docstxt/14585580422453.txt
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. 22. Sõnastada Rolle'i teoreem (tõestust ei kusi). Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada Lagrange'i teoreem (tõestust ei kusi). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel
Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b). Lagrange'i keskväärtusteoreem Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g (x) 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem:
= leidub vahemikus (a; b) punkt c, et Definitsioon: Kui funktsioonil f(n-1)eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f n- järku tuletiseks kohal a. 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c ϵ (a; b), et f (b) - f (a) = f ′(c)(b - a). Leibnizi valem: Funktsioonide korrutise f(g)g(x) n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga:
Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju............................................................................................................ 13 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada.......................................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2
∆𝑦 ∆𝑢 ∆𝑦 ∆𝑢 lim ∗ = lim ∆𝑢 ∗ lim = [𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑠𝑒𝑒𝑟𝑢𝑣𝑢𝑠𝑒𝑠𝑡 𝑗ä𝑟𝑒𝑙𝑑𝑢𝑏 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑣𝑢𝑠] = 9).(Lagrange'i keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja ∆𝑥→0 ∆𝑢 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑢 diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Tõestus:
väärtuse. Olgu f(x1)=m vähim väärtus ja f(x2)=M suurim väärtus. Kui m=M=0, siis f(x)0 ja y'(x)0. Olgu näiteks M0. Punktis x2 ei saa aga f. olla 0-st erinev. Kui tuletis oleks 0, siis f. oleks kas kasvav või kahanev ja mistahes x2 ümbruses väärtusi, mis oleksid M nii väikesed kui suured. S.o. vasturääkivuses eeldusega, et M on suurim. Järeldus. Kui teoreemi tingimus asendada tingimusega f(a)= f(b), siis teoreem kehtib. 28. Cauchy ja Lagrange'i teoreemid: Lagrange'i Teoreem. (Lagrange'i) Olgu y=f(x) 1) Pidev lõigul (a,b) 2)diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub vähemalt 1 selline punkt c(a,b), et kehtib valem. f(a)-f(b)= (a-b)f'(c) Lagrange'i valem, lõpliku muudu valem. Tõestus. vaatleme f.-ni (x)=(a-b)(f(x)-f(b))- (x-b)(f(a)-f(b)) See f. on pidev lõigul (a,b), dif.-uv vahemikus (a,b), (a)=(b)=0. Järelikult Rolle`i teor.-i kohaselt leidub punkt c(a,b), nii et (c)=0 '(x)=(a- b)f'(x)-(f(a)-f(b)). `(c)=(a-b)f'(c)-(f(a)-f(b))=0. Siit saamegi Lagrange`i valemi. Mott
mis on aktsepteeritud ka tänapäeva füüsikas. 17. sajandi alguses sõnastas Galileo Galilei inertsiseaduse. Aastal 1687 avaldas Isaac Newton raamatu "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", kus ta esitas kaks mastaapset teooriat: Newtoni seadused, millest sai alguse klassikaline mehhaanika, ja gravitatsiooniseaduse, mis kirjeldab gravitatsiooni, üht fundamentaalsetest jõududest. Klassikalist mehaanikat täiustasid Joseph-Louis de Lagrange, William Rowan Hamilton ja teised. Gravitatsiooniseadusest sai alguse astrofüüsika, mis kirjeldab astronoomianähtusi füüsikateooriate alusel.
Microsoft Excel 14.0 Sensitivity Report Worksheet: [Vihik1]Leht1 Report Created: 11.11.2013 19:02:31 Variable Cells Final Reduced Cell Name Value Gradient $C$33 Muutujad x1 11,111111111 0 $D$33 Muutujad x2 27,777777778 0 $E$33 Muutujad x3 16,666666667 0 $F$33 Muutujad x4 22,222222222 0 Constraints Final Lagrange Cell Name Value Multiplier $I$33 Õunad 305,55555556 0 $I$34 Maasikad 133,33333333 0 $I$35 Mustikad 83,333333333 0 $I$36 Vaarikad 300 1 Ülesanne Firma toodab nelja sorti purgimoose: A, B, C, D. Selle jaoks on tarvis nelja toorainet: õunad, maasikad, mustikad, vaarikad. Leida kui palju aluseid oleks kõige optimaalsem toota nii, et kasum oleks suurim. Mudel
Newtoni - järgse heroilise perioodiga XVIII sajandil. Pärast laiaulatuslikku avardumist ja avastamisvabadust saabus tõestuselt suurema ranguse nõudmise aeg. Midagi taolist võib märgata ka tänapäeval. Oleks aga ennatlik püüda ennustada, missugune saab matemaatika olema järgmisel sajandil. Umbes 200 aastat tagasi aimas ainult Gauss, millise kuju matemaatika peatselt omandab. Nagu Newtongi oli ta aga liiga tagasihoidlik, et oma mõtteid Lagrange'ile, Laplace'ile ja Legendre'ile teatavaks teha. Enamik nende suurte prantsuse matemaatikute töödest oli ainult ettevalmistus, mille kasutasid ära hilisemad matemaatikud. Nii näitas Lagrange oma võrranditeteooriaga teed Abelile ja Galois'le ; Newtoni taevamehaanika diferentsiaalvõrrandite, kaasaarvatud gravitatsiooniteooria kohta käivate töödega valmistas Laplace ette matemaatilise füüsika suurejoonelist arengut XIX sajandil ; Legrende'i vaevanägemine integraalarvutuste alal
y 2 2 xk=xk-xk-1 ja yk=yk-yk-1; sk = x 1 + k 2 = 1 + yk Lagrange teoreemi järgi: [xk-1; xk]: xk k x k n sn = 1 + [ f ( k )] 2
1) f (A); 2) lim f(P); PA 3)lim f(P) = f(A). PA Diferentseeruvus kohal eksisteerib f'x f(x+x) = f(x) + f'(x) x + o(x) Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 0 Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f pidev [x,x + x] ja diferentseeruv (x,x + x), siis leidub c (0,1) nii, et f(x+x) punktis. = f(x) + f'(x+ x) x. Kui igale (x;y) kuulub hulka D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis muutujat z nimetatakse kahe muutuja x ja y Mitme muutuja funktsioon: funktsiooniks ja tähistatakse z=f(x,y)
2x y = y - y - x = 0. Diferentseerime seda x järgi: 6 y y - y - 2 x = 0, millest 6 2 5 6 y - 1 4. Rolle´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Lagrange´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Cauchy teoreem. Rolle´i teoreem: Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev, selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv ja lõigu otspunktides x = a ja x = b võrdne nulliga [ f ( a ) = f ( b ) = 0] , siis leidub sellel lõigul vähemalt üks seesmine punkt x = c, a < c < b , milles tuletis f ( x ) on null, s.o. f ( c ) = 0 . Lagrange´i teoreem. Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja selle lõigu igas seesmises
1. Rolle´i teoreem. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a,b) leidub selline punkt c, et f´(c)=0 st. f(x) C[a,b] D(a,b) ja f(a)=f(b) -> c (a,b) : f´(c)=0 2. Cauchy keskväärtusteoreem. Kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b), kusjuures ´2(x) +´(x) ei võrdu 0, x (a,b) ning (b)(a), siis leidub selline punkt c, et ((b)-(a)) / ((b)-(a))=´(c) / ´(c). 3. Lagrange´i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub selline punkt c (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) st. f(x) C[a,b] D(a,b) -> c (a,b) : f(b)-f(a) = f´(c)(b-a).
T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g' (x)0, siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) - f(a)]/(b a)=f'( ). T8. L'Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ja kui eksisteerib piirväärtus lim f'(x)/g'(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf '(x)/g'(x). Def4
tänapäeva füüsikas. 17. sajandi alguses sõnastas Galileo Galilei inertsiseaduse. Aastal 1687 avaldas Isaac Newton raamatu "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", kus ta esitas kaks mastaapset teooriat: Newtoni seadused, millest sai alguse klassikaline mehhaanika, ja gravitatsiooniseaduse, mis kirjeldab gravitatsiooni, üht fundamentaalsetest jõududest. Klassikalist mehaanikat täiustasid JosephLouis de Lagrange, William Rowan Hamilton ja teised. Gravitatsiooniseadusest sai alguse astrofüüsika, mis kirjeldab astronoomianähtusi füüsikateooriate alusel. Esimene areng Galileo Galilei leiutas teleskoobi . Isaac Newton avastas astronoomide vaatlustulemusi üldistades universaalse gravitatsiooniseaduse ja võttis kasutusele jõu mõiste ning näitas, et maapealsete ning taevaste kehade liikumine alluvad samadele loodusseadustele .
teada, samuti majapidamise tarbimiseelarve c. MU 1 Leidke hüviste asendamise piirmäär MRS . MU 2 u MU 1 x 1 Aax1a 1 x2b ax2 MRS , see sõltub astendajatest ja kogustest (NB! Indeksite MU 2 u Abx1a x2b 1 bx1 x 2 paigutus). Püstitage majapidamise optimeerimisülesanne ja lahendage see Lagrange´i meetodil. Optimeerimisülesanne max u ( x1 , x2 ) Ax1 x2 , a b p1 x1 p2 x2 c . x ,x 1 2 Ühtesid ja samu eelistusi on võimalik esitada erikujuliste kasulikkusfunktsioonidega, seega võime üle minna kasulikkusfunktsioonile v( x1 , x2 ) ln u ( x1 , x2 ) ln A a ln x1 b ln x2 . See funktsioon on
jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. 22. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange'i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. 23. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal
y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x ) dx dx Lagrange ' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral Diferentseeruvus Kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis öeldakse, et ta on diferentseeruv sellel kohal Pidevus kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis on ta pidev kohal x. Diferentseerimisreeglid: 1. ( u ± v ) = u ± v 2. (uv ) = u v +uv u v - uv ( ( ) 3
on täidetud=> on võrrandil alati üks lahend. m.o.t.t. Lahenduskäik: 1)Lahendaatakse vastav lin. Hom. DV: y ´+p(x)y=0, kus y´=dy/dx. *dy+p(x)ydx=0 * y((1/y)dy + p(x)dx)=0* a)y=0 <- sobib lahendiks b) (1/y)dy + p(x)dx)=0 -> (1/y)dy + p(x)dx)=0 * ln|y|=C-p(x)dx* e ln|y|=eC-p(x)dx * y=eCe-p(x)dx=C1e-p(x)dx, kus C1=eC0 yh=Ce-p(x)dx 2)Leitakse ühe lin mitte hom. DV konkreetne lahend y*=C(x) e-p(x)dx, kus C(x) on tundmatu suurus, sõltub x-st. Lagrange´i meetod:y* on konkreetne lahend y'+p(x)y=q(x) võrrandile. * y*'+p(x)y*=q(x). * C´(x) e- p(x)dx +C(x) e-p(x)dx(-p(x))+p(x)C(x) e-p(x)dx=q(x). *C´(x) e-p(x)dx=q(x) C(x)=q(x) ep(x)dxdx + C1, valime C1=0 *C(x) )=q(x) ep(x)dxdx y*=)=q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx * 3)Kirjutatakse üldlahend: y=yh+y*=C e-p(x)dx+q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx. 8. Eksaktne DV. Definitsioon: DV-d M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga
1766 Henry Cavendish teatab vesiniku avastamisest. 1768 James Cook vaatleb Veenuse ja päikese kattumist Tahitil. 1769 James Watt täiustab aurumasinat. 1771 Luigi Galvani märkab, et prepareeritud konnalihased tõmbuvad elektri mõjul kokku. 1771 Charles Messier avaldab esimese udukogude nimekirja. 1771 Joseph Priestly avastab, et taimed muudavad süsihappegaasi hapnikuks. 1780 Joseph Louis Lagrange ja Pierre-Simon Laplace näitavad, et ühendi moodustumisel vabanev energia on võrdne ühendi lõhkumiseks vajaliku energiaga. 1781 William Herschel avastab planeet Uraani. 1782 John Goodricke märkab, et Algoli heleduse muutused on perioodilised ja pakub välja teooria, et tähe ümber liigub keha, mis teda varjutab. 1783 James Watt defineerib hobujõu. 1783 Vennad Montgolfierid lasevad üles esimese õhupalli, 10
Moodustame abifunktsiooni F(x)=(Ψ(b)−Ψ(a))φ(х)‒(φ(b)−φ(a))Ψ(x). Et F(x)∈C[a;b]∩D(a;b) ja F(a)=(Ψ(b)–ψ(a))φ(a)–(φ(b)╶φ(a))Ψ(a)=ψ(b)φ(a)–φ(b)ψ(a) ning F(b)=(Ψ(b)–ψ(a))φ(b)−(φ(b)–φ(a))Ψ(b)=Ψ(b)φ(a)-φ(b)Ψ(a), siis funktsioon F(x) rahuldab Rolle´i teoreemi ingimusi ja seega leidub selline c∈(a;b), et F´(c)=0. Nendime, et arv c on esitatav kujul c=a+θ(ba), kus 0<θ<1. 19.Lagrange keskväärtusteoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b), siis leidub selline punkt c, et Valiku ψ(x)=f(x) ja φ(x)=x korral on täidetud Cauchy teoreemi tingimused ja järelikult kehtib seos f(b)−f(a) Tõestus. f(b)f(a)=f´(c)(ba)
' on uue funktsiooni statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: w y = 0 . g ( x; y ) = 0 Viimane on tegelikult w'=0. -Lagrange kordaja , seega on see Lagrange kordajate meetod. 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x )
Antud uurimus pidi pakkuma võimaluse konstrueerida joon, mis oleks sama pikk suvalise ringjoonega. Tema meetod kasutas lõpmata väikeseid arve, kuid kuna ta polnud õppinud algebrat, jäi töö avaldamata. Peale artikli kirjutamist sai Ampére aru, et peab matemaatika ning eelkõige diferentsiaalalrvutused endale paremini selgeks tegema. Olles selgeks saanud diferentsiaal- ning integraalarvutused, hakkas Ampére uurima Euleri ning Bernoulli töid. 1788. Aastal hakkas ta tõsiselt uurima Lagrange ,,Mecanique analytiquet", mille lugemine andis talle uue tulisuse. Ta kordas kõiki selles olnud arvutusi. Prantsuse revolutsioon algas tormijooksuga Bastillele 14. juulil 1789. Kuigi revolutsiooni algus Poleymieuxi regiooni eriti ei puudutanud, asus ta isa 1791. aastal rahuvalvaja ametikohale Lyonis, mis tõi endaga 1792. aastal kaasa Ampére õe surma. Lyoni linn keeldus Pariisist tulnud korraldustest ning see viis linna kaks kuud kestnud piiramiseni
aastal peaaegu üheaegselt L. Euler ja D. Bernoulli. Tänapäeval hästi tuntud d'Alembert'i printsiibi alused rajas hoopis Peterburgi Teaduste Akadeemia akadeemik J. German (1687-1733) 1716. aastal, kui ta esitles kinetostaatika meetodit. Seda ideed arendas edasi, üldistas ja andis lõpliku kuju 1743. aastal J. d'Alembert (1717-1783). Virtuaalsiirete printsiibi formuleeris üldkujul esimesena Johann Bernoulli 1717. aastal. Printsiibi näitlik tõestus, mis polnud küll range, pärineb Lagrange'ilt. Rangelt tõestas selle printsiibi Ampère 1806. aastal. Analüütilise suuna suurimaks esindajaks oli kaheldamatult väljapaistev prantsuse matemaatik ja mehaanik Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ta sidus d'Alembert'i printsiibi staatikast tuntud virtuaalsiirete printsiibiga ja oli sellega dünaamika üldvõrrandi loojaks, mida tänapäeval nimetatakse ka d'Alembert'- Lagrange'i printsiibiks. Lagrange'i teeneks on ka üldistatud koordinaatide ja üldis-
statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: . Siin viimane ' võrrand on tegelikult w = 0 . 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega
hinges. Tema teine poeg, Gebhard Dietrich (1744-1808), oli Gaussi isa. Korraldas 1791.a. Gaussi esitlemise Braunschweigi hertsogile.karl Wilhelm Ferdinandile.Hertsog võttis Gaussi heatahtlikult vastu. Arglik, tagasihoidlikja pisut kohmakas poiss meeldis talle. Gaussile lubati kindlustada tema edasine haridustee. Aasta hiljem immatrikuleeris noormees Braunschweigi Collegium carolinum`isse, kus õppis kolm aasta. Õpingute kõrval töötas ta läbi Euleri ja Lagrange`i tahtsamad tööd ja eelkõige Newtoni „Printsiibid“. Kogu elu vältel hindas ta Newtonit väga kõrgelt. Kui Gauss 1795.a. Collegium Carolinium`ist lahkus, et astuda Göttingeni ülikooli, polnud ta ikka veel päris kindlalt otsustanud, kas pühendada oma elu matemaatikale või filosoofiale. Otsus matemaatika kasuks langes 29.märtsi hommikul 1796.a.,sest sel päeval tegi ta olulise avalduse. Tegemist oli ülitähtsa seose leidmisega
2. Liitfunktsiooni f[g(x)] on pidev kohal a, kui g(x) on pidev kohal a ja f(u) on pidev kohal b= g(a). Lihtsamalt, liitfunktsioon on pidev, kui tema koostisosad on pidevad. 14. Kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi muudu suhtel kohal x on olemas piirväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x. a. Tähistused: 1. Lagrange´i tähistus: y´=f´(x) f (x) ¿ 2. Leizbnizi tähistus: d ¿ dy =¿ dx b. Füüsikaline tõlgendus: c. Geomeetriline tõlgendus: Funktsiooni muutumis kiirust d
1.4 Kavandamisel on mitmeid uusi kosmose- ning raadioteleskoope, mis hakkavad töötama käsikäes maapealsete hiidteleskoopidega. Tulevikus saadab Euroopa Kosmoseagentuur orbiidile 3,5meetrise peegliga infrapunateleskoobi Herschel. Sellest saab suurim kosmoseteleskoop mis eales ilmaruumis töötanud. Praeguse suurima teleskoobi peapeegel on 2,4 meetrine. Teleskoop loodetakse orbiidile saata 2013.aastal. See on esimene mosaiikpeegliga kosmoseteleskoop. Paiknema hakkab see Lagrange teises punktis L2, kus teleskoop on alati kaitstud otesese päikesevalguse eest. Nimetatud punktis jääb Maa täpselt päikese ja teleskoobi vahele, mis on oluline seetõttu et hoida aparatuur hästi madalal temperatuuril. Kokkuvõte: Millised teleskoobid saavad olema astronoomide käsutuses 25-50 aasta pärast on praegu väga raske ennustada. Kui uued projektid end õigustavad, ühitakse ehitada tõenäoliselt veelgi suuremaid teleskoope
diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f'(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f''(x)= (-1)(1+x)-2| x=0 =(-1)*1=-1 ; f'''(x)=(-1)(-2)(1+x)-3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f''''(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x)-4| x=0 =(-1)*(-2)*(-3)*1=-6 ; fx(x)=(-1)k-1 (k-1)! k JNE.
· koormamata olukorras on konstruktsioon pingevaba (kui ei esine eelpingeid); Kui kehtib Hooke'i seadus ja elementide siirded on suhteliselt väikesed, siis võib rakendada jõudude mõju sõltumatuse printsiipi (superpositsiooniprintsiip): konstruktsioonile mõjuvate jõudude süsteemi poolt põhjustatud sisejõud ja deformatsioonid võrduvad iga jõu poolt eraldi põhjustatud sisejõudude ja deformatsioonide algebralise summaga Lagrange'i võimalike siirete printsiipi: kehale rakendatud jõudude tööde summa lõpmata väikestel võimalikel siiretel tasakaaluasendist võrdub nulliga.Lagrange'i ja jõudude mõju sõltumatuse printsiibile tuginevad ehitusmehaanika arvutusmeetodid. 2. Lõikemeetod. Põhimõte lühidalt ja eesmärk. lk 32 Lõikemeetodi eesmärk on keha (süsteemi) osadeks jaotamisega muuta sisejõud vaadeldava osa suhtes kontaktjõududeks, et nende määramiseks rakendada tasakaalutingimusi.
Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x, st f(x) ∈ D(x) ⇒ f(x) ∈ C(x). Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f’(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f’’(x)= (-1)(1+x) -2| x=0 =(- 1)*1=-1 ; f’’’(x)=(-1)(-2)(1+x) -3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f’’’’(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x) -4| x=0 =(- 14
a (t ) = s (t ). Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis- konnasjne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus). §4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESK- VÄÄRTUSTEOREEMID JA NENDE RAKEN- DUSI 1. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange'i teoreemi nime all. Teoreem 12. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g'(x) 0 iga x (a,b) korral, siis leidub selline punkt c (a,b), nii et kehtib võrdus f (b) - f ( a) f ' (c ) = . g (b) - g (a ) g ' (c ) Teoreem 13. (Lagrange'i keskväärtusteoreem)
Sõltumatute muutujate diferentsiaalid. Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali definitsioon. Oletame, et kahe muutuja funktsioon f(x,y) on pidev ja omab pidevaid osatuletisi ning punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y. Kolmandas ja neljandas liikmes on x konstantne. Punktis M ja selle ümbruses on täidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x;x+x), et Samuti leidub selline y(y;y+y), et Osatuletise pidevuse tõttu (et x on x ja x+x vahel, siis läheneb xx, kui x0; samamoodi toimub ka y korral) Teoreemist lõpmatult kahanevate suuruste kohta saame, et (kus ja on piirprotsessis (x,y)(0;0) lõpmatult kahanevad suurused) Funktsiooni täismuudu jaoks saame avaldise
134. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, nende mõjusirged kattuvad. 135. Jõudude mõju sõltumatuse seadus 136. IV aksioom 137. Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi. 138. See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja kannab seetõttu Lagrange'i nime. 139. 140. 141. Konservatiivsed jõud 142. Konservatiivne jõud-töö on null. Dissipatiivne jõud-töö on nullist erinev. Vaatame keha liikumist kinnisel trajektooril jõuväljas. 143. Dissipatiivsed jõud 144. Siin on ainsaks esindajaks takistusjõud selle igasuguses esinemisvormis. Takistusjõud on alati suunatud
positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi, kui K = 3a - b ja L = a + 2b. Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend motet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad. Teooriaküsimused nr. 11 1. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine. max min z = f(x;y) g(x;y) = 0 2. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Teooriaküsimused nr. 13 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa.
positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi, kui K = 3a - b ja L = a + 2b. Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad. TEOORIAKÜSIMUSED nr 12 1. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine. max min z = f(x;y) g(x;y) = 0 2. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. TEOORIAKÜSIMUSED nr 14 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa.
54. Ettevõtte kasum avaldub valemiga = f (K, L, a,b), kus K on kapital, L tööjõud ning a ja b on positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi, kui K = 3a - b ja L = a + 2b. Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad. 55. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande max min z = f(x,y) ; g(x,y) = 0 lahendamine. 56. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel 57. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib). 58
n| x=> y=y' x+ n x; y-f-ni muut; y' x-f-ni diferentsiaal; n x- kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa. Nt dy=y' x; y=x, y'=x'=1 dy= y' x=1 x=dx=> dy= y'dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y'=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y'=tan , PRS: dy=y' x=tan * x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti, ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu antud f-n y=f(x) dif-b lõigul[a;b], et leidub f(a)=f(b)=>siis leidub sellel lõigul
Peano teoreem. Cauchy 𝐴𝐵 − 𝐶 2 = 0 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 3. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange’i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni teoreem. Cauchy ülesanne esimest järku HDV (hariliku diferentsiaalvõrrandi) jaoks: { , kus x0,
|a-b|. kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni ∆y 1
y Definitsioon: Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y& = f (x ) dx dx Lagrange' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral y Kui piirväärtus lim on lõplik, siis kõneldakse lõplikust tuletisest, kui aga lõpmatu, siis öeldakse, et x 0 x funktsioonil f on punktis x lõpmatu tuletis. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Ühepoolsed tuletised
2. 13. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). 14. Lagrange'i ja Cauchy teoreem (tõestusega). 3. 15. L'Hospitali reegel (tõestusega kui ,xa). 2. Keskväärtusteoreem 16. Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega).
5.1 Stabiilsus ja süsteemide käitumine- Süsteemi omadus säilitada väikeste häiringute korral piisav lähedus endisele (häiringueelsele) dünaamilisele reziimile. Eristatakse tasakaaluoleku, liikumistrajektoori, liikumisorbiidi, isevõnkumisprotsessi ja struktuuri stabiilsusi, harva muidki. Üldisemaks loetakse Ljapunovi stabiilsuskontseptsiooni, mis tugineb liikumisprotsessi stabiilsusele. Laiemalt on tuntud ka minimaalse siseenergia printsiibile tuginev Lagrange stabiilsuskontseptsioon, samuti "tõkestatud sisendi - tõkestatud väljundi" kontseptsioon, mille kohaselt süsteem on stabiilne, kui mistahes tõkestatud sisend tekitab tõkestatud väljundi. Teatud kitsendustel on enamik stabiilsuskontseptsioone ekvivalentsed (vähemalt omavad ühisosa). Stabiilsus määrab tavaliselt teatava süsteemi praktilise kasutusvõimalikkuse. Süsteemide dünaamika (siirdeprotsesside) üldised vormid ja iseärasused, süsteemi reaktsioon välistoimetele (nii
konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vahemalt uks ¨ ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a, b). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 13 Keskva¨ artusteoreemid ¨ Lause (Lagrange'i keskva¨ artusteoreem) ¨ ~ Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub punkt c (a, b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). ~ Toestus. Kasutame Rolle'i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni f (b) - f (a) L(x) = (x - a) + f (a). b-a
III aksioom. Mõju ja vastumõju seadus. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised, nende mõjusirged kattuvad. F1 = F2 ning F1=- F2 Seejuures tuleb silmas pidada seda, et need jõud on rakendatud erinevatele kehadele 4. Sõnastada dünaamika IV aksioom. Kelle nime see aksioom kannab? IV aksioom. Jõudude mõju sõltumatuse seadus. See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja kannab seetõttu Lagrange'i nime. Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi. punktile mõjuvad jõud moodustavad alati koonduva jõusüsteemi ja koonduval jõusüsteemil on resultant 5. Mida nimetatakse punkti dünaamika esimeseks ja teiseks põhiülesandeks? 1. põhiülesanne: antud on punkti liikumine, leida tuleb punktile mõjuva jõu. 2
Järelikult f ' (c) = 0 m.o.t.t. Järeldus: Kui funktsiooni rahuldab teoreemi (1) kahte esimest punkti ja f (a ) f (b) 0 Ka siis eksisteerib c (a, b) f ' (c ) = 0 Tõepoolest, võtame g ( x) = f ( x) - f (a) Kõik kolm teoreemi tingimust on täidetud ja järelikult g ' (c) = 0, c (a, b) Kuid g ' ( x) = f ' ( x) f ' (c) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 22 Lagrange'i ja Cauchy teoreem (tõestusega). Teoreem 1 Lagrange'i teoreem Olgu täidetud tingimused: 1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] 2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b) Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et (14.1) f (b) - f (a) = f ' (c) (b - a) Lagrange'i või lõpliku muudu valem Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni F ( x ) = ( f ( x ) - f ( a ) )(b - a ) - ( f (b ) - f ( a ) )( x - a ) See funktsioon on
Järelikult f ' (c) = 0 m.o.t.t. Järeldus: Kui funktsiooni rahuldab teoreemi (1) kahte esimest punkti ja f (a ) f (b) 0 Ka siis eksisteerib c (a, b) f ' (c ) = 0 Tõepoolest, võtame g ( x) = f ( x) - f (a) Kõik kolm teoreemi tingimust on täidetud ja järelikult g ' (c) = 0, c (a, b) Kuid g ' ( x) = f ' ( x) f ' (c) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 22 Lagrange'i ja Cauchy teoreem (tõestusega). Teoreem 1 Lagrange'i teoreem Olgu täidetud tingimused: 1) funktsioon f (x) on pidev lõigul [a, b] 2) funktsioon f (x) on diferentseeruv vahemikus (a, b) Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a, b), et (14.1) f (b) - f (a) = f ' (c) (b - a) Lagrange'i või lõpliku muudu valem Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni F ( x ) = ( f ( x ) - f ( a ) )(b - a ) - ( f (b ) - f ( a ) )( x - a ) See funktsioon on
3. Arvutatakse gradiendi pikkus |grad| 4. Kontrollitakse optimumi tingimuste täitmist. Kui piirangud puuduvad, siis kontrollitakse gradiendi pikkust |grad| , ette antud täpsus 5. Kui tingimused on täidetud, siis LÕPP. Kui ei, siis edasi. 6. Arvutatakse uus lahend järgmisele iteratsioonile tingimusel 7. j = j+1 ja jätkamine punktist 2. 26. Trahvifunktsioonide meetod (olemus, trahvifunktsiooni valik, eelised, puudused). Lagrange'i meetod. Minimeerimisülesandes lisatakse sihifunktsioonile trahv, niipea kui mõni muutujate väärtustest arvutusprotsessi käigus peaks väljuma lubatud piiridest. Trahv on seda suurem, mida suurem on piiririkkumine. Põhimõtteliselt tähendab selle meetodi kasutamine lisatingimustega optimeerimisülesande teisendamist tingimusteta optimeerimisülesandeks. Meetod sobib väga hästi ka võrratusekujuliste lisatingimuste arvestamiseks
x simpleksmeetod - järkjärguliste teisenduste abil otsitakse suurima (väiksema) sihifunktsiooniga lahendit. Lineaarse planeerimise puhul on sihifunktsioon ja kitsendused lineaarsed. 2. Mittelineaarne planeerimine. Majandusprobleemi detailsem ja sügavam analüüs toob sageli välja vajaduse mõned kitsendused või sihifunktsioon esitada mittelineaarselt. Sellist majandusmatemaatika osa nimetatakse mittelineaarseks planeerimiseks. x Tinglik ekstreemum; x Lagrange`i meetod. Mittelineaarse planeerimise ülesandeid käsitletakse kahe praktilise majandusliku probleemi näitel: kaubavarude planeerimine ja tootmise planeerimine. Mittelineaarse planeerimise puhul on sihifunktsioon ja kitsendused mõlemad või vähemalt üks mittelineaarne. 3. Dünaamiline planeerimine. Tootmise dünaamiline planeerimine võimaldab erinevate toodete tootmist planeerida teatud ajaperioodideks (nädalad, kuud) minimaalsete kuludega. Tootmisjuht pean ära määrama
annaabi.ee 
