"reaalarv" - 156 õppematerjali

Massiivid

Koostaja: Peeter Sikk Tallinn 2012 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud. Peeter Sikk 121055IASB Sisukord Ülesande püstitus 1. Klaviatuuril sisestatakse reaalarv vahemiksu 0-1. 2. Moodustatakse reaalarvuline massiiv A elementidega · · · ...... Kuni massiivi A elementide arv L kas vastab tingimustele || või (kui see tingimus ei ole rahuldatud) L=15; 3. Ekraanile väljastatakse massiivi A elementide arv L ning elemendid koos oma indeksiga. Algoritm Programmikood #include #include int main() { int i=0; float epsilon,kontroll; float A[15]; do{ printf("Sisesta reaalarvuline epsilon");

Arvuhulgad loeng 1

1,4 < 2 < 1,5 täpsus 1/10 1,41 < 2 < 1,42 täpsus 1/100 1,414 < 2 < 1,415 täpsus 1/1000 7 Reaalarvud Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. Näiteks: 3 - 2; / 3; 2,7128...; 4 / 3; Reaalarvude hulk on pidev: igale punktile arvteljel vastab parajasti üks reaalarv. Reaalarvud on järjestatavad suuruse järgi, s. o. iga kahe reaalarvu x ja y kohta kehtib parajasti üks seostest: x < y, x = y, x > y. 8 Kompleksarvud Võrrandil x2 + 1 = 0 pole lahendit reaalarvude vallas, kuna - 1 pole reaalarvude vallas defineeritud. Arvu, mille ruut on ­1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i, s. t. i = - 1 Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks.

Matemaatiline analüüs II teooria töö

1. · Arvtelje mõiste ­ Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| |

Füüsika eksami konspekt

TEST Loeng 1 - Naturaalarv ­ loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv ­ kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv ­ reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv ­ kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv ­ arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud

Matemaatiline analüüs I 1.teooria

Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused  1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide.  Definitsioon:​ Hulka​  X ​ nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui ​ X ​on ülalt ja alt tõkestatud.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ M​,  et  hulga  ​ X  ​ iga  elemendi  ​ x  ​puhul  kehtib  võrratus  x​ ≤  M,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu ​ M ​ nimetatakse hulga​  X​  ülemiseks tõkkeks.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ m​,  et  hulga  X  ​ iga  elemendi  x  ​ puhul  kehtib  võrratus  ​ x​≥m,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on alt tõkestatud, kusjuures arvu ​ m ​ nimetatakse hulga​  X​  alumiseks tõkkeks.  Nt​: x={­1;1;3;5;7}  M=ülemine tõke=7  m=alumine tõke=­1  2. Sõnastada arvu ε­...

Lineaaralgebra - 3. KT teooria

f+g=g+f ­ kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) ­ assotsiatiivsus f+=f ­ nullkujutis f+(-f)= ­ vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud punktile A ja B seatakse vastavusse üks vektor a, AB=a 3') iga punkti A ja vektori a korral leidub parajast 1 punkt B, niiet punktidele A ja B vastab vektor a 4') Kui AB=CD, siis AC=BD. Järeldused: J1: AC=BD, AB+BC=BC+CD, AB=BC=BC+AB, a+b=b+a; J2: AA=BB=0, AB=AB+BB, a=a+0 ­ leidub 0-vektor; J3: BA=-(a), AA=AB+BA 0=a+(-a); J4: a+ (b+c)=(a+b)+c Aktsioomid 1'-4' seovad algmõistet punkt ja vektor

Arvuhulgad

nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: ;; -; jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. Reaalarvud Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. R= I Q ja Q R. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Reaalarvude hulk R 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3. On hulk, mis on kinnise liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv.

Andmebaasid

Väärtuse tüüp välja pikkus baitides maksimaalne suurus *byte bait 1 255 *integer täisarv 2 -32768 -32767 *long pikktäisarv 4 -214783648 214783647 *single ühekordse täpsusega 4 10 astmes 37, kuni 7 nr. kohta reaalarv *double topeltäpsusega 8 10 astmes 307, kuni 16nr. kohta reaalarv OLE object Kasutatakse linkimiseks andmebaasi. Võib linkida pilte, tekstifaile jms.

Matemaatiline analüüs II toreeme ja definitsioone

..xm) nim m-mõõtmeliseks ruumiks. Igat süsteemi (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmelise ruumi punktiks ja tähist. P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 ­ A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 ­ A ümbruseks sümmeetriline vahemik) Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab

Arvuhulgad

b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1 · Arvu a vastandarv on ­a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a · Segaarv ­ naturaalarvu ja lihtmurru summa · Kümnendmurd- murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne. Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.

Testi küsimused-vastused 1.-10. loeng

Test Loeng 1. Arvutüübid: · Naturaalarv ­ positiivsed arvud (0 kaasa arvatud) ilma komakohata nt. 1,2,3,4, ... ,29 jne · Täisarv ­arvud ilma komakohtadeta, ka negatiivsed nt. 1, 2, 3, 45 jne · Ratsionaalarv ­on liht- ja liitmurrud.. väljendavad täisarvude arvude suhet üksteisesse · Reaalarv ­kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud. · Kompleksarv - arv, mis sisaldab reaalosa (tavaline reaalarv) ja imaginaarosa (reaalarv korrutatud i = ruutjuur(-1) ) Püsikoma- ja ujukoma-arv, nende võrdlemine. Püsikomaarv ­ arvud nt. 0.000004, 0.0000213 Ujukoma arv- kui püsikomaarv on liiga pikk st. liiga palju nulle pärast koma, siis tuuakse sobiv 10 aste sulgudest välja. Nt 4*10-4 4,56*10-23 Loeng 2. Suurused:

Funktsioon loeng 2

y = ln x y = 3 võib lugeda nii monotoonselt kasvavaks kui ka monotoonselt kahanevaks funktsiooniks. y = -2x + 1 6 Tõkestatud funktsioonid Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A ülalt tõkestatuks, kui leidub reaalarv k', nii et f (x) k' iga x A korral, ja alt tõkestatuks, kui leidub k" nii et f (x) k" iga x A korral. Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. y = x2 y = sin x tõkestatud funktsioon y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud)

Arvuhulgad ja arvuhulkade omadused

vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes.  Arvuhulkade omadused ● Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on pidev arvuhulk, s.t. Need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv.  LÕPP! Tänan vaatamast, head õppimist:D

sodipodi

Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis ­ Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)= Ortogonaalmaatriks: ruutmaatriks, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E.

Matemaatilised mõisted ja definitsioonid

järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7

Glossary - sõnavara

N Prime cost ­ hankekulu Net ­ neto Private company ­ erafirma Net book value ­ puhas arvestusväärtus Profitability index ­ tasuvuse indeks Net present value ­ neto jääkväärtus Profit and Loss (P&L) Account ­ kasumi ja Net realizable value ­ neto reaalarv kaotuse aruanne NIFO : Next in first out ­ hindamine Pro Rata ­ propotsionaalselt materiali väärtuse järgi Prospectus ­ prospect, reklaamprospekt Nominal value ­ nominaalväärtus Provision ­ lepingutingimus, preemia Prudence (or conservatism

Kompleksarvud

ja 5i= 26 cos 11° isin 11° on 6ei11 Nende arvude korrutis on 13e i56 6ei11 = 13 6e i 5611= 78 e i67 jagatis aga 13e i56 : 6ei11 = 6 6 13e i 56-11= 13 e i45 ja kui astendada arvu 13e i562 = 13e i112 Ülesanded: 1. Lahendage võrrandid. x 2 - 4 x - 5 = 0 x 2 + 6 x + 18 = 0 x 3 + 2x 2 + 5x = 0 2. Kirjutage kaks kompleksarvu, mille summa on reaalarv, korrutis on reaalarv. 3. Lihtsustage (1+i)-(5+2i)+(4-3i) (3+2i)(4+6.5i) (1+2 3 i)(2-3 3 i) (6-7i)(5+i)(5-i) 2i(4+8i)(1+2i) (5+4i)(-2-i)(5-4i)(-2+i) 1 3+i 3 - 5i 1 + 2i 4. Leidke jagatis 1+ i 3-i 2 + 3i 1 + 2i 5. Lahendame võrrandi x3-27=0. Teame, et tegurdub (x-3)(x2+3x+9)=0. 6

Matemaatika mõisted

1. Absoluutväärtus ­ reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg ­ x ­ telg 3. Aksioom ­ lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv ­ Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd ­ murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur ­ arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat ­ antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8

Lineaar II

Determinandid DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant ­ reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga

Matemaatika tööleht nr. 1 - arvuhulgad

MÕISTED: Naturaalarv ­ arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv ­ on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv ­ lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu v...

Kollokvium I

x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1f(x2) DEF 10. Monotoonseks funktsiooniks nim. funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev(monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav(monotoonselt kahanev funktsioon) DEF 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nim. funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. DEF 12. Funktsiooni f nim. ülalt tõkestatuks (alt tõkestatuks) funktsiooniks hulgal X1c X, kui leidub selline reaalarv M (m), et iga x X1 kehtib võrratus f(x)M (mf(x)). Funktsiooni f, min on nii ülalt kui alt tõkestatud hulgal X1, nim. tõkestatud funktsiooniks hulgal X1. DEF 13. Funktsiooni y=f(x) (x c X) pöördfunktsiooniks nim. funktsiooni x=f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y=f(x) DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine

monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. monotoonne funktsioon ­ Ühtlaselt kasvav ja kahanev funktsioon ? tõkestatud funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 3. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, muutumispiirkonnad ja graafikud.

Reaalarvud

nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Igale reaalarvule vastab üks punkt arvsirgel ja vastupidi. Kahest reaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punktarvsirgel asub teisega võrreldes positiivses suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks. Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja ­a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks. A

Reaalarvud

Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Irratsionaalarvudega ja lõpmatute perioodiliste arvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikebi ümardatult on 3,14; 31,73

Lineaarvõrrandid

- Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x ­ 1) = 6x ­ 3. Avame sulud, saame 6x ­ 3 = 6x ­ 3 (*), ehk 6x ­ 6x = ­3­3 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi lahendamisel on kasutatud üksnes võrrandi samaväärsusteisendusi, siis kehtivad iga x väärtuse korral ka võrdused (**) ja (*). Seega on lahendiks iga reaalarv. Näide 3. Lahendame võrrandi 3(x + 1) = 3x + 2000. Avame sulud 3x + 3 = 3x + 2000, millest 3x ­ 3x = 2000 ­ 3 ehk 0x= 1997. Viimane võrdus loomulikult ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku poole väärtus on iga x väärtuse korral võrdne nulliga, parem pool aga mitte. Võrrandil ei ole lahendeid. Kui võrrand sisaldab murde, siis tuleb neist loomulikult vabaneda. x - 1 3 - 5x

FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS

· Siis: o lim [ ] = lim , kus c on konstant o lim [() ± ] = lim ± lim o lim [() ] = lim lim () lim o lim = , lim 0 () lim 6  Arvutamine lõpmatustega Olgu a suvaline reaalarv. Piirväärtuste leidmisel tasub teada järgmisi reegleid: o a+=+a= o a + (-) = - + a = a - = - o + = , (-) + (-) = - o = (-) (-) = , (-) = (-) = - -, kui < 0 o = = , kui > 0 o = =0 - -, kui < 0 o = , kui > 0 7  Ühepoolsed piirväärtused Vasakpoolne piirväärtus

Matemaatiline analüüs

 Logaritmfunktsioon y= loga astmes x  Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx  Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või mittekahanev(monotoonselt kahanev). Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral määramispiirkonnast X.

Vektor tasandil

a b a b kolmnurgareegel b a a+ b  b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c  Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b  Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0  Vektorite skalaarkorrutis u*v= u * v *cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90° u v cos 180°= -1 u u u*v= 0

Vektorid

a b a b kolmnurgareegel b a a+ b  b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c  Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b  Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0  Vektorite skalaarkorrutis u·v= u · v ·cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90° u v cos 180°= -1 u u u ·v= 0

Vektorite liitmine

vastandvektori liitmist Kui v  ( a; b)  u  (c; d )  v  u  v  (u )  (a; b)  (c;d )   (a  c; b  d )  Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.  Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga  Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos  v  u v cos 0° = 1 u  =180° v  v  . =90° u v cos 180° = –1 u u u·v=0

Vektor - Tehted vektoritega

vastandvektori liitmist Kui v  ( a; b)  u  (c; d )  v  u  v  (u )  (a; b)  (c;d )   (a  c; b  d )  Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.  Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga  Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos  v  u v cos 0° = 1 u  =180° v  v  . =90° u v cos 180° = –1 u u u·v=0

Lineaarsed võrrandi süsteemid

 Lineaarse võrrandi lahend Võrrandi (1) lahendit c1 , ... , cn võib vaadelda ka reavektorina c1 ; c2 ; ... ; cn või veeruvektorina c1 c2 cn Näited Võrrandi 2x = 4 ainsaks lahendiks on üheelemendiline vektor 2 . Võrrandi 2 x1 + 6 x2 = 5 lahendiks on vektor (d, (5 ­ 2d )/6), kus d on suvaline reaalarv.  Kuked-kanad-tibud Talupoeg läinud laadale linde müüma. Teel tulnud talle vastu valitseja. Valitseja tahtnud teada, kui palju linnud maksavad. «Kukk maksab 5 münti, kana 3 ning kolm kanapoega saab 1 mündi eest,» vastanud talupoeg. Valitseja mõtelnud pisut ja käskinud siis endale tuua 100 mündi eest 100 lindu. Talupoeg läinud murelikult koju. Seal aga lahendanud ta kaheksa- aastane poeg kiiresti ülesande.

Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest

7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗

Matemaatiline analüüs I

(-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . + Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvele vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. + Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegat. reaalarvu: |a| = + 1) + |-a|=|a| 2) |ab|=|a| |b| 3) |a+b||a|+|b| 4) |a-b| ||a|-|b|| + Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a- ; a], kus >0 + Reaalaarvu a parempoolseks nimetatakse suvalist poollõiku (a; a+], kus >0 3

Kompleksarvud gümnaasiumiõpikus

Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed:

Matemaatiline analüüs 2

..,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y| Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks. Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P - ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte. Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte Hulka C Rn nim tõkestatuks, kui leidub reaalarv r>0, et C {QRn|d(0,Q) reaalarv u, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktisoon ja tähistatakse u=f(x1,...,xn). Kui funkts u=f(x1,...,xn) on antud võrrandiga F(x1,...xn,u)=0, kus F on mingi n+1 muutuja funkts, siis öeldakse, et funkts f on antud ilmutamata kujul. Pinda punktruumis Rn , võrrandiga f(x1,..

Loogika eksamiks küsimused - vastused

Üldeitav väide on väär. 55.Häbitundele rõhuvat demagoogilist võtet nimetakse: Argumentum ad ignominiam 56.Üldisuskvantori eemaldamisel (loomulikus tuletussüsteemis) tuleb asendada … Muutuja kõik vabad esinemised suvalise konstandiga. 57.Küsimus on õigesti koostatud, kui … Sellel on vähemalt kaks võimalikku ja erinevat vastust. 58.Loogilises ruudus on osaeitav väide üldeitava väite suhtes … Alluv. 59.Hägusloogikas on: Lausete tõesusaste reaalarv nullist üheni. 60.Väitlause kvantiteeti väljendatakse tavaliselt … Kvantoriga. 61.Milline loetletud definitsioonitüüpidest ei kuulu intensionaalsete definitsioonide hulka? Ostensiivne definitsioon. 62.Deduktiivne arutlus enamasti suunatud: Üldiselt üldisele. 63.Seda osa sõna tähendusest, mida seostatakse assotsiatsioonide ja emotsioonidega, mida sõna esile kutsub, nimetatakse sõna… Konnotatiivseks tähenduseks. 64

Kollokvium 1

o Numbriline esitus tabeli abil. Funktsioonide liigitamine. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x), ja paarituksfunktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille koraal kehtib võrdus, nimetatakse funktsiooni y = f (x) perioodiks. Monotoonsed funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas · Kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b) · Monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b)

Funktsioon ja funktsiooni määramispiirkonnad

FUNKTSIOON Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest eri...

Pöördmaatriksi leidmine

24. Pöördmaatriks A^-1 ­ Ruutmaatriksi A pöördmaatriks mis rahuldab tingimust A*A^-1 = A^-1*A = E. 25. Vastandmaatriks -A ­ Sama järku maatriks, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. 26. Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid ij, milles i-nda rea ja j-nda veeru ühine element on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. 27. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis ­ Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. 28. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)=. 29. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks.

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus

a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarse kombono, so ⃗a =λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ a2 +…+ λk ⃗ ak . ⃗a ⃗b λ , et ⃗a =λ ⃗b . DEF3: Vektorid ja on kollineaarsed, kui leidub selline reaalarv  ⃗a ⃗b λ μ , DEF4: Vektorid ja on komplanaarsed, kui leiduvad sellised reaalarvud ja et ⃗c =λ ⃗a + λ ⃗b .

VÕRRATUSED

VÕRRATUSED Võrratusmärgid on : > - on suurem < - on väiksem - on suurem või võrdne - on väiksem või võrdne Omadused: 1. a > b a - b > 0 a < b a-b < 0 2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv, jääb võrratusmärk endiseks: a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED

(tähis X) Ekstreemumkohad ­ funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) reaalarv. *Ruutfunktsioon ­ parabool; kuupfunktsioon ­ hüperbool. 14. Funktsiooni graafiku teisendused ­ 15. Pöördfunktsioon ­ olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumispiirkonna Y igale elemendile vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esialge funktsiooni pöördfunktsiooniks. 16. Juurfunktsioon ­ funktsioon, kus x asub juure all (?). 17

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon - kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon - kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond - ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel. 40

Protsentülesanded majandusarvutustes

Protsentülesanded majandusarvutustes Suur osa rahanduslikke ja muid majanduslikke arvutusi tugineb protsendi mõistele. Üldlevinud käsitlus tõlgendab protsenti kui üht reaalarvu kirjutusviisi. Matemaatiliselt on üks protsent üks sajandik osa tervikust ehk Üldiselt kus p on mingi (positiivne) reaalarv. Protsendiga p määratud osa leidmiseks tervikust a tehakse tehe Tulemus saadakse samades mõõtühikutes, milles on mõõdetud tervik. Seda ülesannet võib lahendada ka 7. klassis õpitud võrde abil. Tervik a ­ 100% Osa x ­ p% Näide 1. Mardil on SEB pangas 3000 eurot, millest arvutatakse aasta lõpus 2% tulu (intressi). Mitu eurot saab Mart intressina

Reaalarvud ( slaidid )

perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R.  Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev ­ nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe. Tehete järjekord keerulisema avaldise väärtuse arvutamisel: 1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad tehted; 2)Korrutatakse ja jagatakse avaldises antud

Lineaalalgebra Esimese KT konspekt

vastavaks miinoriks ja märgime sümboliga mij · Saadud miinori mij korrutatakse läbi teguriga (-1)i+j. Saadakse uued suurused ij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks. i j = (-1) i + j mi j A' = ( mi j) miinorite maatriks A* = (i j) alamdeterminantide maatriks A~ = A*T adjungeeritud maatriks Maatriksi omaväärtused ja omavektorid Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ja leidub reaalarv , et rahuldatud on tingimus A X = X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.

VBA laused

Tehted ja avaldised: Aritmeetika: + - * / Mod ( ja mod ­ täisosa ja jääk täisarvulisel jagamisel) tehete järjekord: 1) ^ 2) * ja / 3) + ja - ; vajadusel kasutada ümarsulge: ( ) Sidurdamine: & või + Loogika: Not, And, Or Võrdlus: = , < > , <= , < , > , >= VBA funktsioone: Len(tekst) ­ teksti pikkus Rnd() ­ juhuslik reaalarv 0..1 Mid(tekst, algus, n) ­ sümbolid teksti keskelt Int(r_arv) ­ täisarv, väiksem kui r_arv Left(tekst, n); Right(tekst,n) ­ sümbolid algusest/lõpust Date(); Now() ­ tänane kuupäev; praegune päev ja kellaaeg