Teravnurga siinus ja koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuseks nim. selle nurga vastas kaateti ja a vastaskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . sin = hüpotenuus Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinuseks nim. selle nurga lähis kaateti ja b lähiskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . cos = hüpotenuus vastaskaatet hüpotenuus lähiska lähiskaatet Teravnurga tangens Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangensiks nim. selle nurga vastas kaateti ja a lähis kaateti suhet ning seda tähistatakse tan . Tan = b tan =
Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 . a 10 2 6 2 64 8. Vastus: kaatet a = 8 cm. 3) Kaatet b, kui hüpotenuus c = 13 m ja teine kaatet a = 12 m. Lahendus: Kaateti b arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; b c2 a 2 . b 13 2 12 2 25 5. Vastus: kaatet b = 5 m. Tööd asuvad aadressil www
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega..h*=fg EUKLEIDES:täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.... a*=fc,b*=gc.PYTHAGOROS:täisnurksekolmn. kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga..a*+b*=c* Täisnurkses võrdhaarses kolmnurgas on hüpotenuus 2 korda pikem kaatetist..c=2a
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korruti...
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioon...
sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°. Neid uurimusi tuntakse tänapäeval kahe ja kolmemõõtmelise eukleidilise geomeetriana (planimeetria ja stereomeetriana).Tänapäeva matemaatika keeles on
kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'. Kehtivad seosed a2=ca' ; b2=cb'. 26. Tunnus KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga
2 4) S = pr ; abc 5) S = ; 4R a2 3 6) võrdkülgse kolmnurga pindala: S = . 4 Pythagorase teoreem: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, a2 + b2 = c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 = fc , b 2 = gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega, h2 = f g . Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
KOONUS Ulvi Klemmer EKL 2kõ Koonus... ... Keha, mille moodustab ühe oma kaateti Täisnurkne ümber kolmnurk pöörlev täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC Täisnurkse kolmnurga puhul saame kasutada Pythagorase teoreemi m² = h² +r² Külgpindala B Täispinadala Ruumala A C Kaatet BC on koonuse telg. Hüpotenuus AB on koonuse moodustaja. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA
kauplusehooned. Linnas P on hoone hind 70% linna T hoone hinnast. LinnasV asuv hoone on 0,5 miljoni krooni võrra odavam linnas P asuvast hoonest. Kolme hoone eest maksab firma 2,5 miljonit krooni vähem kui linna V hoone neljakordne hind. Leidke kauplusehoonete ostuhinnad. 8. Ristkülikukujulise lillepeenra ümbermõõt on 10 m ja pindala 4,56 m2. Leia lillepeenra laius. 9. Täisnurkse kolmnurga kaatet on pikkuselt võrdne teise kaateti projektsiooniga hüpotenuusil. Leida selle kaateti pikkus, kui hüpotenuusi pikkus on 1 m. 10. Kahe jõesadama vaheline kaugus on 80 km. Aurik läbib selle vahemaa edasi-tagasi 8 tunniga 20 minutiga. Leida auriku kiirus seisvas vee, kui jõe voolu kiirus oli 4 km/h. 11. (21.05.2001 I ülesanne 8) Linnadest A ja B väljusid üheaegselt ühtlase kiirusega teineteisele vastu kaks mootorratturit. Kui üks mootorrattur oli läbinud kolmandiku teest, siis jäi teisel
VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga sisenurkade summa on 180°
määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'. Kehtivad seosed a2=ca' ; b2=cb'. 26. Tunnus KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme
Koonus Koonus on keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. Kaatet BC, mille ümber pööreb koonust moodustav täisnurkne kolmnurk, on koonuse teljeks. Kolmnurga hüpotenuus AB on koonuse moodustajaks. Koonuse moodustajat tähistatakse tavaliselt tähega m. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA moodustab ringi, mida nimetatakse koonuse põhjaks. Lõiku CA, mis on koonuse põhja raadius, tähistatakse ka tähega r. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna.
18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27. Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga kõige pikem külg, mis paikneb täisnurga vastas. 28
Ta oli esimene idealistlik kreeka filosoof. Juba eluajal austati Pythagorast pooljumalana.Pärast surma tekkis tema kohta palju legende. Nii näiteks omistasid pütagoorlased kõik oma avastused matemaatika vallas koolkonna rajajale, Pythagorasele.Oma koolkonna kaudu on Pythagoras avaldanud järelpõlvedele tugevat mõju. Koolkond püsis uuspütagoreismi kujul seni, kuni kristlus ülejäänud maailmavaated põlustas. Pythagorase teoreem on täisnurkse kolmnurga kahe kaateti ja hüpotenuusi vahel. Valem : Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks.Ühelgi teisel teoreemil pole nii palju erinevaid tõestusi.
Silindri lõikamisel tasandiga,mis läbib silindri telge,saame lõikeks ristküliku, mida nim silindri telglõikeks.Silindri lõikamisel tasandiga,mis on risti silindri teljega,saame lõikeks põhjadega võrdse ringi,mida nim silindri ristlõikeks.Silindri põhjade vahelist kaugust ja ka vastava pikkusega lõiku nim silindri kõrguseks.Silindri külgpindala on võrdne põhja ümbermõõdu ja kõrguse korrutisega.Sk=P*h;Sk=2*3,14rh;St=2Sp+Sk;V=Sp*h Koonus-keha,mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk.Kaatetit,mille ümber täisnurkne kolmnurk pöörleb nim koonuse teljeks,hüpotenuusi aga koonuse moodustajaks.Pöörleva kolmnurga teine kaatet moodustab ringi,mida nim koonuse põhjaks.Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna.Koonuse lõikamisel tasandiga,mis läbib koonuse telge saame lõikeks võrdhaarse kolmnurga,mida nim koonuse telglõikeks.Koonuse ristlõige tekib siis,kui lõikame koonust
m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g B A D c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine C
Koonus Koonuseks nimetatakse pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma kaateti koonuse Külgpindala Täispindala moodustaja Sk = r m d S = Sk + S p = pin ülg gl et m = r (r + m ) ek h us on
Kui kaugele seinast on redel asetatud, kui maja seinal ulatub see 3,6 m kõrgusele? Kui pikk see redel on? 11. Maantee tõuseb 86 meetri jooksul 7 meetrit. Kui suur on tee tõusunurk ja kui suurt tõusu protsentides näitaks liiklusmärk selle tõusu eel? Tõusunurk ümarda täiskraadideks. 12. Purjeka mast on 35 m kõrge. Tuule tõtt on masti tipp kaldunud 70 cm vertikaalist kõrvale. Kui suur on kreen? 13. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet moodustab 25% hüpotenuusist. Leia selle kaateti vastasnurga siinus. 14. Leia ristküliku ümbermõõt ja pindala, kui ristküliku üks külg on 32 mm ning nurk külje ja diagonaali vahel on 75°.
h 2r Silindri ristlõige Ristlõikeks nimetatakse tasandilist kujundit, mis tekib geomeetrilise keha lõikamisel tasandiga, mis on risti lõigatava keha teljega r Koonus Koonuseks nimetatakse pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma kaateti koonuse Külgpindala Täispindala moodustaja Sk = r m d S = Sk + S p = pin ülg gl et m = r (r + m ) ek h us on
Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud = k2 S2 5/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE TÄISNURKNE KOLMNURK Pythagorase teoreem. Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. a 2 + b 2 = c 2 Eukleidese teoreem: Täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega. a 2 = f c ja b 2 = g c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on võrdne katetite projektsioonide geomeetrilise keskmisega. h = f g vastaskaatet lähiskaatet siinus = koo sin nus = hõpotenuus hüpotenuus
Näide 1(järg) Kolmanda tipu (C) abstsiss on 5, kuna tema projektsioon x-teljele (punkt D) asub võrdkülgse kolmnurga alusel AB ning võrdkülgse kolmnurga korral kõrgus (lõik CD) ühtib mediaaniga (kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti ühendava lõiguga). Täisnurksest kolmnurgast ADC y C (5; 5 3) leiame Pythagorase teoreemi põhjal 8 kaateti DC: DC = 10 2 - 52 = 5 3 6 See ongi kolmnurga kolmanda tipu 4 ordinaadiks: 2 C = (5; 5 3) A(0 ; 0) D B(10 ; 0) 0 5 10 x algusesse eelmine slaid esitluse lõpp
Kui läbipaistvate pilude (või peegelduvate ribade) laius on a, läbipaistmatute vahemike (või valgust hajutavate ribade) laius aga b, siis nimetatakse suurust c=a+b difraktsioonivõre konstandiks. Naaberpilude servadelt lähtuvate lainete käiguvahe võrdub lõigu AC pikkusega. Kui sellele lõigule mahub täisarv lainepikkusi, siis kõikidest piludest lähtuvad lained liitudes tugevdavad üksteist. Kolmnurgast ABC saab leida kaateti AC pikkuse: |AC| = |AB|sin f=c sin f. Maksimumid paistavad nurga f all, mis on määratav tingimusest C* sin f=+/- k kus k =0, l, 2, ... 10.Milles seisneb valguse dispersiooni nähtus? Dispersioon on aine murdumisnäitaja sõltuvus valguse lainepikkusest (või sagedusest). Väiksema lainepikkusega valguslained murduvad enam läbiminekul klaasprismast. Tekib värviline valgusspekter. 11.Milles seisneb valguse polarisatsiooni nähtus? Millisel kahel juhul toimub
lihtsam,lühem keevitusaeg.Liitepinnad vaja puhastda enne keevitamist. Kui tugevusarvutused nõuavad nurkõmblusi kõrgusega üle 16 mm,siis kaaluda võimalust valmistada kombineeritud õmblus " faasitud põkkõmblus+nurkõmblus. Õmbluste arvutamisel teha vahet mõistetel: Theoretical throat Actual throat Effective throat(kui võtame arvesse läbikeevituse,lubatud SMAW protsessil,täidistraadi ja robotite kasutamisel ehituskonstruktsioonide juures). Kuidas suhtuda erinevate kaateti pikkustega nurkõmblustesse.teoreetiliselt võiks kavandada,et tagada erineva paksusega metalli vajalikku soojusbilanssi,kuid kontrollijate seisukohast loetakse kaatetite ebavõrdsust defektiks. Ühe ja kahepoolsed nurkõmblused,katteõmblused(joon. 1.5) Joon.1.5 Paindemoment on tingitud tõmbepingetest keevisõmbluse juures. Seetõttu ei kasutata katteliidetes 1 nurkõmblust,sama T-liitega,kui detailid saavad
puutujaks.(Näide36) 38. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.(Näide37) Korrapärase hulknurga ümbermõõt võrdub külgede arvu n ja küljepikkuse a korrutisega P=an P1/P2=K Korrapärase hulknurga pindala võrdub poole ümbermõõdu ja apoteemi korrutisega S1/S2=K2 Sisenurkade summa (n-2)+180' 39.Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga A2+B2=C2 40.Teravnurga siinus on selle nurga vastas kaateti ja hüpotenuusi suhe. Teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Teravnurga tangets on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(Näide38) 41. Sk= p*H St= Sk+2*Sp V= Sp*H (Näide39) 42. V= 1/3Sp*H (Näide40) 43. Sp = r² Sk =2rh St =2rh+2r2 V = r2 h(Näide41) . 44. Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h (Näide42) 45. S = 4 r² V = 4 : 3 r³(Näide43) 46
Selliseid ribasid, mis tekivad interferentsi tõttu sama paksusega kohtades, nimetatakse samapaksusribadeks. Sfäärilise läätse korral kujutavad nad endast kontsentrilisi ringjooni ümber läätse ja plaadi puutepunkti. Nii tekivad vaadeldavas süsteemis heledad ja tumedad kontsentrilised rõngad Newtoni rõngad. Leiame seose läätse kõverusraadiuse R ja mingi Newtoni rõnga raadiuse r vahel. Selleks vaatleme joonisel 35 kolmnurka AOB. Sellest täisnurksest kolmnurgast saame kaateti AB = r jaoks kirjutada: Arvestades, et OB = R ja OA = R d, saame: Suure kõverusraadiusega läätse korral on d2 << 2Rd. Seepärast võime kirjutada: . (4) Asetades seosesse (4) miinimumi tingimusele (2) vastava d väärtuse, saame tumedate Newtoni rõngaste raadiuste leidmiseks valemi: , kus k = 0,1,2,... . (5)
4.18): · tõmbekoormus F mõjub piki nurkteraste telgi läbivat tasandit (nurkterased pikenevad, kuid ei paindu); · õmblustes mõjuvad nihkepinged ning mis piirseisundi saabudes õmblus puruneb lõikel (materjalikihid nihkuvad üksteise suhtes); · õmblus puruneb sellises pinnas, kus keevisõmbluse materjali paksus on vähim; · kolmnurkõmbluse vähima paksusega pind on kaateti suhtes 45° kaldu: hK, min = hK cos 45° 0.7hK , kus: hK õmbluse kaateti kõrgus, [m]; hK,min õmbluse vähim paksus, [m]; · keevisõmluse nihkepinna arvutuslik pindala tuleb: AK = hK,min l K , kus: AK õmbluse nihkepinna arvutuslik pindala, [m2]; lK õmbluse arvutuslik kogupikkus, [m];
4.18): · tõmbekoormus F mõjub piki nurkteraste telgi läbivat tasandit (nurkterased pikenevad, kuid ei paindu); · õmblustes mõjuvad nihkepinged ning mis piirseisundi saabudes õmblus puruneb lõikel (materjalikihid nihkuvad üksteise suhtes); · õmblus puruneb sellises pinnas, kus keevisõmbluse materjali paksus on vähim; · kolmnurkõmbluse vähima paksusega pind on kaateti suhtes 45° kaldu: hK, min = hK cos 45° 0.7hK , kus: hK õmbluse kaateti kõrgus, [m]; hK,min õmbluse vähim paksus, [m]; · keevisõmluse nihkepinna arvutuslik pindala tuleb: AK = hK,min l K , kus: AK õmbluse nihkepinna arvutuslik pindala, [m2]; lK õmbluse arvutuslik kogupikkus, [m];
Põkkõmbluse ristlõige 10 Nurkõmblus b - keevitatava metalli paksus q tugevduse kõrgus z - kaatet a keevisõmbluse paksus Nurkõmbluse ristlõige Kaateti mõõde ehk Z=a×1,41 Kokkuvõte Keevitus (protsess) on kahele või enamale osale kuumutamise või surve abil jätkuva kuju andmine. Võidakse kasutada keemiliselt koostiselt sarnast lisamaterjali. Keevitatakse metalle, plaste, klaasi, komposiite jm. keevitamist kasutatakse ka pealesulatuseks. 11 12
Hindamistabel Lahendi õigsus Sisu selgitused Tähiste Illustratsioonid Korrektsus Kokku (täidab õppejõud) seletused MASINAELEMENDID I -- MHE0041 4. Nurkõmbluse kaateti arvutamine(täismillimeetrites). Kui kaatet tuleb suurem, kui väärtus, suurendada (vertikaalse) keevisõmbluse pikkust. Kui kaatet tuleb väiksem, kui 3 mm, vähendada keevisõmblus(t)e pikkust ja/või paigutust. 4.1. Keevisõmbluse voolepiir nihkel τ y, K =0,56 σ e=0,56∗350=196 MPa 4.2. Keevisõmbluse tugevustingimus 6 196∗10 54∗103∗a−1 ≤ 1,5 Keevisõmbluse vähim paksus:
2. kolmnurksed, nelinurksed jne püramiidid Pindala: St=Sk+Sp Ruumala: V=·h·Sp 8. Silinder: Mõiste: Silinder on pöördkeha. Silindri moodustab ristkülik, mis pöörleb ümber ühe külje. Telgllõige: Silindri telglõige tekib, kui silindrit lõigata tasandiga, mis läbib põhjade diameetreid. Pindala: S=Sk+2Sp Ruumala: V= r²·h 9. Koonus: Mõiste: Koonus on pöördkeha. Koonuse moodustab täisnurkne kolmnurk, mis pöörleb ümber ühe kaateti. Koonuse telglõige: Koonuse lõikamisel tasandiga, mis läbib telge nim. telglõikeks. Pindala: S=Sk+Sp Ruumala: V= r²·h 10. Kera: Mõiste: Kera on keha, mis tekib poolringi pöörlemisel umber oma diameetri. Lõiked: Kera iga tasandiline lõige on ring. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera radius ning lõiget nim. kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Pindala: S=4· r² Ruumala: V=4/3· r³ 11. Vektor:
vastavad väärtused. Koostame tabeli u (cm) 0,5 1 2 3 5 10 S (cm2) 1,5 6 24 54 150 600 See tabel esitab seost kuubi serva pikkuse ja kuubi pindala vahel. NÄIDE 2. Kui võrdhaarse kolmnurga kaatetite pikkus on v cm, s.o. AC = BC = v (vt joonist), B C A siis selle kolmnurga pindala vv 1 2 S v . 2 2 Saadud valem 1 S v2 2 esitab seost antud kolmnurga kaateti pikkuse v ja pindala S vahel. Edasi vaatame ülesandeid. 1. On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Koosta muutujate x ja y vastavate väärtuste tabel ning esita selle ruutfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste piirkond nende elementide loeteludena. Lahendus: On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Kui x = 4, siis y = 3 . ( 4)2 = 3 . 16 = 48, x = 3, siis y = 3 . ( 3)2 = 3 . 9 = 27; x = 2, siis y = 3
sam, mis on tingitud kontsenteerituma keevituskaare kasutamisest. Metalli ülekuumutamise tõttu võib TMT-l tekkida jämedateralise ferriidi ala, mis vähendab märgatavalt liite plastsust ja sitkust. Karastuvate teraste keevitamisel võivad TMT-l tekkida karastusefektist tingitud külmpraod. 11 Nurkõmblust iseloomustab selle kõrgus või paksus, mis tähistatakse a-tähega. Sageli võidakse anda ka nurkõmbluse kaateti z väärtus, mille vahel on seosed: a=0,7z, z=1,4a.Tähega s tähistatakse läbikeevituse sügavust ehk läbikeevitust. Tabel 2.1. Servakujud ja õhupilud terase keevitamisel. Väljavõte standardist. A. Põkkõmblused ja põkkliited. Paksus t, Õmbluse tüüp Eskiis Servakuju , b c mm t4 I-õmblus
Ra 6a r S pr 3ar 2 R a r R a=R NÄITEÜLESANDED. 1) Leidke täisnurkse kolmnurga pindala, kui ta siseringjoon jaotab ühe kaateti oma puutepunktiga lõikudeks 6 cm ja 10 cm alates täisnurga tipust. Lahendus. Teame, et kolmnurga küljed on siseringjoonele puutujateks ning puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Samuti on teada, et puutujate lõikepunkt on puutepunktidest võrdsetel kaugustel. Leiame nüüd jooniselt võrdsed lõigud CE = CF = x AF =AD = 6 BE = BD =10. B Kasutame Pythagorase teoreemi. 16 2 x 6 10 x
Leida ringjoone raadius, kui ringjoone keskpunkt asetseb hüpotenuusil ning kaatetid on 3 cm ja 4 cm. 110. Täisnurksesse kolmnurka on joonestatud poolringjoon nii, et ta diameeter asub hüpotenuusil ja keskpunkt jaotab hüpotenuusi osadeks 15 cm ja 20 cm. Leida poolringjoone selle kaare pikkus, mis jääb poolringjoone ja kaatetite puutepunktide vahele. 111.Täisnurkse kolmnurga pikem kaatet on ringjoone diameetriks. Leida selle ringjoone pikkus, kui lühema kaateti pikkus on 15 cm ja täisnurga tippu hüpotenuusi ning poolringjoone lõikepunktiga ühendava lõigu pikkus on 12 cm. 112. Võrdhaarse kolmnurga alus on 24 cm ja haar 15 cm. Leida niisuguse ringjoone raadius, mis puudutab haarasid aluse otspunktides. 113. Rombi on joonestatud ring ning ringi ruut, mille pindala on neli korda väiksem rombi pindalast. Leida rombi teravnurk. 114. Võrdkülgse kolmnurga külgedele on joonestatud ruudud. Ruutude tipud, mis ei ühti
Teisisõnu: Kolmnurga pindala võrdub poolega aluse ja kõrguse korrutisest. Joonisel on ristküliku üks külg võrdne kolmnurga ABC alusega a, teine külg aga võrdne kolmnurga kõrgusega h. Ristküliku pindala on teatavasti võrdne külgede korrutisega. Joonisel on näha, et kolmnurga pindala moodustab ristküliku pindalast poole. Täisnurkse kolmnurga puhul võib võtta ühe kaateti aluseks ja teise kõrguseks. Nõnda saame, et täisnurkse kolmnurga pindala võrdub poolega kaatetite korrutisest. Loomulikult on täisnurkse kolmnurga pindala võrdne ka poolega hüpotenuusi ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest. Näide 1. Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 7,5 cm. Arvutada kolmnurga pindala. Lahendus. Kolmnurga pindala valemi kohaselt saame, et (cm2). Vastus. Kolmnurga pindala on 37,5 cm2.
materjali paksust ja konstruktsiooni jäikust. Terase süsinikusisaldusel üle 0,2% kasutatakse reeglina aluselisi elektroode. Kvaliteedinõuete järel tuleb arvestada majanduslikke näitajaid . Põhilisteks on elektroodide tootlikkus ja hind. Elektroodi läbimõõt valitakse materjali paksuse, õmbluse servakuju ja õmbluse ruumilise asendi järgi. Asendiõmblusi tehakse peenemate elektroodidega (alla 4 mm). Nurkõmbluse keevitamisel valitakse elektroodi läbimõõt kaateti ja asendi järgi. Madalsüsinikteraste keevituselektroodide läbimõõt lehe paksusel kuni 3...4 mm peaks olema võrdsed. Keevitusvoolu tugevus sõltub elektroodi läbimõõdust, põhimetalli paksusest ja servavahemiku kujust, keevitusläbimitest ( juure või täitvad läbimid), elektroodi tüübist, keevitusasendist, põhimetalli soojusjuhtivusest jm. Maksimaalne keevitusvool on piiratud antud eletrooditüübile lubatud maksimaalse voolutihedusega
suunatud viitenoolest (1), laudist (2a), identifitseerimisjoonest (2b), õmbluse tähisest (3), sabaosas (4) vajadusel keevitusprotsessi numbertähisest ja kvaliteedinõuetest defektide järgi vastavalt standardile EVS EN ISO 5817:2000. Servade töötlusviisi olemust või nurkõmbluse ristlõiget iseloomustav tingmärk kantakse laudi (2) peale (vt joonis 10) Nurkõmbluse kõrguse ,,a" mõõt või tekkiva kolmnurga kaateti pikkus ,,z" märgitakse tingmärgist vasakule (vt joonis 11). Levinum on ,,a" mõõdu tähistamine laudil, kusjuures ,,a" ei tohi olla väiksem kui 2mm. Joonis 10. Keevisõmbluse andmete tähistamine [5:13] Joonis 11. "a" ja "z" mõõtude märkimine ja nende omavaheline suhe [2:23] Tingmärgist paremale kantakse õmbluse pikkus, juhul kui õmblus ei ole detailiga ühepikkune.
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ring...
Mulle meeldis väga Vana-Kreeka müüt, kus Zeus kuuldes et inimesed on kõik hukka läinud otsustas neid karistada Ta saatis maa peale veeuputuse hävitades kõik inimesed, hiljem lõi kividest uue inimkonna, mehed ja naised. Sain teada palju uusi jumalaid näiteks ,et Hestia oli kodukolde jumalanna, Demeter oli viljakuse ja viljakasvatuse jumalanna. Mina sain veel teada , et on olemas matemaatikas Pythagarose teoreem , see on täisnurkse kolmnurga kahe kaateti ja hüpotenuusi vahel Valem: 15. Kasutatud materjalid. Kõik materjal ,tekst ja pildid on otsitud internetist google otsingu abil. Lisad 1 Punasefiguurilised tehnikad Athena ja Herakles Herakles hirvega Lisad 2 Mustafiguuriline tehnika Vana-Kreeka amfora Lisad 3 Skulptuurid Polykleitose Odakandja
maatükk. 1) Avaldage maatüki pindala ühe muutuja funktsioonina. 2) Leidke maatüki mõõtmed nii, et 120m pikkise taraga oleks piiratud suurim pindala. Vastus. 1) S(x) = -2x2 + 120x 2) 30m ja 60m g) Plekitahvlist tuleb välja lõigata täisnurkne kolmnurk, mille pindala ruut on maksimaalne. Leidke selle kolmnurga kaatetite pikkused, kui hüpotenuus on 20cm. Vastus. mõlema kaateti pikkus on 10 2 cm h) Leida seos vähima täispindalaga silindri raadiuse r ja kõrguse h vahel antud ruumala V korral. Vastus: h= 2r i) On vaja valmistada kaaneta kast, mille ruumala on V ja põhjaservade pikkused suhtuvad nagu 1: 2. Millised peavad olema kasti mõõtmed, et tema täispindala oleks vähim? 3 1
(1), laudist (2a), identifitseerimisjoonest (2b), õmbluse tähisest (3), sabaosas (4) vajadusel keevitusprotsessi numbertähisest ja kvaliteedinõuetest defektide järgi vastavalt standardile EVS EN ISO 5817:2000. Servade töötlusviisi olemust või nurkõmbluse ristlõiget iseloomustav tingmärk kantakse laudi (2) peale (vt joonis 10) Nurkõmbluse kõrguse ,,a" mõõt või tekkiva kolmnurga kaateti pikkus ,,z" märgitakse tingmärgist vasakule (vt joonis 11). Tingmärgist paremale kantakse õmbluse pikkus, juhul kui õmblus ei ole detailiga ühepikkune. Viitjoone ja laudi lõikepunktis näidatakse mööda kinnist kontuuri keevitatud õmblused ringiga. 20. Erinevate teraste, -malmide, -titaani ja värviliste metallide keevitamine. Roostevaba terase keevitamine keevitatavus on eriti hea (N: kasutades käsikaarkeevitust) on madala
Vastus. 1) S(x) = -2x2 + 120x 2) 30m ja 60m g) Plekitahvlist tuleb välja lõigata täisnurkne kolmnurk, mille pindala ruut on maksimaalne. Leidke selle kolmnurga kaatetite 2 pikkused, kui hüpotenuus on 20cm. Vastus. mõlema kaateti pikkus on 10 cm *h) On vaja valmistada kaaneta kast, mille ruumala on V ja põhjaservade pikkused suhtuvad nagu 1: 2. Millised peavad olema kasti mõõtmed, et tema täispindala oleks vähim? 3 13 6V , 3 6V , 6V
2 4) S = pr ; abc 5) S = ; 4R a2 3 6) võrdkülgse kolmnurga pindala: S = . 4 Pythagorase teoreem: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, a 2 + b2 = c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 = fc , b 2 = gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega, h2 = f g . 5.2 Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. 41
tipunurk on . III Tähistame väiksema kera raadiuse tähega r , suurema kera raadiuse tähega R ja kauguse väikeste kerade puutepunktist kuni suurema kera pinnani tähega x. Vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille täisnurga tipp asetseb väikeste kerade puutepunktis ning ühe teravnurga tipp väikse kera keskpunktis ja teise teravnurga tipp suure kera keskpunktis. Selle kolmnurga ühe kaateti pikkus on r ja teise kaateti pikkus x + r, hüpotenuusi pikkus r + R. Pythagorase teoreemi põhjal ( x r ) 2 r 2 (r R) 2 . Kuna kerad asetsevad silindris liikumatult, siis R = 2r. Avaldame saadud võrranditest x. #( x R ) 2 r 2 (r R ) 2 " ( x 2r ) 2 r 2 (3r ) 2 ( x 2 r ) 2 8r 2 x 2r 2 2 r x 2( 2 1)r ! R 2r Avaldame kerade ruumalad ja silindri ruumala väikse kera raadiuse r kaudu. 4 3 Väikse kera ruumala: V1 r . 3
2 4) S pr ; abc 5) S ; 4R a2 3 6) võrdkülgse kolmnurga pindala: S . 4 Pythagorase teoreem: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, a 2 b2 c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 fc , b 2 gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega, h2 f g . 5.2 Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 ...
B-9 Anum on ääreni täidetud 88%-lise happega, anumast valati välja 2,5 liitrit hapet ja asemele valati 2,5 liitrit 60%-list hapet, mille tulemusena saadi anumatäis 80%-list hapet. Leia anuma ruumala liitrites. B-10 Leia korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala, kui tema apoteem on 10 ja külgservad moodustavad põhitahuga nurga 300. B-11 Täisnurkses kolmnurgas ABC on kaatetid AB ja AC ning nurgapoolitaja CD. Leia kaateti AC pikkus, kui kolmnurga BCD pindala on 24,375 ja < ADC tangens on 5. C-1 Lahenda võrrand 4 tan x + 3 tan x = sin 2 x C-2 Lahenda võrratus 23 - x 11 - x . C-3 Leia milliseid väärtusi võib omada reaalarvuliste võrrandi x 2 + 3ax + 3a 2 - 3a - 15 = 0 lahendite ruutude summa? C-4 Püstprisma ABCA1B1C1 põhitahk on võrdhaarne kolmnurk külgedega 1 ja 3 ja tipuga A. Prisma kõrgus 15 on
asukohta suunatud viitenoolest (1), laudist (2a), identifitseerimisjoonest (2b), õmbluse tähisest (3), sabaosas (4) vajadusel keevitusprotsessi numbertähisest ja kvaliteedinõuetest defektide järgi vastavalt standardile EVS EN ISO 5817:2000. Servade töötlusviisi olemust või nurkõmbluse ristlõiget iseloomustav tingmärk kantakse laudi (2) peale (vt joonis 10) Nurkõmbluse kõrguse ,,a" mõõt või tekkiva kolmnurga kaateti pikkus ,,z" märgitakse tingmärgist vasakule (vt joonis 11). Levinum on ,,a" mõõdu tähistamine laudil, kusjuures ,,a" ei tohi olla väiks > Joonis 11. "a" ja "z" mõõtude märkimine ja nende omavaheline suhe [2:23] Tingmärgist paremale kantakse õmbluse pikkus, juhul kui õmblus ei ole detailiga ühepikkune. Viitjoone ja laudi lõikepunktis näidatakse mööda kinnist kontuuri keevitatud õmblused ringiga. Vt. joonis 12 ja tabel 1 pos.1. > Joonis 12
Pöördenurk arvutatakse horisontaalnurga järgi valemeist: pöördel paremale ja pöördel vasakule . Raadius R määratakse projekteeritava rajatise tehnilistest normatiividest ja maastiku eripärast lähtudes. Tangens T on täisnurkse kolmnurga kaatet, mille pikkus on . Kõvera pikkuse K saame arvutada valemist , kus on poolringi pikkus ja kõverale vastav kesknurk ehk trassi pöördenurk. Bisektor ehk, avaldades kolmnurga hüpotenuusi ON kaateti R ja täisnurga /2 koosinuse kaudu: . 72. Trassi nivelleerimine. Tavaliselt nivelleeritakse trassi tehnilise nivelleerimise tingimustele vastavalt. Trass nivelleeritakse otse ja vastassuunas keskelt nivelliiriga. Kui trassi mõlemas otsas on reeperid siis piisab ka ühes suunas nivelleerimisest. Vaatekiire pikkus võib olla kuni 150m. Otsesuunas nivelleeritakse kõik trassi teljel ja võimaluse korral ka ristprofiilidel olevad punktid (piketid, +punktid, kõvera peapunktid, ristprofiilid)
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
