Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Integraal Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni [F(x)+c], mille tuletis on võrdne f(x). Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2 x = tan x + c dx x = 2 x +c e...
Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse in...
Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü...
Kui teame mingi funktsiooni f(x) üht algfunktsiooni F(x), siis saame kohe avaldada mis iganes teise algfunktsiooni kujul F(x) + C. Täpsemalt öeldes on algfunktsioon F(x) ja C sellele lisanduv konstant. Definitsioon Funktsiooni määramata integraaliks nimetatakse avaldist kujul F(x) + C , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant. Määramata integraali tähistatakse f(x) dx f(x) dx = F(x) + C Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk)....
Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni ülemise raja ümbruses....
Def: Kui V n eksisteerib piirväärtus 0 lim f ( Pk ) v k ja see ei sõltu sellest kuidas pk V on jaotatud osapiirk-ks ega sellest 0 k =1 kuidas on valitud punktid Pk osapk-des siis seda piirväärtust nim kolmekordseks integraaliks üle pk V (Piirk V def f-n on mitteneg siis see on ainetihedus punktis (x; y; z); (Pk)vk k-nda osapiirkonna mass ()) Omadused: (1) [ f ( x; y; z ) ± g ( x; y; z )]dxdydz = f ( x; y; z )dxdydz ± g ( x; y; z )dxdydz V V V (2) (c-const) cf ( x; y; z )dxdydz = c f ( x; y; z )dxdydz V V...
Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad (muidu saab kindlaks teha parfrac'iga) 15. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad 16. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad OSA 9 1. Defineerige määratud integraal! F-ni y=f(x) määratud integraaliks lõigus [a;b] nimetatakse avaldist F(b)-F(a), kus F tähistab antud f-ni algf-ni. 2. Milline on integraalsumma geomeetriline tõlgendus? 3. Asendage funktsiooni sin(x) graafik lõigul [1, 2] 10 x-teljega paralleelsest lõigust koosneva treppjoonega! Saab teha ceiliga. 4. Koostage funktsiooni sin(x) integraalsumma lõigul [1, 2]! Integraalsumma üldvalem: 5. Kirjutage üles määratud integraali 3 omadust! 1) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi ette:...
Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0 2 1 2 1 Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1...
Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b...
y = ±(3)/2 0 (0; 0) z(0)=0 M1(3/2 ; -(3)/2) z(M1)= - (33)/2 - min M2(3/2 ; (3)/2) z(M2)= (33)/2 - max 16. Kahekordse integraali mõiste ja omadusi Kinnises tõkestatud piirkonnas DR2 määratud pideva funktsiooni f(x,y) integraaliks antud piirkonnas D nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummasumma n Vn = f ( Pi )Si , i =1 kus Si on hulga D tükeldamisel n osahulgaks S1, S2, ..., Sn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Si diameeter: n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f ( x, y )dxdy n0 i =1 D D ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS...
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
5. Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, Moodustame integraalsumma katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand....
Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
x 1. Muutuja vahetusega t = tan saab integraali (1) alati teisendada 2 x ratsionaalavaldise integraaliks , sest esiteks = arctan t , millest x = 2 arctan t ja 2 1 2 dt dx = 2 dt = , 1+ t 2 1+ t2 teiseks x x x sin 2 2 sin cos...
nullile (max xi 0), ja punktide i mistahes valiku korral vastavalt osalõigult [x i-1, xi], läheneb n integraalsumma i =1 f(i)xi ühele ja samale väärtusele s, siis piirväärtust s nimetatakse b a funktsiooni f(x) MÄÄRATUD INTEGRAALIKS lõiul [a,b] ja tähistatakse sümboliga f(x) dx Teistpidi sõnastus: Funktsiooni f(x) määratud integraaliks lõigul [a,b] nimetatakse selle funktsiooni integraalsumma n i =1 f(i)xi piirväärtust s, millele integraalsumma läheneb lõigu [a,b] mistahes jaotuse ja punktide i mistahes väärtuste korral vastavatest lõikudest x i , kusjuures max xi 0 . Määratud b a...
30. Funktsiooni algfunktsioon- funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks . 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35...
U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn...
Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis...
1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt...