4 4 4 4 64 (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625 1 kilobait = 2 baiti 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 baiti 1024 baiti; 10 Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 1 1 1 01 0 1 0 1 0,0030 1 ( ) 0 1 Negatiivne astendaja. Negatiivse astendajaga aste defineeritakse võrdusega n 1
Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega
49 451 a b 49 10 a b9a 9 10 37 a4 b b9a 9 1 37 a4 b 5 b46 a //Eukleides // d =1/49 mod 451= 45146 mod 451 = 405 mod 451 Ül2.1 RSA krüptosüsteemis kasutatakse algarvudena p = 101 ja q = 37. Avalik astendaja e = 17. Leia salajane astendaja d. Kas samade algarvude korral oleks e = 5 sobilik avalik astendaja? Põhjenda! Phi(101 * 37) = 3600 = n 17 3600 a b 17 13 a b211a 4 13 212ab b211a 4 1 212ab 4 b847 a
b d b d bd b b b bc b ab b c ac a· = a: =a· = . c c c b b Astmeks an nimetatakse korrutist, milles on n (astendaja) v~ordset tegurit a (astme alus) an = aa . . . a . n tegurit Astendaja 0 Negatiivne astendaja Murruline astendaja 1 m a0 = 1, a-n = n , a n = n am . a Tehted astmetega
kusjuures enne tuleb tegurid sobivalt järjestada ja rühmitada 8.Korrutise astendamine - iga tegur astendatakse = eraldi ja tulemused korrutatakse = 9.Astme astendamine - alus astendatakse astendajate korrutisega = 10.Üksliikmete astendamine - toetume korrutise ( ja astme astendamise reeglitele 11.Astmete jagamine - sama alusega astmete jagamisel lahutatakse esimesest astendajast teine astendaja ja alus astendatakse saadud vahega 12.Üksliikmete jagamine - kordajad jagatakse omavahel, sama alusega astmed omavahel ja selgitus: 4:2=2, a:a=1 seda ei kirjutata saadud tulemused korrutatakse; jagada võib ka vastusesse, b astmete jagamisel tuleb astendajad taandamisvõttega lahutada 3-1=2 13.Jagatise astendamine - astendatakse eraldi jagatav ja jagaja ning jagatakse esimene tulemus teisega (a:b)n=an:bn 14
positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 11 1 01 0 10 1 0,0030 1 ( ) 0 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivne astendaja. Negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme
Seda tähistatakse koos eksponent "1 / 3". Näiteks kuupjuur on 27 271 / 3 = 3. Kuupjuur ja 125/343 on (125/343) 1 / 3 = (1251 / 3) / (3431 / 3) = 25 / 7. Juured võib laieneda ka kõrgemate kuupjuured. 4. juur number on number, et kui võtta neljas võim, on võrdne antud number. 5. juur number on number, et kui võtta viienda võimsus on võrdne antud arv, ja nii edasi. 4. root tähistatakse eksponent "1 / 4", 5. root tähistatakse eksponent "1 / 5", iga juure tähistatakse astendaja on 1-lugeja ja järjekorras juure nimetaja . Veider juur on negatiivne arv on negatiivne arv. Me ei saa võtta isegi juur negatiivse numbriga. Näiteks (- 27) 1 / 3 = - 3, vaid (- 81) 1 / 4 ei ole olemas. Fractional eksponendid Oleme just saanud teada, et osaline eksponent on "1" lugeja on juurtest mingi. Aga mis juhtuks, eksponent "2 / 3" tähendab? Või eksponent "-5 / 2"? In osaline eksponent lugeja on võimsus, mis number tuleb ja nimetaja on just, et tuleb võtta
7. Milline järguväärtus "siseneb" vasakult vabaksjäävasse järku, kui täiendkoodi nihutatakse paremale ? 8. Milline järguväärtus "siseneb" paremalt vabaksjäävasse järku, kui täiendkoodi nihutatakse vasakule ? UJUPUNKTARVUD (ujukomaarvud) UPA / UKA - floating point numbers 1. Millest koosneb ujupunktarv (ujukomaarv) ? 2. Mis on kinnispunktarv (KPA) ? 3. Mis on ujupunktarvu komponentide nimed ? 4. Kas mantiss on täisarv või murdarv ? 5. Kas astendaja on täisarv või murdarv ? 6. Millise tähega tähistatakse tavaliselt mantissi ja millise tähega tähistatakse tavaliselt astendajat ? 7. Kuidas leitakse/arvutatakse ujupunktarvu väärtus (ehk kuidas toimub astendaja rakendamine mantissile) ? 8. Millega võrdub ujupunktarvu väärtus, kui tema astendaja on 0 ? 9. Kumb on pikem (ehk koosneb rohkematest järkudest): kas mantiss või astendaja? 10
y = f (x) y' = f ' (x) c 0 Kontstandi tuletis on null. x 1 Argumendi tuletis on üks. x² 2x x³ 3x ² x nx -¹ Astmete tuletis on astendaja korrutatud ühe võrra väiksema astendaja astmega. f (x) + g (x) f '(x) + g '(x) Summa tuletis on liidetavate tuletiste summa. f (x) · g (x) f '(x) · g (x) + g '(x) · f (x) Korrutise tuletis on esimese teguri tuletis korruatatud teise teguriga liita teise teguri tuletis korrutatud esimese teguriga. f (x) f '(x) · g (x) - g '(x) · f (x) Murru tuletis on murd mille nimetajaks on
tegurite absoluutväärtuse korrutisega. Korrutamisel kehtib sama reegel : + ja - =- -ja - = + - ja + = - Kahe ratsionaalarvu jagatis on ratsionaalarv, mille saamiseks 1) Jagame arvude absoluutväärtused 2) Seejärel võtame märgiks plussi, kui arvude märgid on ühesugused ja miinuse kui märgid on erinevad. Nt : -14: (7) = -2 Astendamine Astendamiseks nimetatakse astme an , kus a on astendatav ja n on astendaja. Astendaja näitab mitu korda on vaja astendavat iseendaga korrutada. Kui astendatav on negatiivne, siis astendamise tulemus on negatiivne vaid siis, kui astendaja on paaritu arv, kuna siis korrutatakse paaritu arv kordi negatiivset arvu. Protsent Protsendi leidmine. Üks protsent on sajandik tervikust ja seda tähistatakse 1%. Tervikut tähistatakse 100% 1% = 1/100 ehk 0.01 osa Arvust protsendi leidmiseks tuleb arv antud protsendile vastava osaga läbi korrutada
Eksponentvõrrand 11. klassile Ülesanne Milliste x väärtuste korral on rahuldatud võrrand (x+2)x2-x=1? Lahendus: Alustame selle võrrandi lahendamist analüütiliselt. · Teame, et aste võrdub ühega, kui astendaja on null. Seega saame, et x2-x=0; x (x-1)=0; x1=0; x2=1. Siit saime kaks lahendit. · Teame ka, et arvu 1 astendades mistahes reaalarvuga, saame alati ühe. Seega võib võrrandil olla lahendeid, kui astme alus võrdub ühega.
2)Aritmeetiline keskmine AVERAGE(piirkond) - see on tegelikult statistiliine funktsioon - annab piirkonnas olevate arvude aritmeetilise keskmine 3 9 10 7.333333 3)Ruutjuur arvust SQRT(arv) 1.414214 4)Kümendlogaritm LOG(arv) 1 5)Naaturaallogaritm arvust LN(arv) 2.3026 6)Eksponent funktsioon EXP(astendaja) - arv e astmes astendaja 2.718282 see on arv e 7)Arvu Ümardamine täpsustega n kohta peale koma - ROUND(arv;n) 8)Arvu ümardamine täis arvuks (jätab ära murdosa) - INT(arv) 9)Siinust arvust radiaanides SIN(arv radiaanides) 10)RADIANS(nurk kraadides) - teisendab nurka kraadidest radiaanidesse 11)Arv Pi - PI() 12)Siinus nurgas radiaanides SIN(nurk raadianides) 13)Koosinus nurgast raadianides COS(nurk raadianides)
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused · Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua
9097,,/ 5121 75(-3)1 0000 mantissa × 2 H[SRQHQW 0 0 0001 1 1 Ujupunktarvu tegelik väärtus saadakse mantissi nihutamisel astendaja 0010 2 -3 poolt näidatud järkude võrra (ehk "astendaja rakendamisega mantissile"). 0011 3 -2 0100 1 5 Teguriga 2 DVWHQGDMD korrutatakse mantissi "0-llist kaugele" suureks või 0101 2 6
9097,,/ 5121 75(-3)1 0000 mantissa × 2 H[SRQHQW 0 0 0001 1 1 Ujupunktarvu tegelik väärtus saadakse mantissi nihutamisel astendaja 0010 2 -3 poolt näidatud järkude võrra (ehk "astendaja rakendamisega mantissile"). 0011 3 -2 0100 1 5 Teguriga 2 DVWHQGDMD korrutatakse mantissi "0-llist kaugele" suureks või 0101 2 6
a = -a , kui a < 0 . a b = a b a a = b b a2 = a 2. ALGEBRA 2.1 Astmed n Astmeks a nimetatakse korrutist, mille kõik tegurid on võrdsed arvuga a (astme alus) ja tegurite arv on n (astendaja): a n = a14 a2K43 a n tegurit , n 1 , kus 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: 1 = { 1; 2; 3; 4; ...} . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a = 1 , milles a 0 . 0
21. Võrdsete aluste astmetega korrutamisel astendajad liidame ja saadud summaga astendatakse astme alus. 22. Võrdsete aluste astmetega jagamisel astendajad lahutame ja saadud vahega astendatakse astme alus. 23. Astme astendamisel astendajad korrutame ja saadud korrutisega astme alus astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30. Korrutamine Jagamine 31. Juurimine Astendamine (, kui m kuulub hulka Z, siis a ei võrdu 0-ga) 32. Taandamine 33
....... - 2 x x x x x x x y ja y' jagatise piirväärtus juhul x: y ja y' jagatise piirväärtus juhul : lim - x = - x lim - x = - x n x n · Astmefunktsioon astendaja suurenemisega: Astmefunktsioonis kehtib astendaja suurenemisel funktsiooni ja tema tuletise vahel järgmine seos: y x x2 x3 x4 x5 x6 ........ xn - 2x y' 3x 2 4x 3 5x 4 6x 5 ........ n x n -1
am 15. Võrdsete alustega astmete jagatis n = a m -n a mn 16. Astme aste (a ) = a . m n 17. Korrutise juur n a b = n a n b . a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25
am 15. Võrdsete alustega astmete jagatis n = a m -n a mn 16. Astme aste (a ) = a . m n 17. Korrutise juur n a b = n a n b . a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25
d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy 5 e) a n : b n a : b n Näide: x 3 : y 3 x : y 3 f) (a m ) n a mn Näide: x 3 7 x 21 g) a 2n a 2n , kui a 0, n Z , st. paarisarvulise astendaja korral saame positiivse tulemuse. h) a 2n1 a 2n1 , kui a 0, n Z , st. paaritu arvulise astendaja korral saame negatiivse tulemuse. i) a0 =1, kui a 0. NB! 0n = 0, kui n 0 j) 0 0 sellel avaldisel väärtus puudub! 1 k) a n n , kui a 0 ja n Z a 1 Näide: x 5 5 x 1 l) an a n 1
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1. Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses. logaN = r ar = N alog N = N a logN = log10N lnN = logeN logaN1N2 = logaN1 + logaN2 loga N1/N2 = logaN1 logaN2 logaNr = rlogaN logaN = logbN / logba
ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad. Need valemid on potenseerimise eeskirjad, kui vasak ja parem pool ära vahetada: s.t loga N1 * loga N2 = Loga N1 * N2 s.t loga N1 loga N2 = loga N1 / N2 s.t c* loga N = loga Nc Näited (logaritmimine): 1.) log 10x = log 10 + log x = 1+ log x 2.) log 100a / b = log (100a) log b = log 100 + log a log b = 2 + log a log b
· Arvu logaritm näitab mitemendasse astmesse tuleb võtta alus, et saada antud arv. · Arvu 1 logaritm mistahes alusel on null (loga1=0 a0=1) · Logartimi saab leida ainult positiivsest arvust, st logaritmitav peab olema alati postiivne. · Korrutise logaritm võrdub tergurite logaritmide summaga loga(b*c)=logab-logac · Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega. logab/c=logab-logac · Astme logaritm võrdub astendava logaritmi ja astendaja korrutisega. Logabn= n*logab · Eksponentfunktsiooni y=ax pöördfunktsiooni y=logax nim logartimfunktsiooniks. · Logartimfunktsiooni määramispiirkond on postiivsete reaalarvude hulk. X=]0;8[ ja muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk y=]-8;8[ · Logaritmfun. Graafik läbib punkte (1;0)ja (a;1) · Kui a>1, Siis logaritmfun. Y=logax kasvav funktsioon · kui 01, siis logaritmfun. Y=logax kahanev funktsioon
Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga logaN1N2= logaN1+ logaN2 · Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega loga(N1 : N2)= logaN1 logaN2 · Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega logaNc = c logaN Üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele log b N log a N = log b a 1 kui b=N siis: log a N = log N a Naturaallogaritmide ja kümnendlogaritmide vaheline seos: log N ln = log N a
I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + logad = logabd II Jagatise logaritmimise reegel Jagatise logaritm on võrdne lugeja ja nimetaja logaritmide vahega. Järeldus: Logaritmide vahe on võrdne jagatise logaritmiga. III Astme logaritmimise reegel Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. logabn = nlogab Järeldus: Logaritmi ees oleva kordaja võib viia logaritmitava astendajaks (NB! Juhul kui logaritm ise pole mingis astmes). nlogab = logabn Logaritmvõrrandid Logaritmvõrrand on võrrand, kus otsitav asub logaritmitavad või logaritmialuses. Logaritmvõrrandi lahenduse osa on kontroll. Logaritmvõrrandite lahendusvõtted I Potentseerimine
c c ja 2 2a 2 2 a 2 4a 2 = 2 2 = 2 3b 3 b 9b Astendaja null a0 = 1, b0 = 1, 20 = 1, (-3)0 = 1, 100 = 1 1 1 1 Negatiivne aste a-1 = a a-2 = a2 3-1 = 3
Niisiis: võrratuse lahendamisel leitakse algul selle MP, seejärel teisendatakse võrratust liikmete üleviimise abil nii, et selle parem pool osutub nulliks. Nüüd on võrratuse teine pool üldiselt mitme avaldise korrutis ja/või jagatis. Viimasest võib ära jätta kõik ruutjuured ja alati positiivsed tegurid (näiteks alati positiivsed 5 ruutkolmliikmed jne); paarituarvuliste astendajate korral võib ära jätta astendaja. Kõik alati negatiivsed tegurid võib asendada arvuga -1. Järgnevalt leitakse kõigi ülejäänud tegurite nullkohad (lahendades vastavad võrrandid) ning kantakse need arvteljele. Seejärel tõmmatakse pidev kõverjoon, mis lõikab arvtelge ainult sellele eelnevalt kantud punktides (nullkohtades) x1, x2, x3, ... nagu järgmisel joonisel. + + + x4 x3 x2 x1 x
Column H Column R Column I Column S Column J Column T Column K Column U Column L 4 15 16 17 18 19 muutuja x2 20 21 lt mittelineaarselt(kuna astendaja a2 -0) selt lineaarselt(kuna stendaja a1-1) mel erineval a2= 0,112 a1-1= -0,112 y a 1-1 = a0a1x 1 x 2 a x1 2 ressursi
Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiivse astendajaga aste thendab murdu , mille lugejaks on arv ks ja nimetajaks sama aste positiivne astendaja. nt: a ( astmes -m) = 1 / a(astmes m) 2(astmes -3) = 1 / 2(astmes 3 ) = 1 / 8 (PS! kaldkriips ( / ) = murrujoon ) 8. Arvu standartkuju. Too nide . * Arvu standartkuju on see, kui me esitame arvu kahe teguri korrutisena, kus ks tegur on arv, mis on hest suurem ja kmnest viksem, teiseks teguriks on 10'ne aste.
3ab+4c-2ab-c=ab+3c
Astmete korrutamine ja jagamine
Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse.
am·an=am+n
37·311=37+11=318
(-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412
Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse.
Murrujoonel on jagamismärgi tähendus.
am:an=am-n ehk. = am-n
75:72=75-2=73
Astme astendamine
Astme astendamisel astendajad korrutatakse.
(am)n=am·n
(23)4=23·4=212
-82= -64
(2x3)4= 24·(x3)4=16x12
(-32·x3·y4)6=312·x18·y24
Negatiivne astendaja
Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetatakse lugeja ja nimetaja
ning arv läheb positiivseks.
Üksliikme korrutamine ja jagamine
Üksliikme korrutamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
4xy2·(-3x2y4z)=4·(-3)·(x·x2)·(y2·y4)·z= -12x3
Üksliikmed
Üksliikme jagamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
Arvu standardkuju
x=a·10n 1
(argument x), teine tagajärg (funktsioon y=f(x)). • Põhjusena toimiv suurus kantakse rõhtteljele (abstsisstelg) ning tagajärjeks olev suurus püstteljele (ordinaattelg) nagu me ka katse korral tegime. • Füüsikas suuruste sõltuvuse kirjeldamiseks kasutame enamasti astme- ja eksponentfunktsiooni. Füüsikalised objektid ja suurused eksponentfunktsioon Füüsikalised objektid ja suurused • Astmefunktsioon: • - võrdeline sõltuvus (astendaja=1, graafikuks sirge) Füüsikalised objektid ja suurused pöördvõrdeline sõltuvus (astendaja=1, graafikuks hüperbool) Füüsikalised objektid ja suurused ruutsõltuvus (astendaja=2, graafikuks parabool) Füüsikalised objektid ja suurused pöördruutsõltuvus (astendaja=2) Füüsikalised objektid ja suurused • Omadused, mille poolest füüsikalised objektid üksteisest erinevad:
Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste Astendaja on arv , mis näitab mitu korda on arvu iseednaga korrutatud Astendamiseks nimetatakse väärtuse leidmist Iga arv astmes 1 on võrdne iseendaga. Negatiivne arv paarisarvulisel astmel on positiivne Negatiivne arv paarituarvulisel astmel on negatiivne Negatiivse arvu astendamisel tuleb ta kirjutada sulgudesse Hariliku murru astendamisel astendatakse lugeja ja nimetaja eraldi. Arv 1 mistahes astmes on võrdne arvuga 1 Intress Intressi määr väljendab intressi hinda
Arvude teaduslik esitusviis · Arvud on esitatud kordaja ja kümneastme korrutisena · Kordaja on tavaliselt vahemikus 1 kuni 10 · Näide: 1,2 1,2·10 102 3,7·10-4 Arvude insenerlik esitusviis · Arvud on esitatud kordaja ja kümneastme korrutisena · Kordaja valitakse nii nii, et tal oleks 1 kuni 3 numbrikoht enne koma · Kümne Kü astendaja d j valitakse li k nii, ii et ta jaguks kolmega · Näide: 2,9 2,9·10 103 42·10-6 Kümnendeesliited · T tera 1012 triljon · G giga 109 miljard · M mega 106 miljon ilj · k kilo 103 tuhat · m milli 10-3 tuhandik · mikro 10-6 miljondik · n nano 10-99 miljardik ilj dik
14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised. Alguspunkti ehk nullpunkti, pikkusühiku ning positiivse suunaga varustatud sirge. 16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2
Ristsõnad............................................................3-7 Vastused..............................................................11-17 3 Aste Paremale 2. -7 absoluutväärtus on 4. Arv mida astendan 5. Iga arv astmes 1 on võrdne arvu 6. -2 on arvu 2 7. Alus koos astendajaga 8. Arv, millega astendan Alla 1. Kui astendaja on 0 siis aste võrdub 3. Negatiivse aluse kirjutan 4 Protsent Paremale 4. Osa jagatud tervikuga on 5. Osamäär korrutatud tervikuga on 7. 75% tervest on 8. Tervik jagatud osamääraga on Alla 1. Tuhandik osa tervikust on 2. 25% tervest on 3. Protsentides antud osamäär on 6. 50% tervest on 5 Tehted ratsionaalarvudega Paremale 2
Summa ja vahe astendamise seoseid · Esimene seos LIIKMETE ARV Oletame, et meil on tehe ( a + b ) , kus 'a' ja 'b' on liidetavad ja 'n' on astendaja. n Summa või vahe astendamisel 'n'-ga on tekkivaid liikmeid alati n+1. NÄITEKS: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4 4 ( a + b ) = a8 + 8a 7b + 28a 6b 2 + 56a5b3 + 70a 4b 4 + 56a3b5 + 28a 2b6 + 8ab7 + b8 8 · Teine seos KA VAHE ON SUMMA Kui meil on näiteks tehe ( a - b ) , tuleb seda võtta kui a + ( -b )
c) F ( K , L) 2 K 15 L MPL 15 0,5 L0,51 kahanev piirtootlikkus L Tööjõu kahanev piirtootlikkus tähendab, et L kasvades MPL väheneb. Tuleb võtta osatuletised F MPL ja vaadata, millisel juhul see nii on. Vastus: tööjõu piirtootlikkus on kahanev b) ja c) korral L (lihtsamalt seletades nende funktsioonides, kus L-i astendaja on ühest väiksem) 3 Makroökonoomika I MJRI.10.028 Seminar 2 ülesanne 7. Olgu meil Cobb-Douglas tüüpi tootmisfunktsioon kolme sisendiga kujul Y K 1/ 3 L2 / 9 H 4 / 9 , kus K on kapital (masinate arv), L tööjõud (töötajate koguarv) ja H inimkapital (kõrgharidusega töötajate arv). a) Tuletage tööjõu piirprodukti avaldis
Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid.
isesüttimine ja põlemisoojuse vabanemine. Diiselmootoris põletatakse aeglasemalt põlevaid kütuseid kui ottomootoris, mistõttu võib põlemise mootori silindris lugeda teoreetiliselt isobaarseks protsessiks ja see eeldab põlemise kulgemist üheaegselt kolvi liikumisega alumise surnud seisu poole. [3] Dieseli ringprotsessi termiline kasutegur sõltub nii mootori surveastmest, isobaarilisest paisumisastmest kui ka adiabaadi astendajast, tõustes mootori surveastme ja adiabaadi astendaja suurenemisel ning isobaarse paisumisastme alanemisel. Kuna diiselmootori surveaste on ottomootori surveastmest kõrgem, on ka diiselmootori kasutegur üldiselt ottomootori kasutegurist suurem. Isobaarne paisumisaste on võrdeline mootori koormusega. Mida suurem on isobaarne paisumisaste, seda kestvam on soouse eraldumine (põlemine) ja kõrgem gaasi temperatuur paisumisprotsessi lõpul, mis põhjustabki mootori termilise kasuteguri alanemise koormuse tõusul
Jaga mõlemad liidetavad täisarvukujulise jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b = = n b a a Negatiivse astmenäitaja kporral tuleb astendada murru pöördväärtus. Negatiivne murd Murd on negatiivne siis kui tema lugeja või nimetaja on negatiivne arv. -a a a = =- b -b b Millal on murdarv positiivne? Harilik murd on positiivne siis kui tema lugeja ja nimetaja on mõlemad kas positiivsed või
jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b = = n b a a Negatiivse astmenäitaja kporral tuleb astendada murru pöördväärtus. Negatiivne murd Murd on negatiivne siis kui tema lugeja või nimetaja on negatiivne arv. -a a a = =- b -b b Millal on murdarv positiivne? Harilik murd on positiivne siis kui tema lugeja ja
paigutusega, vaadatakse järgmises osas. 1. Fondi ja laadi määramine tekstis Teksti ilmestamine pakub võimaluse muuta dokument atraktiivsemaks, tuues välja olulise, hõlbustades võõrsõnade leidmist jne. Oskuslikult valitud vahendid hõlbustavad ka teksti lugemist. Word pakub kasutajale mitmeid võimalusi teksti väljanägemise muutmiseks: 1. font (kirjatüüp, suurus, laad) 2. rasvane kiri (Bold) 3. kursiiv (Italic) 4. läbikriipsutatud (Strikethrough) 2 5. see on astendaja tekstireast kõrgemal paiknev kiri (Superscript), soovitatav kasutada ainult tegeliku astendaja, mitte põhiteksti jaoks 6. 2 see on indeks tekstireast allpool paiknev kiri (Subscript), soovitatav kasutada ainult tegeliku indeksi, mitte põhiteksti jaoks 7. s õ r e n d a t u d t e k s t (Expanded) 8. tihendatud tekst (Condensed), kasutatakse harva, kuna raskendab teksti loetavust 9
Teisel on see kalde muutumispunkt ning lisatakse tugevat alust nõrgale happele. Kolmandal on see teine kalde muutumispunkt, ning lisatakse tugevat alust kahe happe segule, millest üks on nõrk. Nernsti võrrand Kineetika potentsiaalide kaudu Kineetika põhipostulaat k-kiiruskonstant; v-reaktsiooni kiirus; x,y-järgud Järk lihtainete kontsentratsioonide astendajate summa ongi järk. Seda saab määrata ka muude meetoditega. Meetodid määramiseks astendaja meetod, poolestusaja meetod, mudelite proovimise meetod, katseline meetod 7 Füüsikaline keemia Kristian Leite Materjalid/ainet andis Kalju Lott Poolestusaeg aeg, mis kuulub poole lähteaine reageerimiseks Pöörduva reaktsiooni konstantide seos SKM, statsionaarsete kontsentratsioonide meetod nn. stoppkaader, s.t. me vaatame üht hetke ja loeme sellel hetkel
tooni, kui FeCl3, millel oli punakas toon. FeCl3 lahus muutis lahuse värvuse intensiivsemaks punasemaks, NH4SCN lahus oli rohkem oranžikamat värvi ja pisut heledam. Kui suurendada a) FeCl3 kontsentratsiooni, siis b) NH4SCN kontsentratsiooni, siis c) NH4Cl kontsentratsiooni, siis Anda selgitus. NH4Cl kontsentratsiooni suurendamine mõjutab tasakaalu nihkumist rohkem, kui FeCl3 sellepärast, et NH4Cl on valemi järgi astmes kolm, FeCl3 astendaja on üks (Kc =...)..... Eksperimentaalne töö 2 Töö ülesanne Reaktsioonikiiruse sõltuvus kontsentratsioonist, temperatuurist Töö eesmärk Leida, kaua aega läheb reaktsiooni toimumiseni Na2S2O3 ja H2SO4 vahel. Sissejuhatus Reaktsioonikiirus homogeenses süsteemis näitab reageerivate ainete kontsentratsioonide muutust ajaühikus Lähteainete kontsentratsiooni tõstmine suurendab reaktsioonikiirust. Reaktsioonikiiruse v sõltuvus reageerivate ainete kontsentratsioonist v = f (C)
Mõjuv telgkoormus Fa=479 N Siis Fa/C0=479/10800 ≈ 0,05 Seega e=0,25 X=0,56 ja Y= 1,75 Kuna aga Fa/Fr = 479/2292 ≈ 0,21 < e =0,25 Siis ekvivalentjõud P = Fr = 2292 N Laagri tööressurssi leiame valemiga Lh10= (106/60n)*(C/P)p Kus n – laagrivõru pöörlemissagedus, n = 300 min-1 6 C – laagri dünaamiline kandevõime, C = 16500 N, p – empiiriline astendaja ( 3-kuullaagritel ja 10/3 rull-laagritel). Siis Lh10 = (106 / 60*300)*(16500/2292)3 ≈ 20727 töötundi. Analüütilise arvutuse ja SKF arvutusprogrammi abil saadud tulemuse erinevus ((20781 – 20727) / 20781)*100 ≈ 0,26 % 8. Veerelaagrite eelised ja puudused liugelaagrite ees Eelised: Kõrge töökindlus ja väike hooldusvajadus Väike määrimisvajadus Väike hõõrdumine Paljud laagrid taluvad erinevat tüüpi koormusi
................................................................................................................................14 2 TÖÖ ÜLESANNE 1. Tutvuda segisti tööga vedelike segamisel. K N A Re m 2. Leida võimsusteguri sõltuvus Re arvust st määrata sõltuvuse jaoks kordaja A ja astendaja m. 3. Määrata segisti optimaalne tarbitav võimsus soola lahustamisel. 3 KATSESEADME SKEEM 5 6 w MODE ~230 V 10 50 2000
Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x
ideaalse gaasi erisoojus on konstantne suurus. Reaalsete gaaside erisoojused on aga sõltuvad nii temperatuurist kui ka rõhust. Seejuures on sõltuvus rõhust tunduvalt nõrgem, mistõttu temaga tavaliselt ei arvestata. Üldiseks seaduspärasuseks on gaaside erisoojuste suurenemine temperatuuri tõusmisel Erisoojust, mida gaas omab antud temperatuuril, nimetatakse tõeliseks erisoojuseks. 57. Adiabaadi astendaja leidmine erisoojuste abil cp c' p Cp k cv c' v Cv 58. Entalpia mõiste Termodünaamilise keha entalpiaks nimetatakse siseenergia (u) ja rõhuenergia (pv) summat: h=u+pv 59. Millega on võrdne entalpia muutus isoentroopilises protsessis. h=h1-h2 60. Nimetage viis termodünaamilist põhiprotsessi. isotermiline (T=konst.), adiabaatiline (dq=0) polütroopiline (c=konst.). isohooriline (v=konst.)
annaabi.ee 
