docstxt/14173634317692.txt
docstxt/12785969709324.txt
Kõvertrapetsi pindala • Meile seni tuntud pindala valemid on rakendatavad ainult teatud erikujuliste pinnatükkide, nagu ristkülik, romb, kolmnurk, trapets jne puhul. Kõverjoonega piiratud pinnatükkidest oskame leida ainult ringi pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem 4) Newton-Leibnizi valem määratud integraali arvutamiseks. 5) Määratud integraali arvutamiseks • leitakse integreeritava funktsiooni algfunktsioon; • leitakse algfunktsiooni väärtused ülemise ja alumise raja kohal; • lahutatakse algfunktsiooni väärtusest ülemise raja kohal algfunktsiooni väärtus alumise raja kohal. 6) 7) Näiteülesanded
miseks. Elementaarfunktsioonide diferentseerimisel nägime, et elementaarfunktsiooni tuletis on üheselt määratud ja see avaldub samuti elementaarfunktsioonina. Elementaarfunktsioonide integreerimisel on olukord teine. Esmalt, kui funktsioonil leidub algfunktsioon, siis on algfunktsioone lõpmata palju. Teiseks, leidub küllalt palju elementaarfunktsioone, mille määramata integraal ei avaldu elementaarfunktsioonina. Selliste integraalide näiteks on 2 e-x dx, sin x2 dx. 3.2 Määramata integraali omadused Vaatame integreeruvaid funktsioone f ja g, kusjuures f (x)dx = F (x) + C, g(x)dx = G(x) + C. Lähtudes määramata integraali definitsioonist ja tuletise omadustest saab tõestada (vt [3], lk 160-162) järgmised integraalide põhiomadused. Lause 3
Ta nõbu õpetas talle prantsuse keelt ning aritmeetikat 11- aastaselt sai ta matemaatikaõpetajaks Pogorelski Bakalaureuse kraadi omandas Moskva Ülikoolis 1941. aastal Kuid jätkas õppimist Brashman'i juhendamisel Hakkas ise Moskva Ülikooli professoriks Saadeti St. Petersburgi 1849 kaitses oma doktorantuuri Aastad 1840-1846 1840-41 osales ta Ülikooli võistlusel, kus seletas ära funktsiooni y = f (x) ( avaldati alles 1950 ) 1842 kirjutas artikli kordsete integraalide kohta, mis avaldati 1843 1844 kirjutas uurimuse Taylor'i seeriate kohta 1846 avaldas tõenäosusteooria täiendatud teooria ( suurte numbrite nõrk seadus) Aastad 1847-1850 1847 tegi uurimuse teemal "Integraalide leidmine logaritmide tähenduse abil" (avaldati alles peale tema surma) 1849-1853 avaldas erinevaid uurimusi numbrite teooria teemadel 1849 avaldas raamatu "Teooriate võrdlus" 1845 Bertrand väitis, et alati on n ja 2n vahel vähemalt üks arv, mis on n>3.
• Isaac Newtoni ülemaailmse gravitatsiooniteooria üks aluseid UURIMUSTÖÖD • “Kosmograafiline müsteerium” • “Uuest tähest Maokandja jalas” • “Astronomia nova” • “Harmonices mundi” • Uuris kombinatoorikat, geomeetrilist optimeerimist ja loodusnähtusi (nt. lumehelbeid) • defineeris antipr -ismad MUUD TÖÖD • tegi põhjapanevat tööd optika alal • aitas legitimeerida avastusi, mille tegi teleskoobi abil tema kaasaegne Galileo Galilei • üks integraalide arvutamise arvutusmeetod nimetatud tema järgi Kepleri vaadireegliks • Oma sissejuhatusega logaritmarvutusse aitas kaasa selle arvutusviisi levikule Saksamaal AMETID • matemaatikaõpetaja Linzis • Tycho Brahe abiline • Grazi seminarikooli (hilisem Grazi ülikool) matemaatikaõppejõud • keiser Rudolf II õuematemaatik • Albrecht von Wallensteini õueastroloog AITÄH KUULAMAST!
F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x)
konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused( sh omadus 3 koos tõestusega). a. Integraalide tabel a.1. a.2. =+1+1+, -1 a.3. a.4. a.5. a.6. a.7. a.8. a.9. a.10. b. Määramata integraali omadused b.1. NB
Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31
f(x) dx = F(x) + C Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk). Määramata integraal on seega siis terve suur funktsioonideparv, kogum, ühisnimega F(x)+C 3) MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x)
Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
λ→ 0 Kuna summa piirväärtus võrdub piirväärtuste summaga, saame ξ ξ n (¿¿ k ) ∆ x k + lim ∑ g( ¿¿ k ) ∆ x k , λ→ 0 k=1 f¿ n I =lim ∑ ¿ λ →0 k=1 mille kohaselt on kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga. Omadus 2. Konstantse teguri c saab tuua integraali märgi alt välja: a a ∫ cf ( x ) dx=c ∫ f ( x ) dx . a a Järeldus 1. Kahe funktsiooni vahe määratud integraal võrdub funktsioonide määratud integraalide vahega: b b b ∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx−∫ g ( x ) dx . a a a Tõestus
5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem
vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv tähistab teisenduse : D jakobiaani: J = u yu y v Üleminek: Kui teisendus : (r , ) D( x, y ) on määratud võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) kujul x = r cos , y = r sin , siis J=r ja muutujate vahetuse eeskiri:
xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L
mõõtmetega). 3. Mehaanika põhiülesanne. Mehaanika põhiülesanne määrata liikuva keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukohta kirjeldatakse tema koordinaatide abil. 4. Kiiruse definitsioonvalem vektorkujul (1.3) ja projektsioonides (1.3a). 5. Kiirenduse definitsioonvalem üldkujul (1.4) ja projektsioonides (1.4a). 6. Liikumisvõrrandid projektsioonides tuletiste kujul (1.6) ja integraalide kujul (1.6a), (1.6b). 7. Ühtlaselt muutuva liikumise definitsioon. Tema võrrandid veltorkujul (1.7) ja (1.9) ning projektsioonides (1.10). Valemite (1.10) tuletamine. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike vältel võrdsete suuruste võrra. 8. Vaba langemise definitsioon ja võrrandid (1.16). Vabaks langemiseks nimetatakse keha liikumist juhul, kui talle mõjub ainult raskusjõud. 9
b a Kui a ≥ b , siis defineeritakse seos ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x ) dx , millest järeldub erijuhu a=b a b a seos järgmisena ∫ f ( x ) dx=¿ 0. (I. Tammeraid) a Määratud integraali omadused Omadus 1. Kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga: 6 b b b ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx . a a a Tõestus Määratud integraali definitsiooni järgi b n I =∫ [ f ( x )+ g ( x ) ] dx=lim ∑ [ f ( ξk ) + g ( ξk ) ] ∆ xk . a λ→ 0 k=1
f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax =ln |x|+C 4. a x dx = +C , kus a> 0, a 1 5. sinxdx=-cosx+C x lna dx dx 6. cosxdx=sinx+C 7. =tanx+C 8. =-cotx+C
f ( x)dx = lim f (k )xk a 0 k =1 b b b 1) [ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx a a a 2) konstandi saab tuua integraali ette, sellest järeldub et ka lahutamistehe sarnaselt liitmisega ekisteerib 3) kui f(x)>=0 [a;b] siis on ka integraal rajades a'st b'ni f(x)'ist >= 0'iga. Järeldus: kui f(x)<=g(x) lõigul [a,b], siis sama võrdus kehtib ka integraalide puhul. (tõestada geomeetrilise näite põhjal) b b 4) f ( x)dx f ( x) dx a a 5) kui vahetada rajad integraalis, siis tuleb miinus märk ette. Tõestada geom. näite põhjal b c b 6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx - c ei pea olema a ja b vahel a a c b
avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 2. 3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud
konstantide ja korral on ka funk tsioon y=f(x) + g(x) integreeruv lõigus [a, b] , kusjuures kehtib võrdus ab[ f(x) + g(x)]dx = abf (x )dx + abg (x )dx. T15. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a,b] , siis on selles lõigus integreeruv ka nende funktsioonide korrutis y=f(x)g(x). T16. Kui lõigus [a, b] integreeruvad funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) rahuldavad iga x [a, b] korral võrratust f(x) g (x), siis kehtib ka integraalide vahel võrratus abf (x )dx abg(x)dx (a < b ). T17. Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis on selles lõigus integreeruv ka tema absoluutväärtus y=|f (x)|, kusjuures kehtib võrratus | abf (x )dx | ab|f (x )|dx (a < b ). T18. Newton-Leibnizi valem: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] ja kui tal on selles lõigus olemas algfunktsioon y=F(x), siis kehtib valem abf (x )dx =F(b) - F(a). T19
Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ʃf(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ʃ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil 34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C.
Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx. NB
18. Milliseid võimalusi teate Mohr'i integraali väärtuste arvutamiseks? *katkevate funktsioonidega integreerimisvahemik 0 ... l jagatakse pidevate funktsioonidega vahemikeks: x = l1 ... l2, kus M = M2(x) ja m = m1(x) jne. * vahemiku integraal on osavahemike integraalide summa: Näitab kui palju mingis punktis on varras väändes 11. PAINDEDEFORMATSIOON 11.19. Kuidas on detaili paindejäikus seotud materjali tugevusega? 11.1. Mis on varda elastne joon? 11.20. Kuidas arvutada paindesiirdeid ruumilise painde korral? = painutatud varda telje (ehk neutraalkihi) kujutis peatasandil. Elastse Kuna läbipainet on tarvis arvutada mitmes kohas, siis on otstarbekas
erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra. 80.Määramata integraali mõiste Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis avaldist F(x) + C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. 81.Määramata integraali omadused [f(x)+g(x)]dx =f(x)dx + g(x)dx, st kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kui a on konstant, siis af(x)dx = af(x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette. [f(x)-g(x)]dx = f(x)dx - g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. 82. Ositi integreerimise valem Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. 83.Muutuja vahetus määramata integraalis. 84
e e. Geomeetriline sisu: Määramata integraal ei ole ühene funktsioon - tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükke abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega) a. Määramata integraali omadused: b. 3. omaduse tõestus: b.i. Kasutades leiame seose = 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldmisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. a. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus: a.i. Valime mingi funktsiooni
e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määramata integraali avaldamisel
Ositi integreerimine - udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste või ln). 38. Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton-Leibnizi valem. Määratud integraal eeldusel, et f(x) on pidev lõigus [a;b]; kui leidub piirväärtus, siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni. Omadused: 1) Kui rajad on võrdsed on integraal 0 2) Määratud integraal funktsioonide summast võrdus liidetavate integraalide summaga. 3) Määratud integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega. 4) Kontstantse teguri C võib tuua määratud integraali märgi ette. 5) Integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks. 6) Määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne 7) Newton-Leibnizi valem: 39
Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus. L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid. 5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga: b b b [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx. (5.1) a a a T~oestus M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt b n I= [f (x) + g(x)]dx = lim [f (k ) + g(k )]xk .
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks ...
integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2. Kui c on konstant, siis: 3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega: 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis: 2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus
(valem). b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 27. Määratud integraali omadused. a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28. Asendusvõte (kuidas valid uus muutuja?). 29. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). 30. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). t Definitsioon: Kui ∫ f (x) dx eksisteerib iga arvu t≥a korral, siis a defineerime päratut integraali kui t lim ¿ t → ∞∫ f ( x ) dx a f ( x ) dx=¿ ¿ ∞ ∫¿ a Kuidas arvutatakse: 31
13 MATEMAATILINE ANALÜÜS I koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad -telje sihilise paralleellükke abil. 27) Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 5 4, kuna 4 1 ' 6,7 ' 6,7 '6 2. 5 ( 4, kus 1, kuna : ; 1 ( (8 (8 (8 <' 3. 5 # | | 4
Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Geomeetriline sisu 34. Integraalide tabel 35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Vaatleme määramata integraali (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides p x = p 0 x + Fres , x t . (5.6) Valemi (5.5) komponentkujule viimiseks kasutame asjaolu, et resultantjõu vektor avaldub Fres = i Fres , x + j Fres , y + k Fres , z . Vastavalt Newton-Leibnitzi valemile summa integraal võrdub integraalide summaga, järelikult võime integreerida kõiki liidetavaid eraldi. Algimpulssi p 0 lõppimpulssi p samuti komponentideks lahutades saame näiteks impulsi x-komponendi jaoks t p x = p 0 x + Fres , x dt . 0 (5.7) 1 Valemist (5
dv dm = vg M + m . v Integreerimisel võtame veel arvesse, et g kui gaasijoa kiirus raketi suhtes on konstant, raketi kiiruse moodul muutub algväärtusest 0 kuni lõppväärtuseni v ning kütuse täielikul ärapõlemisel on väljapaisatud gaasi kogumass alghetkel 0, lõpphetkel m . Selle järgi paneme integraalide rajad: v m dv dm v M +m 0 v g = 0 M + m v g = ln M . Avaldades siit suuruse m saame, et kui raketi tühimass on M , siis tema kiirendamiseks paigalseisust kiiruseni v vajaliku kütusekoguse mass avaldub v m = M exp - 1 v g . (5.17)
konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx + C dx ∫ cos2 x = tanx + C dx
F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n F ( x)dx h ( y o / 2 + yi + y n / 2) = h ( yi - y 0 / 2 - y n / 2)
F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n F ( x)dx h ( y o / 2 + yi + y n / 2) = h ( yi - y 0 / 2 - y n / 2)
. Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st . Seejuures tähistatakse sümboliga tuletist rea (1) summast. Astmeridade rakendusi: 1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. 2. Integraalide arvutamine. 3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y(n), st. kui F on mingi n + 2–muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus.
Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib ka tõlgendada kui üheste funtksioonide parve y = F(x) + C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonide parve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, millel jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 30. Integraalide tabel 31. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks Vaatleme määramata integraali (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega
2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n
. Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st . Seejuures tähistatakse sümboliga tuletist rea (1) summast. Astmeridade rakendusi: 1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. 2. Integraalide arvutamine. 3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y (n), st. kui F on mingi n + 2muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus.
F3 max Max või min 7 F2 max ja selle asukoht a õppemärkmiku nr. oht b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n
. Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida, st . Seejuures tähistatakse sümboliga tuletist rea (1) summast. Astmeridade rakendusi: 1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. 2. Integraalide arvutamine. 3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y (n), st. kui F on mingi n + 2muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus.
F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n F ( x)dx h ( y o / 2 + yi + y n / 2) = h ( yi - y 0 / 2 - y n / 2)
6 Column D 4 2 0 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n -1 n
000 3.000 2.000 1.000 0.000 -1.000 -2.000 -3.000 -4.000 -5.000 F1 F2 F3 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool x telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga: b n 1 n
kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12 Päratud integraalid ja nende rakendused 105 12.1 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.2 Lõpmatute rajadega integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.3 Integraal tõkestamata funktsioonist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Euler'i integraalid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.6 Irratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
