KAHEREALINE JA KOLMEREALINE DETERMINANT Avaldist kujul a · d b · c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu a b = a·d - c·b c d Näited: 3 5 = 3·7 - 4·5 = 21 - 20 = 1 4 7 -2 5 = (2)·(7) - 4·5 = 14 - 20 = -6 4 -7 Avaldist kujul a1b2c3 + c1a2b3 + b1c2a3 c1b2a3 a2c3b1 b3a1c2 nimetatakse kolmerealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kolm rida ja kolm veergu a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Kolmerealise determinandi arvutamiseks kasutatakse n.n. Sarruse reeglit, kuid võib kasutada ka lihtsamat skeemi, kus determinandi järele kirjutatakse täiendavalt juurde kaks esimest veergu ning arvutatakse nagu skeemilt näha: a b c a b a b c a b
Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad.
x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1 + 2 = 1. Näide 2. Lahendame võrrandi x+2 x -4 Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist: 4 1 4 1 4( x - 2) + 1 4x - 7 + = + = = . x + 2 x 2 - 4 x + 2 ( x + 2)( x - 2) ( x + 2)( x - 2) ( x + 2)( x - 2) Seega tuleb lahendada võrrand 4x - 7 = 1, ( x + 2)( x - 2) millest võrde põhiomaduse järgi saame, et (x+2)(x2)=4x7 ehk x2 4 = 4x 7, x2 4x + 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3. Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll !
3 Küsimus 10 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on loogikaalgebra põhiseosed (ehk kehtivad oma muutujate x y z suvaliste väärtuste korral) Vali üks või enam: 1 2 3 4 5 6 7 8 Küsimus 11 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Milline järgmistest sõnastustest esitab duaalsusprintsiipi ? Vali üks: Avaldis ja tema duaalne avaldis on teineteisega alati võrdsed Kui loogikaavaldise väärtus on 0, siis ta ei oma duaalset kuju Kui kaks avaldist on teineteisega võrdsed, siis nende duaalsed avaldised on samuti omavahel võrdsed Kui kaks avaldist on teineteisega võrdsed, siis nende duaalsed avaldised ei ole omavahel võrdsed n-muutujaga loogikaavaldisel leidub 2 astmel n duaalset kuju ? Küsimus 12 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused kehtivad alati (ehk kehtivad suvaliste muutajaväärtuste X1 X2 X3 korral) ? Vali üks või enam: 1 2 3 4 5 6 kõik need 6 võrdust kehtivad alati
1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus
mingi funktsiooni diferentsiaalist on selle funktsiooni enda ja mingi suvalise kontsandi summa: d(uv) = uv +C , seega, selguse mõttes jättes välja konstandi C märkimise (mida saab niikuinii teha alles lõpliku integraali leidmisel), saame avaldise d(uv) = duv + udv mõlemaid pooli integreerides huvitava võrduse: d(uv) = vdu + u dv ja asendades d(uv) ära: uv = vdu + u dv ja siit meie jaoks seda avaldist veel mugavamaks tehes: u dv = uv - vdu SEEGA SIIT JÄRELDADES: KAHE FUNKTSIOONI KORRUTIST SAAB VÕTTA KUI ÜHE FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI JA TEISE FUNKTSIOONI KORRUTIST JA SEEGA INTEGREERIDA SAADUD VALEMI JÄRGI. Seda valemit nimetatakse ositi integreerimise valemiks. Paneme nüüd kirja ametliku, korraliku tekstina: Kui u ja v on diferentseeruvad funktsioonid argumentide hulgal X ja eksisteerib määramata
duaalsusprintsiipi ? Vali üks: Kui loogikaavaldise väärtus on 0, siis ta ei oma duaalset kuju Kui kaks avaldist on teineteisega võrdsed, siis nende duaalsed avaldised ei ole omavahel võrdsed Avaldis ja tema duaalne avaldis on teineteisega alati võrdsed
9. df Tegeliku kettaruumi vaatamine 10. ifconfig Näitab IP addressi 11. addgroup Lisab grupi 12. adduser Lisab kasutaja 13. passwd Muudab või määrab parooli 14. sudo Käivitab nö. Superkasutaja, andes õigused antud tegevuseks 15. apt-get Installeerib tarkvara 16. chmod Seab failile õigused 17. su Aitab sul siise logida teise kasutaja nime alt 18. touch Loob faile 19. grep Otsida tekstifailist read, mis rahuldavad antud regulaarset avaldist 20. alias Pikemale käsule lühema nime andmine 21. nano Editor mis võimaldab muuta ja kuvada faili sisu 22. open Avab või teeb faili/seadme 23. halt peatab arvuti 24. clear Terminalakna puhastamine seal olevast tekstist
1) Milliste x väärtuste korral lõigust 2 , 2 on nende joonte puutujad paralleelsed? 2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni y tan x x tuletis on 0. 6. (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke sin 2 , kui sin rahuldab võrrandit 3
teepikkust, aega ning nendega saame arvutada kiiruse. 8.Kirjuta nihke arvutamise valem ja selgita tähiseid S=x-x0=kolmnurk X Kolmnurk-tähistatakse suuruse lõpp-ja algväärtuse vahet ehk muuta. x-lõppasukoht x0-algasukoht s-teepikkus 9.Mida nimetatakse ühtlaseks sirgjoonelikseks liikumiseks? Nimetatakse sirgjoonelist liikumist, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused. 10.Mida nimetatakse liikumise võrrandiks? Nimetatakse matemaatilist avaldist, mis näitab keha koordinaatide sõltuvust ajast
kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.
kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.
Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa. Selline olukord tekib juhul, kui ruutjuure all olev avaldis on negatiivne. Juurealust avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse neljanda astme algebralist võrrandit, mis on teisendatav kujule kus x on tundmatu ja a 0. Võrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2=y, mis annab
Lained: Laineks nimetatakse võnkumise levimisprotsessi ruumis. Laine on võnkumiste levimine. Lainet elastses keskkonnas tekitab selle ühe osa häiritus, millest tuleb võnkumine ümber tasakaaluasendi. Lainet keskkonnas põhjustab võnkeallika võnkumine. Laine levimiskiiruse määrab keskkonna inertsuse ja elastsuse vaheline vastastikune toime. Elastsusel põhinevad jõud, mis püüavad häiritusest tingitud seisundimuutust kaotada, inertsus paneb nende jõudude toimele vastu. Laineid saab tekitada ka gaasis, näiteks õhus. Laineallikaks on sel juhul heliallikas, mis paneb õhuosakesed võnkuma. Tekkivad õhu tiheduse muutused hakkavad ruumis levima lainena. Kui heliallikas võngub harmooniliselt, siis on ka tekkiv laine harmooniline. Laine põhitunnuseks on energia edasikandmine. Näiteks helilaine kannab edasi helienergiat. Heli ja teised võnkumised: Heli keha vibreerib nii, et ta kuju muutub, see paneb õhuosakesed tihedalt hõredalt liikuma. Tihi-hõre- k...
D 1 1 0 1 0 E 1 1 1 0 1 F 1 1 1 1 1 Tabel 1: Olekutabel Loogiline avaldis skeemina paistab Multisimis selline: Joonis 2: Skeem Lihtsustatud loogika-avaldist saab kontrollida sõnageneraatori ja loogika analüsaatoriga. Sisestasin generaatorisse väärtused 1-st F-ni. Joonis 3: Word Generator Loogika analüsaator kuvab graafikuna, milliste sisendite korral on väljund üks. Joonis 4: Logic Analyzer Järeldus: Simulatsiooni tulemuste alusel võib väita, et minimeerimine on korda läinud. Graafik kirjeldab täpselt olekutabeli sisu. S.t
olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Siis siinuse ja koosinuse seostest t¨aisnurkses kolmnurgas saame b = r sin ϕ, a = r cos ϕ, ning z = a + bi = r cos ϕ + ir sin ϕ, millest saame kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Definitsioon Avaldist z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Definitsioon Avaldist z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks. Definitsioon Arv r on kompleksarvu z moodul |z|. Arvu ϕ nimetatakse
Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · x - hälve tasakaaluasendist · A - maksimaalne hälve ehk võnkumise amplituud · - võnkumise faas ( = t) kus x on hälve tasakaaluasendist, on nurkkiirus, t on aeg ning f on sagedus. Siinuse all paiknevat avaldist ( t) või (2 f t)-d nimetatakse faasiks. Harmooniline võnkumine (siinusvõnked) tekib siis, kui direktsioonijõud on võrdeline hälbega. Kõige lihtsamat korrapärast harmoonilist võnkumist iseloomustab sinusoid. Harmoonilise võnkumise võrrand: x = A sin(t)+0 Võnkumiste konstandid - parameetrid, mis ajas ei muutu: · suurust A, mis väljendab võnkuva keha maksimaalset kõrvalekallet tasakaaluasendist, nimetatakse amplituudiks.
.. 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis Matemaatilist avaldist, milles on vaid lõplik arv kordi kasutatud aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole:
SIsüsteemi seitsme SI-süsteemi seitsme põhiühikuna. põhiühikuna. Kõigi teiste füüsikalisite Kõigi teiste füüsikalisite suuruste ühikuid saab suuruste ühikuid saab tuletada põhiühikutest. tuletada põhiühikutest. Dimensioonivalem Mistahes füüsikalise suuruse dimensiooni saab avaldada seitsme põhisuuruse kaudu. Vastavat avaldist nimetatakse dimensioonivalemiks. On suur hulk nn. dimensioonita suurusi, millede tegelik dimensioon on 1. Ja see 1 tuleb pannagi just vastavate tuletatud ühikute avaldisse sellele suurusele ettenähtud kohale! Niiöelda dimensioonita ehk tegelikult dimensiooniga 1 on näiteks: impulsside arv, vahelduvpinge perioodide või mehaanilise elemendi võngete arv, nurk kui mõõdetav suurus. Kasutatud Allikad: http://tera.chem.ut.ee/~ivo/metro/Room/II_vihik.pdf
1.1 VÕRRAND. VÕRDUS. SAMASUS Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks on võrdused 5 + 3x = 33,5; 2 3 = 6 ; (a + b)(a b) = a2 b2; 3- 1= 2. Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahen...
tuletise võtmise vastandtehe. Integreerimine võimaldab tuletada piirfunktsioonist kogufunktsiooni e.lähtefunktsiooni. määratud integraali väärtuse määravad muuhulgas rajad. MI korral asetatakse integraali sümbolist alla ja üles vastavalt integraali alumine ja ülemine raja- selle lõigu alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int-avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ. Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1. 8)1. 2. Järku tuletised (osatuletise ja dif kaudu, hessiaani kaudu)- esimest järku tingimus: tarvilik dz=0; f´(x)=0 piisav: dx<0 =>f´(x) max,
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o
- b ± b 2 - 4ac x= 1. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = 0, siis saame võrrandi 2a ax2 + c = 0. Juurealust avaldist nimetatakse diskriminandiks ja tähistatakse tähega D. ax2 + c = 0 ax2 = c · Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit; c · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit; x2 = - x1 = - c ja x2 = - c
x2 x 4 0,5 3 x 12 x 1 1 2 x 5ln1 8 3 4 log10 . Kontrolli lihtsustamise õigsust. 3 6 x 2 12 x 2 4) Lihtsusta funktsiooni y avaldist ja joonesta funktsiooni graafik. 8 x 18 x 2 22 x 2 1 2x 4x a 5) Lihtsusta funktsiooni y : avaldis ja joonesta saadud x a x ax x a xa funktsiooni graafik. Leia saadud graafiku puutuja võrrand, kui puutepunkti abstsiss on 1.
- b ± b 2 - 4ac 1. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = 0, siis saame võrrandi x= 2a ax2 + c = 0. Juurealust avaldist nimetatakse diskriminandiks ja tähistatakse tähega D. ax2 + c = 0 ax2 = c · Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit; c c c · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit; x2 = - x1 = - ja x2 = - a a a
koos valemis esinevate nurkadega. Kogu jõud võrdub elektriväljajõu ja magnetväljajõu summaga. 41. Tuletage Biot'-Savart'-Laplace'i seadus lähtudes punktlaengu magnetinduktsiooni avaldisest. BSL seadus: 42. Tuletage sirgvoolu magnetinduktsiooni valem.Tehke vastav joonis koos tähistega. Kasutage B.S.L. seadust. 43. Tuletage koguvooluseadus. Tehke vastav joonis koos tähistega.Kasutage antud tsirkulatsiooni avaldist ja sirgvoolu magnetinduktsiooni avaldist. Tsirkulatsiooni avaldis: Sirgvoolu magnetinduktsiooni avaldis: 44. Leidke solenoidi magnetinduktsiooni valem. Vaatame lõpmata pikka solenoidi. Magnetinduktsioon piki solenidi telge ja ühesugune kõikjal kui vaid keerdude arv pikkusühiku kohta on sama. 45. Leidke toroidi magnetinduktsiooni valem. Kui kontuur valida väljaspoole keerde, siis tsirkulatsioon oleks null. See tähendab, et magnetväli on ainulyt toroidi sees
koos valemis esinevate nurkadega. Kogu jõud võrdub elektriväljajõu ja magnetväljajõu summaga. 41. Tuletage Biot'-Savart'-Laplace'i seadus lähtudes punktlaengu magnetinduktsiooni avaldisest. BSL seadus: 42. Tuletage sirgvoolu magnetinduktsiooni valem.Tehke vastav joonis koos tähistega. Kasutage B.S.L. seadust. 43. Tuletage koguvooluseadus. Tehke vastav joonis koos tähistega.Kasutage antud tsirkulatsiooni avaldist ja sirgvoolu magnetinduktsiooni avaldist. Tsirkulatsiooni avaldis: Sirgvoolu magnetinduktsiooni avaldis: 44. Leidke solenoidi magnetinduktsiooni valem. Vaatame lõpmata pikka solenoidi. Magnetinduktsioon piki solenidi telge ja ühesugune kõikjal kui vaid keerdude arv pikkusühiku kohta on sama. 45. Leidke toroidi magnetinduktsiooni valem. Kui kontuur valida väljaspoole keerde, siis tsirkulatsioon oleks null. See tähendab, et magnetväli on ainulyt toroidi sees
suunaga. Võrdetegur on 6 N/s2. Leida keha liikumise võrrand, kui algkiirus on 0,25 m/s ja see on jõu suunaline. Lahendus gg gg Põhivõrrand m x = Fx , kus Fx = F ning F = 6t 2 põhivõrrand võtab kuju m x = 6t 2 . gg gg Arvestades, et m = 2 kg saadakse 2 x = 6t 2 x = 3t 2 (m / s 2 ) . Integreeritakse saadud avaldist 2 korda: g 3/ t 3 x = 3t 2 dt = + C1 = t 3 + C1 3/ Leitakse integreerimiskonstant C1 , kuna v0 = 0, 25 m / s siis kirjutades avaldise välja g alghetkel t = 0, saadakse 0, 25 = 0 + C1 s.t C1 = 0, 25 , seega x = t 3 + 0, 25 . 3 Integreeritakse teist korda: t4
III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34. Esimest järku harilikud diferentsiaalvõrrandid. Eraldatud ja eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandite mõisted, lahendamine. 35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine muutuja vahetusega ja konstantide varieerimise meetodil. Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kuju, teisendamine lineaarseks võrrandiks. 38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse tingimus, lahendusmeetod. 39. Euleri ligikaudse lahendusmeetodi arvutusvalem. 40. Lineaarsed konstantsete kordajatega homogeensed
Võrratused 10. klass Võrratus Võrratuseks nim. kaht matemaatilist avaldist, mis on seotud märkidega >,<, või . Näiteks: 5>0; 4a+2-1; 3x2-1<8. < ja > on ranged võrratusemärgid; ja on mitteranged võrratusemärgid. Võrratuse omadused Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3. Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt teisele, muutes üleviidava liikme märki. Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) nullist erineva arvuga
DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) 1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum. DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal- on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0 Suhe y / x läheneb x 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25
see tähendab, et dispersiooni mõjul levivad optilises keskkonnas erineva sagedusega lained erineva kiirusega. , kus on lainepikkus. Grupikiirus on funktsioon laine sagedusest. DISPERSIOONI ARVUTAMINE : Vältimaks väikese murdumisnäitajate vahe jagamist väikese lainepikkuste vahega , kasutatakse dispersiooni iseloomustamiseks fikseeritud lainepikkustele vastavate murdumisnäitajate vahet või mõnda muud avaldist. Dispersiooni iseloomustatakse tavaliselt Fraunhoferi joontele C, D, H ja F vastavate lainepikkuste abil. 1. Keskmine dispersioon: 2. Eridispersioon: 3. Suhteline dispersioon : NÄITEKS: · Dispersiooni tuntuim näide on päikeselise ilma ja vihma koosmõjul tekkiv vikerkaar. Valguskiir murdub (refraktsioon) vihmapiiska, peegeldub piisa tagaküljelt ning murdub vihmapiisast välja. Juba esimene murdumine lahutab valguse erinevateks
kui x = l 2, siis = 0 : Ühtlase joonkoormusega ühtlase p x 3 lx 2 l 3 = v = - + lihtvarda telje pöördenurk: 2 EI 3 2 12 · varda läbipainde avaldise (funktsiooni) saab pöördenurga avaldist integreerides: p x 3 lx 2 l 3 p x 4 lx 3 l 3 x kus: C2 integreerimis- v= 2 EI 3 - + 2 12 dx = - 2 EI 12 6 12 + + C 2 ,
Samasihiliste harmooniliste võnkumiste liitmine vektorite abil taandub vektorite liitmise operatsioonile. 8. Ristsuunaliste harmooniliste võnkumiste liitmine. 9. Sumbuvad võnkumised. 10. Sundvõnkumised. Resonants. F0 on sundiva jõu maksimum väärtus. on sundiva jõu sagedus. 11. Tasalained ja seda iseloomustavad suurused. 12. Laine faas, faasikiirus. Lainevõrrand. Lainevõrrandiks nimetatakse avaldist, mis määrab võnkuva punkti hälbe olenevalt tema koordinaatidest x, y, z ja ajast t: = (x, y, z; t). 13. Superpositsiooniprintsiip. 14. Termodünaamiline ja statistiline uurimismeetod. 15. Ideaalne gaas. Omadused: o Molekulide vahel puudub interaktsioon ( puudub molekulide omavaheline vastastikmõju ehk ei toimu vastastikkuseid põrkeid). o Molekulidel puuduvad mõõtmed. o Molekulid on pidevad korrapäratus liikumises.
Lahendame ruutvõrrandi 4x² - 17x + 4 = 0, milleks kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit b b 2 4ac x1,2 = . 2a 17 17 2 4 4 4 17 225 17 15 x1, 2 24 8 8 x1 4 x 2 0,25 Võime leida lahendid ka nii, et esmalt kontrollime kas võrrandil on üldse lahendeid, st. leiame ruutvõrrandi diskriminandi D. Avaldist b2-4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks ning ruutvõrrandil (1) on kaks erinevat lahendit, kui D > 0 (2) on kaks võrdset lahendit, kui D = 0 (3) lahendid puuduvad, kui D < 0. Antud juhul D = 17² - 4 4 4 = 225 > 0, st. on 2 erinevat lahendit ja nüüd leiame 17 225 17 15 need x1, 2 ning x1 4 ja x 2 0,25 . 8 8 Saame
kuna nii alg- kui lõpptemperatuurid võrduvad toatemperatuuriga. Seega p1V1=p3V2. (2) Ruumala V2 võrdub anuma ja anumat manomeetriga ühendava toru koguruumalaga, kuid on tundmatu, sest osa gaasist voolas kraani avamisel pudelist välja. Need suurused on aga elimineeritavad järgmisel viisil. Tõstes avaldise (2) astmesse ja jagades tulemuse avaldisega (1), saadakse: p1 p3 = . (3) p1 p2 Logaritmides avaldist (3), võib leida jaoks avaldise: log p1 - log p 2 = (4) log p1 - log p3 Seejuures on rõhkude p1 ja p3 väärtused avaldatavad atmosfäärirõhu ja manomeetri näitude kaudu järgmiselt: p1 = p 2 + gh1 p3 = p 2 + gh2 (5) kus on manomeetris kasutatava vedeliku tihedus, g- raskuskiirendus. Valemid (4) ja (5) võimaldavad katse tulemuste põhjal arvutada . Et arvutused oleksid lühemad, lihtsustatakse arvutuseeskirja järgmiselt
· Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi 1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised
raskusjõu mõjumisel. Maa ja vaadeldava keha vaheline gravitatsioonijõud: Maa h m RM mM mg r = RM+h Võrdsustades gravitatsioonijõu kaks avaldist: m mM G = mg, ( RM + h ) 2 g = m M 2 . ( RM + h ) Maapinna lähedal, kus h RM , g = 9,81 m/s2. Keha kaal. Kaaluta olek Keha kaal ( P ) jõud, millega keha mõjutab alust või riputusvahendit: P = m( g ± a ). Märk + vastab üles, märk - alla suunatud kiirendusele a.
rääkida ka ainete moodustamise standardsetest entalpiatest H°f Standardsed entalpiad on toodud tabelites, arvutustes on tähtsal kohal Hessi seadus (vt. T. Tamme loengud ja harjutused) Kasutades tabelites toodud entalpiaid on võimalik arvutada soojusefekte n.ö. Ette, ilma, et ise eksperimente üldse teeks. Eksotermilised on sellised protsessid, kus H<0 Endotermilised on protsessid, kus H>0 Entroopia Kasutades mõlemat kasuteguri avaldist: Termodünaamika teine seadus: Kõikides protsessides entroopia kas jääb samaks või suureneb. Kõikides suletud süsteemides toimuvate pöördumatute protsesside puhul entroopia kasvab. dS>0 Entroopia kasvu seadus on üks füüsika kõige tähtsam seadus, mis määrab protsesside ja aja suuna p, V, T, U, H, S Vaba energia, Gibbs´i vaba energia: Vaba energia muut näitab, kuhu suunas reaktsioonid kulgevad spontaanselt, kui
Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z. Om: 1' (x×y×)·z=x·(y×z) 2' segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3' [xyz] 2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus
II t=tanx Kui R(-u,-v)=R(u,v), siis R(u,v)=R(u,(v/u)u)=R1(u,v/u), kusjuures R(-u,v/u)=R1(-u,-v/- u)=R(-u,-v)=R(u,v)=R1(u,v/u). Muutuja R1(u,v) sisaldab ainult muutuja x paaris astmeid. III t=sinx Kui R(-u,v)=-R(u,v) , siis R(u,v)=uR1(u2,v) ja on otstarbekas kasutada muutuja vahetust t=sinx: N TAGASIASENDUS! 2.9 Hüperpoolsete funktsioonide integreerimine I Üldine 2.10 Algebraliste funktsioonide integreerimine +TAGASIASENDUS! III Diferentsiaalbinoom Avaldist , kus , , on ratsionaalarvud(Q) ning a, bR, nim diferentsiaalbinoomiks. Lause:Diferentsiaalbinoomi integraal osutub elementaarfunkiooniks juhul, kui , või on täisarv. 1)Kui on täisarv, siis olgu n murdude ja ühine nimetaja, siis muudab avaldise ratsionaalseks muutujate vahetus . 2)Kui on täisarv, siis asendades , saame ,et , ja . Olgu m murru nimetaja; siis selle integraali alune avaldis on ratsionaalne suhtes, s.t . Seega muudab asendus selle avaldise
Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1, 2 2a algusesse Ruutvõrrandi diskriminant Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on kaks erinevat reaalset lahendit Näide Võrrandi 3x 2 7 x 2 0 diskriminant on D (7) 2 4 3 2 25 0 Võrrandil on kaks reaalarvulist lahendit: 7 (7) 2 4 3 2 x1 2 23 7 (7) 2 4 3 2 1 x2 23 3
2 1) 4x ( 8x 7 ) < 1 2) 7(2y -3) 4(5y 7) 1 3) 0 25 - x RUUTVÕRRATUSED. Kõrgema astme võrratused. Ruutvõrratuste lahendamiseks on mitu meetodit. Piirdume intervallide meetodiga. Intervallide meetodi algoritm: 1. Leida avaldise nullkohad (võrdsustada nulliga). Avaldist võib lahutada tegureiks. 2. Paigutada nullkohad arvsirgele. 3. Uurida avaldise märki igas saadud intervallis (igas intervallis valime suvalist arvu, asendame selle arvu ja uurime saadud märki). Intervallid omavad kas ,,+" või ,, ,, märki. ,,+" märgiga intervall vastab ,,> 0" võrratusele ja ,, ,, vastab ,,< 0" võrratusele. Näide 5. Lahendada võrratus x2 3 x < 0. Leiame avaldise nullkohad, võrdsustades ,,0"-ga
arg z = arg z + 2*k 2*1, 2*1, ..., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised: argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad r z| , arg z
järku tuletiseks kohal a. ′ 𝑓 (𝑛−1) (𝑥) − 𝑓 (𝑛−1) (𝑎) 𝑓 (𝑛) (𝑎) ≔ [𝑓 (𝑛−1) (𝑎)] 𝑥=𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Korgemat järku diferentsaalid. Avaldist 𝑓′(𝑥)∆𝑥 nimetatakse funktsiooni 𝑦 = 𝑓 (𝑥) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse 𝑑𝑦 või 𝑑𝑓, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Võttes 𝑦 = 𝑥, saame 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑥 ′ ∙ ∆𝑥 = ∆𝑥 𝑑𝑥 – argumendi diferentsiaal 𝑑𝑦
5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 . 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamisvahemik ja ekstreemumid. 3) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 7. (1998) On antud funktsioon f(x) = sin x cos x. 1) Lihtsustage avaldist f(x) f(-x). 2) Lahendage võrrand f(x) = 1 3) Lahendage võrratus f(x) > 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f(x) miinimumkoht vahemikus (0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 1 8. Antud on funktsioon f ( x ) x 2 x 2 . 1) Leidke funktsooni f(x) määramispiirkond. 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemik. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik.
2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a Avaldist D b 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. 2 Kui D 0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D = 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Näide 12 Lahendamine: 3x2 – 8x – 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 8 8 2 4 3 3 8 100 8 10
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis.
Kärpimine võimaldab otsida samatüvelisi erinevate lõppudega sõnu. Suvaline arv tähemärke sõna lõpus asendatakse sümboliga, enamasti on kasutusel * (tärn) või ? (küsimärk). Sulgude kasutamine Kui te kasutate ühes päringus erinevaid operaatoreid, tuleb arvestada, et operaatoritega NOT ja AND ühendatud avaldisi otsitakse enne, OR jääb kõige viimaseks. Seega, kui soovite seda järjekorda muuta, tuleb kasutada sulge. Sulgudes olevat avaldist otsitakse enne. Otsing Lihtotsing Paljudes andmebaasides tuleb vaikimisi ette lihtotsingu võimalus, mille puhul otsitakse kirje kõikidelt või vaikimisi määratud väljadelt. See võib anda häid tulemusi väga kitsa teema puhul, kuid enamasti on tulemuste hulk suur ja sisaldab ka mittevajalikku. Täpsem otsing (otsing väljade järgi) Saab kasutada ka täpsemat otsingut (Advanced Search), kus saab ette anda, millisel väljal otsitav
annaabi.ee 
