Liitmise ja lahutamise seos. 2. klass Kersti Smorodina Liitmine ja lahutamine on omavahel seotud: Vaata joonist ja näiteid. 3+2=5 52=3 Mida saad arvutada? REEGEL! Lahutamine on liitmise pöördtehe. 3+5=8 85=3 Pöörame ümber Harjuta! ÜLESANNE 1 12 + 4 = 18 4 = 3+7= 14 5 = 11 + 5 = 20 6 = 7+8= 17 5 = ÜLESANNE 2 Lahuta ja kontrolli liitmisega. 12 4 = 95= 15 5 = 19 7 = 20 3 =
Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ja tähistatakse A=B, kui A toimumisest järeldub B toimumine ja vastupidi. Sündmuste summa Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või B või toimuvad A ja B korraga. Sündmuse A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis kui toimub nii A kui ka B. Sündmuste A ja B vahe A B on sündmus, mis toimub siis, kui A kuid ei B. 4. Tõenäosuste liitmise lause (tõestusega). Üksteist välistavad sündmused. Tõenäosuste liitmise lause üksteist välistavate sündmuste puhul. Tõenäosuste liitmise lause. P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB). Kui sündmused A ja B on teineteist välistavad, st nad ei saa korraga toimuda, siis P(A+B)=P(A)+P(B). Kui sündmused A1, A2, ....,Ak on üksteist välistavad, siis P(A1+A2+...+Ak)=P(A1)+P(A2)+...+P(Ak). Tõestus ! P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)
....................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd +
Definitsioon Negative arv on arv, mis on viksem kui null. Definitsioon Vastand arvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. Definitsioon Tisarvud on kik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss null. Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et mrata asukoha krgus vi sgavus. Negatiivseid arve kasutatakse vlgade kirja panemisel Vihje Kui arvu ees ei ole mrki, see on positiivne arv. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #1 Kui mrgid on samad, siis ra panne nendele esmalt the. Liida arvude absoluutvrtused ning kirjuta vastusele nende hine mrk. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #2 Kui mrgid on erinevad lahuta suurema absoluutvrtusega arvust viksema absoluutvrtusega arvu. Vastusele pane suurema absoluutvrtusega arvu mrk. Positiivsed ja negatiivsed arvud Definitsioon Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. Definitsioon Negatiivne arv on arv, mis on viksem kui null. Definitsioon
ARVUDE NIMED LIITMISEL: ARVUDE NIMED LIITMISEL: 7 + 6 = 13 7 + 6 = 13 LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. SUMMA on liitmise tulemus. SUMMA on liitmise tulemus. ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: 14 - 6 = 8 14 - 6 = 8 VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame.
MÄRK MÄRK TULEMUS + + + + - - - + - - - + POSITIIVSETE JA NEGATIIVSETE ARVUDE LIITMINE JA LAHUTAMINE 2+ (-3)= 2-3= -1 -3 + (-2) = -3 -2 = -5 7 + (- 13) = 7 13= -6 4 ( -5) = 4 + 5 = 9 - 4 (-5) = -4 + 5 = 1 KASUTA ARVTELGE! 2+ (-3)= .. ... -3 + (-2) = . .... 7 + (- 13) = .. ... 4 ( -5) = ..... -4 (-5) = ..... LIITMISE SEADUSED I seadus - Liitmise vahetuvuse seadus SUMMA EI MUUTU, KUI MUUDAD LIIDETAVATE JÄRJESTUST a+b=b+a II seadus - Liitmise ühenduvuse seadus LIITMISEL VÕIN LIIDETAVAID RÜHMITADA NII NAGU SOOVIN, SUMMA SELLEST EI MUUTU a + (b + c) = (a + b) + c KULDREEGEL MIINUSMÄRK SULU EES MUUDAB MÄRGI SULU SEES! TÄISARVUDE KORRUTAMINE JA JAGAMINE MÄRK MÄRK TULEMUS + ARV + ARV + ARV
AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus
Seda mõtet väljendas Albert Einstein sõnadega: ,,Varem arvati, et kui mingi ime tõttu kõik objektid häviksid, siis aeg ja ruum säiliksid. Relatiivsusteooria kohaselt kaovad koos asjadega ka ruum ja aeg." 6. Universaalset konstanti valguse kiirus vaakumis saab kasutada etalonina kiiruste võrdlemisel. Kiirus on väike, kui v << c, ja suur, kui v ~ c. 7. Kaob liikumisseaduste universaalsus. Suurte kiiruste korral kaotavad kehtivuse klassikaline kiiruste liitmise seadus ja Newtoni teine seadus. Kui v << c, kehtib Kui v ~ c, kehtib Galilei kiiruste liitmise seadus Relativistlik kiiruste liitmise seadus v = v1 + v2 , seega juhul kui u c ja v c, siis u' c. Newtoni liikumisseadus Relativistlik liikumisseadus
Seega vektor ei sõltu oma asukohast. Vektorit võib tasandil või ruumis vabalt liigutada, on vaid oluline, et tema siht, suund ja pikkus säiliks. Kui vektoritel on erinev ainult suund, siis nimetatakse neid teineteise vastandvektoriteks. Esimesel joonisel on vektorid a ja d teineteise vastandvektorid. Vektori a vastandvektorit tähistatakse enamasti - a . Seega on esimesel joonisel d = - a . a+b Vektorite liitmise kolmnurga reegel: Kaks vektorit tuleb asetada b nii, et teise vektori alguspunkt asuks esimese vektori lõpp-punktis. Kahe vektori summaks on vektor, mis ühendab esimese vektori alguspunkti teise vektori lõpp-punktiga. a Vektorite liitmise rööpkülikureegel: Kaks liidetavat vektorit tuleb asetada niiviisi, et nende alguspunktid ühtivad. Vektorite b a+b
Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile. · Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1
elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗
- 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas. 3 Täisarvud Täiendades naturaalarvude hulka negatiivsete täisarvudega -1, -2, -3, ..., saame täisarvude hulga.
Kui obiekt pole vastastikmõjus ümbritsevate obiektidega, siis iga ajahetke võib valida alghetkeks. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja Tugev, Elektromagnetiline, Nõrk, Gravitatsiooniline. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor- Füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt. Skalaar- Füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektor projektsioon teljel on skalaar. On vaja, et näha vektori teljesuunalist komponenti. 12
Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n
Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}. Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv.
Inversiooni tähistatakse erinevates allikates erinevalt: A A A' Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste konstruktsioonide abil liitlauseid: Aritmeetilise liitmise tehtemärki ' + ' sobib kasutada VÕI-tehte ehk disjunktsiooni tehtemärgina sellepärast, et disjunktsioon on "tavalise" " kui palka ei tõsteta või tööaega ei vähendata, siis algab streik " aritmeetilise liitmise analoog loogikas. " ülemus on kohal ainult siis, kui tema auto on maja ees" ( Sümbol ' ' on siin ja edaspidi kasutusel tähenduses " on samaväärne" )
se paus 0,1 s. Programmi Paus teksti leiate jooniselt 1. kordub, kuni lind saab puurist välja. e väljastatakse tehtud sammude arv, läbitud teekond trites (1pt ~ 25.4/72 mm) ja aeg. ne 2 e programm Tagasi, mis paigutab linnu algseisu ehk puuri kti. algväärtustamine us [a,b] ahemiku lõpp de genereerimine Aste Arv 5 0 Arvuta Tagasi Ülesanne 1 Koostage programm Arvuta, mis kontrolib kasutaja liitmise oskust ning teeb järgmist. 1. Küsib kahe arvu liitmise tulemust. Arvud genereeritakse juhuslike arvude generaatori RND abil vahemikus 1 kuni 30. 2. Kasutaja vastab. Kui vastus on õige, liigub õhupall vasakule. Kui vastus on vale, lendab õhupall ülesse. See, kui kaugele nihkub õhupall vasakule või ülesse, sõltub astmest, mida töölehelt loetakse. Astme arvestamise meetodi mõtleb välja programmi koostaja
evus kordub, kuni lind saab puurist välja. lehele väljastatakse tehtud sammude arv, läbitud teekond meetrites (1pt ~ 25.4/72 mm) ja aeg. sanne 2 stage programm Tagasi, mis paigutab linnu algseisu ehk puuri kpunkti. Keskele Lenda ori algväärtustamine mikus [a,b] - vahemiku lõpp rvude genereerimine Aste Arv 5 2 Arvuta! Tagasi! Ülesanne 1 Koostage programm Arvuta, mis kontrolib kasutaja liitmise oskust ning teeb järgmist. 1. Küsib kahe arvu liitmise tulemust. Arvud genereeritakse juhuslike arvude generaatori RND abil vahemikus 1 kuni 30. 2. Kasutaja vastab. Kui vastus on õige, liigub õhupall vasakule. Kui vastus on vale, lendab õhupall ülesse. See, kui kaugele nihkub õhupall vasakule või ülesse, sõltub astmest, mida töölehelt loetakse. Astme arvestamise meetodi mõtleb välja programmi koostaja. 3. Õhupall liigub kuni jõuab sinise taeva alumise piirini või seinani. 4
· Jõujooned, algavad alati positiivselt laetud kehalt ja lõpetab alati negatiivselt laetud kehal. 12. Dielektrilise läbitavuse mõiste · Aine dielektriline läbitavus näitab mitu korda on elektriline jõud vaakumis suurem jõust antud aines. 13. Homogeense elektrivälja mõiste ja kus see tekib? · Homogeene elektriväli mille jõujooned on paralleelsed sirged kahe erinimeliselt laetud plaatide vahel. 14. Elektriväljade liitmise reegel? Elektriväljade liitmise reegel ehk superpositsioonide printsiip · Kui elektriväljad tekitavad mitu laetud keha siis elektrivälja tugevus mingis punktis on võrdne.
0 4. Sündmuse A vastandsündmuse suhteline sagedus on 2. Tehted sündmustega. Vastandsündmuse, sundmuste katseseeria jooksul on juhuslik suurus, millel on n+1 Pn( )=1-Pn(A) 5. Tõenäosuste liitmise lause. P n(A+B)= väärtust 0,1, ..., n. Seda juhuslikku suurust nimetatakse summa, sündmuste korrutise definitsioonid. Sündmuse Pn(A)+Pn(B)-Pn(AB) 6. Tõenäosuste korrutamise lause. binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks A vastandsündmus on sündmus, mis toimub siis, kui A Pn(AB)=Pn(A)Pn(B/A) ei toimu. P(A)+P( )=1
teisele ega kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Arvuhulkade omadused ● Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on tihe arvuhulk, s.t. Iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Arvuhulkade omadused ● Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on pidev arvuhulk, s.t. Need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise,
z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2
ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et kompleksarvudeks.
2 Tulemused Joonis 1 sisaldab suurepärase praktikumi tulemuse saamise valemit. 2.1 Liitmine Joonis 3 peal on näha 4-biti liitmis tehte sisendeid. Sisendid on A_TB, B_TB, C_IN_TB ja T_SUB. A_TB ja B_TB on 4-bitised, C_IN_TB ja T_SUB on 1-bitised. A_TB ja B_TB väärtused on 0, aga kuna need on 4-bitised, siis väärtus näeb välja 0000. C_IN_TB väärtus on 1 ja T_SUB väärtus on 0, mis näitab, et tegemist on liitmistehtega. Väljundid on Y_TB ja C_OUT_TB. Y_TB on 4-bitine ja liitmise vastus. C_OUT_TB on 1- bitine ja näitab ülekannet. Kuna programmis liidetakse iga bit eraldi, siis tuleb teha 9 tehet. 4- bitisest muutujast saab ükshaaval 1-biti kätte järgnevalt A_TB(0), A_TB(1) jne. Lisaks on programmis kasutusel lisa signaalid, kus hoian osade tehete vastuseid. Lisa signaalideks on carry, mis on 3-bitine ja xor0, xor1, xor2, xor3, xor4, mis on 1-bitised. 1. Subtract-i ja carry_in kokkuliitmine 1.1. xor4 = T_SUB + C_IN_TB = 0 + 1 = 1 2. Esimese bit-i arvutamine 2
[3] Kui meil on aga tegemist ligikaudse arvuga, mis esitub kümnendmurruna, siis selle arvu lõpus olevaid nulle suvaliselt ära jätta ei tohi. [1] Sisukord 1. Tiitelleht 2. Sisukord 3. Sissejuhatus 4.Ligikaudne arv 5.Ligikaudse arvu tüvenumbrid 6.Ligikaudse arvutuse eeskirjad 7. Kasutatud kirjandus Ligikaudse arvutuse eeskirjad Vaatleme algul ligikaudsete arvutega sooritatavaid tehteid. Alustame liitmise ja lahutamisega. Liitmise ja lahutamise korral on tulemuse vea ülemmäär samasugune nagu tehtes osalevates arvudest väiksema täpsusega ehk suurema veaga arvul. Kui tehtes osalevad arvud on antud ühesuguse veaga, on ka tulemusel sama vea ülemmäär. [2] Need reeglid kehtivad ka mitme arvu algebralise summa korral. Algebraliseks summaks on summa, mille liidetavad võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed. Kümnendjärku, mille ühik on suurima
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c
20 10 0 -10 -20 -30 -40 Negatiivseid arve kasutatakse võlgade kirjapanemisel Et näidata, et ollakse võlgu näiteks 5 000 kr, kirjutatakse arve peale -5 000 kr. Vihje · Kui arvu ees ei ole märki, siis see on positiivne arv. +9 Täisarvude liitmise reeglid · Reegel #1 Kui märgid on samad, siis ära pane neid esmalt tähele. Liida arvude absoluutväärtused ning kirjuta vastusele nende ühine märk. 9 + 5 = 14 -9 + (-5) = -14 Lahenda · -3 + (-5) = -8 ·4+7= 11 · (+3) + (+4) = 7 · -6 + (-7) = -13 ·5+9= 14 · -9 + (-9) = -18 Täisarvude liitmise reeglid · Reegel #2 Kui märgid on erinevad, siis lahuta suurema absoluutväärtusega arvust
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f
Öeldakse, et aditiivses süsteemis M kehtib p.o.o.s., kui mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid: b + x = a ja y + b = a Arvutusoperatsiooni, mis seab M järjestatud elementide paarile ( a, b) vastavusse nende vahe nimetatakse lahutamiseks. Def5 Poolrühma ( aditiivset poolrühma), milles leidub nullelement ja igale elemendile vastandelement nimetatakse aditiivseks rühmaks. Seal kehtivad seadused: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c liitmise assotsiatiivsus a + = a ^ + a = a nullelemendi leidmise seadus a + ( -a ) = ^ ( - a ) + a = vastandelemendi leidmise seadus Def6 Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile vastav pöördelement nimetatakse multiplikatiivseks rühmaks. Selle rühmas kehtivad seadused: a ( b c ) = ( a b ) c korrutamise
Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid
23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 28. Lähtudes kiiruste liitmise seadusest, tuletage seos kiirenduste vahel ja formuleerige relatiivsusprintsiip. Identifitseerge lähtevalemis olevad kiirused. 32. Millised on konservatiivsed jõud ja dissipatiivsed jõud? Andke ka valemid. Konservatiivsed jõud- Töö on null, näiteks gravitat5siooni jõud, elektrostaatilised jõud Dissipatiivne jõud- Töö on nullist erinev, näiteks takistusjõud 68. On antud sumbuva võnkumise võrrand. Ilmutage siit sumbuvustegur ja defineerige see
Peano aritmeetika aksioomid: o ¬ = 0 o = = o [ + 0 = ] o [ + = ( + )] o [ 0 = 0] o [ = + ] o Kõik valemid kujul 0 &[ ] Aksioomidest P1-P2 saame, et on olemas lõpmatu naturaalarvude jada 0, 0 , 0 , 0 , ... . Tavaliselt tähistame neid arve 0, 1, 2, 3, 4, ... , 2017, ... Aksioomid P3-P4 defineerivad naturaalarvude liitmise Aksioomid P5-P6 defineerivad naturaalarvude korrutamise Induktsiooniskeem P7 annab meile lisaks varasemale veel ühe taktika väidete tõestamiseks naturaalarvude jaoks: Me teame, et valem 0 & [ ] on tõene Seega on tõestamiseks piisav tõestada kahe valemi tõesus: 1) 0 (induktsiooni baas),
9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 46. Mis vahe on kaalul ja raskusjõul. Mis on kaaluta olek ja ülekoormus?Andke valemid. Raskusjõud- Kehale mõjuv jõud, mis on põhjustatud peamiselt gravitatsioonijõust ja tsentrifugaaljõust. Keha kaal- Jõud, millega keha mõjutab alust või riputusvahendit. Kaalu ja raskusjõu erinevus on rakenduspunktis. Kui tugi liigub alla kiirendusega g, siis on kaalutaolek.F kaal=m(g-g)=0 Kui tugi liigub üles kiirendusega, siis on ülekoormus Fkaal=m(g+a) 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 71. Lähtudes alljärgnevatest valemitest , tuletage tuiklemise võrrand. 109. Missugune on Carnot' tsükkel? Skeem p-V teljestikus koos protsesside nimetamisega, soojushulkadega ja temperatuuridega. 56. Lähtudes töö avaldisest pöördliikumisel, tuletage võimsuse arvutamise valem pöördliikumisel
Vastastikmõju ühe kehaga juhtub midagi teise mõjul. Vastastikmõju tunnused: Kehaga toimub mingi muutus. Muutub kas keha kuju, ruumala või liikumine. Näiteks: Õhupalli täispuhumine, kristallvaasi maha pillamine Vastastikmõju saab muuta kiiruse suurust ja suunda Vastastikmõju suurust iseloomustab jõud (F) 1N on jõud, mis annab 1kg kehale kiirenduse 1 m/s2 Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks. Jõudude liitmisel tuleb järgida vektorite liitmise reegleid Newtoni I seadus ehk inertsiseadus Vastastikmõju puudumisel või vastastikmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt Newtoni II seadus ehk dünaamika põhiseadus Newtoni III seadus ehk mõju ja vastastikmõju seadus kaks keha mõjutavad teineteist võrdsete vastassuunaliste jõududega. Impulss keha liikumishulk Ühik 1 kg×m/s Põrke mõju on seda suurem, mida suurem on keha impulss Impulsi jäävuse seadus
elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 17. Vektorruumi baas (sirge,tasand,3-mõõtmeline ruum,aritmeetiline vektorruum) vektori
Aja ja ruumi homogeensus tagab teadmiste kogumise. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju Kandja 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud ..) Skalaar füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus..), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis
saadakse teiseliigiliste suuruste mõõdetud väärtustest, mis on seotud mõõdetava suurusega teadaoleva sõltuvusega, näiteks elektrilise võimsuse mõõtmine, lähtudes voolu ja pinge otsemõõtmise tulemustest. 2. Kaudse mõõtmise viga sõltub vea leidmise valemi kõigi liikmete (argumentide) vigadest 3. Mis on ,,halvima võimaluse meetud" . kasutatakse juhul, kui valemis on tegu liitmise või lahutamisega. Tulemuse vea leidmiseks tuleb liita kõigi valemisse kuuluvate suuruste absoluutsed vead: 4. Mis vahe on absoluutsel ja suhtelisel veal? Arvu, mis näitab mõõtetulemuse erinevust mõõdetava suuruse tegelikust väärtusest, nimetatakse absoluutseks veaks. Suhteliseks veaks nimetatakse absoluutse vea ja tegeliku väärtuse suhet (tavaliselt protsentides). 5
Täisarvude hulk Z · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes Ratsionaalarvude hulk Q · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, kuid ka need arvud ei kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1
Ebamäärasust ligikaudsete täisarvude kirjutamisel saab vältida, kui kasutada standardkuju. Standardkuju esimeseks teguriks on sel juhul arvu tüvi, mis on kirjutatud kõikide [tüvenumbritega. Nt. 450 cm = 4,5 10² cm; 60 kg = 6 10 kg. [2; lk 35 Ligikaudse arvutuse eeskirjad .3 4 Vaatleme algul ligikaudsete arvudega sooritatavaid tehteid. Alustame liitmise ja lahutamisega. Liitmise ja lahutamise korral on tulemuse vea ülemmäär samasugune nagu tehtes osalevatest arvudest väiksema täpsusega ehk suurema veaga arvul. Kui tehtes osalevad arvud on antud [ühesuguse veaga, on ka tulemusel sama ülemmäär. [2; lk 36 [Liitmisel ja lahutamisel säilitatakse viimane ühine järk. [4; lk 20 Madalaimaks ühiseks järguks nimetatakse kümnendjärku, mille ühik on suurima veaga antud
Perioodilisussüsteem koosneb rühmadest ja perioodidest. * periood- tabeli horisontaalne rida * rühm- tabeli vertikaalne rida 4. Aatomi elektronskeem- Na+11| 2)8)1) Cl +17| 2)8)7) Elektronvõrrand- Na-1e'=Na(1+) Cl+1e`=Cl(1-) Iooni elektronskeem- Na(1+) +11| 2)8) Cl +17| 2)8)8) * Valem A=Z+N- (A-täisarvuline aatommass Ar) (Z-prootonite arv= järjekorra nr.) N: (Fe, Ar-56 ; Z-26) N=A-Z= 56-26=30 * Redoksreaktsioon- elektronide liitmise või loovutamise tõttu elementide oksüdatsiooniastme (laengu) muutumine * Redutseerija- aineosake, mis loovutab elektrone (metalliaatomid on alati redutseerijad) * Oksüdeerija- aineosake, mis liidab elektrone (mittemetalliaatomid on enamasti oksüdeerijad) * Oksüdeerimine- elektroni loovutamisprotsess, redutseerija oksüdeerub 5. Lihtaine- koosneb ühe elemendi aatomitest Liitaine- koosneb kahe või enama elemendi aatomitest
Keevitamine Keevitamine on metallesemete, harilikult masina- ja aparaadiosade, ehitusdetailide või torude liitmise viis. Keevitamisel toimub metallis üheaegselt mitu protsessi: metalli sulamine, metallurgiaprotsessid sulametallis, õmblusemetalli kristalliseerumine ja soojuse mõju keevisõmbluse lähiala metallile. Tavalise keevitusmoodustiste puhul kuumutatakse ühendatavate esemete liitekohad suliseni. Ühendatud esemete vahele tekib siis sulametallist nn. keevisvann, mis jahtudes tahkub keevisõmbluseks. Keevitajad on väga nõutud töölised mitmetes töökohtades.
...................................................................... 1 (1 + 1 ) + 2 (2 + 2 ) + + ( + ) = (1 1 + 2 2 + + ) + (1 1 + 2 2 + + ) = 0 + 0 = 0, s.o + Vabavektorite liitmine on assotsiatiivne. (14.3) Viimase tõestamiseks saame kasutada ainult vektorite liitmise definitsiooni, sest hulga E ehituse kohta midagi muud me veel ei tea. Fikseerime mingi punkti AE (vt.joonis) Leiduvad punktid B,C,D E nii, et = , = , = Valemi (14.2 + : = ) abil saame millest paremate poolte võrduse tõttu saame vasakute poolte võrduse. Sellega oleme valemi tõestanud. Omadus 15.1. (15.2) Asendades siia valemist (15.3), saame valemi (15.2)
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine LIITMISVÕTTEGA Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja kõrvaldamises ehk elimineerimises võrrandite liitmise või lahutamise kaudu ning tulemuseks saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus leida. Teise muutuja väärtuse saame, kui asendame leitud muutuja väärtuse ühte esialgsetest võrranditest. x+2y=11 *(5) 5x3y=3 1.) Viin võrrandi normaalkujule. 5x10y=55 2.) Liidan võrrandid
ARENGUPSÜHHOLOOGIA 8 aastane laps. Kognitiivse arengu teooria ehk 3. konkreetsete operatsioonide staadiumite järgi on 7- 11 aastased lapsed võimelised õppima liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise operatsioone. Need operatsioonid eeldavad loogilist mõtlemist, mis on aluseks objektide ja sündmuste klassifitseerimisele ja nende vaheliste seoste mõistmisele. Selles vanuses laste mõtlemisvõime täiustub, laps oskab teha oluliste tunnuste põhjal järeldusi ning pöörata sündmuste käiku mõtteliselt tagasi. Neil väheneb ergotsentriline mõtlemine, sündmuste
Mineviku kesksõnad isikulise tunnus -nud (nud-kesksõna), umbisikulise tunnus -tud, e tud-kesksõna. 27. Eesti keele minevik jaguneb liht-, täis- ja enneminevikuks. 28. Eesti keele kõneviisid jagunevad kindlaks, tingivaks, käskivaks ja kaudseks. 29. Eesti keeles on isikuline (Joonas joonistab.) ja umbisikuline (Klassis joonistatakse.) tegumood. 30. Sõnamoodustus olemasolevatest sõnadest uute saamine liitmise või tuletamise teel. Tuletamise puhul lisatakse sõnatüvele tuletusliide, liitmise puhul liidetakse 2 sõnatüve. 31. Produktiivseimad omadussõnaliited: -ne, -lik, -line. Produktiivseimad nimisõnaliited: -ja, -lane, -line. 32. Produktiivseimad tegusõnaliited: -ta, -da. Produktiivseimad määrsõnaliited: -lt, -sti. 33. Liitsõna koosneb põhiosast ja täiendosast. Põhiosa annab põhitähenduse, täiendosa täpsustab ja kitsendab seda.
liitmisel. Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BAAB 1. Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga. =0 A+=A 2. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E. EA=AAE=A Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused: · A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus) · (A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus · A+ = A · A+(-A) = · 1A= A · A= · 0A = · (a+ b ) A= aA + bA · a (A+B) = aA + aB · a( b A) = b (a A) · a (b A) = (ab) A · (a A) B = A (a B) = a ( A B) · A = A= · EA=AE=A · A B B A (üldjuhul) · (A+ B ) C = C A+ C B · ( A B) C = A ( B C) · -A = (-1)A · A B = A + (-1)B · A0 = E Maatriksi ja pöördmaatriksi kommutaator on null maatriks. AA-1= 3
8) hüdrofoobsus- veetõrjuvus, ühendi võimetus vastastikmõjuks veega Nt. Alkaanid (etaan) 9) hüdrofiilsus- veelembus, ühendi võime vastastikmõjuks veega Nt. savi 10) nomenklatuur- reeglite kogu ühendi nimetuse koostamiseks struktuurist lähtudes. Nt alkaanide tunnuseks on liide -aan 11) sigmaside- ühekordne kovalentne side. Nt metaanis üksikside süsiniku ja vesiniku aatomi vahel 12) redutseerumine- on elektronide liitmise protsess, energia kulub Nt. Cl liidab 1 eletroni 13) oksüdeerumine- on elektronide loovutamise protsess, energia vabaneb Nt. Ca loovutab 2 elektroni 14) süsiniku võimalikud o.a- süsiniku võimalikud o.-a on -4 kuni +4, sest ta asub IV A rühmas (4 elektroni väliskihis, saab 4 juurde võtta/ära anda). Nt +4 on CO2-s, -4 on CH4-s, 0 on C-s 15) radikaal e akaalrühm- osake, millel on paardumata elektron. Nt Metaani
· pidev ja katkematu · mõjuulatus on lõplik · levib kiirusega 300 000 km/s · vahendab laengute vastastikmõju Elektrivälja graafiline kujutamine Elektrivälja jõujooned algavad positiivselt laengult ja lõppevad negatiivsel laengul või suunduvad lõpmatusse. Jõujoone puutuja näitab igas punktis elektrivälja tugevust. Elektriväljajooned on kujuteldavad jooned, neid reaalselt ei eksisteeri Superpositsiooniprintsiip Vektorite liitmise põhimõtte kohaselt võrdub laengute süsteemi väljatugevus üksikutest laengutest põhjustatud väljatugevuste vektoriaalse summaga. Elektrivälja vektori suuna määramine Positiivse punktlaengu väljatugevus on positiivne ja negatiivsel punktlaengul negatiivne. Elektrivälja jõujoon On mõtteline joon, mille igas punktis on elektrivälja vektor suunatud piki selle joone puutujat. Elektrivälja vektori suund määrab ära ka jõujoone suuna. On abivahend elektrivälja kirjeldamisel.
selline päev, millel on öö omadusi, vaid on lihtsalt öö ja päeva summa. 1. Näited Käsi- a) käsilane, b) käekene, c) käeline, käsitsi, d) käsitöö, e) Plaan- a) planeerija, b) plaanike, c) plaaniline, d) reisiplaan, e) plaanipärane Akumulaator- a) akumuleerija, b) akumulaatorike, c) akumulaatorina, d) elektriakumulaator Samm- a) sammuja, b) sammuke, c) sammus, d) jooksusamm, e) sammsammult 2. Sõna liitmise ja tuletamise erinevused ja sarnasused. Liitsõnade moodustamisel on kaks sõna kokkukirjutatud, muutes mõna tähendust (kuller+kupp, padi+püür, töö+vihik) aga tuletamisel on tuletatud sõna järele liide, mis muudab sõna tähendust(täht+stik, mets+ik, värv+line). 3. Saadik, maalane, kaevur, -rd, rutakas
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
