20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKST...
Oskas kindlaks määrata kujundi raskuskeskme koordinaate, uuris joonte omadusi. Torricelli punkt - T • Kolmnurga ABC külgedele sellest kolmnurgast väljapoole joonestatud võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, AMB) ümberringjoonte lõikepunkt T. • Torricelli punkt osutub selliseks, mille kauguste summa lähtekolmnurga tippudest on minimaalne TA + TB + TC = minimaalne Torricelli punkt - T Fermat’ punkt • Pierre de Fermat [ferma:] (17.08.1601 – 12.01.1665) – prantsuse matemaatik. Töötas juristina ja tegeles matemaatikaga vaid vabal ajal. Oma tulemusi ei avaldanud, kuid kirjutas neist tuntud matemaatikutele. Olulisi tulemusi saavutas arvuteoorias (Fermat’ teoreemid), geomeetrias (võttis kasutusele koordinaatide meetodi), matemaatilises analüüsis (jõudis lähedale diferentsiaal- ja integraalarvutusele). On üks tõenäosusteooria rajajaid. Fermat’ punkt - F
76. Mis on täielik peegeldus? Joonis, valem, seletus, rakendused. Suurendades langemisnurka , jõuame olukorrani, kus =900 ja edasisel langemisnurga suurendamisel kiir teise keskkonda ei levi. See on täielik peegeldus. Langemisnurk, mille juures murdumisnurk on 900 on antud keskkondade jaoks sisepeegeldumise piirnurk. Detailsemal uurimisel selgub, et valguslaine sukeldub teise keskkonda poole lainepikkuse ulatuses ja naaseb siis. See efekt on energeetiliselt 100%-se kasuteguriga. Kiudoptika, veekogu, kalade nägemine. Ka siin kehtib kiire pööratavus. 77. Mis on Fermat' printsiip? Optiline teepikkus kui järeldus Fermat' printsiibist. Fermat' printsiip. Fakt: Homogeenses keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt ja mittehomogeenses keskkonnas kõverjooneliselt. Fermat' printsiip: valgus levib mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. ...
[17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
Ül1.1 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^162 mod 205 205=5*41 Phi(205)=4*40=160 //Euler 7^162=7*(5*41+2)=7*(5*41)7^2=7^2=49 //Fermat Ül1.2 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^398 mod 451. 451=11*41 Phi(451)=10*40=400 //Euler 7^(4002)=7^(2)=49^1 mod 451 //Fermat 49 451 a b 49 10 a b9a 9 10 37 a4 b b9a 9 1 37 a4 b 5 b46 a //Eukleides // d =1/49 mod 451= 45146 mod 451 = 405 mod 451 Ül2.1 RSA krüptosüsteemis kasutatakse algarvudena p = 101 ja q = 37. Avalik astendaja e = 17. Leia salajane astendaja d. Kas samade algarvude korral oleks e = 5 sobilik avalik astendaja? Põhjenda! Phi(101 * 37) = 3600 = n 17 3600 a b ...
tekkimist kiirgumiseks ja valguse kadumist neeldumiseks. Kiirgumine seisneb selles, et aineline objekt tekitab oma energia arvel täiendava väljaportsjoni ehk kvandi. Neeldumisel annab kvant oma energia ja impulsi mingile ainelisele objektile ära ning haihtub ise olematusse. Ehk siis selleks, et valgus tekiks, peab olema keha, mis sel moel muudab teisi energialiike valguseks. Sellist keha nimetatakse valgusallikaks. 11.Kuidas valgus levib?(ühtlases ja mitteühtlases, Fermat printsiip) Valguse levimine toimub erinevalt vaakumis või mingis keskkonnas ehk aines. Vaakumis levib valgus nagu iga elektromagnetlaine: muutuv elektriväli tekitab muutuva magnetvälja ja see omakorda uuesti muutuva elektrivälja ning kõik kordub. Nii kandub valgus ruumis edasi kiirusega c. Valgus levib ühtlases ehk homogeenses keskkonnas sirgjooneliselt. Mitteühtlases keskkonnas levib valgus kõverat teed pidi. Valguse levimise teed saab leida looduses kehtiva printsiibi
1.Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja kõige olulisemaid omadusi ja liikumise seadusi. Füüsikaline seos, katse, hüpotees, mudel. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 -1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilis...
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsio...
1.*** Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja omadusi ja liikumise seadusi. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilise tõlgendusega. näiteks: punktmass, ideaalse gaasi mudel, absoluutselt elastne keha, ainepunkt. 2.Mis on mateeria ja millised on tema osad? Mis on ruum ja aeg? Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras. ...
2. KT kordamisküsimused õ Elektromagnetism pt 3. ja 4. lk 81-139 1. Elektromagnetlained (kasutusalad, loodusnähtused) 2. Sagedus 3. Lainepikkus 4. Valguskiirus 5. Periood 6. Elektromagnetlainete skaala (vaja teada umbkaudset järjekorda, nähtusi ja kasutusalasid) a. Madalsageduslained b. Raadiolained c. Optiline kiirgus d. Röntgenkiirgus e. Gammakiirgus 7. Valguse kiirgumine, levimine, neeldumine 8. Valguse murdumine e Fermat’ printsiip 9. Kuidas on omavahel seotud valguse värvus ja lainepikkus? 10.Mis värvi valgused on valges valguses esindatud? 11.Miks me näeme Maal Päikest kollasena, taevast sinisena? 12.Millised on kolm värvi, mida kasutatakse ekraanide ehitamisel? 13.Valguskvant e footon 14.Fotoefekt 15.Valguse dualism 16.Interferents 17.Difraktsioon 18.Valguse polarisatsioon 19.Koherentne lainetus 20.Selgendav kate ...
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( ...
1. Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus nii nagu masski. Elektrilaeng põhjustab teda ümbritsevas ruumis elektrivälja tekke, mida on võimalik avastada teise elektrilaenguga. Elektrilaengul on järgmised omadused. 1. Elektrilaenguid on kaks tüüpi: positiivne ja negatiivne 2. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. 3. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. 4. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: elektrilaengute algebraline summa jääv. 5. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. 2. Coulomb' seadus, joonis, valem, seletus. See on elektrilise vastastikmõju põhiseadus nii nagu Newtoni seadused. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. 1 on suhteline dielektriline läbitavus. Vaakumis =1 3. Elektrivälja tugevus, valem, ühik, suund. Jõujoon. Superpositsioonipri...
1. Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus nii nagu masski. Elektrilaeng põhjustab teda ümbritsevas ruumis elektrivälja tekke, mida on võimalik avastada teise elektrilaenguga. Elektrilaengul on järgmised omadused. 1. Elektrilaenguid on kaks tüüpi: positiivne ja negatiivne 2. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. 3. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. 4. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: elektrilaengute algebraline summa jääv. 5. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. 2. Coulomb' seadus, joonis, valem, seletus. See on elektrilise vastastikmõju põhiseadus nii nagu Newtoni seadused. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. 1 on suhteline dielektriline läbitavus. Vaakumis =1 3. Elektrivälja tugevus, valem, ühik, suund. Jõujoon. Superpositsioonipri...
Seda juhtub keskkondades, mis koosnevad omavõnkesagedusi omavatest osakestest - nn ostsillaatoritest. Sellisel juhul kulgeb soliton laine levimiskiirusest (faasikiirusest) erineva kiirusega, mida nimetatakse rühmakiiruseks. 17. Peegeldumis- ja murdumisseaduse tuletamine Fermat' printsiibist. Lauale langeva valgusvoo arvutamine. Fermat' printsiip. Veel paremini kui Huygens oskas valguskiire teed arvutada teine prantslane Pierre de Fermat. Tema küll akadeemik ei olnud ja teenis leiba advokaadina, tehes teadust põhitöö kõrvalt. Elu jooksul kogutud kopsaka varanduse kohta tegi ta testamendi, mille täitumise üheks tingimuseks oli tema poolt ette valmistatud käsikirjade avaldamine. Nii ilmusidki Fermat' tööd alles pärast tema surma 1655. a. Vormilt on Fermat' printsiip matemaatikute poolt laialt kasutatav variatsiooniprintsiip: Valguse kiirus keskkonnas on pöördvõrdeline keskkonna optilise
Seda juhtub keskkondades, mis koosnevad omavõnkesagedusi omavatest osakestest - nn ostsillaatoritest. Sellisel juhul kulgeb soliton laine levimiskiirusest (faasikiirusest) erineva kiirusega, mida nimetatakse rühmakiiruseks. 17. Peegeldumis- ja murdumisseaduse tuletamine Fermat' printsiibist. Lauale langeva valgusvoo arvutamine. Fermat' printsiip. Veel paremini kui Huygens oskas valguskiire teed arvutada teine prantslane Pierre de Fermat. Tema küll akadeemik ei olnud ja teenis leiba advokaadina, tehes teadust põhitöö kõrvalt. Elu jooksul kogutud kopsaka varanduse kohta tegi ta testamendi, mille täitumise üheks tingimuseks oli tema poolt ette valmistatud käsikirjade avaldamine. Nii ilmusidki Fermat' tööd alles pärast tema surma 1655. a. Vormilt on Fermat' printsiip matemaatikute poolt laialt kasutatav variatsiooniprintsiip: Valguse kiirus keskkonnas on pöördvõrdeline keskkonna optilise
LIISI KINK 10 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaal...
630...600 Kollane 600...570 Roheline 570...520 Helesinine 520...470 Sinine 470...420 Violetne 420...380 7. Mis on valgusallikas? Mida tähendab valguse kiirgumine ja neeldumine? Valgusallikaks nimetatakse keha, kus mingi energialiik muundub valgusenergiaks. Valguse neeldumiseks nimetatakse valgusenergia muundumist mõneks teiseks energialiigiks. Optikas nimetatakse valguse tekkimist kiirgumiseks ja valguse kadumist neeldumiseks. 8. Mida ütleb Fermat printsiip? Valguse levimise teed saab leida looduses kehtiva printsiibi järgi, mis väidab, et valgus levib teed mööda, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne. 9. Defineeri amplituud, hälve, periood, faas ja levimiskiirus? Amplituud - suurim kaugus tasakaaluasendist ehk maksimaalne hälve Hälve - võnkumist iseloomustav suurus. See on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist kindlal ajahetkel t. Periood - ajaperiood täisvõnke tegemiseks
Elektrostaatika Laengute vastastikune toime ja laengu jäävuse seadus Jõud, millega üks laeng mõjub teisele on võrdeline nende laengute suurusega ja pöördvõrdeline nende langute vahekauguse ruuduga. Ühenimeliste laengute korral on jõud positiivne (tõukuvad) ja erinimeliste puhul negatiivne(tõmbuvad) Elektrilaengu jäävuse seadus on füüsika seadus, mille kohaselt elektriliselt isoleeritud süsteemis on igasuguse kehadevahelise vastasmõju korral kõigi elektrilaengute [algebraline summa] jääv: Elektrostaatilise välja tugevus ja selle graafiline kujutamine Elektrostaatiline väli - paigalseisvate laengute tekitatud elektriväli Elektrivälja tugevus- elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Homogeene elektriväli- homogeense välja jõujooned on omavahel paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu Elektrivälja punkti potentsiaal- näitab, kui suur on selles punktis ühikulise positii...
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada j...
Otsimine toimub juhuslikkuse printsiibil. Neid on 2 rühma: Las Vegas: juhuslikult võta 1, kuni tuleb “1”. Quicksort, krüptograafia. Sobib, kui on vähe võimalusi, aga raske leida õiget: alati õige vastus, aga võib minna väga palju aega. Monte Carlo: k korda vali 1 element, kui k korda on läbi, siis ei leidnud. Võib anda vale vastuse (aga alati saab ju korrata), aga aeg (ressursid) on mõistlikud. Algarvulisuse testid, statistilised simulatsioonid. 32 Fermat väike teoreem ja algarvulisuse testid. ap - a jagub p-ga, kui p on algarv. • a erinevat värvi pärlitest saab teha ap kombinatsiooni. (nt 2 värvilistest 8 kombinatsiooni) • lahutame neist a ühevärvilist kombinatsiooni. (ap - a) • saadud kombinatsioonid kuuluvad gruppidesse. saame (ap - a)/p ühesuurust (pxp) gruppi, mis kõik moodustavad p-sammulised tsüklid. (p sammu on vaja teha, et jõuda algsesse asendisse tagasi.)
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on pun...
andmata. Ta muutis uurimissuunda ning valmistas ette "Arutlusi meetodist" ja kolme suurt kirjatükki: "Dioptrika", "Meteoorid" ja "Geomeetria". Need tööd määrasid paljudeks aastateks kindlaks keskaja pimedusest välja rabeleva teaduse teed. 1635. aastal sünnitas sõbratar ja teenijatüdruk Hélène talle tütre Francine´i, kes suri 1640. aastal, kuu hiljem lahkus siit ilmast Descartes'i isa. Need aastad polnud kerged ka teadustöös, kus väitlused Fermat ning tema enda kunagise õpilase Regiusega võtsid palju jõudu ja energiat. 1641. aastal ilmusid "Metafüüsilised mõtsiklused", mida Sorbonne heaks ei kiitnud, mida ründasid jesuiidid ja kõige ägedamalt hollandi ülikoolid. Descartes vastas igale traktaadile traktaadiga ning leidis kõigest hoolimata mahti avaldada 1644. aastal üks oma põhiteostest "Filosoofilised printsiibid". Välimusel olevat Descartes olnud väike suure peaga morn mees. Peale selle oli
Aatomifüüsika 1) de Broglie hüpotees osakeselainetest. Elektron pole mitte osake,vaid laine.Mehaanika vähima mõju printsiip on ekvivalentne Fermat´ printsiibiga optikas,kui keha impulss p=mv asendada lainearvuga valemi p=hk abil.EHK omistades liikuvale osakesele lainepikkuse lambda=h/p,võime trajektoori leidmisel kas interferentsivalemeid. 2) .Mikromaailma täpsuspiirangud(määramatuse relatsioonid).Määramatus on seotud mõõtmisega.Mõõtmine vigadega.Meil ei ole üheaegselt võimalik mõõta aega&energiat(mikromaailmas).Kui määrata 1 täpsex,jääb teine määramatux.Meil ei ole üheaegselt võimalik mõõta impulssi(kiirust)&asukohta. 3) Bohri aatomimudel.Elektronid võivad aatomis liikuda ainult kindlatel statsionaarsetel orbiitidel.Sellisel orbiidil liikudes elektron ei kiirga.Ringorbiidil avaldub seisulaine: L=n x lambda lambda=(2Pii x R)/h.Elektroni üleminekul suurema energiaga orbiidilt väiksema energiaga orbiidile aatom kiirgab kvandi,üleminekul ...
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Täppisteaduste Kool Geomeetriline optika Koostanud Henn Voolaid ja Urmo Visk Tartu 2007 c 2007 Henn Voolaid, Urmo Visk c 2007 Tartu Ülikooli Teaduskool Geomeetriline optika 1 Sissejuhatus Geomeetriline optika ehk kiirteoptika on optika osa , kus valguse levimist kirjeldatakse valguskiirte abil, milleks on ristsirged valguse lainepinnale (pinnanormaalid). Võib ka öelda, et kiir on joon, mis näitab valgusenergia levimise suunda. Geomeetrilises optikas käsitletakse valgust sirgjooneliselt levivana, ükskõik kui väikestest avadest see läbi läheb. Teiste sõnadega, geo- meetrilises optikas loetakse valguse lainepikkus λ = 0 ja seetõttu pole vaja difraktsiooni või interferentsi arvestada. Geomeetrilise op- tika ülesandeks on eseme kujutise leidmine pärast optilise süsteemi läbimist. Optiliseks süsteemiks võivad olla igasugused detailid, kus valguskii...
Blaise Pascal Referaat Elulugu Blaise Pascal sündis 19. juuni 1623 Prantsusmaal , Auvergne'i provintsis . Ta oli prantsuse füüsik, matemaatik ja filosoof. Pascal oli juba eluajal tuntud kui pühak, inimese uurija ja usuelu ehitaja. Pascal on jätnud matemaatika ja füüsika ajalukku kustutamatu jälje, sest teoreeme ja seadusi muutma ei hakata Palju on oletatud, mis olnuks lääne elus teisti kui ta elanuks mitte 39 aastat vaid näiteks kaks korda kauem . Pascal pärineb perekonnast, mille teisedki liikmed on prantsuse kirjandusse või ajalukku oma jälje jätnud. Tema isa Étienne Pascal pidas Auvergne'i maksuringkonna valitava kuningliku nõuniku ametit. Ema Antoinette Bégon suri, kui Blaise oli kolmeaastane . Varakult tutvus Pascal oma isa haritud sõpradega. Eelkõige oma maksuametnikust isa abistamiseks konstrueeris Pascal liitmismasina. Ühe sellise saatis ta näidisena Rootsi kuningannale Kristiinale. Pascal pidas kirjavahetust selliste s...
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähis...
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuur...
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y...
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. KORDAMISKÜSIMUSED 1. Muutuvad suurused (tähistus, jaotus). Matemaatilises analüüsis tähistatakse muutujad väikeste tähtedega (x, y, a jne). Näiteid muutujate vahelistest suhetest: „Patsiendi vererõhk sõltub ravimite manustamise hulgast“, „Ringi pindala sõltub raadiusest“ Jaotus: a) Konstantsed suurused – ei muutu, omavad alati ühte ja sama väärtust N: ühtlane liikumine – kiirus on konstantne, teepikkus on muutuv suurus) b) Muutuvad suurused N: mitteühtlane liikumine – nii kiirus kui teepikkus muuutvad 2. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). DEF. Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus. Asjaolu, et y on x-i funktsioon, tähistatakse y = f(x) • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks (ehk argumendiks). • Muutujat y nimetatakse sõltuvaks muutujaks. • ...
YFR0012 Eksami küsimused Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus. Elektrilaengu põhiomadused: Elektrilaenguid on kahte tüüpi: positiivne ja negatiivne. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. Elementaarlaeng. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: Isoleeritud süsteemis on elektrilaengute algebraline summa jääv. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. Coulomb’ seadus, joonis, valem, seletus. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. Valem: k∗1 ∗q 1∗q 2 ε r 12 ∗⃗ r 212 ⃗ F12= r 12 Joonis: ε ≥ 1 on suhteline dielektriline läbitavus, vaakumis ε =1 Elektrivälja tugevus. Valem, ühik, suund. Jõujoon...
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...
27.10.2016 1. loeng 2016 sügis Marek Volt "ilma kriitilise refleksioonita filosoofilise ettevõtmise enda üle ollakse parimal juhul vaid potentsiaalne filosoof" Wilfrid Sellars (1963) Loengu struktuur I. SISSEJUHATUS "Mis on filosoofia?" on filosoofiline probleem! I. Sissejuhatus F...
Seadused ja valemid Loeng 11. Coulomb'i seadus (vektorkujul!). Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. , Seda saab kirja panna, kui kasutada meile juba tuntud vektorsümboolikat: Väljatugevus ja potentsiaal, seos nende vahel. Mida tugevam on väli (tihedamalt jõujooned) seda kiiremini muutub potentsiaal (seda lähemal on üksteisele samapotentsiaalipinnad). Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi: Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. Gauss'i teoreem. Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna...
2.6 Loomulik valgus 2.7 Rakendus: Polarisaator 2.8 Malus seadus 2.9 Rakendus: faasinihkeplaadid 2.10 Polariseeritud valguse analüüs 2.11 Elektromagnetlainete skaala 2.12 Kiirguse spekter ja selle mõõtmine 3. Valguse murdumine ja kulgemine. Optiline teepikkus. Optiline käiguvahe. Interferents. Rakendused. 3.1 Valguse levimise mehhanism optiliselt homogeenses keskkonnas 3.2 .Valguse murdumine (Snelli seadus) 3.3 Fermat printsiip. Valguse kulgemisteekonna arvutamine (Ray-tracing). 3.4 Optilise teepikkuse ja käiguvahe mõiste. 3.5 Optilise kompensatsiooni selgitus Michelsoni interferomeetri näitel 3.6 Valguse interferents: mis tingimused peavad olema täidetud interferentsipildi tekkimiseks? Miks ristlained ei interfereeru? 3.7 Rakendus: GRIN läätsed 4. Neeldumine ja hajumine. Rakendused 4.1 Neeldumiskoefitsient. Bouguer'-Lamberti seadus. 4
Jõud, jõumoment, vastasmõju, olek Jõud on suurus, mille abil kirjeldatakse kehade vastasmõju. Jõumomendiks M = F · l nimetatakse jõu F ja tema õla pikkuse l korrutist; jõu õlg on võrdne jõu mõjumissihi kaugusega pöörlemisteljest. Vastasmõju ei tähenda midagi enamat kui vastastikust ("sina mulle - mina sulle") mõjustamist. Füüsikas on vastasmõju tagajärjeks oleku muutus. Oleku all mõistame keha kirjeldavate parameetrite väärtuste (täielikku) komplekti 2. Tasakaalu tingimused Keha on tasakaalus parajasti siis, kui: a) temale mõjuvate jõudude summa on null; b) temale mõjuvate jõumomentide summa on null. 3. Kiirus; kiirendus, normaalkiirendus; tangentsiaalkiirendus Liikumisvõrrandi esimest tuletist aja järgi nimetatakse kiiruseks. See näitab, kui kiiresti liigub keha antud ajahetkel. Liikumisvõrrandi teist tuletist aja järgi (kiiruse esimest tu...
MATEMAATIKA EKSAM. 1. Muutuvad suurused (üldiselt). 1)konstantsed suurused 2)muutuvad suurused NT: ühtlase liikumise korral on kiirus konstante suurus, teepikkus aga muutuv suurus. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). Funktsiooni esitusviise (piltlik, valemiga, tabelina, nooldiagrammina, sõnadega jne). Ühesed, paaris- ja paaritud, perioodilised, kasvavad ja kahanevad funktsioonid (definitsioonidega). Definitsioon: muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui suuruse x igale väärtusele on vastav y üks väärtus Tähistused: argument(muutuja) x; argument(muutuja) y; määramispiirkond X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Defin...
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem :...
Ja sobib suurepäraselt meie ettekujutusega lainest kui korrastatud võnkumistest. Huygens'i printsiip: lainefrondi A kõigist punktidest väljuvad keralained tekitavad paralleelse lainefrondi B. Fermat' printsiip. Veel paremini kui Huygens oskas valguskiire teed arvutada teine 92 prantslane Pierre de Fermat. Tema küll akadeemik ei olnud ja teenis leiba advokaadina, tehes teadust põhitöö kõrvalt. Elu jooksul kogutud kopsaka varanduse kohta tegi ta testamendi, mille täitumise üheks tingimuseks oli tema poolt ette valmistatud käsikirjade avaldamine. Nii ilmusidki Fermat' tööd alles pärast tema surma 1655. a. Vormilt on Fermat' printsiip matemaatikute poolt laialt kasutatav variatsiooniprintsiip: Valguse kiirus keskkonnas on pöördvõrdeline keskkonna optilise tihedusega;
Matemaatiline analüüs II kontrolltöö Punktid 23-45 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui ...
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hu...
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferent...
Peegeldumisnurk võrdub langemisnurgaga . Füüsikas mõõdetakse langemis- ja peegeldumisnurka alati V OPTIKA pinnanormaali suhtes (mitte pinna enda 1. Fernat printsiip, valguse peegeldumis- suhtes!) ja murdumisseadus Valguse murdumisseadus väidab, et langev Fermat' printsiip Pierre de Fermat esitas kiir, murdunud kiir ja pinnanormaal oma arvamuse, tuletades selle ühest valguse langemispunktis paiknevad ühes ja põhiomadusest, mille ta ise välja tõi, nimelt samas tasandis. Langemisnurga ja valgus läbib alati lühima võimalikest murdumisnurga siinuste suhe on teedest. konstant, mida nimetatakse teise keskkonna murdumisnäitajaks esi-
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b. Valemiga - e. Sõnadega- c. Tabelina- f. Funktsiooni f nimetatakse üheseks¸ kui argumendi igale väärtusele vastab üksainus funktsiooni väärtus. g...
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei...
Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suur...
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...
arvutatakse integraaliga: . Et see töö tehakse lõppkokkuvõttes solenoidis talletunud magnetvälja energia arvelt, siis avaldub solenoidis (või ka mingis teises juhis) seda läbiva voolu toimel indutseeritud magnetvälja energia , kus L on juhi induktiivsus, I voolutugevus juhis. Saame solenoidis talletunud magnetvälja energia väärtuseks . 58. Geomeetrilise optika seadused. Fermat printsiip. Valguseks nimetatakse inimsilmaga nähtavat elektromagnetlainet, mille lainepikkus jääb vahemikku O,38µm ~ A ~ O,76µm kusjuures O,76 µm vastab punasele ja O,38µm violetsele valgusele. Koige tundlikum on inimsilm valgusele lainepikkusega O,56µm - roheline valgus, mis ühtib ka Paikese kiirgusmaksimumiga. Kui valgus on vastasmojus kehadega, mille mõõtmed on palju suuremad valguse lainepikkusest (ja mille pinnakonarused vaiksemad valguse kainepikkusest), siis pole vaja
1. Vektorite liitmine ja lahutamine (graafiline meetod ja vektori moodulite kaudu). Kuidas leida vektorite skalaar- ja vektorkorrutis? Graafiline liitmine: Kolmnurga reegel – eelmise vektori lõpp-punkti pannakse uue vektori algpunkt. Vektorite liitmisel tuleb aevestada suundasid. Saab kuitahes palju vektoreid kokku liita. Rööpküliku reegel – vektorite alguspunkt paigutatakse nii, et nende alguspunktid ühtivad. Saab ainult kahte vektorit kokku liita. ax – x-telje projektsioon ay – y-telje projektsioon az – z-telje projektsioon i, j, k – vektori komponendid ⃗a + b⃗ =i⃗ ( a x + bx ) + ⃗j ( a y +b y ) + ⃗k (a z +b z ) Skalaarkorrutis: ⃗a ∙ ⃗b=|⃗a||b⃗| cosα=a x b x +a j b j +a z b z Kui suudame ära näidata, et vektorid on risti, siis võime öelda, et skalaarkorrutis on 0. ⃗ ⃗ Vektorkorrutis: |a⃗ × b|=¿ ⃗a∨∙∨b∨sinα Vektorid on võrdsed, kui suund ja siht on sama. Samasihilised võivad olla erisuunalised. ...
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletis...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
