T konjunktsioon : & konstant 1 : 1 01 1 . . . . ja kus sulud on lahtikorrutatud (ehk sulge enam pole) 11 1 1 1 1 Reed-Mulleri polünoom on seega (sulgudeta) loogikaavaldis süsteemis a {& 1} 10 1 1 ik polünoomis ei sisaldu tehteid disjunktsioon ja inversioon n
F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend. Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii: Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks reaalne ja kaks kompleksset 2
asub koordinaatteljestiku Oxy II ja III veerandis. 23. Koostada kahe tükiti defineeritud funksiooni graafik! OSA 3 1. Mis on elementaarfunktsioon? Tooge 2 näidet Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad, aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on
δ ( f MDNK ) =f MDNK ( x 1 , x 2 , x 3 , 0 ) ⨁ f MDNK ( x 1 , x 2 , x 3 ,1 )=¿ δ ( x4 ) ¿ ( x 1 ∧ x´2 ∨ 0 ) ⨁ ( x 1 ∧ x´2 ∨1 )=( x1 x´ 2) ⨁ (1) Lihtsustus DNK-ks: ( x 1 x´2 ) ⨁ (1 ) =( x 1´x´2 )= x´1 ∨ x´2 = x´1 ∨ x 2 8 ÜLESANNE 11 REED-MULLERI POLÜNOOM Leida ja esitada ülesandes 3 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. Saime f MDNK =x 1 x´2 ∨ x 4 . Reed-Mulleri polünoom on loogikaavaldis süsteemis {∧ 1}. Leiame MDNK-le Reed-Mulleri polünoomi, teades, et a ∨b=ab ab ja c´ =c 1 : x 1 x´2 ∨ x 4 =¿ ¿ x1 ´x 2 x 4 ⨁ x 1 ´x 2 ⨁ x 4 =¿ ¿ x1 ( x 2 ⨁ 1) x 4 ⨁ x 1 (x 2 ⨁1) ⨁ x 4 =¿ ¿ x1 x 2 x 4 ⨁ x 1 x 4 ⨁ x1 x 2 ⨁ x 1 ⨁ x 4 9
v & f (1, 0, x3, x4) v & f (1, 1, x3, x4) = = () v ( v ) v () v () = = ( v v) v ( v v ) v () v () 8. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud 2he muutuja järgi. MDNK: f(, , , ) = v v v Shannoni konjuktiivne arendus ja järgi: f(, , , ) = ( v v f (1, 1, x3, x4))( v v f (1, 0, x3, x4)) & & ( v v f (0, 1, x3, x4))( v v f (0, 0, x3, x4)) = = ( v v ())( v v ())( v v ( v ))( v v ()) 9. Leida ja esitada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. MDNK: f(, , , ) = v v v Reed-Mulleri polünoomi saab Karnaugh' kaardilt mittekattuvate kontuuridega kaetud 1-de piirkondade välja kirjutamisel ja saadud DNKs kõik disjunktsioonid -ga asendades (ning silmas pidades seda, et = x ). x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 1 1 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0
№1 x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) Diskreetaja süsteemi olekumudel: y (k ) = Cx(k ), x(0) − 1 2 1 1 Φ= , Γ = , C = [3 − 5] , x(0) = 1 1 0 3 Tagasiside: u (k ) = − Kx(k ) Tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom: ϕ ( z) = z 2 Ülesanne: Sünteesida tagasisidestatud süsteem ja analüüsida tulemust. 1. Määrata antud süsteemi stabiilsus ja juhitavus 2. Arvutada tagasisidemaatriks K 3. Leida x1 (0) , x 2 (0) , x1 (1) , x 2 (1) , x1 (2) , x 2 (2) , x1 (∞) , x 2 (∞) №2 Lineaarse diskreetaja süsteemi stabiilsuse määramine? Süsteemi jälgitavus. Lineaarse süsteemi jälgitavuse määramine. Kas (kui jah, siis kuidas) süsteemi juhitavuse, jälgitavuse ja
2-st järku dif. -0,119048 Suhe -0,0625 0,166667 -0,133333 -0,166667 0,108333 -0,033333 3-dat järku dif. 0,005141 Suhe 0,022917 -0,033333 -0,004167 0,025 -0,010119 0,004444 4-dat järku dif. 0,001367 Suhe -0,004327 0,002431 0,002244 -0,002066 0,000633 0,00012 F(x) 113,5973 interpolatsiooni polünoom F(x) 37,88132 vähim ruutude meetod 8 9 10 a=4 25 31 40 b=10 40 45 60 c=6 xpolü 22,006 24,96 30,96 39,96 41 46 61 70 0,833333 1,666667 1,526527 60 0,055556 0,004526 0,002044 50 40
8. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud 2he muutuja järgi. f (x1, x2, x3, x4) = Shannoni konjuktiivne arendus x3 x4 järgi: f (x1, x2, x3, x4) = ( f (x1, x2, 0, 0)) & & ( f (x1, x2, 0, 1)) ( f (x1, x2, 1, 0)) & & ( f (x1, x2, 1, 1)) = = ( ( )) ( ()) & & ( ()) ( ()) 9. Leida ja esitada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. f (x1, x2, x3, x4) = Reed-Mulleri polünoomi saab Karnaugh' kaardilt mittekattuvate kontuuridega kaetud 1-de piirkondade välja kirjutamisel ja saadud DNKs kõik disjunktsioonid -ga asendades (ning silmas pidades seda, et = x ). x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 1 0 1 0
17 0.13 0.10 0.08 125 0.00 75 85 95 105 115 Töötasu vahemike keskkohad e)Ettevõtte kumulatiivne polünoom 120% Ettevõtte kumulatiivne polünoom 100% 100% 86% 80% 74% 60% 0.14
· A1 = A A0 = E · Au + Am = Au+m · (A-1)T = (AT)-1 · (Ap)T = (AT)p · (Ap)-1 = (A-1)p · (A B)-1 = B-1 A-1 · p = T = · (Au)m = Aum · (a A)T = a AT · E1 = E-1 = ET = Eu = E · (A +/- B)T = AT +/- BT · (A B)T = BT = AT 15. Nullmaatriksist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks nimetatakse teguriteks. AB A B = B A= Maatriksi polünoom ja selle nullkoht. N inda astme Pn(x) nimetatakse avaldist Pn(x) = 0 + 1x + 2x2 + 3x3 + ...+ nxn Reaalarvu x0, mille korral on rahuldatud tingimus Pn(X) = 0 nimetatakse polünoomi nullkohaks. N inda astme maatriks polünoom Pn(A) = 0 E + 1 A+ 2 A2 + 3 A3 + ...+ n An Ruutmaatriksi A0, mille korral on täidetud tingimus Pn(A0) = Lineaarsed võrrandi süsteemid Def : (m×n) järku lineaarseks võrrandi süsteemiks nimetatakse m- võrrandist ja n-
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ TALLINN 2008 1. f( x1, x2, x3, x4 ) = (0, 2, 3, 4, 9, 12, 14)1(8, 11, 13)- 2. MKNK (Karnaugh) x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 - 1 -0 0 MKNK: ()()() MDNK (McCluskey) Ind Nr. M Ind Nr-d. Vahe M Ind. Nr-d. V M . . 0 0 (0000) X 0-1 0-2 (00-0) 2 A 0-1-1- 0-4-8-12 (-- 4,8 A 1 2 00) 2 1 2 (0010) X 0-4 (0-00) 4 X 4 (0100) X 0-8 (-000) 8 X 8 (1000) X 1-2 2-3 (001-) 1 A 3 2 3 (0011) X ...
Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv funktsioon. Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. dG( (x))= g( = f( . Integreerides asendusega t = saamegi jällegi 5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem. Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..
Pierce´i baas on VÕI-EI baas, disjunktsiooni inversioon. Kuidas saab suvalise loogikaavaldise teisendada JA-EI baasi ning VÕI-EI baasi. Rakendades kas KNK-le või DNK-le vastavalt topeltinversiooni ja rakendades järgnevalt DeMorgani seadust. Millistest tehetest koosnevad implikatiivsed baasid? Implikatsioonist ning kas konstandist 0 või inversioon. Millistest tehetest koosneb Reed-Mulleri baas? Moodul summast 2,konjuktsioon ning konstant 1. Mis on Reed-Mulleri polünoom? Tegemsit on polünoomiga, kus kojunktsiooni operandideks on kõikjal ainult otseväärtuses algtermid xi ja tehte + operandideks on elementaarkonjuktsioonid ja konstant 1, mis võib ka puududa. Ei sisaldu sulge. Mille abil toimub avaldise teisendus muudesse baasidesse? Toimub kasutades üleminekuseoseid. Baasis puuduvad tehted tuleb asendada selle baasi üleminekuseoste abil baasis olemasolevate tehete kaudu. Mille asendamiseks kasutatakse üleminekuseoseid konkreetsesse baasi?
f =x 1 ´x 3 x 4 ⊕ ´x 1 x 4 ⊕ x 1 ´x 4 = x ⊕ x4 ⊕ x 1 ¿ 1) 4 ¿ 1) x4 ⊕ 1) = x1 ¿ x 1 x 2 x 3 x 4 MDNK Polünoom 0 0 0 0 0 0 0 = x1 x3 x4 ⊕ x1 x4 ⊕ x1 x4 ⊕ x4 ⊕ x1 x 4 ⊕ x1 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 0 = x1 x3 x4 ⊕ x1 x4 ⊕ x4 ⊕ x1 3 0 0 1 1 1 1 4 0 1 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 1 6 0 1 1 0 0 0
c. sellel on tehisnägemine d. see töötab elektriga e. see on programmeeritav 5 Millises reziimis toimub tavalise triikrauatemperatuuri juhtimine? : a. pidevalt b. impulssidega c. diskreetselt d. digitaalselt 6 Kus on kõige rohkem roboteid? : a. Jaapanis b. USA-s c. Soomes d. Hiinas e. Saksamaal 7 Kas keeruka tagasisidestatud skeemi matemaatilise võrrandi kuju on : a. polünoomide jagatis b. kõrgemat järku polünoom c. polünoomide korrutis 8 FMS eelised : a. vähenevad kulutused vahetule tööjõule b. vähenevad kulutused tootmise planeerimisele ja juhtimisele c. vähenevad kulutused järelevalvele d. tõuseb individuaalne tootlikkus e. vähenevad kulutused instrumendimajandusele 9 Milles seisneb Turing'i test? : a. Osalevad mees, naine, operaator ja tehisintellekt b. Osalejad on erinevates ruumides ning ühendatud arvutiga c
Keha liikumisvõrrand r(t)=x(t)i+y(t)+z(t)k, kus x(t), y(t), z(t) on kolm sõltumatut funktsiooni. Teist järku diferentsiaalvõrrand (Newtoni II) r=a= d²r/dt² = 1/m *F Ruutpolünoomi r(t) = r0+v0+ a/2 *t² -ühtlaselt muutuva liikumise valemit, kus r0 algasend, v0 algkiirus, a kiirendus Keha pöörlemisvõrrand (t)=0 + 0 *t + /2 *t² - ühikud on radiaan Newtoni II seadus (kiirendus- ja impulssesitus) r=a= 1/m *F Impilss ehk liikumishulk p= mv Kulgliikumise diferentsiaalvõrrand a=1/m *F r= d²r/dt²=1/m *F Kulg diferentsvõrr lahendamine jõu puudumisel ning konstantse jõu korral (tuletusega) a) kui jõud on null, x=0 d/dt (dx/dt)=0 dx/dt=v0x=const, dx=voxdt voxdt=voxt+x0 , kus vox ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal A=Fs=Fscos((Fs)), kus s=r=r2-r1 ning ((Fs)) tähistab vekt...
g(a) pole 0 ka jagatis f/g. Ning Arvtelg:nullpunkt, pikkus ühik, liitfunk.puhul.ühep.pidev.funk pos.suund.Reaalarvud vastavuses üks : eelnevad 3 punkti!omadused ühele.+abs.väärtuse om(4), arvu ümbrus+tõk.hulk=0-i ümbrus, seoses suur.ja nt.vahemik, lõik, poollõik. Jääv ja väh.väärtusega: väärtus saav. muutuv suurus: piirkond, x ja y Sellel lõigul+iga väärtus suur.ja seotus, ,määramisp.(x-i muutumisp.) vä.vahel+ kui otspunktides ESITUS: tabel,analüüt,graafik(pos ja neg, punkti üldkuju, funk graafik, erin.märg.väärtu si, siis väh.1 rahuldab?+ max 1 lõikepunkt paaris, punkt, kus f(c)=0. paaritu-x e X per.funk.-f(x+C)=f(x), x Funk.difer.def: võrdeline e X, kasv. Ja kah.funk.rakendamine argumendi muuduga ja nullist argumentidele x1 ja x2, hulk D.astmef.märpiirk. sõltuvus a- erineva tul.korral o...
juhul kui disjunktsiooniga liidetavaid loogikaväärtusi 1 on avaldises alati paaritu arv tükki; Küsimus 11 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse loogikafunktsioonide (minimaalset) täielikku süsteemi, kus suvalise funktsiooni väljajätmisel sellest süsteemi täielikkus kaob ? sisesta vastuseks õige sõna : Vastus: baassüsteem Küsimus 12 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Mis on Reed-Mulleri polünoom ? vali õige : Valige üks: igasugune avaldis, kus on sulud lahti korrutatud ilma sulgudeta avaldis, kus leidub konstant 1 ilma sulgudeta avaldis, kus konjunktsioonid ja konstant 1 on kokkuliidetud tehtega summa mooduliga 2 suvaline avaldis, kus sisalduvad ainult loogikatehted konjunktsioon, summa mooduliga 2 ja konstant 1 iga loogikaavaldis, kus puuduvad tehted inversioon ja disjunktsioon Küsimus 13 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
juhul kui disjunktsiooniga liidetavaid loogikaväärtusi 1 on avaldises rohkem kui liidetavaid loogikaväärtusi 0 ; Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse loogikafunktsioonide (minimaalset) täielikku süsteemi, kus suvalise funktsiooni väljajätmisel sellest süsteemi täielikkus kaob? sisesta vastuseks õige sõna : Vastus: baas Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mis on Reed-Mulleri polünoom ? vali õige : Vali üks: iga loogikaavaldis, kus puuduvad tehted inversioon ja disjunktsioon igasugune avaldis, kus on sulud lahti korrutatud suvaline avaldis, kus sisalduvad ainult loogikatehted konjunktsioon, summa mooduliga 2 ja konstant 1 ilma sulgudeta avaldis, kus leidub konstant 1 ilma sulgudeta avaldis, kus konjunktsioonid ja konstant 1 on kokkuliidetud tehtega summa mooduliga 2 Küsimus 13 Õige - Hinne 1,00 / 1,00
Tõestus. Eelduses, et eksisteerib sisaldub vaikimisi, et Olgu suurus selline, et . Vaatleme abifunktsioone: ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: (kirjutan ümber sama aint a-) Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom. Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasiks on {1, x-a, (x-a)2,...,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos:
10.2.x2 järgi:............................................................................................................................................9 10.3.x3 järgi:............................................................................................................................................9 10.4.x4 järgi:............................................................................................................................................9 11.MDNK Reed-Mulleri polünoom..................................................................................9 1)Martiklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon 142438 22C66 F36CA 6A7F86 2E97CAA 146268A6 8EB0DC8A 3E6D607C6 2E97CAA (2,14,9,7,12,10,10) (2,7,9,10,12,14) 3E6D607C6 (3,14,6,13,6,0,7,12,6) (0,3,6,13) (2,7,9,10,12,14) (0,3,6,13)
Correct süsteemi, kus suvalise funktsiooni väljajätmisel sellest süsteemi Mark 1.00 out of täielikkus kaob ? 1.00 sisesta vastuseks õige sõna : Answer: baassüsteem Question 12 Mis on Reed-Mulleri polünoom ? Correct vali õige : Mark 1.00 out of 1.00 Select one: igasugune avaldis, kus on sulud lahti korrutatud
3. Kogu määramispiirkond jaotatakse lõplikuks arvuks alampiirkondadeks, mida nimetatakse elementideks. Naaberelementidel peavad olema ühised sõlmpunktid. Kõikide elementide kogusumma peab kogu määramispiirkonna täpselt kokku andma. 4. Pidev arvutatav funktsioon aproksimeeritakse igas elemendis polünoomiga, mis defineeritakse funktsiooni väärtuste alusel sõlmpunktides (st sõlmväärtuste alusel). Igas elemendis võetakse erinev polünoom, kuid need valitakse nii, et funktsiooni pidevuse tingimused elementide rajajoontel oleksid täidetud. Seda polünoomi nimetatakse ka elemendi funktsiooniks. Nendest elemendi funktsioonidest moodustub tükiti pidevate funktsioonide hulk, mis hõlmab kogu määramispiirkonna. 5. Lineaarvõrrandite süsteemi tuletamine antud objekti iseloomustava funktsionaali minimeerimise kaudu. 6. Selle süsteemi lahendamine sõlmväärtuste suhtes. 7
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ Olga Dalton 104493 IAPB11 Tallinn 2010 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number on 104493 Ühtede piirkonna määramiseks saadud 16-nd arv on 28DD194D Seega on ühtede piirkond f(x1,x2,x3,x4) = (1,2,4,8,9,13)1 Määramatuspiirkonna määramiseks saadud 16-nd arv on 2675BD7 Määramatuspiirkond on seega f(x1,x2,x3,x4) = (5,6,7,11) Seega on matriklinumbrile 104493 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: f(x1..x4) = (1,2,4,8,9,13)1 (5,6,7,11)_ 2. Leida MDN...
põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. 22. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange'i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. 23. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali
() - , kus M = [, ] , (f [, ]) ( [, ]), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise kusjuures Pn(x) on n-astme polünoom, st Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0 ja Sl(x) on l astme trapetsi pindala S avaldub kujul = () - () Tõestus polünoom
AA 234 vahemikule 0, 8 . Funktsioonide =4 1 , E- * * F ja = 234 , 0, 8 A A pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens = D24 1 = ja = E- * , * F ja arkuskotangens = D2234 = ja = 0, 8 . 5) Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 1-astme polünoom on defineeritud avaldisega % = G+ ) + * * + + IJ) IJ) + I I , kus G , ) , * , ..
Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
2. Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali b.3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse . Kehtib valem Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Funktsiooni lineaarne lähend punkti x=a ümbruses, avaldub valemiga Funktsioon koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks
Põhilised Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga 12.Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, = {(, ()|| }. (JOONIS) Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. mistahes suure positiivse arvu M korral saab näidata ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult Graafiku punkti P koordinaati f(x) võib tõlgendada P Algebralised tehted funktsioonidega sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad kahanevate suuruste a ja b vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev a
f(x)dx=f((t))'(t)dt
* Diferentsiaali märgi alla viimine. f(x)dx=F(x)+C f((x))d(x)=F((x))+C
* Ositi integreerimine. Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad f'id hulgal X ja eksisteerib määramata
integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu
* Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk
* Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=r polünoom anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 on ühel viisil esitatav korrutisena C(x-d1)v1(x-
dk)vk(x2+b1x+c1)1...(x2+b1x+c1)1 Nullist erineva polünoomi f(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 (an0)
astmeks loetakse naturaalarvu n ja tähistatakse deg(f).
* Iga kahe polünoomi f ja g0 korral leiduvad polünoomid q ja r, et f=qg+r, kus r on kas
nullpolünoom(r=0) või r0 ja deg(r)
[ ][ ][ ] f ( x1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x1 x 3 (0 x 2 0 x 4 1) x1 x 3 (0 x 2 0 x 4 0) x1 x 3 (1 x 2 1 x 4 1) [ x1 x 3 (1 x 2 1 x 4 0) = ] = ( x1 x 3 1)( x1 x 3 )( x1 x 3 x 2 x 4 1)( x1 x 3 x 2 x 4 ) = = ( x1 x 3 )( x1 x 3 x 2 x 4 ) 9. Leida ja esitada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1
(x2 x3 v x1 x 3 ) ⊕ (x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 ) = = !(x2 x3 v x1 x 3 )(x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 ) v v(x2 x3 v x1 x 3 ) *!(x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 ) = ( x 1 x2 x 3 + x 1 x 2 x3 x4) v v ( x 1 x2 x3 + x2 x3 x 4 ) = x 1 x2 + x 1 x3 x4 + x2 x3 x 4 18 ÜLESANNE 11 REED-MULLERI POLÜNOOM Leida ja esitada ülesandes 3 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 Leiame MDNK-le Reed-Mulleri polünoomi, teades, et a∨b=ab ab ja c =c ⊕ 1 : 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 = = x2 (x3 ⊕ 1) ⊕ x1 (x3 ⊕ 1) ⊕ x1 x2 x4 ⊕ (x1 ⊕ 1) (x2 ⊕ 1) x3 x4 = X2 x3 ⊕ x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x1 ⊕ x1 x2 x4 ⊕ (x1 ⊕ 1)(x2 x3 x4 ⊕ x3 x4)= = X2 x3 ⊕ x2 ⊕ x1 x3 ⊕ x1 ⊕ x1 x2 x4 ⊕ x1 x2 x3 x4 ⊕ x1 x3 x4 ⊕ x2 x3 x4 ⊕ x3 x4
y] = y Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [ −π π ; 2 2 ] (graafik) y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] (graafik) y = arctan x : X = R, Y = ( −π2 ; π2 ) (graafik) y = arccot x : X = R, Y = (0, π) (graafik) 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. N-astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1 x +a2 x 2+ …+an−1 x n−1 +a n x n , kus a0 , a1 , a2 , ... , an−1 , an on konstandid ja an ≠ 0 . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 2 n−1 n a0 +a 1 x +a2 x + …+ an−1 x +a n x R(x) = 2 m−1
Kontrollime süsteemi juhitavust. Juhitavuse kontroll: 1 1 Qc = [B AB ] = rank (Qc ) = 2 0 2 Süsteem on juhitav. Süsteemi käitumist määravad tema poolused ehk karakteristliku polünoomi juured. Suletud süsteem on teist järku. Selle süsteemi soovitav karakteristlik polünoom on ( s ) = s 2 + 2 n s + n2 , kus (0 < < 1) on sumbuvus ja n on omavõnke(resonants-)sa- gedus. 54 Siis poolused 1 , 2 = - n ± 2 n2 - n2 Selleks et süsteem oleks stabiilne, peab pooluste reaalne osa olema negatiivne ehk n > 0. Kuna 0 < < 1, siis n > 0. 4,6 Siirdeprotsessi aeg t s . Kui n = 2, siis t s 2,3 sec < 3 sec . n Võime valida = 0,5 ja n = 4
[ ( )] [ ( )] [ = x2 x3 x1 x4 x4 x2 x3 x1 x4 x2 x3 ( x4 ) x2 x3 x1 x4 = ][ ( )] = [x 2 x3 (x1 x ) ] [ x x ( x x )] [ x x 4 2 3 1 4 2 3 ][ ( ( x4 ) x2 x3 x1 x4 )] Ülesanne 9. Et asendada Karnaugh' kaardilt konjunktsioonid moodul 2 summaga ja tuletada Reed- Mulleri polünoom, on vaja kontuuride moodustamisel mitte lubada nende kattumist. Mittekattuvad kontuurid esitavad Reed-Mulleri polünoomiks sobivaid konjunktsioone, MDNK puhul ei kattugi antud funktsiooni puhul kontuurid Karnaugh' kaardil, niisiis: x1 x2 x4 x1 x2 x3 x3 x4 = x1 x2 x4 x1 x2 x3 x3 x4 = ( x1 1)( x2 1)( x4 1) ( x1 1) x2 x3 ( x3 1) x4 = = x1 x2 x4 x1 x2 x1 x4 x1 x2 x4 x2 x4 1 x1 x2 x3 x2 x3 x3 x4 x4 1 1 0 1 0 1 1 1
samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a ümbruses, mis avaldub valemiga Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poüunoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ Peeter Sikk 121055 IASB 13 Tallinn 2012 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number 10. süsteemis: 121055 Matrikli number 16. Süsteemis: 8-kohaline arv: 2F572B3F 4-muutuja loogikafunktsiooni 1de piirkond: 2, 15, 5, 7, 11, 3 2F572B3F/11=2C8E46D Määramatuspiirkond: 12, 8, 14, 4, 6, 13 (x1...x4) = (2, 3, 5, 7, 11, 15)1 (4, 6, 8, 12, 13, 14)_ 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4- muutuja funktsiooni esitamiseks. X3,X4 00 01 11 10 X1,X2 00 0 0 1 1 01 - 1 1 - 11 - - 1 - 10 - 0 1 0 _...
järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? · Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 6. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem) Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a, b) kehtivad järgmised väited: Kui iga korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b) Kui iga korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b) Tõestus
e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x (JOONISED) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. a. Algebralised tehted funktsioonidega Funktsioonide f ja g summa on kujutis, mis seab igale xX vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Kehtib seos y=(f+g)(x)=f(x)+g(x). f ja g vahe y=(f-g)(x)=f(x)-g(x). f ja g korrutis y=f(x)*g(x). f ja g jagatis y=f(x)/g(x), g(x)0 Summa vahe ja korrutise korral X=R b. Liitfunktsiooni mõiste
=f ( x 1, 0, x 3 ) f ( x 1,1, x 3 )=( x 3 V x 1 ) ( x´1 x´3 ) =( x 3 V´ x 1 ) ( x´1 x´3 ) V ( x 3 V x 1 ) ( x´1´x´3 )= x´1 x 2 Tuletis X3 järgi: f (x 1, x 2, x 3) =f ( x 1, x 2, 0 ) f ( x 1, x 2,1 ) =( x´1 x 2 V x 1 x´2 ) ( x´2V x 1 x´2 ) =( x´1 x 2 V x 1 x´2 ) x´2=( x´1 x 2 x 3 7 11) MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed-Mulleri polünoom X1 X2 X3 X4 0 0 1 1 1 1 - 0 0 - 0 0 - 1 - 1 f = x´2 x 3 V x´1 x 2 x´3 V x 1 x´2 x´3= x´2 x 3 x´1 x 2 x´3 x 1 x´2 x´3= ( x 21 ) x 3 ( x 1 1 ) x 2 ( x 31 ) x 1 ( x 2 8
............................... 68 Funktsioonide esitamise viise ........................70 Funktsioon arvutimaailmas ...........................72 5 OSA 4 – VÕRRAND JA VÕRRATUS ....165 OSA 6 – tähtsad funktsioonid ... 263 võrrand . ............................................ 168 polünoom . ......................................... 266 Erinevat tüüpi võrrandid .............................. 170 Omadused ...................................................267 Võrrandisüsteem ......................................... 172 Miks osutuvad polünoomid Mobiilioperaatori valimine ........................... 174 nõnda oluliseks? ........................................ 268
maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul
lisamisel osutub täielikuks (nt süsteem {& ⊕} on nõrgalt täielik, sest & on mittelineaarne ja ⊕ on mittemonotoonne, 𝑓0-ga lisandub mittepööratav) Reed-Mulleri baas on loogikatehete süsteem, kuhu kuuluvad tehted {&⊕1} ja ta on täielik. Baas on ta, kuna suvalise tema liikme väljajätmisel süsteemiks kaoks selle täielikkus. 𝑥̅=𝑥⊕1 𝑥1∨𝑥2=𝑥1̅ 𝑥2= ̅ (𝑥1⊕1)(𝑥2⊕1)⊕1????=𝑥1𝑥2⊕𝑥1⊕𝑥2 Reed-Mulleri polünoom Karnaugh’ kaardil 1-de piirkonnas võtta mittelõikuvad kontuurid JA-EI topeltinversioon DNK-le ja DeMorgan alumisele inversioonijoonele VÕI-EI topeltinversioon KNK-le ja DeMorgan alumisele inversioonijoonele {0→}: 𝑥̅=𝑥→0 𝑥1∨𝑥2=𝑥1̅→𝑥2=(𝑥1→0)→𝑥2 𝑥1𝑥2=(𝑥1→(𝑥2→0))→0 {¬ →} 𝑥1∨𝑥2=𝑥1̅→𝑥2 𝑥1𝑥2=𝑥1→𝑥2̅ {⊕ →} 𝑥̅=𝑥→(𝑥⊕𝑥) 𝑥1∨𝑥2=𝑥1→(𝑥1⊕𝑥1)→𝑥2
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
= (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2xx3 V x2)= = [(x1 V x2 V xx3)(xx1 V x2 V x3)(xx2)](xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3)[(x1 V x2 V xx3)(xx1 V x2 V x3)]= = (x1xx2x3 V xx1 xx2 xx3)(xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3)(x1x2 V x1x3 V xx1x2 V x2x3 V xx1 xx3 V x2xx3) = = x1xx2x3 V x1x2 V x1x2x3 V xx1x2 V x2x3 V xx1x2xx3 V x2xx3 = x1x3 V x2 11. Leida MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed-Mulleri polünoom vabalt valitud meetodiga. Leian Reed-Mulleri polünoomi Karnaugh kaardi abil. MDNK Karnaugh’ kaart: 7 1de piirkond on juba kaetud minimaalse arvu võimalikult suurte kontuuridega, niimoodi et iga „1“ on kaetud paaritu arvu kontuuridega. Seega kehtib võrdus: 0 V 0 V 1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1. Järelikult:
limxa+ f' (x) / g' (x), st limxa+ f (x) = 0 ^ limxa+ g (x) = 0 ^ limxa+ f' (x) / g' (x) limxa+ f (x) / g (x) ^ limxa+ f (x) / g (x) = limxa+ f' (x) / g' (x). 10. Taylori ja Maclaureni valemid. o Taylori valem kui funktsioon f (x) on kohal a diferentseeruv n korda, siis on võimalik funktsioonile f (x) seada vastavusse selle funktsiooni n järku Taylori polünoom punktis a : f (x) ~ o Maclaureni valem Funktsiooni f (x) Taylori valemit a = 0 korral nimetatakse f (x) n-järku Mauclaureni valemiks f (x) = 11. Tuletise geomeetriline interpretatsioon, tuletiste rakendamine ( kasvamine, kahanemine, lokaalsed ekstreemumid). o Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise x 1 (x , x) ja x2 (x, x
Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! ! Polünoomi nimetatakse funktsiooni Taylori polünoomiks ehk -järku lähendiks punkti ümbruses. Kui = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni McLaurini polünoom järgmine: LIISI KINK 11 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 0 0 0 = 0 + + + + 1! 2
f = x´ 1 x´3 v x 4 MDNK = f =( 0 x´3 v x 4 ) ( 1 x´3 v x 4 )=x 4 ( x´3 v x 4 ) = x´4 ( x´3 v x 4 ) v x 4 ( x´3 v´ x 4 )=¿ x´3 x´4 v x 4 ( x 3 x´4 )= x´3 x´4 x1 f =( x´1 0 v x 4 ) ( x´1 1 v x 4 ) =x 4 ( x´ 1 v x 4 ) = x´4 ( x´1 v x 4 ) v x 4 ( x´ 1 ´v x 4 ) = x´4 x´1 v x 4 ( x1 x´4 )= x´1 x´4 x3 f = ( x´1 x´ 3 v 1 ) ( x´1 x´3 v 0 )=1 x´1 x´3=0 x´1 x´3 v 1 ( x 1 v x3 ) =x 1 v x 3 x4 11. Reed-Mulleni polünoom MDNK = f = x´ 1 x´3 v x 4 Karnaugh kaardil katetakse 1-de piirkond mittekattuvate kontuuridega. x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 - 01 - 1 - 0 11 0 1 - 0
Järelikult d^3 y(x)=f^''' (x)?dx?^3. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse? d?^n y . Kehtib valem d^n y(x)=f^((n) ) (x) ?dx?^n. Lõpuks märgime, et jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega dx^n saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: (d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x). 28.Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida. Polünoomi väärtuse arvutamisel tuleb ju teostada ainult aritmeetilisi tehteid (liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist)
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
