Kompleksarvu z = a + bi argumendi ϕ leidmisel tuleb j¨algida a ja b m¨arki: olgu θ := arctan | ab | ja vastavalt veeranditele ϕ = θ, kui a > 0, b > 0; ϕ = π − θ, kui a < 0, b > 0. ϕ = π + θ, kui a < 0, b < 0; ϕ = −θ, kui a > 0, b < 0; Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Viia kompleksarv z u ¨le trigonomeetrilisele kujule: √ 1 z = −3 − 3i 2 z = 6i 3 z = −1 − i Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kordamisk¨usimused 1 Kompleksarvu algebraline kuju. Geomeetriline t˜olgendus. Moodul. Kaaskompleks. 2 ordub z · z¯ ? Olgu z = a + bi
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = , ...
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-...
Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse . Definitsioon. Kompleksarvu z = a + ib korral nimetatakse arvu a selle kompleksarvu reaalosaks ja arvu b nimetatakse selle kompleksarvu imaginaarosaks. Definitsioon. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. a + ib ja b=d Defineerime tehted arvudega a + ib ja : Definitsioon. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on kompleksarv z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Näide. (2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i: Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu .
Kui kaks reaalarvu pole võrdsed, siis saab alati neid arve võrrelda ja järjestada suuruse järgi. Kompleksarve aga ei saa järjestada suuruse järgi. Näiteks ei saa määrata, kumb kompleksarv on suurem kas 2 + 3i või 3 + 2i. Teema alguses selgitasime, et mitte igal ruutvõrrandil pole reaalarvulisi lahendeid. 1pr.k.imaginaire - kujutletav. Nimetuse imaginaire võttis tarvitusele prantsuse matemaatik Nad on olemas vaid siis, kui võrrandi ax2 + bx + c = 0 diskriminant on kas positiivne Rene Descartes 1637.a. või null (s
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id
i 1 või i²1 =r(cos+sin) Transporeeritudmaatriks: Maatriksi A transporeeritud maatriks AT saadakse kui Kompleksarv: kirjutatakse maatriksi A read vastavateks veergudeks. Avaldis x iy,kus x ja y on reaalarvud ja i on niinimetatud Kordumine: nA imaginaarühik. pAT
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene
Test Loeng 1. Arvutüübid: · Naturaalarv positiivsed arvud (0 kaasa arvatud) ilma komakohata nt. 1,2,3,4, ... ,29 jne · Täisarv arvud ilma komakohtadeta, ka negatiivsed nt. 1, 2, 3, 45 jne · Ratsionaalarv on liht- ja liitmurrud.. väljendavad täisarvude arvude suhet üksteisesse · Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud. · Kompleksarv - arv, mis sisaldab reaalosa (tavaline reaalarv) ja imaginaarosa (reaalarv korrutatud i = ruutjuur(-1) ) Püsikoma- ja ujukoma-arv, nende võrdlemine. Püsikomaarv arvud nt. 0.000004, 0.0000213 Ujukoma arv- kui püsikomaarv on liiga pikk st. liiga palju nulle pärast koma, siis tuuakse sobiv 10 aste sulgudest välja. Nt 4*10-4 4,56*10-23 Loeng 2. Suurused: · Pikkus parameeter ruumi ulatuse mõõtmiseks, 1 m · Aeg parameeter ajavahemike mõõtmiseks, 1 s
DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H elementide a ja b korral on nendega sooritatud tehte f(a;b) tulemus uuesti hulga H element, siis öeldakse, et hulk H on vaadeldava tehte suhtes kinnine kompleksarvude hulk on kinnine kõigi 4 aritmeetikatehte suhtes ( + ; - ; * ; / ) Hulgas C kehtivad järgmised arvutusseadused: [=a ja =b] · a+b=b+a
i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0 . Tähistame punkti A ( a ; b ) polaarkoordinaadid tähtedega ja r ( r 0 ) , lugedes pooluseks koordinaatide alguspunkti ja polaarteljeks x-telje positiivse suuna. Siis kehtivad seosed: a = r cos , b = r sin . Järelikult saab kompleksarvu z esitada kujul z = a + bi = r cos + ir sin ehk
Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks. 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid.
TEST........................................................................................................................................... 1 DEFINITSIOONID...................................................................................................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...;
ahistatakse b = Im z. 1.4 ¨ Uhik, imaginaaru ¨ hik ja null Kompleksarvu I := ( 10 01 ) := 1, s.t teist j¨ arku u ¨hikmaatriksit ni- metatakse u ¨hikuks ehk u ¨heks. Kompleksarvu i := 01 -1 0 nime- uhikuks. Kompleksarvu 0 := ( 00 00 ) nimetatakse tatakse imaginaar¨ nulliks. Lause 1. Iga kompleksarv avaldub u ¨heselt u ¨hiku ja imaginaar¨ uhiku lineaarkombinatsioonina kujul C z = (Re z) I +(Im z)i. T~ oestus. T~oepoolest 1 0 Re z 0 (Re z) I = (Re z) = 0 1 0 Re z 0 -1 0 - Im z
nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
Suuruse väärtus - Arv ja mõõtühik, mis koos väljendavad suurust kvantitatiivselt. Vastavalt mõõtühiku liigile on suuruse väärtus kas: - arvu ja mõõtühiku korrutis (N: 5,34 m) - dimensioonita (N: laasist proovikeha murdumisnäitaja 1,32) - arv ja mõõtühik vastavalt rakendatud mõõteprotseduurile (N: 43,5 HRC) - arv ja mõõtühik vastavalt etalonainele (N: te ei taha teada...) - arv võib olla kompleksarv (N: vooluahela kogutakistus antud sagedusel, (7+3i)) 5. SI MÕÕTÜHIKUTE KIRJUTAMINE Ühikute tähised on väikesed tähed kuid need on suured tähed kui: - ühiku nimetus tuleneb isiku nimest; - nimetus on lause alguses. Ühiku tähis jääb ainsusesse. Ühikute sümbolite korrutis peab olema ülestõstetud punktiga või tühemikuga N: Nm või N m
Siis nende võrdus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse järgnevalt: 1. z1 = z2 a1 = a2 ja b1 = b2 ; 2. z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 ) i; 3. z1 · z2 = (a1 a2 - b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) i; z1 1 z¯2 z1 · z¯2 4. := z1 · = z1 · = , z2 = 0. z2 z2 z2 · z¯2 |z2 |2 Märkus 15.4 Osutub, et kõigi nende tehete suhtes käitub kompleksarv z = a + 0 i nagu reaalarv a. Seetõttu võime need arvud omavahel samastada, s.t. a = a + 0 i. Sel viisil saame, et R C. 139 PEATÜKK 15. KOMPLEKSARVUD. ALGEBRALINE JA TRIGONOMEETRILINE KUJU 15.5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju Tähistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| sümboliga r ning olgu nurk vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Im(z)
lugejas asuva polünoomi järk madalam kui nimetaja polünoomil või on äärmisel juhul sellega võrdne (mn). Kui sisendsignaaliks on hüppesignaal (x s=0, kui t<0 ja xs=A, kui t0), siis ülekandefunktsioon võtab lihtsama kuju W (s) = bm n n -1 n- 2 a0 s + a1 s + a2 s + .... + an Muutuja s ülekandfunktsioonis on üldjuhul kompleksarv: s=+i. Osutub, et süsteemi diferentsiaalvõrrandist Laplace'I teisenduse abil saadav ülekandefunktsioon W(s) ja Fourier' teisenduse abil saadav kompleksne amplituudikarakteristik W(i) on analüütiliste avaldiste poolest sarnased. Vahe on ainult selles, et s asemele tuleb i, signaalide xv(t) ja xs(t) kujutiste Xv(s) ja Xs(s) asemele aga -it
kus a0 , a1 , . . . , an-1 , an on konstandid ja n N ning x on muutuja, nimetatakse n-astme pol¨ unoomiks ehk t¨ aisratsionaalseks funktsiooniks. Konstante a0 , a1 , . . . , an nimetatakse pol¨ unoomi kordajateks ja arvu n pol¨ unoomi astmeks. Algebra p~ ohiteoreem. Igal komplekssete kordajatega n-astme pol¨ unoomil Pn (x) on t¨apselt n kompleksset nullkohta (kordsed nullkohad kaasa arvatud) x1 , x2 , . . . , xn . Lause 1. Kui kompleksarv x1 = + i on reaalsete kordajatega n-astme pol¨ unoomi Pn (x) (n 2) nullkohaks, siis on selle pol¨ unoomi nullkohaks ka arvu x1 kaaskomplek- sarv x1 = - i. Lineaartegurite x - ( + i) ja x - ( - i) korrutis on reaalsete kordajatega ruutpol¨ unoom kujul x2 + px + q, kus p = -2 ja q = 2 + 2 . 30 Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehk murdratsionaalseks funktsiooniks nime- tatakse kahe pol¨
arvude liitmisest mõelda geomeetriliselt. Seekord liigume lihtsalt komplekstasan- dil, vastava arvu samme reaaltelge mööda, vastava arvu imaginaartelge mööda. 93 Korrutamine ja jagamine Kompleksarve saab edukalt ka korrutada ja isegi jagada. Tulemuseks on endiselt alati kompleksarv. Näiteks arvuhulgad ning Kompleksarvudega korrutamisel on ka ilus geomeetriline tõlgendus – tasandil pööramine. Näiteks oletame, et meile on antud kompleksarv ning tahame leida uut kompleksarvu, mis on selle arvu suhtes 45-kraadise nurga all vastupäeva. Tuleb välja, et sellise kompleksarvu leidmiseks võime lihtsalt algset arvu korrutada
annaabi.ee 
