Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + ...
KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1. 8 õuna, 13 ploomi, 6 pirni Mitu võimalust on, kui võtta.. a) Üks õun või üks ploom või üks pirn? Liitmislause (või) – 8 + 13 + 6 = 27 võimalust b) Üks õun kui ka üks pirn kui ka üks ploom
kaudu 3 teed. Mitut teed pidi saab Kassikülast Hiirekülla? Saab minna kas esimest või teist või kolmandat jne teed pidi, seega, kasutades liitmisreeglit, saame tulemuseks 5 erinevat teed. b) Barbiel tuleb valida 4 kostüümi ja 3 paari kingade vahel, mis kõik omavahel sobivad. Mitu erinevat komplekti ta saab moodustada? Kasutades korrutamisreeglit, saame erinevaid võimalusi 12. 4. Esimese n positiivse täisarvu korrutise ülesmärkimiseks kasutatakse sümbolit n! (n faktoriaal). n! = 1*2*3* ... *(n-1)*n 1! = 1 0! = 1 5. Permutatsioonideks n elemendist nimetatakse n-elemendilise hulga n- elemendilisi ................................?........................................ osahulki ning permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! 6. Hiireküla algkooli kehalise kasvatuse õpetaja tahab teada, mitu võimalust on panna erinevasse järjekorda oma neljaliikmelise võistkonna õpilasi 4 ×100 m teatejooksuks. Leia võimaluste arv. P4=4*3*2*1=24
erineval viisil. Näide: Kui poisil on peole minekuks võimalik valida 3 ülikonna ja 5 lipsu hulgast, siis ülikonna ja lipsu valimiseks on tal 3·5=15 erinevat võimalust. Permutatsioon tähendab ümberpaigutust. Lõpliku hulga elementide permutatsiooniks nimetatakse igat selle hulga elementide järjestust. Kui hulgas on n elementi, siis permutatsioonides esinevad nad kõik. Tähis Pn Arvutatakse Pn n! n! = 1·2·3· ... ·n (n! faktoriaal) Tühihulk on järjestatud ühel võimalikul viisil, see tähendab P0 1 Näide: Mitmel erineval viisil on võimalus moodustada 5-st õpilasest järjekorda? P5 5! 1 2 3 4 5 120 Variatsioonide tüüpülesande võib esitada kujul: On antud n erinevat elementi. Mitmel erineval viisil saab nende hulgast välja valida k elementi, nii et oleks erinev kas vähemalt üks element või elementide järjekord. Variatsioonideks n elemendist k elemendi
juhtub (või tuleb veel rohkem kulle), on kuskil 0,17, aga kui visata 100 korda ja tuleb 70 (või rohkem) korda kull, siis selle tõenäosus on juba 0.000039. Selliseid tõenäosusi arvutatakse järgneva binoomse tõenäosuse valemiga: P(k , N ) = N! k!( N - k )! p k q ( N -k ) ( ) Valem : binoomse tõenäosuse valem P(k , N ) - tõenäosus, et N katsest saadakse k või rohkem positiivset tulemust N! - faktoriaal N-st k!(N-k)! - faktoriaal positiivsetest tulemustest korrutatud faktoriaaliga negatiivsetest tulemustest p k - üksiku positiivse tulemuse tõenäosus astmes positiivsete tulemuste arv q ( N - k ) - üksiku negatiivse tulemuse tõenäosus astmes negatiivsete tulemuste arv Selle valemi rakendamisel oma tulemustele saame katseseeria kogutulemuse juhusliku juhtumise tõenäosuseks 0,0295. Võrreldes meie saavutatud tulemusi varasemate Ganzfeldi eksperimentide omadega, saame
ASIN(a), ACOS(a), ATAN(a), PI() - FACT(n) - n! (n - täisarv) INT(a) - suurim täisarv, mis on <= a ROUND(a;n) - ümardab a väärtuse n - numbrikohani =INT(palk*20 + 0,5)/20 =ROUND(palk*20;0)/ Viie sendi valemid Argumentideta: PI Ühe argumendiga ABS - absoluutväärtus EXP - e aste FACT - faktoriaal LN - naturaallogaritm LOG10 - kümnendlogaritm MOD - jagamise jääk SIGN - märk (+1 või -1) SQRT - ruutjuur Kahe argumendiga: LOG - logaritm POWER - astendamine Paljude argumentidega: SUM, PRODUCT (korrutamine) Ümardusfunktsioonid: ROUND, INT, TRUNC, ... Trigonomeetrilised: SIN, COS, TAN
....................... 367 Tõenäosusteooria algus ehk kuidas valed Ruumiliste kujundite pindalad .....................369 arvutused viivad pankrotti ........................395 Mõned ruumalad ......................................... 373 Kas mu sõbrannast saab riigikogu liige Kochi lumehelves ........................................ 377 ehk tõenäosuste määramise raskustest .....398 permutatsioonid ja faktoriaal .......... 380 Kes on kõrgema IQ-tasemega ehk jaotuste Permutatsioon .............................................380 võrdlemine.................................................. 400 Faktoriaal ....................................................382 Geomeetriline tõenäosus ehk kuidas leida tõenäosuse abil väärtust ................402
suuruseks võrreldes -ga, kui lim = 0 . Kui 0 , siis öeldakse ka, et lugeja läheneb 0-le kiiremini kui nimetaja. Pöördväärtus on lõpmata suur. Arv e e (Euleri arv) on naturaallogaritmi alus. e avaldub e = 2,718281828... e on irratsionaalarv (väärtust ei saa täpselt esitada). Piirväärtus Lõpmatu rea summa: kus n! on arvu n faktoriaal. Piirväärtuse arvutamine- arvu A nimetatakse jada an piirväärtuseks, kui mingist jada elemendist alates kõik jada elemendid on arvule A lõpmata lähedal. Piirväärtuse arvutamiseks kaotame avaldisest ära selle osa, mis muudaks selle avaldise lahendamatuks ning seejärel asendame arvuga ja saame vastuse. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused- L'Hospitali valemit võime kasutada piirväärtuse
erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on
erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on
t. uus järjestus endiste elementidega loetakse uueks ühendiks ). Üksteisest erinevate variatsioonide arvu n m m elemendist m elemendi kaupa tähistatakse Vn (või An ) ja arvutatakse järgmiselt: n! Vnm = = n ( n - 1) ( n - 2 ) ... n - ( m - 1) , ( n - m) ! kus n ! = 1 2 3 ... ( n - 1) n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! = 1 ja 0! = 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm = n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse
Üksteisest erinevate variatsioonide arvu n m m elemendist m elemendi kaupa tähistatakse Vn (või An ) ja arvutatakse järgmiselt: n! Vnm n n 1 n 2 ... n m 1 , n m ! kus n ! 1 2 3 ... n 1 n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! 1 ja 0! 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse
d alamhulk an astendamine, a astmel n i tühi hulk c hulkade ühend arvude 1 kuni 4 summa (=1+2+3+4) 1 hulkade ühisosa hulkade vahe A´B hulga A täiend hulgani B arvude 1 kuni 4 korrutis (=1·2·3·4) n! faktoriaal (n!=1·2·3· ... · n) Matemaatiline loogika - sarnasus, võrdelisus pii, =3,141... e naturaallogaritmi alus, e=2,718... / samaväärne, ekvivalentne arccos x arkuskoosinus & loogiline "ja", konjuktsioon arcsin x arkussiinus
AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud C kompleksarvud n! faktoriaal 1 · 2 · · · n 2 0.2. 0.2 Kreeka tähestik alfa beeta , gamma , delta , epsilon dzeeta eeta , teeta i ioota kapa , lambda µ müü nüü , ksii o omikron , pii , roo , sigma tau , üpsilon
annaabi.ee 
