6 3 7 -5 1 5 -7 3 10 4 -5 1 Maatriks 3 1 2 3 4 5 6 5 10 8 28 1. Leia G3 lahtrisse maatriks A determinant. 2. Loo lahtritesse I2-K4 maatriksi A pöördmaatriks. 3. Liida lahtrisse B12 maatriksite 1 ja 2 ülemine vasakpoolne väärtus ja kiirkopeeri valemit ülejäänud maatriksisse. 4. Leia lahtritesse I12-K14 maatriksite 1 ja 2 arvude summad kasutades valemi massiivikuju. 5. Lahuta lahtris B16 maatriksite 1 ja 2 ülemine vasakpoolne väärtus ja kiirkopeeri valemit ülejäänud maatriksisse. 6. Leia lahtritesse I12-K14 maatriksite 1 ja 2 arvude vahed kasutades valemi massiivikuju. 7. Leia lahtritesse F25-G26 maatriksite 3 ja 4 korrutis kasutades valemi massiivikuju
0 0 0 1 . E= 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 - 2 7 9 1 - 2 0 7 5 - 3 - 3 3 - 3 4 5 -1 4 1 4 3 6 3 7 A= ja B= , siis A + B = . 3. Maatriksite A ja B vaheks nimetatakse maatriksit C, mille
0 0 0 1 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 -2 7 9 1 A= - 2 0 7 ja B= 5 -3 -3 , siis A + B = 3 -3 4. 5 -1 4 1 4 3 6 3 7
Maatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def
Vastavalt ette antud võrranditele kirjutame välja maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3 2 -1 Tabel 2. Maatriks L 10.5 5.5 10 Neid kahte maatriksit alusena võttes ning kasutades valemit X= (A TA)-1ATL leiame muutujate X ja Y tõenäolisemad väärtused. Maatriksite korrutamisel tuleb järgida valemis ette nähtud järjekorda. Excel’is maatriksite korrutamiseks kasutame MMULT funktsiooni, mille tarbeks tuleb esmalt ära märkida tulemusmaatriksi suurus. See kujuneb algmaatriksite kaudu- ridade arv on võrdne esimese maatriksi ridade arvuga ning veergude arv teise maatriksi veergude arvuga. Tulemuseks saame maatriksi X (Tabel 3) otsitavate muutujatega X ja Y. Tabel 3. Maatriks X muutujate X ja Y väärtustega 6.1 2.2
Praktikum nr. 8. GPS võrgu tasandamine Tasandada joonisel 1 kujutatud GPS-võrk maatriksite abil. Koostage mõõtmistulemuste võrrandid, A, L ja W maatriksid. Lähtepunktide koordinaadid on antud tabelis 1. Mõõdetud vektorite pikkused kooskovariatsioonimaatriksi elementidega on toodud tabelis 2. Joonis 1. Tasandatav GPS-võrk Tabel 1. Lähtepunktide geotsentrilised koordinaadid (WGS84) Punkt X (m) Y (m) Z (m) - - 4390283. A 1683429.8 4369532.52
Iga kompleksarvu x iy saab xy-tasandil kujutada peadiagonaalil ja elemendid a1n, a2n-1, ..., am1 asuvad teheteks punktina Ax; y, mille maatriksi A kõrvaldiagonaalil. koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n- Tasandit, millel kujutatakse kompleksarve, nimetatakse A+B= (cij), kus cij = aij + bij kompleksmuutuja z tasandiks maatriksit kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. (joonisel on sümbol z ringi sees). Selle tasandi nendele Aritmeetiline vektor
I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum
I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum
summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B, milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse tulemuste liitmisel; A·BB·A. Maatriksit mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nim nullmaatriksiks
Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Maatriksi reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. Maatriksi veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. (m× n) - maatriksite A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m× n) - maatriksit A + B = (cij ) , kus cij = aij + bij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi A = ( aij ) R m×n korrutiseks skalaariga c nimetatakse maatriksit m× n cA = c A = (cij ) R , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga.
Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis
koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij- maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j. 7)Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad. Maatriksi korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks, mille elemendid saadakse lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel antud arvuga. Kahe maatriksi korrutamiseks peab esimese maatriksi veergude arv võrduma teise maatriksi ridade arvuga
Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m =
T otsitavatest muutujatest x ja y. A tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st T −1 read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks ( A WA ) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses. Maatriksite korrutamiseks kasutame Excel’I funktsiooni MMULT, kus tuleb sisendina ära näidata kahe maatriksi ulatus ning käsklus lõpetada ctrl+shift+enter klahvikombinatsiooniga. Samuti tuleb arvestada, et tulemusmaatriksi suurus tuleneb esialgsetest maatriksitest. Uue maatriksi ridade arv ühtib esimese
tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. 31.maatriksi mõõtmed-Maatriksit milles on m rida ja n veergu nimetatakse (m,n)-maatriksiks. Arvupaari (m,n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks 32.maatriksi järk- naturaalarvude paari m × n, kus m ja n on vastavalt maatriksi ridade ja veergude arvud. n rea ja veeruga ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34.maatriksi ja maatriksite hulga tähistused- Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A,B,...,X,Y,Z). Maatriksi elemente tähitatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega (a,b,c1,xmn). Kõikvõimalike mõõtmetega maatriksi hulka tähistatakse Mat abil ning kõigi (m,n)-maatriksite hulka tähistatakse Mat(m,n) abil. 35.Ruutmaatriks-Maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga m=n 36
elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i- nda rea ja j-nda veeru ühine element saadakse maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel. Maatriksite korral korrutis üldjuhul sõltub tegurite järjekorrast. Maatriksite, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nullmaatriksiks. Tähis oomega. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed
mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa. A+B=(aij + bij) A,B; A+B Mmxn Def 4 : (mxn) järku maatriksi A korrutiseks arvuga µ nimetatakse sama järku maatriksi µA, mille elemendiks on maatriksi A kõigi elementide korrutis selle arvuga. Arvuga korrutamisel järk ei muutu. A,µA Mmxn µA=(µaij) Def 5 : maatriksi A vastand maatriks A nimetatakse sellist maatriksi, mille elemendiks on
.. ; am 2 ) , ........................ n = ( a1n ; a2 n ; ... ; amn ) . Def. 1. ( m × n ) -maatriksite A = ( aij ) ja B = ( bij ) summaks nimetatakse ( m × n ) -maatriksit A + B = ( cij ) , kus cij = aij + bij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Sellest definitsioonist nähtub, et maatriksite liitmiseks tuleb liidetavates samade indeksitega elemendid liita. Def. 2. Maatriksi A = ( aij ) m× n korrutiseks skalaariga c nimetatakse maatriksit cA = c A = ( cij ) m× n , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Definitsioonist nähtub, et maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga
palju on paaritu astmega tippe graafi G täiendis ja kuidas nende arv sõltub graafi G tippude arvust. 2.4 Leida graaf, milles on pooled tipud teatava ühesuguse paaritu astmega d1 ja pooled tipu ühesuguse paarisastmega d2 ning mile täiendis on samuti pooled tipud paaritu astmega d1 ja pooled paarisasmtega d2. 3. Relatsioonide kompositsioonid 3.1 Defineerida relatsioonide kompositsioon 3.2 Formuleerida väide, kuidas relatsioonide kompositsiooni saab arvutada Boole´i maatriksite abil, ja tõestada see väide. 3.3 Eelmise punkti tulemust kasutades leida Boole´i maatriksite abil hulgal X = {1,2,3} määratud relatsioonide R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} Ja S = {(1, 1), (2, 2), (2,3), (3,2)} Kopmositsioon. 3.4 Teha kindlaks, kas ühel ja samal hulgal määratud transitiivsete relatsioonide kompositsioon on alati samuti transitiivne. 4. Suurim ühistegur 4
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n
kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis ) Omadused iga , , leidub ,et null vektor, iga leidub vastand vektor ka , , (ab)=a() , 1* Skalaarkorrutis on arv Omadused n-mõõtmeline aritm. ruumis skalaarkorrutise , 6. Maatriksi definatsioonid,lineaartehted ja nende omadused. (m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0)
M l g 0 0 0 - M l A= , B= 0 0 0 1 0 m 1 - g 0 0 0 M M Lineaarne mudel on saadud lineariseerimisega: sin(0+) ja cos(0+) 1 kui || 0.2rad mudeli viga jääb < 1%. Mudeli kirjeldamine Matlabis: % parameetrite initsialiseerimine g = 9.8; M = 2; m = 0.2; l = 0.6; % olekumudeli maatriksite sisestamine A = [0 1 0 0; g*(M + m)/(M*l) 0 0 0; 0 0 0 1; -m/M*g 0 0 0] B = [0; -1/(M*l); 0; 1/M] C = eye(4) % ühikmaatriksi loomine et Y = X D = zeros(4,1) % nullise maatriksi loomine sys=ss(A,B,C,D) % olekumudeli maatriksite koondamine ühe nime alla 2. Määrake süsteemi omaväärtused (poolused) ja stabiilsus. Kontrollige, et süsteem oleks täielikult juhitav olekutagasiside kasutamiseks. ov=eig(sys.a) % omaväärtused ja stabiilsuse määramine
kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse R ruumis B={ 1 2 ... m } ,avaldub aritm.vektor n x =( x 1 x 2 ... x n ) x =x1 1 + x 2 2 +...+ x n n kordinaadid-vektori x arvud ( x 1 x 2 ... x n )on B baasil valitud kordinaadid. 3-mõõtmeline ruum-on baasiks iga 3-lin.sõltumatu vektor 7) Maatriksi mõiste, maatriksite liigid ja lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vekrorruum. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n
1. Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def
0 0 1 E n -järku ühikmaatriks. nxn Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on ,,0" ja asuvad ühel pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks: või Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O= . Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas. Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks. Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul:: a1 a A = 2 , B = ( b1 b2 bn ) a m Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks
pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks: või Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks : 0 0 0 0 0 0 O= . 0 0 0 Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas. Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks. Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul:: a1 a A = 2 , B = ( b1 b2 bn ) a m Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks
Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||. a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n = (aij)mn m rida am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕHIKUJUD 1. RISTKÜLIKUMAATRIKS mn 4 -2,7 3 A= 6 2 0 2. RUUTMAATRIKS m=n 1 3 2 A= 0 1,2 4 2 1 2 PEADIAGONAAL moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann).
.. a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn.
A = ||aij|| = (aij R iga i ja j korral) Erikujulised maatriksid: 1. ruutmaatriksid (m=n) 2. diagonaalmaatriks (m=n; aij = 0 ij) 3. skalaarmaatriks (m=n; aij = 0 ij; a11 = a22 = ... = ann) Lineaarsed tehted maatriksitega A = ||aij|| Kmxn; B = ||bij|| Kmxn; c K 1. liitmine: A + B = ||cij|| Kmxn; cij = aij + bij i,j 2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| Kmxn; dij = caij i,j Samad omadused kui vektorite korral, kus = A, = B, = C, V = Rnxm 7. Maatriksite korrutamine. Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega. A = ||aij|| Kmxn; B = ||bjk|| Knxp A reavektorid: 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ... m = (am1; am2; ...; amn) Kn B veeruvektorid: 1 = (b11; b21; ...; bn1) Kn ... p = (b1p; b2p; ...; bnp) Kn AB = A*B = ||ik|| Kmxp; reavektorid: 1 = (11; 12; ...; 1p) Kn ... m = (m1; m2; ...; mp) Kp Maatriksite korrutamise omadused 1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB BA; kui AB =
Intelligentsus on defineeritud kui üldist võimekust käituda eesmärgipäraselt, mõtelda ratsionaalselt ja tulla keskkonnas edukalt toime. Inglise psühholoog Charles Spearmani uurimuse alusel sisaldab intelligentsus nii üldist võimekust kui mitmesugust spetsiifilist võimekust. Raymond Cattel:l Fluiidne (voolav) intelligentsus peegeldab inimese võimet arutleda ja infot kasutada, tajuda suhteid, tulla toime võõrastes situatsioonides ja koguda uusi teadmisi, haripunkt 20 eluaasta paiku. Kristalliseernunud intelligentsus sisaldab omandatud oskusi ja teadmisi ja nende rakendamist spetsiifilistes asjades, see kasvab kogu elu jooksul. Howard Gardner: *Keelealane intel seondub keele kasutusega.*Loogilis-matemaatiline intel oluline mitmete abstraktsete probleemide ja ül. lahendamisel.*Ruumiline intel hea ruumitaju ja orjenteerumis võime.*Kehalis- kinesteetiline intel keha ja liigutuste tunnetamine ja taujumine.*Muusikaline intel muusika m...
Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest. Kahe kiivsirge vahelise kauguse ja nendele tõmmatud ühise ristsirge võrrandi leidmine. Teist järku joonte kanoonilised võrrandid Ellipsi, hüperbooli ja parabooli kanooniliste võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak. Üldise lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine, Kronecker Capelli teoreem
maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal. b) Maatriks on tabel, mis koosneb arvudest. · Kui determinandis üks rida on esitatav ülejäänud ridade lineaarkombinatsioonina, siis võrdub determinant nulliga. Ristkülikukujulist arvutabelit 4. Maatriksite liitmise reegel nimetame n × m-maatriksiks. Maatriksit tähistatake lühidalt ka järgnevalt Kahe ( )-maatriksi A = (aij) ja B = (bij) summa A+B on maatriks C = A = (aij )m×n (cij), mis saadakse maatriksite A ja B vastavate elementide liitmisel, s.t. cij = aij + bij iga ja korral.
Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis ...
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE. Maatriksi kahe rea (veeru) koha ümbervahetamine on teostatav järjestikuste elementaarteisenduste abil, korrutades viimaks ühe rea (veeru) teguriga -1. Tõestada! 3) MAATRIKSITE LIITMINE. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid. Olgu antud maatriksid Am×n = || ai j || ja Bm×n = || bi j ||. Nende maatriksite summaks on samade parameetritega maatriks Cm×n = ||ci j ||, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad (vrd vektorite liitmist koordinaatides): ci j = ai j + bi j , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. 4) MAATRIKSI KORRUTAMINE ARVUGA: Maatriksi Am×n = || ai j ||
m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE. Maatriksi kahe rea (veeru) koha ümbervahetamine on teostatav järjestikuste elementaarteisenduste abil, korrutades viimaks ühe rea (veeru) teguriga -1. Tõestada! 3) MAATRIKSITE LIITMINE. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid. Olgu antud maatriksid Am×n = || ai j || ja Bm×n = || bi j ||. Nende maatriksite summaks on samade parameetritega maatriks Cm×n = ||ci j ||, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad (vrd vektorite liitmist koordinaatides): ci j = ai j + bi j , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. 4) MAATRIKSI KORRUTAMINE ARVUGA: Maatriksi Am×n = || ai j ||
n m c d Arvuta 5 5 -10 10 1 -8 -7 9 -10 7 8 7 -8 -2 -6 2 -6 -2 0 -7 -2 0 -1 9 0 -10 1 4 -2 Max Rida Veerg Min Rida 8 2 2 -10 5 Arvuta Kontrolltöö. Massiivid Kõikides arvutustes kasutatavate ning tulemusteks tulevate tabelite (maatriksite) ning ridade ja veergude jaok Genereerida maatriksi elemendid juhuslike suurustena vahemikus [C,D] massiivi ja kirjutada need töölehele a genmas a(), n, m, c, d ja mas_lehele a(), n, m, alg, kus Sub genmas(a(), n, m, c, d) Dim i, j Randomize For i = 1 To n For j = 1 To m a(i, j) = Int((d - c) * Rnd + c) Next j Next i End Sub Sub mas_lehele(a(), n, m, koht) Dim i, j For i = 1 To n For j = 1 To m koht.Cells(i, j) = a(i, j) Next j Next i End Sub C ja D lugeda tö...
kokku piirväärtusi ületava käelaba ja käsivarre kaudu leviva vibratsiooniga, võivad tekkida käelaba ja käsivarre kudede kahjustused; · Tolm, mis sattudes tihti nahale, silma või hingamisteedele, kahjustab inimeste tervist Need olid vaid väike osa töökeskkonna teguritest, mis inimest ohustavad ning nende jaoks on erinevad parameetrid. Erinevad riskid jagatakse ka erinevatesse tasemetesse, seda kõike maatriksite järgi. I tase näitab vähest riski, mille puhul üldiselt pole vaja meetmeid rakendada, kuid alati tuleks võimalusel need ellu viia, sest 0riski ei ole praktiliselt olemas. Riski tasemed on I-V. Põhjalik riskianalüüs tähendab seda, et on leitud probleem, ning on kirjeldatud ka selle võimalike tagajärgi. Kõikidele probleemidele tuleb leida sobiv lahendus, ajutised lahendused ei muuda olukorda täielikult ohutuks. Kõige esimesena peaks lahendused leidma sellistele
Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik .
Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R). 1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime- tatakse maatriksi reavektoriteks
Nii sai teada mis vanusele lapse vaimne areng vastas. Samamoodi tehti ka ülespoole teste, kui laps ületas oma vaimse vanuse. Intelligentsuskvoot ehk IQ. William Stern võttis kasutusele selle. Selle arvutamiseks tuli inimese intelligentsusvanus jagada tema eluvanusega ja korrutada 100-ga. Tänapäeval kasutatakse vastavaid tabeleid. Selle punkti arv ongi IQ väärtus. Üks enamlevinumaid teste on intelligentsustest- nii täiskasvanutele kui ka lastevariant. J.C. Raven lõi progressiivsete maatriksite testi, mis on mittesõnaline intelligentsustest, milles mindaks siis aina raskemate ülesannete juurde. Kõigil ülesannetel on sama põhimõte. Testitulemuste alusel ei saa teha põhjapanevaid järeldusi, kuid test aitab inimesel saada ettekujutust oma võimetest.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . .
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) ...
Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral. Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+=+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB. 3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... ainbnk.
Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. · Maatriksite lahutamine : esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa. A B = A + (B). Vastand maatriks on maatriksi B vastand A, mille kõik elemendid vahetavad märki.
on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid. Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A + B = (cij ), kus cij = aij + bij indeksite i ja j kõigi väärtuste korral Maatriksite lahutamine: samamõõtmeliste maatrikside lahutamisel lahutatakse esimese maatrikside elementidest teise vastavad elemendid. (vastandmaatrikside summa on nullmaatriks).
Osa autoreid rõhutab keskkonna rolli, teised aga peavad intelligentsuse põhiliseks mõjutajaks pärilikke tegureid. Intelligentsuskvoot ehk IQ on intelligentsuse mõõt, mille abil inimesi võrreldakse. Selle arvutamiseks tuleb inimese intelligentsusvanus jagada tema eluvanusega ja korrutada 100- ga. Kõige paremateks testideks peetakse David Wechsleri teste, täiskasvanu ja lapse omi. John C. Raven lõi progressiivsete maatriksite testi, mille puhul on tegu mittesõnalise intelligentsustestiga, milles minnakse järjest keerulisemate ülesannete juurde. Testide ohuks on näiteks see, et neist on raske head tulemust saada inimestel, kelle lapsepõlvekogemus on olnud teiselaadne. Motivatsiooniks nimetatakse vajadust või soovi, mis on käitumise tõukejõuks ja suunab seda eesmärgi poole. Vajadused jagunevad kolmeks, füsioloogilised vajadused, mille rahuldamiseta inimene elada ei saa
Nüüd saame harude vahetarbimised xij asendada avaldisega aij xj: a11 x1 + + a1n xn y1 x1 + = an1 x1 + + ann xn yn xn Selline asendus võimaldab uurida lõpptoodangu või kogutoodangu muutuste tagajärgi olemasoleva tootmistehnoloogia korral. 3 Vastavalt maatriksite korrutamise reeglile võime kirjutada: a11 a1n x1 y1 x1 + = an1 ann xn yn xn ehk AX + Y = X. Maatriksvõrrandist on võimalik avaldada lõpptoodangu vektor, kui on teada kogutoodang ja tootmistehnoloogia, kuid ei ole teada, kui palju toodangut jääb lõpptarbijale: Y = X AX = (E A) X.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
