1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega:
an * am = am+n Reegel: ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse ja astme alus jääb endiseks. an : am = an-m Reegel: ühe ja sama alusega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ja astme alus jääb endiseks (an)m = an*m Reegel: astme astendamisel astendajad korrutatakse ja astme alus jääb endiseks. an = a * a * a * a.... a näit: 4*4*4*4=256 m an = an/m a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a lihtsustamiseks: an * bn = (a*b)n an/bn = (a/b)n
kirjutada vastupidiselt, välja arvatud juhul, kui 'b' on paarisarvulise astendajaga. NÄITEKS: ( a - b) a + ( -b ) 3 3 = = a - 3a b + 3ab - b 3 2 2 3 ( a - b) a + ( -b ) 5 5 = = a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b 5 4 3 2 2 3 4 5 · Kolmas seos ROHKEMATE LIIKMETEGA SUMMA ASTENDAMINE Tehte ( a + b + c ) saab avaldada järgmiselt: kõik liikmed tuleb võtta eraldi ruutu ja 2 seejärel kokku liita. Siis liita neile juurde algtehte liikmete kahekordne segakorrutiste summa. Mitu liiget segakorrutisse tuleb, saab arvutada järgneva n2 - n valemiga: S = , kus 'S' on liikmete arv segakorrutises ja 'n' on liikmete arv 2 algtehtes. NÄITEKS: ( a + b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + ac + bc )
astendamine juurimine korrutamise abivalemid teguriteks lahut. a0=1 n m (a+b)2=a2+2ab+b2 ax2+bx+c= am = an a(x-x1)(x-x2) am·an=am+n n ab = n a n b (a-b)2=a2-2ab+b2 am:an=am-n a n a (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 n = n b b m n mn (a ) =a n m a = nm a (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (ab)n=anbn nm a n p = m a p a2-b2=(a+b)(a-b) (a:b)n=an:bn a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 1 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a -n = an
= b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6. Astmete jagamine am : an = am-n 7. Astme astendamine (a m )n = a mn 8. Korrutise astendamine (a b )n = a n b n 9. Jagatise astendamine n an a = n b b 10
Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4...
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati?...
TEHTED ASTMETEGA Astmete korrutamine a2 a3 = a 2 + 3 = a 5 4-2 45 = 4 -2 + 5 = = 43 = 4 4 4 = 64 Üksliikmete korrutamine -2ab3 3ab4c2 = -2 3 a1+1 b3+4 c2 = = -6a2b7c2 Korrutise astendamine ( -2ab)3 = (-2)3a3b3 = -8a3b3 Astme astendamine (a3)2 = (a3) (a3) = a6 VÕI (a3)2 = a32 = a6 Üksliikme astendamine (-6a3b)2 = -6a3b(-6a3b) = 36a6b2 VÕI (-6a3b)2 = (-6)2 (a3)2 b2 = 36 a32 b2 = 36a6b2 Astmete jagamine a5 : a3 = a5-3 =a2 75 : 73 = 75-3 = 72 = = 7 7 = 49 a5 3 = a 5-3 = a 2 a
viimane liidetav jääb nii nagu antud 6.Astmete korrutamine - ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendatakse alus antud astendajate summaga = = 7.Üksliikmete korrutamine - kasutatakse võrdsete alustega astmete korrutamise eeskirja, = kusjuures enne tuleb tegurid sobivalt järjestada ja rühmitada 8.Korrutise astendamine - iga tegur astendatakse = eraldi ja tulemused korrutatakse = 9.Astme astendamine - alus astendatakse astendajate korrutisega = 10.Üksliikmete astendamine - toetume korrutise ( ja astme astendamise reeglitele 11.Astmete jagamine - sama alusega astmete jagamisel lahutatakse esimesest astendajast teine astendaja ja alus astendatakse saadud vahega 12.Üksliikmete jagamine - kordajad jagatakse
..................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste....................................................
Kordaja 1 ja -1 jäetakse kirjutamata. Kordaja -1 asemel kirjutatakse lihtsalt märk. 1abc=abc -1abc=-abc Sarnased üksliikmed, sest täheline osa on sama. 3ab+4c-2ab-c=ab+3c Astmete korrutamine ja jagamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. am·an=am+n 37·311=37+11=318 (-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412 Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. am:an=am-n ehk. = am-n 75:72=75-2=73 Astme astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. (am)n=am·n (23)4=23·4=212 -82= -64 (2x3)4= 24·(x3)4=16x12 (-32·x3·y4)6=312·x18·y24 Negatiivne astendaja Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetatakse lugeja ja nimetaja ning arv läheb positiivseks. Üksliikme korrutamine ja jagamine Üksliikme korrutamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed. 4xy2·(-3x2y4z)=4·(-3)·(x·x2)·(y2·y4)·z= -12x3 Üksliikmed
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega:
Õige! Teine IF funktsioon tuleb sisestada esimese IF funktsiooni viimase atribuudina, nt
=IF(A5
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega.
z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest. kui AT A. Astendamine: Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus n = rn (cos n + sin n) x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine: n z= nr (cos (+2k)/n+ i sin (+2k)/n) Komplesarvude liitmine: 1 Z2 x1 iy1 x2 iy2 Euleri valem:
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {...
TEHTED EKSPONENTKUJUL Kompleksarvud z 1=ρ 1 ei φ 1 ja z 2=ρ 2 ei φ 2 φ Korrutamine i(¿ 1+ φ2 ) ¿ z 1 z 2=ρ1 ρ2 e¿ φ i(¿ ¿ 1−φ 2) Jagamine z2 ≠ 0 z 1 ρ1 ¿ , = e z 2 ρ2 Astendamine n z =ρ e n inφ , n∈Z φ+2 kπ Juurimine √n z=√n p e n , k ∈{0,1, 2, … , n−1 }
1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3. Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed(taandada saab tervet sulgu) Jagamine algebraliste murdude jagamiseks korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel. 1. Tegurdamine 2. Jagajas vahetame nimetaja ja lugeja pooled 3. Viime ühisele murrujoonele 4.Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed Näide: 4. Algebraliste murdude astendamine - Algebralise murru n-es aste (n N)võrdub murruga, mille lugejaks on antud murru lugeja n-es aste ja nimetajaks antud murru nimetaja n-es aste. Üldkuju: (an)m=anm (-1)0=(-1) 2=(-1) 4=...=1 (-1) 1=(-1) 3=(-1) 5=...=-1 Näide: 5. Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine Ühenimeliste algebraliste murdude summa ( vahe ) võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate summa ( vahe ) ja nimetajaks murdude ühine nimetaja. 1. Tegurdatakse nimetajas. 2
z 1 z 2=ρ1 ρ2 ( cos φ1 +isin φ2 ) ( cos φ2+ isin φ2 )= ρ1 ρ2 ( ( cos φ1 cos φ2−sin φ2 sin φ2 ) +i ( cos φ1 sin φ2 +sin φ2 cos φ2 ) ) =ρ1 ρ2 ( co . Lühidalt z 1 z 2=ρ1 ρ2 ( cos ( φ 1+ φ2 ) +isin ( φ1 +φ 2) ) . Kompleksarvude z 1=ρ1 (cos φ 1+isin φ2) ja z 2=ρ2 (cos φ2+ isin φ2) z2≠ 0 jagatis z 1 ρ1 = ( cos ( φ1−φ2 ) +isin ( φ1−φ2 ) ) z 2 ρ2 Astendamine Kui z=ρ(cosφ+isinφ) z n=ρ ∙ …∙ ρ ( cos ( φ+ …+φ )+ isin ( φ+…+φ ) ) n n n tegurit liidetavat liidetavat z n=ρ n ( cos ( nφ )+isin ( nφ ) ) n>0 Erijuhul kui ρ=1 , siis (cosφ+ isinφ)n=cos ( nφ )+isin (nφ) Moivre’i valem
a2K43 a n tegurit , n 1 , kus 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: 1 = { 1; 2; 3; 4; ...} . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a = 1 , milles a 0 . 0 Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a -n = n a , kui ja n või kui a > 0 ja n , kus on täisarvude hulk ja on ratsionaalarvude hulk: a = , kus a , b ja b 0 = { ±1; ± 2; ± 3; ...} b . , Murrulise astendaja korral sisaldab astendamine juurimise:
24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30. Korrutamine Jagamine 31. Juurimine Astendamine (, kui m kuulub hulka Z, siis a ei võrdu 0-ga) 32. Taandamine 33. Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. 34. Juurte koondamiseks nim 35. Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi.
Valemid 5 Aritmeetikatehted Arv 1 Arv 2 Summa Vahe Korrutamine Jagamine Astendamine Protsent 23 65 88 -42 1495 0,35385 529 23,00% 45 47 92 -2 2115 0,957447 2025 45,00% 2 32 34 -30 64 0,0625 4 2,00% 3 5 8 -2 15 0,6 9 3,00% Funktsioonid 88 1495 529
Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 vali õige mõiste : Vastavuse W on selline vastavus, mis pöördvastavus seab vastavuse W sihthulga elementidele vastavaks tema lähtehulga elemente Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid tehteid saab teha vastavustega ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: kompositsioon liitmine astendamine jagamine lahutamine Küsimus 7 Õige - Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged mõisted : Funktsioon on määratud vastavus kõikjal ühene Küsimus 8 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 vali õiged funktsioonide liigid (nimed) : injektsioon üks-ühene funktsioon on : bijektsioon
nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Liigid: 1. Hajuv jada (liikmed kasvavad). 2. Hääbuv jada (liikmed järjest vähenevad). Liikmete leidmine: Liikmete leidmiseks tuleb eelnev liige korrutada q-ga ja eelnevate liikmete leidmiseks tuleb järgnev liige jagada q-ga. Üldliikme valem: an=a1q a1=an/q q=an/a1 Summa valem(hajuv jada): Sn=a1(1-q ) / 1-q q=an / a1 Summa valem(hääbuv jada): Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine: · Astendamine on astme a leidmine. · Negatiivse astendajaga aste def. Võrdusega: a = 1/a , kui a0 19. Eksponentfunktsioon: Mõiste: Eksponentfunktsioonideks nim. funktsioone y=a , kus a>0 ja a1. 20. Tõenäosus: Sündmuste liigid: Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. Suhteline sagedus näitab, kui suur on tõenäosus mingi sündmuse toimumiseks.
Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige mõiste : Vastavuse W pöördvastavus on selline vastavus, mis seab vastavuse W sihthulga elementidele vastavaks tema lähtehulga elemente Küsimus 6 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Milliseid tehteid saab teha vastavustega ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: jagamine lahutamine liitmine astendamine kompositsioon Küsimus 7 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged mõisted : Funktsioon on kõikjal määratud ühene vastavus Küsimus 8 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õiged funktsioonide liigid (nimed) :
+ ja + = + + ja - =- -ja - = + - ja + = - Erimärgiliste arvude korrutis on negatiivne arv, mille absoluutväärtus on võrdne tegurite absoluutväärtuse korrutisega. Korrutamisel kehtib sama reegel : + ja - =- -ja - = + - ja + = - Kahe ratsionaalarvu jagatis on ratsionaalarv, mille saamiseks 1) Jagame arvude absoluutväärtused 2) Seejärel võtame märgiks plussi, kui arvude märgid on ühesugused ja miinuse kui märgid on erinevad. Nt : -14: (7) = -2 Astendamine Astendamiseks nimetatakse astme an , kus a on astendatav ja n on astendaja. Astendaja näitab mitu korda on vaja astendavat iseendaga korrutada. Kui astendatav on negatiivne, siis astendamise tulemus on negatiivne vaid siis, kui astendaja on paaritu arv, kuna siis korrutatakse paaritu arv kordi negatiivset arvu. Protsent Protsendi leidmine. Üks protsent on sajandik tervikust ja seda tähistatakse 1%. Tervikut tähistatakse 100% 1% = 1/100 ehk 0.01 osa
Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. 4
30(cos 80+ i sin 80) · Jagamine trigonomeetrilisel kujul: Moodulid jagatakse, argumendid lahutatakse. r r 1 cos 1i sin 1 :r 2 cos 2i sin 2 = 1cos 1- 2i sin 1-2 r2 Näide: 5(cos 50+ i sin 50):6(cos 30+ i sin 30) = 5:6 (cos(50- 30) + i sin(50 - 30) = 0,83(cos 20+ i sin 20) · Astendamine trigonomeetrilisel kujul: Moodul astendatakse, argumenti korrutatakse astmenäitajaga. r cosi sin n =r n cos n cdo i sin n Näide: 5(cos 50+ i sin 50)3= 53 (cos(3 50) + i sin(350)) = 125(cos 150+ i sin 150) Kompleksarvu eksponentkuju: Kompleksarvu eksponentkujule viimisel kasutame valemit: abi=re i kus siis r on moodul r = a 2b2 ja b saame teisendades valemit tan = . a
Mark 1.00 out of 1.00 Select one or more: lahutamine kompositsioon astendamine liitmine Lehekülg 1/5 24.11.2012 19:39 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - vastavused ja relatsioonid file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... jagamine
korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2, 3. K.arvu astendamine ja juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos+isin), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 juurimine Igal k-arvul z=r(cos+isin)0 on parajasti n juurt ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt
Lihtmurdude jagamine Võimaluse korral taanda juba pikal murrujoonel. Liigmurrukujuline vastus teisenda segaarvuks. Segaarvu jagamine lihtmurruga Segaarvu jagamisel tuleb segaartv teisendada liigmurruks. Järgnevalt toimi eespool toodud näidete kohaselt. Segaarvu jagamine täisarvuga Võid toimida ka nii Kirjuta segaarv sulgudesse täisosa ja liidetava summana. Jaga mõlemad liidetavad täisarvukujulise jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b = = n
sum SUM(A4:A8) 94.3 sumif SUMIF(A4:A8;2) 4 ed asuvad vasakul pool üleval nurgas. n järgmised veerud: elis käiguga isetamine: sisesta siia eelmises veerus olev valem ning tutvu dusmärgiga! ohati veergude järjestus ning ülesande kirjeldus. ruutjuur pii (3,14) teisendab numbri roomanumbriks astendamine ümardab määratud lahtri etteantud komakohani logaritm Liidab määratud arvud Liidab arvud 2 kogused Kuupäevafunktsioonid Tänane kuupäev või kellaaeg oleneb 4/27/1998 now NOW() 3:20:19 AM Date või Time 12/19/2014 year YEAR(A3) 1998 Valib etteantud kuupäevast aasta
Võimaluse korral taanda juba pikal murrujoonel. Liigmurrukujuline vastus teisenda segaarvuks. Segaarvu jagamine lihtmurruga Segaarvu jagamisel tuleb segaartv teisendada liigmurruks. Järgnevalt toimi eespool toodud näidete kohaselt. Segaarvu jagamine täisarvuga Võid toimida ka nii Kirjuta segaarv sulgudesse täisosa ja liidetava summana. Jaga mõlemad liidetavad täisarvukujulise jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b
Näide Võrrand x x 1 6 (lahend x = 3) on määratud piirkonnas x 1, sellest tuletatud võrrand x x 6 0 (lahendid x = 3 2 ja x = -2) aga kogu arvteljel. Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid Võrrandi mõlema poole korrutamine sama algebralise täisratsionaalse avaldisega. Näide Võrrandi 2x 1 = 3 lahendiks on x = 2, võrrandi (2x 1)(x 5) = 3(x 5) lahendeiks aga x = 2 ja x = 5. Võrrandi mõlema poole astendamine positiivse paarisarvuga. Näide Võrrandi 2x 1 = x 1 lahendiks on x = 0, võrrandi (2x 1) 2 = (x 1)2 3x 2 2x = 0 lahendeiks aga x = 0 ja x = 2/3. Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid Võrrandi f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x) 0 asendamine võrranditega f1 ( x) 0, f 2 ( x) 0, ... , f n ( x) 0. Näide (sin 2 x 1) tan x 0 sin 2 x 1 0 või tan x 0, , kus k Z sin x 1 0 x (2k 1) 2
klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9
- a,absoluutväärtus Arvteljel tähendab reaalarvu kui a < 0. sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Näide: |5|=5; |-6|=6; |-0,3|=0,3. RATSIOONALAVALDISTE LIHTSUSTAMINE Ratsionaalarvaldiseks nimetatakse avaldist, milles tehetena võivad esineda vaid arvude ja/või muutujate liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga. Ratsionaalavaldises ei tohi esineda muutujat juuritavas. Kui muutuja esineb juuritavas, siis nimetatakse vastatakse vastavat avaldist irratsionaalavaldiseks. Näiteks avaldised ja on ratsionaalavaldised, kuid avaldis on irratsionaalavaldis. Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5 2x + 5 Sulgude ette toomine: ab + ac = a(b + c);
power POWER(1000*31;8)*POWER(A6;A7)/3118,2 3,3674300E+032 round ROUND(A5/12,4;3) 1,452 logaritm (35,75-LOG(B6))/53,2 0,6367469687 sum SUM(A4:A8) 74 sumif SUMIF(A4:A8;2) 4 ruutjuur pii (3,14) numbri teisendab roomanumbriks astendamine ümardab määratud lahtri etteantud komakohani logaritm Liidab määratud arvud Liidab arvud 2 kogused Kuupäevafunktsioonid Tänane kuupäev või kellaaeg oleneb 27.04.1998 now NOW() 5:23:20 AM Date või Time 25.11.2012 year YEAR(A3) 1998 Valib etteantud kuupäevast aasta month MONTH(A3) 4 Valib etteantud kuupäevast kuu
juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole: 1) 2 sin x cos2 x (avaldis sisaldab trigonomeetrilisi funktsioone); 2) 2 2 (avaldises esineb astendamine irratsionaalarvuga). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ratsionaalne ja irratsionaalne avaldis Niisugust algebralist avaldist, kus ei esine juurimist, nimetatakse ratsionaalseks avaldiseks, vastasel juhul irratsionaalseks avaldiseks. Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis: (3x 2 y 3 )3
12. Vähimat naturaalarvu n, mille korral kehtib võrdus An+k = An Ak = Ak = nimetatakse impotentsuse astmeks. 13. Ruutmaatriksi A, mis rahuldab tingimust A2 = A nimetatakse idempotentseks. 14. Ruutmaatriksi A nimetatakse involutiivseks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = A. |A-1| = |A| 1/|A| = |A| = |A2| E=A2 |A| = +/- 1 A2k = E A2k+1 =A Pöördmaatriksi leidmine, maatriksi astendamine ja maatriksi transponeermise omadusi: · A A-1= A-1 A = E · (A-1)-1 = A · (AT)T = A · A1 = A A0 = E · Au + Am = Au+m · (A-1)T = (AT)-1 · (Ap)T = (AT)p · (Ap)-1 = (A-1)p · (A B)-1 = B-1 A-1 · p = T = · (Au)m = Aum · (a A)T = a AT · E1 = E-1 = ET = Eu = E · (A +/- B)T = AT +/- BT · (A B)T = BT = AT 15
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4
Korrutamine: z1 z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + b1a2i + a1b2i + b1b2i 2 = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i Trigonomeetriline: z1 z 2 = r1r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )] a +b i a a +b b a b +a b z r Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu
2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiivse astendajaga aste thendab murdu , mille lugejaks on arv ks ja nimetajaks sama aste positiivne astendaja. nt: a ( astmes -m) = 1 / a(astmes m) 2(astmes -3) = 1 / 2(astmes 3 ) = 1 / 8 (PS
konstandid: 12 25,73 "N" "Kasemets" "01.01.2000" viited lahtritele ja lahtriplokkidele (muutujad): - aadressid: B5, H13, C5:H28, $B$5, H$13, ..., Sheet2!B5, ... - nimed: a, x, x_1, c_, pikkus, palk, ... , Sheet2!palk, ... funktsiooniviidad ehk lihtsalt funktsioonid: SIN(B3), SQRT(a^2+b^2), SUM(C3:C103), MAX(palk), LEFT(nimi;1) Tehted ja tehtesümbolid, tehete prioriteedid 1. % protsent: 18% = 0,18 10%*130 = 13 2. ^ astendamine (Alt+94): (x+2)^2 (x+2)^(1/3) 3. * , / korrutamine, jagamine: a*b a/b 2*(a+b)/d 4. + , - liitmine, lahutamine: a+b a-b 5. & sidurdamine (tekstide ühendamine): enimi&" "&pnimi 6. = , <> , < , <= , > , >= võrdlustehted: A3>C4 palk<=5000 x>0 B2="N" NB! Võrdse prioriteediga tehteid täidetakse järjest vasakult paremale, tehete täitmise järjekorra määramiseks võib kasutada ümarsulge. =2,67*(13,7-2,68)/14,1 =B3*B4/B5 =B3/(B4*B5)
6 -1 0 1 2 6*0+(-1)*3 6*1+(-1)4 6*2+(-1)*5 B*A = 7 9 * 3 4 5 = 7*0+9*3 7*1+9*4 7*2+9*5 = 8 -2 8*0+(-2)*3 8*1+(-2)*4 8*2+(-2)*5 -3 2 7 = 27 43 59 -6 0 -6 6) ASTENDAMINE (võimalik ainult ruutmaatriksi puhul) m=n A2 = A*A 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30 2
Hinnatõus (eurodes) ht_e 2 402,95
Hinnatõus (protsentides) ht_% 30,05%
Annuiteetne skeem
Valemid:
k = a^n*(a - 1)/(a^n - 1) - kuumakse koefitsient, kus
a = 1 + p / 12 - jada tegur
Sümbol ^ ("katus":
12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised. Alguspunkti ehk nullpunkti, pikkusühiku ning positiivse suunaga varustatud sirge. 16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti.
.. a. n tegurit Näited 32 3 3 9. 104 10 10 10 10 10000. 3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori OA pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos .avaldist z=r(cos +isin ) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] , z1 r1 = [ cos ( 1- 2 )+isin ( 1- 2) ] z2 r2 3) Kompleksarvude juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest.
annaabi.ee 
