Matemaatiline analüüs (3)

Täisprogramm
Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks)
variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 – 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas ( bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi.
1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon.
V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu.
Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel .
Absoluutväärtuse omadused:
| − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Reaalarvu a ümbruseks nim. suvalist vahemikku ( a-ɛ, a+ɛ), kus ɛ >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-ɛ, a+ɛ) siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ɛ, st x-a 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse ( M,  ) siis, kui x>M.
Tõkestatud hulga definitsioon: reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik ( a, b ) nii, et A ( a, b ). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud ( a, b ), lõigud a, b ja poollõigud a, b), (a, b. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-, a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (-, a, a, ).
2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond . Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja , määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused.
V: Jääv ja muutuv suurus: Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte ühtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond: Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon: Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk: Olgu antud funktsioon f, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega võime kirjutada seose y = f(x) , (1.1) mis väljendab muutuja y ”seotust” argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul omab võrrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sõmbolit X. Hulka Y = < .
Graafiku omadused:

• Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt
  

ühes punktis.
3. Paaris- ja paaritud funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks,
kui iga x  X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x  X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x  X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .Kasvavad ja kahanevad funktsioonid: Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna
alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) (x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon : Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud : Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ̸= 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid : Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Näiteks kuupfunktsioon y = x3 on üksühene. Iga y korral leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kuup . Arv 8 on ainult ühe arvu (so 2) kuup, arv −27 on ainult ühe arvu (so −3) kuup jne. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad. See tähendab, et kui funktsiooni f argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine , funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos: Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y = f(x) ja x = g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka ühed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f
seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik: Logaritmfunktsioon:
Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt ühes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon üksühene ning tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon
x = loga y , kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0 ja a ̸= 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed loga[ax] = x ja aloga y = y. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad oma kohad, siis lähtudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) näeme, et funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,∞) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7). Võrreldes graafikuid joonistel 1.4 - 1.7 näeme, et y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes.
Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega: Arkusfunktsioonid:
Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
5. Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x  X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) = f(x) − g(x), korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) = f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x  X, mille korral g(x) ̸= 0.
Liitfunktsiooni mõiste: Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. Seega võime kirjutada võrduse
z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)].
Liitfunktsiooni Määramispiirkond: Liitfunktsiooni g ◦ f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = < . Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =√? y liitfunktsiooni (g ◦ √ f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,∞), siis Xg◦f = < =<. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x
ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega .
Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an−1, an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =
a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn
b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm−1xm−1 + bmxm .?
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid: Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 − x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 − sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joone mõiste: Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina
Süsteem määrab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
.
Järelikult on vaadeldava joone võrrand x ja y kaudu esitatuna järgmine:
Seda joont nimetatakse ellipsiks. Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks.
Parameetrilisel kujul antud funktsioon: Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = φ(t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Tõepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f(x) = f[φ(t)] = (f ◦ φ)(t). Seega, tähistades ψ = f ◦ φ saame võrrandi y = ψ(t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1, T2], näeb see süsteem välja järgmine:
(1.8)
Võrrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega (1.8) antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi): Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on:
Hüperboolse siinuse ja koosinuse kaudu on defineeritud veel
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid:
7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste: Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on
moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,∞), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x → ∞ või lim x = ∞. Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x → −∞. Definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞,−M), st rahuldavad võrratust x −M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞.
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid: Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist , kui me seal esineva ümbruse (a−ε, a+ε) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a−ε, a] või [a, a+ε). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a. Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ε). Siis kirjutatakse x → a+ . Piirprotsesside x ja x definitsioonid: Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x → −∞. Definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞,−M), st rahuldavad võrratust x −M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞.
Jada piirväärtuse definitsioon: Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a −
ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a v˜oi lim xn = a .
Koonduvad ja hajuvad jadad : Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid: Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞.
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem ): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust.
Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud,
siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32.
9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ̸= a, funktsiooni väärtus f(x) l¨aheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on………….. või f(x) → b kui x→ a .Geograafiline tõlgendus: Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ̸= a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b.
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a ja b : Analoogiliselt saab käsitleda ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused −∞ või ∞. Selleks tuleb ülaltoodud definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega ∞ või −∞. Näiteks piirväärtuse limx→af(x) = ∞ definitsioon on järgmine: Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ̸= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a−, mis rahuldab tingimust x ̸= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on…………. Või f(x) → b kui x → a Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a+, mis rahuldab tingimust x ̸= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on…… või f(x) → b kui x → a+ . Toodud definitsioonides võib lõpliku arvu b asendada kas −∞-ga v˜oi ∞-ga. Geomeetriline tõlgendus: Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta: Vaata lk 39 2.3.
10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega: lk 41
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: lk 41
11. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid: Vastavalt §2.3 toodud definitsioonidele on funktsioon α(x) lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis …………………….. lõpmatult kasvav piirprotsessis ……………………………………
Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest: Funktsioon α(x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x → a siis ja ainult siis, kui 1 α(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. Tõkestatud funktsiooni definitsioon: Funktsiooni α(x) nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste hulk on tõkestatud. Tõkestatud funktsiooni väärtused asuvad mingis lõplikus vahemikus (a, b). Näiteks funktsioonid α(x) = sin x ja α(x) = cos x on tõkestatud, sest nende väärtuste hulk Y = [−1, 1] on tõkestatud. Seevastu funktsioonid tan x ja cot x ei ole tõkestatud, kuna nende väärtuste hulk Y = R ei ole tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest: Kui α(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x → a ja β(x) on tõkestatud, siis korrutis α(x)β(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x → a.
12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused): Olgu α(x) ja β(x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x → a. See tähendab, et mõlemad need suurused
l. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus………………….., siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
2. Kui………………….., siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α ∼ β.
3. Kui…………………….., siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes. henevad nullile , kui x → a.
Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes: Kui α ja β on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis α − β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes. Tõestus. Kuna vastavalt eeldusele on α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis vaata lk 44.
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused): Olgu α ja β lõpmatult kasvavad suurused protsessis x → a.
1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus…………………., siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
2. Kui lim………………, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul α  β.
3. Kui lim…………………., siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks β suhtes.
13. Pideva funktsiooni definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui
1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a  X,
2. eksisteerib lõplik piirväärtus ………………
3. lim………………………………….
Pidevuse geomeetriline sisu: Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). Selgitame seda lähemalt. Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. Tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st f(a) eksisteerib. Peale selle, 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b = limx→af(x). Viimane tähendab seda, et suvalises piirprotsessis x → a, kus x ̸= a, läheneb graafiku jooksev punkt P(x, f(x)) ühele ja samale punktile AP = (a, b). Lõpuks, 3. Tingimuse põhjal kehtib b = f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon.
Pideva
funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46
14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse
selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt.
1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim…………………….., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim………………………………., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks.
b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus……………………….. siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks). Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim…………………………. puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on kõik need
katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.)
15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid: Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui
1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a  X,
2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim……………
3. lim……………………….
Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Selleks tuleb definitsioonis esinev vasakpoolne piirväärtus lim……………………………………. asendada parempoolse piirväärtusega……………………………………………
Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid: Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Vahemikus (a, b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b].
Elementaarfunktsioonide pidevus: Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad.
16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul: Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.
17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema
suurima ja vähima väärtusega:
1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Seda omadust võib selgitada järgmiselt. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul.
2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.
3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.
Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. Tõestus. Omadus 3 järeldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev lõigul [a, b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.
18. Funktsiooni tuletise definitsioon: Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda.
Tuletis ja diferentseeruv funktsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt:
Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted:
Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi Δx = x − a − argumendi muut kohal a , Δy = f(x) − f(a) − funktsiooni muut kohal a .
Siis
.
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis (vt §2.9) toodud 1. tingimus. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et lim f(x)? Eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). Kuid see järeldub järgmisest võrduste reast:
Seega on teoreem tõestatud. Tuletis kui Funktsioon: Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D.
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised:
19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon: Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f′(a) ja argumendi muudu Δx = x−a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena: lk 60
20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: lk 61-62
Tõestada korrutise reegel: lk 62
Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid: Järgnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)).
Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi (3.4) üles punktis x, saame f′(x) = ? Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g′(y) = ?
Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame <′ = ?. Kasutades neid valemeid arvutame:
Seega oleme tõestanud järgmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks:
21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine : Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Õnneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Kirjeldame näiteks võrrandiga sin y − x + cos x − y = 0 Arvutame y′ kaudselt : 2 võimalus lk 63
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem): Teoreem Olgu üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem:
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f′(x) = ? Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g′(y) = ? . Kasutades neid valemeid arvutame:
Olemegi tõestanud valemi. Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem): Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega
Siis kehtib valem
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f′(x) =?. Funktsiooni x = φ(t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult φ′(t) =?. Analoogiliselt saame funktsiooni y =ψ(t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose ψ′(t) = ?. Kasutades neid valemeid arvutame:
See tõestabki valemi.
22. Joone puutuja definitsioon: Tuletada joone y f (x) puutuja võrrand
punktis A (a, f (a)) : tuletada puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi (3.9) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a) , (3.10) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ￣p = tan β. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et
Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus ￣p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal
Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi
Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f′(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on π/2 , siis ei ole f′(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Joone normaalsirge definitsioon: Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Tuletada joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) : Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ. Kuna φ = α + π/2 ja tan α = f′(a), siis
Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:
Muidugi kehtib selline võrrand juhul, kui f′(a) ̸= 0. Kui f′(a) = 0, siis on normaalsirge y - telje sihiline ja tema võrrand on x = a. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu: argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole π/2.