - X ) f n =
(sophoi) kutsuda. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane, aga kombe kohaselt omistati see tõestus, nagu teisedki avastused, Pythagorasele. Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchus, foiniikia kaupmees Tüürosest. Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja. Kõige tuntum on ehk Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga kohta: kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Pärimus ütleb, et kui Pythagoras selle seaduspärasuse avastas (või tõestas?), siis tõi ta hekatombi (kr hekatombe), s.o sajast härjast koosneva ohvri. Tegelikult ei tarvitsenud see üldsegi olla täpselt selline ohver: hekatombiks nimetati lihtsalt suurt ohvrit mitte alati polnud need härjad (kr bous) ning mitte alati polnud ohvriloomi sada (kr hekaton). Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdub
õppimisel eelpoolnimetatud tegevused olulised? Millises järjekorras peaks laps need omandama? 1. Hulga samaväärsuse säilitamine on tegevus, mis kindlustab hulga püsimise ka siis, kui tema seesmine struktuur on eelnevalt mingil põhjusel rikutud. On seotud hulga võimsuse püsimisega olukordades, kus hulka kuuluvaid esemeid saab üksteise suhtes ümber paigutada või kus müni ese tuleb teisega asendada. NÄIDE: Õpetaja asetab laste ette ühte ritta nt. viis ruutu. Lapsed ise asetavad ruutude alla sama palju ringe ning kinnitavad seda lausega "Ringe on sama palju kui ruute." Seejuures õpetaja jälgib, et kummagi hulga esemete arvu ei tehtaks kindlaks loendamise abil (NB! paaride moodustamine). Loendamise tunnuseks on käega (ka peaga) nuppudele osutamine. Õpetaja nihutab nüüd paar ringi uude asukohta, venitades ringide rea pikemaks. Erinevus ringide ja ruutude rea pikkuses on silmnähtav. Lapsed peaksid seejärel kinnitama, et uusi
7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8. Uuri funktsioon y= -x3+3x ja joonesta tema graafik. 9. Leia funktsiooni y= x4-2x2-3 ekstreemumkohad, ekstreemumid, kasvamis-ja kahanemispiirkonnad, käänukohad ning kumerus- ja nõgususpiirkonnad. 10. Jaota arv 284 kaheks arvuks nii, et nende korrutis oleks suurim. 11. Jaota arv 30 kaheks arvuks nii, et nende ruutude summa oleks vähim. 12. Kuidas tuleb painutada 1m pikkust traaditükki, et saada maksimaalse pindalaga ringisektor? 13. Ristkülikukujulisest plekitahvlist, mille mõõtmed on 5dm ja 8 dm, valmistatakse kaaneta karp. Selleks lõigatakse tahvli nurkadest ära võrdsed ruudud ja murtakse saadud kujund kokku. Kui suur peab olema väljalõigatavate ruutude külg, et karbi ruumala oleks suurim? 14. Uuri funktsiooni y=x2-x. 15. Leia funktsiooni f(x)=px2-9x+q ekstreemumpunktid, kui f(-3)=28 ja
Millistest suurustest sõltub gaasi rõhk? Mis suurus on molekulide ruutkeskmine kiirus? Kuidas arvutatakse ühe molekuli keskmist kineetilist energiat? Molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand on p=nkT (p- rõhk, n- molekulaari kontetratsioon, k- Boltzmanni konstant ja T- temperatuur) Gaasi rõhk sõltub temperatuurist ja ruumalast. molekulide ruutkeskmine kiirus on kõigi aines olevate molekulide kiiruste ruutude aritmeetiline keskmine, milles liikumise suund pole enam oluline. Ühe molekuli keskmist kineetilist energiat arvutakse valemiga Ek =m0v2/2 (Ek- keskmine kineetiline energia, m0- mass, v2- kõikide molekulide kiiruste ruutude aritmeetiline keskmine) 6. Milline tähendus on temperatuuril? Kuidas on see seotud molekulide soojusliikumise keskmise kineetilise energiaga? Temperatuur on makroskoopiline suurus.
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega..h*=fg EUKLEIDES:täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.... a*=fc,b*=gc.PYTHAGOROS:täisnurksekolmn. kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga..a*+b*=c* Täisnurkses võrdhaarses kolmnurgas on hüpotenuus 2 korda pikem kaatetist..c=2a
: Summa ruut (a+b)²=a²+2ab+b² Vahe ruut (a-b)²=a²-2ab+b² Ruutude vahe (a+b)(a-b)=a²-b² Summa kuup (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide vahe a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) Kuupide summa a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
Ruutude vahe (a + b)(a b) = a² b² Summa ruut (a + b) ² = a² + 2ab + b² Vahe ruut (a b) ² = a² 2ab + b² Summa kuup (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide summa (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b ³ Kuupide vahe (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h
Valemid (a-b)(a+b) = a2 - b2 - Ruutude vahe valem (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 - Summa ruudu valem (a-b)2 = a2 2ab + b2 - Vahe ruudu valem a2 + ab + b2 - summa mittetäielik ruut a2 ab + b2 - vahe mittetäielik ruut (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - summa kuubi valem (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - vahe kuubi valem a3 + b3 = (a+b)(a2 ab + b2) - Kuupide summa valem a3 - b3 = (a-b)(a2 +ab + b2) - kuupide vahe valem
Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne kaatetite ruutude summaga. Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus "Elemendid." Vastavlalt Eukleidese teoreemile on ja Liites need kokku saame, et Kellele võib olla see sarnaste kolmnurkade ja teise teoreemi kaudu tõestamine ei sobi, siis all on ka natuke teistsugune tõestus. Olgu meil antud ruut küljepikkusega . Selle ruudu pindala avaldub kujul . Konstrueerime ruudu A+B sisse veel ühe ruudu külepikkusega C. Selle ruudu pindala avaldub siis kujul
Tabel, mis näitab sin,cos ja tan märgi, kui nurk on üle 90: I veerand II veerand III veerand IV veerand sin + + - - tan + - + - cos + - - + Erinevad võimalused täisnurke kolmanurga lahendamiseks I Pythagorese teoreem, kui kaatetite ruutude summaga same hüpotenuusi ruudu II Eukledese teoreem, kui kaatetite projektsioonid on f j g III Teoreem kõrgusest IV Sin, cos, tan
Pythagorase teoreem Autor: Maris Rannaveer Juhendaja: Ivi Madison Pythagoras Pythagoras (umbes 580 eKr - 500 eKr) oli vanakreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja. Ta oli esimene idealistlik Kreeka filosoof. Sündis saarel nimega Samos. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane. Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda Babüloonia ja Egiptuse matemaatikas. Näited Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Click to edit Master text styles Second level Third level
= = 1 1 1 Kahe arvu korral : 1 1 a +b + + ... + + x1 x 2 xn a b Geomeetriline keskmine x geom. = n x1 x 2 ... x n , kusjuures x geom. x arit . Ruutkeskmine ruutjuur antud arvude ruutude aritmeetilisest keskmisest. x12 + x 22 + ... + x n2 x ruutk . = n Hajuvuse karakteristikud Hajuvusmõõdud on a) minimaalne element xmin ja maksimaalne element xmax; b) variatsioonrea ulatus xmax - xmin; c) alumine kvartiil ja ülemine kvartiil; d) dispersioon;
Suhe -0,0625 0,166667 -0,133333 -0,166667 0,108333 -0,033333 3-dat järku dif. 0,005141 Suhe 0,022917 -0,033333 -0,004167 0,025 -0,010119 0,004444 4-dat järku dif. 0,001367 Suhe -0,004327 0,002431 0,002244 -0,002066 0,000633 0,00012 F(x) 113,5973 interpolatsiooni polünoom F(x) 37,88132 vähim ruutude meetod 8 9 10 a=4 25 31 40 b=10 40 45 60 c=6 xpolü 22,006 24,96 30,96 39,96 41 46 61 70 0,833333 1,666667 1,526527 60 0,055556 0,004526 0,002044 50 40
Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ja võrdeteguriks a b c Siinusteoreem 2R on ümberringjoone diameeter. sin sin sin Koosinusteoreem a² b² c² 2bc cos Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude b² a² c² 2ac cos summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. c² a² b² 2ab cos ah Kolmnurga pindala S 2
2 2 Ülesanne 14. Lahenda võrrand. 1) x2 36 = 0 2) x2 3x = 0 3) 2x2 + 3x = 0 4) 5x2 80 = 0 5) 3x2 + 7x = 0 6) x2 + 4 = 0 7) x2 2 = 0 8) x2 + 9x = 0 1 1 Vastused: ±6; 0; 3; 0; 1 ; ±4; 0; 2 ; lahendid puuduvad; ± 2 ; 0; 9. 2 3 Ülesanne 15. Leia kolm niisugust järjestikust paarisarvu, mille kahe väiksema arvu ruutude summa oleks võrdne kolmanda arvu ruuduga. (6; 8; 10 või 2; 0; 2). Ülesanne 16. Leia kolm järjestikust paaritut arvu, kui on teada, et nende arvude ruutude summa on 155. (5; 7; 9 või 9; 7; 5). Ülesanne 17. Pärast kooli lõpetamist vahetasid õpilased pilte. Kui palju oli lõpetajaid, kui on teada, et vahetati 462 pilti? (22 lõpetajat). Ülesanne 18. Maleturniiril mängis iga mängija iga osavõtjaga ühe partii. Kui palju oli
2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga, m2+n2=2a2+2b2) pindala valemid (S=ah ja S=absinA) Ristkülik on võrdsete nurkadega rööpkülik,diagonaalid on võrdsed.(S=ab, P=2a+2b) Ruut on võrdsete nurkade ja võrdsete külgedega rööpkülik,diagonaalid on võrdsed ja ka risti. (S=a2 ja P=4a) Romb on võrdsete külgedega rööpkülik, diagonaalid on risti ja poolitavad rombi nurki, kõrgused on võrdsed. (S=0,5mn, S=ah ja P=4a) TRAPETS
2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga, m2+n2=2a2+2b2) pindala valemid (S=ah ja S=absinA) Ristkülik on võrdsete nurkadega rööpkülik,diagonaalid on võrdsed.(S=ab, P=2a+2b) Ruut on võrdsete nurkade ja võrdsete külgedega rööpkülik,diagonaalid on võrdsed ja ka risti. (S=a2 ja P=4a) Romb on võrdsete külgedega rööpkülik, diagonaalid on risti ja poolitavad rombi nurki, kõrgused on võrdsed. (S=0,5mn, S=ah ja P=4a) TRAPETS
p= 2 a 2. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. ab sin ac sin bc sin S= 2 = 2 = 2 3. Siinusteoreem: a b c sin = sin = sin 4. Koosinusteoreem: Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + b2 2ab cos 5. Pea Meeles! Kui kolmnurga lahendamisel on tarvis leida kaks või kolm nurka, siis tuleb esmalt arvutada kõige väiksem, siis suuruselt järgmine ja lõpuks kõige suurem (kõige väiksem nurk asub kõige väiksema külje vastas, kõige suurem nurk asub kõige suurema külje vastas). 6
· Elas 2 aastat Londonis · Franklin valiti Kontinen- taalkongressi · Abiellus Laura Alice Cutrell Fiveashiga ning neil sündis 3 last. Saavutused · Temast sai vanim isesesvusdeklaratsioonil e allakirjutanud isik · Ta töötas ajakirjanikuna, trükkalina, diplomaadina ja leidurina · Teda kujutatakse USA sajadollarilisel Mees igal alal · Ameerika iseseisvusliikumise eestvõitleja · Innukas looduseuurija · Tegeles maagiliste ruutude lahendamise metoodikaga B. Franklini leiutised/avastused · Ta avastas, et hõõrumisega tekitatud sädemed ja välk on üht ja sama liiki elekter. · Suve-talveaja idee. · Riskantse katse tulemusel tõestas ta, et välk on elektriline nähtus. · Piksevarras Franklini geniaalsed laused · Jumal ravib, kuid arst saab tasu. · Ma olen näinud üksikuid inimesi nälga suremas, tuhanded on aga surnud söömise tagajärjel. · Ära varja enda annet
selleks tavaliselt ruutkeskmise vea hinnangut. See hinnang algul tavaliselt väheneb õpetamise käigus, võib aga hakata uuesti kasvama üleõppimise korral. Oma projekti 5. osa (ülesande realisatsioon õppiva süsteemiga) • Tekitame restorani täituvuse faili objektidega. • Treenime närvivõrgu. • Testime testandmetest võetud objektidega? Närvivõrgu treenimisel kasutatavaid parameetreid • RMS Error - root mean square error, ruutjuur vigade ruutude summa keskmisest. Selle abil hinnatakse õppimise taset. • Good Pats - piisavalt treenitud objektide protsent • Target err. - lubatav objekti viga treenimisel - kui viga on alla selle väärtuse, satub objekt treenitute nimekirja Õppimise parameetrid • Input noise - sisendväärtustele lisatav juhuslik müra • Weight noise – kaaludele lisatav juhuslik müra • Temp- lävifunktsiooni parameetrid • Data -> Normalize - normaliseerimine
Jaotustabel - tabel, mis näitab tunnuse väärtuse suhtelist esinemissagedust Statistiline rida - tunnuse väärtuste järjestamata rida Variatsioonirida - tunnuse väärtuste rida kasvavas või kahanevas järjekorras Mood - variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige (Mo) Mediaan - variatsioonirea keskmine liige (Me) Aritmeetiline keskmine - tunnuse keskväärtus ( x ) Hälve - variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuste vahe Dispersioon - hälvete ruutude aritmeetiline keskmine ( 2) Standardhälve - ruutjuur dispersioonist ( ) Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe (V) Arvutusteks kasutan järgnevaid valemeid: N valemi suurus ( vaadluse all olevate objektide arv) N vahemike arv X max suurim väärtus X min väikseim väärtus X = X max - X min suurima ja väiksema väärtuse vahe 3 Mo tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus - mood N
kaks. Vabalangemine Sellist liikumist, kus õhutakistus puudub või on väike, nimetatakse vabaks langemiseks. Vabalt langevatel kehadel kasvab kiirus ühtemoodi, sõltumata raskusest ja kujust. Kepleri Seadused 1. Planeedid tiirlevad ümber Päikese mööda ellipsikujulisi trajektoore. 2. Tiirlemisekäigus katab planeeti ja Päikest ühendav sirglõik võrdsetes ajavahemikes võrdse pindala. 3. Erinevate planeetide tiirlemisperjoodide ruutude suhe on võrdne nende planeetide ja Päikese keskmiste vahekauguste kuupide suhtega Vastastikmõju liigid Gravitatsiooniline vastastikmõju Elektromagnetiline vastastikmõju Tugev vastastikmõju Nõrk vastastikmõju Gravitatsiooniline vastastikmõju Gravitatsioonile alluvad kõik kehad. Isegi valgus, raadiolained jne. Erinevalt teiste mõjuliikidega on gravitatsiooniline vastastikmõju märgatav ka väga suurte vahemaade tagant. Elektromagnetiline
P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korrutistega)
S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korrutistega)
Uued mõisted · Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat · Kahe liikme summa ja samade liikmete vahe korrutis võrdub nende liikmete ruutude vahega · Kahe liikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega, tulemused koondada · Kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub
lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10
annaabi.ee 
