Harilike murdude liitmiseks ja lahutamiseks tuleb: 1) täisosad liita/lahutada omavahel 2) murdosad liita/lahutada omavahel, aga neile tuleb enne leida a) ühine nimetaja ehk arv, millega mõlemad nimetajad jaguvad b) igale murrule laiendaja, selle saad kui ühise nimetaja jagad murru esialgse nimetajaga c) nüüd korrutad laiendajat ja lugejat ning saad sellised murrud, kus nimetajad on ühesugused arvud d) nüüd saad liita/lahutada murdude lugejad, aga nimetaja ei muutu e) vajadusel taandad murru või teisendad liigmurru segaarvuks Harilike murdude korrutamiseks ja jagamiseks tuleb: NB! Täisarvud ja segaarvud teisendada kõigepealt liigmurdudeks 1) korrutamisel kirjutad
ülesandes parajasti vaja on 17 2 Teisenda liigmurd segaarvuks = 3 . 5 läheb 17-sse 3 korda, see on täisosa, üle jääb 2, 5 5 see on uus lugeja ja nimetaja jääb samaks 2 5 3 + 2 17 Teisenda segaarv liigmurruks 3 = = 5 5 5 Taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga ( 2-ga jaguvad paarisarvud; 3-ga jaguvad arvud, mille ristsumma jagub 3-ga; 5-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga; 10-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0-ga) 18 9 3 18 3 Näide: = = taandatud kõigepealt 2-ga ja seejärel 3-ga või = taandatud 6-ga 24 12 4 24 4 Laiendamine murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama arvuga. Kasutame murdude
Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks jagajat Algarvude tabel koostatatud selleks, sest suuremate arvude korral on raske otsustada, kas arv on alg või kordarv; Arvu tegurid ja kordsed Arvu tegur kõik arvud, millega antud
2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid Naturaalarv arvud 0, 1, 2, 3,... ; Algarv naturaalarv, millel on ainult kaks tegurit (arv 1 ja arv ise); Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks tegurit.; Tegur (ehk jagaja) täisarv, millega jagub vaadeldav täisarv; Ristsumma numbrite summa; Jaguvus - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega; Ühistegur (ehk ühisjagaja) täisarv, millega jaguvad kõik vaadeldavad täisarvud; Ühiskordne naturaalarv, mis jagub kõigi vaadeldavate naturaalarvudega; Suurim ühistegur (SÜT) - suurim arv, millega jagub iga antud arv; Väikseim ühistegur (VÜT) väikseim arv, millega jagub iga antud arv; 5 3. Algarvud ja kordarvud Vaatame, missuguste arvudega jaguvad naturaalarvud 1-st 10-ni. 1 jagub 1-ga; 2 jagub 1-ga ja 2-ga; 3 jagub 1-ga ja 3-ga; 4 jagub 1-ga, 2-ga ja 4-ga; 5 jagub 1-ga ja 5-ga;
umich.edu/wiki/images/c/c4/Table_Erf.pdf x F(x) 11 0,7257 -11 0,0548 P(A)= 0,6709 Ül.6 Olgu sündmus A - kolmega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel, B - kahega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel. Kas sündmuste A ja B korrutis on A. 3, 6, 9 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; B. 6 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; C. 2, 6, 8 või 12 silma saamine kahe täringu viskel. Lahendus 3 jaguvad: 3; 6; 9; 12 2 jaguvad: 2; 4; 6; 8; 10; 12 Ühised on: 6 ja 12 Vastus: B Ül.7 Kui tõenäone on, et uue passi number lõpeb 1-ga? Lahendus:Viimane nr võib olla 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 P(A)=1/10=0.1 Vastus: 0.1 Ül.8 Abonent on unustanud vajaliku telefoninumbri 2 viimast numbrit (need on teineteisest erinevad) ja valib need juhuslikult. Kui tõenäone on, et ta valib õiged numbrid? Lahendus:
Andmed asuvad täidetud lahtrite piirkonnas nimega arvud. Tulemused paigutada piirkonna nimega tulemus alla. Koostada VBA-programm (makro), mis väljastab igasse tulpa arvud, mis jaguvad selles tulbas antud väärtusega. Kahe arvu jagamise jäägi leidmiseks sobib VBA tehe MOD. All on toodud näide. Teie programm peab töötama suvaliste andmete ja piirkonna suurustega. 3 54 5 170 115 1 54 -4 -136 23 165 11 120
Andmed asuvad täidetud lahtrite piirkonnas nimega arvud. Tulemused paigutada piirkonna nimega tulemus alla. Koostada VBA-programm (makro), mis väljastab igasse tulpa arvud, mis jaguvad selles tulbas antud väärtusega. Kahe arvu jagamise jäägi leidmiseks sobib VBA tehe MOD. All on toodud näide. Teie programm peab töötama suvaliste andmete ja piirkonna suurustega. 2 54 5 170 115 1 54 -4 -136 23 165 11 121
IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: · (CA) järgmiselt: Nende ühendiks on hulk B: Sama tulemuseni on võimalik jõuda ka aritmeetiliste teisenduste teel: { { { {{ { { {{ { =
Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite
6 heksa, 7 hepta, 8 okta, 9 nona, 10 deka CO2 süsinikdioksiid N2O5 dilämmastikpentaoksiid VALEMITE KOOSTAMINE I Märgi: koostiselementide sümbolid kõrvuti Fe O III II sümbolite kohale nende o.a. väärtused Fe O kasuta nn. "risti reeglit" ja kirjuta indeksid III II Fe 2 O 3 VALEMITE KOOSTAMINE II kui o.a.d on võrdsed, siis indekseid ei kasutata II II Ca O kui mõlemad indeksid jaguvad kahega, saame valemiks VI II S2 O6 /:2 = S O3 TÄHTSAMAD OKSIIDID I H2O vesi divesinikoksiid CO2 süsihappegaas süsinikdioksiid CO vingugaas süsinikoksiid TÄHTSAMAD OKSIIDID II SiO2 ränidioksiid kvarts, mäekristall, ametüst, tulekivi, liiv Fe2O3 raud(III)oksiid rooste TÄHTSAMAD OKSIIDID III
SiO2 ränidioksiid NO2 lämmastikdioksiid SO2 vääveldioksiid H2O vesi Fe2O3 raud(III)oksiid CO2 süsinikdioksiid CO süsinikoksiid CaO kaltsiumoksiid Valemi koostamine Valemi koostamiseks kasutan alati elementide oksüdatsiooniastet. Tean alati o.a's A-rühma metallid I-III, Vesinik H +I, Hapnik O II O.a näitab rühmanumber 1) elemendi sümboli kohale panen kirja elementide laengud ühendis 2) Kui võimalik, siis taandan o.a jagades arvuga, millega mõlemad o.a'd jaguvad 3) Molekulvalemite alaindeksid saame kui võtame taandatud o.a risti, ilma märgita ja kirjutame väikese numbrina sümboli alla. Vt. vihikust näiteid NIMETAMINE Metalli oksiidid A-rühma metalli oksiidid I-IIIA metalli nimetus + oksiid Nt: Li2O liitiumoksiid Al2O3 alumiiniumoksiid B-rühma metalli oksiidid / IV-VA metalli nimi (metalli o.a rooma number sulgudesse) + oksiid. Nt: Ag2O hõbe(I)oksiid Mittemetalli oksiid Valemis olevad indeksid märgitakse ladinakeelsete eesliidetega
Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2.
kaugusel. 25.Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. 26.Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab rongjoone punkti keskpunktiga. 27.Diameetriks nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. 28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33.Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga 34.Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. 35.Võrrandi lahend on võrrandist leitud tundmatu väärtus. 36.Osamäär näitab, kui suur osa tervikust tuleb leida või kui suur osa arvust on antud. 37.Protsent on suht arv, mis näitab kui palju üks suurus moodustab teisest. 38
väärtuseks 0 mitmes (tekst, sümbol) 3) funktsioon, mis väljastab etteantud teksti sümbolid vastupidises järjestuses tagurpidi (tekst) 4) Suurim ühistegur (SÜT) Koostada töölehe funktsioon kahe arvu suurima ühistegugi leidmiseks. Vt. skeemi. Antud arvude suurimaks ühisteguriks nimetatakse suurimat arvu, millega kõik antud arvud jaguvad. Function SÜT (arv1 As Long, arv2 As Long) As Long a = arv1 b = arv2 Do c = a Mod b If c = 0 Then SÜT = b Exit Do End If a = b b = c Loop End Function 5) Kuudi seinte värvimine Koostada töölehefunktsioon kuutide seinte pindala arvutamiseks. Kuudi kuju on näidatud joonisel. Sisestada tabelisse valem, mis arvutab värvikulu, kasutades loodud funktsiooni. Tähised
Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga Kordsed-kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad Naturaalarv-arv, mis saadakse loendamise teel Täisarv-arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena; murdosata arv Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena Lõikuvad sirged-2 sirget, millel on ainult 1 ühine punkt Ristuvad sirged-2 lõikuvat sirget, mille vahel on täisnurk Paralleelsed sirged-sirged, mis ei oma ühiseid punkte ehk mis kunagi ei lõiku Nürinurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi
KOENSÜÜMID- orgaanilised molekulid, mis osalevad ensüümireaktsioonides, kus toimub substraadilt aatomite eraldamine või lisamine HÜPERVITAMINOOS- on mõne vitamiini liigtarvitamisest tulenev mürgistus. AVITAMINOOS- on konkreetse vitamiini puudusest tingitud haigus. 2. Vitamiinide jaotus, tähtsus organismis Vitamiinid jaguvad kaheks: rasvlahustuvad ja vesilahustuvad vitamiinid- oluline põhitoitainete ainevahetuses organismi energiaga varustamiseks, asendamatud närvisüsteemi normaalseks funktsioneerimiseks, vajalikud seedeelundkonna lihaste toonuse säilitamisel, tähtsad naha, juuste, silmade, suu ja maksa tervise tagamisel. 3. Iseloomustage tähtsamaid vitamiine (A, B- rühm, C, D, E, K, P) järgmiste
Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga Hariliku murru korrutamisel täisarvuga, tuleb arvestada, et iga täisarvu nimetaja on 1 ja täisarv tuleb pikal murrujoonel kirjutada lugejasse. Liigmurrukujuline vastus tuleb teisendada segaarvus. Hariliku murru korrutamine segaarvuga Hariliku murru korrutamisel segaarvuga tuleb segaarv muuta liigmurruks. Edasi toimi eelmiste näidete järgi. Segaarvu korrutamine täisarvuga Segaarvu korrutamisel täisarvuga võime
a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga Hariliku murru korrutamisel täisarvuga, tuleb arvestada, et iga täisarvu nimetaja on 1 ja täisarv tuleb pikal murrujoonel kirjutada lugejasse. Liigmurrukujuline vastus tuleb teisendada segaarvus. Hariliku murru korrutamine segaarvuga Hariliku murru korrutamisel segaarvuga tuleb segaarv muuta liigmurruks. Edasi toimi eelmiste näidete järgi. Segaarvu korrutamine täisarvuga
märts või 25. märts, nagu algselt, vaid alati 21. märts. Ent 16. sajandiks oli kevadine pööripäev palju rohkem nihkunud. Peale selle oli arvutuslik Kuu, mille järgi ülestõusmispüha arvutati, fikseeritud seoses Juliuse kalendri aastatega 19-aastase metoonilise tsükli kaudu. See lähendus andis aga veaks 1 ööpäev 310aasta kohta. Seega ei vastanud kuukalender 16. sajandiks ka tegeliku Kuuga. Gregoriuse kalender määras aasta pikkuse korrigeerimiseks kindlaks, et 100-ga jaguvad aastad on liigaastad ainult juhul, kui nad jaguvad ka 400-ga. Seega olid eelmisel aastatuhandel aastad 1600 ja 2000 liigaastad, ent aastad 1700, 1800 ja 1900 ei olnud liigaastad. Aastal 1582 võeti Gregoriuse kalender kasutusele katoliikliku Rzeczpospolita koosseisu kuuluval Poola-Liivimaal, kuhu kuulus ka Lõuna-Eesti mandriosa. See tekitas suuri vastuolusid, sest protestantlikud liivimaalased, eriti linlased, pidasid uut kalendrit vaid ilmalikuks asjaks ja
3) 9.Hulkliikme jagamine üksliikmega - jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse selgitus: 1) 2) 3) 10.Hulkliikme tegurdamine - hulkliikme 1) teisendamine korrutiseks: 2) 1)leiame hulkliikme kõigi liikmete ühise teguri, millega kõik liikmed jaguvad 3) 2)leitud teguri toome sulgude ette, s.t. toome ta sulgudest välja 3)sulgudesse kirjutame hulkliikme, mis saadakse antud hulkliikme jagamisel selle ühisteguriga 11.Kaksliikmete korrutamine - ühe (x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega, tulemused liita, võimalusel koondada 12.Rühmitamisvõte - avaldada hulkliige korrutisena 1)rühmitada antud hulkliige cx+cy-d(x+y)=c(x+y)-d(x+y)=(x+y)(c-d)
Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algteguriteks lahutamiseks. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise jagajana. ÜLESANNE: Lahutame algteguriteks arvud 30 ja 75 ning leiame nende arvude suurima ühisteguri: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1
eritamine ja sigimine. Rakumembraan on poolläbipaistev membraan raku pinnal. Ta on enamasti õhuke ning vormi muutev (näiteks amööbid puhul), mõnikord on ta kahekordne või kolmekordne. Ainuraksetel on üks või mitu rakutuuma, mis on võrdväärsed või erineva funktsiooniga. Paljunemine Algloomad paljunevad mittesuguliselt pooldumise, mitmeks jagunemise või pungumise teel, paljud ka suguliselt. Ainuraksetel võivad vahelduda erineval viisil paljunevad põlvkonnad. Pooldumised jaguvad ristipooldumine ja pikkipooldumine. Paljud ainuraksed võivad ebasoodsad elutingimused üle elada tsüklitena. VETIKAD Vetikad on suur ja heterogeenne fotosünteesivõimelised organismide rühm. Vetikad hõljuvad vees, kasvavad veekogu põhjas või kinnituvad kaljudele, kividele, veeloomadele jne. Vees hõljuvad pisivetikad moodustavad taimse hõljumi ehk planktoni. Vetikaid leidub ka mullas, puutüvedel, kaljudel, polaaralade jääväljadel, jääkaru karvades.
45 15.32 2.VÄRVI TERMOMEETRID VASTAVALT KRAADIDELE. + 5 KRAADI - 6 KRAADI - 20 KRAADI + 50 KRAADI 2.KLASS KORRUTAMINE KORRUTAMINE ON VÕRDSETE LIIDETAVATE LIITMINE.KORRUTAMISE TÄHIS ON X. 5+5= 5 X 2 3+3+3=3 X 3 1.ARVUTA 3 X 3= 6 X 4= 2 X 5= 5X5= 4X5= 3 X 7= 8 X 8= 7 X 3= 5 X 9= 3 X 5= 5 X 3= 3X5 2. TÕMBA JOON LÄBI VAID NENDEST LAHTRITEST,MILLES OLEVAD ARVUD JAGUVAD 5-ga. 4 20 5 87 25 6 987 7777 1212 32 46 76 15 32 45 4352 5541 3212 2 7 6 2 3 10 776 435 4321 1 8 9 65 30 2 8865 9080 7658 43 3 4 15 35 54 8765 6573 9785 76 44 3 40 56 322 980 7899 5475 11 2 20 1 34 111 435 5432 9 12 9 6 50 144 987 87 9987 43 3.(raskem ülesanne) 1 oksal istus 5 leevikest,teisel 10,kolmandal aga mõlemast kokku 3 korda vähem
äratundmisel nagu loomadel (vt austria etnoloogi Konrad Lorenzi näiteid õpiku alapeatükis ,,Mis on teadmine?")? Selgitage! Jah, selliseid probleeme võib juhtuda küll. Inimesed ei tunne teisi inimesi ära, kui neil on näiteks mingi haigus. 2.Kas te usute, et nähtavate taevatähtede arv jagub viiega? Juhul kui te seda ei usu, kas usute siis, et nende arv ei jagu viiega. Põhjendage oma vastust. Ma ei usu, et taevatähed jaguvad viiega, ma ei usu ka, et need ei jagu viiega. Seda ei saa ka ise nii kontrollida, sest tähti on nii palju, et neid on pea võimatu ära lugeda. 3.Kas võib juhtuda, et miski on olemas, ilma et keegi teaks, et see miski on olemas? Selgitage! Jah, see võib olla küll nii, sest võib-olla on keegi kuskil vanasti midagi teinud, aga seda pole leitud, või on kuskil mõni looma, või taimeliik, mida pole ka leitud, seega keegi ei teagi, et see on olemas. 4
Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kahanevad JADAD Näited Tõkestatud jada hääbuv jada 1,½,,¼,..., konstantne jada 3,3,3,...,3,... Tõkestamata jada 6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6 tõkestamatult kasvav 3,0 -3,-6,-9,... tõkestamatult kahanev Jadad ehk progressioonid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada mõiste: jada, milles iga mõiste: jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme ja temale eelneva liikme vahe on jääv suurus. liikme jagatis on jääv seda jäävat suurust suurus.
7) Arv jagub 8-ga ta lõpeb kolme 0-ga või tema kolmest viimasest numbrist moodustuv arv jagub 8-ga. 8) Arv jagub 9-ga tema ristsumma jagub 9-ga. 9) Arv jagub 10-ga ta lõpeb numbriga 0. 10) Arv jagub 25-ga ta kaks viimast numbrit on 0-d või moodustuvad arvu 25, 50 või 75. 9. Suurim ühistegur. 1) Antud arvude ühisteguriks nimetatakse sellist arvu, millega kõik antud arvud jaguvad. 2) Antud arvude suurimaks ühisteguriks(SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jagub iga antud arv. 3) Arvud tuleb lahutada algteguriteks ja leida nende kõikide ühiste algtegurite korrutis. SÜT(126; 630; 540) = 2 3 3 = 18 126 2 630 2 540 2 63 3 315 3 270 2 21 3 105 3 135 3 7 7 35 5 45 3
6. Julianuse ja gregooriuse kalender Rooma valitseja Julius Caesar kehtestas Juliuse kalendri 45 eKr. Jeesus Kristuse sünd võeti ajaarvamise aluseks (aastaks 1) tagantjärele aastal 525 pKr. Juliuse kalendri igas neljandas aastas (liigaastas) on 366 päeva. Kalender pole kooskõlas astronoomilise aastaga. 16. sajandiks oli ülestõusmispüha kevadise pööripäeva suhtes paigast nihkunud. 1582. a korrigeeris paavst Gregorius XIII Juliuse kalendrit. Tekkinud Gregoriuse kalendris on 100ga jaguvad aastad liigaastad vaid juhul, kui nad jaguvad ka 400ga. Kalendri kehtestamisel jäeti juba tekkinud vea korrigeerimiseks 10 kuupäeva vahele. Katoliiklikes maades kehtestati Gregoriuse kalender oktoobris 1582 4. kuupäevale järgnes 15. Protestantlikud ja õigeusklikud reformisid oma kalendri hiljem. Eestisse puutuvalt läks Poola uuele kalendrile üle 1582 ja Rootsi 1753. Venemaal tehti kalendrireform lõpuks 1918.a alguses, kui kõikjal riigis, sh Eestis, järgnes 1.veebruarile 14.veebruar
39.Rööpsirgete joonestamise võtted - Ül.696 võte paralleelsete sirgete joonestamiseks; Esimesel joonisel kasutatakse joonestamiseks kasutatakse rööpjoonlauda ja viimasel joonisel rööpjoonlauda, joonlauda ja nurklauda nurgikut. ning nurgikut 40.Arvude omaduse tõestamine - Ül.620 paarisarvud: lõpevad numbritega Tõesta, et kahe paarisarvu summa on 0,2,4,6,8; jaguvad alati 2-ga; summa on paarisarv. alati paarisarv; ruut jagub alati arvuga 4; Eeldus. Kaks paarisarvu kahe järjestikuse korrutis jagub alati 8-ga; Väide. Kahe paarisarvu summa on korrutis paaritu arvuga on alati paarisarv paarisarv. Tõestus. 1)tähistada antud paarisarvud: 2n ja 2k, kus n ja k on naturaalarvud
Cl2 on nii oksüdeerijaks kui ka redutseerijaks, keskkonnaks on KOH. 5Cl2(oks) + 1Cl2(red) + KOH(kk) 2KClO3 + 10KCl + H2O 20 (-) 2(-I) Cl2 + 2e 2Cl 2 5 20 (-) 2V 10 Cl2 - 10e 2Cl 10 1 Kui vasakul on oksüdeerijana 5Cl2 ja redutseerijana 1Cl2, siis paremal on redutseerijana 10KCl ning 2KClO3, sest aatomite arv peab jääma samaks. 6Cl2 + 12KOH 2KClO3 + 10KCl + 6H2O Et kõik koefitsiendid jaguvad kahega, siis saame Vastus: 3Cl2 + 6KOH KClO3 + 5KCl + 3H2O Ülesanne: Tasakaalustada reaktsioonivõrrand K2Cr2O7 + HCl KCl + CrCl3 + Cl2 + H2O Kloriidioonid saadustena nõuavad keskkonnana HCl-i 1K2Cr2O7(oks) + 6HCl(red) + HCl(kk) 2KCl + 2CrCl3 + 3Cl2 + H2O 2VI (-) 2III Cr2 + 6e 2Cr 6 1 1(-I) (-) 10 6 Cl - 1e Cl 1 6 K2Cr2O7 koefitsient 1 võimaldab kirjutada koefitsiendi 2 KCl ette. Saadustes on
2 3 5 2 3 3 3 3 12 0,3 0,3 15 Too vähemalt üks näide selle kohta, et teatavatel tingimustel need valemid a) 4 5 6 b) 4 6 6 c) 4 6 7 d) 3 5 7 kehtivad. 0 1 0 2 4 4 2 4 6 7 2 3 489. Arvud 204, 527 ja 255 jaguvad 17-ga. Ilma determinanti arvutamata näita, et Missuguseid determinandi omadusi võib kasutada juhtudel b ja c, et arvutamine determinandi A väärtus jagub 17-ga. oleks võimalikult lihtne? 2 0 4 483. Leia järgmiste determinantide väärtused
ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n jagatis ena m 2= , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 = m 2 S eega m 2 on paaris arv j a eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 = 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 = 2* k 2 ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s aime et n ja m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at. J äreldus on et 2 on irrats ionaalarv. Kon trap os itiivn e tões tus . Tea me et p-> q on s amaväärne ~p->~q. S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 = 4 * k 2 = 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4
ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n j agatis ena m 2 , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 m 2 S eega m 2 on paaris arv ja eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 2* k 2ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s ai me et n j a m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at. J äreldus on et 2 on irrats ionaalarv. Kon trap os itiivn e tões tus . Teame et p-> q on s amaväärn e ~p-> ~q. S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 4 * k 2 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4
7. Leia arv, mis on x -st 30% suurem: x + 0,3 x =1,3 x 8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x - 0,4 x = 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x +1 , III arv on x + 2 Vastus: arvud on x; x +1 ; x + 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x +2; x +4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x + 7 ; x +14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x + x 2 = 30 Lahendus: x 2 + x - 30 = 0 2 x =-p± p - q (1)
| | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv. 2. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul
7. Leia arv, mis on x -st 30% suurem: x 0,3 x 1,3 x 8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1)
DEF: Carmichaeli arv on paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat’ teoreemi väidet iga aluse korral, mis on
selle kordarvuga ühistegurita (st on pseudoalgarv kõigil neil alustel).
nt 561 = 3x11x17 ehk ta on kordarv.
Fermat’ test: võtad suva a
7. Leia arv, mis on x -st 30% suurem: x 0,3 x 1,3 x 8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1)
on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. 69 / 115 Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba leitud algarvudega, siis jäävadki alles ainult algarvud. Üksikasjad leiate alljärgnevast Basic- programmist. ' P r o g r a m m i a l g u s DIM arv(2 TO 999) AS INTEGER ' vaadeldav arvuhulk FOR i = 2 TO 999 ' algväärtustame massiivi arv(i) = 1 ' 1=arv on olemas, 0=arv on eemaldatud NEXT jagaja = 2 ' sõel alustab tööd DO WHILE jagaja < SQR(1000) ' SQR(1000) on suurim vajalik jagaja
kestusega. Hüppekaja võib leida avaldisest g[k]< z >H(z)*z/(z-1) , mis annab tulemuseks Ka siit nähtub, neljataktilise kestusega siirdeprotsess, mille lõppedes jääb püsima konstantne olek ühikulise diskreediga. Osutub, et lõpliku protsessi tekke aluseks on see, et ülekandefunktsiooni lugeja ja nimetaja peavad jaguma jäägita või konstantse jaagiga. Niisugune olukord tekib alati siis, kui ülekandefunktsioon sisaldab ainult nullpoolusi. Need jaguvad jäägita mistahes lugeja polünoomiga. 11 Tehisnärvivõrgud- on väga lihtsustatud bioloogilise närvivõrgu mudel. Tema tööalgoritmid on ka tulnud bioloogiliste närvivõrkude tööprintsiibist. 1.3 Tehisnärvivõrgud ja nende arhitektuurid- Tehisnärvivõrk- on bioloogiliste närvivõrkude mudelite kogum. Natuke keerulisem vaid täpsem definitsioon: Närvivõrk on andmetöötlus süsteem, mis koosneb suurest arvust lihtsatest ja omavahel tugevalt seotud, tehisneuronitest
*Kui BCH kood on kooostatud kuni q kordsete vigade parandamiseks, siis peab algebraliste dekodeerimisalgoritmide võimalikkuses olema tagatud q sellise võrrandi koostamise võimalus, et võrrandisüsteemi lahendamisega oleks kindlustatud q tundmatu väärtuste määramine. Need väärtused on vigaste sümbolte asukohtade numbrid. Loetleme BCH koodi kõikide lubatud koodsõnade omadused, mis kindlustavad BCH koodide dekodeerimise: 1. Kõik lubatud koodsõnad jaguvad jäägita tekitava hulkliikmega gr(z). 2. Kõik tekitava hulkliikme gr(z) juured on ka kõikide lubatud koodsõnade juurteks 3. BCH koodi dekodeerimisel on võimalik moodustada sündroom (e. kontrollarv), mis koosneb I komponendist 4. BCH koodi dekodeerimisega on võimalik parandada ja avastada kõiki I ja vähemakordseid vigu, mis rikuvad lubatud koodsõnade omadusi 1. ja 2. BCH koodide dekodeerimise peamisi tehteid on kaks: 1. Sündroomi (e
olles seega selgelt Iõpliku kestusega. Hüppekaja võib leida avaldisest g[k]< z >H(z)*z/(z-1) , mis annab tulemuseksKa siit nähtub, neljataktilise kestusega siirdeprotsess, mille lõppedes jääb püsima konstantne olek ühikulise diskreediga. Osutub, et lõpliku protsessi tekke aluseks on see, et ülekandefunktsiooni lugeja ja nimetaja peavad jaguma jäägita või konstantse jaagiga. Niisugune olukord tekib alati siis, kui ülekandefunktsioon sisaldab ainul nullpoolusi. Need jaguvad jäägita mistahes lugeja polünoomiga. 10. Tagasisidestatud süsteemid- Tagasiside tähendab seda, et süsteemi väljundsignaal suunatakse tagasi süsteemi üheks sisendiks. Tagasisidestatud süsteem võimaldab anda algsele süsteemile teistsugused omaväärtused. See on hea, sest omaväärtused määravad süsteemi käitumise ja omadused. Seega kui meid ei rahulda süsteemi algne käitumine siis saame
millist mõju need võivad avaldada firma tegevusele? b) Samuti religiooni, hariduse ja keeleliste teguritega seonduvad probleemid Kus on turunduses kõige tähtsam arvestada kultuuriliste ja keeleliste eripäradega? Brändid Pakendid Reklaam Turu-uuringud Läbirääkimised 6.Toode turunduses Toode on kõik see, mida saab osta ja müüa. Tegemist on tarbija vajadusi rahuldava esemega. Tooted jaguvad tarbekaupadeks ja tööstustoodeteks. Tooteid on võimalik jagada ostuharjumuste järgi esmatarbetoodeteks, valiktoodeteks, eritoodeteks ja võõrtoodeteks. Tuumtoode - põhiline hüve, mida tarbija ostab; Konkreetne toode - bränditunnused, omadused, kvaliteet, stiil, pakend; Laiendatud toode - teenused, sh paigaldamine, järelhooldus, garantii, krediit jm. Toote tarbimisväärtust hinnatakse ostujärgselt. Tarbetooted: 1
Alles jäävad vaid algarvud. [24].Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. Iga naturaalarvu n saab esitada kujul n = , ehk sisuliselt teatud (astmesse tõstetud) algarvude korrutisena. Arv n jagub kõigi nende algarvudega p. Iga naturaalarv n on esitatav täpselt ühe unikaalse kanoonilise kuju avaldisena. Nt. 35 = 5*7 ==> Kanoonilise kuju näide. *Suurim ühistegur(SÜT)- Naturaalarvude a ja b ühisteguriks nimetatakse igat naturaalarvu, millega jaguvad nii arv a kui ka arv b. Selliste ühistegurite hulgast suurim ongi suurim ühistegur, inglise keelses kirjanduses gcd e. Greatest Common Divisor. *Suurima ühisteguri leidmist on mugav sisse programmeerida algoritmilise Eukleidese meetodi baasil. Eukleidese algoritm võimaldab hästi lahendada ka lineaarseid diofantilisi võrrandeid ning kongruentse. *Kahte arvu nimetatakse üksteise suhtes ,,relatiivselt algarvuliseks", kui nende
Iõpliku kestusega. Hüppekaja võib leida avaldisest g(k)< z >H(z)*z/(z-1). Tulemusest on näha siit neljataktilise kestusega siirdeprotsess, mille lõppedes jääb püsima konstantne olek ühikulise diskreediga. Osutub, et lõpliku protsessi tekke aluseks on see, et ülekandefunktsiooni lugeja ja nimetaja peavad jaguma jäägita või konstantse jaagiga. Niisugune olukord tekib alati siis, kui ülekandefunktsioon sisaldab ainult nullpoolusi. Need jaguvad jäägita mistahes lugeja polünoomiga. Tagasisidestatud süsteemid. Juhtimisülesanne. Jälgimisülesanne. Lihtsate juhtimis- ja jälgimissüsteemide süntees ning tagasisidestatud süsteemide analüüs. Tagasisidestatud süsteemid: Peab olema antud diskreetaja olekumudel standartsel kujul: x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) ja y(k) = Cx(k), x(0). Erinavad vaid F, G ja C maatriksid ning peab olema teada ka algolek x(0). Tagasisidestatud süsteemi süntees koosneb: antud süsteemi analüüsist,
XIII poolt 1582. aastal kehtestatud täpsustatud ajaarvamissüsteem, mis on praegugi kasutusel Eestis ja enamikes teistes riikides. Ka Gregoriuse kalendris on 365-päevane aasta, mis jaguneb 12 kuuks ja liigpäev, mis lisatakse iga 4 aasta järel. Aasta on liigaasta, kui aastaarv jagub 4-ga, sajandivahetusel (xx00 lõppevad aastad) juhul, kui aasta jagub 400-ga täpselt, kui mitte on tegu tavapärase 365-päevase aastaga. Seega Gregoriuse kalendris on vaid need liigaastad, mis jaguvad 400-ga – nii et aasta 2000 oli liigaasta, aga aasta 2100, 2200 ja 2300 28 pole, 2400 on kuid 2500, 2600 ja 2800 pole jne. Vanas Egiptuses jagati algselt ööpäev – kahe päikesetõusu vaheline aeg esialgu kaheks osaks – päevaks ja ööks. Tänastes mõõtühikutes kumbki 12 tundi pikad. Seejärel, umbes 2000. a e.Kr, jaotati nii päev kui öö tosinaks (12) võrdseks osaks – tekkis 24-tunnine ööpäev
Defineerida jada tõkestatuse ja koonduvuse mõiste: Jada (xn) on tõkestatud parajasti siis, kui ∃m,M ∈ IR : m ≤ xn ≤ M iga n ∈ IN korral, selle tingimuse võime esitada kujul ∃K > 0 : |xn| ≤ K iga n ∈ IN korral Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata jadadest. Tõkestatud: konstantne jada (3, 3, 3, …), hääbuv jada (1, ½, ⅓, ¼, … ) Tõkestamata: tõkestamatult kasvav (6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6), tõkestamatult kahanev (3, 0, -3, -6, -9, …) Tõestada, et iga koonduv jada on tõkestatud (lause 2.1). Lause (koonduva jada tõkestatus) (xn) koonduv => (xn) tõkestatud Tõestus: Olgu (xn) koonduv s.t. leidub a € R lim xn=a Vaja näidata, et (xn) on tõkestatud, s.t. leidub m,M : iga n m ≤ x n ≤ M Kuna lim xn=a, siis rakendades (*) e = 5 korral Leidub N : iga n (n ≥ N |xn - a|< 5) Valime m = min {x1,x2,…,xN-1,a-5} M = max {x1,x2,…,xN-1,a+5}
Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba leitud algarvudega, siis jäävadki alles ainult algarvud. Üksikasjad leiate alljärgnevast Basic- programmist. ' P r o g r a m m i a l g u s DIM arv(2 TO 999) AS INTEGER ' vaadeldav arvuhulk FOR i = 2 TO 999 ' algväärtustame massiivi arv(i) = 1 ' 1=arv on olemas, 0=arv on eemaldatud NEXT jagaja = 2 ' sõel alustab tööd
51), Mikk ( 7.00), Rikk ( 7.01) 20. Mitu ristkülikut on joonisel? Vastus: 25 21. Mitu kolmnurka on joonisel? Vastus: 13 22. Tee ääres kasvab reas 3 puud. Esimese ja teise rea vahe on 9 m ning teise ja kolmanda vahe on 21 m. Samasse ritta kavatsetakse juurde istutada puid nii, et kõrvuti olevate puude vahed oleksid võrdsed. Leia vähim arv puid, mis tuleb juurde istutada. Vastus: 8 puud ( Võrdsed vahed saame, kui arvud 9 ja 21 mõlemad jaguvad selle arvuga. Saame, et puudevaheline kaugus peab olema 3 m. Sel juhul tuleb juurde istutada 8 puud) 23. Jaak kirjutas ühe numbri ning sellest paremale veelkord sama numbri. Saadud kahekohalisele arvule liitis ta 19 ja sai tulemuseks 74. Millise numbri kirjutas Jaak alguses? Vastus: 5 ( 74 19 = 55) 24. Laual on reas 4 kujundit: kolmnurk, viisnurk, ring ja ruut. Nende kujundite värvid on roheline, kollane, sinine ja punane
> Ühe tsükli läbimist nimetatakse iteratsiooniks. Näiteks järgmise programmi puhul arvuti käivitab tsükli koodi kolm korda (while tsükkel teeb kolm iteratsiooni): Näide itertsioon nr. '.$a; } ?> Juhul, kui mingil hetkel me soovime kohe jätkata järgmise iteratsiooniga - continue käsk on meile abiks. Näiteks meil on vaja väljastada kõik arvud vahemikus 0...100, mis jaguvad kolmega: Näide Visuaalselt võib neid käske kujundada nii: Do-while - järelkontrolliga tsükkel Tsükli täitmine algab sisu koodi täitmisest, misjärel kontrollitakse tingimuse kehtivust. Nagu eelkontrolliga tsükli puhulgi, kui tingimus
küllap ka uut ja põnevat matemaatilist raamistikku. 28 Ka matemaatikas endas on veel palju lahendamata küsimusi ja mõistatusi. Paljusid miks õppida matemaatikat? neist on keeruline sõnastada, aga nii mõnedki näivad esmapilgul väga lihtsad. Näi- teks ei tea me isegi, kui palju leidub algarve (arvud, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega), mille vahe on kaks. Arvupaarid 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31 sobiksid ja usutakse, et sellised paarid ei saa kunagi otsa, ent tõestada seda 2013. aastaks keegi veel ei oska. Või siis ei oska me öelda, kas meie praegune kirjeldus vedelike liikumisest – niinimetatud Navier Stokes’i võrrand, on üldsegi matemaatiliselt sobilik. Me ei tea, kas võrrandile leidub alati sobilik lahend.
annaabi.ee 
