docstxt/14585580422453.txt
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKST...
.................. ............ Asendades valemisse (1) saame otsitava polünoomi: Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) Taylori valem : Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks f(x) = 13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul) Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a -ümbruses (a-,a+), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav Lagrange kujul. Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi: n f ( k ) (a) f ( x) = ( x - a) k + (Rn f )( x). k = 0 k!
f(x) = Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis. 13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul) Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga leidub punkti a selline δ -ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- δ; a +
funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0: Seega puutujatasandi normaalvektoriks sobib n = (Fx (P); Fy (P); Fz (P)) 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju. Kahe muutuja funktsioonia z=f(x,y) jaoks, kusjuures 13. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga punkti P U (A) (P A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f punktis A lokaalne maksimum. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga
𝑑𝑦 piirprotsessi ∆𝑥 → 0. ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 ; 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 ; 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 ; 𝑓 𝑑𝑓∙𝑔−𝑓∙𝑑𝑔 13).(Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul)) 𝑑 (𝑔 ) = 𝑔2 Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga
1. Funktsioon: Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). ...
mis on aktsepteeritud ka tänapäeva füüsikas. 17. sajandi alguses sõnastas Galileo Galilei inertsiseaduse. Aastal 1687 avaldas Isaac Newton raamatu "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", kus ta esitas kaks mastaapset teooriat: Newtoni seadused, millest sai alguse klassikaline mehhaanika, ja gravitatsiooniseaduse, mis kirjeldab gravitatsiooni, üht fundamentaalsetest jõududest. Klassikalist mehaanikat täiustasid Joseph-Louis de Lagrange, William Rowan Hamilton ja teised. Gravitatsiooniseadusest sai alguse astrofüüsika, mis kirjeldab astronoomianähtusi füüsikateooriate alusel.
Microsoft Excel 14.0 Sensitivity Report Worksheet: [Vihik1]Leht1 Report Created: 11.11.2013 19:02:31 Variable Cells Final Reduced Cell Name Value Gradient $C$33 Muutujad x1 11,111111111 0 $D$33 Muutujad x2 27,777777778 0 $E$33 Muutujad x3 16,666666667 0 $F$33 Muutujad x4 22,222222222 0 Constraints Final Lagrange Cell Name Value Multiplier $I$33 Õunad 305,55555556 0 $I$34 Maasikad 133,33333333 0 $I$35 Mustikad 83,333333333 0 $I$36 Vaarikad 300 1 Ülesanne Firma toodab nelja sorti purgimoose: A, B, C, D. Selle jaoks on tarvis nelja toorainet: õunad, maasikad, mustikad, vaarikad. Leida kui palju aluseid oleks kõige optimaalsem toota nii, et kasum oleks suurim. Mudel
Midagi taolist võib märgata ka tänapäeval. Oleks aga ennatlik püüda ennustada, missugune saab matemaatika olema järgmisel sajandil. Umbes 200 aastat tagasi aimas ainult Gauss, millise kuju matemaatika peatselt omandab. Nagu Newtongi oli ta aga liiga tagasihoidlik, et oma mõtteid Lagrange'ile, Laplace'ile ja Legendre'ile teatavaks teha. Enamik nende suurte prantsuse matemaatikute töödest oli ainult ettevalmistus, mille kasutasid ära hilisemad matemaatikud. Nii näitas Lagrange oma võrranditeteooriaga teed Abelile ja Galois'le ; Newtoni taevamehaanika diferentsiaalvõrrandite, kaasaarvatud gravitatsiooniteooria kohta käivate töödega valmistas Laplace ette matemaatilise füüsika suurejoonelist arengut XIX sajandil ; Legrende'i vaevanägemine integraalarvutuste alal ergutas omakorda N.H. Abelit ja C.G.J. Jacobit (1804-1851) eriti viljakale uurimistööle analüüsi osas. Jacobi ja hiljem Pointcare rikastasid isegi Lagrange'i analüütilist mehaanikat, mida
y 2 2 xk=xk-xk-1 ja yk=yk-yk-1; sk = x 1 + k 2 = 1 + yk Lagrange teoreemi järgi: [xk-1; xk]: xk k x k n sn = 1 + [ f ( k )] 2
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x...
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks ...
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk ...
Def1. Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x...
tänapäeva füüsikas. 17. sajandi alguses sõnastas Galileo Galilei inertsiseaduse. Aastal 1687 avaldas Isaac Newton raamatu "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", kus ta esitas kaks mastaapset teooriat: Newtoni seadused, millest sai alguse klassikaline mehhaanika, ja gravitatsiooniseaduse, mis kirjeldab gravitatsiooni, üht fundamentaalsetest jõududest. Klassikalist mehaanikat täiustasid JosephLouis de Lagrange, William Rowan Hamilton ja teised. Gravitatsiooniseadusest sai alguse astrofüüsika, mis kirjeldab astronoomianähtusi füüsikateooriate alusel. Esimene areng Galileo Galilei leiutas teleskoobi . Isaac Newton avastas astronoomide vaatlustulemusi üldistades universaalse gravitatsiooniseaduse ja võttis kasutusele jõu mõiste ning näitas, et maapealsete ning taevaste kehade liikumine alluvad samadele loodusseadustele .
Mikroökonoomika (MJRI.09.028) Seminarid Helje Kaldaru 2013 1. Majandusteooria metoodika ja optimaalne tarbimisplaan Ülesanne 1.1. Kauba A turu-uuringute tulemusena saadi järgmised andmed kauba hinna ja koguse kohta ceteris paribus (ostjate valmidus osta vastava hinna korral kaupa teatud koguses): Hind 100 50 10 1 Kogus 1 2 10 100 Millist üldist seaduspära märkate? Mida kõrgem on hind, seda väiksem ostetud kogus. Kui uuringu läbiviijad märgivad, et andmed on saadud ceteris paribus, siis millised asjaolud ei ole majanduses muutunud? Tarbijate hulk ja/või sissetulek, raha ostujõud, kauba kvaliteet, tarbijate maitse-eelistused, (veel midagi?). Oletagem, et sama seos kummagi kauba hinna ja nõutava koguse vahel valitseb kõigi mittenegatiivsete (mida see tähendab?) hinda...
Täisprogrammi küsimustik Selle küsimustiku järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B variantideks. Küsimustik on koostatud õppejõu konspekti põhjal. Kontrolltöödes ei küsita konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiir...
y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x ) dx dx Lagrange ' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral Diferentseeruvus Kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis öeldakse, et ta on diferentseeruv sellel kohal Pidevus kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis on ta pidev kohal x. Diferentseerimisreeglid: 1. ( u ± v ) = u ± v 2. (uv ) = u v +uv u v - uv ( ( ) 3
1.Diferentsiaalvõrrandi mõiste DV nim võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x, otsitavat funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi y', y'',...yn HDV üldkuju: F(x,y,y')=0 ; x-sõltumatu muutuja, y=y(x) otsitav f ja y'=dy/dx otsitava f-i tuletis. Esimest järku HDV normaalkuju: y'=f(x.y) (edasi sama mis üldkujul). Esimest järku HDV sümmeetriline kuju: M(x,y)dx + N(x,y)dy=0. Cauchy ülesanne: {y'=f(x,y) {y(Xo)=Yo * esimest järku HDV jaoks f(x,y) on pidev piirkonnas D=> eksisteerib (Xo; Yo). Kui y=y(x) on teada, siis y'(x) = f(x, y(x)) iga xD korral ; y'(Xo)=f(Xo,y(Xo)) ; y'(Xo)=f(Xo,Yo) ; tan=y'(Xo)=f(Xo;Yo) 2.I järku DV lahend: DV lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse same samasuse sõltumatute muutujate suhtes. *Esimest järku DV üldlahendiks nim f-i: y(Xo)=Yo. Lahendi olemasolu ja ühesus: Cauchy teoreem: Olgu f(x;y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis f(x,y)/y. Siis läbi iga punkti (Xo;Yo)D ...
1766 Henry Cavendish teatab vesiniku avastamisest. 1768 James Cook vaatleb Veenuse ja päikese kattumist Tahitil. 1769 James Watt täiustab aurumasinat. 1771 Luigi Galvani märkab, et prepareeritud konnalihased tõmbuvad elektri mõjul kokku. 1771 Charles Messier avaldab esimese udukogude nimekirja. 1771 Joseph Priestly avastab, et taimed muudavad süsihappegaasi hapnikuks. 1780 Joseph Louis Lagrange ja Pierre-Simon Laplace näitavad, et ühendi moodustumisel vabanev energia on võrdne ühendi lõhkumiseks vajaliku energiaga. 1781 William Herschel avastab planeet Uraani. 1782 John Goodricke märkab, et Algoli heleduse muutused on perioodilised ja pakub välja teooria, et tähe ümber liigub keha, mis teda varjutab. 1783 James Watt defineerib hobujõu. 1783 Vennad Montgolfierid lasevad üles esimese õhupalli, 10
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
' on uue funktsiooni statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: w y = 0 . g ( x; y ) = 0 Viimane on tegelikult w'=0. -Lagrange kordaja , seega on see Lagrange kordajate meetod. 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x )
Antud uurimus pidi pakkuma võimaluse konstrueerida joon, mis oleks sama pikk suvalise ringjoonega. Tema meetod kasutas lõpmata väikeseid arve, kuid kuna ta polnud õppinud algebrat, jäi töö avaldamata. Peale artikli kirjutamist sai Ampére aru, et peab matemaatika ning eelkõige diferentsiaalalrvutused endale paremini selgeks tegema. Olles selgeks saanud diferentsiaal- ning integraalarvutused, hakkas Ampére uurima Euleri ning Bernoulli töid. 1788. Aastal hakkas ta tõsiselt uurima Lagrange ,,Mecanique analytiquet", mille lugemine andis talle uue tulisuse. Ta kordas kõiki selles olnud arvutusi. Prantsuse revolutsioon algas tormijooksuga Bastillele 14. juulil 1789. Kuigi revolutsiooni algus Poleymieuxi regiooni eriti ei puudutanud, asus ta isa 1791. aastal rahuvalvaja ametikohale Lyonis, mis tõi endaga 1792. aastal kaasa Ampére õe surma. Lyoni linn keeldus Pariisist tulnud korraldustest ning see viis linna kaks kuud kestnud piiramiseni
aastal, kui ta esitles kinetostaatika meetodit. Seda ideed arendas edasi, üldistas ja andis lõpliku kuju 1743. aastal J. d'Alembert (1717-1783). Virtuaalsiirete printsiibi formuleeris üldkujul esimesena Johann Bernoulli 1717. aastal. Printsiibi näitlik tõestus, mis polnud küll range, pärineb Lagrange'ilt. Rangelt tõestas selle printsiibi Ampère 1806. aastal. Analüütilise suuna suurimaks esindajaks oli kaheldamatult väljapaistev prantsuse matemaatik ja mehaanik Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ta sidus d'Alembert'i printsiibi staatikast tuntud virtuaalsiirete printsiibiga ja oli sellega dünaamika üldvõrrandi loojaks, mida tänapäeval nimetatakse ka d'Alembert'- Lagrange'i printsiibiks. Lagrange'i teeneks on ka üldistatud koordinaatide ja üldis- tatud jõudude kasutuselevõtt mehaanikas, samuti kuuluvad talle mitmed tähtsad uurimused väikeste võnkumiste teoorias. Lagrange'i tööde tulemusena muutus mehaanika sama rangeks teaduseks kui seda on matemaatika
statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: . Siin viimane ' võrrand on tegelikult w = 0 . 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega
Antsla Gümnaasium 8B klass CARL FRIEDRICH GAUSS Referaat Juhendaja: õpetaja 2008 Sisukord Sissejuhatus 3 Carl fr. Gauss 4 Kokkuvõte 7 Kasutatud allikad 8 Lisad 9 Sissejuhatus Valisime Carl Friedrich Gaussi sellepärast et ta tundus meile kõige sobivam matemaatik.Raamatust vaadates tundus just tema jutt ja nimi huvitavam kui teised. Gauss olevat ilmutanud oma matemaatilisi võimeid juba siis kui ta oli kolme aastane. Ta oli väga tark laps.Ta arvutas alati isaga koos arveid ja oli omapärane poiss. Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. Carl fr. Gauss Matemaatikute vürsti gaussi sugupuu oli kõike muud kui vürstilik. Ta sündis armetus hütis vaeste vanemate lapsena 30. aprill 1777 Braunschweigis. Isapoolne vanaisa Jürgen Gooss (1712-1774), vaene talunik oli kolinud Braunschweigi...
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b. Valemiga - e. Sõnadega- c. Tabelina- f. Funktsiooni f nimetatakse üheseks¸ kui argumendi igale väärtusele vastab üksainus funktsiooni väärtus. g...
1.4 Kavandamisel on mitmeid uusi kosmose- ning raadioteleskoope, mis hakkavad töötama käsikäes maapealsete hiidteleskoopidega. Tulevikus saadab Euroopa Kosmoseagentuur orbiidile 3,5meetrise peegliga infrapunateleskoobi Herschel. Sellest saab suurim kosmoseteleskoop mis eales ilmaruumis töötanud. Praeguse suurima teleskoobi peapeegel on 2,4 meetrine. Teleskoop loodetakse orbiidile saata 2013.aastal. See on esimene mosaiikpeegliga kosmoseteleskoop. Paiknema hakkab see Lagrange teises punktis L2, kus teleskoop on alati kaitstud otesese päikesevalguse eest. Nimetatud punktis jääb Maa täpselt päikese ja teleskoobi vahele, mis on oluline seetõttu et hoida aparatuur hästi madalal temperatuuril. Kokkuvõte: Millised teleskoobid saavad olema astronoomide käsutuses 25-50 aasta pärast on praegu väga raske ennustada. Kui uued projektid end õigustavad, ühitakse ehitada tõenäoliselt veelgi suuremaid teleskoope
diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f'(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f''(x)= (-1)(1+x)-2| x=0 =(-1)*1=-1 ; f'''(x)=(-1)(-2)(1+x)-3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f''''(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x)-4| x=0 =(-1)*(-2)*(-3)*1=-6 ; fx(x)=(-1)k-1 (k-1)! k JNE.
See kujumuutus on põhjustatud konstruktsiooni varraste lõpmata väikeste elementide deformatsioonidest. Ehitise deformeerumisel siirduvad kõik või peaaegu kõik tema punktid uude kohta. Konstruktsiooni- elemendi mingi punkti või sirge asendi muutust oma algasendi suhtes nim siirdeks. Kõige üldisem meetod konstruktsioonide tasakaalu uurimisel põhineb võimalike siirete printsiibil, mille esimesena formuleeris J. Bernoulli ja hiljem üldkujul esitas J. L. Lagrange. Lineaarselt deformeeruva konstruktsiooni jaoks sõnastatakse võimalike siirete printsiip järgmiselt: kui konstruktsioon on temale rakendatud koormuse mõjul tasakaalus, siis konstruktsiooni elementide suvalistel lõpmata väikestel võimalikel siiretel võrdub välis- ja sisejõudude tööde summa nulliga: T +U = 0 ,milles T on välisjõudude ja U sisejõudude töö võimalikel siiretel. Võimalike siiretena kujutletakse niisuguseid siirdeid, mis on
Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x, st f(x) ∈ D(x) ⇒ f(x) ∈ C(x). Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f’(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f’’(x)= (-1)(1+x) -2| x=0 =(- 1)*1=-1 ; f’’’(x)=(-1)(-2)(1+x) -3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f’’’’(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x) -4| x=0 =(- 14
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a =...
Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Punktis P0, kus funktsioonil f on globaalne ekstreemum, nim. funktsiooni f globaalseks ekstreemumpunktiks. Funktsiooni f globaalne maksimum ja miinimum on vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus piirkonnas D. 17. Kahe muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Definitsioon, võrduse (16.4) tuletamine ja selle sisu selgitus, Lagrange abifunktsioon, süsteemi samaväärtus võrdusega (16.4). Funktsioonil f on punktis P0 tinglik lokaalne maksimum (miinimum), kui punktil P0 on olemas ümbrus nii et ümbruse U selles osas, kus on täidetud lisatingimused (x,y,z,...), (x,y,z,...), kehtib võrratus f(P)f(P 0) [f(P)f(P0)]. Tingliku lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on tinglik lokaalne ekstreemum. Punkti P0, kus funktsioonil esineb tinglik lokaalne ekstreemum, nim
134. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, nende mõjusirged kattuvad. 135. Jõudude mõju sõltumatuse seadus 136. IV aksioom 137. Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi. 138. See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja kannab seetõttu Lagrange'i nime. 139. 140. 141. Konservatiivsed jõud 142. Konservatiivne jõud-töö on null. Dissipatiivne jõud-töö on nullist erinev. Vaatame keha liikumist kinnisel trajektooril jõuväljas. 143. Dissipatiivsed jõud 144. Siin on ainsaks esindajaks takistusjõud selle igasuguses esinemisvormis. Takistusjõud on alati suunatud
MATA TEOORIA Teooriaküsimused nr. 1 1) Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk. Funktsiooni loomulik määramispiirkond argumendi väärtuse hulk, mille korral funktsiooni määrav ees...
TEOORIAKÜSIMUSED nr 1 1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja? Mis on sõltuv muutuja? Funktsioon on eeskiri, mis määrab seose, kus igale elemendile hulgast X on vastavusse seatud üks elemented hulgast Y. Sõltumatu muutuja on x ehk argument. Sõltuv muutuja on y. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={ y e Y: leidub x e X, nii et f(x)=y} nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y. Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Põhilised esitusviisid: valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on määramispiirkonna X elemen...
Majandusmatemaatika teooria 1.Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X ...
nimetajale tuua
20.F-ni monotoonsus om ja ekstreemumid
F-n y=f(x) on piirkonnas D monotoonne parajasti siis, kui selles piirkonnas f-ni
muut säilitab märki y= f; f>0=f-ni väärtuste vahe f=f(x2)-f(x1), x1
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus teisendus on kujul 𝑧=𝑧 .Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, ...
|a-b|. kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni ∆y 1
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemend...
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame p...
5.1 Stabiilsus ja süsteemide käitumine- Süsteemi omadus säilitada väikeste häiringute korral piisav lähedus endisele (häiringueelsele) dünaamilisele reziimile. Eristatakse tasakaaluoleku, liikumistrajektoori, liikumisorbiidi, isevõnkumisprotsessi ja struktuuri stabiilsusi, harva muidki. Üldisemaks loetakse Ljapunovi stabiilsuskontseptsiooni, mis tugineb liikumisprotsessi stabiilsusele. Laiemalt on tuntud ka minimaalse siseenergia printsiibile tuginev Lagrange stabiilsuskontseptsioon, samuti "tõkestatud sisendi - tõkestatud väljundi" kontseptsioon, mille kohaselt süsteem on stabiilne, kui mistahes tõkestatud sisend tekitab tõkestatud väljundi. Teatud kitsendustel on enamik stabiilsuskontseptsioone ekvivalentsed (vähemalt omavad ühisosa). Stabiilsus määrab tavaliselt teatava süsteemi praktilise kasutusvõimalikkuse. Süsteemide dünaamika (siirdeprotsesside) üldised vormid ja iseärasused, süsteemi reaktsioon välistoimetele (nii
G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 7 / 13 Taylori valem Taylori valem ~ Me oleme toestanud esitused f (x) = f (a) + o(1) pideva funktsiooni korral ja f (x) = f (a) + f (a)(x - a) + o(|x - a|) diferentseeruva funktsiooni korral. Kui funktsioon on diferentseeruv x [a, b), siis saame kasutada Lagrange keskva¨ artusteoreemi ¨ ja ~ esimest vordust ¨ tapsustada f (x) = f (a) + f (c)(x - a) c (a, x) ~ Seega tekib idee korgemat ¨ jarku tuletiste kasutamiseks. Otsime polunoomi ¨ T2 (x) (T2 f )(x) := c0 + c1 (x - a) + c2 (x - a)2 mis rahuldab tingimusi (T2 f )(a) = c0 = f (a), (T2 f ) (a) = c1 = f (a) ja
III aksioom. Mõju ja vastumõju seadus. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, nende mõjusirged kattuvad. F1 = F2 ning F1=- F2 Seejuures tuleb silmas pidada seda, et need jõud on rakendatud erinevatele kehadele 4. Sõnastada dünaamika IV aksioom. Kelle nime see aksioom kannab? IV aksioom. Jõudude mõju sõltumatuse seadus. See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja kannab seetõttu Lagrange'i nime. Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi. punktile mõjuvad jõud moodustavad alati koonduva jõusüsteemi ja koonduval jõusüsteemil on resultant 5. Mida nimetatakse punkti dünaamika esimeseks ja teiseks põhiülesandeks? 1. põhiülesanne: antud on punkti liikumine, leida tuleb punktile mõjuva jõu. 2
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
Trahvifunktsioonide kasutamine halvendab iteratiivsete optimeerimismeetodite koonduvust, kui optimeerimise algoritmid on küllaltki lihtsad. Üldjuhul võivad optimeerimisülesanded sisaldada nii võrrandikujulisi kui ka võrratusekujulisi lisatingimusi. Lagrange'i meetodiga lahendamine: Võrrandite kujul antud piirangutega (tingimuslik) optimeerimisülesanne taandatakse piiranguteta (tingimusteta) optimeerimisülesandeks ja seejärel lahendatakse. 1. Koostada Lagrange funktsioon, leida sadulpunkt, 2. Koostada optimaalsustingimused, 3. Leida optimaalne lahend otsesel või kaudsel meetodil 27. Gradiente mittekasutavad optimeerimismeetodid ja algoritmid: otsingumeetod ja juhusliku otsingu meetod. Otsesed optimeerimismeetodid: Tüüpilises otsingumeetodis toimub minimeerimise suuna määramine sihifunktsiooni väärtuste samm-sammulise arvutamise teel. Piirangute puudumisel reeglina
1. KVANTITATIIVSED JA KVALITATIIVSED ANALÜÜSI MEETODID 1.1. Analüütiliste mudelite liigitamine, eripära ja kasutusvõimalused ärikorralduses 1. Sihipärase kasutuse järgi: teoreetilis-analüütilised mudelid (teooria mudelid, kirjeldused, pigem doktoritöö), rakenduslikud mudelid (kvantitatiivset laadi, ei välista eelnevat teoreetilist käsitlust) 2. Tasandi ja problemaatika järgi: makromudelid (regioon); mikromudelid (ettevõte või selle allosa); problemaatikamudelid (rahandus, logistika v muu valdkond) 3. Matemaatiliste seoste järgi: funktsionaalsed (determineeritud) mudelid; stohhastilised (juhuslikkust arvestavad); lineaarsed mudelid; mittelineaarsed; aditiivsed ja multiplikatiivsed 4. Aja arvestamise järgi: staatilised mudelid (konkreetse hetke sisu); dünaamilised mudelid. Staatilisest võib tekitada dünaamilise kui lisada aegrida 5. Kasutatavate mõõtühikute järgi: naturaalsed mudelid (töökoha tasand); väärt...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
