1. Lahenda kolmnurk ja arvuta selle pindala, kui tipud on K(4; 2; 10), L(10; -2; 8) ja M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus. 4
Tasapinnalise js tasakaalu graafilised tingimused: 1) meelevaldse tasapinnalise js tasakaaluks on vajalik ja piisav et jõuhulknurk ja nöörhulknurk oleksid suletud. Jõudude rööptahuka reegel: ühte punkti rakendatud ja mitte ühes tasapinnas asuva kolme jõu resultant võrdub suuruselt ja suunalt antud jõududele ehitatud rööptahuka diagonaaliga. Telje suhtes võetud jõumoment: jõu momendiks P telje z suhtes nim telje risttasapinnale võetud jõu projektsiooni ja õla korrutist, võetuna + vüi märgiga. Jõu moment võrdub nulliga kui 1) jõud P on teljega paralleelne, sest sii on jõu projektsioon telje risttasapinnale võrdne nulliga 2)kui jõu mõjusirge lõikub teljega, sest ülg on võrdne 0. Paralleeljõudude tasakaaluv: Z=0 X=0 Y=0
Puhas tahke polüstüreen on värvitu. PC (Polükarbonaat)- eriti suure löögikindluse ja sitkusega. Kasutatakse metsamasinate, traktorite ja ekskavaatorite klaasides. Reoloogilised omadused: Viskoossus vedelike omadus takistada oma osakeste liikumist üksteise suhtes. Nihkepinge ehk tangentsiaalpinge lõikepinna sihis mõjuv pingekomponent Nihkedeformatsioon - keha kuju muutus, mille käigus keha elementaarrööptahukate nurgad muutuvad, muutumatuks jäävad aga rööptahuka mõõtmed. Tekib nihkepingete mõjul Nihkemoodul võrdetegur, mis iseloomustab materjali jäikust Reoloogilised omadused: Nihke jääkmoodul - väljendab viskoelastse materjali sitkust ja on proportsionaalne materjalis pingetsükli jooksul salvestunud energiaga. Nihke kaomoodul - väljendab materjali plastseid ehk viskoosseid omadusi. Voolavuspinge - pinget, mille juures deformeerumine toimub koormuse suurenemiseta Reoloogilised omadused:
7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16
Seega saime, et ( × ) = 0 . See aga tähendab, et vektorid × ja on risti. Analoogselt põhjendatakse vektorite × ja ristseis. Teoreemi teise väite tõestuseks kasutame kolmandat järku determinandi geomeetrilist tähendust: V = D = ( × ) = × cos , kus V on vektoritele , , ehitatud rööptahuka ruumala ning on vektorite × ja vaheline nurk. Selle rööptahuka kõrgus h on aga cos (vt. eelmist joonist ja arvestada, et vektor ^ on paralleelne vektoriga × ). Seega V = × h . Siit järeldub, et arv × võrdub vaadeldava rööptahuka põhja pindalaga. See on samaväärne teoreemi teise väitega. Järeldus. Vektorkorrutis × võrdub nullvektoriga parajasti siis, kui vektorid ja on kollineaarsed. Ütleme tõestuseta, et vektorid , ja × moodustavad nn
a1 a2 a3 Koordinaatkujul avaldub see determinandi kaudu: a b c b1 b2 b3 . c1 c2 c3 Segakorrutise absoluutväärtus on arvuliselt võrdne neile vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Kui kolme vektori segakorrutis on 0, siis need vektorid asetsevad samal tasandil (ehk on komplanaarsed). Segakorrutise omadus: a b c a b c . Näide 1: Olgu antud vektorid a 3,1,2 , b 2,2,3 , c 1,3,1 .
26.Segakorrutis-Segakorrutamine on antav ainult kolmemõõtmelises ruumis. Kolme vektori x , y , z ∈ E 3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse xyz abil ja mis antakse valemiga xyz=(x × y ) ∙ z 27.segakorrutamise omadused- xyz= yzx =zxy=− yxz=−zyx=−xzy Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt (a , b , c) Vektorite x,y,z segakorruti võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed | | x1 x2 x3 xyz= y 1 y2 y3 28.arvutamise valem koordinaatides- z1 z2 z3 29
kaudu. Kuna vektorkorrutamine on antav vektorruumis E3, siis on ka segakorrutamine antav ainult vektorruumis E3. Kolme vektori x, y, z ∈ E3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse abil ja mis antakse valemiga Segakorrutamise omadused 1. Segakorrutamine sõltub vektorite järjekorrast järgmiselt 2. Vektorite a, b, c segakorrutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga ehk 3. Vektorite x, y, z segakorrutis võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 3 Arvutamise valem koordinaatides Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu,
25.Kuidas liita kahte jõudu, mille mõjusirged ei lõiku? Kas tulemus on resultant? Rööpküliku ja kolmnurga reegli abil. F = F 1+ F 2 F = ( F1² + F2² + 2F1F2cos) 26.Kuidas liita kolme mitte ühes tasapinnas asetsevat jõudu, mille mõjusirged on kiivsirged? Rööptahuka reegli abil. F 1 + F 2 + F 3 = F 12 + F 3 = F 27.Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Hulknurga reegli abil. F1+ F2+ F3+...+ Fn= = F 12 + F 3 + ... + F n = ...= F 28.Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduv jõusüsteem on jõusüsteem, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 29
Kui seda tehakse vektorkorrutisena, siis saadakse uus vektor: see oleks kolme vektori vektorkorrutis. Siin on oluline vektorkorrutise võtmise järjekord. a x b · c=skalaar. Segakorrutise omadused: 1)segakorrutis ei sõltu korrutise võrmise järjekorrast 2)kui segakorrutises 2 vektori järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis
x2 y2 z2 x3 y3 z3 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c. Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega
kõik tehted vektoritega koordinaatides toimuvad analoogselt tasandiga (vektorite liitmine, lahutamine, korrutamine arvuga, pikkuse ja skalaarkorrutise leidmine). Küll on aga tunduvalt keerulisem teha vektoritega tehteid geomeetriliselt. Eriti raske on see õpilastel, kellel puudub ruumitaju. Vektorite kollineaarsusele ja ristseisule lisandub nende komplanaarsuse mõiste. Õppekavas pole segakorrutise mõistet ning seega ei saa me mittekomplanaarsust siduda kolme vektoriga määratud rööptahuka ruumalaga. Küll võime arutada, kas nelja punktiga on määratud püramiid või mitte. Näiteks: kas punktid A(-2;10;5), B(4;-4;3), C(3;4;7) ja D(2;-5;0) võivad olla kolmnurkse püramiidi tippudeks? Nüüd peab õpilane mõtlema, milline on püramiid. Peab aru saama, et sel juhul on 3 punktiga määratud püramiidi põhi ja neljas on püramiidi tipuks. Järelikult ei saa nende nelja punkti abil moodustatud vektorid olla komplanaarsed. Seega tuleb tal kontrollida, kas vektorid on
axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20
vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand,
0 D2 = D*D = |a1 a2 a3| * |a1 b1 c1| = | | = | | = | | = ()(^)(^) = () |b1 b2 b3| * |a2 b2 c2| | |+aI |^ ^ ^| |0 ^ ^| |c1 c2 c3 | * |a3 b3 c3| | |+bI+cII |^ ^ ^| | 0 0 ^| (^ + 0)(^ + 0 + 0) = ()(^^)(^^) = ||||2 * ||^||2 * ||^||2 => |D| = |||| * ||^|| * ||^|| Kolmandat järku determinandi absoluutväärtus võrdub selle determinandi reavektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga 35. Vektorkorrutise defnitsioon. Vektorkorrutise omadused (tõestustega). Kui = (a1; a2; a3) ja = (b1; b2; b3), siis nende vektorite vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x = (|a2 a3|; -|a1 a3|; |a1 a2|) (|b2 b3|; |b1 b3|; |b1 b2|) Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. Omadused: 1. , ( x )
OMADUSED: 1) Vektorsüsteem { x , y, z } on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui segakorrutis x yz =0 . Vektorsüsteem { x , y, z } on parema (vasaku) käe kolmik siis ja ainult siis, kui segakorrutis x yz > 0 ( x yz < 0 ) . 2)mittekomplanaarse vektorsüsteemi { } vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala Vrt ( )on võrdne: Vrt ( ) = x yz kui on parema käe kolmik - x y z kui on vasaku käe kolmik 3)segakorrutamine oleneb vektorite järjekorrast järgmiselt: = =- 4) kehtivad valemid: ( x1 + x2 ) yz = x1 yz + x2 yz x ( y1 + y2 ) z = xy1 z + xy2 z x y ( z1 + z 2 ) = x yz1 + x yz 2
Järku determinandi abil kujul 26. Vektorite segakorrutis Vaatleme kolmemõõtmelise (n=3) eukleidilise vektorruumi ning valime seal mingi ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) Definitsioon. Vektorite ja segakorrutiseks nimetatakse arvu . Leiame segakorrutise väärtuse: Seega Segakorrutise omadused: 1. Vektorite ja segakorrutise absoluutväärtus võrdub vektoritele ja ehitatud rööptahuka ruumalaga 2. Tetraeedri (kolmnurkse püramiidi) ABCD; mille servad on DA = ; DB = ja DC = ; ruumala VABCD = . 3. Vektorid ja on komplanaarsed parajasti siis kui nende segakorrutis 4. Vektorid ja moodustavad paremkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on positiivne ja moodustavad vasakkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on negatiivne. 27. Sirged 1) Vaatleme sirge kolmemõõtmilseses ruumis.
Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Vektorite ristseisu tingimus. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 3. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. Vektorite kollineaarsuse tingimus. 4. Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu- konspektist http://math.ut.ee/pmi/kursused/ag/parring/ peatü- kist "IV. Vektoralgebra`'. Viidatud materjalis on kogu teoreetiline üles- ehitus algusest lõpuni läbi tehtud koos vajalike tõestustega. Meie peame siin paratamatult tegema käsitluses teatud kärpeid, sest muidu
Mida saame konstrueerida kahe kahemõõtmelise vektoriga ja ning mida kolme kolmemõõtmelise vektoriga Kui kaks kahemõõtmelist vektorit pole juhuslikult samasihilised ehk kui neid ei saa asetada piki sama sirget, võime nende abil moodustada rööpküliku. Sarnaselt saame, juhul kui kolm kolmemõõtmelist vektorit ei asu ühel tasandil, ehi- tada nende abil kena rööptahuka. 154 Mõlemal juhul on neil geomeetrilistel kujunditel üks kena parameeter – nende maht. Ruutmaatriksi determinant kirjeldabki seda mahtu. maatriksi puhul on tema determinandi absoluutväärtus võrdne kahe tulp- vektori poolt moodustatud rööpküliku pindalaga. maatriks Näiteks maatriksi determinandi absoluutväärtus on võrdne kahega, kuna
diagonaali. See on selline rööptahukas, mis on konstrueeritud just liidetavate jõuvektorite F1 , F2 ja F3 baasil. Seetõttu nimetatakse sellist geomeetrilise liitmise moodust rööptahuka reegliks. III. Paljude jõudude geomeetriline liitmine. Jõuhulknurga meetod. Oletame, et meil on vaja liita geomeetriliselt palju jõudusid. Sel juhul on kõige lihtsam hakata neid paarikaupa omavahel liitma, kasutades selleksiga kord kolmnurga reeglit. Esimene operatsioon on näiteks liita geomeetriliselt jõud F1 ja F2 , saame
annaabi.ee 
