Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine;
90 0 ± 180 0 ± 270 0 ± 360 0 ± sin cos sin cos ± sin cos sin cos ± sin cos tan cot ± tan cot ± tan cot tan ± cot tan ± cot 0o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o 1 sin 2 3 0 1 0 1 2 2 2 1 cos 3 2 1 0 1 0 2 2 2 tan 3 0 3 1 3 0 ...
Näide 5 cos 2 x + 21cos x - 20 = 0. Lahendame antud võrrandi kui ruutvõrrandi cos x suhtes: 5u 2 + 21u - 20 = 0. Lahenditeks on u1 = 0,8 ja u2 = -5. Tulemusena saame võrrandid cos x = 0,8 ja cos x = -5. millest esimene annab lahendi x = ±0,6435 + 2n , n Z , teine aga on vastuoluline. Algebraline võrrand trigonomeetrilise funktsiooni suhtes Mõned trigonomeetrilised võrrandid kujutavad endast algebralisi võrrandeid keerukama avaldise suhtes. Näide tan 2 6 x tan 6 x 2 +2 + 1 = 0. tan 3 x tan 3 x tan 6 x Tegemist on ruutvõrrandiga = z suhtes. tan 3 x Lahendades selle (z suhtes), saame võrrandi tan 6 x = -1 tan 6 x = - tan 3 x = tan(-3 x) tan 3 x
Trigonomeetrilised võrrandid Kordamine (lai matemaatika) 1. Trigonomeetrilised põhivõrrandid Näide: sin x = 0,3342 arcsin 0,3342 = 19,5 0 Vastus : x = ( - 1) 19,5 0 + n 180 0 , n Z n Näide: Lahenda võrrand lõigul - 90 ;90 0 0 [ ] 2 cos 3 x + 2 = 0 3x = ±135 0 + n 360 0 , n Z : 3 n = 1 x = ±45 0 + 1 120 0
Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z cosx = m = x = ±arccosm + 2n ; n Z tanx = m = x = arctanm + n ; n Z SIN, COS, TAN joonised ! SIN x I - I -3/4 I -/2 I /4 I -/6 I 0 I sin x I 0 I -0,7 I -1 I -0,7 I -0,5 I 0 I x I /6 I /3 I /2 I 5/6 I 2/3 I I sinx I 0,5 I 0,9 I 1 I 0,5...
docstxt/133536230026096.txt
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine;
u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid Sin(α+β)=sinα x cosβ+cosα x sinβ Sin(α-β)=sinα x cosβ-cosα x sinβ Cos(α+β)=cosα x cosβ-sinα x sinβ Cos(α-β)=cosα x cosβ+sinα x sinβ tanα+tanβ Tan(α+β)= 1−tanα x tanβ tanα−tanβ Tan(α-β)= 1+tanα x tanβ Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid Sin2α=2 x sinα x cosα 2 2 Cos2α= cos α−sin α 2 x tanα Tan2α= 1−tan2 α Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid α 1−cos ∝ ∝ sin 2 = /x 2⇛ 2sin 2 =1−cos ∝ 2 2 2 ∝ 1+cos ∝ ∝ cos 2 = /❑ x 2 ⇛ 2 cos 2 =1+ cosα 2 2 2 ∝ 1−cos ∝ tan 2 = 2 1+cos ∝ ∝ sin ∝
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0;
Programmi GeomeTricks kasutamine Tööleht 10. klassile. Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Koostas Merike Tiilen Töö eesmärk: Kasutades programmi Geome Tricks laiendada trigonomeetriliste funktsioonide mõistet mistahes nurgale. Töö on mõeldud 10. klassile siinuse mõiste iseseisvaks õppimiseks. Töö ülesanne: Defineerida mistahes nurga siinus. 1. Lülita sisse koordinaatvõrgustik. 2. Märgi punkt O(0;0) / sõltumatu objekt - koordinaatvõrgupunkt /ja punkt A (0;x) s.t. suvaline punkt x- teljel. 3
Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2 Põhilised taandamisvalemid
Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2 Põhilised taandamisvalemid
Trigonomeetria valemid: Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin α funktsioonid funktsioonid sin 2 α + cos 2 α = 1 = tan α tan α ⋅ cot α = 1 cosα 1 1 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α = cos 2 α sin 2 α
Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + + y = cot + + · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi
Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi 0 1 0 -1 1 0 -1 0 0 1 - 0 - - 1 0 - 0 Taandamisvalemid Negatiivse nurga Trigonomeetrilised põhivalemid!!! trigonomeetrilised funktsioonid Kahe nurga summa ja vahe valemid Kahekordse nurga valemid
1 + cot 2 = tan 2 = tan( + ) = sin 2 1 - tan tan tan cot = 1 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid Liitmisvalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos 2 - sin 2 = cos 2 cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan 2 2 tan( ± ) = sin 2 + cos 2 = 1
sin( + 2n ) = sin cos( + 2n ) = cos tan( + n ) = tan Näide sin( + x) = - sin x sest kolmandas veerandis on siinus negatiivne tan(2 - x) = - tan x sest neljandas veerandis on tangens negatiivne cos(2 - x) = cos x sest neljandas veerandis on koosinus positiivne sin( + x) = cos x sest teises veerandis on siinus positiivne 2 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan( ± ) = 1 tan tan Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos - sin 2 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid Järgmistes valemiste võetakse märk "+" või "-" vastavalt sellele,
2 tan 0 3 1 3 puudub 2 cot puudu 3 1 0 3 b 3 34. Täiendusnurga trigonomeetrilised funktsioonid sin(90 0 - ) = cos , cos(90 0 - ) = sin , tan(90 0 - ) = cot 35. Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin( -) = -sin , cos( -) = cos , tan(-) = - tan 36. Tähtsamad taandamisvalemid sin(180 0 - ) = sin sin(180 0 + ) = - sin sin(360 0 - ) = - sin cos(180 0 - ) = - cos cos(180 0 + ) = - cos cos(360 0 - ) = cos
2 tan 0 3 1 3 puudub 2 cot puudu 3 1 0 3 b 3 34. Täiendusnurga trigonomeetrilised funktsioonid sin(90 0 - ) = cos , cos(90 0 - ) = sin , tan(90 0 - ) = cot 35. Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin( -) = -sin , cos( -) = cos , tan(-) = - tan 36. Tähtsamad taandamisvalemid sin(180 0 - ) = sin sin(180 0 + ) = - sin sin(360 0 - ) = - sin cos(180 0 - ) = - cos cos(180 0 + ) = - cos cos(360 0 - ) = cos
võrratusesüsteeme; 4) kasutab arvutit, lahendades Teravnurga siinus, võrratusi ja võrratusesüsteeme; koosinus ja 5) leiab taskuarvutil teravnurga tangens. trigonomeetriliste funktsioonide Täiendusnurga väärtused ning nende väärtuste trigonomeetrilised järgi nurga suuruse; funktsioonid. 6) lahendab täisnurkse Trigonomeetrilised kolmnurga; põhiseosed 7) kasutab täiendusnurga täisnurkses trigonomeetrilisi funktsioone; 8) kasutab kolmnurgas. lihtsustamisülesannetes
Funktsioonid ja nende graafikud Põhiteadmised Võrdeline sõltuvus; pöördvõrdeline sõltuvus; üksühene seos; funktsiooni mõiste; lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus y = ax
Põhiseosed: Täiendusnurga valemid: Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused: 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Iga nurk x esitub kujul: Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid: Nurga radiaanmõõt: Kolmnurga pindala: Siinusteoreem: Koosinusteoreem: Kahe nurga summa ja vahe: Kahekordse nurga siinus, koosinus ja tangens:
funktsiooni f (x) perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik on määratud, kui on teada selle graafiku osa ühe perioodi pikkuses poollõigus. 9. Elementaarsed põhifunktsioonid. Elementaarfunktsioonid_ I. Astmefunktsioon: log y = α log x α irratsionaalse väärtuse korral arvutatakse see funktsioon logaritmimise ja potentseerimise teel:, (y=x astmel a) Eksponentfunktsioon: (y= a astmel x) Logaritmfunktsioon: (Y= log a X) Trigonomeetrilised funktsioonid: Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. Kõik loetletud trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised Liitfunktsioon: Kui y on muutuja u funktsioon, u aga omakorda sõltub muutujast x, siis ka y sõltub muutujast x. Olgu y=f(u) ja u = ϕ (x ). Siit saame, et y=f(ϕ (x )) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mida saab anda üheainsa valemiga y= f( x), kus paremal olev avaldis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja
Taandamisvalemid Trigonomeetrilised funktsioonid Varasemast on teada: sin (a + n*360)= sin a cos (a + n*360)= cos a tan (a + n*360)= tan a cot (a + n*360)= cot a Iga 360 kraadist väiksem nurk on teisendatav 1. veerandi nurgaks II veerand I veerand III veerand IV veerand II veerandi nurgad: Valem: 180-a sin (180-a)= sin a cos (180-a)= -cos a tan (180-a)= -tan a cot (180-a)= -cot a III veerandi nurgad: Valem: 180+a sin (180+a)= -sin a cos (180+a)= -cos a tan (180+a)= tan a
sin + sin = 2 sin cos 2 2 + - sin - sin = 2 cos sin 2 2 + - cos + cos = 2 cos cos 2 2 + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 +tan sin ( + ) tan = cos cos Trigonomeetrilised põhivõrrandid: sin x = m x = ( -1) n arcsin m + n , n Z cos x = m x = +arccos m + 2n , n Z tan x = m x = arctan m + n , n Z
Ettevalmistus matemaatika riigieksamiks Taimi TammVask Teemad I Reaalarvud ja avaldised; II Lineaar, ruut, murdvõrrandid ja võrratused; III Vektor tasandil. Joone võrrand Teemad IV Funktsioonid ja nende graafikud; V Arvjada ja selle piirväärtus; VI Logaritm ja eksponentfunktsioonid. Logaritm ja eksponentvõrrandid ning võrratused; Teemad VII Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid; VIII Funktsiooni piirväärtus ja tuletis; IX Geomeetria tasandil ja ruumis; X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab arvutada peast, kirjalikult või arvutusvahendite abil ja oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi; oskab teisendada algebralisi avaldisi; oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning võrratusi ja võrratussüsteeme;
Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a , siis f x ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x www.andmill2.planet.ee/gmat.html
y = x 2n, n 0, n N y = x (2n 1), n 0, n N Juurfunktsioonid y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a x , siis f ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x 5. Arvjada ja selle piirväärtus. Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada an = an 1 + d an = a1 + (n 1)d a + a k +1 a k = k -1 2 a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n = 1 n
e x dx=e x C x x e '=e Logaritmfunktsioon 1 1 ln x ' = x x dx=lnxC 1 log a x '= x ln a Trigonomeetrilised sin x ' =cos x sin x dx=-cos xC funktsioonid cos x ' =-sin x 1 cos x dx=sin xC tan x' = 2 1 cos x cos 2 x dx=tan xC 1 cot x '=- 2 1
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse
Matemaatika Trigonomeetria: täisnurkse kolmnurga lahendamine. a,b= kaatetid c= hüpotenuus +=90° =90°- või =90°- c2=a2+b2 c=a2+b2 a=c2-b2 b=c2-a2 Kolmnurga pindala: S=a*b/2 Teravnurga siinus on vastaskaateti ja Trigonomeetrilised funktsioonid: hüpotenuusi suhe(jagatis) sin=a/c sin=b/c Teravnurga kosinus on lähiskaateti ja cos=b/c cos=a/c hüpotenuusi suhe(jagatis) tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis) Nurki mõõdame kraadides: 1°
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
allapoole. LIISI KINK 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 3) Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsiooni ! nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = ! . Funktsiooni ! nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = -! . Funktsiooni ! nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant ' > 0 nii, et iga korral kehtib võrdus ! + ' = ! . Väikseimat sellist konstanti ' nimetatakse funktsiooni ! perioodiks. Olgu ( funktsiooni
sin ( - ) = sin cos - cos sin tan ( - ) = tan - tan / (1 + tan tan ) cos ( + ) = cos cos - sin sin cot ( + ) = cot cot -1/ (cot + cot ) cos ( - ) = cos cos + sin sin cot ( - ) = cot cot + 1 /( cot - cot ) Kahekordse nurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin 2 =2sin cos cos 2 =cos2 - sin 2 cos 2 = 2 cos2 -1 cos 2 = 1- 2 sin 2 tan 2 = 2 tan / (1 - tan 2 ) cot 2 = cot2 - 1/ (2cot ) Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid. cos2 (/2) + sin2 (/2) = 1 cos2(/2) - sin 2(/2) = cos Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(/2) = 1 + cos Lahutades: 2sin 2(/2) = 1 - cos järelikult: cos2 (/2) = 1 + cos (/2) sin 2/2) = 1 - cos (/2) Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks. sin + sin = 2sin( + ) /2 cos( - ) /2 sin - sin = 2cos( + ) /2 *sin( - ) /2 cos + cos =2cos( +) /2 *cos( -) /2 cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos)
cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1 cos 1 0,5 0 tan 0 1 puudub cot puudub 1 0 POOLNURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID cos2 (a/2) + sin2 (a/2) = 1 cos2(a/2) - sin2(a/2) = cos a Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(a/2) = 1 + cos a Lahutades: 2sin2(a/2) = 1 - cosa järelikult: cos2 (a/2) = 1 + cos (a/2) sin2a/2) = 1 - cos (a/2) VEKTORID TASANDIL Punktid A(x1;y1) ja B(x2;y2) Vektori koordinaadid on AB=(x2-x1;y2-y1) Vektorid u=(a;b) ja v=(c;d) Summa ja vahe u ±v =(a±c;b±d) Korrutis arvuga r r·u = (ra;rb) Vektori skalaarkorrutis u·v = a·c + b·d ja u· v =|u||v|·cos
1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral
Kui jadad (Xn) ja (Yn) on koonduvad ja nende jadade üldliikmed x rahuldavad iga n e N korral võrratust Xn=Yn, siis samasugust võrratust erinev. *Eksponentfunktsioon on funktsioon j argmisel kujul: kus astme y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide)
Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. monotoonne funktsioon Ühtlaselt kasvav ja kahanev funktsioon ? tõkestatud funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 3. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, muutumispiirkonnad ja graafikud. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c
väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks.
puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x
................................................................................................. 23 Radiaanimõõt......................................................................................................................24 Trigonomeetriliste nurkade väärtused mõnede nurkade korral.............................................. 24 Ringjoone kaare pikkus, sektori pindala.................................................................................24 Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid.................................................................... 24 Seosed ühe ja sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel.........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus.......................
EXCEL – Funktsioonid 1 - 11 Sisukord 1 Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid.....................................................................................................2 2 Kuupäeva ja kellaaja funktsioonid...............................................................................................................................2 3 Statistilised funktsioonid..............................................................................................................................................3 4 Tekstifunktsioonid...........................
2. Varrastarindi skeem joonmõõtkavas 5 Joonis: 1.1 Tervik 3. Trossi ja puitvarda sisejõud ja funktsioonid Joonis: 1.2 Lõige 1 6 Joonis: 1.3 Lõige 2 Nt terastrossi pikijõud ehk tõmbejõud Np puitvarda pikijõud ehk survejõud 7 Joonis: 1.4 Nurgad 8 Sisejõudude avaldamiseks peab lahendama trigonomeetrilised küsimused. Nurkade automaatseks arvutamiseks kasutan programmi SolidWorks 2017 Student edition. Nurgad on välja toodud joonisel 1.4. Valides y telje risti puitvardaga ja x telje piki puitvarda telge saame, et Nurk F-i ja y-telje vahel on 45° ning F-i ja x-telje vahel on 45°. Nurk Np ja x-telje vahel on 0° ning Np ja y- telje vahel on 90°. Nurk Nt ja x-telje vahel on 21° ning Nt ja y-telje vahel on 69°. Sisejõud koormuse F funktsioonidena tulenevad järgmiselt: Tasakaalutingimus:
kui tema väärstustest on moodustunud järjestatud hulk, funktsioonide ahenditega. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. st mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, Trigonomeetrilised funktsioonid pole oma terves Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega kumb neist on eelnev, kumb järgnev. määramispiirkonnas ühesed
b) On lõpmatult palju lahendeid 1° = rad 180° 25. Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala 1 - cos 1 sin =± l = rx S = xr 2 2 2 2 1 + cos 26. Mistahes nurga trigonomeetrilised cos =± funktsioonid 2 2 27. Taandamisvalemid 1 - cos tan =± Teine veerand: 2 1 + cos sin(180° - )=sin sin cos(180° - )= -cos tan = 2 1 + cos
annaabi.ee 
