2 2 sin = m 2 - 2 arcsin(-m) = - arcsin m -1 m 1 cos = m = Arccos m 0 arccos m cos = m Arccos m = ± arccos m + 2n arccos (-m) = arcos m arccos (-m) = arcos m - < m < tan = m = Arctan m - < arctan m <
Tuletiste tabel 1. (x ) = x-1 c =0 c-konstant, x =1 = 1, 1 ( x) = = 12 , 2 x 1 1 =- = -1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = - sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 ...
n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
5! (2n 1)! x2 x4 (1) n 1 x 2 n 2 cos x = 1 + + , kus n = 1,2,3... 2! 4! (2n 2)! x2 x3 (1) n 1 x n ln(1 + x) = x + + , kus n = 1,2,3... 2 3 n 1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7 arcsin x = x + + + + arccos x = arcsin x 2 3 24 5 246 7 2 6 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID x3 x5 x7 x9 arctan x = x + + arccot x =
Õpetus: sin, cos ja tan tan = VK:LK Sin = vk: hüp Cos = lk : hüp Kuna sooviti teada saada mõningaid põhitõdesi seoses sin, cos ja tan-iga siis tegin ülevaatliku, kuid siiski suhteliselt detailse teema seoses nendega. See õpetus peax andma selguse antud seostest ja kuidas seda kõike rakendada Game Maker -is. Selle teadmine võib tulla kasuks, kui on vaja leida erinevaid nurki. Räägin siis mõningad põhitõed seoses siinus, koosinus ja tangensiga. Kõik suhted on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Ilma täisnurgata vastavad seosed ei kehti. Pildil: a = alus / kaatet 1 b = kõrgus / kaatet 2 c = hüpotenuus A' = alfa kraad B' = beeta kraad GM funktsioonid: radtodeg(x) = teeb radiaanid kraadideks arcsin(x) = sin-1 e. siinuse pöördväärtus arccos(x) = cos-1 e. koosinuse pöördväärtus arctan(x) = tan-1 e. tangese pöördväärtus Nurkade leidmine Siinus: sin = vastaskülg / hüpotenuus Seda seost tulebki nii võtta nagu kirjutatud. Vastaskülg vaadata...
tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m arccos(-m) = - arccos m arctan(-m) = -arctan m arccot(-m) = - arccot m
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
e + e -x x ( cos x ) = -sin x ( arccos x ) = - 1 (ch x ) = sh x ( arch x ) = 1 ch x := 1- x 2
1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tšebõšovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x ϵ [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) – Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina.
Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, 1 kasutades selleks klahvi cos . Siin tuleb olla väga tähelepanelik, et arvuti oleks reguleeritud kraadi- või radiaansüsteenile (sõltuvalt sellest, missugust tulemust ne saada tahame).
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause:
Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tsebõsovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, ...) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause:
2 2 n = (− 1) arcsin m + n ⋅ 180° kus n ∈ Z. cos x 1 3 2 0,5 0 cos x = m Üldlahend on kujul 2 2 x = ±arccos m + 2nπ = = ± arccos m + n ⋅ 360° kus n ∈ Z. III veerandi nurgad tan x 0 3 1 3 - tan x = m 3 Üldlahend on kujul
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m...
0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 /2 /2 /2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 /2 /2 /2 0 -1 0 1 3 tan 0 /3 1 3 - 0 - 0 sin cos tan II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx ...
Tallinn University of Technology Department of Electrical Engineering Filters Report on Exercise 5 in AAR3320 Electronics and Semiconductor Engineering Student: Student Code: Study Group: Instructor: Prof. Valery Vodovozov Tallinn 1. RC filter R Vnoise 1000Ω 15 Vrms 11kHz 0Deg RL V C1 11kΩ 7.23µF 11.23 Vrms IC=0V 11 Hz 0Deg Figure 1. Circuit diagram of the low-pass RC filter Calcul...
'],' fi i s li'k rr e il,"q rin c. E ii'ira ig u r:- r' !,,. C{ * pr =Y11' .-^{) u -ta ={-: "a )--) SlnA = -. = cos,6' * fi) = eosex ft'=fr h'=Gr- (, ...
= cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
(a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 cos 2 x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x [u( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u( x )] = c u ( x ) (uv ) = u v + v u u u v - uv = v v2
x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
L=1H R=7.9 f=79 Hz Ur=10V Fig. 1.1 Circuit diagram Calculations: =2f=2**79=496,4 rad/s XL=L=1*496,4 Z=SQRT(XL2+R2)=SQRT(496,42+7,92)=496,5 I=UR/R=10/7,9=1,3A U=I*Z=1,3*496,5=645,5V UMAX=SQRT(2)*U=912,9V =-arccos(R/Z)=-89° =-89°/(360*79)=-3,1*10-3 A=-20*log(Z/R)=-36 dB Comparative data table: Quantity Calculated value Experimental value I, A 1,3 1,308 ° -89 -89,118 , s -3,1*10-3 -3,2*10-3 A, dB -36 -36,254 ...
2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0; Kaldnurksed kolmnurgad siinuslause koosinuslause
1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2 a1 (1 - q n )
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ...
Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused: sin 2 + cos 2 = 1 2 2 2 sin = 1 - cos sin = 1 - cos 2 2 2 cos = 1 - sin cos = 1 - sin sin = cos( 90° - ) ; cos = sin ( 90° - ) sin sin tan = sin = cos tan cos = cos tan 1 1 tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: sin ( + ) = sin cos +cos sin cos( + ) = cos cos +sin sin tan + tan tan (+ ) = 1 +tan tan...
Tuletiste tabel 1. (xα ) = αxα−1 c =0 c-konstant, x =1 α = 1, √ 1 ( x) = √ α = 12 , 2 x 1 1 =− α = −1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = − sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = ...
2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x 8
Katsetulemused 3A Kolmefaasilised ahelad: Tarviti tähtlülitus UAB UBC UCA α C α*C α C α*C α C α*C Neutraaljuhiga 114 300/150 228 115 300/150 230 116 300/150 232 Neutraaljuhita 115 300/150 230 116 300/150 232 116 300/150 232 UA UB UC α C α*C α C α*C α C α*C Neutraaljuhiga ...
c sin a sin sin c= c külg sin sin h kõrgus a = c 2 + b 2 - 2c b 2 - h 2 b = a 2 + c 2 - 2c a 2 - h 2 c = a 2 - h2 + b 2 - h 2 külje a vastasnurk külje b vastasnurk = arccos b2 + c2 - a2 = arccos a2 - b2 + c2 = arccos a 2 + b2 - c2
lk.14] Valin standartse hambumismooduli 1,5 Hammaste kaldenurk: 4m 4 1,5 min = arcsin = arcsin = arcsin 0,11558 = 6,625 b2 52 Summarne hammaste arv: 2a cos min 2 112 cos 6,625 Z = = = 148,3361 m 1,5 Valin summarseks hammaste arvuks 148 Leian tegeliku hammaste kaldenurga: Z m 148 1,5 = arccos( ) = arccos( ) = arccos 0,991 = 7,692 = 7 41'34 '' 2 a 2 112 Väikese hammasratta hammaste arv: Z 148 Z1 = '' = = 39,57 hammast ih + 1 2, 74 + 1 Valin Z1 = 39 hammast Suure hammasratta hammaste arv: Z 2 = Z - Z1 = 148 - 39 = 109hammast Tegelik ülekandearv: Z 109 ih''' = 2 = = 2,798 Z1 39 Konveierlindi tegelik kiirus: n Z 1 Dk 1400 3,14 39 0,32 m vteg = el = = 2,097( )
Teeme enne saadud võrrandisse sin ( x - 45 ) 2 = 1 asenduse cos - x . Saame 0 4 3 3 1 3 2 cos - x 2 = 1 cos - x = cos - x = . 4 4 2 4 2 Kasutame üldlahendi valemit x = arccos m + 2n , kus n Z . 3 2 cos x - = , 4 2 3 2 x- = arccos + 2n , n Z ; 4 2 3 x- = + 2n , n Z ; 4 4 3 1. x = + + 2n = + 2n = ( 1 + 2n ) , n Z 4 4 3 2. x = - + + 2n = 0,5 + 2n = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z 4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes),...
Põhiseosed : Funktsioonid: sin + cos = 1 2 2 sin sin(180° - )=sin tan = cos(180° - )=-cos cos tan · cot = 1 tan(180° - )=-tan cot(180° - )=-cot 1 1 + tan 2 = cos 2 sin(180° + )=-sin Liitmisvalemid : cos(180° + )=-cos sin( ± ) = sin cos ± cos sin tan(180° + )=tan cos( ± ) = cos cos sin sin cot(180° + )=cot tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = 1 tan · tan cos( ± ) sin(360° - )=-sin Kahekordse _ nurga _ ja _ poo ln urga _ ...
2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x vahemikule ( −π2 ; π2 ) ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide y = tan x, x ∈ ( −π2 ; π2 ) ja y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot
a murd eksisteerib, kui b 0 ; b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ; arvu logaritm log a N eksisteerib, kui N 0 ; arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1
määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
I 1 6 o 1 V1 1. , , . : 1 f ( x ) = arccos ( 4 x - 8) + . 2 2 2 x - 3x - 4 2 - x -3 tan ( x ) 2. xlim . 3. lim . 4. lim . 4 2 x +1 x7 x 2
2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). { Seega juhul α ≤0 on harmooniline rida hajuv. Juhul α > 0 rahuldab abifunktsioon f(x)= α kolme tingimust
analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = xa , kus a on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x. Astmefunktsioon y = xa, a on positiivne täisarv y y = x4 y y = x3 0 x 0 x Määramispiirkond: X = (-; ) 16 Astmefunktsioon y = xa, a on negatiivne täisarv y
sin x cos x cos x sin x tan x 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x u x v x u x v x c u x c u x
15 16 1 Võrrandite sin x 0 ja cos x lahendamisel võib kasutada ka trigonomeetriliste põhivõrrandite 2 üldlahendi valemeid: kui sin x m , siis x ( 1) n arcsin m n , n 0 ; kui cos x m, siis x arccos m 2n , n 0 , arvestades erilahendite leidmisel tingimust 0 x 2 . Näiteks a) sin x 0 x ( 1) n arcsin 0 n x n , sest arcsin 0 0 . Kui n 0 , siis x1 0 ; kui n 1 , siis x2 ; kui n 2 , siis x3 2 . 1 1 2 b) cos x arccos( ) 2n x 2n , sest 2 2 3 1 1 2 arccos( ) arccos .
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0 Arvu absoluutväärtus muudab arvtel...
Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse
tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m , kusjuures 0 arccos m , -1 m 1 . 3. arctan m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on m: tan ( arctan m ) = m , kusjuures - < arctan m < ,
Rumbi seos juurdekasvude märgiga Veerand Tähis X Y I NE + + II SE - + III SW - - IV NW + - 2. Geodeetiline pöördülesanne lähteandmeteks on 2 punkti koordinaadid, nende järgi tuleb leida juurdekasvud. Antud on: XA; YA; XB; YB Juurdekasvud: X = XB - XA ja Y = YB - YA 2 punkti vahelise joone pikkus: s = 2 + 2 Rumbiline nurk: R = või R = arcsin või R = arccos s s 3. Teodoliitkäigu arvutused a)Mõõdetud nurkade tasandamine vasakpoolsed nurgad parempoolsed nurgad Praktiline summa: p ja p - mõõdetud nurkade summa Teoreetiline summa: t = 1800n + a n (a algsuund; n lõppsuund) t = 1800n + n a t = 1800(n 2) (kinnise käigu puhul) Sulgemisviga: f = p - t (vasakpoolsete nurkade puhul samamoodi)
Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
