2 2 sin = m 2 - 2 arcsin(-m) = - arcsin m -1 m 1 cos = m = Arccos m 0 arccos m cos = m Arccos m = ± arccos m + 2n arccos (-m) = arcos m arccos (-m) = arcos m - < m < tan = m = Arctan m - < arctan m <
1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = - 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = - sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2
2 1 - tan 2 cos = 2 1 + tan 2 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2 (arctan u )x = 1+ x 2
Selle teadmine võib tulla kasuks, kui on vaja leida erinevaid nurki. Räägin siis mõningad põhitõed seoses siinus, koosinus ja tangensiga. Kõik suhted on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Ilma täisnurgata vastavad seosed ei kehti. Pildil: a = alus / kaatet 1 b = kõrgus / kaatet 2 c = hüpotenuus A' = alfa kraad B' = beeta kraad GM funktsioonid: radtodeg(x) = teeb radiaanid kraadideks arcsin(x) = sin-1 e. siinuse pöördväärtus arccos(x) = cos-1 e. koosinuse pöördväärtus arctan(x) = tan-1 e. tangese pöördväärtus Nurkade leidmine Siinus: sin = vastaskülg / hüpotenuus Seda seost tulebki nii võtta nagu kirjutatud. Vastaskülg vaadatakse tulenevalt sellest, millist kraadi on vaja leida. Kui vaja leida A', siis tema vastaskülg on tema vastas olev külg ehk a. Vastava tehte tegemisel on vaja teha veel teisendusi, enne kui kraadi saab kätte tuleb siinusest arvutatud tehtest võtta sin-1 ja siis kraadi teisendus.
tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m arccos(-m) = - arccos m arctan(-m) = -arctan m arccot(-m) = - arccot m
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
e + e -x x ( cos x ) = -sin x ( arccos x ) = - 1 (ch x ) = sh x ( arch x ) = 1 ch x := 1- x 2
1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tšebõšovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x ϵ [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) – Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina.
Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, 1 kasutades selleks klahvi cos . Siin tuleb olla väga tähelepanelik, et arvuti oleks reguleeritud kraadi- või radiaansüsteenile (sõltuvalt sellest, missugust tulemust ne saada tahame).
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause:
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause:
2 2 n = (− 1) arcsin m + n ⋅ 180° kus n ∈ Z. cos x 1 3 2 0,5 0 cos x = m Üldlahend on kujul 2 2 x = ±arccos m + 2nπ = = ± arccos m + n ⋅ 360° kus n ∈ Z. III veerandi nurgad tan x 0 3 1 3 - tan x = m 3 Üldlahend on kujul
(x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx
· sin(±)= sin·cos±sin·cos · c2= a2+b2-2·a·b·cos · cos(±)= cos·cos±sin·sin · cos= a2+b2-c2/2·a·b · tan(±)= tan±tan/1tan·tan · sin(arcsinx)= x, kui x1 · sin2= 2sin·cos · arcsin(-x)= -arcsinx · cos2= cos2-sin2 · cos(arccos)= x, kui x1 · tan2= 2tan/1-tan2 · arccos(-x)= -arccosx · 1+cos= 2cos2 /2 · tan(arctanx)= x · 1-cos= 2sin2 /2 · arctan(-x)= -arctanx · sin/2= ±1-cos/2 · arcsinx+arccosx= /2 · cos/2= ±1+cos/2 · arctanx+arccotx= /2
z CL= √ R2L X 2C √ R2L + X 2C = 11 0002 ∙ 2001,052 11 0002 +2001,052 =1968,74 Ω z=√ R21 + zCL =√1000 2+1968,74 2=2208,15 Ω 2 UL 10V I= = =5,08 mA z CL 1968,74 Ω U S =I ∙ z=0,00508 A ∙2208,15 Ω=11,23 V U LC 10 V φ=arccos =arccos =27,07 ° US 11,23 V φ 27,07 ° ∆= = =6,84 ms 360 f 360° ∙11 Hz U LC 10 V A=−20 log =−20 ∙ log =1,01 dB US 11,23 V Comparative data table Quantity Calculated Experimental UL, V 10 9,359 I, mA 5,08 15
JE tanx=m + x=arctanm+n/7, neZ, TE 22 ,A.rkusfunktsioonide omadusi sin(aresin x) = :g arcsin(-x) = - arcsin(x) cos(arccosx) = I arccos(-.r) = n - arccos(x) tan(arctanx) = x arctan(-x) = -arctan(x)
= cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
(a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 cos 2 x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x [u( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u( x )] = c u ( x ) (uv ) = u v + v u u u v - uv = v v2
x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
L=1H R=7.9 f=79 Hz Ur=10V Fig. 1.1 Circuit diagram Calculations: =2f=2**79=496,4 rad/s XL=L=1*496,4 Z=SQRT(XL2+R2)=SQRT(496,42+7,92)=496,5 I=UR/R=10/7,9=1,3A U=I*Z=1,3*496,5=645,5V UMAX=SQRT(2)*U=912,9V =-arccos(R/Z)=-89° =-89°/(360*79)=-3,1*10-3 A=-20*log(Z/R)=-36 dB Comparative data table: Quantity Calculated value Experimental value I, A 1,3 1,308 ° -89 -89,118 , s -3,1*10-3 -3,2*10-3 A, dB -36 -36,254
2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0; Kaldnurksed kolmnurgad siinuslause koosinuslause
1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2 a1 (1 - q n )
tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 2 2 2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 2 2 2 0 -1 0 1 3 3 tan 0 2 1 - 0 - 0 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x
sin - sin = 2 cos sin 2 2 + - cos + cos = 2 cos cos 2 2 + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 +tan sin ( + ) tan = cos cos Trigonomeetrilised põhivõrrandid: sin x = m x = ( -1) n arcsin m + n , n Z cos x = m x = +arccos m + 2n , n Z tan x = m x = arctan m + n , n Z
4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = − 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = − sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x 8
α C α*C α C α*C α C α*C Neutraaljuhiga 0 - 0 42 2,5/100 1,05 38 2/5*300/150 152 Neutraaljuhita 58 150/150 58 0 - 0 18 2/5*300/150 72 φA=arccos(PA/(UA*IA)) ZA=UA/IA RA=ZA*cos φA XA= (ZA2-RA2)0,5 RB RC PB=UB*IB PC=UC*IC ΣP=PA+PB+PC (◦) (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (W) (W) (W) Neutraaljuhiga 38,917 89,189 69,394 56,028 UB/IB=238,596 UC/IC=235,088 77,52 76,38 305,9
c sin a sin sin c= c külg sin sin h kõrgus a = c 2 + b 2 - 2c b 2 - h 2 b = a 2 + c 2 - 2c a 2 - h 2 c = a 2 - h2 + b 2 - h 2 külje a vastasnurk külje b vastasnurk = arccos b2 + c2 - a2 = arccos a2 - b2 + c2 = arccos a 2 + b2 - c2
Km = 5,8 Kaldhammaste puhul [1.lk.14] Valin standartse hambumismooduli 1,5 Hammaste kaldenurk: 4m 4 1,5 min = arcsin = arcsin = arcsin 0,11558 = 6,625 b2 52 Summarne hammaste arv: 2a cos min 2 112 cos 6,625 Z = = = 148,3361 m 1,5 Valin summarseks hammaste arvuks 148 Leian tegeliku hammaste kaldenurga: Z m 148 1,5 = arccos( ) = arccos( ) = arccos 0,991 = 7,692 = 7 41'34 '' 2 a 2 112 Väikese hammasratta hammaste arv: Z 148 Z1 = '' = = 39,57 hammast ih + 1 2, 74 + 1 Valin Z1 = 39 hammast Suure hammasratta hammaste arv: Z 2 = Z - Z1 = 148 - 39 = 109hammast Tegelik ülekandearv: Z 109 ih''' = 2 = = 2,798 Z1 39 Konveierlindi tegelik kiirus: n Z 1 Dk 1400 3,14 39 0,32 m
Teeme enne saadud võrrandisse sin ( x - 45 ) 2 = 1 asenduse cos - x . Saame 0 4 3 3 1 3 2 cos - x 2 = 1 cos - x = cos - x = . 4 4 2 4 2 Kasutame üldlahendi valemit x = arccos m + 2n , kus n Z . 3 2 cos x - = , 4 2 3 2 x- = arccos + 2n , n Z ; 4 2 3 x- = + 2n , n Z ; 4 4 3 1. x = + + 2n = + 2n = ( 1 + 2n ) , n Z 4 4 3 2. x = - + + 2n = 0,5 + 2n = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z 4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z
° ° sin 0 1 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 3 1 3 tan 0 - 0 - 0 2 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x Ande Andekas-Lammutaja Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendis.
2 1 cos · cos = [ cos( + ) + cos( - )] Võrrandite üldlahendid: 2 sin x = m 1 sin · cos = [ sin( + ) + sin( - )] x = (-1)K arcsin m + n 2 x = (-1)K ° + n180° x = (-1)K r + n cos x = m x = ±arccos m + 2n x = ±° + n360° x = ±r + 2n tan x = m x = arctan m + n x = ° + n180° x = r + n Summa teisendus korrutiseks: sin( + ) sin( - ) tan + tan = tan - tan = cos cos cos cos sin = cos(90°- )
2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x vahemikule ( −π2 ; π2 ) ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide y = tan x, x ∈ ( −π2 ; π2 ) ja y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot
a murd eksisteerib, kui b 0 ; b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ; arvu logaritm log a N eksisteerib, kui N 0 ; arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1
trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas 2 üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) .
I 1 6 o 1 V1 1. , , . : 1 f ( x ) = arccos ( 4 x - 8) + . 2 2 2 x - 3x - 4 2 - x -3 tan ( x ) 2. xlim . 3. lim . 4. lim . 4 2 x +1 x7 x 2
2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). { Seega juhul α ≤0 on harmooniline rida hajuv. Juhul α > 0 rahuldab abifunktsioon f(x)= α kolme tingimust
analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = xa , kus a on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x. Astmefunktsioon y = xa, a on positiivne täisarv y y = x4 y y = x3 0 x 0 x Määramispiirkond: X = (-; ) 16 Astmefunktsioon y = xa, a on negatiivne täisarv y
sin x cos x cos x sin x tan x 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x u x v x u x v x c u x c u x
15 16 1 Võrrandite sin x 0 ja cos x lahendamisel võib kasutada ka trigonomeetriliste põhivõrrandite 2 üldlahendi valemeid: kui sin x m , siis x ( 1) n arcsin m n , n 0 ; kui cos x m, siis x arccos m 2n , n 0 , arvestades erilahendite leidmisel tingimust 0 x 2 . Näiteks a) sin x 0 x ( 1) n arcsin 0 n x n , sest arcsin 0 0 . Kui n 0 , siis x1 0 ; kui n 1 , siis x2 ; kui n 2 , siis x3 2 . 1 1 2 b) cos x arccos( ) 2n x 2n , sest 2 2 3 1 1 2 arccos( ) arccos .
joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga selle funktsiooni perioodiks. Kui on teada perioodilise funktsiooni ajagraafiku osa perioodi pikas poollõigus, siis on teada ka kogu graafik. Tuntud perioodilised funktsioonid on sinx (periood
2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse
tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m , kusjuures 0 arccos m , -1 m 1 . 3. arctan m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on m: tan ( arctan m ) = m , kusjuures - < arctan m < ,
Rumbi seos juurdekasvude märgiga Veerand Tähis X Y I NE + + II SE - + III SW - - IV NW + - 2. Geodeetiline pöördülesanne lähteandmeteks on 2 punkti koordinaadid, nende järgi tuleb leida juurdekasvud. Antud on: XA; YA; XB; YB Juurdekasvud: X = XB - XA ja Y = YB - YA 2 punkti vahelise joone pikkus: s = 2 + 2 Rumbiline nurk: R = või R = arcsin või R = arccos s s 3. Teodoliitkäigu arvutused a)Mõõdetud nurkade tasandamine vasakpoolsed nurgad parempoolsed nurgad Praktiline summa: p ja p - mõõdetud nurkade summa Teoreetiline summa: t = 1800n + a n (a algsuund; n lõppsuund) t = 1800n + n a t = 1800(n 2) (kinnise käigu puhul) Sulgemisviga: f = p - t (vasakpoolsete nurkade puhul samamoodi)
Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja
P¨o¨ordfunktsioon Kui X on funktsiooni f m¨a¨aramispiirkond, siis hulka Y = {f (x)|x 2X} nimetatakse funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Definitsioon 7 Funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooniks f −1 nimetatakse funktsiooni, mis on defineeritud seosega Definitsioon 10 P˜ohilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone f (x) = C f (x) = x_ f (x) = ax f (x) = loga x f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = tan(x) f (x) = cot(x) f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x) f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x). Definitsioon 11 Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Jada piirv¨a¨artus Definitsioon 1 Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. {x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn} Definitsioon 2
annaabi.ee 
