Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-...
03; 2 + 3i; 5 2i; - 3i+4. d) (2 - i 3 )2 e) ( 2 - i 3 )2 f) (1 - i)4 Leia nende arvude seast naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsio- g) (1 + 2i)3 h) (4i - 5)3 i) ( 2 + i 3 )3 naalarvud, kompleksarvud, positiivsed arvud ja negatiivsed arvud. 827. Leia antud kompleksarvu kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE ESITUS. KOMPLEKSARVU a) 2 + i b) 1 - 5i c) 7i - 4,4 d) -7 + 0i TRIGONOMEETRILINE KUJU e) 0 + 0i f) -(3 - 5i) g) 8 - (3 - 5i) h) 1 - i - i 828. Kirjuta kaks kompleksarvu, mille 1
IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 13 8.5 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit 2 -1 1 3 X = 4 -2 2 6 8.6 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit 2 -1 1 3 X= 4 -2 2 6 V. Kompleksarvud 1 Kompleksarvu m~ oiste ja esitusi 1.1 Kompleksarvu m~ oiste Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist j¨ ar- ku ruutmaatriksit, milles 1) peadiagonaali elemendid on v~ ordsed, 2) k~orvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud. K~oigi kompleksarvude hulka t¨ ahistame C ja nimetame kompleks- arvude korpuseks. 1
Teist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0
docstxt/14485677651408.txt
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i). · seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruut...
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Ko...
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm:
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tun...
Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega. Kui z = a + ib, siis ehk y-koordinaat on b ja x-koordinaat on sama Seega geomeetriliselt kujutuvad kompleksarvud z ja sümmeetriliselt x telje suhtes. Vaatleme nüüd liitmise geomeetrilise tõlgenduse. Olgu , , siis . Arvudele , ja vastavad kohavektorid on OA a, b, OB c, d ja OC a c, b d
.. Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = , ...
· 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H elementide a ja b korral on nendega sooritatud tehte f(a;b) tulemus uuesti hulga H element, siis öeldakse, et hulk H on vaadeldava tehte suhtes kinnine
(2) Kahe kompleksarvu vahe moodul võrdub neid arve komplekstasandil kujutavate punktide vahelise kaugusega: ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) . 2 2 z1 - z2 = 3. Kompleksarvude korrutamine. z1 z2 = ( a1a2 - b1b2 ) + ( b1a2 + a1b2 ) i Kui kompleksarvud on kirjutatud trigonomeetrilisel kujul: z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1 ) ja z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) Siis z1 z2 = r1r2 cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 ) , 4. Kompleksarvude jagamine. Kompleksarvude jagamine defineeritakse korrutamise pöördtehtena. z1 Olgu z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ja z2 = a22 + b22 0 . Siis = z on niisugune kompleksarv, et
ja arvude mitmeid üldistusi. Meil siin tähendab sõna "skalaar" sama, mis sõna "arv". Arvu all mõistame aga reaalarvu 17. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 18.Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. N naturaalarvud (0,1,2,3,4,5.....) Z täisarvud (-1,-2,-3,5,6,7....) Q ratsionaalarvud (1/2, -3/4, 2,34) R reaalarvud (, 2, e) C kompleksarvud (1-4i, 6 + 7i, 2i) 19.Arvu absoluutväärtus 20.Muutuvad ja jäävad suurused = 3.14 e = 2,71 x,y,z 06.01 21.Lõik, vahemik, poollõik Vahemik on sirge paiknevate punktide hulk, mis asub kahe punkti vahel Lõik on sirge, mis ühendab kaht punkti A ja B (punktid A ja B kaasa arvatud) Seda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.6 Punkti kaugus tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 14.7 Nurk kahe sirge vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 14.8 Nurk kahe tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 15 Kompleksarvud. Algebraline ja trigonomeetriline kuju 137 15.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Kompleksarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 x1 f1 x ...
Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud Reaalarvud R Lõpmatud kümnendmurrud, sh mitteperioodilised Järjestatud, lõpmatu, pidev +; ; korrutamine, jagamine, juurimine Kompleksarvud 2.2 Reaalarvude piirkonnad arvteljel Lõik a-st b-ni [a; b] a xb Vahemik a-st b-ni ]a, b[ või ( a; b ) a< xa ]a; [ või ( a; ) Poollõik a-st b-ni [a; b[ või [a; b ) a x
katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused............................................................................................................. 6 3. Muutuvad ja jäävad suurused, tuua näiteid. .................................................................................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. ......................
vektorid, tensorid etc.) juures ning arvuridade kirjapanekul (summeerimisindeksid). Kõikide täisarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga Z. Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv. Ratsionalarv arv, mida saab esitada kujul a/b , kus a ja b on täisarvud ning b0 . Ratsionaalarvude tähis on Q. Kompleksarvude hulk- Kompleksarvud on algebraline süsteem, mis lubab kirja panna suvalise astme võrrandi lahendeid. Koosneb reaal- osast (tavaline reaalarv) ja imaginaar-osast (reaalarvu korrutis imaginaarühikuga i. Imaginaarühik defineeritakse seosega i²=-1 . Matemaatikud kasutavad kompleksarve II järku diferentsiaalvõrrandite teoorias, füüsikud ostsilleeruvate (võnkuvate) süsteemide kirjeldamisel, kus nad annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse
III (funktsiooni mõiste, piirväärtus, diferentseerimine, tuletise rakendused, määramata ja määratud integraal, selle rakendused pindala, ruumala ja kaare pikkuse leidmisel). Nende kolme üksteisele järgneva kursuse kõrvale võib valida ka üksteisest sõltumatuid kursusi Matemaatika A (arvud ja avaldised, arvjadad, matemaatiline induktsioon, Newtoni binoom, arvuti ja programm- meerimine, kujundite lüke, sarnasus), Matemaatika B (vektorid tasandil ja ruumis, kompleksarvud ja tehted nendega, tõenäosuse arvutamine, binoom- jaotus, lihtsamate arvutusalgoritmide programmeerimine) või Matemaatika C (maatriksid ja tehted nendega, lineaarvõrrandisüsteemid, teist järku jooned, polaarkoordinaadid, joone võrrand polaarkoordinaatides). Oluliseks peetakse õpilaste loogilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamist, matemaatika põhimõistete lahtimõtestamist nende rakendatavuse aspektist, üldse
sugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30]. Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus, et neist ükskord kasu ei võiks tulla. Mõnikord me ei oska lihtsalt seoseid ümbritsevaga näha ning nad või- vad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel – nende abil on hea kirja panna kõige väikse- mate osakeste käitumist. Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstrakt- sest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud
2 lahendid, D=0 korral on kaks võrdset D=2 -4 m (-1)=4+4m lahendit, D>0 korral kaks erinevat lahendit 1)kaks võrdset lahendit D=0 4+4m=0, 4m=-4, m=-1 NB diskriminant on ruutvõrrandi 2)kaks erinevat lahendit lahendivalemis ruutjuure all olev avaldis; D>0 4+4m>0, 4m>-4, m>-1 negatiivse väärtusega diskriminandi korral 2)pole lahendeid on lahendid kompleksarvud (õpid hiljem) D<0 4+4m<0, 4m<-4, m<-1 24.Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteem Ül.1446 2 2 - ax +by +cxy+dx+ey+f=0 kahe antud süsteem tundmatuga ruutvõrrandi üldkuju, kordajad y=2x 2 2 a, b ja c ei ole korraga nullid; süsteem x +y =5 koosneb kahest kahe tundmatuga asendada teise võrrandisse y (esimese võrrandist, milles vähemalt üks võrrand on võrrandi järgi)
t aeg. Kuidas hakkab muutuma XV aja vältel, sõltub karaktervõrrandite lahenditest ja siin võivad olla järgmised: a) Kõik lahendid on reaalsed ja negatiivsed, sel juhul süsteem on stabiilne. Kui lahendite seas on olemas üks positiivne lahend, siis summaarne liige selle lahendiga püüdleb kui t püüdleb ja kogusumma püüdleb ja süsteem on ebastabiilne. pi = i + j i sel juhul b) Kui lahendid on kompleksarvud ci e pt = ci e (i + ji ) t = ci eit * e jit = ci et (cos t + j sin t ) Siit näeme, et kompleks lahendite puhul tekib võnkeprotsess, millest räägib siinuste ja koosinuste olemas olek. Kas võnked sumbuvad oleneb lahendi reaalosa märgist. Sumbumiseks oleks vaja, et oleks negatiivne. Järeldus: stabiilsuse määramiseks diferentsiaalvõrrandi järgi tuleb lahendada karaktervõrrandid ja selle lahendi järgi võib teha järelduse
t aeg. Kuidas hakkab muutuma XV aja vältel, sõltub karaktervõrrandite lahenditest ja siin võivad olla järgmised: a) Kõik lahendid on reaalsed ja negatiivsed, sel juhul süsteem on stabiilne. Kui lahendite seas on olemas üks positiivne lahend, siis summaarne liige selle lahendiga püüdleb kui t püüdleb ja kogusumma püüdleb ja süsteem on ebastabiilne. pi = i + j i sel juhul b) Kui lahendid on kompleksarvud ci e pt = ci e (i + ji ) t = ci eit * e jit = ci et (cos t + j sin t ) Siit näeme, et kompleks lahendite puhul tekib võnkeprotsess, millest räägib siinuste ja koosinuste olemas olek. Kas võnked sumbuvad oleneb lahendi reaalosa märgist. Sumbumiseks oleks vaja, et oleks negatiivne. Järeldus: stabiilsuse määramiseks diferentsiaalvõrrandi järgi tuleb lahendada karaktervõrrandid ja selle lahendi järgi võib teha järelduse
UNIVISIOON Maailmataju A Auuttoorr:: M Maarreekk--L Laarrss K Krruuuusseenn Tallinn Märts 2015 Leonardo da Vinci joonistus Esimese väljaande kolmas eelväljaanne. Autor: Marek-Lars Kruusen Kõik õigused kaitstud. Antud ( kirjanduslik ) teos on kaitstud autoriõiguse- ja rahvusvaheliste seadustega. Ühtki selle teose osa ei tohi reprodutseerida mehaaniliste või elektrooniliste vahenditega ega mingil muul viisil kasutada, kaasa arvatud fotopaljundus, info salvestamine, (õppe)asutustes õpetamine ja teoses esinevate leiutiste ( tehnoloogiate ) loomine, ilma autoriõiguse omaniku ( ehk antud teose autori ) loata. Lubamatu paljundamine ja levitamine, või nende osad, võivad kaasa tuua range tsiviil- ja kriminaalkaristuse, mida rakendatakse maksimaalse seaduses ettenähtud kari...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
