docstxt/129492622010501.txt
Küsimus Vastus Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud Mis on sõltumatu muutuja, vastavusse kindel element y hulgast Y, siis sõltuv muutuja? öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y=f(x) või y=y(x) Sõltumatu – element x (argument) Sõltuv – element y Mis on funktsiooni Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul määramispiirkond, saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord
Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte
Hulka C Rn nim tõkestatuks, kui leidub reaalarv r>0, et C {QRn|d(0,Q)
Kahe muutuja loogikafunktsioonid,Karnaugh,McCluskey Mitu erinevat 1muutuja loogikafunktsiooni on olemas? 4 erinevat. Tabel lk 174 Milline on ainus oluline 1muutuja loogikafunktsioon? Inversioon Kuidas võib nimetada 0 muutuja loogikafunktsiooni? Konstant 1 või konstant 0 Mitu erinevat 2muutuja loogikafunktsiooni on olemas? 16, tabel lk 175-176 Millised 2muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast oma muutujast? F1,f2,f4,f6,f7,f8,f9,f11,f13,f14 Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil? Implikatsioonil on x1-x2 seos, pöördimplikatsioonil vastupidi, x2-x1 Mis on Pierce´i nool? F8, on disjunktsiooni inversioon ja esitatakse märgiga pierci nool. Vt lk 177 Mis on Shefferi kriips?
Ühe muutuja funktsioonid 2 Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks Vastused Q 2 1.Kulufunktsioon on C(Q) = 600 + 4Q + 200 ning tulufunktsioon R(Q) = 20Q, kus Q on tootmismaht. Leida M C(8) ja M R(4). Leida püsikulu ja muutuvkulu, kui Q = 10. Leida ka tooteühiku hind. Q Lahendus: M C = C (Q) = 4 + 100 . M C(8) = 4.08. Toodangu suurendamisel kaheksast tooteühikust üheksa tooteühikuni suurenevad kulud 4.08 rahaühiku võrra. M R = R (Q) = 20. Nagu näha MR ei sõltu toodangu hulgast. Toodangu suurendamisel ühe ühiku võrra tulu suureneb alati 20 rahaühiku võrra. Kulufunktsiooni vabaliige on 600, mis ongi püsikuluks (see ei sõltu toodanguhulgast Q). Q2 102 Muutuvkulu a...
Mitme muutuja funktsiooni mõiste
Def: Kui igale x-I ja y-I väärtuste paarile mingis piirk D on vastavusse seatud muutuja z teatud kindel väärtus, siis öeldakse et z
on kahe muutuja y ja x funktsioon. z=(x; y) või z=z(x; y) või z=(x; y) või z=F(x; y). (joon) D-x, y tasandi punktide hulk; -
piirk D rajajoon e raja. Def1: Piirk D nim lahtiseks kui ta ei sisalda ühtegi oma rajajoone punkti; Def2: Piirk D nim kinniseks kui
ta sisaldab kõiki oma rajajoone punkte. Näiteks on kaks hulka: A={(x; y)x2+y2
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil
1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand
MATA TEOORIA Teooriaküsimused nr. 1 1) Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk.
Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi
ka täieliku KNK leidmisel kasutada alamülesande 3.1 Karnaugh’ kaarti. 𝒇(xTKNK(x1x2x3x4) = x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x 4 v x1 x2 x 3 x4 v x1 x 2 x 3 x 4 v x1 x 2 x 3 x4 v v x 1 x 2 x 3 x4 v x 1 x2 x 3 x 4 v x 1 x2 x 3 x4 10 ÜLESANNE 7 SHANNONI DISJUNKTIIVNE ARENDUS KOLME MUUTUJA JÄRGI Teha ülesandes 3 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus nende muutujate xi järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem. Kui MDNK-s pole ükski muutuja kõigi ülejäänud kolme suhtes esinemise poolest ülekaalus, siis teha disjunktiivne arendus mitme muutuja järgi: nende kahe või kolme muutuja järgi, mida leidub MDNK-s omavahel võrdselt ja ülejäänutest rohkem. 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 Teeme sellele avaldisele Shannoni disjunktiivse arenduse muutujate x1 x2 x3 järgi:
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ ÜLESANNE 1 Leida martiklinumbrile vastav 4 – muutuja loogikafunktsioon. F ( X 1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 )=∑ (0 ; 2; 5 ; 6 ; 9 ; 11 ; 14)1 (1 ; 3 ;7 ; 15)¿ (4 ; 8 ; 10 ; 12 ; 13)0 ÜLESANNE 2 MDN MKN X1 X2 X3 X4 F K K
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne matemaatika KODUTÖÖ Tallinn 2011 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matriklinumber: 112799 Matriklinumbri 16ndkuju: 1B89F 16ndarvu 8*3-ga korrutamisel tekib 8-järguline 16ndarv: 1B89F*3*3*3*3*3*3*3*3 = 2C1CA2FF Saadud 16ndarv sisaldab numbrimärke 1 2 A C F , kus 16ndnumbrid A C F omavad väärtusi: A = 10 C = 12 F = 15 Saadud 16ndarvu 8 järguväärtust 0 . . . 15 määravad loogikafunktsiooni 1-de piirkonna. (korduvaid järguväärtusi võib ignoreerida) Seega on 4-muutuja loogikafunktsiooni 1de piirkonnaks (numbrilises 10ndesituses): 2 12 1 10 15 (numbreid 2, C ja F (ehk 2, 12 ja 15) on arvus mitu – neid võib arvestada ühekordselt) 8-järgulise 16ndarvu jagamisel 11-ga tekib 7-järguline 16ndarv: 2C1CA2FF/11 = 29845D2 Saadud 16ndarv sisaldab numbrimärke 2 4 5 8 9 D , kus 16ndnumber D omab väärtust: D = 13 11-ga jagamisel tekkiva 16ndarv...
mis esineb MDNK-s kõige rohkem => x2 järgi. MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 5 Shannoni disjunktiivne arendus: f(x1x2 x3x4) = xx2∙f(x10 x3x4) V x2∙f(x11 x3x4) = = xx2 (xx1 ∙1∙x3 V x1∙1∙xx3 V 0∙x4) ∙ x2(xx1 ∙0∙x3 V x1∙0∙xx3 V 1∙x4) = xx2 (xx1 x3 V x1xx3) ∙ x2(x4) 8. Teha MDNKle Shannoni disjunktiivne arendus 2he vabalt valitud muutuja järgi: x2x3 järgi. MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 f(x1x2 x3x4) = x2 x3(x111x4) x2 xx3(x110x4) xx2 x3(x101x4) xx2 xx3 (x100x4) = = x2 x3(xx1 ∙0∙1 V x1∙0∙0 V 1∙x4) ∙ x2 xx3(xx1 ∙0∙0 V x1∙0∙1 V 1∙x4) ∙ xx2 x3(xx1 ∙1∙1 V x1∙1∙0 V 0∙x4) ∙ ∙ xx2 xx3(xx1 ∙1∙0 V x1∙1∙1 V 0∙x4) = x2 x3(x4) ∙ x2 xx3(x4) ∙ xx2 x3(xx1) ∙ xx2 xx3(x1) 9. Teha MDNK-le konjunktiivne Shannoni arendus vabalt valitud kahe
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud
Avaldist kujul F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nim funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x)dx = F ( x) +C Kui f-il f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis f-il f(x) eksisteerib määramata integraal (hulgal X). Muutujate vahetus määramata integraalis: f(x)dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üks ühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du .Asendame x-i ja dx-i integraali all: f(x)dx =f[(u)]'(u)du .
käitumisega või enda tegevusega (nt mõni asi jäi küsimata), aga vahel ka endal vestluses tärganud mõtted... Intervjuu vormistamine Kui intervjuu abil hangitakse faktiandmeid, vastajate vahel võrreldavaid kirjeldusi (nt suhtumise väljendamine, võrreldavas küsimuses subjektiivse tähenduse selgitamine, teatud toimingu või sündmuse kirjeldus), mida on kavas kodeerida muutujateks, siis võib vastava info tõsta ka andmefaili muutuja vastab küsimusele, mille kohta andmed saadi, ning iga juhtumi lahtrisse lihtsalt vastav teksti osa.
13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25
f (t )dt - f (t )dt = f ( )( x + x - x ) = f ( ) a ; '(x)=f()x/x=(x0; x+xx; x)=lim(x)f()=f(x). Järeldus: (x) on f(x)'i algfunktsioon. Valem: F(x) rajades a'st b'ni =F(b)-F(a)= integraal a'st b'ni f(x)dx 4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale: Jääkfunktsioone ei saa leida Karnaugh' kaardi abil Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Osaliselt õige - Hinne 0,75 / 1,00 vali kõik õiged väited: Vali üks või enam: Funktsioonil võib Taandatud DNK puududa, kuigi minimaalne DNK (MDNK) on sellel funktsioonil olemas - VALE Taandatud DNK-d on võimalik leida Karnaugh' kaardi abil Taandatud DNK ja minimaalne DNK (MDNK) võivad olla üks ja sama avaldis Taandatud DNK võib olla suurema keerukusega avaldis kui minimaalne DNK (MDNK) Taandatud DNK on funktsiooni kõikide implikantide disjunktsioon - VALE Taandatud DNK on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon Funktsioonil võib olla mitu erinevat Taandatud DNK-d - VALE Taandatud DNK võib olla väiksema keerukusega avaldis kui minimaalne DNK (MDNK) - VALE Küsimus 3 Õige - Hinne 3,00 / 3,00 Osaliselt määratud loogikafunktsioonile MDNK leid...
x 2 20 2x -1 8 1 + 2x 5) - - 2 =0; 6) 2 - 2 = 2 . x + 5 5 - x x - 25 7 x + 14 x 3 - 12 x 6 x - 3x 3. Lahenda võrrandid muutuja x suhtes 1) ax = a + 5x; 5) x 2 - 8ax + 12a 2 = 0 ; 2) ax 3x = 5; 6) ax 2 - (a + 1) x + 1 = 0 ; 3) 5 3ax = 6(a + x); 7) x( x - 3) - a (a - 3) = 2(ax - 1) ; 4) xa2 xa 6x = a(a + 2); 8) 4x2 5x a = 0. 4. Lahenda võrrandid 1) x + 3 + 3 x - 2 = 7 ; 2) 2x - 3 + 1 - x = 3 ; 3) x = x + 110 ; 4) 3x - 5 + x + 6 - 5 = 0 ;
tõttu hakkab vähenema. Väide oleks, kui hinnangu statistiline olulisus suureneks ning standardviga vähenes. Kui me kasutame hinnangute andmisel järjest suuremaid valimeid, siis hinnangu stat. olulisus hakkab suurenema ja standardviga väheneb, kuna hinnang läheb täpsemaks. Standardviga saab suureneda juhul, kui andmed valimites hakkavad suuresti hajuma ja sellega stat. olulisus väheneb. Milliseid mudeleid kasutatakse sõltuva fiktiivse muutuja modeleerimisel? Millised on peamised erinevused nimetatud mudelite vahel ja probleemid selliste mudelite korral? Lineaarne tõenäosusmudel Probleemid LTM kasutamisel • Jääkliikmed ei ole normaalselt jaotunud. Nii nagu Y omavad ka jääkliikmed sisuliselt ainult kahte võimalikku väärtust. • Jääkliikmed on heteroskedastiivsed. • Tõenäosus võib olla negatiivne või suurem kui 1. • Determinatsioonikordaja on küsitava väärtusega ja jääb tavaliselt üsna madalaks.
82, F 15.342 ( p 0.001) kus Y – küsitletu tarbimine eurodes, X – küsitletu sissetulek eurodesning D – küsitletu sugu (D = 1, kui mees ning D = 0, kui naine); t – statistiku kriitiliseks väärtuseks on t 0.025,96 1.99 . Vastake järgmistele küsimustele ning põhjendage vastuseid a) kas mudel on statistiliselt oluline olulisuse nivool 0.05; mida saate öelda mudeli kirjeldatuse taseme kohta. b) millised muutujad on statistilised olulised olulisuse nivool 0.05; c) Leida muutuja X ees oleva kordaja 95% usalduspiirid. Lahendus. a) Mudel on statistiliselt oluline olulisuse nivoo 0.05 korral, kuna F-testi olulisuse tõenäosus p 0.001 on väiksem kui 0.05. Mudeli sõltumatud muutujad kirjeldavad ära 82% tarbimise varieeruvusest. b) Kuna muutujate X ja D t-statistikute absoluutväärtused on suuremad kui kriitiline väärtus ( 22.54 1.99; 2.34 1.99) , siis statistiliselt olulised muutujad mudelis on muutuja X ja muutuja D
Regressioonikordaja Olulisuse tõenäosus Õpetaja toetus 1,41 0,191 Kodused õppimist toetavad vahendid -0,40 0,768 Distsiplineeriv keskkond -3,80 0,003 Vabaliige 199,9 0,000 Lineaarne regressioonimudel N=1554, R²=0,006 Determinatsioonikordaja R² näitab, kui suure ulatuse sõltuva muutuja variatsioonist antud sõltumatu muutuja ära seletab. Antud sobivusastet näitava statistiku väärtus on 0,006, mis tähendab, et seos sõltuva ja sõltumatute tunnuste vahel on väga nõrk. Ka mudeli statistilise olulisuse kontroll dispersioonanalüüsi ANOVA abil (F=3,26) näitab, et tegemist ei ole testi keele õppimisele kuluva aja prognoosimiseks kõige sobilikuma mudeliga. Kuna antud mudeli puhul on olulisuse tõenäosus 0,02 väiksem kui 0,05 (p< 0,05), võib öelda, et sõltumatute
3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik. 5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja
· Läbilõige ja seeria valikut mõjutab see, kui mitu korda on informatsiooni kogutud. Kui see toimub ainult üks kord, on tegemis läbilõikega (x ja y telg). Kui informatsiooni kogumist teostatakse mitu korda on tegemist seeriaga. · Kvalitatiivsus ja kvantitatiivsus. Kvalitatiivsuse all mõeldakse omadusi, mida mõõtühikute abil kirjeldada ei saa. Kvantitatiivsuse all mõeldakse omadusi, mida mõõtes on võimalik kasutada mingit mõõteühikut. · Jätkuvus ja mittejätkuvus. Muutuja mille kahe järjestikuse väärtuse vahele võidakse moodustada uus vaheväärtus on mmutuja. Jätkuva muutuja väärtuste arv on piirideta. Mittejätkuv muutuja võib saada vaid teatud ette määratud väärtuse. Kahe järjestikuse väärtuse vahele ei saa seega moodustada uut väärtust. · Ühe või mitme muutuja vaatlus. Joonistes võib näitlikustada ühemõõtmelistele jaotustele lisaks muutujat või nende muutujate vahelisi mõjusid. (2004: 297298)
Lineaarfunktsioon Üldkuju y=ax+b Funktsiooniks nimetatakse kahe muutuja omavahelist seost, mis on kindlaks määratud mingi matemaatilise eeskirjaga mida nimetatakse funktsiooni valemiks või funktsiooni eeskirjaks. Tõusev Langev sirge axlineaarliige * Kui a on väiksem, kui 0
x w x1 ) w x2 ( x1 x ¯3 ) Kui asendada n-muutuja funktsiooni f ( x1 x2 ... xi ... xn ) avaldises üks tema muutuja xi konstandiga 0 või 1 , siis on jääkfunktsiooniks . . . . arenduse avaldis leitud a (n1)-muutuja funktsioon: sellele avaldisele leidub ka lihtsam / kiirem arenduse leidmisvõimalus : ik
Millest tuleb nimetus "VÄLISTAV VÕI" ? Ü x1 x2 Võrreldes tehteid VÕI ja "välistav VÕI" ( OR ja XOR ) ilmneb T nende sarnasus. Erinevus on ainult argumendiväärtuste kombinatsiooni T Loogikatehe (ehk 2-he muutuja funktsioon) "summa mooduliga 2" on x1 x2 : 1 1 korral. ekvivalentsi inversioon: Tehe XOR väärtustub 1-ks siis, kui kas esimene või teine operand ________ _______ (kuid mitte mõlemad korraga) on 1. x1 x 2 = x 1 x 2 samuti: x1 x2 = x1 x2
saab rakendada optimeerimisülesande lahendamisel. Olgu vaja leida rangelt kumera funktsiooni maksimum y muutujate lubatavuspiirkonnas. Optimeerimisülesande lahendiks on juhitavate parameetrite optimaalsed ja ühtlasi lubatavad väärtused , mille puhul sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne. Rangelt kumer funktsioon saavutab optimeerimisülesandes maksimumi vaid lubatava piirkonna tippudes. Seega optimumi tingimused on: . Ühe muutuja funktsioonil võib olla üks või kaks maksimumi. Rangelt kumeral n muutujaga funktsioonil on üldjuhul palju lokaalseid maksimume kuni 2n . Üks maksimumidest n globaalne maksimum. Optimumide tingimused rangelt nõguse funktsioonidega ülesannetes: Olgu vaja leida rangelt nõgusi funktsiooni maksimum Y-muutujate lubatavas piirkonnas. Optimeerimisülesande lahendiks on juhitavate parameetrite optimaalsed ja ühtlasi lubatavad väärtused, mille puhul sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne
ln y=x → y =e x Kirjut . kujul f ( x , y )=f 1, ( ) x Diferentsiaalvõrrandid: DV järk on DV-s esinevate tuletiste kõrgeim järk. y dy du Harilikud DV-d: otsitav funktsioon y on ühe muutuja Asendus u= ehk y =ux → =u+ ∙ x 1 1 x dx dx =x−α funktsioon. α x α Osatuletisega DV-d: √x=x otsitav α f-n on mitme muutuja funktsioon.
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine ASENDUSVÕTTEGA Asendusvõtte idee seisneb ühest võrrandist ühe muutuja avaldamises ja selle asendamises teise võrrandisse. Selle tulemusena saadakse ühe tundmatuga võrrand, mida me oskame juba lahendada. Kui üks tundmatu on leitud, on lihtne leida ka teine, sest see on avaldatud eelneva kaudu. Asendusvõtte puuduseks on asjaolu, et ühe tundmatu avaldamine ei pruugi alati lihtne olla, võivad tekkida murdarvud. 2x+y=3 5x3y=8 Kunagi ei tohi samasse
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Karnaugh' kaardi igale ruudule vastab üks konkreetne argumentvektor Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mingi funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon on DNK taandatud Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Karnaugh' kaardi üheruudulise kontuuri ulatuses . . . on konstantsed selle funktsiooni kõik muutujad Küsimus 4 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad mõõdud (kaardiruudud x kaardiruudud x kaardiruudud) võivad olla Karnaugh' kaardi kontuuride mõõtudeks? (märgi kõik sobivad mõõdud) Vali üks või enam: 1x2x3 4x4x8 3x3x3 2x3x4 2x4x8 1x1x1 2x4x1 2x2x2 1x1 3x3 1x4x4 Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Karnaugh' kaardi igal ruudul on täpselt 1 naaberruut Vali üks: ...
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7. Võrrand on võrdus, mis sisaldab ühte või mitut muutujat, mida vaadeldakse tundmatute suurustena. 8. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti
Neljanda eksperimendi puhul eeldati,et joobes meesterahvaste puhul on need ka valmis enam asuma vahekorda ilma kondomita,kui kained meesterahvad. 4. Kuidas defineerib autor operatsionaalselt muutujad? Millised need on? Mitu taset sellel (neil) on? Miks just nii?? Operatsionaalseks muutujaks oleks inimese keeldumine või omakorda nõustumine seksuaalvahekorraga, mille puhul ei kasutata kontraseptiivi 5. Kas ja kuidas sõltumatut muutujat (muutujaid) varieeritakse? (kas see on subjektipoolne muutuja või eksperimentaatori poolt varieeritav? Sõltumatu muutuja I uuringu juures oli alkoholijoobe tase, mis oli katseisiku enese poolt määratletud ehk siis subjektipoolne, kus inimene määras ise oma joobeastme. Ülejäänud eksperimentide puhul oli sõltumatuks muutujaks määratlemine purjus ja kaine oleku vahel, kus omakorda eksperimentaatori poolselt oli varieeritavaks osalejatele alkoholi andmine, lisaks oli eksperimentaatori poolt varieeritavaks keskkond, milles eksperiment toimus.
Alternatiivkulu tähendab, et inimesed on alati rahul oma otsustega. Valikut tehes arvutavad inimesed põhjalikult välja kõigi võimalike alternatiivide tulud ja kulud. Question 4 Question text Ceteris paribus eelduse peamine eesmärk on Select one: uurida mikroökonoomilisi muutujaid, uurimata seejuures makromajanduslikke muutujaid uurida makromajanduslikke muutujaid, pööramata tähelepanu mikroökonoomilistele muutujatele kindlaks teha, kas muutuja X on muutuja Y-i põhjus või vastupidi uurida muutujate X ja Y vastastikust mõju, arvestamata seejuures muutuja Z mõju Question 5 Question text Ettevõtlikkuse all mõistetakse Select one: kõike nimetatut äriotsuste vastuvõtmist riski võtmist majandustegevuses uuenduste tegemist firmas Question 6 Question text Füüsilise kapitali all mõistetakse majandusteaduses eelkõige Select one: loodusressursse nagu nafta ja rauamaak raha kõike nimetatut
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1
Kui ta on tõene ainult osade muutujaväärtuste x korral, ehk on tõene osas oma määramispiirkonnas. Millised kvantorid on olemas? Millised on nende tähised? On olemas kaks kvantorit, nendeks on Üldsuse kvantor(tagurpidi A) ja eksistentsikvantor(Peegelpildis E). Üldsuse kvantor näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõikide muutujate väärtuste korral. Eksistentsi kvantor näitab, et predikaat kehtib vähemalt ühe oma määramispiirkonna muutuja väärtuste puhul. Millise loogikatehte üldistuseks on üldsuse kvantor? Konjuktsioon Millise loogikatehte üldistuseks on eksistentsikvantor? Disjunktsioon Millist muutujat nimetatakse seotud muutujaks ja millist vabaks muutujaks? Muutujad, millele on rakendatud kvantorit, nimetatakse seotud muutujaks. Kvantorimärgiga mitteseotud predikaatmuutujaid nimetatakse vabadeks muutujateks. Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Tähendab, et leidub täpselt üks.
Yes) h) avaneb Gretli-i menüü aken koos muutujate nimedega: Excel 2. Lineaarse mudeli parameetrite hindamine vähimruutude meetodil (Model -> Ordinary Least Squares) Põhimenüü ribalt valida menüü - Model. Avanevast rippmenüüst valida Ordinary Least Squares. Seejärel tuleb aknas "gretl: specify model" olemasolevate muutujate hulgast valida sõltuv muutuja Y (Dependent variable) ja üks või mitu sõltumatut muutujat X (Independent variables). Vajutada OK. 3. NÄIDE piima kogutoodangut kirjeldava regressioonimudeli konstrueerimisest Otsime mudelit kujul: Y-PKT_ha = a0 +a1TASU + a2SOOT + a3HP + a4PMYYK + a5 TOETUS + a6 KHIND Y_PKT_ha – piima kogutoodang ha kohta, kg TASU - töötasu 1 kg piima tootmiseks, senti SOOT – söödakulu 1 kg piima tootmiseks, senti HP – mullaviljakus, maa hindepunkt pallides
Millised muutused toimuvad selle käigus taime erinevate osade ja juhtkimpudega? Hüpotees (oletatav vastus uurimisküsimusele, peab sisaldama põhjendust, mis põhineb taustinfol): Vesi ja selles lahustunud ained liiguvad 24 tunni jooksul mööda vart taime kõikidesse osadesse, 48 tunni jooksul muutub kõigi taimeosad värv vastavalt vette lisatud värvile, sest taim vajab fotosünteesiks vett, ka toimub pidevalt taime pinnalt aurustumine. Muutujad: sõltumatu muutuja (tegur, mis mõjutab töö tulemust , mat x-teljel): must tuss sõltuv muutuja (tegur, mis muutub katse käigus sõltumatu muutuja tõttu ja mille muutust jälgitakse, mat y-teljel): varre värvunud osa kõrgus, taimeosadega toimunud värvimuutus kontrollitavad muutujad (tegurid, mis on kõikide katseobjektide jaoks samad, mõjutavad katse tulemust kaudselt, kõiki võrdselt, on mõõdetavad): temperatuur (22-24 kraadi C), õhuniiskus,
© T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv).
MITME MUUTUJ A FUNKTSIOON. PIIRV ÄÄRTUS. DIFERENTSEERIMINE Mitme muutuja funktsioon Mitme muutuja funktsiooni üldkuju: w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide P1 = ( x1 , y1 , z1 ,...) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,..
Statistika: Aritmeetilise keskmise saamiseks tuleb liita tunnuse väärtused ja jagada nende arvuga. Moodiks nimetatakse rea liiget, mida reas esineb kõige rohkem. Mediaaniks loetakse variatsioonirea liiket, millest suuremaid ja väiksemaid on võrdne arv (võrdsed kaasa arvatud). Kui reas on paaritu arv liikmeid, siis mediaaniks on kõige keskmine liige. Kui reas on paaris arv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmine. Sarnaste liidetavate koondamine: Tähte nimetatakse matemaatikas kas muutuja või tundmatu või otsitav. Liidetavaid nimetatakse sarnasteks, kui nende muutuja osad on võrdsed ja nad erinevad ainult kordaja poolest. Sarnaseid liidetavaid saab liita ja lahutada, seljuhul tehe tuleb teha kordajatega, muutuja osa jääb samaks. Sarnaste liidetavate liitmist, lahutamist nimetatakse koondamiseks. Korrutise lihtsustamine: Korrutise lihtsustamisel korrutatakse kõigepealt kordajad (arvud), seejärel muutujad tähestikulises järjekorras
...........................................................40 3 Steve Mägi A-08 13.03.2014 Sissejuhatus Järgnevas referaadis seletan põhjalikult järgmisi javascripti ette antud teemasid / punkte näidete ja sõnastuse puhul. 1. OBJEKTID. Objekti deklareerimine. Objekti loomine. Objekti muutuja poole pöördumine. Objekti omaduste muutmine. Üks oma objekt (klassi kirjeldus) ja objekti loomine. 2. Sisseehitatud objektid(JavaScript keele objektid: massiiv, Math- objekt(MATH.PI ?), Date-objekt, String-objekt; brauseri poolt defineeritud objektid: Window-objekt, dokumendiobjekt). 3. HTML DOM objektid. Meetod ja atribuudid. 4. SÜNDMUSED 5. Pildid. 6. Kihid. 7. Hiireoperatsioonid. 8. Frame'id. 9. Hüpikaknad. (pop up window) 10. Vormid
Praktilist laadi ülesanded (1) 1. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis (loengus näide funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
Tallinn 2012 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number 10. süsteemis: 121055 Matrikli number 16. Süsteemis: 8-kohaline arv: 2F572B3F 4-muutuja loogikafunktsiooni 1de piirkond: 2, 15, 5, 7, 11, 3 2F572B3F/11=2C8E46D Määramatuspiirkond: 12, 8, 14, 4, 6, 13 (x1...x4) = (2, 3, 5, 7, 11, 15)1 (4, 6, 8, 12, 13, 14)_ 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4- muutuja funktsiooni esitamiseks. X3,X4 00 01 11 10 X1,X2 00 0 0 1 1 01 - 1 1 - 11 - - 1 - 10 - 0 1 0 __ (X1,X2,X3,X4)=( X2 X3 X4 X1 X3) - MDNK Index Number Märge Index Nr.d Vahe M Index Nr.d Vah M
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
