docstxt/13646421495899.txt
öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEORingjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. TEOKui sirge läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega, siis see sirge on ringjoone puutuja TT Sirge on ringjoone puutuja parajasti siis, kui see sirge läbib raadiuse otspunkti ja on risti raadiusega TT Puutujate lõikepunkt M on puutepunktidest P ja Q võrdsetel kaugustel: MP=MQ
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat y0 puutepunkti ordinaat ehk y-koordinaat - puutuja tõusunurk
Tuletis. Rakendused Puutuja tõus Funktsiooni uurimisel Funktsiooni uurimisel Funktsooni F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x
Magneetumine-nähtus, kus keha omandab püsiva magnetvälja Demagneetimine-ferromagneetiku viimine omamagnetvälja täieliku puudumisse seisundissePüsimahnet-keha, mis omab püsivat stabiilset magnetväljaSpinn-osakeste olemusliku sisemine liikumineMagnetvälja suund-suund, mis näitab orienteerunud magnetnõela põhjapoolust Magnetvälja jõujoon-mõtteline joon, mille igas punktis on B-vektor puutujasuunalineSolenoid-pöörisväli, mis tekib spiraali keritud juhtme ümber alalisvoolu korralDomeen-iseenesliku magneetumise piirkond ferromagneetikusSamasuunaliste voolude korral juhtmed tõmbuvad, erisuunaliste korral tõukuvad.Ampere'i seadus-juhtmele mõjuv jõud sõltub voolutug, juhtme pikk, magvälja tug ja nurgast voolusuuna ning magvälja vahel.F=BILsin a B=maginduktsiooni vektorVasaku käe reegel- kui vasak käsi asetada nii, et väljasirutatud sõrmed näitavad el.voolu suunda, maginduktsiooni vektor B on suunatud peopessa, siis 90C nurga all väljasir pöial n...
2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus: 1) X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); 2) y = 20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - x lnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) X=( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) xmax= 6/e 2) y = x +6 y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2 x
b) milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused suuremad funktsiooni g(x) väärtustest. c) Funktsiooni f(x) väärtus, kui x e sin 3 . 11. (2000) On antud funktsioon f(x) = x ln x x ln 5. 1) Leidke funktsiooni f(x) määramispiirkond, graafiku ja x-telje lõikepunkt ja miinimumpunkti abstsiss. 2) Koostage joone y = f(x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge. 2 sin x 1 12. (2000) On antud funktsioon f ( x) , x (0; ) . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f(x) on määratud lõigul [0 ; ]. 2) Leidke vahemikus ( 0; ) a) Funktsiooni f(x) nullkohad; b) Vahemikud, kus funktsioon f(x) on positiivne ja kus see on negatiivne;
0,1250 46 46 45 46 62,29693431 0,2500 51 51 51 51 55,78222222 0,5000 59 59 59 59 48,21853107 1,0000 72 71 72 72 39,69618605 X Y I puutuja 0,0000 71,72 0,8889 0 II puutuja 0 68,3 0,8 26,8 III puutuja 0 71 0,8 14,9 IV puutuja 0 62,5 0,9 35,8
Kordamisülesandeid 12.klassile eksamiks valmistumisel 1. Leida funktsiooni y = -0,5x2 4x ekstreemum, kahanemispiirkond ja graafiku puutuja kohal x = -2 7 + 2x 2. Leida funktsiooni y log negatiivsuspiirkond x 3. Leida joone x- 1 puutuja, mis onparelleelne sirgega 8x 2y + 1 = 0 y x 4. Leida funktsiooni y = x3 2x + 4graafiku puutuja tõus kohal, kus graafik lõikub funktsiooni y = x3 graafikuga. 5. Ringi on joonestatud suurima pindalaga ristkülik ümbermõõduga 80 cm. Milline on selle ristküliku pindala ja ringi raadius? 3 6 a 3 a+9 - 6. Lihtsusta avaldis a+3 a-9 6 a 7
valemis kohal a siis me saame Selle valemiga saab leida valemi f(x)f(a)+f'(a)(x-a) vea. N. Hindan viga nt. Seoses . . Jääkliikme absoluutväärtus: . Kuna 11+0,06*2 (0<<1) siis ma saan ahela . Tulemuseks saan N. f(x)=ex (f(x))n=ex f(k)(0)=1 (f(x))n+1=ex (f(x))n+1=ex (0<<1) Lause: ex jaoks n-järku Maclaurini valem on selline: Kuidas leida jääkliiget erinevate x-de ja n-de korral See valem võimaldab meil ex väärtust välja arvutada võimalikult täpselt! 1. 21. Joone puutuja ja normaal Olgu f-n y=f(x) diferentseeruv punktis x ja |x|<. Kui (x, y) on f-ni y=f(x) graafiku punkte (a, f(x)) ja (a+x,f(a+x)) läbiva lõikaja suvaline punkt, siis lõikaja võrrand on Puutuja f-ni y=f(x) graafikule punktis (a, f(x)) on lõikaja piirseid piisprotsessis x0. Minnes piirile, saame puutuja võrrandiks: Et juhul kui 0<|f '(a)|<+ on joone puutuja tõusunurga tangensi ja normaali tõusunurga
pos. Laengule mõjuva jõu ja laengu suuruse suhet. Elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Elektrivälja iseloomustavad omadused: ta on pidev ja katkematu,ta on lõpmatu,ta levib kiirusega 300 000 m/s, ta vahendab laengue vastastikmõju. Elektrivälja jõujooned algavad positiivselt laengult ja lõpevad negatiivsel laengul või suunduvad lõpmatusesse. Jõujoone puutuja näitab igas punktis elektrivälja tugevust. Kehade elektriseerimine on kehale elektrilaengu andmine. Elektrilaeng on mõnede kehade omadus mille kaudu väljendub nende kehade elektromagnetelist vastastikmõju. Elektrilaeng võib kanduda ühelt kehalt teisele. Samaliigiliste kehade vahel mõjub tõukejõud,eriliigilistel tõmbejõud. Coulombi seadus Kaks elektrilaenguga keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega. Kummagi jõu moodul on võreline kehade
diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne xteljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on ¨uks taoline punkt c, parempoolsel graafikul aga kaks punkti c1 ja c2. Lagrange'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f´(c)(b - a) . Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest
1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6 d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2 e) Antud on funktsioon x
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
teoreem) Olgu funktsioon y=f(x) antud parameetrilisel juhul võrranditega. Siis kehtib valem . Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x)=. Funktsiooni x= argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Analoogiliselt saame funktsiooni , mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose . Kasutades neid valemeid saame: 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. a. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) b
> 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a- ; a) ja nõgus hulgal (a; a + ) või nõgus hulgal (a - ; a) ja kumer hulgal (a; a + ). 18.Näidata, et f'' märk määrab kas meil on tegemist antud punktis kumera või nõgusa funktsiooniga. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. Kuna
Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal. 17) Diferentsiaali kasutamine ligikaudses arvutuses.
Teoreem: Olgu funktsiooni y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega: Siis kehtib valem: Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x) = . Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult '(t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t)=. Kasutades valemeid arvutame: 22. JOONE PUUTUJA DEFINITSIOON Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y = f(x) (graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletada joone puutuja võrrand punktis A = (a,f(a)). Märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a,f(a)) kujul y-f(a)= p(x a), kus p on s tõus. Praegu on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni tuletise kaudu
tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Marginaalsuurus majandusnäitajatega funktsiooni tuletis Mkulu 15kr tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu muutu Mtulu 10 - tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kogutulu muutu 8. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni graafiku puutuja tõus antud punktis, f' (x) = tan 9. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funkt.diferents. funktsiooni tuletise ja argumendi muudu korrutis Geomet.tähendus graafiku puutuja ordinaadi muut 10. Mida näitab funktsiooni elastsus? Mida tähendab, et nõudlusfunktsiooni elastsus on -2? Funktisooni elastsus - näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub
või vasakult funk väärtuste jada f(xn)
läheneb kindlale arvule A siis see arv A on
funk f(x) piirväärtus argumendi x
lähenemisel arvule a lim f(x)=A 4.funk
tuletis-funk tuletis on funk muudu ja argu
muudu suhte piirväärtus argu muudu
lähenemisel nullile.y=f(x) tuletiste tähised
y`,f`(x),dy/dx,df/dy,yx funk tuletis sümb.-
y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)-
f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis
puntkis näitab selle funk muutumiskiirust
antud punktis. 5.joone puutuja-joonele
mingis punktis tõmmatud puutuja on seda
punkti läbivate lõlikajate piirasend.putuja
võrrand y-y0=f`(x0)*(x-x0)
6.funk kasv/kah ja extreem-funk f(x)
kasvamispiirkond on selline osa
määramispiirkonnast milles suuremale
argu-le vastab suurem funk väärtus.kui
x1
∆y f ( x+ ∆ x )−f (x) f’(x) = lim = lim Geomeetriline tõlgenus: tuletise f(x) väärtus argumendi x antud ∆ x→ 0 ∆x ∆ x→ 0 ∆x väärtusel = x-telje positiivse suuna ja funktsiooni f(x) graafikule punktis M 0(x,y) joonestatud puutuja vahelise nurga tangensiga. f’ on mingis punktis graafikule tõmmatud puutuja tõusunurga tangens. f’(x) = tan α. f ' ( x )−f ' (a) f ( n−1 ) ( x )−f ( n−1 ) (a) f’’(a) := [f’(a)]’x=α = lim f(n)(a) := [f(n-1)(a)]’x=a = lim x→ a x−a x→ a x−a
Korrutise reegli tõestus: f ( x +∆ x ) g ( x + ∆ x )−f ( x ) g(x ) 1 ( fg )' ( x )=lim =lim { [ f ( x+ ∆ x )−f ( x ) ] g ( x +∆ x ) + f ( x) [ g ( x + ∆ x ) −g ( x) ]}=¿ lix→ x→ 0 ∆x x→ 0 ∆ x 9. Defineerida joone y = f(x) puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). 10. Tuletada joone y = f(x) puutuja võrrand punktis A=(a, f(a)). Kõigepealt märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A(a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP tõusunurk tähistatakse β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ¯p = tan β. Täisnurkselt
Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus.
Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus.
Funktsiooni y=f(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läh eneb nullile (∆x→0) Milline on tuletise geomeetriline Funktsiooni tuletist võib antud punktis tähendus? geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja võrrandiks punktis (x*, f(x*) ) on y - f(x*)=f`(x*)(x - x*) Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tähendus. tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist ja tähistatakse dy
2!2! 8! 9 10 15 5 2 1 P ( B ) = p ( L1) p ( L2) = = . 14 15 21 Vastus: Tõenäosus, et võetud pallid on sama värvi, on 19/40 ja 4 kollase palli saamise tõenäosus on 1/21. 5. (15p) Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avaldage ringi raadius ning ringi sektori pindalade suhe. Avaldage see suhe, kui = 60 o . Lahendus: Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega r. Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r sin = = ( R - r) sin = r ; 2 AO R - r 2
1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1 1Sõnasta taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused. Viete'i valemid 1Mis on ringjoone puutuja? Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt ehk puutepunkt, mis asub alati väljaspool ringjoont. Puutuja on alati risti raadiusega.
Kui vaadelda ühepoolseid piirväärtusi tingimustel x0-0 või x0+0, siis saame vasempoolse või parempoolse tuletise. *Kui f.-l on tuletis mingis punktis, siis on ta pidev selles punktis. Vastupidine väide on vale. Näide. Leian f.-i y=sinx tuletise. (sinx)´= lim delx0 dely/delx= lim delx0 (sin(x+delx)-sinx)/delx= lim delx0 (2sin(((delx)/2)cos(x+ (delx)/2))/delx= lim delx0 2(((delx)/2)cos(x+(delx)/2))/delx= lim delx0 cos(x+(delx)/2)=cosx. Seega (sinx)´=cosx, kusjuures sinxD(R). 15. Joone puutuja ja normaali võrrand: Puutuja: Joone puutuja ja tema võrrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget s mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (joonis 3.2). Meie eesmärgiks on tuletada puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime et valemi (3.2) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a; f(a)) kujul y - f(a) = p(x- a) ; (3.3) kus p on s tõus
Nimetatud probleemi täpsemaks matemaatiliseks hindamiseks tuleb leida vastavaid seoseid kirjeldavate funktsioonide tuletised. Mõiste tuletis asemel kasutatakse majanduses mõistet lisand- ehk piirsuurus ehk marginaal . Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku objekti muutumise kiirusena, mis ei pruugi olla sõltuvuses ajast, vaid mõnest muust majanduslikust muutujast ( näiteks, hinnast, toodangu mahust jne). y Puutuja tus on kiirus antud punktis C C B Likaja tus on keskmine kiirus ligul A x y y = ax + b A y= f(x) yA xA x
diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk; kolmnurga nurkade summa on 180° Piirdenurk on 20°, piirdenurk toetub samale kaarele, =20°, piirdenurk =90° sest ta toetub diameetrile, on kolmnurga nurk NB vaja teada piirdenurga ja kesknurga =180°-20°-90°=90°-20°=70°. mõistet 10.Ringjoone puutuja - sirge, millel on vaata slaid 6 ringjoonega ainult üks ühine punkt; Ül.1097 puutepunkt: puutuja ja ringjoone ühine punkt; Leida puutujate vaheline nurk, antud nurk risti puutepunkti tõmmatud raadiusega puutepunktidesse joonestatud raadiuste vahel 100°. NB ringjoone punktist saab tõmmata läbi mitu tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad
Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. k 0 k! Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja
funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5
13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga).
tõestada vastav teoreem): Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega Siis kehtib valem Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) =?. Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult (t) =?. Analoogiliselt saame funktsiooni y =(t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = ?. Kasutades neid valemeid arvutame: See tõestabki valemi. 22. Joone puutuja definitsioon: Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) : tuletada puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi (3.9) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p = tan
2) hüvise kogus suureneb rohkem(elastsuskoefitsent >1); 3) hüvise kogus väheneb(koefitsent <1). Seetõttu on Engeli kõvera tõus eri juhtudel erinev. Sissetuleku elastsuskoefitsenti on võimalik tuletada ka Engeli kõvera abil. Oletame, et meil on vaja see leida punktis A. Sellek tõmbame punktist A läbi puutuja, mis lõikab horisontaaltelge(meil punktis C). Elastsuskoefitsendi valemi abil võime välja arvutada sissetuleku elastsuskoefitsendi. Toodud valemi parempoolne esimene liige x/M on puutuja tõusu pöördväärtus, mille võime avaldada suhtena Cx1/Ax1 või Cx1/OM1. Asendades viimase suhte elastsuskoefitsendi
Elektriväli laengute vahelise mõju vahendaja. Elektrivälja tugevus antud punktis võrdub sellesse puntki viidud proovi laengule mõjuva jõu ja laengu suuruse suhtega. Elektrivälja tugevus on vektor, mille suund ühtib positiivsele laengule mõjuva kehale. Elektrivälja jõu jooned on jooned mille puutuja siht, mis tahes puntkis üthib elektrivälja tugevuse Vektori sihiga antud punktis. Elektrivälja, mille väljuv tugevus on igas punktis samasuur ja suund samas suunas nim. homegeenseks elektriväljaks. Elektrivälja jõujoonte omadused: nad ei lõiku, mida tihedamalt paiknevad jõujooned seda tugevamad on elektriväli, ajas muutumatu elektrivälja korral saavad jõu jooned alguse kas pluss laengult või lõpmatustest ja lõpevad kas miinus laengult või lõpmatustest
2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6. Joonisel on antud ruutf-ni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud.
Olgu antud liitfunktsioon y=f[g(x)] ehk ahela kujul y=f(x), u=g(x) Siis ( )] ( ) ( ) ( ) Vahepealne muutuja u valitakse nii, et oleks võialik leida tuletis f`(u) põhivalmite abil. Siis jääb leida veel vaid tuletis g`(x), milleks võime vajaduse korral jälle kasutada valemit. Tegelikul arvutamisel vahepealne muutuja u eraldatakse mõttes. N: y=(3x2+1)2 y=f(u)=u2, u=g(x)=3x2+1 16.Joone puutuja võrrand antud punktis: Joone puutuja võrrand punktis ( ) Antud juhul ja Funktsiooni tuletis y`=(x2)` = 2x ja f`(x0) = 2x0 = 2x0 = 2·( ) Asendades viimast võrrandisse (1) saame otsitava puutuja võrrandit y=-x- 17.Milliseid punkte nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks, kriitilisteks punktideks, maksimum ja miinimumpunktideks. Joonis: Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne miinimum (b)lokaalne maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub
f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x-teljega. Lagrange'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga
b= u(a), siis liitfunktsioon = (u) on pidev punktis a Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas Funktsioon f(x) on pidev punktis a siis ja ainult siis, kui f(a-) = f(a) = f(a+) . Kui vasak ja parempoolne piirväärtused on võrdsed. 49.Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile. 50.Joone puutuja mõiste Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni
x x 3. Piirväärtus: y f ' ( x) = lim = lim (2 x + x) = 2 x x 0 x x 0 4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö 5 Tuletise definitsioonist lähtudes leia funktsiooni y = - tuletis. x 8 Joone puutuja Joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja y Q PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. y Täisnurksest kolmnurgast tan = P QP x 0 x x 0
E=Fo/F Välja mõiste- kätkeb endas jõu tekkimise võimalikkust Eritüübilised väljad- üksteist ei sega ega mõjuta. Mateeria võib olla kahel moel, ainena või väljana Elektrostaatiline väli- väli, mille tekitab paigalseisev elektrilaeng Elektromagnetlaine- valgus, mikrolained, raadio, televisioon, infrapuna jne Elekrtivälja tugevus- näitab, kui suur jõud mõjub sellel väljal ühikulisele elektrilaengule E=F/q Elektrivälja jõujoon- mõtteline joon, mille igas punktis e-vektor on puutuja suunaline Puutuja- ringjoon, mis puutub geomeetrilist kujundit täpselt ühest punktist Homogeenne elektriväli- elektriväli, mille jõujooned on võrdsetel kaugustel paiknevad, võrdsete pikkustega paralleelsed sirged, mille vahekaugus aja jooksul ei muutu Mittehomogeenne elektriväli- elektriväli, mille jõujooned paiknevad mittevõrdsetel kaugustel ja on mittevõrdsete pikkustega mitteparalleelsed sirged, mille vahekaugus aja jooksul muutub
Joonte orienteerimine Orienteerimiseks nimetatakse plaanil olevate joonte asendi määramist ilmakaarte suhtes. Ilmakaared määratakse seisupunkti meridiaani järgi. Jooni võib orienteerida: 1. geograafilise meridiaani ehk tõelise meridiaani suhtes 2. magnetilise meridiaani ehk põhja-lõuna suuna suhtes 3. ristkoordinaadistiku X-telje suhtes Topograafia ülesannete lahendamisel toimub orienteerimine geograafilise meridiaani järgi Lähtesuunaks punktis on sellisel juhul meridiaanikaare puutuja K, T punktid maaellipsoidil PP’ maaellipsoidi pöörlemistelg N geograafilise meridiaani põhjasuund S geograafilise meridiaani lõunasuund NS meridiaanikaare puutuja punktides K ja T Maastikul saadakse kompassi magnetnõela abil magnetiline põhja-lõuna suund. Kuna magnetpoolused ei ühti geograafiliste poolustega, siis magnetiline põhja-lõuna suund ja geograafilise meridiaani suund ei lange kokku. Tõeline asimuut, magnetiline asimuut
E=Fo/F Välja mõiste- kätkeb endas jõu tekkimise võimalikkust Eritüübilised väljad- üksteist ei sega ega mõjuta. Mateeria võib olla kahel moel, ainena või väljana Elektrostaatiline väli- väli, mille tekitab paigalseisev elektrilaeng Elektromagnetlaine- valgus, mikrolained, raadio, televisioon, infrapuna jne Elekrtivälja tugevus- näitab, kui suur jõud mõjub sellel väljal ühikulisele elektrilaengule E=F/q Elektrivälja jõujoon- mõtteline joon, mille igas punktis e-vektor on puutuja suunaline Puutuja- ringjoon, mis puutub geomeetrilist kujundit täpselt ühest punktist Homogeenne elektriväli- elektriväli, mille jõujooned on võrdsetel kaugustel paiknevad, võrdsete pikkustega paralleelsed sirged, mille vahekaugus aja jooksul ei muutu Mittehomogeenne elektriväli- elektriväli, mille jõujooned paiknevad mittevõrdsetel kaugustel ja on mittevõrdsete pikkustega mitteparalleelsed sirged, mille vahekaugus aja jooksul muutub
Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A.
Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A.
Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a
sõltuv muutuja x järelikult . Kasutades valemeid arvutame Teoreem Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul võrrandiga Siis kehtib valem Tõestus Funktsiooni argument on x ja sõtluv muutuja y mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja x mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja y mistõttu 22. · Joone puutuja ja selle võrrand Olgu tasandil xy teljestikus antud joon . Joone puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja
Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum
muutuja x funktsiooni S ( x) . Uurime saadud funktsiooni tuletise abil, st leiame tuletise S x ja lahendame võrrandi S x 0 . Maksimum- ja miinimumkoha eraldamiseks uurime funktsiooni tuletise märgi muutumist tuletise iga nullkoha ümbruses või funktsiooni teise tuletise märki tuletise nullkohal. Kui punkti P abstsiss on leitud, asendame selle seosesse y f x ja arvutame punkti P ordinaadi. 2) Olgu puutepunkt M x0 ; y 0 . Teame, et funktsiooni y f x graafiku puutuja tõus kohal x0 on võrdne funktsiooni tuletisega sellel kohal, seega a f x0 . Kuna punkt M x0 ; y 0 asetseb nii joonel y f x kui ka puutujal y ax b saame koostada võrrandisüsteemi: # y0 ax0 b " , kus a f x0 . ! y0 f x0 Kui võrrandite vasakud pooled on võrdsed, peavad olema võrdsed ka paremad pooled, seega f x0 f x0 x0 b . Lahendades saame punkti M abstsissi x0 (I).
annaabi.ee 
