Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse
Ega pea pole prügikast! Tõsta enda õppeedukust ja õpi targalt. Telli VIP ja lae alla päris inimeste tehtu õppematerjale LOE EDASI Sulge

"integraalid" - 78 õppematerjali

thumbnail
0
rar

Matemaatiline analüüs 1 kontrolltöö 3

docstxt/123270767525677.txt

Matemaatika → Kõrgem matemaatika
175 allalaadimist
thumbnail
7
pdf

Määramata integraalid

KÕRGEM MATEMAATIKA III Matemaatilise analüüsi elemendid 3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3

Matemaatika → Kõrgem matemaatika
172 allalaadimist
thumbnail
0
zip

Kat- 2 kodunetöö

docstxt/1305031558138364.txt

Matemaatika → Diferentsiaal-ja...
178 allalaadimist
thumbnail
4
docx

MathCAD kordamisküsimused

punktide ja seost kirjeldava funktsiooni sirge vaheliste kauguste (hälvete, vigade) ruutude summa oleks minimaalne: kus katusega yi ­ funktsiooni kirjeldava võrrandi abil arvutatud vaatlusest saadud x väärtusele vastavad y väärtused yi ­ samale vaadeldud x väärtusele vastav vaadeldud y väärtus Korrelatiivset seost iseloomustavat joont, mille geomeetriline koht korrelatsiooniväljal leitakse vähimruutude meetodil, nimetatakse regressioonijooneks. 3. Kahekordsed integraalid Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus o Olgu piirkonnas Dantud pidev funktsioon z= f(x;y):Jaotame piirkonna Dmingite joontega nosaks: s1;s2;sn;mida nimetatakse osapiirkondadeks.Edaspidi mõistame sümbolite s1;s2;sn ka nende pindalasid. Võtame igas piirkonnas si mingi punkti Pi;saades nii npunkti: P1;P2;Pn:Olgu funktsiooni z= f(x;y) väärtused valitud punktides f(P1);f(P2);f(Pn):Moodustame summa Vn =

Matemaatika → MathCAD
6 allalaadimist
thumbnail
5
doc

Matemaatika valemid

Suur valik erinevaid valemeid- nii gümnaasiumis kui ka ülikoolis kasutamiseks. N: astmed, juured, integraalid, jada, trigonomeetria, setereomeetria, tõenäosus, võrrandid, logaritmid, statistika, vektorid jne

Matemaatika → Matemaatika
590 allalaadimist
thumbnail
2
doc

Mat analüüs 1

; '(x)=f()x/x=(x0; x+xx; x)=lim(x)f()=f(x). Järeldus: (x) on f(x)'i algfunktsioon. Valem: F(x) rajades a'st b'ni =F(b)-F(a)= integraal a'st b'ni f(x)dx 4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
318 allalaadimist
thumbnail
6
docx

Vähendatud programmi teooria 2

Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
131 allalaadimist
thumbnail
142
pdf

Matemaatiline analüüs I

4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine

Matemaatika → Matemaatika
42 allalaadimist
thumbnail
19
doc

Nimetu

asendada z = x-a; b) (Bx+C)/(x2+px+q)dx: 10. Valitakse t = x2+px+q dt = (2x+p) dx. 20. Avaldatakse Bx+C avaldise 2x+p kaudu. 30. Tekib K (2x+p)/(x2+px+q)dx = K ln x2+px+q. 40. Liidetav L(x2+px+q)-1dx määrab kindla kordaja ja argumendiga arctan-funktsiooni. Nende määramiseks on vaja teisendada avaldist x2+px+q z2+1. Alustada tuleb TÄISRUUDU ERALDAMISEST ruutkolmliikmes. c) Integraalid (Bix+Ci)/ (x2+px+q)idx taandatakse eelmisele juhule. 12 MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTAMINE NEWTON ­ LEIBNIZI VALEM: b b f(x)dx = F(x)= F(b) ­ F(a); F´(x) = f(x). a a MÄÄRATUD INTEGRAALI GEOMEETRILISI RAKENDUSI 1. TASANDILISE KUJUNDI PINDALA Olgu tasandiline kujund D piiratud joontega y = f(x) ja y = g(x), kusjuures Dx = [ a, b ] ning

Varia → Kategoriseerimata
177 allalaadimist
thumbnail
2
pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

Muutujavahetus m¨a¨aratud integraalis. 22. Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid. 25. U¨ ks ma¨a¨ratud integraali rakendus omal valikul koos to~estusega.

Matemaatika → Matemaatika analüüs i
139 allalaadimist
thumbnail
20
docx

MATEMAATILINE ANALÜÜS I

a 27. Määratud integraali omadused. a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28. Asendusvõte (kuidas valid uus muutuja?). 29. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). 30. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). t Definitsioon: Kui ∫ f (x) dx eksisteerib iga arvu t≥a korral, siis a defineerime päratut integraali kui t lim ¿ t → ∞∫ f ( x ) dx a f ( x ) dx=¿ ¿ ∞ ∫¿ a Kuidas arvutatakse: 31. Teist liiki päratud integraalid (tõkestamata funktsiooni

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
36 allalaadimist
thumbnail
3
doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I

Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa: 1. Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9). 2. Integraalarvutus (loengud 10-16). Harjutustunnid: Vastavalt loengumaterjalile. Iseseisva töö korraldus:

Matemaatika → Matemaatika analüüs i
212 allalaadimist
thumbnail
28
pdf

Kolmas kollokvium

Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.

Matemaatika → Matemaatika
24 allalaadimist
thumbnail
14
doc

Kollokvium III

Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis . Kui f(x) a,b korral, siis

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
107 allalaadimist
thumbnail
6
pdf

Matemaatilised meetodid loodusteadustes.

tegemist maksimumiga. g(x, y) g(x, y) 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = 2y cos x - ye2x (2p). x y Lahendus. gx = (2y cos x - ye2x )x = 2y(cos x)x - y(e2x )x = -2y sin x - y(e2x )(2x)x = -2y sin x - 2ye2x , gy = ((2y cos x - ye2x )y = 2 cos x(y)y - e2x (y)y = 2 cos x · 1 - e2x · 1 = 2 cos x - e2x . 6. Leida integraalid (muutuja vahetusega) (2p): 4 tan(x + 1) 2x + 1 dx, dx cos2 (x + 1) 1 2x2 + 2x Lahendus.

Loodus → Looduskaitsebioloogia
50 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Määratud integraal

Kokku saame, et funktsiooni keskmine väärtus lõigul [a;b] k= JOONE KAARE PIKKUS Jagame kaare n osaks. Kui n siis osalõikude pikkused lähenevad nullile ja võime need tinglikult lugeda sirgeteks, mille pikkus avaldub l = x 2 + y 2 . Minnes üle diferentsiaalidele l dx 2 + y ' 2 dx 2 = dx 1 + y ' 2 . Kui summeerida saame määratud integraali b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b

Matemaatika → Kõrgem matemaatika
181 allalaadimist
thumbnail
11
pdf

Määratud integraal

JOONE KAARE PIKKUS Jagame kaare n osaks. Kui n siis osalõikude pikkused lähenevad nullile ja võime need tinglikult lugeda sirgeteks, mille pikkus avaldub l = x 2 + y 2 . Minnes üle diferentsiaalidele l dx 2 + y ' 2 dx 2 = dx 1 + y ' 2 . Kui summeerida saame määratud integraali b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a Kehade pind- ja masskeskmed, tehnikas inertsmomendid, staatilised momendid PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b

Matemaatika → Matemaatika
66 allalaadimist
thumbnail
2
docx

Matemaatilise analüüsi teoreeme ja definitsioone

kui iga x X korral on täidetud tingimus F'(x) = f(x). Def5. Avaldist F(x) + C , kus y=F(x) on funktsiooni y=f(x) algfunktsioon piirkonnas X ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga f(x)dx. Seejuures, konstanti C nimetatakse integreerimiskonstandiks. T9. Kui funktsioon y=f (x) on pidev lõigus [a,b] , siis on tal olemas algfunktsioon (seega ka määramata integraal) selles lõigus. T10. Kui on olemas integraalid f(x)dx ja g (x)dx, siis mistahes konstantide ja korral on olemas ka integraal [f(x)+g(x)]dx, kusjuures kehtib võrdus [f(x)+g(x)]dx = f (x)dx + g (x)dx. T11. Kui funktsioonil y = f (x ) on olemas algfunktsioon y=F(x) piirkonnas X ja kui x=(t) on mingis piirkonnas T diferentseeruv funktsioon, mille väärtused kuuluvad piirkonda X , siis kehtib valem f(x)dx=f [ (t)] '(t)dt. T12. Kui on olemas integraal vdu, kusjuures funktsioonid u ja v on diferentseeruvad

Matemaatika → Matemaatika
32 allalaadimist
thumbnail
24
pdf

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. KORDAMISKÜSIMUSED

𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). Ositi integreerimise meetod võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 37. Teist liiki päratud integraalid (tõkestamata funktsiooni integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 38. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, f-ni keskmine väärtus). Tasandilise kujundi pindala. Defineerime piirkonna S kogupindala kui osapiirkondade pindalade summa A = A1 + A2 + . . .. Seega üldisemal juhul

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
26 allalaadimist
thumbnail
7
doc

Konspekt

tx= = tx g (t )' Tehes tagasiasenduse f[g(t)]=f(x) f ' ( x) Valem integraali f ( x) dx leidmiseks d ln x d x 1 1 1 x 1 ln x = * = signx = = * = d x dx x x x x x 5. Tuletada ositi integreerimise valem. Esitada põhilised ositi integreeruvad integraalid. Põhilised ositi integreeruvad integraalid 1) cos x sin xdx 2) (ax +b) sin xdx 3)? 6. Defineerida funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b]. Mis on a f ( x)dx b geomeetriline tähendus, kui f(x) _0 7. Sõnastada ja tõestada matemaatilise analüüsi põhiteoreem(st millega võrdub määratud integraali tuletis muutuva ülemise raja järgi). 8. Lähtudes matemaatilise analüüsi põhiteoreemist tuletada Newton-Leibnizi

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
87 allalaadimist
thumbnail
20
docx

Matemaatiline analüüs II kontrolltöö

Korrutades seda võrdust du-ga saame Asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise b. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks Olgu ) ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise. Integreerime seda avaldist. Saame Kuna integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega , kusjuures Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
122 allalaadimist
thumbnail
8
doc

Matemaatiline analüüs 2, kollokvium 3

valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse regulaarseks, kui tema raja koosneb lõpilkust arvust pidevatest joontest tüüpi y=(x) või x=(y).

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
536 allalaadimist
thumbnail
20
docx

Matemaatiline analüüs II. Eksami kordamisküsimuste vastused

1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid)  DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y )  Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks.  Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks.  Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud muutujad  Näide:  Funktsioon võib olla antud ilmutatud kujul z= f (x1 , x2 , x3 , … x n) (z=x2+y2-5) või ilmutamata kujul F ( x 1 , x 2 , ...

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
165 allalaadimist
thumbnail
5
docx

Kollokvium V määratud integraal: kõik mida küsitakse

t DEF2. Enne tõestasin, et G'(x) on f(x) algfunktsioon. F(x)=G(x)+C s.t, et suvaline algfunktsioon 2.14. Newton-Leibnizi valem Lause. Funktsiooni f(x) suvaline algfunktsioon on kirja pandav sellisel kujul: x=a: Näide. 2.15 Muutuja vahetus ja ositi integreerimine U(x), v(x) d(uv)=vdu+udv N. Kui F(x) on lõigul pideva funktsiooni f(x) algfunktsioon siis . x=(t), a b, . Lause2. (x=(t), ()=b, ()=a) N. N. N. 2.20 Päratud integraalid DEF1. Kui f(x)I[a,c] iga c(a,b) korral ja , siis funktsiooni f(x) lõigul [a,b] selleist piirväärtust: nim. päratuks integraaliks. Analoogiliselt defineeritakse ka pärtud integraal juhul, kui funktsioon f(x) on tõkestamata punkti a ümbruses: . N. Seega ntud päratu integraal koondub. DEF2. Kui f(x)I[a,b] iga b>a korral ja , siis . N. See integraal on koonduv. 2.16 Tasandilise kujundi pindala arvutamine N. =[see on ¼ ringist]= II III =()

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
45 allalaadimist
thumbnail
2
docx

Matemaatiline analüüs I abivalemid

TULETISED Tuletiste põhiomadused: ' csin=0x+cos 2( c=const ) 2 x ( cu )' =c ( u )' , kus c=const Tähtsad piirväärtused: INTEGRAALID x =1 ' Newton-Leibniz: sinb x tan x sin ¿ =cos x x dx lim =1 lim =1 ∫ ' 0 dx=C x =1 2 1 ∫ x ...

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
9 allalaadimist
thumbnail
4
doc

Muutuja vahetus määramata integraalis

Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: uv . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal: d(uv) = duv + udv vahetame integraali kujunduse huvides tegurite du ja v omavahelise järjekorra ja saame: d(uv) = v du + udv Nüüd avaldame siis nende integraalid, ja seega, nagu taibata võib, ka korrutise uv, sest integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on selle funktsiooni enda ja mingi suvalise kontsandi summa: d(uv) = uv +C , seega, selguse mõttes jättes välja konstandi C märkimise (mida saab niikuinii teha alles lõpliku integraali leidmisel), saame avaldise d(uv) = duv + udv mõlemaid pooli integreerides huvitava võrduse: d(uv) = vdu + u dv ja asendades d(uv) ära: uv = vdu + u dv

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
120 allalaadimist
thumbnail
32
pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

PD PD mis koosneb (m - 1) -muutuja funktsioonidest; 4. Siis M = max( f (P1 ),..., f (Pr ), M D ) , m = min ( f (P1 ),..., f (Pr ), mD ) . 10 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §2. KAHEKORDSED INTEGRAALID 1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus Def. Piirkonna D diameetriks nimetatakse arvu d (D ) = sup d (P, Q ) . P ,QD Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas D R 2 . Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks D1 ,..., Dn nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Pi Di i = 1,..., n . Def

Matemaatika → Matemaatiline analüüs ii
189 allalaadimist
thumbnail
20
pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.3

kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi.

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
100 allalaadimist
thumbnail
12
docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

Diferentseeruv: Tõestus: Leiame funktsiooni G(x) tuletise(lõigu otspunktides ühepoolse tuletise) a dv=f (n+1 ) ( t ) dt v =f 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: b

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
24 allalaadimist
thumbnail
15
docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

a.v. Korrutame selle võrduse du-ga saame a.vi. Asendame x ja dx integraali all saame b. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: b.i. Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. b.ii. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali b.iii. Integreerime seda avaldist b.iv. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) b.v. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. a. Funktsiooni f integraalsumma lõigul : b. Määratud integraal: b.i. Definitsioon 1: b.i.1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga b.i.2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
100 allalaadimist
thumbnail
1080
pdf

Matemaatiline analüüs terve konspekt

tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine ma¨ aratud ¨ integraalis. Ma¨ aratud ¨ ¨ integraali rakendused. Paratud integraalid. ¨ G

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
136 allalaadimist
thumbnail
10
doc

Matemaatilised valemid ja joonistus - MS Word 2003

Maatriksid Jooned ja Murrud ja nooled Korrutised ja ruutjuured Summad hulgateooria all/peal Sulud Ala- ja Integraalid Noole- ülaindeksid tähised Pärast klõpsu nupuriba mingil nupul avaneb selle all märgipalett. Soovitud märgi (või malli) sisestamiseks tuleb klõpsata sellel vajalikul nupul. Mallide puhul kuvatakse malli püsisümbolid (näit. ruutjuure, sulu jne sümbol) ja muutuvate osade pesad (näit. n-nda juure ja juuritava jaoks). Pesa (tähistatud punktiirjoonega kastikesena) täitmiseks tuleb sellel

Informaatika → Tekstitöötlus
4 allalaadimist
thumbnail
8
docx

Multimeeter

­ kindla aja T vältel integreeritakse sisendpinget U ; i x ­ vastupidise märgiga sisendtugipinget integreeritakse seni, kuni integraatori väljundpinge jõuab tagasi nulli. Vahetulemuseks on mõõtetsükli teise osa kestus T . 2 Joon 1.Kahekordse integreerimisega voltmeetri plokkskeem Kuna ajavahemiku Ti ja T2 vältel määratud integraalid on suuruse poolest võrdsed, saame RC siit avaldub T2 = U x Ti U 0 . (4) Seega on tsükli teise osa pikkus T2 võrdeline sisendpingega Ux. Mõõtetulemuse saamiseks täidetakse T2 loendusimpulssidega. Sobiva impulsside kordussageduse

Informaatika → Telekommunikatsiooni...
40 allalaadimist
thumbnail
18
pdf

Määratud integraal

n n I = lim f (k )xk + lim g(k )xk , 0 0 k=1 k=1 2 mille liidetavad on m¨a¨aratud integraali definitsiooni kohaselt vastavalt v~ordu- se (5.1) paremal pool olevad integraalid. Omadus 2. Konstantse teguri c saab tuua m¨a¨aratud integraali m¨argi alt v¨alja: b b cf (x)dx = c f (x)dx. a a J¨ areldus 1. Kahe funktsiooni vahe m¨a¨aratud integraal v~ordub nende

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
176 allalaadimist
thumbnail
21
docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

b d ( uv )=uv ¿ba Avaldame selle võrduse seose vasakusse poolde. Saame a b b b uv ¿ ba= vdu+ udv Viies vdu võrduse teisele poole, tultame ositi integreerimise valemi a a a määratud integraali jaoks b b udv=uv ¿ba - vdu a a 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 1.Päratu integraal poollõigul [ a , ). Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõpmatul poollõigul [ a , ) . Seega on f pidev ka kõigil a,b b> a . Järelikult eksisteerib määratud integraal lõplikel lõikudel ¿ ], kus b

Matemaatika → Matemaatika
10 allalaadimist
thumbnail
4
pdf

Matemaatiline analüüs II, II teooriaküsimused 2013

f ( P )s = f ( x, y )dxdy Piirkonda D nimetatakse i =1 i i D D integreerimispiirkonnaks. Teoreem 2. Kahe funktsiooni summa ( x, y ) + ( x, y ) kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub summaga, mille liidetavateks on funktsioonide ( x, y ) ja ( x, y ) , kahekordsed integraalid üle sama piirkonna D. [ ( x, y) + ( x, y )]ds = ( x, y )ds + ( x, y)ds D D D Teoreem 3. Konstantse teguri võib tuua kahekordse integraali märgi ette: kui a=const, siis: a ( x, y )ds = a ( x, y )ds D D Teoreem 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides

Matemaatika → Matemaatiline analüüs ii
161 allalaadimist
thumbnail
10
doc

Mathcad õppematerjal

1) Leida kriitilised punktid piirkonna D sisepiirkonnas, nö statsionaarsed punktid või punktid milles mõni osatuletis puudub. 2) Uurida piirkonna raja, st leida kriitilised punktid piirkonna rajal. 3) Arvutada fn-i väärtused osades 1) ja 2) leitud punktides. 4) Suurim väärtus on GLOBAALNE MAKSIMUM ja väiksem väärtus GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
142 allalaadimist
thumbnail
3
docx

Kollokvium integraal

suvaline konstant ( integreerimiskonstant ), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed: Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, = [kasutame tuletise lineaarsuse omadust] = , st eksisteerib määramata integraal funktsioonist , ja [suvaliste konstantide lineaarkombinatsioon on suvaline konstant] = . Muutujate vahetus määramata integraalis x = (t)t T (T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus.

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
93 allalaadimist
thumbnail
4
doc

Matemaatiline analüüs - teooria spikker

Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. x/2=arctan t ; x=2arctan t ; dx=2/1+t 2dt 7. Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest 2. Integraalid (tõestusega). tingimusel, et 8. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis piirväärtus eksisteerib. (tõestusega). Kasutame asendust tanx=t ; dx=1/1+t 2*dt

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
974 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Matemaatiline analüüs - konspekt II

elamentaarfunktsioonide integraale. 36. Integreerimine muutuja vahetusega Vaatleme integraali f ( x )dx ja ühest funktsiooni x = ( t ) , millel on ühene pöördfunktsioon t = ( x ) . Teoreem 1. Kui x = ( t ) on rangelt kasvav (rangelt kahanev) diferentseeruv funktsioon, siis f ( x )dx = f [ ( t )]( t )dt . (1) Tõestus. Kasutame jälle asjaolu, et määramata integraalid on võrdsed, kui on võrdsed nende tuletised. Diferentseerime võrduse mõlemat poolt x järgi ja veendume, et tulemus on sama. Vasaku poole tuletis on punkti 4.1.1 järelduse 1 põhjal 2 ( f ( x )dx ) Parema poole algfunktsioon on muutuja t funktsioon, seega = f (x ) . paremat poolt peame muutuja x järgi diferentseerima kui liitfunktsiooni: integraali

Matemaatika → Matemaatiline analüüs
351 allalaadimist
thumbnail
8
docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

Saame avaldise f(x)dx = f[(u)] '(u)du. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv. Integreerime seda avaldist. Saame d(uv) =vdu +udv. Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis uv + C = vdu + udv. Konstandi C v~oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m~olemad m¨a¨aramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale xn sin(ax)dx, xn cos(ax)dx, xneaxdx, (lnx)ndx, kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37

Matemaatika → Matemaatika
47 allalaadimist
thumbnail
156
pdf

Kõrgem matemaatika

. . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Kõversektori pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.3 Joone kaare pikkuse arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.4 Keha ruumala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.5 Integraali füüsikalisi rakendusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12 Päratud integraalid ja nende rakendused 105 12.1 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.2 Lõpmatute rajadega integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.3 Integraal tõkestamata funktsioonist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . .

Matemaatika → Kõrgem matemaatika
96 allalaadimist
thumbnail
6
docx

Mat. Analüüs I ; teooria II osa

3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal ­ 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis

Matemaatika → Matemaatiline analüüs i
17 allalaadimist
thumbnail
23
docx

MATEMAATILINE ANALÜÜS TÖÖ VASTUSED

3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 36. See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal ­ 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või

Matemaatika → Matemaatika analüüs i
104 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Määramata integraal

( ) 4 3 2 x - x + 2x - 1 dx dx dx = x 2 + 2x + 6 dx - + 15 = 2 x - 3x + 2 x -1 x -2 x3 x2 = +2 + 6x - ln x - 1 + 15 ln x - 2 + C 3 2 TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE INTEGREERIMINE sin ax sin bx dx 1. Määramata integraalid cos ax cos bx dx , leitakse kasutades teisendusvalemeid: sin ax cos bx dx 1 sin sin = [ cos( - ) - cos( + ) ] sin( + ) = sin cos + cos sin 2 1 sin( - ) = sin cos - cos sin cos cos = [ cos( - ) + cos( + ) ] 2 cos( + ) = cos cos - sin sin

Matemaatika → Kõrgem matemaatika
191 allalaadimist
thumbnail
18
docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

F(a) + C, millest tuletame valemi C = -F(a) konstandi C jaoks. Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul x af(t)dt = F(x) - F(a) . Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini (5.24). Teoreem on tõestatud. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Hindamisteoreemid Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S

Matemaatika → Matemaatiline analüüs i
121 allalaadimist
thumbnail
12
pdf

MÄ Ä R AMA T A I N T EGR A A L

a a adu x = = arcsin u + C = arcsin +C a 1-u 2 a dx x a -x 2 2 = arcsin a +C TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE INTEGREERIMINE sin ax sin bx dx 1. Määramata integraalid cos ax cos bx dx , leitakse kasutades teisendusvalemeid: sin ax cos bx dx 1 sin sin = [ cos( - ) - cos( + ) ] 2 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + ) ] 2

Matemaatika → Matemaatika
15 allalaadimist
thumbnail
5
doc

Matemaatilise analüüsi 2.kollokviumi

Kui f,g c I(D) ja c c R, siis cf(P)dS = cf(P)dS, f(P) + g(P)dS = f(P)dS + g(P)dS. Kui s on joone loomulik parameeter (kaare pikkus) st Kui D = DI DII ja DI DII koosneb vaid DI ja DII ühistest rajapunktidest, ning eksisteerivad integraalid Df(P)dS, x=x(s) DIf(P)dS ja DIIf(P)dS, siis Df(P)dS = DIf(P)dS + DIIf(P)dS. y=y(s) Kui eksisteerivad integraalid f(P)dS ja g(P)dS ning f(P) <= g(P), P c D, siis f(P)dS <= g(P)dS. z=z(s)

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
38 allalaadimist
thumbnail
8
pdf

Matemaatiline analüüs II 2. kollokviumi spikker

Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = integraalid tähendavad geomeetriliselt kõversilindriruumalasid, esimene neist on pealt piiratud funktsiooni 𝑥2 + 𝑦2 = 𝜌2 Uε(x1, y1), et iga P(x, y) ∈ Uε(x1, y1) on f(x, y) < f(x1, y1). Definitsioonis on eeldatud, et punkt P(x, y) erineb z=f(x,y) graafikuga ja teine funktsioon z=g(x,y) graafikuga. Seega nende vahe tähendab niisuguse kõversilindri punktist P1(x1, y1)

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 2
70 allalaadimist
thumbnail
36
pdf

Matemaatiline analüüs

Saame avaldise ʃf(x)dx = ʃ f[ψ(u)] ψ’(u)du. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv. Integreerime seda avaldist. Saame ʃ d(uv) =ʃvdu +ʃudv. Kuna ʃd(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis uv + C =ʃ vdu +ʃ udv. Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid ʃudv ja ʃvdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies ʃvdu võrduse teisele poolele saame ʃudv = uv − ʃvdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale ʃ xn sin(ax)dx, ʃ xn cos(ax)dx, ʃ xneaxdx, ʃ (lnx)ndx, kus n on positiivne täisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda võtet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted .

Matemaatika → Matemaatiline analüüs 1
14 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun