sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid · I liiki katkevuspunkt kui on olemas mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused: lim = + lim = - · Kui A = B, siis on funktsioonil punktis a kõrvaldatav katkevus. · Kui A B, siis on funktsioonil punktis a hüppekoht. · II liiki katkevuspunkt vastasel juhul, st kui vähemalt üks ühepoolne piirväärtus ei eksisteeri või on lõpmatus: lim = ± või puudub + lim = ± või puudub - Ülesanne. Leida järgmiste funktsioonide katkevuspunktid, teha kindlaks nende liik. Võimaluse korral kõrvaldada katkevus. 3 1 1- +1
Xk = {x| f "(x) = 0} f "(x)<0 f "(x)>0 X kumerusvahemik(ud) f "(x)<0 X nõgususvahemik(ud) f "(x)>0 Asümptoot on sirgjoon, millele antud joon piiramatult läheneb f ( x) = 2 x-3 püstasümptoot 8 y paralleelne y-teljega 6 ainult katkevus- 4 punktides 2 x = a, kui 2 1 1 2 3 4 5 6 x lim f ( x) = ± 2 xa või 4 lim f ( x) = ± 6 xa + või lim f ( x) = ± 8
(A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/C), kus C on antus süsteemi lahendimaatriks. Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus
..9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. ............................................................................................................... 11 14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16
2. on olemas lõplik piirväärtus 3. kehtib võrdus Näide: Uurin f-ni 1. 2. 3. Kuna kõik tingimused on rahuldatud, siis see f-n on pidev. 12. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? Esitage 2 näidet! Kui ei ole täidetud eelnimetatud tingimusi siis on f-n argumendi x väärtusel a katkev ja on selle f-ni katkevuspunktiks. Näited: järgmises punktis 13. Milline katkevuspunkt on I liiki, II liiki? Esitage mõlema juhu jaoks 1 näide! Esimest liiki katkevus on siis, kui on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Teist liiki katkevus on ülejäänud olukordades. Näited: Katkevuskoht on kohal 0, esineb esimest liiki katkevus Katkevuskoht on kohal -1, esineb teist liiki katkevus 14. Mis on funktsiooni hüpe? Esitage näide! Esimest liiki katkevuse korral nimetatakse hüppeks parempoolse ja vasakpoolse piirväärtuse vahet. Näide: 15. Nimetage lõigus pidevate funktsioonide 3 omadust ja illustreerige neid näidetega!
Alates 20.saj 60ndatest väga palju strateegilise juhtimise alaseid raamatuid 1962 Alfred Chandler "Strategy and Structure" Strateegia kui ettevõtte pikaaegsete eesmärkide kindlaksmääramine ja tegevuste valik ning ressursside paigutamine nende eesmärkide saavutamiseks 1965 Igor Ansoff "Corporate Strategy" Strateegiline planeerimine ja analüütilised meetodid. 1969 Peter F. Drucker "The Age of Discontinuity" Lineaarsete arengute katkevus, ootamatud sündmused, vajadus innovatsioonidele 1980 Michael Porter "Competitive Strategy: Techniques for Analyzing Industries and Competitors" Kululiidri, fokuseerimise ja diferentseerimise strateegiad, viie konkurentsijõu analüüsimeetod 1975 (1982) Kenichi Ohmae "The Mind of Strategist" Strateegia on irratsionaalne ja mittelineaarne. 1994 Gary Hameli ja C. K. Prahaladi "Competing for the Future" Strat. on õppimise ja avastamise protsessi tulemus
Nimetused igapäevaelus - rooste Nimetused tööstuses - magnetiit, must raua oksiid, lodestone (ing.k) Leidumine looduses - on maakmineraal magnetiit, leidub inimese veres Omadused - sisaldab nii Fe2+ kui ka Fe3+ ioone, laborites kasutusel enamasti musta pulbrina, jääv magnetism, ferrimagnetiline (mitte ferromagnetiline!), märgatavalt suurem elektrijuhtivus (X 106) kui Fe2O3'l, 120K juures toimub niinimetatud Verwey üleminek (struktuuris toimub katkevus, elektrijuhtivus ja magnetilised omadused) Kasutamine - kasutatakse musta pigmendina (C.I. No.77499), katalüsaatorina Haber protsessis (lämmastikgaasi ja vesiniku vahelise reaktsiooni tööstuslik rakendamine) ja vee-gaasi vahetusreaktsioonis, on ka koostisosaks koos väävli ja alumiiniumiga teatud termiitreaktsioonides, mida kasutatakse, et lõigata terast Tähtsus - on üks kolmest põhilisest raua koostisesse kuuluvast oksiidist Saamine
ln a x (1 + x) n 1 + nx n 1+ x 1+ n 0 Määramatud kujud: ; ;0 ; ;1 ; 0 ;0 0 0 Funktsiooni pidevus lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) x x0 0 x x0 + 0 Funktsiooni katkevus I liik kõrvaldatav x lim f ( x) = A lim f ( x ) = A f ( x0 ) x 00 x x0 + 0 I liik hüppekoht x lim f ( x) = A lim f ( x) = B x 0 0 x x0 + 0 4 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID
ln a x (1 + x) n 1 + nx n 1+ x 1+ n 0 Määramatud kujud: ; ;0 ; ;1 ; 0 ;0 0 0 Funktsiooni pidevus lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) x x0 0 x x0 + 0 Funktsiooni katkevus I liik kõrvaldatav x lim f ( x) = A lim f ( x ) = A f ( x0 ) x 00 x x0 + 0 I liik hüppekoht x lim f ( x) = A lim f ( x) = B x 0 0 x x0 + 0 4 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID
seda, et graafikul on väärtuste muutmine y-telje sihis kuitahes väike, kui vaid muutmine x-telje sihis on piisavalt väike Tehted pidevate funktsioonidega: f(x) + g(x); f(x) − g(x); f(x)g(x); f(x) /g(x) 11. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon, I ja II liiki katkevuspunktid). Definitsioon: kui funktsioon ei oled pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks Esimest liiki katkevus punktid: funktsioonil on olemas ühepoolsed piirväärtused Teist liiki katkevuspunktid: kõik ülejäänud katkevuspunktid 12. Pideva funktsiooni omadused (teoreemid lk 12-13). Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus Weierstrass teoreem: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus Bolzano-Cauchy teoreem: lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis
1 1 + 12. Kui x läheneb lõpmatusele, siis funktsioon x läheneb arvule e: n 1 lim 1 + = e x n 13. Logaritme alusel e = 2,718... nimetatakse naturaallogaritmideks. 14. 15. Argumendi muut ja funktsiooni muut (joonis). Funktsiooni pidevuse definitsioon. Elementaarsete põhifunktsioonide pidevus. Funktsiooni katkevus ja katkevuspunkt. Pidevate funktsioonide omadused koos joonistega. 16. Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x 0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y 0 + y = x ( x 0 + x) .Funktsiooni muut y = f ( x 0 + x ) - f ( x0 ) . 17. x 18. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse argumendi väärtusel x = 0 (ehk punktis
sin x , kui x 0 f ( x) = x 1, kui x = 0. 24 Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x) ja f ( a ), kuid lim f ( x) f (a ). xa x a 25 Teist liiki katkevuspunktid Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevus- punktiks kui lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri xa - lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri xa + (s.t. kui lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri). x a 26 Näide 1 Uurime funktsiooni f ( x) = katkevust kohal 1. 1- x 1 lim =
-Jaguneb: Ühepoolne/Kahepoolne POLÜKARBONAAT KILE: -Meemutab katsudes plastikut -väga vastupidav, turvaline -Sisaldab ornamentikat HOLOGRAAFILINE KILE: -Erinevate valgusnurkade all tulevad esileerinevad kujundid, mis võivad paikneda kogu kile ulatuses - Tuleb jälgida kujundite kokkulangevust/ ei ole katkiseid kujundeid RETROREFLEKTIIVNE ehk KANADA KILE/ 3M KILE: -Kile neelab valgust -Katsudes sametjane/matjas -Kontrollitakse 3M lambiga/Kanada lambiga -Turvaelementide katkevus viitab foto vahetusele FLUORESTSEERUVAD TURVAMÄRGID (UV): -Kontrollitakse UV valguses -Peavad olema terviklikud, selged, kindlate piirjoontega, ei tohi olla katkendlikud. -Peavad olema foto peal, mitte taga 28. Milliseid reisidokumente võidakse piiri ületusel kasutada? -Pass, Meremehe teenistusraamat, Pagulase reisidokument, Meresõidu tunnistus(kodanikust meremehel), Tagasipöördumis tunnistus, Hädaabi reisisdokument, laste pass, ID kaart jne. 29
mõlemad liigid saavad kasu (näiteks suureneb nende ellujäämus), kusjuures see on neile obligatoorne ehk üks ilma teise liigita ei saa elada. · Neutralism on kahe erineva liigi vaheline suhe ökosüsteemis, mille korral liigid üksteist märkimisväärselt ei mõjuta pärssivalt ega soodustavalt. · Mükoriisa ehk seenjuur on sümbioos, täpsemalt mutualism seente ja taimejuurte vahel. · Kontiinum e pidevus · Diskreetsus vastand kontiinumile, taimkatte katkevus · Mitmekesisus on erinevate elukeskkondade üldine muutlikkus või siis teatud keskkonnas elavate ja seda omalt poolt mõjutavate erinevate organismide paljusus · Liigirikkus on teatud ala liikide mitmekesisus · Liigierisus näitab kuidas antud ala isendite koguarv jaotub erinevate liikide vahel · Sündimus sündide esinemine mingi piirkonna rahvastikus · Immigratsioon sisseränne, inimeste ränne ühest riigist teise
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x) puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨hemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15
see on neile obligatoorne – ehk üks ilma teise liigita ei saa elada. Neutralism on kahe erineva liigi vaheline suhe ökosüsteemis, mille korral liigid üksteist märkimisväärselt ei mõjuta pärssivalt ega soodustavalt. Mükoriisa ehk seenjuur on sümbioos, täpsemalt mutualism seente ja taimejuurte vahel. Kontiinum e pidevus Diskreetsus vastand kontiinumile, taimkatte katkevus Mitmekesisus on erinevate elukeskkondade üldine muutlikkus või siis teatud keskkonnas elavate ja seda omalt poolt mõjutavate erinevate organismide paljusus Liigirikkus on teatud ala liikide mitmekesisus Liigierisus näitab kuidas antud ala isendite koguarv jaotub erinevate liikide vahel Sündimus sündide esinemine mingi piirkonna rahvastikus Immigratsioon sisseränne, inimeste ränne ühest riigist teise
funktsioon ei ole pidev. Pidevuse definitsioonist j¨areldub, et katkevuse p~ohjusteks punktis a v~oivad olla funktsiooni v¨a¨artuse puudumine punktis a, piirv¨a¨artuse puudumine punk- tis a, v~oi m~olema olemasolu korral nende (st v¨a¨artuse ja piirv¨a¨artuse) erine- vus. Eristatakse esimest ja teist liiki katkevuspunkte. ¨ Definitsioon 10.2 Oeldakse, et funktsioonil y = f (x) on punktis a esi- mest liiki katkevus, kui on olemas l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim f (x) = b1 xa- ja lim f (x) = b2 xa+ ¨ Oeldakse veel, et x = a on funktsiooni y = f (x) h¨ uppekohaks, sest funkt- siooni graafik teeb sellel kohal l~opliku h¨ uppe.
lim+ f (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katke- xa vuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim f (x) = lim+ f (x) = lim f (x), xa- xa xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~ orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim f (x) = lim+ f (x), xa- xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f h¨ uppepunktiks (h¨ uppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u ¨ks u
lim+ f (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katke- xa vuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim f (x) = lim f (x) = lim f (x), xa- xa+ xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~ orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim f (x) = lim+ f (x), xa- xa siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f h¨ uppepunktiks (h¨ uppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u ¨ks u
asümmeetrilisi partnereid. Ehk muuta riigid kellel on erinevad majanduslik positsiooni üheks heaolu riigiks. Ida-Euroopa integratsioon Euroopa Liitu Euroopa integratsiooni protsessi edukuse võti 1990 aastatel oli erinevate piirkondade erinev edukus. Autorid väidavad, et Skandinaavia integratsioon oli väga edukas Listiani integratsioon. Nemad väidavad, et Lõuna- Euroopa integratsioon on katkenud Listiani integratsioon ja see katkevus põhineb Ida-Euroopa suurenemisel ja Hiina jõukuse kasvul. Lõuna Euroopa järele jõudmine seiskus ühisturu loomisel, mis lõi hilisema suurenemise turgude liberaliseerimise ideoloogial. On üsna tõenäoline, et ilma Ida-Euroopa suurenemiseta oleks lõuna integratsioonile oleks järginud Veroniani elutsükkli tööstusharude kujunemise teed, ehk liikunud järjest odavamatesse piirkondadesse. Berliini müüri kukutamine ja Balti riikide majanduse avanemine muutis kõike
Katkevuspunktide klassifikatsioon. Olgu a hulga D kuhjumispunkt. Kui a ∈ / D või funktsioon f : D → R ei ole punktis a pidev, siis öeldakse, et a on funktsiooni f katkevuspunkt (point of discontinuity, точка разрыва). Kui funktsioonil f eksisteerib katkevuspunktis a piirväärtus lim f (x), siis öeldakse, et x→a funktsioonil f on punktis a kõrvaldatav katkevus. Näiteks, funktsioonil x 7→ sinx x on punktis x = 0 kõrvaldatav katkevus (kontrollida!)z. Mõnedes allikates eeldatakse, et lugeja kõrvaldab katkevuse iseseisvalt, näiteks võidakse kirjutada f : R → R, f (x) = sinx x , ning oodatakse, et sellisest kirjutisest loetakse välja kogu reaalteljel pidev funktsioon sin x x , kui x 6= 0,
-telje suhtes täpselt ühte moodi ning seega annavad ka täpselt sama siinuse, koo- sinuse, tangensi. Trigonomeetrilistest funktsioonidest ja perioodilisusest räägime aga pikemalt juba teises alapeatükis [lk 230]. Teise asjana ehmatab muidugi ära tangensi katkevus iga poolringi ehk iga 180 kraadi järel. Seejuures esimene katkemine on juba 90 kraadi juures. Selles ei ole siiski midagi ehmatavat – see juhtub ju lihtsalt sellepärast, et neis kohtades on koo- sinus võrdne nulliga ning kuna nulliga jagada ei saa, ei saa ka tangensile väärtust leida.
annaabi.ee 
