panevad aluse kristallograafiale ja stratigraafiale. Steno seadusena tuntakse: ● Kristallograafia esimene seadus, mis väidab, et tahkudevahelised nurgad on jäävad. ● Superpositsiooniprintsiip, mis väidab, et stratigraafiliste kihtide rikkumata lasumuse korral on vanem kiht all ja noorem peal. ● Kihtide algse horisontaalsuse printsiip, mis väidab, et kihid on algselt lasunud horisontaalselt. ● Kihtide algse pidevuse printsiip, mis väidab, et kihid on algselt pidevad ja levinud suurel alal. 2. Millega tegeleb stratigraafia? Stratigraafia on geoloogia valdkond, mis tegeleb vanuse määramisega ja kivimitüüpide eristamisega. 3. Maakoort kujundavad eksogeensed protsessid Maakoort kujundavad protsessid jagunevad kaheks: Välisdünaamilised ehk eksogeensed protsessid, energiaallikas on väljastpoolt Maad (näiteks Päike-sellega on seotud vooluvete ja tuulte tegevus, kivimite Murenemine jne)
FUNKTSIOONI PIDEVUS Pidevuse mõiste. Katkevuspunktid FUNKTSIOONI PIDEVUSE MÕISTE Funktsiooni pidevuse mõiste Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud tingimus: · Võrdusest lim = () on näha, et funktsiooni pidevus punktis a on iseloomustatud järgmise kolme tingimusega: o f(a), st punkt a peab olema funktsiooni määramispiirkonnast; o lim ; o kehtib võrdus lim = (). · Funktsioon on pidev mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus
Kui x + ja x + , siis lim f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x + x + x + Üritan eelpool mainitut tõestada. lim f ( x) = A, lim g ( x) = B f ( x ) = A + ( x ), g ( x ) = B + ( x) Eeldus: x + x + lim ( f ( x) + g ( x) ) = A + B f ( x ) + g ( x) = A + B + ( x) + ( x) Väide: x + 2. Esitada funktsiooni y = f (x) punktis x 0 pidevuse definitsioon. Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. f ( x) C ( x0 ) ,kui 1) f ( x0 ) lim f ( x) x x0 2) lim f ( x ) = f ( x0 ) 3) x x0 Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus: y = f ( x + x) - f ( x) lim f ( x + x) - f ( x) = 0 x 0 lim y = 0 x 0 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentsieeruvuse ja pidevuse vaheline seos.
m1v1+m2v2 = m1v1´+m2v2´ 2. Füüsikalise pendli võnkeperiood - Füüsikaline pendel kujutab endast suvalist keha, mis võib võnkuda mingi raskuskeset mitteläbiva telje ümber. Kõik looduses eksisteerivad võnkuvad kehad on füüsikalised pendlid. Füüsikalise pendli periood arvutatakse järgmise valemi järgi: I on siin keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes, m keha mass ja a pöörlemistelje ja masskeskme vaheline kaugus (pendli pikkus). 3. Joa pidevuse võrrand - Joa pidevuse teoreemi kohaselt, ideaalse vedeliku hulk, mis voolab ajaühikus läbi voolutoru iga ristlõike, on const S1V1=S2V2=const Ehk dV/st=sv=const v-voolamise kiirus s- voolutoru ristlõike pindala dV/dt-vedeliku hulk,mis voolab ajaühikus läbi voolutoru ristlõike 4. Käiguvahe ja interferentsi maksimumi ja miinimumi tingimused - Käiguvahe on teepikkuste erinevus(vahe), mis tuleb lainetel läbida liitumispunkti jõudmiseks.
aksioome. Neid kujundeid nimetatakse topoloogilisteks ruumideks. Topoloogia on nn kõige üldisem geomeetria. Topoloogia peamine ülesanne on tuua välja ja uurida ruumide selliseid topoloogilisi omadusi, mis ei muutu topoloogilistel teisendustel - topoloogilisi invariante. Tähtsaimate topoloogiliste invariantide hulka kuuluvad näiteks sidusus, kompaktsus, mõõde, kaal, fundamentaalrühm, homoloogiarühmad jne.Samuti selgitab ja uurib topoloogia pidevuse ideed. Intuitiivselt väljendab see ruumi ja aja fundamentaalseid omadusi ning järelikult on sel tunnetuse seisukohast fundamentaalne tähtsus. Vastavalt ilmub topoloogia, milles pidevuse idee saab matemaatilise kehastuse, loomulikul moel enamikus matemaatika harudes. Ühenduses algebraga moodustab topoloogia matemaatika üldise aluse ja aitab kaasa selle ühtsusele. Kasutatud kirjandus: Jakov Perelman “Huvitav geomeetria” Benno Mohry “Matemaatika.Geomeetria”
Kui lim(x +) f(x) = A, siis f(x) = A + (x), kus (x) lvs (x +) Kui lim(x +) g(x) = B, siis g(x) = B + (x), kus (x) lvs (x+) Kui leidub niisugune arv, kus I f(x) I < (lvs omadus), siis Järelikult: f(x) + g(x) = A+B + ( (x) + (x) ) lvs (x +) Lim ( f(x) + g(x) ) = A+B m.o.t.t. Sõnastatud teoreem kehtib mistahes lõpliku arvu liidetavate korral. Näide 1: 2. Esitada funktsiooni y = f (x) punktis pidevuse definitsioon. Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. Pidevus on funktsiooni omadus, kusjuures mingis kindlas piirkonnas pideva funktsiooni graafik on katkematu joon. Olgu funktsioon y=f(x) määratud mingi argumendi väärtusega xo ja selle mingis ümbruses keskpunktiga xo. Olgu yo = f (xo). Kui argument x muutub mingi positiivse või negatiivse väärtuse võrra ning omandab väärtuse x= xo + x, siis ka funktsioon y muutub mingi suuruse y võrra ja see
seadusest, mida on kirjeldatud osas Ampere'i seadus.Ampere'i vooluringi seadus väidab, et joonintegraal üle magnetvälja tugevuse H mööda kinnist kontuuri L, suvalisel ajahetkel t on võrdne elektrivooluga i, mis voolab läbi kinnise kontuuri L pluss kinnise kontuuri L poolt piiratud pinda S läbiva elektrivälja voo E ajalise muutusega. 2. Maxwell'i võrrandid diferentsiaalkujul. Pidevuse võrrand. IRT0110_06_maxwell.pdf Maxwell`i võrrandite diferentsiaalne kuju sisaldab sarnaselt integraalsele kujule 4 erinevat võrrandit: Integraalsed Maxwell`i võrrandid sobivad hästi välja lahendite leidmiseks, kui on tegemist staatiliste laengute või voolude sümmeetriliste jaotustega.
tõkestatud. Bolzano- Weierstrassi teoreemi põhjal võib tõkestatud jadast {Xn} eraldada koonduva osajada {Xnk}. Seega *Kasutades funktsiooni pidevust lõigul , leiame, et , kusjuures suurus on lõplik. Teisalt järeldub tingimusest f(Xn) -> tingimus f(Xnk) -> *Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul. 23*(Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Bolzano- Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Hulga =/= X c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X. Hulga =/= X c R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf X. Näide: Vahemik on X=(0;1), Inf x = 0 ja sup x = 1. *Pidevuse aksioom- Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt
*funktsiooni α(x) nimetatakse lõpmata suureks suurusekspiirprotsessis x-> a, kui limα(x)=∞ x-> a Ekvivalentsed - Lõpmata väikesed (suured) suurused α(x) ja β(x) piirprotsessis x-> a , kui lim α(x) / β(x)=1 x-> a 9.Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Hulgal pidev funktsioon - Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev hulga X igas punktis. Lõiguv pidev funktsioon - Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1.Ǝ f(a) 2. Ǝ lim f(x) 3. lim f(x)=f(a) x-> a x-> a Ülemine raja – Hulga ∅ ≠ X c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X
3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15
1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus siis on suurused a ja b sama järku 2. Ku siis nimetame suuruseid a ja b ekvalentselt lõpmatult kasvavateks suurusteks. 3. Kui siis a on kõrgemat järku kasvav suurus b suhtes. 13. · Funktsiooni nimetame pidevaks, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a ehk 2. Eksisteerib lõplik piirväärtus 3. · Pidevuse geomeetriline sisu Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Argumendi väärtusel on pideva funktsiooni graafik on punktis pidev joon. 1. Vastavalt pidevuse esimesele definitsioonile eksisteerib punkt 2. Vastavalt pidevuse teisele definitsioonile on olemas ka piirväärtus Mis tähendab seda, et suvalises piirprotsessis , kus läheneb graafiku jooksev punkt ühele ja samale punktile 3
Tekkiv liikumine sõltub paljudest asjaoludest: sellest, kas mass on kehas (näiteks kiiges) jaotunud ühtlaselt või mitte; kus paikneb raskuskese; millise geomeetrilise kujuga on keha; kus täpselt on kinnituskoht ja nii edasi. Kuna ükskõik milline ülesriputatud jäik keha võib muutuda füüsikaliseks pendliks, ei saa füüsikalise pendli puhul anda selliseid üldisi lihtsaid valemeid, nagu on võimalik matemaatilise pendli puhul. 3. Joa pidevus võrrand Joa pidevuse võrrand. S1v1 = S2v2 , kus v - kiirus S pindala 4. Valguseinerentsi maksimum ja miinimum tingimused Interferentsi maksimum kui lained liituvad ühesugustes faasides, st 2n käiguvahesse mahub poollainepikkusi paarisarv kordi. 2 Interferentsi miinimum kui lained liituvad vastupidustes faasides, st
informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) <= d(u, w) + d(w, v) teist liiki katkevuspunktiks. Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks. 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a
Imus tema esimene raamat “Igal hommikul avan peo,” sisaldab nooruslikku elamus- ja mõtteluulet, mis näitab autori loodustundlikku pilku, lähisuhet vanade traditsioonidega ning avatust laia maailma probleemidele. 1973 a. "Ma kardan ja armastan" 1974 a. "Varjuring ümber tule," J. Smuuli nimeline preemia 1975 a. Selle juhtmotiiviks on inimese vaime väljamurre oma eraldatusest, inimesi ühendavate algseoste (hõim, rahvas, maa, keel jt.) kehtivuse äratundmine ning nende kaudu elu pidevuse ja püsivuse tajumine. 2003 a. "Ajasära" 2009 a. "Mälujuur” Ilmar Lehtpere on tõlginud inglise keelde “The Root of Memory" Lasteraamatud: 1981 a. "Kaarini ja Eeva raamat" 1984 a. "Unenäoraamat" Mõlemas koolieelikutele mõeldus proosateaoses on autor üsna täpselt üles täheldanud lastekõnet, tabades laste mõttelaadi ja fantaasiamaailma. Tõlge: Seppeli vlijakamaks tegevusalaks on tõlkimine, eeskät luule vahendamine türgi-tatari keeltest. Ta on tõlkinud türgi (N
Uuritakse hoolikalt merepõhja reljeefi , kaldajoone iseloomu, põhilisi orientiire kaldal ja vees. Merekaardi usaldatavus Usaldatavus selgub kaardiga tutvumisel Koostamise , väljaandmise , suure ja väikese korrektuuri kuupäevad Määratakse kaardi ülimtäpsus. Uuritakse sügavustähiste korrapärasust , veendutakse valgete laikude puudumises. Tutvutakse merepõhja iseloomuga ankru pidamise prognoosist lähtudes. Veendutakse kaldajoone usaldavuses selle pidevuse järgi. Punkiirjoon viitab umbkaudsusele. Veendu , et kaart vastaks Ülemaailmse geograafilise süsteemi WGS84 nõuetele Soovitused ja ohutusnõuded laevajuhile Rannasõidul kasuta kõige suurema mastaabiga kaarte ! Valge laik kaardil on hoiatus. Hoia eemale ! Hoidu põhjuseta järskudest merepõhja tõusukohtadest suhteliselt madalas vees vältimaks juhuslikult mõõdistamata kaljutippi 20meetrine isobaat on ohtlik suurematele laevadele
Voolu ristlõige voolu ristlõige on voolu risti lõikav pind Hüdrauliline raadius hüdrauliline raadius on voolu ristlõike ja märgperimeetri suhe Voolu hulk voolu hulk on ristlõiget ajaühikus läbiv vedeliku hulk 19. Kuidas leitakse voolu keskmine kiirus? Voolu keskmine kiirus leitakse arvutamis teel, mõõta teda ei saa sest voolu kiirus pikki ristlõiget ei pruugi olla ühesugune. 20. Pidevuse võrrand 21. Bernoulli võrrand hõõrdevabale voolule p1 1v12 p v2 z1 + + = z 2 + 2 + 2 2 = const g 2 g g 2g 22. Vedeliku voolamise reziimid, kirjutada Reynoldsi arv. Vedeliku voolamisel on kaks reziimi laminaarne ja turbulentne. Laminaarse voolu puhul vedelik liigub püsiva kujuga jugadena mis üksteisega ei segune. Turbulentset voolamist iseloomustab intensiivne segunemine kogu ristlõike ulatuses
Seega on lõigul c( x a) ( x) lim x a lim x a c 0 : f ' (a) pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul. xa xa 23*(Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreem lõigus f ( x) f (a ) ? pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Bolzano- Cauchy teoreem lim x a : f ' (a ) f ( x ) f ( a) f ' (a )( x a) ( x ) xa
Rakendades viimasele integraalile keskväärtusteoreemi, saab funktsiooni muudu esitada: =f()(x+x)= f() kus x on väärtus ja x+x vahelt. Leiame funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatise: Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu Sellega on teoreem tõestatud. 24. NEWTON-LEIBNIZI VALEM Kui F(x) on pideva funktsiooni y=f(x) algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem =F(b)-F(a) TÕESTUS Olgu f(x) lõigus [a,b] integreeruv Funktsioon, millel on olemas algfunktsioon F(x) selles lõigus, s.t. F´(x)=f(x) iga x puhul lõigus [a,b]. x
ja veetilga ümaraks. Pindpinevusjõud on suunatud vedeliku kõverdunud pinna puutuja sihis ning on risti pinna piirjoonega igas punktis. Pindpinevusjõud võrdub pindpinevusteguri ja pinna piirjoone pikkuse korrutisega F= *l Siin pindpinevustegur on võrdne pindpinevusjõuga,mis mõjub ühikulise pinna piirjoone pikkuse kohta =F/l Pindpinevustegur sõltub vedeliku keemilistest omadustest ja temperatuurist.SI süsteemis on pindpinevusteguri ühikuks N/m. 2.2.Vedelike dünaamika 2.2.1.Joa pidevuse teoreem · Vedeliku liikumise oleku saab määrata,kui iga ruumipunkti jaoks on teada kiirusvektor,kui aja funktsioon · Vedeliku voolamise kirjeldamiseks on voolujooned-mõttelised jooned voolavas vedelikus,mis on defineeritud nii,et kiirusvektor igas vedeliku punktis ühtib voolujoone puutujaga · Ideaalseks nimetatakse vedelikku,mida ei saa kokku suruda ja kus puudub sisehõõre
15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi
on täis leidmist". Selle raamatu luuletused on nii lihtsad, kindlavormilised, intiimse tundetooniga kui ka suurema mõttekoormusega üldistavad luuletused, mille rütm on vabam ja kujundiline ülesehitus keerukam. Armastusluule ei ole rõhutatult erootiline ega kantud traagilistest vastuoludest. Sageli esineb Niidu luules lapsemotiiv. Armastus, laps, kodu ja loodus ühinevad Niidu luules lõpuks valdavaks elu jätkuvuse ja maailma pidevuse elamuseks. Ajaline saab ajatuks, mööduv kestvaks, habras tugevaks, üksikseik millegi üldistavalt tähtsa esindajaks, kodutunne ja kodumaa-armastus ehitab usalduskindla silla inimesest inimeseni, ühe keele ja rahva juurest teiseni. Luuletustes "See maa"ja "Otsida iseend" väljendub luuletaja ja kodumaa isiklik, lähedane suhe. Ellen Niidu looming on tavaliselt rõõmsameelne ja lastele pühendatud. Tema kirjutatud on luule- ja näidendiraamatud. Need on väga huvitavad ja kiiresti
Pindpinevusjõud on suunatud vedeliku kõverdunud pinna puutuja sihis ning on risti pinna piirjoonega igas punktis. Pindpinevusjõud võrdub pindpinevusteguri ja pinna piirjoone pikkuse korrutisega F= *l Siin pindpinevustegur on võrdne pindpinevusjõuga,mis mõjub ühikulise pinna piirjoone pikkuse kohta =F/l Pindpinevustegur sõltub vedeliku keemilistest omadustest ja temperatuurist.SI süsteemis on pindpinevusteguri ühikuks N/m. 2.2.Vedelike dünaamika 2.2.1.Joa pidevuse teoreem Vedeliku liikumise oleku saab määrata,kui iga ruumipunkti jaoks on teada kiirusvektor,kui aja funktsioon Vedeliku voolamise kirjeldamiseks on voolujoonedmõttelised jooned voolavas vedelikus,mis on defineeritud nii,et kiirusvektor igas vedeliku punktis ühtib voolujoone puutujaga Ideaalseks nimetatakse vedelikku,mida ei saa kokku suruda ja kus puudub sisehõõre
Et keha püüab oma tangensiaalkiirust säilitada, tuleb teda pidurdada (kui liikumine on suunatud telje poole) või kiirendada (kui keha liigub teljest eemale. Tekib liikumisega risti olev inertsijõud. güroskoopilised jõud tekivad, kui püütakse muuta pöörlemistelje ruumilist orientatsiooni. Nagu eelmiste jõudude korral viib ka telje pööramine "tükikeste" trajektoori muutmisele. 15.Pascal'i seadus, Archimedese seadus, pidevuse teoreem Pascal'i seadus: Vedelikud ja gaasid annavad rõhku edasi kõigis suundades ühteviisi. Archimedese seadus. Vedelikku asetatud kehad kaotavad oma kaalust osa, mis on võrdne keha poolt välja tõrjutud vedeliku kaaluga. Pidevuse teoreem: Vedeliku voolamisel muutuva ristlõikega torus on voolamise kiirus pöördvõrdeline toru ristlõike pindalaga. 16.Bernoulli võrrand ning selle olemus
(sin x)´=cosx (cos x)´= -sin x 1 (tan x)´= xlna −1 (cot x)´= sin2 x 1 (arcsin x)´= √1−x 2 1 (arccos x)´= −¿ √1−x 2 1 (arctan x)´= 1+ x 2 −1 (arccot c)´= 1+ x 2 Funktsiooni diferentsuse ja pidevuse vaheline seos. Joonis 12. Pideva funktsiooni y=f(x) korral on täidetud tingimus. lim ∆ y =0 ∆ x→ 0 Kui see tingimus ei ole punktis x=x0 täidetud siis on selles punktis funktsioonil f(x) katkevuspunkt. Teoreem. Kui funktsioon y=f(x) on diferentseeruv punktis x=x0 , siis on see funktsioon pidev selles punktis. Näitame seda. Kuna eelduse kohaselt on funktsioonil y=f(x) tuletis punktis x=x0 olemas, siis on olemas ka järgmine piirväärtus: ∆y
Keermestatakse nii välis- kui sisepinda spetsiaalseid keerme treilõikureid kasutades. Pealiikumine määrab laastu eraldamise kiiruse. Treimiseks on selleks tooriku pöörlemine. Pealiikumise kiirus e. lõikekiirus v on teriku lõikeserva ja lõikepinna vahelise suhtelise liikumise kiirus: v=Dn, m/min, kus n tooriku pöörlemissagedus, min-1. Ettenihkeliikumisel toimub lõikuri serva liikumine ettenihke suunas, mis tagab lõikeprotsessi pidevuse. Ettenihkekiirus e. ettenihe antakse treimisel lõikeserva liikumisena tooriku ühe pöörde kohta (so, mm/pööre) või ettenihkena minutis (s). Lõikesügavus t on töödeldava ja töödeldud pinna vaheline kaugus mõõdetuna risti ettenihkega. 4
Ekvivalentsed l õpmata väikesed suurused. Def. Arvu b nim. fun-ni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () >0, et 8. Funktsiooni pidevus punktis. Ühepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom.Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ )
kreeniga aga kui vahe on väike siis õõtsub kiirelt ja kui negatiivne siis tasakaalustamiseks keerab laeva ümber (püstuvus on võime taastada tasakaalu olekut) 56) keskkiiruse ( u´ ) määramine mahumeetodiga Q V Q=A u´ =konstant ⇒ u´ = kus Q = (vedeliku maht ajaühikus) A t 57. Koostada pidevuse võrrand piirdega märatud voolulõigu jaoks. Piirdega määratud voolamise nagu toru või avasängi veevoolu "lekevabas" lõigus, mille alguse ja lõpu elavlõiked ja keskkiirused on vastavalt (A1,A2) ja (u1,u2) jaoks kehtib pidevuse tingimus: u1A1=u2A2 Voolamise pidevuse võrrand: Q=uA=const Piirdega määratud voolamise kahe elavlõike keskkiiruste suhe on pöördvõrdeline nende elavlõigete pindalade suhtega.
Elektrivälja paigutatud dielektrikus indutseeritakse läbi mitmesuguste mehanismide dipoolmoment. Seda nähtust nimetatakse dielektriku polarisatsiooniks. Summaarne väljatugevus dielektrikus on: Nn. lineaarsetes dielektrikes: Dielektriline läbitavus oli. Järelikult: 11. Mis on elektrinihkevektor? Tema füüsikaline sisu ja kasulikkus. Elektrivälja kirjeldamiseks dielektrikus tuuakse sisse nn. elektrinihke vektor, mis seob voo pidevuse mõistet kasutades välja dielektrikus ja vaakumis ning lihtsustab oluliselt väljade arvutamist. Arvestades asjaolu, et elektrinihkevektor on seotav vabade laengute väljaga vaakumis saab õelda, et elektrinihkevektor aines kirjeldab samuti vabade laengute välja ruumis, kuid dielektrikut arvestades. 12. Tõestage, et juhis on elektriväljatugevus null. Juhis on vabad laengukandajad ca 1024 1/cm3 ja nad võivad liikuda lõpmata väikeste väliste
Suurus on kasvavaks suuruseks suhtes. hulgast D kaks suvalist arvu x ja x nii, et x< x. Kui 0 + 1 + 2 ² + + -1 -1 + = tõkestatud, kui kõik suuruse väärtused kuuluvad 13.Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Pideva funktsiooni f rakendamisel argumentidele x ja x võrratuse 0 + 1 + 2² + + -1 -1 + mingisse lõplikku vahemikku (a,b) märk ei muutu, siis on f kasvav fulgas D. funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile.
x 1 1 + 12. Kui x läheneb lõpmatusele, siis funktsioon x läheneb arvule e: n 1 lim 1 + = e x n 13. Logaritme alusel e = 2,718... nimetatakse naturaallogaritmideks. 14. 15. Argumendi muut ja funktsiooni muut (joonis). Funktsiooni pidevuse definitsioon. Elementaarsete põhifunktsioonide pidevus. Funktsiooni katkevus ja katkevuspunkt. Pidevate funktsioonide omadused koos joonistega. 16. Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x 0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y 0 + y = x ( x 0 + x) .Funktsiooni muut y = f ( x 0 + x ) - f ( x0 ) . 17. x 18
pöördumine kellegi poole. See on otsene kõne. Sonett on pidev edasiminek, pidev teekond. Sonett on kirglik ja kirglikult tuleb seda ka esitada. Soneti sõnad on väga valitud. Juhuslikud, tähtsusetud sõnad on sonetis välistatud. Võimendatult hakkavad mõjuma võrdlused, tees ja antitees, alliteratsioon, assonants. Iseseisvaid mõttelisi tervikuid on sonetis neli. Seega on nähtavaks sissehingamiseks aega neljal korral. Võttes endale vabaduse rohkemaks, seame ohtu mõtte pidevuse. Vähem sissehingates aga libiseme üle olulistest värssidest või keelame neil kajada. Kõike seda arvesse võttes on soneti lugemiseks vaja 45-50 sekundit. Enne soneti esitamist tuleb teha eeltööd: · Tuleb selgeks teha, millest on jutt · Kirjutada sonett ümber proosana · Tõlkida kirjutatu ümber endale omasesse keelde Kui olete aru saanud, millest jutt on, kriipsutada proosatekstis alla need sõnad, mis sonetis on värsside viimased
sin x 1 Tähtsad piirväärtused: lim =1 lim1 + = e x 0 x x n Funktsioon Y = f (x) on pidev kohal a, kui lim f ( x) = f (a) x a Pidevuse tunnus: lim y = 0 x 0 f ( x + x) - f ( x) Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x) = lim x 0 x Liitfunktsiooni tuletis: F ( x) = f (u ) g ( x) 1 Pöördfunktsiooni tuletis: g ( x) = f [ g ( x)]
informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab järgmisi tingimusi: (Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje
kasvavaks suuruseks suhtes. 13. Pideva funktsiooni definitsioon. ( lim juurde(/ x läheneb lõpmatusele näiteks.) kuuluvad x on selle järel mitte all ) Funktsiooni nimetatakse pidevaks punktis a, kui: 1. on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim (x->a)f(x), 3. lim(x->a) (x)= (a) Väljendi "pidev punktis a" asemel võib kasutada ka sünonüüme "pidev kohal a" või "pidev argumendi väärtusel a". Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, (a)) pidev joon. (joonis konspektis lk45) Selgitame seda lähemalt: · Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st (a) eksisteerib. · 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b=lim(x->a) (x). Viimane
Taustkeha võiks valida paigalseisva. Taustsüsteem Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja sellega seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks Nihe Nihkeks nimetatakse suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga Trajektoor Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub Liikumisi saab liigitada liikumise iseloomu ning trajektoori järgi Liikumise pidevuse all mõistetakse seda, et iga keha alati liigub mingi keha suhtes Ühtlane sirgjooneline liikumine Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille puhul keha läbib võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused Keskmine kiirus Keskmiseks kiiruseks nimetatakse füüsikalist suurust, misnäitab millise nihke keha teeb keskmiselt ajavahemikus Keha hetkkiirus Keha hetkkiiruseks nimetatakse kiirust, mida keha omab antud hetkel trajektoori punktis
lõhepinda kivimiplokid on üksteise suhtes nihkunud A paraleelselt kas vertikaalselt või horisontaalselt. A T E A D U S Mäestikud M Kurrutumine on maasisejõudude toimel kivimikihtide lainetaoline paindumine ja üleskummumine ilma kivimikihtide pidevuse A katkemiseta (nn. plastiline deformatsioon) pika aja vältel maakoore suures sügavuses. A T E A D U S antiklinaal sünklinaal pos. kurd neg. kurd eksogeensed Maa välisenergia mõjul tekkinud
põhiseadus kahel kujul (Newtoni II seadus). 59. Lähtudes pöördliikumise põhiseaduse definitsioonist, tõestage impulssmomendi jäävuse seadus. 60. Tuletage vedeliku- või gaasisamba rõhu arvutamise valem. 61. Formuleerige Pascal'i seadus. 62. Formuleerige Archimedese seadus. Tuletage valem üleslükkejõu arvutamiseks vedelikku asetatud kuubi näitel. 63. Lähtudes alljärgnevast joonisest, tuletage vedeliku voolamise pidevuse võrrand. ?64. Formuleerige Bernoulli seadus ja nimetage võrrandis esinevad liidetavad. Mis on nende põhjuseks? 65. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage harmooniliselt võnkuva keha võrrand so. liikumisvõrrand ja perioodi arvutamise valem.. 66. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage füüsikalise pendli perioodi arvutamise valem. 67. Kasutades füüsikalise pendli perioodi arvutamise valemit, tuletage matemaatilise pendli võnkumise võrrand. 68
1.Tootearendus Tiheosakondade vaheline koostöö Turundusosakonna ja tippjuhtide koostöö Erinevused tulenevad sellest: kes ostab? milleks ostab? Tööstustoodete tüübid 1.Toormaterjalid 2. Toodetud materjalid 3. Väikevahendid (supplies) 4. Komponendid 5. Seadmed, masinad 6. Süsteemid 7. Teenused Materjalidega varustamise süsteemi eesmärgid Soodne materjali hind Kaubavarudega seotud kulude vähendamine Soetamis- ja valdamiskulude alandamine Varustamise pidevuse tagamine Materjalide ja komponentide kvaliteedi tagamine Suhted varustajatega Põhilised vastuolud materjalidega varustamises Väikesed varud- risk jätta ennast ilma tagavarata Varude hoidmine väga kulukas Paindlik lähenemine ja lai sortiment kallim Kindel graafik ja kitsas tootegrupp - odavam Tarned hilinevad Vigased müügiprognoosid Ebareaalselt lühikesed tarneajad Ostuprotsessi astmed Probleemi tunnetamine Toote tüübi ja kvaliteedi määramine
Taustkeha võiks valida paigalseisva. Taustsüsteem – Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja sellega seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks Nihe – Nihkeks nimetatakse suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga Trajektoor – Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub Liikumisi saab liigitada liikumise iseloomu ning trajektoori järgi Liikumise pidevuse all mõistetakse seda, et iga keha alati liigub mingi keha suhtes Ühtlane sirgjooneline liikumine – Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille puhul keha läbib võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused Keskmine kiirus – Keskmiseks kiiruseks nimetatakse füüsikalist suurust, misnäitab millise nihke keha teeb keskmiselt ajavahemikus Keha hetkkiirus – Keha hetkkiiruseks nimetatakse kiirust, mida keha omab antud hetkel trajektoori punktis
2. olema jäigad töötama liigselt deformeerumata; 3. olema stabiilsed töötama stabiilses tasakaalus olevana; 4. olema ökonoomsed küllaldase tugevuse, jäikuse ja stabiilsuse korral väike materjali kulu. Selliste vastuoluliste nõuete täitmiseks tehakse arvutusi, mille metoodikat esitab tugevusõpetus. Tugevusõpetuse objektiks on välisjõudude rakendamisel tekkivad lisajõud, mis põhjustavad konstruktsiooni kuju ja mõõtmete muutuse ning ka purunemise. Kuna me kasutame pidevuse hüpoteesi (kontiinium), siis loobume iga osakese poolt arendatavate jõudude individuaalsest uurimisest ja loeme konstruktsiooni elemendi suvalises lõikes mõjuvad lisajõud pidevalt jaotatuks. Välisjõudude rakendamisel konstruktsiooni mis tahes mõtteliste osade vahel tekkiva jõu jaotuse intensiivsust nimetatakse pingeks, kogu eralduspinnal mõjuvat summaarset jõudu sisejõuks. Algmõõtmete printsiip: koormatud konstruktsiooni deformatsioonidega võib mitte arvestada,
kus V on fluidumi maht, mis läbib voolu ristlõiget, ning t aeg. Fluidumi kulu ja keskmine voolukiirus on seotud järgmise valemiga: Q = , (3.30) A kus A on voolu ristlõikepindala. Masskulu on mahtkulust avaldatav järgmiselt: G = Q, (3.31) kus on fluidumi tihedus. 3.4.1.2 Voolamise pidevuse võrrand Voolamise pidevuse võrrand on üks tähtis hüdrodüdünaamika seos. Vaatleme muutuva ristlõikega toru. Juhul, kui tegmist on statsionaarse vooluga, on selge, et laiemasse ja kitsemasse toru ristlõigesse peab sisenema üks ja sama fluidumi mass ajaühikus: G1 = G2 , (3.32) ehk teisisõni: Q1 = Q2 (3.33). Mahtkulude võrdlus kahe erineva ristlõike korral annab järgmise seose:
B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks B suhtes. 15) · Pideva funktsiooni definitsioon Funktsiooni f nim. pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtustel a, st ax 2. eksisteerib lõplik piirväärtus limxa f(x) 3. limxa f(x) = f(a) · Pidevuse geomeetriline sisu Geomeetriliselt tähenda funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik punktis A=(a,f(a)) pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisele nullile Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. · Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral
B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks B suhtes. 15) · Pideva funktsiooni definitsioon Funktsiooni f nim. pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtustel a, st ax 2. eksisteerib lõplik piirväärtus limxa f(x) 3. limxa f(x) = f(a) · Pidevuse geomeetriline sisu Geomeetriliselt tähenda funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik punktis A=(a,f(a)) pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisele nullile Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. · Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral
elementideks. Naaberelementidel peavad olema ühised sõlmpunktid. Kõikide elementide kogusumma peab kogu määramispiirkonna täpselt kokku andma. 4. Pidev arvutatav funktsioon aproksimeeritakse igas elemendis polünoomiga, mis defineeritakse funktsiooni väärtuste alusel sõlmpunktides (st sõlmväärtuste alusel). Igas elemendis võetakse erinev polünoom, kuid need valitakse nii, et funktsiooni pidevuse tingimused elementide rajajoontel oleksid täidetud. Seda polünoomi nimetatakse ka elemendi funktsiooniks. Nendest elemendi funktsioonidest moodustub tükiti pidevate funktsioonide hulk, mis hõlmab kogu määramispiirkonna. 5. Lineaarvõrrandite süsteemi tuletamine antud objekti iseloomustava funktsionaali minimeerimise kaudu. 6. Selle süsteemi lahendamine sõlmväärtuste suhtes. 7. Kõigi vajalike suuruste lõplik arvutamine igas elemendis 14
Jõumoment iseloomustab vaadeldava jõu mõju keha pöörlemisele. Jõumomendi ühikuks SI-süsteemis on njuuton korda meeter (1 N . m). · Inertsimoment I näitab pöörleva keha osade massi jaotust pöörlemistelje suhtes. Inertsimomendi valem: rakendused. I = m r2 Loeng 7: 3 Rõhk p näitab, kui suur jõud mõjub pindalaühikule, p = F / S. Rõhu SI-ühikuks on paskaal (1 Pa). 1 Pa = 1 N/m2. Pidevuse teoreem: Vedeliku voolamisel muutuva ristlõikega torus on voolamise kiirus pöördvõrdeline toru ristlõike pindalaga. Loeng 8: Gaasi olekuparameetrid: o Rõhk o Ruumala o Temperatuur Ainehulk ja temperatuur: Gaasi olekuvõrrand: Isotermiliseks nimetatakse protsessi, mille käigus gaasi temperatuur ei muutu Isobaariliseks nimetatakse protsessi, mille käigus gaasi rõhk ei muutu Isohooriliseks nimetatakse protsessi, mille käigus gaasi ruumala ei muutu Loeng 9:
Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon
13. Pideva funktsiooni definitsioon. ( lim juurde(/ x läheneb lõpmatusele näiteks.) kuuluvad x on selle järel mitte all ) Funktsiooni ƒ nimetatakse pidevaks punktis a, kui: 1. ƒ on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim (x->a)f(x), 3. lim(x->a) ƒ (x)= ƒ (a) Väljendi “pidev punktis a” asemel võib kasutada ka sünonüüme “pidev kohal a” või “pidev argumendi väärtusel a”. Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, ƒ (a)) pidev joon. (joonis konspektis lk45) Selgitame seda lähemalt: Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st ƒ (a) eksisteerib. 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b=lim(x->a) ƒ (x).
r r I = j dS . Voolutiheduse vektori voog läbi kinnise pinna on võrdne laengu S r r dq vähenemisega ajaühikus selle pinna poolt haaratud ruumalas: j dS = - . See on S dt r r voolu pidevuse võrrand. Alalisvoolu jaoks on see võrrand järgmine: j dS = 0 . S Mitteelektrostaatilise päritoluga jõudusid, mis toimivad vooluallika sees, nimetatakse kõrvaljõududeks. Kõrvaljõudude töö ühiklaengu nihutamisel piki ahelat on võrdne elektromotoorjõuga. Homogeenses ahelalõigus (st seal, kus puudub elektromotoorjõud) kulgeva voolu tugevus
annaabi.ee 
