korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant ( integreerimiskonstant ), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed: Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, =
..
punktis a. INEGRAAL n Reimanni summa: Sn(f)= f (i)xi i =1 n Kui eksisteerib piirväärtus limn;maxxi0 f (i)xi , mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide i valikust, siis i =1 öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni b a integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse f ( x)dx ; kui ab, siis =- f ( x)dx ; kui a=b, siis kogu a b avaldis =0
2.12. Määratud integraal
Olgu lõigul [a, b] määratud funktsioon f(x). Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja
või erandjuhul lihtsalt trigonomeetriliste funktsioonide korrutist (ratsionaalavaldises nimetaja võrdub 1-ga), näiteks R (sin x ,cos x ) = sin 2 x cos2 x. x 1. Muutuja vahetusega t = tan saab integraali (1) alati teisendada 2 x ratsionaalavaldise integraaliks, sest esiteks = arctan t , millest x = 2 arctan t ja 2 1 2 dt dx = 2 dt = , 1+ t 2 1+ t2 teiseks x x x sin 2 2 sin cos
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Integraal Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni [F(x)+c], mille tuletis on võrdne f(x). Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2 x = tan x + c dx x = 2 x +c
siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 30. Funktsiooni algfunktsioon- funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35
võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 2. 3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel.
Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. Üle vaadata! 7. Tuua näide diferentsiaali rakendamise kohta ligikaudsel arvutamisel. 8. Määramata integraal, määramata integraali omadused. 2 Avaldist F (x) + c, kus F (x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f (x) dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. Määramata integraali omadused 1) ( f (x)±g(x))dx= f (x)dx± g(x)dx 2) af(x)dx=a f (x)dx 3) ( f (x)dx)'= f (x) 4) dF(x) =F(x)+c 9. Määratud integraal ja tema omadused Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse Arve a ja b nimetatakse radadeks. 10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks.
Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga f ( P)ds ehk D n f ( x, y)dxdy s.t lim diamsi 0 f ( P )s = f ( x, y )dxdy Piirkonda D nimetatakse i =1 i i D D
T8. L'Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ja kui eksisteerib piirväärtus lim f'(x)/g'(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf '(x)/g'(x). Def4. Funktsiooni y=F(x) nimetatakse funktsiooni y = f (x ) algfunktsiooniks piirkonnas X , kui iga x X korral on täidetud tingimus F'(x) = f(x). Def5. Avaldist F(x) + C , kus y=F(x) on funktsiooni y=f(x) algfunktsioon piirkonnas X ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga f(x)dx. Seejuures, konstanti C nimetatakse integreerimiskonstandiks. T9. Kui funktsioon y=f (x) on pidev lõigus [a,b] , siis on tal olemas algfunktsioon (seega ka määramata integraal) selles lõigus. T10. Kui on olemas integraalid f(x)dx ja g (x)dx, siis mistahes konstantide ja korral on olemas ka integraal [f(x)+g(x)]dx, kusjuures kehtib võrdus [f(x)+g(x)]dx = f (x)dx + g (x)dx. T11
kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade s i maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas si. Tähistame osapiirkondade si maksimaalset läbimõõtu sümboliga , s.t. Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1
kaldasümptooti olemas. 31. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F'(x) = f(x) iga x A korral. Kui F(x) on f(x) algfunktsioon, siis on seda ka F(x) + c iga c R korral. 32. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x) +c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f(x)dx. (c-integreerimiskonstant). 33. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 34. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsoon y=F(x) lõigus {a,b}, siis nimetatakse vahet F(b) F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse f(x)dx. piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni
1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus)
x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx .
F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant () = =1 ( )+ (g( ) - f( )) = S(f) + (( ) - f( )) , kus (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja 0 tähistatakse () st () = () + . Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0.
10. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon ja järeldused sellest. Integraalide tabel. Määramata integraali kaks omadust. Funktsiooni F ( x ) nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks lõigul [ a, b] , kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F ( x ) = f ( x ) . Avaldist kujul F ( x ) + C , kus F ( x ) on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . dx = x + C x +1 x dx = +C +1 1 dx = ln x + C x e x dx = e x + C ax a x dx = +C ln a sin xdx = - cos x + C cos xdx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos 2 x 1 dx = arcsin x + C 1- x2 1 dx = arctan x + C 1+ x2 Määramata integraali kaks omadust: Af ( x ) dx = A f ( x ) dx , kus A on konstant
Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks Teoreem: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus {a,b }, on olemas algfunktsioon selles lõigus Näited: 25. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistused. Teoreemid integreeruva funktsiooni kohta. Geomeetriline tähendus. Ülesanne: Mõiste: funktsiooni f(x) määratud integraaliks nimetakse piirväärtust rajades a-st b-ni Tähistused: a= integraali alumine rada
(tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant. Määramata integraali võib tõlgendada kui üheste funktsioonide parve 2 4, kus konstandi 4 igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil - LIISI KINK
10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5
Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis
= max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt
geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1.
Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b
Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b
1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D
puutujaid. Joon y=f(x) on piirkonnas X nõgus, kui selle piirkonna igas punktis on joon ülalpool oma puutujaid. a. Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer ja teisel pool rangelt nõgus. Kumerus ja nõgususpiirkondi leitakse teise tuletise abil. 23. Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, minetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga ❑ ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C , kus F´(x)= f(x). ❑ a. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F´(x)= f(x) piirkonnas X. b. Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F´(x)= f(x), siis on seda ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant. 24. Kõvertrapetsi pindala(joonis) a. b. c. d
Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 6 1. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 4. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse: 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus?
selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib ka tõlgendada kui üheste funtksioonide parve y = F(x) + C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon
sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. c. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje
Sama tingimuse võib esitada ka kujul F ( x ) = f ( x ) ehk dF ( x ) = f ( x )dx . d dx Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F, siis on tal lõpmata palju algfunktsioone G, mis kõik avalduvad kujul G ( x ) = F ( x ) + C , kus C = const . Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f (x )dx . Seega võime kirjutada: f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: integraalimärk; f ( x )dx integraalialune avaldis; f (x ) integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand;
tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala. Olgu xy-tasandil asetsev kujund D kinnine ja mõõtuv. Selle kujundi D pindala SD avaldub valemiga: SD = dxd y
eksisteeri, f’’(x) on lõpmatu. 30. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta (lk 20). Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x) = f(x) piirkonnas X. Näide: Olgu f(x) = 3x 2 . Siis tema algfunktsiooniks on F(x) = x3 + C, kus C on suvaline konstant. Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝑘𝑢𝑠 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Teoreem 1: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t. F’(x) = f(x), siis on seda ka iga funktsioon F(x) + C, kus C on konstant. Seega on funktsioonil f(x) terve pere (lõpmata palju) algfunktsioone, mis geomeetriliselt saadakse mingi algfunktsiooni graafikust paralleellükkega C võrra y-telje sihis.
antud suunas nimetatakse suurust Duf(a,b) ¿ fx ( a , b )+ fy ( a , b ) Gradient du du du Gradiendiks nimetatakse vektorit u= i+ j+ k dx dy dz Kahekordne integraal Funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D nimetatakse tema integraalsumma piirväärtust, kui suurim osapiirkondade diameeter läheneb nullile, kui see piirväärtus eksisteerib ja ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ega punktide (xi, yi) valikust Kõversilindri ruumala Kõverjoonelise silindri ruumala on võrdne kahekordse integraaliga
algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule Määramata integraal. Funktsiooni y = f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse . 19. Muutujate vahetuse meetod (muutujate vahetuse selgitus). Oletame, et on vaja leida integraal , kusjuures f(x) algfunktsiooni ei ole lihtne vahetult leida. Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = (t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis: dx = '(t)dt ning kehtib võrdus . Valemit nimetatakse määramata integraali muutujate vahetuse valemiks
on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ja/või ∫ cf ( x ) dx =c integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( x ) dx (c ∈R ). a Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse пn igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud 5.Muutujavahetus
valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda
IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn
Teooriaküsimused nr. 6 1. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y = f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: fx(dx) konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 1) (f(x)dx)'= f(x) 2) (f(x)± g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx 3) af (x)dx = af (x)dx 4. Defineerida määratud integral. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus?
nullile (max xi 0), ja punktide i mistahes valiku korral vastavalt osalõigult [x i-1, xi], läheneb n integraalsumma i =1 f(i)xi ühele ja samale väärtusele s, siis piirväärtust s nimetatakse b a funktsiooni f(x) MÄÄRATUD INTEGRAALIKS lõiul [a,b] ja tähistatakse sümboliga f(x) dx Teistpidi sõnastus: Funktsiooni f(x) määratud integraaliks lõigul [a,b] nimetatakse selle funktsiooni integraalsumma n i =1 f(i)xi piirväärtust s, millele integraalsumma läheneb lõigu [a,b] mistahes jaotuse ja punktide i mistahes väärtuste korral vastavatest lõikudest x i , kusjuures max xi 0 . Määratud b a
f(x) = 3 + 3 3 +C x3 f(x) = 3 - 5 x3 1 f(x) = 3 + 2 Kõikide nende algfunktsioonide argumentide x hulgad erinevad teineteisest maksimaalselt liidetava C võrra. Kui teame mingi funktsiooni f(x) üht algfunktsiooni F(x), siis saame kohe avaldada mis iganes teise algfunktsiooni kujul F(x) + C. Täpsemalt öeldes on algfunktsioon F(x) ja C sellele lisanduv konstant. Definitsioon Funktsiooni määramata integraaliks nimetatakse avaldist kujul F(x) + C , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant. Määramata integraali tähistatakse f(x) dx f(x) dx = F(x) + C Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk).
Def: Kui V n eksisteerib piirväärtus 0 lim f ( Pk ) v k ja see ei sõltu sellest kuidas pk V on jaotatud osapiirk-ks ega sellest 0 k =1 kuidas on valitud punktid Pk osapk-des siis seda piirväärtust nim kolmekordseks integraaliks üle pk V (Piirk V def f-n on mitteneg siis see on ainetihedus punktis (x; y; z); (Pk)vk k-nda osapiirkonna mass ()) Omadused: (1) [ f ( x; y; z ) ± g ( x; y; z )]dxdydz = f ( x; y; z )dxdydz ± g ( x; y; z )dxdydz V V V (2) (c-const) cf ( x; y; z )dxdydz = c f ( x; y; z )dxdydz V V
G F = -grad . 2 Mehaaniline koguenergia E = K + . Juhul kui kehale mõjuvad ainult konservatiivsed jõud siis keha mehaaniline energia on jääv. Pöördliikumise dünaamika. Punktmassi inertsimoment telje suhtes I = mr 2 , kus r on punktmassi kaugus teljest. Punktmasside süsteemi inertsimoment telje suhtes. n I = miri ., mis keha korral läheb integraaliks I = r 2dm . Silindri inertsimoment 2 i =1 v põhjadega risti oleva sümmeetriatelje suhtes Ic = mR 2 2 . Kera inertsimoment ta massikeset läbiva telje suhtes Ic = 2mR 2 5 . Steineri lause I = Ic + ma2 kus a on G G G telgedevaheline kaugus. Punktmassi impulsimoment punkti suhtes L = r × p .
sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 4 30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35
5. Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, Moodustame integraalsumma katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand.
D, siis saame ( G ( x ) -F ( x ) )' =G' ( x )-F ' ( x )=f ( x )-f ( x ) =0 Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon . Seega G-F=C , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose G=F +C , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F( x )+C , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on
f(x) iga x ∈ A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse funktsiooni integreerimiseks. Mis on antud funktsiooni y = f(x) Avaldist F(x) + c, kus F(x) on funktsiooni f(x) määramata integraal? mingi algfunktsioon ja c ∈ R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul ∫f(x)dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. Nimetada määramata integraali omadusi. Defineerida määratud integral. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Nimetada määratud integraali omadusi. Newton-Leibnizi valem? Defineerida päratu integraal. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu
Leian esmalt II tuletise: Panen võrduma: ja saan, et on kaks II tuletise kriitiliseks punkti: ja 14. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad (muidu saab kindlaks teha parfrac'iga) 15. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad 16. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad OSA 9 1. Defineerige määratud integraal! F-ni y=f(x) määratud integraaliks lõigus [a;b] nimetatakse avaldist F(b)-F(a), kus F tähistab antud f-ni algf-ni. 2. Milline on integraalsumma geomeetriline tõlgendus? 3. Asendage funktsiooni sin(x) graafik lõigul [1, 2] 10 x-teljega paralleelsest lõigust koosneva treppjoonega! Saab teha ceiliga. 4. Koostage funktsiooni sin(x) integraalsumma lõigul [1, 2]! Integraalsumma üldvalem: 5. Kirjutage üles määratud integraali 3 omadust! 1) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi ette:
annaabi.ee 
