Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge
5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . a Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide
2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi.
.. + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse: 5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4 Lineaarse võrrandi lahend Võrrandi (1) lahendit c1 , ..
muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Näited Võrrandil 10 x 100 on üks lahend x = 2.
Lahendatava võrratuse saame nüüd ümber kirjutada nii: 6 x2 3 36. Kuna 3 > 1, siis eelmisel slaidil oleva järelduse tõttu saame lahendatava eksponentvõrratusega samaväärse ruutvõrratuse: 6x2 6 x 2 1. Ülesanne 1 (II) Ruutvõrratuse x 2 1 lahendihulgaks on lõik - 1 x 1. See on ka ülesandeks oleva eksponentvõrratuse lahendihulgaks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : -1 x 1}. Ülesanne 2 (I) Lahendada eksponentvõrratus 0,252 x > 4 0,5 x ( x +3). Lahendus Kirjutame kummalgi pool võrratusmärki olevad eksponentavaldised arvu 2 astmena: 2 2x 2x 1 2x 1 vasak pool: 0,25 = = = [ 2 ] = 2 - 4 x -2 2x 4 2
0 < a < 1 korral aga võrratusega 0 < f ( x) < g ( x). Ülesanne 1 Lahendada võrratus log 3 ( x - 2) 2. Lahendus Kuna log 3 9 = 2 siis võime algse võrratuse ümber kirjutada nii: log 3 ( x - 2) log 3 9. Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni monotoonsuse tõttu x - 2 9, millest saame lahendi: x 11. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 11}. Ülesanne 2 Lahendada võrratus log1/ 3 ( x + 1) -3. Lahendus Kuna log1/ 3 27 = -3, siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log1/ 3 ( x +1) log1/ 3 27 Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev, siis x +1 27, millest x 26. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 26}.
a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga 2· 6 2(5x 6) > 3(x 5), 12 10x + 12 > 3x 15 Viime muutujaga liikmed vasakul, vabaliikmed paremale poolele ja koondame sarnased liikmed:
iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) Täpsustatakse alglähendit nõutava täpsusteni. Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend x1, mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... . Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*. Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod. Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit. 2. Harilik iteratsioonimeetod. Hariliku iteratsoonimeetodi rakendamiseks tuleb võrrandi f(x) = 0 teisendada kujule x = g(x), (1) kus x(g) on mingi ühe muutuja funktsioon. Üks võimalus selleks on valida C ≠ 0 ning
4) 5c+2c=14 On võrrand 5) (3-a) x 5 =12 On võrrand 6) x2 + 3=4 On võrrand ÜLESANNE 2 LAHENDA VÕRRAND 1) 2a-a=5 2) 3x+4=x 3) 2(t-1)=6 4) 5c+2c=14 5) 6y+12=2y 6) (z+3):2=2 ÜLESANNE 2 VASTUSED 1)x=5 2) x=-2 3) x=4 4) x=2 5) x=-3 6) x=1 ÜLESANNE 3: MISSUGUSED VÕRRANDID ON SAMAVÄÄRSED 1.x-5=1 ja x-6=0 2.2x=8 ja x+3=7 3.u-2=4 ja u-5=2 4.m+4=1 ja m=-3 5.x+2=5 ja x=7 6.t-2=3 ja t=5 ÜLESANNE 3 VASTUSED 1. Samaväärsed, lahendiks x=6 2. Samaväärsed, lahendiks x =4 3. Pole samaväärsed, lahend muutub 4. Samaväärsed, lahendiks x=-3 5. Pole samaväärsed, lahend muutub 6. Samaväärsed ,lahendiks x=5 3.5. Võrrandi põhiomadused 1) Võrrandi pooli võib vahetada. 2x – 5 = 7 ja 7 = 2x – 5 • Võrrandi mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. 5x = 20 + 10 |: 5 (5x) : 5 – 10 : 5 = 20 : 5 x–2=4
ülalt -1 0 2 x Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x(x - 2)(x + 1) positiivsuspiirkonna leidmist. Näide 2 -1 0 2 x Positiivsuspiirkonna moodustavad need x väärtused, mille korral funktsiooni graafiku skits asub ülalpool x- telge. Antud juhul on positiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (1;0) (2; ) Näide 3 Näide Lahendame võrratuse x2(x + 2)(x - 1)3 < 0. Lahendus Vastava funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 nullkohad on x = 0, x = -2, x = 1. Nullkoht x = 0 on paarisjärku, mistõttu abijoon sellel kohal puudutab x- telge. Nullkohad x = -2 ja x = 1 on aga paaritut järku, mistõttu abijoon läbib neid kohti x - telge lõigates. -2 0 1 x Näide 3 Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni
log 2 [ x( x - 2)] = 3 [ x( x - 2)] = 23 ruutvõrrandi lahendamine x2 - 2x - 8 = 0 x1 = -2, x2 = 4. Kontroll 1) log 2 (-2) ei oma väärtust, seetõttu x = -2 on võõrlahend. 2) V = log 2 4 + log 2 (4 - 2) = 2 + 1 = 3. Vastus Võrrandi lahendiks on x = 4. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näide 2 Lahendada võrrand log( x + 1) + log( x - 1) - log(2 x + 5) = log 3 Lahendus log a xy = log a x + log a y log( x + 1) + log( x - 1) - log(2 x + 5) = log 3 log a x / y = log a x - log a y ( x + 1)( x - 1) logaritmid on võrdsed, alused (10) samuti,
Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0;milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitutalglähendit). 2) täpsustatakse alglähendit nõutava täpsuseni. Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend x1, mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... . Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*. Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod. Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit. 3 Harilik iteratsioonimeetod Uurime võrrandi f (x) = 0 (1.24.1) ligikaudset lahendamist. Esitame võrrandi (1.24
Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus
*2)y(x0)=y0 *3) (x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds=0 5.Eralduvate muutujatega DV: M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 * N1(y)M2(x)[(M1(x)/M2(x))dx+(N2(y)/N1(y))dy]=0 * 1)N1(y)=0* 2)M2(x)=0 * 3) (M1(x)/M2(x))dx+(N2(y)/N1(y))dy=0(ehk eraldatud muutujatega DV) 12.DV iseärased punktid, nende tüübid- Def.- Olgu DV M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kordajad M(x,y) ja N(x,y) pidevalt diferentseeruvad piirkonnas D. Punkti (x0,y0)D nim DV iseäraseks punktiks, kui M(x0,y0)=0 ja N(x0,y0)=0. Võrrandi ydx=xdy (=const0) punktid: lahendiks y=C|x|, x=0 iseärane punkt (0,0).*<0 sadulpunkt; >0 sõlmpunkt , ka o<<113.DV iseärane lahend I järku dv iseäraseks e. singulaarseks lahendiks nim. lahendit, mille igat punkti läbib sellega samas sihis mingi teine lahent(ning puutepunkti üheski ümbruses need kaks lahendit ei lange kokku). Iseärase lahendi olemasolu on seotud Cauchy teoreemi tingimuste mittetäidetusega. *Üheparameetriline jooneparv (x,y,c)=0
siis a × d = b × c. 40 1 Enda võrrandi ehk x 2+2 x = 3 puhul seega 40 × 3 = 1 × (x2 + 2x). Järelikult 120 (vasak pool) = x2 + 2x (parem pool). Viies 120 paremale poole, muutub selle ees olev märk ning saan ruutvõrrandi 0 = x2 + 2x – 120. Järelikult saan lahendada ruutvõrrandi lahengivalemi järgi ning saan lahenditeks x1 = 10 x2= -12 Viimane neist ei sobi ülesande lahendiks, sest on negatiivne. Seega sobib lahendiks ainult 10, mis ongi x’i väärtus. X, nagu enne mainitud, tähtistab Kati kiirust. Võrrandi kontrollimiseks asendan x’i 10ga ning kontrollin võrrandi tõesust: 20 20 1 20 20 1 2 5 1 x - x +2 = 3 ; asendan x’id: 10 - 10+ 2 = 3 ; taandan 1 - 3 = 3 .
x1 1 0,5 1 0 0 0,25 0 0 0 50 x4 0 0,125 0,25 1 0 -0,0625 0,25 0 0 12,5 x8 0 0,5 -1 0 0 0,25 -1 1 0 30 Optimaalsest baastabelist saame ülesande lahendiks: Kui Z = 1100 siis X1 = 50 X5 = 350 X2 = 0 X6 = 0 X3 = 0 X7 = 0 X4 = 12,5 X8 = 30 Sihifunktsiooni kontroll: MAX Z = 20x1+10x2 + 4x3+8x4 20*50+0*10+0*4+12,5*8=1100 Duaalne ülesanne: W=400y1 + 200y2 + 100y3 80y4 min 2y1 + 4y2 + y3 20 2y2 + y3 + y4 10 y1 + 4y2 + 2y3 4
Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend. Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii: Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks reaalne ja kaks kompleksset 2.6 Ratsionaalfunktsioonide lahutamine osamurdudeks
f) 8 4.Lahendada graafiliselt kahe muutuja võrratusesüsteemid a) #-% >4 2# + % > 6 b) #+% <2 # - % < -3 c) 2# - % - 4 0 3# + 2% - 6 0 9 d) # + 2% - 8 0 3# + 2% + 12 0 10 5. Leida võrratusesüsteemi lahendiks tekkiva hulknurga tippude koordinaadid a) #0 %0 #-%-10 3# + % - 11 0 b) #0 %0 % 2# + 4 10# + % + 10 0 c) #0 %0 # + 2% - 8 0 3# + 2% - 12 0
Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. Kui pärast sulgude avamist tekib sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võrrand: Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab muutajat ehk tundmatut. Muutuja väärtuse leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks ning saadud muutuja väärtust võrrandi lahendiks. Muutuja väärtuseks peab olema arv, mis asendades võrrandisse muutja asemele saan tõese võrduse. Võrrandeid nimetatakse samaväärseteks, kui nende lahendid on võrdsed ja nad sisaldavad samu muutujaid. Võrrandi põhiomadused: 1) Võrrandi pooli võib vahetada ilma märke muutmata. 2) Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. 3) Üksikuid liidetavaid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes selle liidetava ees oleva märgi vastupidiseks
... x j = det A , j=1,2,... j det A j ... x j = , j=1,2,... det A Det A on ......................................................................................................................... Det Aj on......................................................................................................................... 5. Suurust x* nimetatakse võrrandi g(x)=f(x) k-kordseks lahendiks, kui .......................................................................................................................................... 6. Milline on mittelineaarsete võrrandisüsteemide ligikaudse lahendusmeetodi kuju Seideli iteratsioonimeedodi korral.................................................................................... Modifitseeritud Newtoni meetodi korral.......................................................................... 7
Hariliku Dv Def. Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks, selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas
Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend, x2 3 on aga võõrlahend (nimetaja on x = 3 korral null). Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid võrrand x 7 2 3 ei ole juurvõrrand. Juurvõrrandi lahendamiseks astendatakse enne sobivalt teisendatud võrrandi mõlemat poolt ühe ja sama astendajaga.
Tõestamisülesanded (1) 1. Osata tõestada, et mingi antud funktsioon on pidev etteantud piirkonnas (loengus näide e funktsiooni y = sin x kohta). 2. Tuletada funktsiooni y = sin x tuletise valem. 3. Tuletada funktsiooni y = cos x tuletise valem. Valem 1: + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 y= cos (x+x) cos x= (kasutad nüüd valemit 1) : = - 2 sin (x+x+x / 2) * sin (x+x x / 2) = -2 sin (2x/2 + x/2) * sin x/2= =-2 sin (x + x/2) * sin x/2 y/x= - 2 sin (x + x/2) * sin x/2 = - sin x/2 * sin (x+ x/2) x x/2 y'= lim - sin x/2 * sin (x+ x/2) = lim - sin x/2 * lim sin (x+ x/2) = - sin x x -> 0 x/2 -> 0 x -> 0 x/2 x/2 See ringi sees = -1 4. Tuletada funktsiooni y = arc sin x tulet...
saadud väärtusega ja leiame teise tundmatu. 3+2y=7 2y=73 2y=4 :2 y=2 3.Võrrandsüsteemi lahendiks on arvupaar x=1 ja y=2. See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2
Tööleht 1 Täida tööleht programmi GeoGebra abil. 1. Missugused järgmistest lahendipaaridest on võrrandi x + 2y = 3 lahendiks? (On lahend / ei ole lahend) (3; 0) On lahend (0,5; 2) Ei ole lahend (-1; 5) Ei ole lahend (2; 1) Ei ole lahend (-5; 4) On lahend (4; -0,5) On lahend (1; 1) On lahend (3; -3) Ei ole lahend
- Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi lahendamisel on kasutatud üksnes võrrandi samaväärsusteisendusi, siis kehtivad iga x väärtuse korral ka võrdused (**) ja (*). Seega on lahendiks iga reaalarv. Näide 3. Lahendame võrrandi 3(x + 1) = 3x + 2000. Avame sulud 3x + 3 = 3x + 2000, millest 3x 3x = 2000 3 ehk 0x= 1997. Viimane võrdus loomulikult ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku poole väärtus on iga x väärtuse korral võrdne nulliga, parem pool aga mitte. Võrrandil ei ole lahendeid. Kui võrrand sisaldab murde, siis tuleb neist loomulikult vabaneda. x - 1 3 - 5x
see sõna tähendab ümbermõõtu. Pii on vajalik ringjoone pikkuse C arvutamiseks valemi järgi: C = x d või C = 2 x x r Pii ei ole kümnendarv (ta ei võimalda täpset üleskirjutamist koma abil) ning ega ratsionaalarv (ei ole olemas kahte täisarvu, mille suhe võrduks pii), ega isegi mitte algebraline arv (ta ei ole ühegi algebralise võrrandi lahendiks). Sellepärast nimetatakse teda transtsendentseks arvuks. Matemaatikute jaoks väljendab arv pii üheaegselt korda ja korratust. Kuidas on see võimalik? On arvutatud väga palju pii kümnendkohti ( neid on teada miljoneid ), aga pole suudetud nende esimemises leida mingit korrapärasust: ligikaudne väärtus on 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510... Niisugune on korratuse pool. Teiselt poolt aga teatakse väga korrapäraseid arvuridasid, mis koonduvad arvuks pii
., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ , (n ) y (n−1) ¿(1) . Algtingimused y( x 0 ¿= y 0 ; y( x 0 ¿= y 0 ' ; y n−1 ( x 0 ) = y 0n−1 (2) Nii mitu konstanti kui suur on DV järk. x 0 , y 0 , y '0 , .
4. Tuuakse ühisele murrujoonele ja korrutatakse läbi 4. Koondada lugejas 5. Taandada lugeja ja nimetaja Näide: 6. Ratsionaalavaldise lihtsustamine - Tehete järjekord 6. Murdvõrrandi lahendamine 1. Viiakse kõik liikmed vasakule poole ja võrdsustatakse nulliga. 2. Tegurdatakse nimetajad. 3. Leitakse ühise nimetaja ja korrutatakse mõlemad võrrandi pooled läbi ühise nimetajaga. 4. Selgitatakse välja mis kindlasti lahendiks ei sobi. (Nimetaja ei saa võrduda nulliga.) 5. Leitakse laiendajad. 6. Lahendatakse saadud ruutvõrrand või lineaarvõrrand. 7. Võrreldakse saaduid ruutvõrrandi lahendeid ühise nimetajaga. 8. Kontroll esialgse võrrandi järgi. 9. Vormistatakse vastus.
1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik. 5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja. Soovitus: valida avaldamiseks see muutuja, mille kordaja on 1 või -1; 2 või -2; 4 või -4; 5 või -5; 8 või -8; 10 või -10. 2) Panen saadud y värtuse sellesse võrrandisse, millest ei avaldanud, saan x väärtuse. 3) Panen saadud x väärtuse y avaldisse ja avaldan y väärtuse. Defineerimine:
kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1 x2 bx2 X = , siis on lahendiks ka bX = , kus b on suvaline konstant . ... ... x bx n n Vektorid Olgu n -mõõtmelises ruumis ortonormeeritud baasvektorid
Eestis maailmas teisel kohal. Selle tiitli üle ei tohiks küll keegi õnnelik olla, kuna see on eestlasetele väga suur probleem. Kindlasti peaks ka riik midagi ette võtma, et see probleem lahendada. Praeguseks on riik teinud ainult ühe väikse sammu alkoholi müügi vähendamiseks, milleks oli öine alkoholi müügikeeld. Aga nagu juba enamus inimesi teavad, ei aidanud see kuidagi lahendada seda probleemi, kuna peale seda keeldu inimesed varuvad lihtsalt varem endale joogid valmis. Üheks lahendiks, mis aitaks natukenegi vähendada probleemi on ,et tuleks teha alkoholitarbimisega seotud seaduste rikkumiste eest kopsakamad trahvid. Praegused trahvid näiteks purjus peaga inimese alla ajamise eest on naeruväärselt väikesed. Eesti on aga ainult üks kolmest Euroopa Liidu liikmesriikidest, kus alkoholi tarbimine on tänaval ja parkides keelatud. Maailmas on palju inimesi, kes saavad ka ilma alkoholita hakkama, ning nende elu ei ole sugugi igav. Ka
Saadud lahendite seast eraldame nimetaja nullkohad tingimuse B( x) 0 järgi (need on lähtevõrrandi suhtes võõrlahenditeks). Saadud lahendite kontroll ja vastus. · Kui võõrlahendid on eraldatud, siis ülejäänud tulemuste sobivust kontrollime algvõrrandi järgi. · Selleks asendame algvõrrandis tundmatu saadud arvuga ning kontrollime, kas pärast arvutusi jõuame tõese arvvõrduseni. · Kui kontrollimine kinnitab, et saadud arv on lähtevõrrandi lahendiks, siis anname selle ülesande vastuseks (võõrlahendeid vastusesse ei märgita). Võrdekujuline võrrand · Lihtsamad murdvõrrandid on võrdekujulised või saab neid võrdekujuliseks teisendada. · Võrre on võrdus, mille mõlemad pooled on võrdsed jagatised. Võrdekujulisi a c võrrandeid saab lahendada võrde b d põhiomaduse abil! Võrdekujulise võrrandi lahendamine
omandaksid vaid täisarvulisi väärtusi, siis vastavat ülesannet nimetatakse osaliselt (või täielikult) täisarvuliseks planeerimisülesandeks. Seega lineaarne planeerimisülesanne koosneb järgmistest osadest: sihifunktsioon, tingimuste (kitsenduste) süsteem, tundmatute mittenegatiivsuse nõue. Selliseid tundmatute väärtusi, mis rahuldavad kõiki tingimustesüsteemi nõudeid ja mittenegatiivsuse nõuet, nimetatakse lubatavaks lahendiks ehk plaaniks. Tundmatute väärtusi, mis nimetatule lisaks muudavad sihifunktsiooni väärtuse ekstremaalseks (suurimaks või vähimaks), nimetatakse optimaalseks lahendiks ehk optimaalseks plaaniks. Optimaalsuskriteerium - juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang, näiteks võimalikult suur kasum, vähimad tootmiskulud jne. Optimeerimine - fikseeritud kitsendustele ja püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava parima lahendi leidmine. MAX-põhikuju, MIN-põhikuju
Variatsiooni ulatus Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe Sulgude avamine Sulgude avamisel kasutatakse korrutamise jaotuvuse seadust. Miinus märk sulu ees muudab märgi sulu sees. Sarnaste liidetavate koondamine Sarnased liidetavad erinevad üksteisest kordaja poolest või ei erine üldse Sarnaste liidetavate liitmist nimetatakse koondamiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus Võrrand on võrdlus mis sisaldab tundmatut Võrrandi lahendiks on kõik tundmatu väärtuse mille korral võrdus muutub tõeseks Kõik lahendid kokku moodustavad võrrandi lahendihulga Lahendihulga leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks Kaht võrrandit mis sisaldavad samu tundmatuid nimetatakse sama väärseteks kui nende lahendi hulgad on võrdsed
Prantsuse filosoof ja kirjanik Poliitiline ideaal oli rahvavõim Idealiseeris looduslähedast eluviisi. "Tagasi loodusesse!" 21.11 1694 30.05 1778 Prantsuse filosoof, kirjanik ja ajaloolane ,,Kui harimatu rahvahulk hakkab tegutsema, hukkub kõik." Tema jaoks oli ideaalseks riigikorraks valgustatud absolutism. Selle ideoloogid peavad riigile ja rahvale parimaks valitsejaks haritud ja reformimeelset piiramatu võimuga monarhi. Haridus oli lahendiks ühiskonda painavatele probleemidele. Seega tuli asja muutmiseks riiki oluliselt reformida, et tagada võimalikult ulatuslik haridus võimalikult suurele hulgale inimestele ning kaotada minevikust jäänud riigipoolsed takistused ühiskonna arenguks. Et seda aga teha, pidi uuendajal olema riigis täielik võim. Entsüklopeediatesse sooviti kätkeda kõik inimkonna teaduse, kultuuri ja hariduse saavutused. "Entsüklopeedia ehk teaduste, kunstide ja
joon ning L() on joone asümptootiline siht. Tõestus: Olgu teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0. 1) Olgu L() joone iseärane siht, sell juhul on L() ka iseenda kaassiht, sest iga siht pidi olema sihi L() kaassiht. Seega on L() asümptootiline siht. Teame, et asümptootilise sihi korral on =(s1,s2) nullvektoist erinev vehtor, mille koordinaadid on lineaarvõrrandisüsteemmi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Sellel süsteemil on mitteetriviaalne lahend ((s1,s2)(0,0)) siis peab maatriksi teterminant olema võrne nulliga, seega =a11a22-a122=0 ja on paraboolne joon. 2) Olgu paraboolne joon ja L() joone asümptootiline siht. Näitame, et siht on iseärane. Seega on =(s1,s2) koordinaadid lineaarsüsteemi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Olgu meil L(), kus =(t1,t2) joone suvaline siht. Korrutame lin.võr.süs. esimese võrrandi t1-ga ja teise t2-ga ning liidame kokku,
Lõppvastuses on ka üks üksik väärus. Vastuseks on poollõik või üksik element 2 x 2 32 3. 2p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik x2 4 0 4. 1p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Kuigi nullkohad puuduvad on võrratuse lahendiks kõik reaalarvud. 3 3x 2 1 5x 1 5. 3p. Teisendad võrratust, lahendad intervallmeetodil. Märgid joonisele õige piirkonna. Annad vastuse. Veaks oli nimetaja 5x+1 kadumine. Vastuseks on 2 vahemikku x 1 2 x x 3 3 x 8x 5 x 6 x 66 6. 4p. A. Lahendad esimese võrratuse. Avad sulud, lihtsustad, saad lineaarvõrratuse.
Elektronide difraktsioon Katsetega leiti, et ka elektronidel on omadus defragreeruda. Nähti ühist elektronil ja footonil - mikroosakestel ja nende liikumisel ilmnesid laine omadused. Plancki hüpotees Elektromagnetlained kiirguvad ja neelduvad energiakvantide kaupa. Kvantmehaanika lähtealus, sellest tulenev elektronide dikkreetsete energeetiliste olekute jaoks Elektronide liikumist saab kirjeldada lainevõrrandile sarnase olekuvõrrandi abil, mille lahendiks on elektronide energia. Kui on tegemist vaba elektroniga, võib ta omada igasuguseid energiaid. Seotuna on tal diskreetne energia. Tõenäosuslikkus kvantmehaanikas Kvantmehaanikas pole osakese asukoht ja kiirus samal ajahetkel täpselt määratud: mida täpsemalt on teada osakese asukoht, seda ebatäpsema tulemuse annavad kiiruse mõõtmised ja vastupidi. Elektroni oleks määrab üksnes tõenäosuse ühe või teise mõõtmistulemuse saamiseks. Heisenbergi määramatuse printsiip 1
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada;
0 = 3, mis ilmselt pole tõene. Vastus. Võrrandisüsteemil lahend puudub. Näide 4. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame teise võrrandi mõlemad pooled 2-ga ja seejärel lahutame esimesest võrrandist teise, siis saame tulemuseks ilmselt tõese võrduse 0 = 0. Seega on võrrandisüsteemil lõpmata palju lahendeid. Kuid see ei tähenda sugugi seda, et mistahes arvupaar (x; y) oleks võrrandisüsteemi lahendiks. Lahendeid saab leida näiteks sel viisil, et anname x suvalise väärtuse ja seejärel arvutame y väärtuse. Nii saame näiteks lahenditeks arvupaarid (0; 2), (1; 1), (2; 0), (3; -1) jne. Vaatame nüüd ühte näidet asendusvõtte kasutamise kohta. Näide 5. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame näiteks esimesest võrrandist x ja asendame saadud tulemuse teise võrrandisse: (1) ning peale asendamist saame y suhtes võrrandi
Newtoni II seadus (kiirendus- ja impulssesitus) r=a= 1/m *F Impilss ehk liikumishulk p= mv Kulgliikumise diferentsiaalvõrrand a=1/m *F r= d²r/dt²=1/m *F Kulg diferentsvõrr lahendamine jõu puudumisel ning konstantse jõu korral (tuletusega) a) kui jõud on null, x=0 d/dt (dx/dt)=0 dx/dt=v0x=const, dx=voxdt voxdt=voxt+x0 , kus vox ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal A=Fs=Fscos((Fs)), kus s=r=r2-r1 ning ((Fs)) tähistab vektorite vahelist nurka. Sirgliikumise ninh muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: A=F*s= Fxdx + Fydy + Fzdz Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal A=F(t,r)dr=(Fxdx+Fydy+Fzdz) Kineetiline energia kulgliikumisel v=at=1/m *F*t s=1/2 *at²= 1/2m *Ft² ja töö A=1/2m *Ft² *F=1/2m *F²t²
üldlahendi esitame parameetrilisel kujul {x = (p)=>dx= '(p)dp {y(n) = (p)=>dy(n-1)= (p)dx **Saame: dy(n-1)= (p)*
'(p)dp |S ** y(n-1)= (p)* '(p)dp+C1 **dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]dx ** dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]* '(p)dp |S
jne n-korda. ***III Võrrand kujul F(x, y(k), y(k+1) , ..., y(n)) = 0. kz; 1k
a b ∫ f (x ) dx=¿ a Kuidas arvutatakse: 32. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, masskese, f-ni keskmine väärtus). Rakendused: 1) kujundi pindala 2) kujuni ruumala 3) joon kaare pikkus 4) töö arvutamine 5) kujunid masskese 6) funktsiooni keskmine väärtus 33. Diferentsiaalvõrrand (DV) (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Definitsioon: võrrandit, mis sisaldab sõltumatut muutujat x, tundmatut funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks (DV- ks) Diferentsiaalvõrrandi järk: on differentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk DV lahendiks: nimetatakse iga funktsiooni y=f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse Liigitus: toimub - JÄRK; LINERAARSUS; HOMOGEENSUS 34. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV (definitsioon)
44) - = 45) = 3- 2 y+a a- y y2 - a2 z + 3a z - 9a 2 46)Millise parameetri korral on võrrandil positiivne lahend 4 5 = 3 x - a ax - 2 47) Võrrandit lahendamata leia võrrandi x 2 - 5 x + 3 = 0 lahendite ruutude summa. (19 ) 48)Millise k korral on võrrandi x 2 - 4 x - k = 0 üheks lahendiks -3 ? ( k = 21) 49) Millise k väärtuse korral on võrrandi x 2 - kx + 4 = 0 üheks lahendiks 0,5 ? (k = 8,5) 50) Võrrandi lahendid on x1 jax 2 . Võrrandit lahendamata leia ( x1 - x 2 ) .Võrrand on 2 x 2 + px + q = 0 (p 2 - 4q )
oleva arvuga (arvuga a). Võrratuse saame siis, kui kirjutame kahe avaldise vahele võrratusmärgi <, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13
NO - - 2x x/2 Gaasifaasis moole on 1 - x +1 x + 2x = 2 Arvutan tasakaalukonstandi 3000 K juures G03000 = - RT ln Kp Kp = e-G/RT = e- (104506,8481/mol /[(8,314 (J/molK) 3000K)] = e-4,1890 = 0,01515 Arvutusel jätsin välja üldrõhu, sest selle väärtus on 1. Kp = Kp= = Kp · (1 -2x + x2) = 2x Kp · ( 1 2x + x2 ) 2x = 0 0,01515· (1 2x + x2) 2x = 0 0,01515 0,0303x + 0,01515x2 2x =0 0,01515x2 -2,0303x + 0,01515 = 0 Lahendiks on x= 0,0762. Asendan moolimurdudesse muutuja ning saan tulemuseks: N2 0,4619 = 46,19% O2 0,4619 = 46,19% NO 0,0762 0,0762 = 7,62% N2(g)+O2(g)=2NO(g) T deltaH deltaS deltaG K Log(K) K kJ J/K kJ 273.150 182.520 24.611 175.797 2.395E-034 -33.621 773.150 182
lihtsam, kuigi x-i väärtuseks võib panna ka suurema arvu. 2. Moodustame väärtuste tabelid y=-0.5+0.5x y=4-x x 0 1 2 x 0 1 2 y -0.5 0 0.5 y 4 3 2 3. Joonestame sirged 4. Võrrandsüsteemi lahendiks on nende kahe sirgete lõikepunkti koordinaadid. (antud koordinaatteljestikul punkt G) = Vp= x-2y=1 x 3 Pp= x-2y=1 Vp=Pp Vp- Vasakpoolne Pp- Parempoolne y = 1 Vastus on: Kontroll: Vp= 3-2=1 Pp= 1 Vp=Pp Vp2=6+2=8 Pp2=8 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega: Võtame näiteks võrrandsüsteemi: 2 x + 3 y = -4 5 x + 6 y = -7 1
I (U , R ) = 2) Ohmi seadus: R 3) Õhurõhk maakera pinnal : P = P( , ), kus , o n geograafilised koordinaadid 4) Arvuti töötamiskiirus konkreetse rakendusprogrammi korral: v = v( p,m), p , m - protsessori taktsagedus ja operatiivmälu maht 5) Temperatuur küdeva pliidi raual konkreetsel ajahetkel: T = T(x, y), x,y tasapinnalised ristkoordinaadid 16. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist. Diferentsiaalvõrrandi F=(x,y,y') lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Näide Näidata, et funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahend (C1 ja C2 on suvalised konstandid). ja asendades lahendi y (x) ning 2. järku tuletise algvõrrandisse, saame samasuse: ( sin cos ) ( sin cos ) 0 1 2 1 2 - C x - C x + C x +C x 3 Lahendus: Leiame tuletised (POLE VAJA) Näide y'+1=0 y=-x sest(-x)'=1 y=-x+c, c=const(-;) Eralduvate muutujatega DV
annaabi.ee 
