2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
Ruutvõrratuse lahendamine 1. Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0. 2. Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c. 3. Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Näide1. Lahendame võrratuse 2x2 + 7x + 3 > 0. 2x2 + 7x +3 = 0 - 7 ± 49 - 4 2 3 - 7 ± 49 - 24 - 7 ± 25 - 7 ± 5 x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3 4 4 4 4
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1.
Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1).
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine Eksponentvõrrandi lahendamiseks puuduvad üldised võtted, seetõttu vaatleme mõningaid erivõtteid. 1. Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide Lahendame võrrandi 0,125 x -1 = 2 4 x. 0,125 x -1 =2 4x (1 / 8) x -1 =2 4x (2 -3 ) x-1 = 2 4 x 2 -3 x + 3 = 2 4 x Võrdsete alustega astmete võrdsusest järeldub astendajate võrdsus: - 3x + 3 = 4 x 3 = 7 x x = 3/ 7 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
- b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.
Võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0. Sellel võrrandil võib olla · täpselt üks lahend · lahendid võivad puududa · lõpmata palju lahendeid Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0)
Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna
Ruutvõrrandisüsteemid Ruutvõrrandisüsteeme lahendatakse üldjuhul asendusvõttega (aga mitte alati). Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame esimesest võrrandist x-i, saame x = 8 - y. Asendame nüüd x teise võrrandisse, saame ruutvõrrandi (8 - y)y = 15, ehk -y2 + 8y = 15, millest y2 - 8y + 15 = 0. Selle ruutvõrrandi lahendid on y1 = 3 ja y2 = 5. Leiame vastavad x väärtused: x1 = 8 - 3 = 5 ja x2 = 8 - 5 = 3. Seega võrrandisüsteemi lahendid on (5; 3) ja (3; 5). Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi Kõigepealt lihtsustame esimest võrrandit, seejärel saame võrrandisüsteemi
a Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide x Lahendame võrrandi 1,5 . 5 Lahendus Läheme üle samaväärsele võrrandile, tuues paremal pool oleva lineaarliikme vastandmärgiga vasakule poole võrdusmärki: x 1,5 0. 5 Saadud lineaarvõrrandi lahendiks on 1,5 3/ 2 35 15 1 x 7 . 1/ 5 1/ 5 2 1 2 2
1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtuse 2 ülesandes antud ruutfunktsiooni valemisse muutuja x asemele ja arvutame haripunkti ordinaadi väärtuse: Oleme saanud parabooli haripunkti koordinaadid:H(2;1). 3. Arvuta parabooli nullkohad. Lahendus: Lahendame parabooli vastavad ruutvõrradi . Selleks viime ruutvõrrandi normaalkujule: ,, lahendame saadud ruutvõrrandi kasutades ruutvõrrandi lahendusvalemit Vastus: parabooli nullkohad ehk lõikepunktid x-teljega on ja .
lahendatakse ükshaaval kõik süsteemi kuuluvad võrratused; süsteemi lahendihulgaks on üksikute võrratuste lahendihulkade ühisosa. Näiteks, k 4,5 2k 9 0 k 3 Lahendame võrratussüsteemi | : (-2) (k 3)( k 4) 0 2 0 k (k 4) 0 k 4 k 0 k 4 k 40
· Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2. - 5 ± 5 2 - 4 3 ( -2) - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = 23 6 6 -5 -7 -5 +7 2 1 x1 = = -2 x2 = = = 6 6 6 3 Ülesanne 12. Lahenda ruutvõrrandid. 1) 4x2 4x 3 = 0
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1
5x3(32x)=8 3.) Lahendan saadud ühe tundmatuga võrrandi. 5x9+6x=8 5x+6x=8+9 x=1 4.) Arvutan muutuja y väärtuse eelnevalt leitud avaldisest. Y=32*1=1 5.) Teen kontrolli. 2*1+1=2+1=3 5*1+3*1=53=8 6.) Kirjutan vastuse. x=1 y=1 Lahendame asendusvõttega lineaarvõrrandisüsteemi 2x+3y=13 5xy=7 Teisest võrrandist on lihtne avaldada tundmatu y tundmatu x kaudu. y=5x7 Asendame esimeses võrrandis tundmatu y saadud avaldisega ja 2x+15x21=13 lahendame saadud võrrandi. 17x=13+21
võrrandi mõlemat poolt ühe ja sama astendajaga. Lahendamisel saadud muutuja väärtusi tuleb tingimata esialgse võrrandi abil kontrollida, sest võrrandi mõlema poole astendamisel paarisarvuga on võimalus võõrlahendite tekkimiseks. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (1) Näide 1 Lahendame võrrandi x 2 3. Lahendus Kuna x 2 | x |, (vt. juure omadusi, 5. omadus), siis on lahendatav võrrand samaväärne võrrandiga | x | 3, mille lahendid on arvu absoluutväärtuse definitsiooni kohaselt x1 3 ja x2 3. Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid (x = 3 ja x = -3) sobivad. Vastus. Võrrandi lahendid on x1 3 ja x2 3.
Saame 99 + 3 S 33 = 33 = 1683 2 Vastus: kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa on 1683. 7. Aritmeetilise jada kolmas liige on 8 ja seitsmes liige 18. Leia esimese üheteistkümne liikme summa. Lahendus: Antud on a3 = 8 ja a7 = 18. Teame, et a3 = a1 + 2d ja a7 = a1 + 6d. Saame moodustada võrrandisüsteemi: a1 + 2d = 8 a1 + 6d = 18 . Lahendame selle süsteemi. Kasutame liitmisvõtet. Enne aga tuleb teine võrrand korrutada -1-ga. Saame a1 + 2d = 8 a1 + 2d = 8 - a1 - 6d = -18 a1 + 6d = 18 ( - 1) - 4d = -10 d = 2,5 Asendame nüüd d = 2,5 esimesse võrrandisse. Saame a1 + 2 . 2,5 = 8; a1 = 3. Saime, et a1 = 3 ja d = 2,5.
Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ülesande põhjal võrdub see avaldis 7-ga. Saame võrrandi 1 2 x = 7. 2 Lahendame saadud võrrandi. 1 2 x =7 2 2 x 2 =14; x = ± 14 = ±3,74; x 1 = 3,74; x 2 = -3,74. Kontroll: Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 3,74 2 = 14 = 7. 2 2 Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 ( - 3,74 ) = 14 = 7. 2 2 2 Vastab ülesannete tingimustele.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Sellelt saame lõpliku vastuse, esialgse võrratuse lahendid: x [-4;-3]]-2;-1[]-1;0[[1;2[[3;[ ehk -4 x -3 -2< x <-1 -1< x < 0 1 x < 2 x 3. Vastus: x [-4;-3] ]-2;-1[ ]-1;0[ [1;2[ [3;[. Kui võrratuse vasak pool on eelnevalt tegurdamata, siis tuleb seda teha, kasutades näiteks Horneri skeemi. Näide 4. Lahendame võrratuse 3x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2 0. Selge on, et MP on ]-;[. Vasaku poole tegurdamiseks leiame nullkohad. 3x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2 = 0. Toome x2 sulgude ette. x2(3x3 +2x2 -7x +2) = 0, siit x1,2 = 0. Edasi 3x3 + 2x2 - 7x + 2 = 0. Rakendame Horneri skeemi. Oletatavad nullkohad on 2 1 ±2; ±1; ± ; ± . 3 3 3 2 -7 2 1 3 5 -2 0 x3 = 1
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1
Leiame proovimise teel sellised kaks täisarvu (üks nendest on negatiivne, sest lahendite korrutis on negatiivne), mille korrutis on – 6 ja summa 1. Need arvud on –2 ja 3. Seega võrrandi lahendid on x1 2 ja x 2 3 . Vastus. x1 2 , x 2 3 . Näide 17 Lahenda parameetrit sisaldav ruutvõrrand. x2 – 8ax + 12 = 0 Lahendus: Antud ruutvõrrandis on muutujaks x ja parameetriks a. 1) Lahendame selle esialgu tingimusel a 0 . Vastavalt taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalemile 2 p p x 1,2 q 2 2 saame kirjutada x 4a 4a 2 12 ; x 4a 16a 2 12 . 2) Kui a < 0, siis x 4a 4a 2 12 ; x 4a 16a 2 12 . Lahendid kehtivad parameetri a suvalise väärtuse korral. BIRUUTVÕRRAND
lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus Süsteemi lahendamiseks tuleb leida eraldi kummagi võrratuse lahendihulk ja siis nende hulkade ühisosa. Näide 1 (2) Esimese võrratuse lahendamisel viime kõik murrud vasakule
xm Pea meeles! x m n xm * xn , xmn xn , x x mn x m n n m , log x n n log x 3 x 2 x 1 Näide 2. Lahendame eksponentvõrrandi 0,2 25 , teisendades selle võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. 1 Et 0,2 5 51 ja 25 5 , siis saab võrrand kuju 5 2 1 3 x
2 4 Kui a ≠ 1, siis siis sellist võrrandit nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks ja see lahendatakse valemiga b b2 4ac x1;2 2a 3) Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 b = 0 või c = 0, siis selliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks ja neid valemi abil ei lahendata. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x2 – 5x = 0 5 x(3x – 5) = 0, järelikult x1 = 0 ja x2 = . 3 Näide 2. Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014
1 [tuletame meelde, et ka ( -1) = 1 ]. 2 x2 1 ehk x Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X = ( - ; - 1) U ( -1;1) U ( 1; ) . Ülesanne 2. Leida funktsiooni y = 5 - 3 x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 - 3x 0 . Lahendame selle võrratuse: 5 3x , jagame kolmega, saame 5 5 x ehk x . 3 3 5 Seega määramispiirkond on X = - ; . 3 Ülesanne 3. Leida funktsiooni y = ln ( x + 2 ) määramispiirkond. Lahendus.
Aachenisse. 1934. veebruaris koliti Amsterdami. Anne Franki päevik Pidas Amsterdamis. Sai 13. sünnipäevaks. Ajavahemik 19421944. Päevik ilmus raamatuna 1947.aastal. Tõlgitud 60 keelde. Hollandi okupeerimine 1940. 1942. aastal mindi peitu. 1944. aastal viidi koonduslaagrisse. Elust tagakojas Kella neljast või poole viiest muutub lugemiseks liiga pimedaks. Veedame siis aega igasuguste veidrustega. Lahendame mõistatusi, võimleme pimedas, räägime inglise või prantsuse keeles, arvustame raamatuid - kõik see tüütab pikapeale ära. Mälestused Anne Franki mälestussammas ja majamuuseum Amsterdamis. Viited Orkaani südames on vaikus. 17.05. 2010 Blogspot. http:// vaikus-on.blogspot.com/2010/05/anne-franki-paevik-tagak oda.html (05.12.2014) Anne Franki päevik. 28.10.2012 Raamatublogi. http:// raamatublogi.blogspot
Ott Alemaa IDEEDE hindamine Väärtuspakkumise põhiküsimused Väärtuspakkumise karakteristikud • Millist VÄÄRTUST me kliendile pakume? • Uudsus • Teostatavus, tõhusus, kättesaadavus, kasutatavus • Millist kliendi PROBLEEMI me lahendame? • Standardiseerimine • Vastavus probleemile • Millist kliendi VAJADUST me rahuldame? • Disain • Bränd, staatus • Milliseid TOOTEID/TEENUSEID (või nende komplekte) me pakume? • Hind, kulumudel • Risk
1. Takistuse mõõtmine multimeetriga 1.1 Resistoride takistuse mõõtmine Antud: R1=560 ±10% R2=200 ±10% Mõõdetud: R1=562 R2=190.1 Rjuhe = -0.002 R1=561.9±1.6 R2=189.95±0.29 Takistuse tegelik väärtus on tolerantsiga lubatud piirides. 1.2 Toa temperatuuri mõõtmine Kasutatava takistustermomeetri tüüp on TCP-107 9 RT = 110,6 r = -0,002 RT parandatud väärtus on RT-r = 110,602 R0 = 100 WT = RT/R0 = 110,602/100 = 1,106 T = 26 ºC 1.1029 + x 0.00004 = 1.106 Lahendame selle ja leidame, et x = 77,5 Temperatuuri saame leida järgnevalt: 26 °C + x 0.01 °C = (26 + 77,5 0.01) = 26,775 °C R RT = ±0,15 + 0,05 k - 1 = ±0,19 Takistuse mõõteviga R 1 0,19 Tr = ± = ±0,48°C Takistusest tulenev temperatuuri viga: 0, 004 100
Minu peres on ka palju traditsioone. Need väga meeldivad mulle. Näiteks, igal aastal Jänipäeval me sõedame suvila. Seal me teeme saslõkke, sõidame paadiga, lihtsalt puhkame ja nautime loodust, vestleme ja kohtume sõbradega. Aga õhtul tantsime ja hüppame üle lõkke. See on väga lõbus! Aga meil on ka väike hea traditsioon. Õhtul pärast keerulise tööpäeva koguneme laua ümber ( ) ja joome teed, suhtleme oma vahel, arutame uut infot, lahendame probleeme ja anname nõusid. See on tähtis, sest terve päeva jooksul me peaagu ei vaata teineteist. Mina väärtustan ja lugu pidan oma peretraditsioonidest. Nad on olulised minu jaoks. Peretraditsioonid annavad mulle tundma ühendava jõudu ja seetõttu tekkivad kindlus- ja turvalisetunnet. Lõppus tahan öelda, et peretraditsioonid on abieluõnne ja heaolu pant.
s = (n - 2) · 180° Näide 1 Leiame kümmenurga nurkade summa. Hulknurga nurkade summa arvutamise valem on s = (n-2) ·180° Kuna n = 10, siis saame, et s = (10 - 2) · 180° = 8·180° = 1440° Vastus: Kümmenurga nurkade summa on 1440°. Näide 2 Mitu tippu on hulknurgal, mille nurkade summa on 2340°. Siin s = 2340° ja n on tundmatu. Kasutades valemit s = (n 2) ·180°, saame võrrandi 2340 = (n 2) ·180 lahendame selle võrrandi 180n 360 = 2340 180n = 2340 + 360 180n = 2700 n = 15 Vastus. Viistesnurga nurkade summa on 2340° Tänan !
13y=52 :(13) 4.) Arvutan teise tundmatu väärtuse. Y=4 5.) Teen kontrolli. x=114*2 6.) Kirjutan vastuse. x=3 Vastus: x=3 y=4 Lahendame liitmisvõttega lineaarvõrrandisüsteemi 3x+2y=7 5x2y=1 1.Vaadates antud võrrandisüsteemi,näeme,et tundmatu y kordajateks 3x+2y=7 on vastandarvus 2 ja 2. Nende summa on null. Liidame võrrandite 5x2y=1 vasakud ja paremad pooled. 8x+0y=8
olnud kõne arengut toetav. Kasvuperekonnast eraldamise järel asus ta elama perekodus ning hakkas käima lasteaias. Mina töötan temaga esimest aastat. Verbaalse arengu eakohasest mahajäämusest tingituna jõukohastan õppematerjale individuaalselt kõikides õppeainetes ning eraldan olulise teabe ebaolulisest. Loetud teksti taasesitame kirjeldamise ja jutustamise teel, lisaks visualiseerin. Mitme etapilise tööjuhise jagan osadeks, mille lahendame osade kaupa. Räägime ja suhtleme omavahel palju. Kuulan rahulikult ja osavõtlikult, mida õpilane räägib. Kasutan jutukuubikuid eneseväljendamise ja jutustamisoskuse arendamiseks. Verbaalse töömälu mahu arendamiseks harjutame sõnaridade järele kordamist. Kasutan lausete koostamist juhuslikus järjekorras esitatud sõnadest. Kõne ja suhtlemise arendamisel ja sõnavara suurendamisel on oluline arvestada lapse vanust. Jagan professor T
Ülesanne 1 Linnas on bensiiniliitri hind 1.43 , maal on aga bensiin odavam, 1.33 liiter. Kuu aja jooksul oli autojuht ostnud 100 liitrit bensiini ja kokku kulutanud selle peale 140 . Mitu liitrit kallimat ja mitu liitrit odavamat bensiini oli ta kuu aja jooksul ostnud? Olgu linnast ostetud bensiini hulk x liitrit ning maalt ostetud bensiini hulk y liitrit. Siis kokku on ostetud x +y =100 liitrit ja kokku on kulutatud 1,43x + 1,33y = 140 . Lahendame võrrandisüsteemi. Saame, et x=70 ning y=30. Kontroll: 70*1,43+30*1,33=140. Vastus: Kuu aja jooksul osteti kallimat bensiini 70 liitrit ja odavamat 30 liitrit. Ülesanne 2 Hinnaga 7000 eurot müüdi toodet 40 tk, hinnaga 5700 eurot müüdi 65 tk. Kulud olid vastavate tootmismahtude juures 22 000 eurot ja 33 000 eurot. Eeldades, et nii kulufunktsioon kui nõudlusfunktsioon on lineaarsed, leida a) kulufunktsioon; b) nõudlusfunktsioon; c) kasumifunktsioon;
Võti 2012 Variant 3 I. LUGEMINE Loe läbi Ilmar Raagi essee „Milleks kaitsta eesti kultuuri?“ (Eesti Ekspress, 07.03.2010) ja lahenda selle põhjal ülesanded. (40 punkti) 1. Selgita mõiste „kultuur“ tähendust akadeemilisest ning autori vaatepunktist. (10 punkti) Akadeemiliselt mõistetakse kultuuri mingi kindla väärtuste koguna, mis määrab meie käitumist. Kultuur on viis, kuidas me lahendame oma probleeme ja suhestume maailmaga (read 4–6). Autori tõlgenduses on kultuuri tähtsaimaks tunnuseks seal toimivad inimsuhete reeglid. Nii selles osas, mis puudutab oma kogukonda, kui ka suhtumises võõrastesse (read 12–13). Teiseks võib tema arvates kultuuri vaadelda ka kui kommunikatsiooninähtust, mis loob inimestevahelisi seoseid (rida 29). Kolmandaks on kultuuris olulisel kohal eetiliste valikute küsimus (read 43–44). 2
võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist (teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse, mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30.
kõigi murdude ühine nimetaja B( x) Kui võrrandi liikmete seas esineb täisavaldisi (arve), siis võime need esitada murruna, mille nimetaja on 1 Murru 0-ga võrdumise tingimuse rakendamine A( x) A( x) 0 Lugeja võrdub 0 B( x) 0 B( x) nulliga! Nimetaja ei tohi võrduda nulliga! Võrdsustame lugeja 0-ga ning lahendame saadud võrrandi A( x) 0 . Saadud lahendite seast eraldame nimetaja nullkohad tingimuse B( x) 0 järgi (need on lähtevõrrandi suhtes võõrlahenditeks). Saadud lahendite kontroll ja vastus. · Kui võõrlahendid on eraldatud, siis ülejäänud tulemuste sobivust kontrollime algvõrrandi järgi. · Selleks asendame algvõrrandis tundmatu saadud arvuga ning kontrollime, kas pärast arvutusi jõuame tõese arvvõrduseni.
seetõttu ma ei saa esitada praegu õppimise või kasvatuse alane juhtum töölt. Vaid mul on väke vend. Ta on 4 aatat vaana, see tähandeb, et ma olen temas kuusteist aastat vanem. Kuna olin juba piisavalt teadcuslikus vanuses, siis tegelesin hästi tihedalt minu venna kasvatamisega ning tema eest holitsemisega. Minu vend ei ole raske laps ja mulle ei tule meelde suurt juhtumit, mis on seotud tema kasvatamisega. Aga, ma lihtsalt jutustan kuidas me lahendame temaga meie probleeme ja vaidlusi. Esiteks, ütlen et, minu arvates, keegil ei ole õigusi karitada last, kui ta ei hoolitse tema eest. Kõik peab olema tasakaalukas. Suhted mina ja minu väkevenna vahel on absoluutselt õigustatud. Ma ostan talle mänguasju, komme, viin teda lasteaia ja võtan lasteaiast, poputan teda jne. Muidugi, kui ta käitub havlasti või teeb midagi pahat, siis ma arvant, et absoluutselt ausalt ma võin teda
Minu põnev loomeprotsess Oma igapäevaelus satume pidevalt erinevatesse protsessidesse, mida üldiselt lahendame harjunud reeglite ning kogemuste põhjal. Kui meid tabab aga äkki olukorra muutus ning leidma peab uue viisi ülesande/probleemi lahendamisel, käivitub tõeline loomeprotsess. Minu põnev loomeprotsess räägib olukorrast, kus pidi ilma ettekirjutuste ja kaasaja hüvedeta saavutama parima tulemuse. Aastal 2011 sai Eesti Film 100 aastaseks ning selle auks otsustati teha Eesti rahva film, käima läks projekt Filmitalgud. Olles kõige noorem, vaid 16-aastane, sain endale ülesande
d) § e) § f) § ¦4 x 7 y 2 ¨x 2y 4 0 ¨5 x 6 y 1 3 ¨ x 3y 9 0 Näide: Lahendame võrrandisüsteemi § ¨ x 2y 1 . ¦7,3 x 2,8 y 59,42 ¦ 2,3 x 4,9 y 6,2 g) § h) § Süsteemi determinant on D 4 7
joonte lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama nii üht kui teist võrrandit. Seega lõikepunkti(de) koordinaadid saadakse, lahendades mõlemad antud võrrandid ühiselt (võrrandisüsteemina): F ( x, y ) = 0 G ( x, y ) = 0. Näide Leiame ringjoone ( x + 1) 2 + y 2 = 4 ja sirge y = 3x lõikepunktid. Lahendus Asendame ringoone võrrandisse muutuja y avaldisega 3x (sirge võrrandist) ja lahendame saadud ruutvõrrandi: 1 ( x + 1) + (3x) = 4 10 x + 2 x - 3 = 0 x = - (1 ± 31) 2 2 2 10 Sirge võrrandist (y = 3x ) leiame vastavate ordinaatide väärtused: 3 y = - (1 ± 31) 10 Seega lõikuvad antud sirge ja ringjoon kahes punktis:
Ma arvan, et ma olen nagu öeldakse „aktiivne kuulaja“ ja seda juba lapsest saati. Ma teen vahet oma tunnetel ja rääkija tunnetel. Mis on aga minus nii erilist on see, et ma ei samasta neid tundeid kunagi. Ma panen end küll teise olukorda, kuid oma tundeid seejuures välja ei näita. Ma peegeldan juba lapsest saati tundeid teisele inimesele tagasi, samal ajal öeldes, et teine tunneks end turvaliselt „ma mõistan sind“, „ma saan aru“, „Ole rahulik, ma aitan sind, lahendame koos olukorra“, „sa ju tead, ma alati aitan“ jne. Tavaliselt ma teist mure kurtjat lihtsalt kuulan, ning kui oskan midagi öelda, siis ütlen ja aitan nii kuis oskan. Ma süvenen tavaliselt muresse mida mulle räägitakse parasjagu, ja kui murekurtja soovib minu nõuannet, siis selle ta ka saab. Ma ise ei pane küll tähele, kuid mulle on öeldud, et ükskõik kellele teisele nad ka ei pöörduks, nad ei ole nii head nõuannet andnud kui mina. Kui ma aga kuulamisel ei
Koostame LabVIEWs programmi, millega saab kasutajaliideselt sisestada servomootori nurka (vastavalt 3 % kuni 11 %, vahemikust mitte väljuda). Peale sisestust pöörab mootori võll vastava nurga alla (ligi- kaudselt). Programm mõõdab potentsiomeetri pinget ning muudab vastavalt sellele mootori asendit. Kõrgeimale pingele vastab 11 % ja madalaimale pingele vastab 3 %. Mõõtes konkreetses väärtuses Dudy Cycle-le vastavat pinget, arvutame välja selle muutumise sirge ning lahendame võrrandit kasutades ülesande. Koostame programmi, mis pöörab servo ühest äärest (3 %) teise (11%), teeb pausi 1 s ning pöörab tagasi. Kokkuvõte Labor sai läbi viidud suuremate probleemideta. Saime teada servomootori talitlusest ning õppisime neid oma soovi kohaselt liigutama. 3
korrutame selle mõlemaid pooli positiivse arvuga 5 x > 0 : 5 3- x 5 < 20 5 + 5 5 x x x x 53 < 20 5 x + 52 x. Ülesanne 3 (II) 53 < 20 5 x + 52 x Tehes asenduse u = 5x , u > 0 saame ruutvõrratuse 125 < 20u + u 2 u + 20u -125 > 0. 2 Lahendame vastava ruutvõrrandi: u 2 + 20u -125 = 0, u = -10 ± 10 2 +125 = -10 ±15 u1 = -10 -15 = -25, u 2 = -10 +15 = 5. Ülesanne 3 (III) Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni v = u 2 - 20u +125 graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5,
8 9 III 1) Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, st vahemikud, kus vastavalt f x 0 ja f x 0 . Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 tuletise y = 3x2 6x. Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse 3x2 6x > 0. Selleks leiame tuletise nullkohad: 3x2 6x = 0 x1 0 , x 2 2 ; skitseerime parabooli, arvestades, et ruutliikme kordaja on 3 > 0, seega parabool avaneb üles. y >0 y >0 x 0 2 y <0
2) x 2 = , millest x3 = , x4 = − . 4 2 2 Biruutvõrrandi võib lahendada ka ilma abitundmatuta, kasutades vaid ruutvõrrandi lahendivalemit tundmatu ruudu leidmiseks. 1 1 Vastus. x1 = 3 , x2 = −3 , x3 = , x4 = − . 2 2 Näide 8. Lahutada ruutkolmliige 15 x 2 − 8 x + 1 teguriteks. Lahendus. Moodustame ruutvõrrandi 15 x 2 − 8 x + 1 = 0 ja lahendame selle. 8 ± 82 − 4 ⋅ 15 ⋅ 1 8 ± 2 1 1 x= = ; x1 = ; x2 = . 2 ⋅ 15 30 3 5 Nüüd saame ruutkolmliikme lahutada teguriteks: 1 1 1 1 15 x 2 − 8 x + 1 = 15 x − x − = 3 x − ⋅ 5 x − = (3x − 1)(5 x − 1). 3 5 3 5 Vastus
Mis juhtub, kui kultuur kaob ,,Hoolimata definitsioonide rohkusest mõistetakse akadeemiliselt kultuuri mingi kindla väärstuse koguna, mis määrab ära meie käitumist,’’nii kirjeldab Ilmar Raag oma arutlevas kirjandis ,,Milleks kaitsta eesti kultuuri?’’ kultuuri akadeemilist tähendust. Samuti väidab Raag oma essees, et kultuur on viis mille abil lahendame me oma probleeme ning suhestume maailmaga. Tänapäeval on palju räägitud meie kultuuri kadumisest. Mis mõjutab meie kultuuri ja mis võib juhtuda kui ühtne kultuur kaob? Eestlastel on olnud oma kultuur juba väga pikka aega. Ajapikku see paraku natuke muutub või ühestub välismaailmaga, kuid on ka asju mis võiksid või peaksid kindlasti alles jääma. Traditsioonid, mis on meid eluteel saatnud on saanud meie eluviisiks. Kui vanasti näiteks kadri- või mardipäeval jooksid lapsed
Muutes ülesande tingimuste kohaselt geomeetrilise jada liikmeid, saame arvud, mis moodustavad aritmeetilise jada: a – 2; aq; aq2 – 4. Kuna aritmeetilise jada iga liige, peale esimese, on oma kahe naaberliikme aritmeetiline keskmine, siis saame a 2 aq 2 4 aq ; 2 2aq aq 2 a 6; aq 2 2aq a 6. Koostame võrrandisüsteemi a aq aq 2 42 aq 2 2aq a 6. Lahendame selle. Toome mõlemast võrrandist a sulgude ette ning jagame esimese võrrandi teisega: a 1 q q 2 42 ; a 1 2q q 2 6 a 1 q q2 42 ; a 1 2q q 2 6 1 q q 2 7; 1 2q q 2
a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i. ( a + bi) (c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc)i. Kontrollime lahendeid, pidades silmas et i·i = i2 = -1. (-4i)2 + 16 = (-4)2 · i2 + 16= 16·(-1) +16 = 0 ja
Tekstülesannete lahendamine võrrandi abil: Selleks, et koostada tekstülesande järgi võrrandit, peame aru saama selle sisust. Peame leidma sisu järgi mõiste, mida peame märkima tundmatuga. Ülesanne: Kooli viljapuuaias on õunapuid 3 võrra rohkem, kui pirnipuid. Kokku on 35 puud. Mitu õuna- ja pirnipuud on ? pirnipuid on x õunapuid on x+3 puid kokku on x + (x+3) = 35 Lahendame võrrandi: x + (x+3) = 35 2x = 35 3 x = 16 Murrukujulise võrrandi lahendamine: Kui võrrandis esineb murde, siis vabaneme nendest. Korrutame võrrandi pooli murdude ühise nimetajaga. Võrratus: Matemaatilist avaldist, milles esinevad märgid < ja > nimetatakse võrratuseks. a>b ( loe: a on suurem kui b) Võrratusmärgid: < - väiksem - väiksem või võrdne > - suurem - suurem või võrdne
annaabi.ee 
