Kõrgema matemaatika eksam (1)

4 HEA

Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid.
Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n- veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega:
Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks.
Liigid:

Ruutmaatriks (m=n)
Diagonaalmaatriks – ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d.
Ühikmaatriks – diagonaalmaatriksi erijuht . Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E.
Nullmaatriks – kõik nullid . Täh Θ.

Tehted maatriksitega ( korrutamine arvuga, liitmine , lahutamine, korrutamine).

Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks .
Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (aij) ja B = (bij)  A+B =(cij) kus cij = aij + bij.
Maatriksite lahutamine: esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa. A – B = A + (–B). Vastand maatriks on maatriksi B vastand –A, mille kõik elemendid vahetavad märki.
Maatriksite korrutamine: erimese teguri A veergude arv peab võrduma teise teguri B ridade arvuga. A (m*n) ja B (n*p). A*B = C, mille elemendid cik leidakse summana:

Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1:
Nt 2:

Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read.

Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor , alamdeterminant.
Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu , mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh |A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks.
n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg , kus paikneb vaadeldav element.
n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor.

Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad.
Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega:
Nt:
Kolmandat järku ruutmaatriksi det arvutatakse sedasi:
Nt:
Kolmanda järgu puhul saab kasutada ka Sarrusi reeglit:

Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri.

Determinandi minig rea ( veeru ) elementide ühise teguri võib tuua determinandi ette. St determinandi korrutamisel arvuga, korrutatakse vaid ühe rea (veeru) elemendid selle arvuga.
Kui determinandis on nullide rida (veerg), siis determinandi väärtus on null.
Kui determinandis on kaks ühesugust rida (veergu), siis on determinandi väärtus null.
Antud determinandi ja tema kahe rea (veeru) asukohtade vahetamise tulemusena saadud determinandi väärtused erinevad märgi poolest.
Kui determinandis peadiagonaalist allpool (ülalpool) asetsevad elemendid on kõik nullid, siis determinandi väärtus võrdub peadiagonaali elementide korrutisega.
Determinandi väärtus ei muutu, kui ühele reale (veerule) liita nullist erineva arvuga korrutatud mingi rida (veerg).
Ruutmaatriksi ja tema transponeeritud maatriksi determinantide väärtused on võrdsed.

Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri .
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist maatriksit A-1, mille korral AA-1 = A-1A = E. Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit.
Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev.
Transponeeritakse alamdeterminante.
Nt:
detA = -45

Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend .
Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi:
Laiendatud maatriks:

Kahe rea asukoha vahetamine
Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga
Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine.

Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid .
Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks.

Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest.
Tundmatute maatriks
Ja vabaliikmete maatriks
A on kordajate ehk süsteemimaatriks.
AX=B
X=A-1B
Nt:

Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule . Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid.
Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. Kui astmelisele kujule viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige, siis on süsteem vastuoluline. Kui sellist rida ei ole, on süsteem lahenduv. Kui lahenduvas süsteemis on n tundmatut ja astmelisele kujule viidud maatriksis on k juhtelementi siis juhul n=k on süsteemil ainult üks lahend , juhul k 0, vastassuunaline kui arv Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite
summaks nim vektorit

Kolmurgareegel – liidetavad vektorid ühendada järjest – summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti;
Rööpküliku reegel – liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka.

Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori –y summa st:

Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine).
Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks - st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite summana: a(a1;a2;a3)  a = a1i+a2j+ a3k.
Vektori koordinaadid: võttes vektori alguspunktiks koordinaatide alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele.

Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides.
Vektorite AB ja BC summaks nim vektorit AC=AB+BC.

Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused ).
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nim nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga α koosinuse korrutist. St
Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3)
Skalaarkorrutis leiab rakendusi vektorite pikkuste arvutamisel ning vektorite, sirgete ja tasandite vaheliste nurkade leidmisel.

Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused).
Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nim sellist vektorit c, mille siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole; pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga.
Avaldis koordinaatides:

Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused).
Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c.
Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega.

Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused.
Kollineaarsuse tunnused:

Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed.
Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor.
Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega.

Ristseisu tunnused:

Skalaarkorrutis on 0
Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega.

Komplanaarsuse tunnused:

Segakorrutis on 0

Sirge sihivektor . Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil).
Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised.
Sirge võrrand tasandil:
Kanooniline võrrand - ehk
- sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi.
Üldvõrrand -
Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa. Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral.
Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b
Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega

Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid.
Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti)
Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti.

Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis.
Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t.
Parameetrilised võrrandid:

Tasandi normaal . Tasandi üldvõrrand ruumis.
Tasandi normaal ( ristsirge ) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil.
Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0
Saadakse: (M0X)*n = 0  nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0.

Ellips (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused).
Ellipsiks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste summa kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st |F1P| + |F2P| = 2a.
Punkte F1 ja F2 nim ellipsi fookusteks.
Ellips on teist järku joon, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist (fookusest) on konstantne .
Võrrandi koordinaatkuju:
Kanooniline võrrand:

Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused).
Hüperbooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste vahe kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st | |F1P| − |F2P| |= 2a.
Punkte F1 ja F2 nim hüperbooli fookusteks.
Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne.
Koordinaatkuju:
Kanooniline võrrand:

Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused)
Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed.
Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks .
Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel.
Kanooniline võrrand:

Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid.
Ühe muutuja funktsioon – kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks kindel muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et on antud funktsioon x-st ehk y=f(x). X sõltumatu muutuja, y sõltuv muutuja.
Mitme muutuja funktsioon – kui iga vektori (x1, x2, ..., xn) korral saab leida ühe kindla muutuja w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1, x2, ..., xn. w=f(x1,x2,...,xn).
Elementaarfunktsioonid – funktsioonid, mida saab moodustada põhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y=x2+2x+2, y=log(2x-3). Põhielementaarfunktsioonid: f(x)=c; xa; ax; logax; sinx , arccotx.

Jada piirväärtuse ja funktsiooni piirväärtuse mõisted.
Olgu arvjada x1, x2, ..., xn. Kui sellel jadal on selline hea omadus, et mis tahes Є > 0 korral saame vaadeldavas jadas (xn) leida sellise elemendi xi, millest alates kõik ülejäänud jada elemendid kuuluvad mingi fikseeritud arvu a Є -ümbrusesse, siis öeldakse, et see arv a on jada (xn) piirväärtuseks (ehk jada koondub arvuks a).
Funktsioon y = f(x). Olgu x1, x2, ..., xn, selle funktsiooni argumentidest moodustatud jada. Saame moodustada ka vastava funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn). Kui vaadeldaval funktsioonil on selline omadus, et arvuks a koonduva mis tahes argumentide jada x1, x2, ..., xn korral vastav funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) koondub alati arvuks A, siis öeldakse, et see arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks ja kirjutatakse kujul:

Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised .
Ühe muutuja funktsiooni tuletis – kui leidub lõplik piirväärtus:
siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f’ või y’.
Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal – kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f’(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f’(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx.
Kõrgemat järku tuletised – funktsiooni f’ tuletist nim funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f’’. Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f’’’ jne.

Liitfunktsioon ja selle tuletis.
Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.
Olgu antud kaks funktsiooni g : X  Y ja f : Y1  Z. Kui leidub vähemalt üks selline x Є X, et g(x) Є Y1 ja seega f[g(x)] Є Z, siis on meil defineeritud uus funktsioon F(x) = f[g(x)], mille määramispiirkonna X1 moodustavad kõik sellised funktsiooni u = g(x) määramispiirkonna X elemendid x, mille korral g(x) kuulub funktsiooni f(u) määramispiirkonda Y1. Saadud funktsiooni F nimetatakse funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks. Funktsioone f ja g nimetatakse siinjuures liitfunktsiooni F komponentideks, seejuures funktsiooni g nimetatakse ka liitfunktsiooni seesmiseks funktsiooniks, funktsiooni f aga väliseks funktsiooniks.
Näiteks funktsioon F(x) = (1 − x3)2 on seesmise funktsiooni g(x) = 1 − x3 ja f(u) = u2 liitfunktsioon, mis on määratud kogu reaalarvude hulgal R.
Olgu antud liitfunktsioon F(x)=f[g(x)]. Kui funktsioon g on diferentseeruv kohal x ja funktsioon f on diferentseeruv kohal u=g(x), siis on diferentseeruv ka liitfunktsioon sellel kohal x.

Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad.
Summa: (u+v)’ = u’ + v’
Korrutis: (uv)’ = u’v + uv’
Jagatis : (u/v)’ = (u’v – uv’)/v2

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste . Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus.
Tuletise geomeetriline tähendus – funktsiooni esimene tuletis mingil kohal annab funktsiooni puutuja tõusu sellel kohal.
Tuletise füüsikaline tähendus – funktsiooni esimene tuletis mingil ajahetkel annab hetkkiiruse sellel ajahetkel.
Kiirus – funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel – funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.
Kiirendus – funktsiooni teist järku tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirendust argumendi muutumisel.

Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste.
Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu ∆xz ja muudu ∆x suhte piirväärtust ∆x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega:
Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu ∆y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi.
Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z’x ja z’y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul:
kus dx=∆x, dy=∆y

Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine.
z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z’x , z’y , z’’xx , z’’yy , z’’xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed.
1) Leida statsionaarsed kohad – süsteem: z’x(x0;y0) = 0 ja z’y(x0;y0) = 0;
2) Leida (x0;y0) = Z’’xx*Z’’yy – (Z’’xy)2.
3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z’’xx 0 ja Z’’xx > 0, siis min koht; kui (x0;y0)

Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon . Määramata integraal ja selle omadused.
Funktsiooni y=F(x) nim funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x)=F’(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunktsioon, siis on seda y=F(x)+C
Näide: Funktsiooni f(x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F(x) = e2x, sest F´ (x) = 2e2x = f(x).
Määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim kõikide algfunktsioonide hulka ehk
f(x)dx = F(x) + C.
Määramata integraali omadused:

[f(x)dx]’ = f(x);

d[f(x)dx] = f(x)dx;

dF(x)=F(x)+C;

af(x)dx = af(x)dx;

[f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx.

Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine ).
Muutujavahetus - f(u)du = f[g(x)]g’(x)dx; ( u = g(x); du = g’(x)dx )
Ositi integreerimine - udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste või ln).

Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton -Leibnizi valem.
Määratud integraal – eeldusel , et f(x) on pidev lõigus [a;b]; kui leidub piirväärtus, siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni.
Omadused:

Kui rajad on võrdsed on integraal 0

Määratud integraal funktsioonide summast võrdus liidetavate integraalide summaga .

Määratud integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega.

Kontstantse teguri C võib tuua määratud integraali märgi ette.

Integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks.

Määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne

Newton-Leibnizi valem:

Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga : (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega.
Olgu funktsioon y=f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a,b]. Kujundit mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x=a ja x=b, nim kõvertrapetsiks. Selle kõvertrapetsi pindlala on võrdne määratud integraaliga:

Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend.
Harilik diferentsiaalvõrrand – võrrand, mis seob üht sõltumatut muutujat x funktsiooni y=f(x) ja selle funktsiooni tuletisi või diferentsiaali.
Järk – võrrandis sisalduvate tuletiste kõrgeim järk.
Üldlahend – iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral.
Erilahend – üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused.

Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV).
Eralduvate muutujatega – diferentsiaalvõrrandit kujul
nim eralduvate muutujatega võrrandiks.

Eksponentsiaalse kasvu valem.
Eksponentsiaalne kasv on suuruse y suurenemine seose y=ax järgi, kus a>1.

.DOC Laadi alla originaalfail 13 lk · .doc · 371 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 13 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-01-31 Kuupäev, millal dokument üles laeti

371 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

maria255 Õppematerjali autor

maatriks, determinant, pöördmaatriks, LVS, laiendatud maatriks, üld- ja erilahend, Gaussi meetod, koordinaatsüsteem sirgel, ristkoordinaadistik tasandil, punkti ristkoordinaadid tasandil, polaarkoordinaadistik, ristkoordinaadistik ruumis, vektor, vektorkorrutis, segakorrutis, sirge sihivektor, sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis, tasandi normaal, ellips, hüperbool, parabool, ühe ja mitme muutuja funktsioon, jada piirväärtus, funktsiooni piirväärtus, diferentsiaal, tuletis, liitfunktsioon, osatuletis, täisdiferentsiaal, ekstreemum, algfunktsioon, määramata integraal, määratud integraal, ositi integreerimine, Newton-Leibniz, kõvertrapets, diferentsiaalvõrrand

Sarnased õppematerjalid

doc

Kõrgem matemaatika

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks.

Kõrgem matemaatika

doc

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks.

Matemaatika

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

pdf

Kõrgem matemaatika I suuline eksam

1. peatükk 1) Definitsioon 1.1: maatriks Ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnev ristkülikukujuline arvude tabel. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor Ruutmaatriks - ridasid ja veerge sama palju Reamaatriks - koosneb ühest reast Reavektor - sama, mis reamaatriks Veerumaatriks - koosneb ühest veerust Veeruvektor - sama, mis veerumaatriks 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Maatriksid on võrdsed, kui nende ridade ja veergude arv on võrdne ning vastavatel kohtadel elemendid on võrdsed. 4) Definitsioon 1.4: maatriksite summa Maatriksite summa on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide summad. 5) Definitsioon 1.5: maatriksite vahe Maatriksite vahe on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide vahed. Järjekord on oluline. 6) Definitsioon 1.6: maatriksi korrutamine skalaariga Maatriksi A korrutist skalaariga λ nim. maatriksit λA = B, mille elemendid saadakse maatriksi A kõigi el

Kõrgem matemaatika

pdf

KM SUULINE

Kategoriseerimata

pdf

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt

Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo

Algebra ja analüütiline geomeetria

docx

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimeta

Kõrgem matemaatika

docx

Lineaaralgebra eksami kordamisküsimused vastused

1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend

Matemaatiline analüüs 1

Rohkem sarnaseid