on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID. Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
kolmnurga mingist tipust selle tipu vastasküljele või tema pikendusele joonestatud ristlõik, ka selle lõigu pikkus. Kolmnurga kõrgus • Kolmnurga kõrgus võib asetseda ka väljaspool kolmnurka. Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt ehk ortotsenter - K Huvitavad punktid kolmnurgas II seeria • Gergonne’i punkt • Nagel’i punkt • Isoperimeetriline punkt • Spieker’i punkt • Torricelli punkt • Fermat’ punkt Gergonne’i punkt Joseph Diaz Gergonne [žergon] (19.06.1771 – 04.05.1859) – prantsuse astronoom ja matemaatik. Töötas 1795 – 1815 Niemes’i tsentraalkooli ja aastast 1816 Montpellier’i ülikooli professorina. Matemaatikas töid algebrast (lineaarvõrrandite teooria, kombinatoorika) ja geomeetriast (kolmnurga geomeetria, 1827 andis joonte klassifikatsiooni). Gergonne’i punkt - E Kolmnurga siseringjoone ning külgede
See on täielik peegeldus. Langemisnurk, mille juures murdumisnurk on 900 on antud keskkondade jaoks sisepeegeldumise piirnurk. Detailsemal uurimisel selgub, et valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See efekt on energeetiliselt 100%-se kasuteguriga. Kiudoptika, veekogu, kalade nägemine. Ka siin kehtib kiire pööratavus. 77. Mis on Fermat' printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat' printsiibist. Fermat' printsiip. Fakt: Homogeenses keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt ja mittehomogeenses keskkonnas kõverjooneliselt. Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Aeg t peab olema minimaalne. Kuna c=const, siis peab minimaalne olema:
[17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
Ül1.1 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^162 mod 205 205=5*41 Phi(205)=4*40=160 //Euler 7^162=7*(5*41+2)=7*(5*41)7^2=7^2=49 //Fermat Ül1.2 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^398 mod 451. 451=11*41 Phi(451)=10*40=400 //Euler 7^(4002)=7^(2)=49^1 mod 451 //Fermat 49 451 a b 49 10 a b9a 9 10 37 a4 b b9a 9 1 37 a4 b 5 b46 a //Eukleides // d =1/49 mod 451= 45146 mod 451 = 405 mod 451 Ül2.1 RSA krüptosüsteemis kasutatakse algarvudena p = 101 ja q = 37. Avalik astendaja e = 17
tekkimist kiirgumiseks ja valguse kadumist neeldumiseks. Kiirgumine seisneb selles, et aineline objekt tekitab oma energia arvel täiendava väljaportsjoni ehk kvandi. Neeldumisel annab kvant oma energia ja impulsi mingile ainelisele objektile ära ning haihtub ise olematusse. Ehk siis selleks, et valgus tekiks, peab olema keha, mis sel moel muudab teisi energialiike valguseks. Sellist keha nimetatakse valgusallikaks. 11.Kuidas valgus levib?(ühtlases ja mitteühtlases, Fermat printsiip) Valguse levimine toimub erinevalt vaakumis või mingis keskkonnas ehk aines. Vaakumis levib valgus nagu iga elektromagnetlaine: muutuv elektriväli tekitab muutuva magnetvälja ja see omakorda uuesti muutuva elektrivälja ning kõik kordub. Nii kandub valgus ruumis edasi kiirusega c. Valgus levib ühtlases ehk homogeenses keskkonnas sirgjooneliselt. Mitteühtlases keskkonnas levib valgus kõverat teed pidi. Valguse levimise teed saab leida looduses kehtiva printsiibi
langemisnurga suurendamisel kiir teise keskkonda ei levi. See on täielik peegeldus. Langemisnurk, mille juures murdumisnurk on 900 on antud keskkondade jaoks sisepeegeldumise piirnurk. Detailsemal uurimisel selgub, et valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See efekt on energeetiliselt 100%-se kasuteguriga. Kiudoptika, veekogu, kalade nägemine. Ka siin kehtib kiire pööratavus. 113. Mis on Fermat' printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat' printsiibist. Fermat' printsiip. Fakt: Homogeenses keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt ja mittehomogeenses keskkonnas kõverjooneliselt. Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Aeg t peab olema minimaalne. Kuna c=const, siis peab minimaalne olema: Valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne. Fermat' printsiibist järelduvad valguse peegeldumis- ja Murdumiseadus 114
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori
peegeldus. Langemisnurk, mille juures murdumisnurk on 900 on antud keskkondade jaoks sisepeegeldumise piirnurk. Detailsemal uurimisel selgub, et valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See efekt on energeetiliselt 100%se kasuteguriga. Kiudoptika, veekogu, kalade nägemine. Ka siin kehtib kiire pööratavus. 113. Mis on Fermat’ printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat’ printsiibist. Fermat’ printsiip. Fakt: Homogeenses keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt ja mittehomogeenses keskkonnas kõverjooneliselt. Fermat’ printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne.
õ Elektromagnetism pt 3. ja 4. lk 81-139 1. Elektromagnetlained (kasutusalad, loodusnähtused) 2. Sagedus 3. Lainepikkus 4. Valguskiirus 5. Periood 6. Elektromagnetlainete skaala (vaja teada umbkaudset järjekorda, nähtusi ja kasutusalasid) a. Madalsageduslained b. Raadiolained c. Optiline kiirgus d. Röntgenkiirgus e. Gammakiirgus 7. Valguse kiirgumine, levimine, neeldumine 8. Valguse murdumine e Fermat’ printsiip 9. Kuidas on omavahel seotud valguse värvus ja lainepikkus? 10.Mis värvi valgused on valges valguses esindatud? 11.Miks me näeme Maal Päikest kollasena, taevast sinisena? 12.Millised on kolm värvi, mida kasutatakse ekraanide ehitamisel? 13.Valguskvant e footon 14.Fotoefekt 15.Valguse dualism 16.Interferents 17.Difraktsioon 18.Valguse polarisatsioon 19.Koherentne lainetus 20.Selgendav kate 21.Polaroidprillide tööpõhimõte 22
Def: Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne maksimum, ki leidub selline positiivne arv δ, et 0<|∆xl<δ⇒∆y≥0. Def: Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatult eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. 16. Fermat´ teoreem. Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni Tõestus. tuletis selles punktis on null. Olgu selles punktis x väitsevastaselt f´(x)≠0. Seega f´(x) >0 või f´(x)<0 ja funktsioon f(x) on selles punktis
Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
(1 = 2). Murdumisseadused: 1) Langev kiir, murdunud kiir ja pinnanormaal asuvad ühes tasandis. 2) 76. Mis on täielik peegeldus? Joonis, valem, seletus, rakendused. Kui suurendades langemisnurka asendist 1 kuni asendini 2, jõuame olukorrani, kus =90 0 ja edasisel langemisnurga suurendamisel kiir teise keskkonda ei levi. See on täielik peegeldus. Valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See on 100% kasuteguriga. 77. Mis on Fermat' printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat' printsiibist. Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Aeg t peab olema minimaalne kuna c=const. L - optiline teepikkus. Valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne. 78.Kasutades allolevast joonist, tuletage Fermat' printsiibist lähtudes valguse murdumisseadus. Otsime punkti M nii, et AB optiline teepikkus oleks minimaalne. 79. Mis on valgustugevus
(1 = 2). Murdumisseadused: 1) Langev kiir, murdunud kiir ja pinnanormaal asuvad ühes tasandis. 2) 76. Mis on täielik peegeldus? Joonis, valem, seletus, rakendused. Kui suurendades langemisnurka asendist 1 kuni asendini 2, jõuame olukorrani, kus =900 ja edasisel langemisnurga suurendamisel kiir teise keskkonda ei levi. See on täielik peegeldus. Valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See on 100% kasuteguriga. 77. Mis on Fermat' printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat' printsiibist. Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Aeg t peab olema minimaalne kuna c=const. L - optiline teepikkus. Valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne. 78.Kasutades allolevast joonist, tuletage Fermat' printsiibist lähtudes valguse murdumisseadus. Otsime punkti M nii, et AB optiline teepikkus oleks minimaalne. 79. Mis on valgustugevus
Interferentsivalemid. Siit on juba lihtne saada tingimused maksimumide ja miinimumide jaoks: Maksimum: Miinimum: Neid reegleid tuntakse interferentsivalemite nime all. Suurust, mille võrra erinevad samasse punkti saabuvate lainete poolt läbitud teepikkused, nimetatakse lainete käiguvaheks . Käiguvahe. Sama kiirusega levivate lainete liitumisel tekkivat võnkumiste ruumjaotust nimetatakse seisevlaineks. 17. Optika neli põhiseadust. Fermat' printsiip. Huygens'i printsiip. Optilise süsteemi suurendus ja valgusjõud. Optika neli põhiseadust: 1.Valgus levib sirgjooneliselt. 2.Valguskiired on sõltumatud: iga kiir levib ruumis nii, nagu poleks teisi olemas. 3.Valguse peegeldumisel tasaselt pinnalt on langev kiir, peegeldunud kiir ja langemispunkti tõmmatud pinnanormaal ühes tasandis. Langemisnurk võrdub peegeldumisnurgaga. 4
Interferentsivalemid. Siit on juba lihtne saada tingimused maksimumide ja miinimumide jaoks: Maksimum: Miinimum: Neid reegleid tuntakse interferentsivalemite nime all. Suurust, mille võrra erinevad samasse punkti saabuvate lainete poolt läbitud teepikkused, nimetatakse lainete käiguvaheks . Käiguvahe. Sama kiirusega levivate lainete liitumisel tekkivat võnkumiste ruumjaotust nimetatakse seisevlaineks. 17. Optika neli põhiseadust. Fermat' printsiip. Huygens'i printsiip. Optilise süsteemi suurendus ja valgusjõud. Optika neli põhiseadust: 1.Valgus levib sirgjooneliselt. 2.Valguskiired on sõltumatud: iga kiir levib ruumis nii, nagu poleks teisi olemas. 3.Valguse peegeldumisel tasaselt pinnalt on langev kiir, peegeldunud kiir ja langemispunkti tõmmatud pinnanormaal ühes tasandis. Langemisnurk võrdub peegeldumisnurgaga. 4
diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus .
630...600 Kollane 600...570 Roheline 570...520 Helesinine 520...470 Sinine 470...420 Violetne 420...380 7. Mis on valgusallikas? Mida tähendab valguse kiirgumine ja neeldumine? Valgusallikaks nimetatakse keha, kus mingi energialiik muundub valgusenergiaks. Valguse neeldumiseks nimetatakse valgusenergia muundumist mõneks teiseks energialiigiks. Optikas nimetatakse valguse tekkimist kiirgumiseks ja valguse kadumist neeldumiseks. 8. Mida ütleb Fermat printsiip? Valguse levimise teed saab leida looduses kehtiva printsiibi järgi, mis väidab, et valgus levib teed mööda, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne. 9. Defineeri amplituud, hälve, periood, faas ja levimiskiirus? Amplituud - suurim kaugus tasakaaluasendist ehk maksimaalne hälve Hälve - võnkumist iseloomustav suurus. See on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist kindlal ajahetkel t. Periood - ajaperiood täisvõnke tegemiseks
Kondensaatorit läbiv vahelduvvool(JOONIS. Parempoolne) Olgu vahelduvpinge rakendatud kondensaatorile C . Kondensaatori pideva ümberlaadimise tõttu kulgeb vooluringis vahelduvvool. Kui eeldada, et kondensaatoris R ~ 0, siis vastavalt ohmi seadusele tekib takistus, mida nimetatakse mahtuvuslikuks reaktiivtakistuseks ja tähistatakse xc=1/ C Pinge kondensaatoril jääb teda läbivast voolust faasis maha 90 0 võrra . Optika Fermat printsiip, valguse peegeldumis- ja murdumisseadus : Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Valguse sagedus ja lainepikkus Valguse värvuse määrab ära sagedus; muutub lainepikkus ja levimiskiirus. c = l * f Valguslainetel nagu ka kõigil elektromagnetlainetel on omadus interfereeruda omavahel, omandada lineaarset polarisatsiooni ja painduda. Valguse intensiivsuse mõõtühikud ainest läbiminekul valguse intensiivsus väheneb - valgus neeldub aines. Elektronide võnke
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0, Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul.
Otsimine toimub juhuslikkuse printsiibil. Neid on 2 rühma: Las Vegas: juhuslikult võta 1, kuni tuleb “1”. Quicksort, krüptograafia. Sobib, kui on vähe võimalusi, aga raske leida õiget: alati õige vastus, aga võib minna väga palju aega. Monte Carlo: k korda vali 1 element, kui k korda on läbi, siis ei leidnud. Võib anda vale vastuse (aga alati saab ju korrata), aga aeg (ressursid) on mõistlikud. Algarvulisuse testid, statistilised simulatsioonid. 32 Fermat väike teoreem ja algarvulisuse testid. ap - a jagub p-ga, kui p on algarv. • a erinevat värvi pärlitest saab teha ap kombinatsiooni. (nt 2 värvilistest 8 kombinatsiooni) • lahutame neist a ühevärvilist kombinatsiooni. (ap - a) • saadud kombinatsioonid kuuluvad gruppidesse. saame (ap - a)/p ühesuurust (pxp) gruppi, mis kõik moodustavad p-sammulised tsüklid. (p sammu on vaja teha, et jõuda algsesse asendisse tagasi.)
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2
andmata. Ta muutis uurimissuunda ning valmistas ette "Arutlusi meetodist" ja kolme suurt kirjatükki: "Dioptrika", "Meteoorid" ja "Geomeetria". Need tööd määrasid paljudeks aastateks kindlaks keskaja pimedusest välja rabeleva teaduse teed. 1635. aastal sünnitas sõbratar ja teenijatüdruk Hélène talle tütre Francine´i, kes suri 1640. aastal, kuu hiljem lahkus siit ilmast Descartes'i isa. Need aastad polnud kerged ka teadustöös, kus väitlused Fermat ning tema enda kunagise õpilase Regiusega võtsid palju jõudu ja energiat. 1641. aastal ilmusid "Metafüüsilised mõtsiklused", mida Sorbonne heaks ei kiitnud, mida ründasid jesuiidid ja kõige ägedamalt hollandi ülikoolid. Descartes vastas igale traktaadile traktaadiga ning leidis kõigest hoolimata mahti avaldada 1644. aastal üks oma põhiteostest "Filosoofilised printsiibid". Välimusel olevat Descartes olnud väike suure peaga morn mees. Peale selle oli
Aatomifüüsika 1) de Broglie hüpotees osakeselainetest. Elektron pole mitte osake,vaid laine.Mehaanika vähima mõju printsiip on ekvivalentne Fermat´ printsiibiga optikas,kui keha impulss p=mv asendada lainearvuga valemi p=hk abil.EHK omistades liikuvale osakesele lainepikkuse lambda=h/p,võime trajektoori leidmisel kas interferentsivalemeid. 2) .Mikromaailma täpsuspiirangud(määramatuse relatsioonid).Määramatus on seotud mõõtmisega.Mõõtmine vigadega.Meil ei ole üheaegselt võimalik mõõta aega&energiat(mikromaailmas).Kui määrata 1 täpsex,jääb teine määramatux.Meil ei ole
Sel juhul räägitakse hajusast ehk difuussest peegeldusest, mille korral iga kiire korral kehtib peegeldumisseadus, kuid laia kimbu korral ei kehti. Joonis 5: Valguse peegeldumine siledalt ja karedalt pinnalt. 6 2.1 Valguse peegeldumise seadus Valguse peegeldumise seadus tuleneb ühest printsiibist, mille esime- sena sõnastas umbes 2000 a. tagasi Heron, kes väitis, et valgus levib ühest punktist teise lühimat teed pidi. Fermat’ täpsustas seda 1662. a., väites, et valgus levib teed mööda, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne. Homogeense keskkonna korral on printsiibid samaväärsed, muidu mitte. Tuletame Fermat’ printsiibi abil valguse peegeldumise seaduse. Leia- me kiire tee punktist A punkti B nii, et see peegelduks peegli pinnalt punktis O ja tee läbimiseks kulunud aeg oleks minimaalne. Joonis 6: Valguse peegeldumise seaduse tuletamine.
oma jälje jätnud. Tema isa Étienne Pascal pidas Auvergne'i maksuringkonna valitava kuningliku nõuniku ametit. Ema Antoinette Bégon suri, kui Blaise oli kolmeaastane . Varakult tutvus Pascal oma isa haritud sõpradega. Eelkõige oma maksuametnikust isa abistamiseks konstrueeris Pascal liitmismasina. Ühe sellise saatis ta näidisena Rootsi kuningannale Kristiinale. Pascal pidas kirjavahetust selliste suurkujudega nagu Descartes ja Fermat. Pascali panus matemaatikasse ja füüsikasse on märkimisväärne (Pascali teoreem projektiivses geomeetrias, Pascali seadus hüdrostaatikas jne.). Matemaatika kõrval pühendus ta teoloogia uurimisele ja meditatsioonile. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas
nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22
DEF 4. Öeldakse, et funktsioonil f(x)on punktis lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne
arv , et 0
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)0--lok
leidmisel. Praktilistes ülesannetes optimaalse lahenduse leidmine. Näited: Plekkpurgi optimaalne kuju vähendamaks tema toomiskulusid; kosmosesüstiku maksimaalne kiirendus, millele ka kosmonaudid vastu peaksid; hingetoru raadius köhimise ajal, mis annaks õhule kõige kiirema väljaliikumise võimaluse; millise nurga all peaksid meie veresooned hargnema, et minimiseerida südame pumpamisel kuluvat energiat; jne. 28. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Fermat’ teoreem. Fermat’ teoreem: Kui funktsioonil f on maksimum või miinimum punktis a ja kui f 0 (a) eksisteerib, siis f’(a) = 0. Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. 29. Kumerus ja nõgusus, käänupunktid (definitsioonid). Nende leidmine. Joon y = f(x) on piirkonnas X kumer, kui selle piirkonna igas punktis on joon allpool oma puutujaid. Joon y = f(x)
1 Detailsemal uurimisel selgub, et valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See on energeetiliselt 100%-se kasuteguriga. Rakendust leiab kiudoptikas. Mis on Fermat’ printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat’ printsiibist. Fermat’ printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. 2 ds 1 1 dt = = n∗ds ⇒ t = ∫ n∗ds v⏟ c c 1 c n Kasutades allolevat joonist, tuletage Fermat’ printsiibist lähtudes valguse murdumisseadus.
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid
10.2016 b) Formaalsed küsimused c) Filosoofilised küsimused Mis on aeg? Mis on arv? Mis on vabadus? Mis on kuupjuur arvust 729? Kuidas ma tean, et teised inimesed ei ole Palju on 9245,66+56-7000, 05? lihtsalt minu fantaasia viljad? Kuidas tõestada Fermat' teoreemi? Mis on inimese elu eesmärk maailmas? Pole võimalik vastata vaatluse ega arvutamise teel! Kimbatus ja Matemaatikas, loogikas, grammatikas, heraldikas, males. abitus: kust/kuidas otsida vastuseid? Vastuse saame kasutades aksioome, reegleid jms "Filosoofilise probleemi vorm on: ,,Ma ei orienteeru.""
langemispunkti tõmmatud pinnanormaal ühes tasandis. Langemisnurk võrdub peegeldumisnurgaga. 4. Valguse üleminekul ühest keskkonnast teise kiir murdub (muudab suunda), kusjuures langev kiir, murdunud kiir ja langemispunkti tõmmatud pinnanormaal on ühes tasandis. Langemisnurga ja murdumisnurga siinuste suhe on antud keskkondade paari jaoks konstantne suurus ega sõltu langemisnurgast. Fermat' printsiip. Valguse kiirus keskkonnas on pöördvõrdeline keskkonna optilise tihedusega; levides punktist punkti valib valgus tee, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne. Fermat' printsiip peegeldumisel: kõigist teedest punktide A ja B vahel on lühim see, kus langemisnurk on võrdne peegeldumisnurgaga . Huygensi printsiibist järeldub difraktsioon (lainetus levib ka tõkete taha), aga valguse teel
2.6 Loomulik valgus 2.7 Rakendus: Polarisaator 2.8 Malus seadus 2.9 Rakendus: faasinihkeplaadid 2.10 Polariseeritud valguse analüüs 2.11 Elektromagnetlainete skaala 2.12 Kiirguse spekter ja selle mõõtmine 3. Valguse murdumine ja kulgemine. Optiline teepikkus. Optiline käiguvahe. Interferents. Rakendused. 3.1 Valguse levimise mehhanism optiliselt homogeenses keskkonnas 3.2 .Valguse murdumine (Snelli seadus) 3.3 Fermat printsiip. Valguse kulgemisteekonna arvutamine (Ray-tracing). 3.4 Optilise teepikkuse ja käiguvahe mõiste. 3.5 Optilise kompensatsiooni selgitus Michelsoni interferomeetri näitel 3.6 Valguse interferents: mis tingimused peavad olema täidetud interferentsipildi tekkimiseks? Miks ristlained ei interfereeru? 3.7 Rakendus: GRIN läätsed 4. Neeldumine ja hajumine. Rakendused 4.1 Neeldumiskoefitsient. Bouguer'-Lamberti seadus. 4
Kahest isotermist ning kahest adiabaadist koosnevat ringprotsessi nimetataksegi Carnot' tsükliks. Näeme, et soojusmasina teoreetiline kasutegur sõltub üksnes temperatuuridest. Kui aga rääkida teoreetilistest võimalustest, siis on oluline hoopis teine aspekt: kasutegur on alati väiksem ühest (välja arvatud juht, kui T2=0 K). Seega Pole võimalik ehitada masinat, mis muudaks kogu temale antava soojuse mehaaniliseks tööks. 21.Fermat' printsiip, Huygensi printsiip · Valguse kiirus keskkonnas on pöördvõrdeline keskkonna optilise tihedusega; levides punktist A punkti B valib valgus tee, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne. · Iga lainefrondi punkti võime vaadata kui sekundaarlainete allikat; Uus lainefront tekib sekundaarlainete interferentsi tulemusel. 22.Kujutise konstrueerimine õhukeses läätses 23.Valguse peegeldumisseadus, murdumisseadus
korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut dy=f’(x)*dx Võrdlus: 20. L’Hospitali reegel. f ' ( x) lim ¿ x→ a g '( x ) f (x ) lim ¿ x →a =¿ g (x) ¿ 21. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (definitsioonid, näiteid kasutamisest). Nende leidmise algoritm. Fermat’ teroeem. Definitsioon: globaalseks ekstreemumiks nimetatakse maksimum- ja miinimumväärtusi kogu lõigu {a,b} ulatuses Definitsioon: lokaalseks ekstreemumiks nimetatakse punkte puntki a ümbruses Näited kasutamisest: 22. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Definitsioon: Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks
muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
Laine levimisel on iga lainefrondi punkt laineallikaks; lainefrondi mistahes järgneval ajamomendil saame leida neist punktidest väljuvate keralainete mähispinnana. Keeruline lause, aga sirkli abil hästi rakendatav. Ja sobib suurepäraselt meie ettekujutusega lainest kui korrastatud võnkumistest. Huygens'i printsiip: lainefrondi A kõigist punktidest väljuvad keralained tekitavad paralleelse lainefrondi B. Fermat' printsiip. Veel paremini kui Huygens oskas valguskiire teed arvutada teine 92 prantslane Pierre de Fermat. Tema küll akadeemik ei olnud ja teenis leiba advokaadina, tehes teadust põhitöö kõrvalt. Elu jooksul kogutud kopsaka varanduse kohta tegi ta testamendi, mille täitumise üheks tingimuseks oli tema poolt ette valmistatud käsikirjade avaldamine. Nii
Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses
suvaliste x1 (x - , x) ja x2 (x, x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x - , x) ja x2 (x, x + ) korral f(x1) > f(x) > f(x2). Kui f'(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f'(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Kui funktsioon y = f(x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline > 0, et 0 < |x| < y/x< 0. Fermat' teoreem: Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f'(x)=0. 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. 9. Rolle'i teoreemi tõestus.
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0
Peegeldumisnurk võrdub langemisnurgaga . Füüsikas mõõdetakse langemis- ja peegeldumisnurka alati V OPTIKA pinnanormaali suhtes (mitte pinna enda 1. Fernat printsiip, valguse peegeldumis- suhtes!) ja murdumisseadus Valguse murdumisseadus väidab, et langev Fermat' printsiip Pierre de Fermat esitas kiir, murdunud kiir ja pinnanormaal oma arvamuse, tuletades selle ühest valguse langemispunktis paiknevad ühes ja põhiomadusest, mille ta ise välja tõi, nimelt samas tasandis. Langemisnurga ja valgus läbib alati lühima võimalikest murdumisnurga siinuste suhe on teedest. konstant, mida nimetatakse teise keskkonna murdumisnäitajaks esi-
¿ lim ¿ x=a 21. Funktsiooni monotoonsusomadused: 3 a. Funktsioonid, millele ei sa leida ekstremaalseid väärtusi: f(x)= x ja f(x)= x b. Punkti, kus funktsiooni tuletis on 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Punkte, kus f´(a)=0 või kus f´(a) ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni f(x) kriitilisteks punktideks. c. Fermat´teoreem: Kui funktsioonil f on maksimum või miinimum punktis a ja kui f´(a) eksisteerib, siis f´(a)=0. d. Funktisoonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbruses(a- δ , e. a+ δ ), kus f(x) ≤ f(a). f. Funktisoonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbruses(a- δ , g. a+ δ ), kus f(x) ≥ f(a). 22
Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). 9. Fermat' lemma (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. Tõestus: 10. Rolle'i teoreem (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f'(c) = 0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse
a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c
Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
arvutatakse integraaliga: . Et see töö tehakse lõppkokkuvõttes solenoidis talletunud magnetvälja energia arvelt, siis avaldub solenoidis (või ka mingis teises juhis) seda läbiva voolu toimel indutseeritud magnetvälja energia , kus L on juhi induktiivsus, I voolutugevus juhis. Saame solenoidis talletunud magnetvälja energia väärtuseks . 58. Geomeetrilise optika seadused. Fermat printsiip. Valguseks nimetatakse inimsilmaga nähtavat elektromagnetlainet, mille lainepikkus jääb vahemikku O,38µm ~ A ~ O,76µm kusjuures O,76 µm vastab punasele ja O,38µm violetsele valgusele. Koige tundlikum on inimsilm valgusele lainepikkusega O,56µm - roheline valgus, mis ühtib ka Paikese kiirgusmaksimumiga. Kui valgus on vastasmojus kehadega, mille mõõtmed on palju suuremad valguse lainepikkusest (ja mille pinnakonarused vaiksemad valguse kainepikkusest), siis pole vaja
väiksem ühest (nt vask) 2. Paramagneetikud – aine summaarne magnetmoment on natuke üle ühe (1.000 ja alates neljandast komakohast muutub). Näiteks alumiinium. 3. Ferromagneetikud – magnetmomentide summa on paramagneetiku omast tunduvalt suurem. Nt raud. Dimagneetikutes läheb magnetväli veidi väiksemaks, paramagneetikutes veidi suuremaks ja ferromagneetikutes kõvasti suuremaks. 61. Lähtudes Fermat’ printsiibist, tuletada murdumisseadus. Fermat’ printsiip – valgus läheb ühest punktist teise mööda sellist teed, mille läbimisaeg on minimaalne. Murdumisseadus: sinα v n =n2,1 = 1 = 2 sin v2 n1 SO OP √ x 2 +h2 √ b +(a−x ) 2 2 t= + = +
0 < x < y 0: Kui definitsioonis y < 0 -range lokaalne maksimum Kui definitsioonis y > 0 -range lokaalne miinimum Statsionaarsed ja kriitilised punktid Elnevalt me näitasime, et kui f '(a) eksisteerib ja f '(a) < 0, siis funktsioon f on punktis a rangelt kahanev ning kui f '(a) > 0, siis funktsioon f on punktis rangelt kasvav. Seega lokaalsed ekstreemumid saavad tekkida punktides, kus f ' = 0 (Fermat' teoreem) või f ' ei eksisteeri. Definitsioon (statsionaarne punkt) Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f '(a) = 0: Definitsioon (kriitiline punkt) Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a onstatsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ' märgi muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused
annaabi.ee 
