9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised. Alguspunkti ehk nullpunkti, pikkusühiku ning positiivse suunaga varustatud sirge. 16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18
b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv. 5) Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast
3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , B ja AB=1. Tõestage, et kolmnurga ABC kaatetite summa võrdub väärtusega f . cos sin 1 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne . 4 22. (26.05.2003, T, 15 punkti). Arvsirge piirkonnas, kus 0 x 2 , vaadeldakse funktsioone f x 2 cos x ja g x tan x . 1) Lahendage võrrand f x g x . 2) Joonestage funktsioonide f x 2 cos x ja g x tan x graafikud ja märkige eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Leidke vahemik, kus mõlemad funktsioonid on samaaegselt a) positiivsed, b) negatiivsed. 23. (01.11.2003, S, 15 punkti). Antud on funktsioon f x 6 cos x sin x 6 lõigul
Kui võrratus sisaldab tundmatu absoluutväärtusi, siis tuleb arvestada seda, et vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile x, kui x 0 x = x, kui x < 0, võib võrratus erinevates MP osades omandada erineva kuju. Näide 5. Lahendame järgmise absoluutväärtusi sisaldava võrratuse: - -x2 + 3x + 2 x2 + 2x - 1. Selle MP-ks on kogu arvsirge ]-;[ . Kuna aga - x 2 + 3x, kui - x 2 + 3x 0 ehk 0 x 3 - x + 3x = 2 x 2 - 3 x, kui - x 2 + 3x < 0 ehk x < 0 x > 3 ja 2 x - 1, kui 2x - 1 0 ehk x 0,5 2x - 1 = -2x + 1, kui 2x - 1 < 0 ehk x < 0,5 siis teeme joonise, mis aitab leida nende võrratuste jaoks ühised piirkonnad. 0 0,5 3 x
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene
~ 0 1 0 ,1 0,7 ~ 0 1 0 0,5 0 0 - 0,6 -1,2 0 0 1 2 x1 = -1,5;x2 =0,5;x3 = 2 10. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid tasandil. Sirget, millel on fikseeritud üks punkt, märgistatud suund ja valitud pikkusühik, nim koordinaatteljeks. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: · Suunaga arvsirge · Alguspunkt (liikumise algus; O) · Pikkusühik Ristkoordinaadistiku tasandil moodustavad kaks ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x- teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: · Kaks ristuvat suunaga arvsirget · Alguspunktid ühtivad · Ühikud on võrdsed Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil:
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada lineaarse vôrrandisüsteemi laiendatud maatriksis peadiagonaali alla 0-d, ning alustades alumisest reast lugeda välja lahendid. 9. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: 1) Suunaga arvsirge 2) Alguspunkt (liikumise algus; O) 3) Pikkusühik. Ristkoordinaadistik tasandil: 1) Kaks ristuvat suunaga arvsirget 2) Alguspunktid ühtivad 3) Ühikud on vôrdsed. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: 1) Sirgel: A(x = |OA|, kui A asub pos. osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) 2) Tasandil (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) => M(x;y). 10. Lõigu keskpunkti koordinaadid. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis.
{ } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) < r nimetatakse lahtiseks keraks ruumis R m . Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m . Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks. R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D
muutuja suuruste C1,C2, ...,Cr kaudu; kirjutatakse välja süsteemi üldlahend. c) teostatakse leitud lahendite kontroll. 10. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid tasandil. koordinaatsüsteem sirgel: sirget, millel on fikseeritud üks punkt, märgistatud suund ja valitud pikkusühik, nimetatakse koordinaatteljeks. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: Suunaga arvsirge Alguspunkt (liikumise algus; O) Pikkusühik Ristkoordinaadistiku tasandil moodustavad kaks ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist.
Füüsika I osa eksami kordamisküsimused TEST........................................................................................................................................... 1 DEFINITSIOONID...................................................................................................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja se...
hulga Z elemente nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude abil moodustatud harilikud murrud kirjeldavad ratsionaalarve, me tähistame nm o Q := | m ∈ Z, n ∈ N . n Paraku ei sobi ratsionaalarvud, millega me edukalt opereerime oma igapäevaelus, mate- maatilise analüüsi kui matemaatilise teooria aluseks, põhjuseks on hulga Q lünklikkus. Kui kujutada ratsionaalarve arvsirge punktidena, siis sellel sirgel on lünki. Nagu me käesoleva peatüki lõpus veendume, on lünki teatavas mõttes rohkemgi kui ratsionaalarve endid. Juba Pythagorase ajast — seega 5. sajandist enne Kristust — on teada, et leidub selliseid sirglõike, mille pikkust ei saa väljendada √ ratsionaalarvuga. Tuntuim sellekohane näide on ühikruudu diagonaal, mille pikkus 2 ei ole ratsionaalarv. √
(a , b) (c , d) ja ¿ ¿ . Bijektsiooniks kõigil juhtudel sobib lineaarne funktsioon (d-c ) x +bc-ad f ( x)= , x [a ,b ](või x ( a ,b)või x ¿). b-a - ( , ) R Näide: Vahemik 2 2 ja arvsirge on sama võimsusega, sest funktsioon - tan :( , ) R 2 2 on bijektsioon. Näide: Reaalarvude paaride hulk R2 ja kompleksarvude hulk C on sama võimsusega. Bijektsiooniks on funktsioon f : R2 C , kus f ((a , b))=a+ bi iga (a , b) R2 , kus i 2=-1 . Lause (Hulkade ekvivalentsuse omadusi) Olgu A , B ja C hulgad. Siis 1. (Refleksiivsus) AA ; 2
Katsetage internetis oma pangakontoga, ta võib kergesti sattuda ka miinusesse, kui raha liiga agarasti kulutada. Arvust võibki näiteks mõelda kui õunavõlast vanemale vennale... Sellega, et negatiivsed arvud on täiesti mõistlikud ja isegi loomulikud, lepiti aga alles 19. sajandil. Enne seda kutsuti neid küll absurdseteks, küll räpasteks ja tihti keelduti nendega igasugusest läbikäimisest. Tegelikult on ju negatiivsete arvudega siiski toredam ja ilusamgi – nende abil ei jää arvsirge poolikuks, vaid on kenasti alguse ja lõputa. Arvude liitmisest ja lahutamisest võimegi mõelda kui arvsirgel paremale või vase- male poole liikumisest – liites neli, liigume neli sammu paremale; lahutades seitse, seitse sammu vasemale. Kõiki täisarve võime omavahel liita ja lahutada ning alati jälle vastuseks täisarvu saada. Täisarvude hulka tähistatakse -iga. Ratsionaalarvud Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
