Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ...
Teravnurga siinus, koosinus ja tangens a ja b on täisnurkse kolmnurga kaatetid, c on hüpotenuus. Teravnurga vastaskaatet on a ja lähiskaatet on b. a c Teravnurga vastaskaatet on b ja lähiskaatet on a. Teravnurkade ja summa + = 90°. b Teravnurga siinuseks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet (jagatist). Nurga siinust tähistatakse sümboliga sin . a b sin = sin = c c Teravnurga koosiniseks nimetatakse selle nurga lähiskaatei ja hüpotenuusi suhet. Nurga koosinust tähistatakse sümboliga cos b a cos = cos = c c Teravnurga tangensiks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja lähiskaatet...
Nurgad 5.klass Kus me kohtume nurkadega? Millest koosneb nurk? haar tipp haar Tähistame antud nurka? Vali varianti. A 1. ACB 2. A 3. B B C 4. ABC 5. ABC Missugused nurka liike te teate? Millega võrdub sirgnurga suurus graadides? 1800 Millega võrdub täisnurga suurus? 900 Kas teravnurk on täisnurgast suurem või väiksem? Kas nürinurk on täisnurgast suurem või väiksem? Missugune nurk ei sobi? Miks? 1 2 3 4 5 Missugune nurk ei sobi? Miks? 2 1 3 5 4 Teravnurk - Nürinurk - Sirgnurk - Täisnurk -
60o, 60o ja 60o kolmnurk 18o, 137o ja 25o kolmnurk 10o, 10o ja 160o komnurk Joonisel on täisnurkne kolmnurk KLM ja võrdhaarne kolmnurk PQR. Vali õiged lauselõpud: Külg KL on Külg MK on Külg LM on Külg PR on Külg QR on Nurk Q on Nurk R on Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 50o. Tipunurk on: kraadi Täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 63 o. Teine teravnurk on: kraadi Võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 70 o. Alusnurk on: kraadi Täisnurkse võrdhaarse kolmnurga üks teravnurk on: kraadi. Kolmnurga alus on 8 cm ning kõrgus 40 mm. Kolmnurga pindala on: cm2. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 3 cm ja 4 cm ja hüpotenuus 5 cm. Selle kolmnurga pindala
Taandamisvalemid Taandamisvalemid on valemid, mille abil saab mistahes nurga siinuse, koosinuse ja tangensi väärtuse leidmise taandada teravnurga juhule või siis negatiivse nurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmise taandada positiivse nurga juhule. 1. Taandamisvalemid II veerandi nurkade korral. Iga II veerandi nurga , kui 90° < < 180°, saab esitada kujul = 180° - , kus on positiivne teravnurk. Näiteks = 110° = 180° - 70°. y II veerandi nurkade korral kehtivad valemid: sin(180° - ) = sin cos(180° - ) = - cos x tan(180° - ) = - tan Näide 1. Kasutades II veerandi nurkade taandamisvalemeid, saame
7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvutada kolmnurga kaatetid. 9. Ringi ümber on joonestatud täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 26 cm. Arvutada kolmnurga ümbermõõt, kui ringi raadius on 4 cm. 10. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on a ja b. Avaldada täisnurga poolitaja. 11. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on c ja teravnurk . Avaldada täisnurga poolitaja. 12. Leida täisnurkse kolmnurga külgede suhe, kui külgede pikkused moodustavad aritmeetilise jada. 13. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetite suhe, kui täisnurga tipust lähtuvad kõrgus ja mediaan suhtuvad nagu 40:41. 14. Täisnurkse kolmnurga täisnurga poolitaja jaotab vastaskülje suhtes 3:4. Hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on 4,8 m. Arvutada kolmnurga pindala. 15. Täisnurkse kolmnurga mediaan m jaotab täisnurga 30° ja 60°-steks nurkadeks. Avaldada
A E B Murdjoon Murdjoon koosneb lülidest. C D Sirge põhiomadus: Läbi iga kahe punkti saab tõmmata ainult ühe sirge. Nurkade liigid A a a r Nurk AOB h O tipp haar B Täisnurk Sirgnurk Teravnurk Nürinurk Nurkade mõõtmine Nurga mõõtühikuks on 1 o (kraad). Sirgnurk = 180 o Täisnurk = 90 o Teravnurk on väiksem kui 90 o Nürinurk on suurem kui 90 o Kõrvunurgad C A O B ·Kõrvunurkadel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. o ·Kõrvunurkade summa on 180 .
β 16 29 12 20 3. Leia α tan 24̊ 17’= cos 37̊ = sin 52̊ 33’= 4. Leia nurk α, kui cos α=0,8645 sin α=0,2574 tan α=0,4284 5. Lahenda täisnurkne kolmnurk, kui (10 punkti) ☺ a=15 m ja α=45̊ 23’ ☺ a=8 dm ja b=6 dm 6. Rombi diagonaal on 12,8 cm ja teravnurk 52̊. Arvuta rombi nurgad, pindala ja ümbermõõt. 7. Võrdhaarse trapetsi teravnurk on 53̊, lühem alused on 18 cm ja 12 cm. Arvuta trapetsi ümbermõõt ja pindala. 8. Päikese kõrgus on 34̊. Lipuvarda varju pikkus on 8,6 m. Leia lipuvarda pikkus. 9. Kaldtee on 12,6 m pikk ja selle tõusunurk on 7 °. Kui kõrgele see kaldtee viib? 10. Redel toetub maja seinale 35° nurga all. Kui kaugele seinast on redel asetatud, kui maja seinal ulatub see 3,6 m kõrgusele? Kui pikk see redel on
Geomeetria algkursus Nurkade liigitus Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirge Täisnurk pool sirgnurgast Teravnurk täisnurgast väiksem nurk Nürinurk täisnurgast suurem nurk Teravnurk Kaks haara moodustavad nurga. Nurga mõõtühik on kraad. Teravnurk on alati väiksem kui täisnurk Täisnurk Täisnurk on pool sirgnurgast. Täisnurk on alati 90 kraadi. Nürinurk A Nürinurk on alati suurem kui täisnurk. O B Nurkade suurused Sirgnurk 180° Täisnurk 90° Teravnurk < 90° Nürinurk > 90° Kaks sirget Kõrvunurgad · Kaks haara moonustavad nurga
täisnurkse kolmnurga kaatetid? Üks kaatet võrdub pealtvaatega, teine kaatet võrdub otspunktide põhikvootide vahega. 21. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? 1) Põhikaldenurk-teravnurk põhiekraani suhtes, mis saadakse kui võetakse täisnurkse kolmnurga üheks kaatetiks lõigu projektsioon põhiekraanil ja teiseks kaatetiks on esiekraanilt võetud lõigu otspunktide kõrguste vahe. 2) Esikaldenurk teravnurk esiekraanisuhtes, mis saadakse, kui võetakse täisnurkse kolmnurga üheks kaatetiks lõigu projektsioon esiekraanil ja teiseks kaatetiks põhiekraanilt lõigu otspunktide kõrguste vahe. 22. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel.
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6
Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk. Juhul, kui on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, tuleb eelnevalt veenduda ka selles, kas otsitav nurk on teravnurk või nürinurk (näiteks sin 150° = sin 30° = 0,5). Kolmnurga nurkade summa peab kokku tulema 180 kraadi. Koosinus ehk koosinusfunktsioon (sümbol: cos) on matemaatikas üks trigonomeetrilistest funktsioonidest. Täisnurkse kolmnurga järgi defineeritakse koosinus nii: täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lähiskaateti b ning selle täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi c pikkuse jagatist.
a ÕIGE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on a) 180°; b) 90°; c) 100°; d) 200°; e) 1°. Kui üks kõrvunurkadest on 50°, siis teine on a) 40°; b) 50°; c) 100°; d) 360°; e) 130°. Kui üks tippnurkadest on 50°, siis teine on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 50°, siis teine teravnurk on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui kolmnurga kaks sisenurka on 40° ja 70°, siis kolmas nurk on a) 90°; b) 40°; c) 70°; d) 360°; e) 180°. Kui võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 20°, siis alusnurk on a)140°; b) 80°; c) 160°; d) 100°; e) 170°. Kui võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 80°, siis tipunurk on a) 100°; b) 60°; c) 140°; d) 20°; e) 50°.
3 TÄIENDUSNURGAD (90° - ) = (90° - ) = (90° - ) = (90° - ) = NEGATIIVSED NURGAD (-) = - (-) = (-) = - (-) = - MISTAHES NURGAD 1) määrata nurga liik st mitmenda veerandi nurk on Näide 1 2) määrata funktsiooni märk 3 3) leida lõpphaara ja x-telje vaheline teravnurk 300° = -60° = - 2 IV v nurk, märk , nurk lõpphaara ja x-telje vahel 60° Näide 2 Näide 3 2 tan(-315°) = 45° = 1 225° = -45° = - 2
Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.)
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m1 * 2) 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 9. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 11. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. * 1) Monge'i meetod
Lihtsamaid valemeid Kui jõu suund on sama liikumise suunaga, võib kasutada valemit W = Fs (2), kus F on kehale mõjuv jõud, ja s keha poolt läbitud teepikkus. Kui kehale mõjub jõud mingi nurga all (joonis 1), siis võib kasutada valemit: W = Fs·cos (3) Positiivne ja negatiivne töö Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° (valem 3): kui < 90°, siis cos > 0 ja W > 0, kui 90° < < 180°, siis cos < 0 ja W < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul. Negatiivset
* 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m
* 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb
* 2) 0 m 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb
pikkuselt võrdne ja paralleelne lõigu enesega. # Kui tasapinnaline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on kongruetne kujundi enesega # Paralleelsete sirgete paralleelrpojetsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged; erijuhul punktikujulised või ühine kujutis. # Sirgjoone lõigud on võrdelised oma paralleelprojektsioonidega. # Sirgjoone ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. Sirgjoone kaldnurk teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel Sirglõigu moondetegur sirgjoone paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkuse suhe # Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti. # Teravnurga ristporjektsioon võib nurga asendist tingitult olla piires 0 kuni 180 kraadi Projektsioonidele esitatavad nõuded: lihtsus, mõõdetavus, piltlikkus, objekti üheselt
· Abnormality- ebanormaalsus · Covert- varjatud · Abrasion- hõõrumisjälg, kulumine · cross bit-kivipuur · Absolute value- absoluutväärtus · Database-andmebaas · Abstain-hoiduma · dependable-usaldusvrne · accomplish -saavutama · Domestic- kodumaine · Accumulate- koguma · Epicure- epikuurlane · Acrimonious- vihane, kibestunud · Erupt- vallanduma · Acute angle- teravnurk · ethical-eetiline · Advantage-eelis · Evaporate-aurustuma · Advent- saabumine · Extracellular- rakuväline · Agenda-pevakord · Feedback-tagasiside · akin- sugulane · Fertile-viljakas · Aldehyde- aldehüüd · flank-külg · Alongside- kõrvuti · Flaw- viga, puudus
Kaht sirget , millel on ainult üks ühine punkt nim. ___1___ . Sirgeid , mille lõikumisel tekib täisnurk nim . ___2___ . ______3_____ on sirged , millel ei ole ühtki ühist punkti . Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nim. ___4___ . Kolmnurka , mille üks nurk on täisnurk nim . ____5____ kolmnurgaks . Kolmnurk , mille kõik küljed on erineva pikkusega nim __6_. Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on enam kui kaks tegurit nim __15___ . Arv , millega antud arv jagub nim ___16___ . Arv , mis jagub antud arvuga on ___17___ . Murd , mille lugeja o...
Arvuta rombi pindala. 24. Rombi diagonaalid on 60 cm ja 32 cm. Arvuta rombi ümbermõõt. 25. Arvuta poolringikujulise kujundi ümbermõõt, kui ringjoone raadius on 8 cm. 26. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 20 cm ja selle lõhisnurk on 60°. Arvuta kolmnurga teine kaatet, hüpotenuus ja pindala. 27. Ristküliku diagonaal on 10 cm ning nurk diagonaali ja külje vahel on 30°. Arvuta ristküliku pindala ja ümbermõõt. 28. Täisnurkse kolmnurga hüputenuus on 20 cm ja üks teravnurk on 30°. Arvuta kolmnurga kaatetid ja pindala. 29. Võrdhaarse kolmnurga alus on 10,4 cm ja kõrgus 7,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. A 64° 30. Leia jooniselt tähtedega märgitud nurkade suurused B D
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
asetsevad kõik kujundi tasandis 5. sirglõigu moondetegur - sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu enda tõelise pikkuse suhe 6. sirglõigu moondetegur võib muutuda järgmistes piirides: 1) ristprojekteerimisel nullist üheni; 2) paralleelprojekteerimisel nullist lõpmatuseni 8. sirglõigu projektsiooni pikkus võrdub sirglõigu pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk sirglõigu ja tema projektsiooni vahel 10. teravnurga ristprojektsiooni suurus võib muutuda nurga asendist tingituna nullist 180 kraadini 11. täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne ning teine haar pole ekraaniga risti 12. joonis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik -- objekti määrav. 13. objekti määravate jooniste saamise põhimeetodid: monge'i meetod, aksonomeetria meetod,
kaudu järgmiselt: r r u v = X 1 X 2 + Y1 Y2 + Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos = r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v = 0 . 2
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
Töö ehk mehaaniline töö (tähis: A ) on füüsikaline suurus, mis kirjeldab olukorra muutmisel tehtavat pingutust ning võrdub jõu ja jõu mõjul liikunud keha nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui kehale mõjub jõud ja keha selle jõu mõjul liigub, siis teeb see jõud tööd. Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° : kui α < 90°, siis cos α > 0 ja A > 0, kui 90° < α < 180°, siis cos α < 0 ja A < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul.
Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks...
A 2 B2 k 1 k 2 = -1 t 1 t 2 ( sirged t 1 ja t 2 on risti ) k 2 - k1 tan = , kus on kahe sirge vaheline teravnurk 1 + k1 k 2 Lõigu keskpunkti koordinaadid x1 + x 2 x0 = 2 , kui A( x1 ; y1 ) , B( x 2 ; y 2 ) y+y y 0 = 1 2
Sirge võrrandid Heldena Taperson www.welovemath.ee Sirge tõus • Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel y s x NB! Tõusunurk on alati 0o ja 180o vahel. y y s s x x Tõusunurk on Tõusunurk on teravnurk – sirge nürinurk – sirge tõuseb langeb y y s s x x Tõusunurk on täisnurk – Tõusunurk on 0o– sirge sirge on paralleelne y- on paralleelne x-teljega teljega Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit y s ...
6. Ristprojekteerimisel loetakse moondetegur üheks, täpne suurus 0,82. Paralleelprojekteerimisel üldiselt võib moondetegur muutuda vahemikus (0; ) 7. Kui ring on paralleelne kiirtega, projekteerub ta sirgeks.Kui ring on paralleelne ekraaniga, prjekteerub ta ringiks. 8. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. A'B'=AB cos 9. Sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. (0-90) 10. Teravnurga ristprojektsioon võib nurga asendist tingitult olla 0-180 11. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar pole aga ekraaniga risti. 12. Projektsioonidele esitatavad nõuded: - Lihtsus - Mõõdetavus - Piltlikkus - Objekti üheselt määratavus 13. Objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid:'
11.Ringjoone puutuja tunnus - teoreem: sirge Ül.1094(1) on puutuja parajasti siis, kui ta läbib raadiuse Selgitada ja põhjendada, kas joonisel sirge t otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega on puutuja. antud nurgad =120°, =30° uurida joonisele tekkinud kolmnurka üks teravnurk on antud NB puutujate lõikepunkt on puutepunktidest teine teravnurk =180°-120°=60° võrdsetel kaugustel kolmnurk on täisnurkne, sest tema teravnurgad on kokku 90° raadiuse ja sirge vaheline nurk on täisnurk kuna sirge t läbib raadiuse otspunkti ja on seal
a) ristprojekteerimisel? Nullist üheni b) paralleelprojekteerimisel? Nullist lõpmatuseni 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: a) paralleelne kiirtega? Sirglõiguks b) paralleelne ekraaniga? Ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0-180 kraadi 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonises peab olema lihtusus, mõõdetavus ja piltlikkus. 13
positiivseks, kui läänepoole, siis negatiivseks. Tartu ümbruses on deklinatsioon ~+7°, Lääne- Euroopas -5°…-10°. Kui magnetiline deklinatsioon muutub suuresti lühikese vahemaa jooksul, on tegemist magnetilise anomaaliaga. (Eestis on tuntuim Jõhvi anomaalia, kus deklinatsioon kõigub ±15° piires). Rumb Geodeetiliste arvutuste juures on otstarbekas kasutada asimuudi asemel rumbi. Rumb on põhja- lõuna suuna ja antud suuna vaheline lähim teravnurk, mida mõõdetakse ida või lääne suunas 0°- 90°kraadi. Rumbid tähistatakse veerandinumbritega ja nimetustega, mis tuletatakse ilmakaarte esitähtedest. Direktsiooninurk Et nii astronoomiline kui ka magnetiline asimuut ei ole erinevatel põhjustel ühe ja sama sirgjoone eri punktides konstantsed, siis eelistatakse geodeesias joonte orienteerimiseks kasutada direktsiooninurka ehk orienteerimist ristkoordinaatide võrgu X-telje suhtes. Direktsiooninurk on
(esikaldenurk) ja kuidas selle suurust 17. Mis on sirgjoone põhi-, esi-, ja külgjälg? määratakse? Põhikaldenurk on kaldenurk Põhijälg- sirge ja põhiekraani lõikepunkt, põhiekraani suhtes, mis saadakse täisnurkse esijälg- sirge ja esiekraani lõikepunkt, kolmnurga võttega. Põhikaldenurk- külgjälg- sirge ja külgekraani lõikepunkt. teravnurk põhiekraani suhtes, mis saadakse 18. Missugust sirget nimetatakse horisontaaliks kui võetakse täisnurkse kolmnurga üheks (frontaaliks) ja mis on tema tunnus kaatetiks lõigu projektsioon põhiekraanil ja kaksvaate alusel? Horisontaal- põhiekraani teiseks kaatetiks on esiekraanilt võetud lõigu paralleelsirge, mis on paralleelne või ühtiv otspunktide kõrguste vahe. Esikaldenurk x-teljega. (Frontaal- esiekraani
Matemaatika valemid ja seadused. Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r² Ruut Ümbermõõt: P = 4 a Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega:...
Mõõtkavas 1:10 000 on kaardilehel kujutatud maa-ala5x5 km, mõõtkavas 1:20 000 aga 10x10km. 13. Asimuut- horisontaalnurk, meridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Direktsiooninurk- horisontaalnurk, telgmeridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Seos- direktsiooninurk võeti kasutusele, et lihtsamates ül vältida meridiaanide koonduvuse mõju arvestamist. Rumb- Antud suuna ja meridiaani lähima suuna vaheline teravnurk. Tabelinurk- teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni järgi. X= I,IV+ II,III- Y=I,II+ III,IV- 15. Pöörülesanne, antud on kahe punkti koordinaadid 16. IV I III II 17. Riiklik geodeetiline referentssüsteem Riigi ulatuses peavad ruumiandmes olema ühtses geodeetilises süsteemis. 18
Vahemikus 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust.
7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust.
7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama?
10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk.
10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk.
9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega - Sirgeks 2) paralleelne ekraaniga Ringjooneks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? See avaldub koosnius funktsiooni kaudu. A`B`=AB cos fii, (lõigu enda ja kaldenurga koosinuse vahel.) 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk sirglõigu ja tema ristprojektsiooni vahle. 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 kuni 180 kraadi. 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. m=a´/a -> a=a´/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks siis kui tema
........................võrdhaarne........................ ÜLESANDEID TÄISNURKSE KOLMNURGA KÜLGEDE JA NURKADE LEIDMISELE 1. Milline on täisnurkse kolmnurga nurkade summa? ....................180*........... 2. Milline on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? .......90*........................ 4. Arvuta täisnurkse kolmnurga teine 3. Täisnurkse kolmnurga mõlemad teravnurk, kui üks teravnurkadest on kaatetid on 5 cm. Joonesta see kolmnurk ja mõõda hüpotenuus ning teravnurgad. * 20º ...........70*............................ * 59º ........31*............................... * 49º .............41*.......................... * 17º ............73*...........................
murdjoont olevad punktid, koos murdjoone punktidega, nimetatakse kolmnurgaks. 1 Geomeetria- on matemaatika haru, mis uurib ruumilisi vahekordi, vorme ja nende üldistusi. Vanim osa on elementaargeomeetria, selle alged tekkisid muistses Egiptuses ja Babüloonias. (Väike Entsüklopeedia, lk 244) 4 1.1. Kolmnurga nurgad Igas kolmest tipust moodustuvad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk radiaani ( rad). Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega , ja . Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega ning teravnurki tähtedega ja .
A1, A2, A3 - otseasimuudid A'2, A'3 - vastuasimuudid Pika sirge korral asimuudid eri punktides ei ole võrdsed. A 1 A2 A3 Otse- ja vastuasimuudi vahe on alati 180o ehk poolring. Et vältida meridiaanide koonduvuse mõju, on tarvitusele võetud direktsiooninurgad. Direktsiooninurk on horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. ( =0o-360o) Rumb on teravnurgaks taandatud asimuut. Rumb on teravnurk, mida mõõdetakse meridiaani kas põhja või lõuna suunast kuni antud jooneni. B RA;B A RB;A Tabelinurk on teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. Tabelinurkade leidmine: I veerand: T=1 II veerand: T=180o-2 III veerand: T=3-180o IV veerand: T=360o-4 Vt.pildid. 20. mõõtepalettiga pindala mõõtmine 21. parim aastaaeg kaugseireks ja piltide tegemiseks/lidari jaoks - vastus: kevad, kui lund pole ja puud pole lehtedes veel
Mittemärgamisega on tegu kui mingil alusel asuvad vedelikutilgad püüdlevad kera kuju poole. Piirnurk on nurk tasapinnalise aluse ja tasapinnaga piirneva vedelikukoguse vahel. Täieliku mittemärgamise puhul on veetilgad peaaegu kerakujulised, nurk on 180°. Osalise mittemärgamise puhul püüdlevad tilgad kera kuju poole, kuid täiuslikust ei saavuta, nurk on nürinurk. Osalise märgamise puhul tahab vedelik laiali valguda, kuid täielikult see ei õnnestu, nurk on teravnurk. Täieliku märgamise puhul püüab vedelik mööda alust takistamatult laiali voolata, nurk on 0°. Pindpinevustegurit kasutatakse erinevate vedelike pindpinevuse iseloomustamiseks (1 N/m; F = l). Pesemisvahendite üheks omaduseks ongi see, et nad vähendavad vee pindpinevustegurit ja suurendavad märgamisvõimet. Kapillaarnähtusteks nimetatakse märgamisega seotud nähtusi peentes torudes (märgav aine tõuseb, mittemärgav langeb). Kapillaarideks
korrutisega P=mv p=p-p p=m(v-v0) Jõu impulss=impulsi muuduga F*t= p Suletud süsteemis on sinna kuuluvate kehade koguimpulss jääv Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 p1.1+p2.1=p1.2p2.2 Mehaaniline töö Töö on füüsikaline suurus, mis on võrdne jõu ja selle jõu mõjul sooritatud nihke korrutisega A=F*s A=F*s*cos Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° (valem 3): kui < 90°, siis cos > 0 ja W > 0, kui 90° < < 180°, siis cos < 0 ja W < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
