Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine,
Raudvara 1.osa Üksliige Üksliikmeid nimetatakse arvuliste ja täheliste tegurite korrutist. x·2·x·y·3·(-5)·z=-15x2yz Kordaja 1 ja -1 jäetakse kirjutamata. Kordaja -1 asemel kirjutatakse lihtsalt märk. 1abc=abc -1abc=-abc Sarnased üksliikmed, sest täheline osa on sama. 3ab+4c-2ab-c=ab+3c Astmete korrutamine ja jagamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. am·an=am+n 37·311=37+11=318 (-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412 Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. am:an=am-n ehk. = am-n 75:72=75-2=73 Astme astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. (am)n=am·n (23)4=23·4=212 -82= -64 (2x3)4= 24·(x3)4=16x12 (-32·x3·y4)6=312·x18·y24 Negatiivne astendaja Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetatakse lugeja ja nimetaja
liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0
Lahutamine on vastandarvu liitmine Ratsionaalarvude liitmine lahutamine on vastandarvude liitmine. Posiiivse arvu B vastandarv on -B Negatiivse arvu -B vastandarvuks on positiivne arv B Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsionaalarvude korrutamine Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste
millega mõlemad nimetajad jaguvad b) igale murrule laiendaja, selle saad kui ühise nimetaja jagad murru esialgse nimetajaga c) nüüd korrutad laiendajat ja lugejat ning saad sellised murrud, kus nimetajad on ühesugused arvud d) nüüd saad liita/lahutada murdude lugejad, aga nimetaja ei muutu e) vajadusel taandad murru või teisendad liigmurru segaarvuks Harilike murdude korrutamiseks ja jagamiseks tuleb: NB! Täisarvud ja segaarvud teisendada kõigepealt liigmurdudeks 1) korrutamisel kirjutad lugejad lugejasse ja nimetajad nimetajasse ning taandad, kui see on võimalik, seejärel korrutad lugejad omavahel ja nimetajad omavahel 2) jagamisel tuleb jagamine asendada pöördtehtega ehk korrutamisega ning jagaja (tagumine murd) asendada pöördarvuga. Seejärel teed täpselt nii nagu korrutamisel.
Seda nimetajat nimetatakse ühiseks nimetajaks. Edasi liidetakse nagu samanimelisi murde. Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude lahutamine Laiendatakse ühte murdu nii, et mõlemad murrud oleksid ühenimelised. Edasi toimitakse nii, nagu ühenimeliste murdude lahutamisel. Erinimeliste murdude lahutamine Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga
Seda nimetajat nimetatakse ühiseks nimetajaks. Edasi liidetakse nagu samanimelisi murde. Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude lahutamine Laiendatakse ühte murdu nii, et mõlemad murrud oleksid ühenimelised. Edasi toimitakse nii, nagu ühenimeliste murdude lahutamisel. Erinimeliste murdude lahutamine Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga
linane lõng mida on pleegitatud. Merseriseeritud Lõnga lühiajaline lõng (30-50sek) töötlemine kontsentreeritud seebikivi (NaOH) lahuses temperatuuril 15- 18°C. Melanžlõng Kedratud eri värvi kiudude segust. Muliinlõng Saadud erinevat värvi lõngade korrutamisel. Sõlmlõng Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng kerib ühe punkti ümber sõlmekese. Bukleelõng Kaheastmeline, kusjuures efekti moodustab pehme ja paks eellõng, mis korrutatakse laugjalt ümber ühekordselt korrutatud lõnga.
Näidis Pilt Nimetus Kirjeldus Melanžlõng Kedratud eri värvi kiudude segust. Või vörvitud ja vörvimata kiudude segust. Muliinlõng Saadud erinevat värvi lõngade korrutamisel. Efektlõng Näidis Pilt Nimetus Kirjeldus Sõlmlõng Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng(teist värvi) kerib ümber ühe punkti ümber sõlmekese. Bukleelõng Kaheastmeline,efekti
Vastavalt ette antud võrranditele kirjutame välja maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3 2 -1 Tabel 2. Maatriks L 10.5 5.5 10 Neid kahte maatriksit alusena võttes ning kasutades valemit X= (A TA)-1ATL leiame muutujate X ja Y tõenäolisemad väärtused. Maatriksite korrutamisel tuleb järgida valemis ette nähtud järjekorda. Excel’is maatriksite korrutamiseks kasutame MMULT funktsiooni, mille tarbeks tuleb esmalt ära märkida tulemusmaatriksi suurus. See kujuneb algmaatriksite kaudu- ridade arv on võrdne esimese maatriksi ridade arvuga ning veergude arv teise maatriksi veergude arvuga. Tulemuseks saame maatriksi X (Tabel 3) otsitavate muutujatega X ja Y. Tabel 3. Maatriks X muutujate X ja Y väärtustega 6.1 2.2
ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa. A+B=(aij + bij) A,B; A+B Mmxn Def 4 : (mxn) järku maatriksi A korrutiseks arvuga µ nimetatakse sama järku maatriksi µA, mille elemendiks on maatriksi A kõigi elementide korrutis selle arvuga. Arvuga korrutamisel järk ei muutu. A,µA Mmxn µA=(µaij) Def 5 : maatriksi A vastand maatriks A nimetatakse sellist maatriksi, mille elemendiks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused. A; -A Mmxn -A=(-aij) Def 6 : (m×n) järku maatriksite A ja B vaheks nimetatakse sama järku maatriksit A B, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)B summaga. A,B ; A B M(m×n) A B= A +(-1)B A-B= (aij bij)
NB! - 3 ( - 2 ) = - 3 + 2 = - 1 NB! 2 ( + 3) = 2 + ( - 3) = - 1 NB! 3 ( + 2) = 3 + ( - 2) = 1 NB! 0 2 = 0 + (-2) =- 2 + 0 = - 2 NB! 0 ( - 2) = 0 + 2 = 2 KORRUTAMISEL/JAGAMISEL tuleb vastuseks positiivne arv siis, kui 1) kõik arvud on positiivsed 2) negatiivseid arve on paarisarv negatiivne arv siis, kui 1) üks on positiivne ja teine negatiivne arv 2) negatiivseid arve on paaritu arv NB! 0-ga korrutamisel on vastus alati 0, näiteks 0 · ( -2) = 0 NB! 0 jagatud mistahes arvuga on alati 0, näiteks 0 : ( -2) = 0 NB! mistahes arvu 0-ga jagada ei saa, näiteks -2 : 0 = vastus puudub TEHETE JÄRJEKORD suunaga vasakult paremale 1) sulgude olemasolul tehted selle sees 2) kõik astendamised, korrutamised, jagamised selles järjekorras nagu nad vasakult paremale on 3) viimasena kõik liitmised, lahutamised selles järjekorras nagu nad vasakult paremale on
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide .
Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused liidetakse. Näited: 5(4x-2y)=20x-10y ; -3u(5u-v)= -15u +3uv Hulkliikme jagamine üksliikmega Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse. Näide: Teguri toomine sulgudest välja Näited: 12x -4x + 8x=4x(3x -x+2) ; 4a y+12ay = 4ay(a+3y) ; 15a b c -25a b c +40a b c
Tehted maatriksitega · kaks samadimensionaalset maatriksit on võrdsed, kui vastavad elemendid on võrdsed · maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga
siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub kogu det väärtus nulliga 5) Kui det mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat, siis on võimalik seda det esitada kahe sama järku det summana, kusjuures esimene det koosneb vaadeldava rea/veeru esmestest liid ja teine teistest liid ja ülejäänud liid jäävad oma kohtadele
milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse tulemuste liitmisel; A·BB·A. Maatriksit mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nim nullmaatriksiks . Maatriksit mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga ja ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga nim ühikmaatriksiks E; E·A=A ja A·E=A. Maatriksite liitmisel, maatriksi korrutamisel arvuga ja maatriksite omavahelisel korrutamisel kehtivad järgmised omadused: 1)A+B=B+A; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)A+ =A; 4)A+(-A)=; 5)1·A=A; 6)a·=; 7) 0·A=; 8)(a+b)·A=a·A+b·A; 9)a(A+B)=a·A+a·B; 10)a(b·A)=b(a·A); 11)a(b·A)=(a·b)A; 12)(a·A)·B=A(a·B)=a(A·B); 13)A·=·A=; 14)E·A=A·E=A; 15)A·BB·A(üldjuhul); 16)(A+B)·C=A·C+B·C; 17)C(A+B)= C·A+C·B; 18)A(B·C)=(AB)·C; 19)-A=(-1)·A; 20)A-B=A+(-1)·B. Ruutmaatriksit nim
Praktikum nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Kõigepealt tuleb meil ülesande lahendamiseks leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Arvestada tuleb ka, et mõõtmistulemused on vastavalt kaaludega 6, 4 ja 3. Ülesande lahendamiseks peame parameetriliste võrrandite abil koostama maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute ees asetsevatest kordajatest ja paremal pool võrdusmärki asetsevatest väärtustest. Lisaks veel mõõtmistulemuste kaaludest moodustatud kaalumaatriks W (Tabel 3). Tabel 1. Maatriks A 3 2 2 -3 6 -7 Tabel 2. Maatriks L 7.8 5.55 8.5 Tabel 3. Kaalumaatriks W 6 0 0 0 4 0 0 0 3 Lähtudes nendest andmetest ja ka...
Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. (a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse (jagamisel lahutatakse)Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega(jagatise jagatisega)Astme astendamisel astendajad korrutatakse.(a+b)*=a*+2ab+b* (a+b)(a-b)=a*-b* (a+b)"=a"+3a*b+3ab*+b" (a-b)(a*+ab+b*)=a"-b"
Üksliikmete algebralise summa koondamine. Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse. Näide (5 x 2 y 3 z ) (2 xy 2 z 2u ) 10 x 3 y 5 z 3 u Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse. Näide (5 x 2 y 3 z 4v) : (2 xy3 z 2 ) 2,5 x 21 y 33 z 42 v 2,5 xz 2v algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Hulkliikmed ja nende liitmine-lahutamine
..) n 10 lim 10 rn , kus rn (3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 ...) n Astme omadusi. 1. Kui a > 0, siis ar > 0 igasuguse reaalarvulise astendaja r puhul. 2. ( a ) 2n a 2n ja ( a ) 2 n 1 a 2 n 1. 3. 0 0 iga r 0 korral. r 4. 1r = 1. Tehted astmetega. 1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita: a r a s ars Näited 23 2 2 232 25 3 x 4 5 x 3 3 5 x 4 x 3 15 x 43 15x 7 10 1 10 10 1 101 10 11 100 1 2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel alused korrutatakse: a r b r ( a b) r Näited 2 3 2 2 ( 2 3) 2
Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Kiirusvektori pikkus on võrdne kiiruse arvväärtusega ja jõuvektori pikkus on võrdne jõu arvväärtusega. Vektoreid ehk suunaga lõike iseloomustab korraga nii lõigu pikkus kui suund. Kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samal ajal ka ühesuguse suunaga. Pikkuste või suundade võrdsusest vektorite võrdsuseks üksi ei piisa. Pikkused ja suunad peavad korraga ühesugused olema: Tehted vektoritega Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks tehe mõjutab vektori pikkust. Miinus ühega korrutamisel ehk märgi vastupidiseks muutmisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub vastupidiseks. Näiteks: Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kormnurga reegel ja rööpküliku reegel Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektoriri algusest teise lõppu suunatud vektor.
an * am = am+n Reegel: ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse ja astme alus jääb endiseks. an : am = an-m Reegel: ühe ja sama alusega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ja astme alus jääb endiseks (an)m = an*m Reegel: astme astendamisel astendajad korrutatakse ja astme alus jääb endiseks. an = a * a * a * a.... a näit: 4*4*4*4=256 m an = an/m a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a lihtsustamiseks: an * bn = (a*b)n an/bn = (a/b)n
a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, 1 kasutades selleks klahvi cos . Siin tuleb olla väga tähelepanelik, et arvuti oleks reguleeritud kraadi- või radiaansüsteenile (sõltuvalt sellest, missugust tulemust ne saada tahame). Samad arvutusreeglid kehtivad liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel ka siis, kui vektoreid on üle kahe. Kolme vektori skalaarkorrutist leida ei saa. Miks?
VÕIMSUS MEHAANIKAS • Kui ühtlaselt liikuvale kehale mõjub liikumisega samasuunaline jõud, saab võimsuse arvutada valemiga: N=Fv N- võimsus F- jõud v- kiirus VÕIMSUSE MÕÕTMINE ELEKTROTEHNIKAS • Elektrivoolu võimsust mõõdetakse vattmeetriga. Kaudselt saab elektritarviti elektrilist võimsust mõõta ka voltmeetri ja ampermeetriga. Selleks tuleb ühendada voltmeeter seadmega rööbiti ning ampermeeter jadamisi. Näitude korrutamisel saadakse tulemuseks aktiivvõimsus, kui tarviti on aktiivtakistusega VOLTMEETER AMPERMEETER • Elektriseadme poolt tarbitav võimsus on võrdne seadmele rakendatud pinge ja tarbitava voolutugevuse korrutisega. P=U*I • P - võimsus vattides • U - pinge voltides • I - voolutugevus amprites JAMES WATT • James Watti auks on saanud nime võimsuse mõõtühik vatt.
Negatiivsete ja positiivsete arvudega arvutamine 1) Liidan samamärgilised arvud ja vastuses sama märk Lahutan erimärgilised arvud ja vastuses absoluutväärtuselt suurema arvu ees olev märk (see, mis on nullist kaugemal) 2) Märgid korrutamisel ja jagamisel Kaks samamärgilist annavad alati positiivse vastuse ja kaks erimärgilist annavad alati negatiivse vastuse Võrrandi omadused Kõiki liidetavaid võib jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga Liidetavaid võib viia vasakult paremale ja vastupidi kui muudad liidetava ees oleva märgi vastupidiseks Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8
kasutada/arvestada 2ndsüsteemis ümardamisel? 8. Kas 2ndarvu murdosa on võimalik ümardada? 9. Kas 2ndarvu täisosa on võimalik ümardada? 10. Millisel juhul osutub ümardamine „ebaefektiivseks“ ehk samaväärseks mittemahtuvate järkude lihtsa „äralõikamisega“? ARITMEETIKA: LIITMINE ja KORRUTAMINE ERINEVATES ARVUSÜSTEEMIDES 1. Misjuhul tekkib liitmisel ülekanne kõrgemasse naaberjärku (liitmisel suvalises arvusüsteemis alusega p)? 2. Kuidas korrutamisel nimetatakse ühte tegurit ja kuidas nimetatakse teist tegurit? 3. Milline/kumb korrutatav 2ndarv on soovitav valida korrutajaks? 4. Mis on osakorrutis? 5. Kuidas paiknevad liidetavad osakorrutised üksteise suhtes, kui neid osakorrutisi on palju? 6. Millised numbrid korrutatavate 2ndarvude koosseisus võib ära jätta, ilma et see mõjutaks korrutamise tulemust? 7. Kui korrutatakse 2ndmurdarve, siis kuidas määratakse koma õige koht korrutises? 8
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada. Protsent: Osa=osamäär * tervik Tervik=osa : osamäär Osamäär=osa : tervik Sagedustabel, sektordiagramm: 1)tunnus on suurus, mis iseloomustab mingit objekti
Astme omadusi (II) 3. Arvu "null" saab astendada vaid positiivse arvuga. Tulemuseks on alati null: 0r 0, kui r 0. 4. Kui astme aluseks on 1, siis on astendamise tulemus ka alati 1: 1r 1. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Tehted astmetega (I) 1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita: ar a s ar s Näited 23 22 232 25 3x 4 5 x 3 3 5 x 4 x 3 15 x 43 15x 7 101 10 101 101 1011 100 1 2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel korrutatakse alused: a r b r ( a b) r Näited 22 32 (2 3) 2 62 36 1 1 1 1 1 x y (xy)
Uued mõisted · Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat · Kahe liikme summa ja samade liikmete vahe korrutis võrdub nende liikmete ruutude vahega · Kahe liikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega, tulemused koondada · Kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga · Kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide vahega · Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese
ettetoomisel jääksid sulgudesse samad =(c+d)(a+1) kaksliikmed 3)tuua nendes paarides sulgude ette vastav üksliige vajaliku märgiga, NB sulgudesse peavad jääma samad kaksliikmed 3)tuua ette sulgudes olev kaksliige, NB kirjutada tema ise ka sulgudesse =m(m+3)+4(m+3)=(m+3)(m+4) 4)kirjutada teise sulgu varem ette toodud ühistegurid oma märgiga am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= =a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) NB kontrollida, kas saadud kaksliikmete läbi korrutamisel saab esialgse avaldise 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis - võrdub nende üksliikmete ruutude vahega selgitus: ainult ruudud tulevad sellepärast, et neljast korrutisest teine ja kolmas koonduvad NB see on ka nn. ruutude vahe valem NB kasutada saab siis, kui sulud erinevad ainult märgi poolest 14.Kaksliikme ruut (summa) - esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja
korrutis. Nende suurustega saab teha matemaatilisi tehteid, kuid peab jälgima mõõtühikuid. Näiteks: Saagides 3m puu pooleks, on puu kõrgus nüüd 3m 1,5m = 1,5m. Füüsikas nimetatakse suunatud sirglõiku vektoriks. Vektoriaalsed suurused on ruumilist suunda omavad füüsikalised suurused, näiteks kiirus ja jõud. Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks, tehe mõjutab vektori pikkust. Miinus ühega korrutamisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub. Vektorite liitmisel on kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku järgi tuleb teine vektor nihutada nii, et mõlema alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest
Merseriseeritud lõng NaOH lahusega töödeldud lõng, mistõttu lõng on tugevam, siledam ja läikivam. Melanžlõng Eri värvi kiudude segust või värvitud ja värvimata kiudude segust kedratud lõng. Muliinlõng Erinevat värvi lõngade korrutamise teel saadud lõng. Sõlmlõng Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng (teist värvi) keritakse ühe punkti ümber sõlmekese. Bukleelõng Koosneb pehmest ja paksust eellõngast, mis korrutatakse laugjalt ümber ühekordselt korrutatud lõnga. Senill-lõng Kootud eelkanga ribadest moodustatud lõng.
Pkeskmine kt = Pmax suureneb (koormused ühtlustuvad) uute seadmete rakendamisega. 2) koormused pidevalt suurenevad. Energiavarustuse süsteemi projekteerimisel on seetõttu vaja arvestada arengu perspektiive (koormuste kasvu) lähema 10 aasta jooksul. Põhilised meetodid koormuste arvutamiseks võib jagada kahte gruppi: 1) võimsus leitakse ühendusvõimsuse korrutamisel teguriga, mis on väiksem ühest Parvutuslik = k1 Pü kus k1<1. 2) võimsus leitakse lähtudes keskmisest tarbitavast võimsusest Parvutuslik = k 2 Pkeskmine kus k2>1 või Parvutuslik = Pkeskmine + - statistiline meetod, kus arvestab koormuse maksimaalhälvet. Põhiliseks meetodiks, mille abil leitakse maksimaalne arvutuslik võimsus on nõudeteguri meetod
Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil Alustuseks selgitan mis asi üldse on Pythagorase teoreem: Pythagorase teoreemi põhimõte kehtib vaid täisnurkse kolmnurga juhul. Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H. 0 Arvutame põhja pindala (a ruudus (näiteks 4cm ruudus võrdub 16 ruutsentimeetrit)) 0 Arvutame külgpindala Pythagorase teoreemi abiga. (Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja H vahel on täisnurkne (m on põhikülje keskpunkti kaugus püramiidi tipust). 0 Pythagorase teoreem: H ruudus+a ruudus=m ruudus. 0 Külgpindala valem on P*m, seega kui hetkel oleks a=4cm, H=3cm, siis m=...
Pkeskmine kt Pmax suureneb (koormused ühtlustuvad) uute seadmete rakendamisega. 2) koormused pidevalt suurenevad. Energiavarustuse süsteemi projekteerimisel on seetõttu vaja arvestada arengu perspektiive (koormuste kasvu) lähema 10 aasta jooksul. Põhilised meetodid koormuste arvutamiseks võib jagada kahte gruppi: 1) võimsus leitakse ühendusvõimsuse korrutamisel teguriga, mis on väiksem ühest Parvutuslik k1 Pü kus k1<1. 2) võimsus leitakse lähtudes keskmisest tarbitavast võimsusest Parvutuslik k 2 Pkeskmine kus k2>1 või Parvutuslik Pkeskmine - statistiline meetod, kus arvestab koormuse maksimaalhälvet. Põhiliseks meetodiks, mille abil leitakse maksimaalne arvutuslik võimsus on nõudeteguri meetod
1.Milline tegutsemismudel aitab leida hea tarnia? Iga tarniakandidadi puhul arvutatakse eraldi välja reitingu summa,mis koosneb kriteeriumite kaalu ja tähenduste arvuliste väärtuste korrutamisel ja saadud tulemuste summerimisel.Kriteeriumite alusel koostatakse pingerida,kus suurima reitingu summa saanud tarniaga sõlmitakse koostööleping. 2.Millest sõltub ajalisruumiline kasulikkus? Kasulikkus sõltub sellest,kui tarbijale vajaminev kaup on toimetatud tarbimus või ostmispaika,ning on olemas just siis kui tarbija seda vajab. 3.Mida tähendab lao pool juhitav tootmine? Laopoolt juhitav tootmine tähendab,et tootmist planeeritakse ja toodetakse ainult
Kahest täisarvust loetakse suuremaks see, mille vastav punkt asub arvsirgel teistega võrreldes positiivses suunas. Täisarvude hulga omadusi: · Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Z, b Z ja b 0. b ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning b b b -b ratsionaalarvu a pöördarvuks b b a. Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida
Võimsus on füüsikaline suurus, mis näitab, kui palju tööd teeb jõud ajaühiku jooksul, seega väljendab võimsus töö tegemise kiirust: P=frac{A}{Delta t}, kus P! – võimsus, A! – töö, Delta t! – aja muut (ajavahemik). Võimsuse SI-väline ühik on hobujõud. Sisukord [peida] 1 Võimsus mehaanikas 2 Võimsus elektrotehnikas 3 Võimsuse mõõtmine elektrotehnikas 4 Vaata ka 5 Välislingid Võimsus mehaanikas[muuda | redigeeri lähteteksti] Kui ühtlaselt liikuvale kehale mõjub liikumisega samasuunaline jõud, saab võimsuse arvutada valemiga: P=F,v. kus F! ‒ jõud ja v! – kiirus. Võimsus elektrotehnikas[muuda | redigeeri lähteteksti] Elektriseade kas muundab mingit liiki energiat elektrienergiaks (näiteks elektrigeneraator) või siis elektrienergiat teist liiki energiaks (näiteks elektripliit soojuseks). Seadme elektrivõimsus väljendab ajaühikus toodetava või tarbitava elektrienergia hulka. Tarbiva elektriseadme ehk elektrita...
Reaalarvud Reaaalarvud jagunevad naturaalarvudeks, täisarvudeks, ratsionaalarvudeks ja irratsionaalarvudeks. 1. Naturaalarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve. Naturaalarvude hulga tähiseks on N. Naturaalarvudeks on N=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...; 100; ...; 1000; ...) jne. Kahe naturaalarvu liitmisel (6+7=13) või korrutamisel (5*6=30) on tulemuseks alati naturaalarv. Kahe naturaalarvu lahutamisel võib olla tulemuseks naturaalarv ehk positiivne täisarv (10-2=2) aga ka negatiivne täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks naturaalarv (52:2=26) või kümmnendmurd (1:3=0,333...; 9:6=1,5). 2. Täisarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve ja negatiivseid täisarve. Täisarvude hulga tähiseks on Z. Positiivseteks täisarvudeks on Z=(0; 1; 2; 3;..
korrutis pluss teise liikme ruut.(Summa ruut) (a-b Kahe üksikliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Vahe ruut) 1) - arvude a ja b ruutude vahe. 2) - arvude a ja b summa ruut 3) -arvude a ja b vahe ruut Tegurdamine 1) Sulgude ette toomine 2) Valemite kasutamine (teistpidi) 3) Rühmitamise võte Nt: 49b)(7a-2b) Hulkliikmete korrutamine Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikmega iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmegaja tulemused liita. (a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz Nt: (2a-b)( Kuupide summa ja kuupide vahe valemid (a+b)( Kahe üksikliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga. Nt: (s+t)( Kahe üksikliikme vahe ja nende üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide vahega. Nt:
MERSERISEERITUD LÕNG keemiliselt töödeldud NaOH lahusega., mistõttu on lõng tugevam ja siledam. Kerge läikega. MELANŽLÕNG Kedratud eri värvi kiudude segust või värvitud ja värvimata kiudude segust. MULIINLÕNG Saadud erinevat värvi lõngade korrutamise teel. Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng SÕLMLÕNG kerib ühe punkti ümber sõlmekese. Sellisest longest kootud kangast nimetatakse tviidiks. On kaheastmeline, kus efekti moodustab BUKLEELÕNG pehme ja paks eellõng , mis korrutatakse laugjalt umber ühekordselt korrutatud lõnga. Saadakse kootud
See on üldkasutatav pind. 19 Hoone ruumala, maht Hoone ruumala on kogu hoone füü füüsiline siline maht (ei võeta läbisõite); arvesse ehitisealuseid lä Hoone maapealse osa maht määratakseääratakse hoone esimese korruse piirde väväliskontuuri möö mööda da tehtud horisontaallõikepinna korrutamisel hoone tä täiskõrgusega (hoone kõrgus esimese korruse puhtast põrandast pööningu ööningu vahelae soojusisolatsioonini) + pööningukorruse ööningukorruse maht (kui pöö pööningukorrusel ningukorrusel on võimalik ruumide vä väljaehitus (kõrgus >1.6m, laius >1m)) Hoone maa- maa-aluse osa maht määratakse ääratakse sokli kõrguselt tehtud horisontaallõikepinna korrutamisel
· Tollimaks- maks, mis lisatakse sissetoodavatele kaupadele, et piirata sissetoodavat kaupa ning toetada väljaminevat kaupa, mõjutades nii nende konkurentsivõimet. Euroopa Liidu sees tollimakse ei ole. Tollimaksumäär on kaubagrupiti erinev ja ulatub tavaliselt 0%-17%-ni. · Maamaks- riiklik maks, mis laekub maa asukohajärgse kohaliku omavalitsuse eelarvesse. Maamaksu summa saadakse maa maksustamishinna korrutamisel maamaksumääraga. Maamaksu määr on üldjuhul 0,1-2,5 (alates 2002. aastast) protsenti maa maksustamishinnast. · Hasartmängumaks- üks tarbimismaksu eriliik, mis asendab selles valdkonnas käibemaksu. Hasartmängumaks on riiklik maks, objektiivne maks, kaudne maks, käibelt võetav maks, jooksev ja tähtajaline maks. Maksumäär on 18%. · Raskeveokimaks- riiklik maks, millega maksustatakse veoste vedamiseks ettenähtud ja
maksustamisperioodi tulust maha maksuvaba tulu 1728 eurot. Sotsiaalmaksu suurus on 33% väljaarvestatud töötasust. Seda ei arvata mitte palgast maha, vaid selle maksab riigile tööandja: makstes töölisele euro, peab ta maksma 33 senti riigile. Riik jagab selle raha kaheks, 13 senti läheb haigekassale ja 20 senti läheb pensionifondi. Maamaksu maksab maa omanik, teatud juhtudel ka maa kasutaja. Maamaksu summa saadakse maa maksustamishinna korrutamisel maamaksumääraga. Üldine maksumäär on vahemikus 0,1 kuni 2,5% maa maksustamishinnast aastas, määra kehtestab kohalik omavalitsus. Maksu arvutatakse kauba või teenuse käibelt. Eestis on käibemaks riiklik maks, mida kogub Maksu- ja Tolliamet. Eestis reguleerib käibemaksuga maksustamist Käibemaksuseadus. Eestis kehtiv üldine käibemaksumäär on alates 1. juulist 2009 20% (varem 18%) maksustatavast väärtusest, erandjuhtudel kehtivad käibemaksumäärad 0% ja 9%.
Kiirgusriskist: mis on mida see iseloomustab - bekrell – radioaktiivsuse ülemine -2-kohaline vastab preparaadi aktiivsuse mõõtühik; Euroopa kokkuleppele, näitab aine - grei – neeldunud doosi ohuklassi mõõtühik; alumine -4-kohaline ÜRO järgi - ekvivalntdoos valem: ohtlik aine, näitab täpselt, millise ekvivalentdoos leitakse neeldunud ainega on tegemist doosi korrutamisel faktoriga, mis 14.Milliseid andmeid sisaldab võtab arvesse viisi, kuidas kiirgus ÜRO keemilise aine ohukaart koele energiat üle annab. Seal on kindlasti kirjas aine 20. Millistest kiirgusallikatest füüsikalised omadused, mürgisus, formeerub inimesele saadav keemiline valem, ÜRO klass, aastane kiirgusdoos D kustutusvahendid, saneerimine 1)Med.kiirgus; 2)Inimtegevusega (kahjustatamine), kaitsevahendid, kaasnev kiirgus; 3)Tehis ehk
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
