Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika

Kõrgem matemaatika (0)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Kõrgem matemaatika

4 HEA

Esitatud küsimused

Mis on maatriks?
Mida nimetatakse kahe vektori skalaarkorrutiseks?
Mida nimetatakse antud funktsiooni algfunktsiooniks?
Milles seineb Gaussi meetod lineaarse võrrandisüsteemi lahendamisel?

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/ 2016
Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP)

Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid.
Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n- veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;…;m ja j = 1; 2;…; n, siis tabelit:
nimetatakse täpsemalt (m x n)- maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks.
Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i – reaindeks; j – veeruindeks.
reamaatriks – (1 x n); veerumaatriks – (m x 1); ruutmaatriks – m = n
Tähistused:
maatriksi järk – naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv).
maatriksi liigid:

nullmaatriks – kõik elemendid 0. tähistus teeta Θ

ruutmaatriks – ridade arv = veergude arv m=n
diagonaalmaatriks – ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0.
ühikmaatriks – diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E.

Tehted maatriksitega ( korrutamine arvuga, liitmine , lahutamine, korrutamine).
Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga.
(m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij
Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid.
Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A + B = (cij ), kus cij = aij + bij indeksite i ja j kõigi väärtuste korral
Maatriksite lahutamine: samamõõtmeliste maatrikside lahutamisel lahutatakse esimese maatrikside elementidest teise vastavad elemendid. (vastandmaatrikside summa on nullmaatriks).
Kahe (mxn)-maatriksi A = (aij) ja B = (bij) vaheks nimetatakse maatriksi A ja maatriksi B vastandmaatriksi -B summat.
Maatriksite korrutamine: korrutamine on võimalik ainult siis, kui esimese teguri A veergude arv võrdub teise teguri B ridade arvuga A (m*n) ja B (n*p). maatrikside korrutise elemendi leidmiseks tuleb korrutada esimese maatriksi rea ja teise maatriksi veeru vastavad elemendid ning tulemused liita
(m x n)-maatriksi A = (aij) ja (n x p)-maatriksi B = (bjk) korrutiseks nimetatakse (m x p)-maatriksit C = (cik), mille elemendid cik leitakse summana:
Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita.
Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud.
(m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read

Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor , alamdeterminant.
determinant – ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil.
determinandi järk – ruutmaatriksi A järk
Tähistus – detA või |A|
determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg , kus antud element paikneb.
n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element.
determinandi elemendi alamdeterminant ( miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa.
n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor.
mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga .

Teist ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad.
Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega:
näiteks:
Kolmandat järku ruutmaatriksi determinant arvutatakse (mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga):
n 2(-1)1+1
(-1)(-1)1+3
äiteks:
Kolmanda järgu puhul saab kasutada ka Sarrusi reeglit:

Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri.
determinandi omadused:

determinandi mingi rea (veeru) elementide ühise teguri võib tuua determinandi ette. st, determinandi korrutamisel arvuga korrutatakse vaid ühe rea (veeru) elemendid selle arvuga.

determinandi kaks rida (veergu) võib omavahel vahetada, muutes determinandi märki. st, antud determinandi ja tema kahe rea (veeru) asukohtade vahetamise tulemusena saadud determinandi väärtused erinevad märgi poolest.

determinandi ühele reale (veerule) võib liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). st, determinandi väärtus ei muutu, kui ühele reale (veerule) liita nullist erineva arvuga korrutatud mingi rida (veerg).

determinandi rea elemendid ja veeru elemendid võib ära vahetada. st, ruutmaatriksi ja tema transponeeritud maatriksi determinantide väärtused on võrdsed.

kui determinandis on nullide rida (veerg), siis determinandi väärtus on null.

Kui determinandis on kaks ühesugust rida (veergu), siis on determinandi väärtus null.

kui determinandis peadiagonaalist allpool (ülalpool) asetsevad elemendid on kõik nullid , siis determinandi väärtus võrdub peadiagonaali elementide korrutisega.
põhimõte sama: mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga.

Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri .
ruutmaatriksi A pöördmaatriks – selline maatriks A-1 (maatriks B), mille korral AA-1 = A-1A = E (AB = BA = E). E – ühikmaatriks (diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1).
Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. kui ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks, siis on see üheselt määratud. kehtivad järgmised omadused:
Ruutmaatriksil A=(aij) leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev.
pöördmaatriksi leidmine:

veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga.
detA = -45

leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada

transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA

Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend .
Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi:
homogeenne süsteem – kõik vabaliikmed on nullid
laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit:
(A B) =
maatriksi elementaarteisendused:

Kahe rea (võrrandi) asukoha vahetamine
rea (võrrandi) korrutamine/jagamine mis tahes nullist erineva arvuga
ühele reale (võrrandile) mingi nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine

Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada astmelisele kujule (treppkujule), mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid .
tegemist on lahenduva võrrandisüsteemiga, kui leidub vähemalt üks lahend . seejuures lahendeid on kas üks või lõpmata palju. (homogeenne – kõik vabaliikmed nullid – süsteem on alati lahenduv).
tegemist on määratud võrrandisüsteemiga, kui lahendeid on üks.
tegemist on mittelahenduva e vasturääkiva võrrandisüsteemiga, kui lahendid puuduvad.
Lahendite arv:
lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige
kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui
n = k on süsteemil ainult üks lahend
k Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi.
Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus.

Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest.
maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks.
süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A−1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n).
lahend avaldub: X = A−1B
näiteks:
Crameri valemid:

Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule:

Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi.

Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid.

Mis tahes rea juhtelement asub vasakul pool sellest reast allpool asuvate ridade juhtelementidest.
Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte.

Kui astmelisele kujule viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige, siis on süsteem vastuoluline. Kui sellist rida ei ole, on süsteem lahenduv.

Kui lahenduvas süsteemis on n tundmatut ja astmelisele kujule viidud maatriksis on k juhtelementi siis juhul n = k on süsteemil ainult üks lahend, juhul k Kolmandas etapis leitakse antud süsteemi lahendid, kui süsteem osutus lahenduvaks. Lahendite leidmiseks kirjutatakse välja esimeses etapis saadud teisendatud maatriksile vastav võrrandisüsteem.
a) ühe lahendi korral leitakse tundmatute arvulised väärtused alustades alumisest reast ja liikudes rida realt ülespoole.
b) Juhul k jäetakse igas võrrandis vasakule poole ridade juhtelementidele vastavad k tundmatut (nn
sõltuvad tundmatud), ülejäänud r = n − k tundmatut (nn vabu tundmatuid) sisaldavad liidetavad
kantakse võrrandi paremale poole;
võrrandite paremal pooltel olevatele vabadele tundmatutele omistatakse vastavalt väärtused C1,C2, ...,Cr;
alustades taas alumisest reast ja liikudes rida realt ülespoole, avaldatakse iga sõltuv muutuja suuruste C1,C2, ...,Cr kaudu;
kirjutatakse välja süsteemi üldlahend.
c) teostatakse leitud lahendite kontroll.

Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid tasandil.
koordinaatsüsteem sirgel: sirget, millel on fikseeritud üks punkt, märgistatud suund ja valitud pikkusühik, nimetatakse koordinaatteljeks.
Koordinaatsüsteemi sirgel määravad:

Suunaga arvsirge
Alguspunkt (liikumise algus; O)
Pikkusühik

Ristkoordinaadistiku tasandil moodustavad kaks ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks.
Ristkoordinaadistik tasandil:

Kaks ristuvat suunaga arvsirget
Alguspunktid ühtivad
Ühikud on võrdsed

punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/ alguspunktist .
Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal.
punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y)
Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x- teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y).

Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar - ja ristkoordinaatide vahelised seosed.
polaarkoordinaat – kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk θ).
üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel:
Polaarkoordinaadistik tasandil:

Suunaga arvtelg e. polaartelg.
Alguspunkt
Ühiku pikkus
Polaarraadius r = |OM|
Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;).

Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist - ja silinderkoordinaatide vahel.
Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat aplikaatteljeks ehk z-teljeks.
Ristkoordinaadistik ruumis:

Kolm ristuvat suunaga arvsirget;
Alguspuntkid ühtivad;
Ühikud on võrdsed.

punkti ristkoordinaadid ruumis on selle ristprojektsiooni x-y tasandile koordinaadid + selle projektsioon z-teljele. P(x;y;z)
Ruumis asuva punkti P asend määratakse üheselt valitud ristkoordinaadistiku suhtes reaalarvude järjestatud kolmikuga (xP ; yP ; zP ), kus xP on punkti P ristprojektsiooni Px koordinaat abstsissteljel, yP on punkti P ristprojektsiooni Py koordinaat ordinaatteljel ja zP on punkti P ristprojektsiooni Pz koordinaat aplikaatteljel.
punkti silinderkoordinaadid
üleminekuvalemid silinderkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel:

Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid .
Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. iseloomustab: suund, siht ja pikkus.
tähistus a→=(a1; a2; a3) või AB→=(a1; a2; a3).
geomeetrilised vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja pikkuselt võrdsed. erineda võivad alguspunktid.
geomeetrilised vektorid on samasihilised ehk kollineaarsed, kui nad asuvad kas ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). tähistus a→|| b→.
Samasihilised vektorid a→ ja b→ võivad olla kas samasuunalised (tähistus a→ ↑↑ b→) või vastassuunalised
(tähistus a→ ↑↓ b→).
Vektorit , mille alguspunkt ühtib selle vektori lõpp- punktiga , nimetatakse nullvektoriks.
Kahte vektorit, mis erineved teineteisest vaid suuna poolest, nimetatakse vastandvektoreiks.

Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt).
vektori korrutamine arvuga: vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). kui kordaja on negatiivne, muutub vektor vastassuunaliseks.
Geomeetrilise vektori a→ korrutiseks arvuga α nimetatakse vektorit αa→, mis rahuldab tingimusi:
vektorite liitmine ja lahutamine:
Kolmurgareegel – liidetavad vektorid ühendada järjest – summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti;
Rööpküliku reegel – liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka.
lahutamine toimub vastandvektori liitmisel.

Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine).
Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks – st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite (𝑖→, 𝑗→ ja 𝑘→) summana: a→ (a1; a2; a3)
=> a→ = a1i→+ a2j→+ a3k→. võttes vektori alguspunktiks koordinaatteljestiku alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele.
Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedel.
a = xi→ + yj→ + zk→ => a = (x; y; z).

Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides.
liitmine – vastavad koordinaadid liidetakse
lahutamine – vastavad koordinaadid lahutatakse
korrutamine arvuga – iga koordinaat korrutatakse antud arvuga

Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused ).
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga α koosinuse korrutist. (või vektorite vastavate koordinaatide korrutis ab = (x1x2 + y1y2 + z1z2))
rakendusi:
Kaks vektorit asetsevad risti ( 𝑎 ⊥ 𝑏) parajasti siis, kui 𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎|∙ |𝑏|∙ cos 90° = 0

Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused).
Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille:

siht on risti vektoritega a ja b ;
suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole;
pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga.

vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b.
omadused:

samasihiliste/paralleesete (vektorite vaheline nurk 𝛼 = 0° või 180° ehk sin 𝛼 = 0) ehk kollineaarsete vektorite vektorkorrutis on null.
𝑎 × 𝑏 = − (𝑏 × 𝑎) iga kahe vektori 𝑎 ja 𝑏 korral
r(a × b) = (ra) × b = a × (rb) iga kahe vektori a ja b ning mis tahes arvu r ∈ R korral
c × (a +b) = (c × a) + (c × b) ja (a +b) × c = (a × c) + (b × c) iga kolme vektori a, b ja c korral.

avaldis koordinaatides:
vektorkorrutist saab esitada ka kolmandat järku determinandina:

Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused).
Kolme vektori a, b ja c segakorrutiseks nimetatakse kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c
Avaldis koordinaatides:
omadused:

Determinantide omadustest tulenevalt:

kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st

rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega.

Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused.
Kaks vektorit on kollineaarsed (a→|| b→), kui vektorkorrutis on 0 (𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎|∙ |𝑏|∙ sin 0°/180° = 0)
Kaks vektorit asetsevad risti ( 𝑎 ⊥ 𝑏), kui skalaarkorrutis on 0 (𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎|∙ |𝑏|∙ cos 90° = 0)
Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0)

Sirge sihivektor . Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil).
Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised.
Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB
Vektorit, mis on risti vaadeldava sirge sihivektoriga , nimetatakse selle sirge normaalvektoriks
Sirge tõus – sirge tõusunurga tangens. k = tan α (sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral, st tan väärtus puudub 90° juures).
Sirge tõusunurgaks nimetataksse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel (mõõdetakse vastu kellaosuti liikumissuunda). Sirge tõusunurga suurus on alati 0° ja 180° vahel.
Kanooniline võrrand on sirge võrrand, mis on määratud sihivektori ja punktiga.
Olgu sirge s määratud oma sihivektoriga s = (s1 ; s2 ) ja punktiga A(x1 ; y1 ). Punkt X(x; y) asub vaadeldaval sirgel parajasti siis, kui vektorid s = (s1; s2) ja AX = (x−x1; y −y1) on samasihilised (AX||s), st parajasti siis, kui ülalolev võrdus on tõene.
Üldvõrrand – kanoonilise võrrandi lineaarvõrrandiks teisendatud kuju
s2 x + (−s1 )y + (s1 y1 − s2 x1 ) = 0
Ax + By + C = 0
A = s2 , B = −s1 , C = s1 y1 −s2 x1
sihivektor s=(-B; A) ja normaalvektor s=(A; B)
võrrand tõusu ja algordinaadi abil y = kx + b
Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi
seega
ja

Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid.
antud sirged s ja t: ja
ja
ja
kaks sirget on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed/sihivektorite vektorkorrutis on 0 (kuid sirgetel pole ühiseid punkte); kui tõusud on võrdsed (kuid vabaliikmed pole);
kaks sirget on risti, kui nende tõusude korrutis on -1 või nende sihivektorite skalaarkorrutis on 0.
kaks sirget lõikuvad, kui tõusud pole võrdsed; kui sihivektorid pole kollineaarsed
kaks sirget ühtivad, kui nende sihivektorid on kollineaarsed ja sirgetel on ühine punkt; kui tõusud on võrdsed (ja vabaliikmed on võrdsed)
kahe sirge vastastikused asendid ruumis:
Kiivsirged – kolm vektorit a, b ja AB ei ole komplanaarsed
Lõikuvad sirged – kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, sihivektorid a ja b ei ole kollineaarsed
Paralleelsed sirged – kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, ainult sihivektorid a ja b on kollineaarsed
Ühtivad sirged – kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed

Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis.
kanooniline võrrand:
parameetriline võrrand:

Tasandi normaal . Tasandi üldvõrrand ruumis.
Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3)
Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti)
tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0
tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0
x,y,z – tasandi punkti koordinaadid; a,b,c – kordajad
vektorkujul:
koordinaatkujul:

Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid.
Ühe muutuja funktsioon – kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks ja ainult üks muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et hulgas X on antud funktsioon f ja kirjutatakse kujul y = f(x).
x – sõltumatu muutuja / argument, y – sõltuv muutuja
Mitme muutuja funktsioon – sõltuv muutuja y sõltub korraga mitmest sõltumatust muutujast x (funktsiooni väärtus sõltub mitmest argumendist).
Kui üksteisest sõltumatute muutujate x1 , x2 , ..., xn väärtuste igale komplektile (x1 , x2 , ..., xn ) mingist piirkonnast D vastab parajasti üks muutuja w reaalarvuline väärtus, siis öeldakse, et muutuja w on argumentidest x1, x2, ..., xn sõltuv n-muutuja funktsioon, mis on määratud piirkonnas D ja tähistatakse kujul
w = f(x1, x2, ..., xn)
n = 2 => kahe muutuja funktsioon z = f (x, y),
n = 3 => kolme muutuja funktsioon w = f (x, y, z) jne.
Kolme või enama muutuja funktsiooni ei ole võimalik graaﬁliselt kujutada kolmemõõtmelises ruumis.
Elementaarfunktsioonid – funktsioonid, mida saab moodustada põhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y=x2+2x+2, y=log(2x-3). Põhielementaarfunktsioonid:
1) astmefunktsioon y = xa, kus a on mis tahes reaalarv;
2) eksponentfunktsioon y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv;
3) logaritmfunktsioon y = loga x, kus a on ühest erinev positiivne arv;
4) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x;
5) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x.

Jada piirväärtuse ja funktsiooni piirväärtuse mõisted.
jada piirväärtus
ε – mistahes positiivne arv
(a − ε; a + ε) – arvu a ümbrus
arv x kuulub arvu a ümbrusesse siis, kui |x – a| arv a on jada piirväärtuseks, kui mis tahes ε korral saab leida elemendi x, millest alates kõik ülejäänud jada elemendid kuuluvad selle ümbrusesse.
funktsiooni piirväärtus
x1, x2, ..., xn – funktsiooni argumentide jada
f(x1), f(x2), ..., f(xn) – funktsiooni väärtuste jada
arv A on funktsiooni piirväärtuseks, kui arvuks a koonduva argumentide jada korral vastav funktsiooni väärtuste jada koondub arvuks A
funktsioon on pidev, kui

Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised .
funktsiooni tuletis
kui funktsioonil leidub lõplik piirväärtus:
siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f’ või y’. funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile .
funktsiooni diferentsiaal – kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonist vaadeldavas piirkonnas.
Kohal x diferentseeruva funktsiooni f (ehk y = f(x)) diferentsiaaliks kohal x muudu x korral nimetatakse korrutist f’(x)x ja tähistatakse kujul df(x) või dy.
või ka
nt: funktsiooni y = sin x tuletis on y’ = cos x ja seega selle funktsiooni diferentsiaal on dy = (cos x) ·x
avaldada saab ka kujul:
Kõrgemat järku tuletised – Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil f’ leidub tuletis (f’)’ oma määramispiirkonna mingis punktis x, siis nimetatakse seda tuletist (f’)’ esialgse funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f’’(x). Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f’’’ jne.

Liitfunktsioon ja selle tuletis.
Liitfunktsiooniks – funktsioon, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.
Olgu antud liitfunktsioon F(x)=f[g(x)]. Kui funktsioon g on diferentseeruv kohal x ja funktsioon f on diferentseeruv kohal u=g(x), siis on diferentseeruv ka liitfunktsioon sellel kohal x, kusjuures F’(x) = f’(g(x))· g’(x)
Näiteks funktsioon F(x) = (1 − x3)2 on seesmise funktsiooni g(x) = 1 − x3 ja f(u) = u2 liitfunktsioon, mis on määratud kogu reaalarvude hulgal R.

Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad.

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste . Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus.
geomeetriliselt tähendab diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletis y’ = f’(x) selle funktsiooni graafikule punktis P(x; f(x)) tõmmatud puutuja tõusu k.
füüsikaliselt näitab tuletis liikumise hetkkiirust.

Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste.
mitme muutuja funktsiooni osatuletis
funktsiooni z = f(x; y) osatuletis argumendi x järgi tähistatakse z’x.
mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal
kui funktsiooni z = f(x; y) osatuletised on z’x ja z’y ja need on funktsiooni määramispiirkonna punktis (x; y) pidevad , siis leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz = z’x dx + z’y dy
nt:

Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine.
funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y) kõigile punktile M lähedaste, kuid siiski erinevate punktide P(x; y) korral.
funktsiooni z = f(x; y) kriitilisteks punktideks nimetatakse määramispiirkonna punkte, mis on funktsiooni statsionaarsed punktid (kõik esimest järku osatuletised on nullid) või kus esimest järku osatuletised pole määratud. iga kriitiline punkt pole ekstreemum .
ekstreemumi tingimused:
ekstreemumite leidmine:

leida esimest järku osatuletised f’x ja f’y

lahendada nende võrranditest koosnev süsteem, vastuseks on statsionaarne punkt M(x; y)

leida kõik teist järku osatuletised f’’xx f’’yy f’’xy

kontrollida, kas statsionaarne punkt on ekstreemum: lahendada f’’xxf’’yy – (f’’xy)2

leida ekstreemumkoht f (M)

Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon . Määramata integraal ja selle omadused.
Funktsiooni y = F(x) nimetatakse funktsiooni y = f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F’(x). funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka tähistatakse f(x)dx = F(x) + C
Määramata integraali omadused:

konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette:cf(x)dx = cf(x)dx

integraal funktsioonide summast/vahest võrdub liidetavate integraalide summaga/vahega
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx +  g(x)dx
(f(x) - g(x))dx = f(x)dx -  g(x)dx

tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga [f(x)dx]’ = f(x)

diferentsiaal määramata integraalist on võrdne integraalialuse avaldisega:
d[f(x)dx] = (F(x) + C)’dx = f(x)dx
määramata integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga dF(x) =  F’(x)dx =  f(x)dx = F(x) + C

Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine ).
Muutujavahetus: f(g(x))dx =f(u)du = f[g(u)]g’(u)du
u = g(x); du = g’(x)dx
Ositi integreerimine: udv = uv - vdu
(harilikult u-ks kas suurem x aste või ln)

Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton -Leibnizi valem.
Määratud integraal – eeldusel, et f(x) on pidev lõigus [a;b]; kui leidub piirväärtus, siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni.
Arvu F(b) − F(a) nimetatakse funktsiooni y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse ab∫f(x)dx = F(b) − F(a))
määratud integraali omadused:

kõik määramata integraalile kehtivad omadused

võrdsete integreerimisradadega määratud integraal võrdub nulliga

integreerimisradade vahetamisel muutub integraali märk vastupidiseks

määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne

iga arvu c korral lõigust (a, b) saab määratud integraali radades a-st b-ni esitada kahe sellise määratud integraali summana, millest üks on radades a-st c-ni ja teine c-st b-ni.
Newton-Leibnizi valem:

Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga: (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega.
Olgu funktsioon y = f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks. Selle kõvertrapetsi pindlala on võrdne määratud integraaliga:
Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) määratud ja pidevad lõigus [a, b], kusjuures kogu lõigul f (x) ≥ g(x) . Kui tasandiline kujund on ülalt piiratud funktsiooni y = f (x) graaﬁkuga, alt funktsiooni y = g(x) graaﬁkuga ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, siis selle kujundi pindala on võrdne määratud integraaliga:

Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend.
Harilik diferentsiaalvõrrand – võrrand, milles otsitavaks on funktsioon y = f(x) ning mis seob funktsiooni y tema tuletisega y’, y’’, y’’’, ..., y(n) ja sõltumatu muutuja x-ga.
Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitava ühe või mitme muutuja funktsiooni tema tuletiste ja argumentidega.
Kui otsitavaks on ühe muutuja funktsioon, siis kõneldakse harilikust diferentsiaalvõrrandist. kui otsitavaks on mitme muutuja funktsioon, on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrrandiga.
diferentsiaalvõrrandi järk – võrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk.
hariliku diferentsiaalvõrrandi lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse koos tema tuletisega on tulemuseks samasus . lahend pole ühene, n-järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju lahendeid (konstandid). konstante on vastavalt nii palju kui suur on DV järk.
üldlahend - iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral.
erilahend – üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused.

Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV).
eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand – lahendamisel saab muutujad eraldada, st viia kummagile poole võrdusmärki.
kus on teadaolevad ühemuutuja funktsioonid, pidevad vastavalt vahemikes ja .
Eksamitöö koosneb neljast punktist:

Mõistete ja põhiseoste tundmine . (16p)
Esitatakse 8 küsimust kogu kursuse ulatuses, millele oodatakse täpset
lühivastust.
Näiteks: Mis on maatriks?
Mida nimetatakse kahe vektori skalaarkorrutiseks?
Mida nimetatakse antud funktsiooni algfunktsiooniks?
Milles seineb Gaussi meetod lineaarse võrrandisüsteemi lahendamisel? Jne
2) Üks pikemat vastust eeldav küsimuste kobar lineaaralgebrast (8p)
Näiteks: Kahe maatriksi korrutis (tingimus korrutatavate maatriksite mõõtmetele,
korrutise definitsioon, selle lahtiseletus, näide)
3) Üks pikemat vastust eeldav küsimuste kobar analüütilisest
geomeetriast (8p)
Näiteks: Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Näide võrrandite koostamisest.
4) Üks pikemat vastust eeldav küsimuste kobar matemaatilisest analüüsist (8p)
Näiteks: Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Tingimused
ekstreemumi olemasoluks. Näide ekstreemumi leidmisest.

.DOC Laadi alla originaalfail 22 lk · .doc · 227 allalaadimist

Tasuta Faili alla laadimine on tasuta

~ 22 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2017-10-20 Kuupäev, millal dokument üles laeti

227 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

meigasy Õppematerjali autor

kõrgem matemaatika kordamisküsimused
MTMM. 00.145 (6EAP)

Maatriksi mõiste Maatriksi järk Maatriksi tähistused Maatriksi liigid Kõrgem matemaatika ruutmaatriks

Sarnased õppematerjalid

doc

Kõrgema matemaatika eksam

1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·

Kõrgem matemaatika

doc

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks.

Matemaatika

pdf

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt

Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo

Algebra ja analüütiline geomeetria

pdf

Kõrgem matemaatika I suuline eksam

1. peatükk 1) Definitsioon 1.1: maatriks Ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnev ristkülikukujuline arvude tabel. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor Ruutmaatriks - ridasid ja veerge sama palju Reamaatriks - koosneb ühest reast Reavektor - sama, mis reamaatriks Veerumaatriks - koosneb ühest veerust Veeruvektor - sama, mis veerumaatriks 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Maatriksid on võrdsed, kui nende ridade ja veergude arv on võrdne ning vastavatel kohtadel elemendid on võrdsed. 4) Definitsioon 1.4: maatriksite summa Maatriksite summa on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide summad. 5) Definitsioon 1.5: maatriksite vahe Maatriksite vahe on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide vahed. Järjekord on oluline. 6) Definitsioon 1.6: maatriksi korrutamine skalaariga Maatriksi A korrutist skalaariga λ nim. maatriksit λA = B, mille elemendid saadakse maatriksi A kõigi el

Kõrgem matemaatika

pdf

KM SUULINE

Kategoriseerimata

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

docx

Lineaaralgebra eksami kordamisküsimused vastused

1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend

Matemaatiline analüüs 1

docx

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimeta

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid