Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 (0)

Q: Mida nimetatakse Euleri arvuks arvuks e?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Kuidas on funktsiooni tuletis seotud funktsiooni kasvamise ja kahanemisega?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Millist funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks ja millist nõgusaks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Millist punkti nimetatakse funktsiooni käänupunktiks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Kuidas neid leitakse?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Mida nimetatakse funktsiooni asümptootideks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Q: Millist funktsiooni nimetatakse integreeruvaks antud lõigul?

Vastus leiad õppematerjalist: Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018

Keskkool - Matemaatika - Kõrgem matemaatika

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Mida nimetatakse Euleri arvuks arvuks e?
Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks?
Kuidas on funktsiooni tuletis seotud funktsiooni kasvamise ja kahanemisega?
Millist funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks ja millist nõgusaks?
Millist punkti nimetatakse funktsiooni käänupunktiks?
Kuidas neid leitakse?
Mida nimetatakse funktsiooni asümptootideks?
Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote?
Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks?
Millist funktsiooni nimetatakse integreeruvaks antud lõigul?
Mida nimetatakse integreerimislõiguks?
Kui rajad on võrdsed?

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 / 2018

Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega ( liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks . Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks .

Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum 𝑚 × 𝑛. Maatriksil on m rida ja n veergu , kus a11; a12; …a1n; jne on maatriksi elemendid.
Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9)
Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama.
Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga
Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse ϴ.
Maatriksi 𝐴 vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit:
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 – KOMMUTATIIVSUS

(𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) - ASSOTSIATIIVSUS
𝛼 (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS
(Α + Β) 𝐴 = Α𝐴 + Β𝐴 - DISTRIBUTIIVSUS
1 ∙ 𝐴 = 𝐴
0 ∙ 𝐴 = 0

Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud .

Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks.

Kui maatriksil 𝐴 on 𝑚 rida 𝑛 veergu ning maatriksil 𝐵 on 𝑛 rida ja 𝑘 veergu, siis maatriksi 𝐴 korrutiseks maatriksiga 𝐵 ( kirjutatakse 𝐴𝐵) nimetatakse niisugust maatriksit 𝐶, millel on 𝑚 rida ja 𝑘 veergu
Korrutamise omadused:

1) Kui 𝐴 = 𝐵, siis 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 ning 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵;
2) 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴;
3) 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶;
4) (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶).
5) 𝛼(𝐴𝐵) = (𝛼𝐴)𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵).

lineaarsete tehete:

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 – KOMMUTATIIVSUS
(𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) - ASSOTSIATIIVSUS
𝛼 (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS
(Α + Β) 𝐴 = Α𝐴 + Β𝐴 - DISTRIBUTIIVSUS
1 ∙ 𝐴 = 𝐴
0 ∙ 𝐴 = 0

Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E:

Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid .

Maatriksi elemendi miinor . Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem.

Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij.
Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse.
Arendus rea järgi

Arendus veergu järgi

Mulle tundub, et det teooria põhivalem on

Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu. Pöördmaatriksi ja regulaarsuse seos. Pöördmaatriksi omadused

Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks
Maatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse, selllist maatriksit mille korral A*A-1 = A-1*A = E, kus E on sööbivat järku ühikmaatrkis (AGA 1. A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga)
Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu
Leiame det A:
Pärast ………………..
Maatriksit 𝐵 nimetatakse regulaarse maatriksi 𝐴 pöördmaatriksiks, kui 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸, kus 𝐸 on ühikmaatriks

Lihtsamad maatriksvõrrandid.

A*X=B lahendus: X = A-1*B

või

X*A=B lahendus: : X = B*A-1

Võrrandisüsteemi kordajad , vabaliikmed, lahend . Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks.
Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks:

Süsteemi lahendamine Crameri valemitega.

Maatriksi miinor. Maatriksi astak . Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem

Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel
Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile 𝐴 pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv – maatriksi astak.
Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused):

1. maatriksi kahe rea ( või veeru ) ümberpaigutamine.
2. maatriksi ühe rea ( või veeru ) kõigi elementide korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga.
3. maatriksi ühe rea ( või veeru ) elementidele teise rea ( või veeru ) ühe ja sama arvu kordsete elementide liitmine.

Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi.

Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank ( A) = rank( AL).

Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu.

Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul , argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid.

Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks.
Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i.
Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks.

Geomeetriline vektor . Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor . Kolmnurka ja rööpküliku reegel.

Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku.
pikkus on vektori arvväärtus
vektorid võrdsed siis, kui nende pikkus on sama, nad paralleelsed ehk seisavad ühel sirgetel ja suunatud ühel suunal

Aritmeetiline vektor. Vektori koordinaatid. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum.

Vektori definitsioon.

Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku.

Vektori koordinaadid

Skalaarkorrutise definitsioon. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon

Pikkus on vektori arvväärtus
Skalaaride all mõistetakse matemaatikas arve ja arvude mitmeid üldistusi. Meil siin tähendab sõna “skalaar” sama, mis sõna “arv”. Arvu all mõistame aga reaalarvu

Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused.

Arvuhulgad: naturaal -, täis-, ratsionaal-, reaal - ja kompleksarvud .

N – naturaalarvud (0,1,2,3,4,5…..)
Z – täisarvud (-1,-2,-3,5,6,7….)
Q – ratsionaalarvud (1/2, -3/4, 2,34)
R –reaalarvud (П, 2П, e)
C – kompleksarvud (1-4i, 6 + 7i, 2i)

Arvu absoluutväärtus

Muutuvad ja jäävad suurused
π = 3.14
e = 2,71
x,y,z
06.01

Lõik, vahemik, poollõik

Vahemik on sirge paiknevate punktide hulk, mis asub kahe punkti vahel
Lõik on sirge, mis ühendab kaht punkti A ja B (punktid A ja B kaasa arvatud) Seda lõiku tähistatakse AB
Poollõik on reaalarvude hulga alamhulk (подмножество), mis koosneb kõigist reaalarvudest

Funktsiooni mõiste

Seost, mis määrab viisi (опреляет способ), kuidas sõltuv muutuja (завимая переменная) on seotud sõltumatu muutujaga (независимая переменная) selliselt, et igale sõltumatu muutuja väärtusele (значение) vastaks ainult üks sõltuva muutuja väärtus, nimetatakse funktsiooniks.

Funktsiooni argument

Sõltumatut muutujat nimetatakse funktsiooni argumendiks ja seda tähistatakse tähega x

Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond (определение функции и область изменения)

Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada
Funktsiooni muutumispiirkonda YY moodustavad kõik muutuja yy väärtused, mis vastavad muutuja xx väärtustele funktsiooni määramispiirkonnast.

Funktsiooni esitusviisid

analüütiline esitus (valemi abil)
tabeli abil
graafiku abil

Paaris- ja paaritud funktsioonid

f(x) = f(x) paarisfunktsioon - graafik sümmeetriline y- teljega
f(x) =  f(x) paaritu funktsioon - graafik sümmeetriline x-teljega

Perioodilised funktsioonid, funktsiooni period

Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv ω, nii et f(x + ω) = f(x)= f(x - ω) (ω - periood)
Iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtib võrdus f(x+T)=f(x) ning vähimat positiivset arvu T nimetatakse funktsiooni perioodiks.

Monotoonsed , kasvavad ja kahanevad funktsioonid

Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse rangelt monotoonseteks.
Funktsioon y = f(x) on kasvav vahemikus ]a; b[, kui ta rahuldab tingimust f ´(x) > 0.
Funktsioon y = f(x) on kahanev vahemikus ]a; b[, kui ta rahuldab tingimust f ´(x)

Elementaarsed põhifunktsioonid. Nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud
Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone.

Astmefunktsioon : y = xa
Logaritmfunktsioon: y = logax
Eksponentfunktsioon: y = ax
Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x

Arkusfunktsioonid : y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x

Eksponentfunktsioon: y = ax

Elementaarfunktsioonid

Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest (y = kx, y = ax2 + bx + c)

Liitfunktsiooni mõiste

Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.

Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis ja muutumispiirkond

Funktsiooni ƒ pöördfunktsioon on funktsioon ƒ-1, mis seab igale ƒ muutumispiirkonna väärtusele y vastavusse need väärtused x määramispiikonnast.
Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga yεY korral leidub täpselt üks xεX, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f (x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X.

Funktsiooni piirväärtus

Funktsiooni piirväärtus, kui argument läheneb lõpmatusele

Kui muutuja x läheneb lõpmatusele, siis nimetatakse teda lõpmatult kasvavaks suuruseks ja kirjutatakse: x → ∞ .

Tõkestamatult kasvav funktsioon

Tõkestamatult vähenev funktsioon

Summa piirväärtus

Korrutise piirväärtus

Põhiteoreemid piirväärtuse kohta

Mida nimetatakse Euleri arvuks (arvuks e)?

E = 2,718281828

Pideva funktsiooni mõiste

Vahemikus pidev funktsioon

Funktsioon 𝑦 = f(x) on pidev antud vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis.

Lõigul pidev funktsioon

Funktsioon 𝑦 = f(x) on pidev antud lõigul [a;b], kui ta on pidev vahemikus (a;b), st. pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b

Katkeva funktsiooni mõiste

Esimest liiki katkevuspunkti mõiste

A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid A  B. Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt , ehk hüppekoht.

Esimest liiki katkevuspunktide alamliigid

Teist liiki katkevuskoha mõiste

Kui A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse, siis punktis x0 on II liiki katkevuskoht.

Pidevate funktsioonide omadused

Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu Δx lähenemisel nullile ka funktsiooni muut Δ𝑦 läheneb nullile
Kui funktsioonid u = u(x) ja v = v(x) on pidevad punktis a, siis nende summa u(x) + v(x), vahe u(x) − v(x), korrutis u(x) ∙ v(x) ja jagatis u(x)/v(x) (v(a)  0) on ka pidevad selles punktis
Kui funktsioonid u = u(x) on pidev punktis a ja 𝑦 = 𝑦(u) on pidev punktis b= u(a), siis liitfunktsioon 𝑦 = 𝑦(u) on pidev punktis a
Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas
Funktsioon f(x) on pidev punktis a siis ja ainult siis, kui f(a−) = f(a) = f(a+) . Kui vasak ja parempoolne piirväärtused on võrdsed.

Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast

Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu Δx lähenemisel nullile ka funktsiooni muut Δ𝑦 läheneb nullile.

Joone puutuja mõiste

Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0.

Funktsiooni tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile.

Diferentseeruva funktsiooni mõiste

Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks.

Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel

Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis

Konstandi tuletis on null C′ =0

Liitfunktsiooni tuletis

Pöördfunktsiooni tuletis

Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine

Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse?

Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis

Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks?

Korrutist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df(x).

Funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali kaudu.

Diferentsiaal ehk tuletis
Me same kirjutada valem funktsiooni diferentseerimiseks nagu
Selliselt me same, et … see valem tähendab, et tuletis on esitatud funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali kaudu

Funktsiooni diferentsiaali omadused.

Omadus: kui funktsioonil y=f(x) on tuletis punkti x=x0 , siis ütlen, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0, kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on deferentseeruv selles piirkonnas.
Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal võrdub funktsiooni graafiku puutuja tõusuga sellel kohal.
Üldavaldis näitab aga kuidas muutub funktsiooni graafiku tõus argumendi muutumisel.

Funktsiooni 2., 3. ja n-järku tuletis

Olgu funktsioon y =f(x) diferentseeruv lõigul [a;b]. Funktsiooni tuletise f’(x) väärtused on üldiselt sõltuvad argumendist x, s.o. tuletis f’(x) kujutab endast x funktsiooni. Diferentseerides seda funktsiooni, saame funktsiooni f(x) niinimetatud teise tuletise.
Funktsiooni teise tuletise tuletist nimetatakse kolmandat järku tuletiseks ehk kolmandaks tuletiseks ja tahistatakse y’’’või f’’’(x).
Üldiselt, funktsiooni f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse ( n - 1)-järku tuletise tuletist ja tähistatakse kas sümboliga y(n) või f(n) (x): y(n) =[y(n-1)]’ = f(n) (x).

Kõrgemat järku tuletiste leidmise eeskirjad

Kui me soovime leida kõrgemat järku tuletist, näiteks kolmandat järku tuletist siis, on vaja võtta esimest tuletist, pärast teist tuletis ja pärast seda funktsiooni teise tuletise tuletist võtmine on nimetatakse kolmandat järku tuletiseks + näide

Funktsiooni n-järku diferentsiaal

Üldiselt funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni ( n-1) - järku diferentsiaali esimest järku diferentsiaali: dn(y) =f(n) (x)dxn

Teist järku tuletise mehaaniline tõlgendus

Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y’’

Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist.

Puutuja võrrand y-y0 =f´(x0)(x-x0) ehk y= f(x0) + f´(x0)(x-x0)
Leida parabolile y=x2 – 4x puutuja, kui on antud abstsiss x0=3
X0 = 3 seega f(x0)= 32-4*3=-3
Puutepunkt ehk P(3;-3)
Leian f´(x) =2x-4
f´(x0) = f´(3) = 6-4=2 Panen saadud andmed lihtsalt valemisse:
y= -3 + 2(x-3)
Normaali võrrand: y-y0 =-(1/f´(x0))*(x-x0)
ülesannet lahendan samamoodi nagu puutuja leidmisel, meil on juba kõik andmed siis lihtsalt penen saadud andmed valemisse
…..

L’Hospitali reegel

Kuidas on funktsiooni tuletis seotud funktsiooni kasvamise ja kahanemisega?

Tuletise abil me same leida funktsiooni kasvamise ja kahanemise
Näiteks:

Mida nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks ja mida kriitilisteks punktideks?

punkte x € X, kus f ‘(x) = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks (punktid max ja min)

funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks

Kirjeldage funktsiooni monotoonsuse piirkondade leidmist

Kirjeldage funktsiooni lokaalsete ekstreemumite leidmist.

Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus
f (x) = f(a) – miinimum
Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum.

Millist funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks ja millist nõgusaks?

Kui vahemiku ( a , b) kõigis punktides funktsiooni f (x) teine tuletis on negatiivne, s.t. f ‘’( x ) kumer.
Kui vahemiku (b , c ) kõigis punktides funktsiooni f ( x ) teine tuletis on positiivne, s.t. f ‘’(x) > 0, siis on joon y = f ( x ) selles vahemikus nõgus.

Kirjeldage funktsiooni kumerus - ja nõgususpiirkondade leidmist.

Millist punkti nimetatakse funktsiooni käänupunktiks? Kuidas neid leitakse?

Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus.

Mida nimetatakse funktsiooni asümptootideks?

Kui funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks.

Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote?

Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon .

Kui ühemuutuja funktsioon on y=2x
Ja meile on vaja leida algfunktsion, leidmiseks me kasutame integrali siis võtame integralir ühe muutuja funktsioonist

Algfunktsioonide hulga üldkuju.

Kui F(x) ja G(x) on kaks erinevat funktsiooni f(x) algfunktsiooni, siis nad erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra.

Määramata integraali mõiste

Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis avaldist F(x) + C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ∫f(x)dx.

Määramata integraali omadused

∫[f(x)+g(x)]dx =∫f(x)dx + ∫g(x)dx, st kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga .
Kui a on konstant, siis ∫af(x)dx = a∫f(x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette.
∫ [f(x)−g(x)]dx = ∫f(x)dx − ∫g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega.

Ositi integreerimise valem

Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi ∫ udv = uv − ∫vdu.

Muutuja vahetus määramata integraalis.

Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks?

Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid.

Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis

Määratud integraali mõiste

Millist funktsiooni nimetatakse integreeruvaks antud lõigul?
Funktsioone, mis rahuldavad (DEF1) esitatud tingimusi, nimetatakse lõigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks.

Mida nimetatakse integreerimislõiguks? Mida alumiseks ja mida ülemiseks rajaks ?

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a;b] nimetatakse integreerimislõiguks
Seejuures integereerimislõigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja lõigu lõpp - punkti b ülemiseks rajaks.

Kuidas defineeritakse määratud integraal juhul, kui alumine raja on suurem ülemisest rajast? Juhul, kui rajad on võrdsed?

Tarvilik tingimus selleks, et funktsioon oleks antud lõigus integreeruv.

Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks

Määratud integraali aditiivsuse omadus.

Määratud integraali lineaarsuse omadus.

Määratud integraali monotoonsuse omadus.

Lõigus alt ja ülalt tõkestatud funktsiooni integraali omadus.

Lõigus pideva funktsiooni integraali omadus.

Newton -Leibnizi valem.

Ositi integreerimise valem määratud integraali leidmisel

Muutujate vahetus määratud integraali leidmisel

.DOCX Laadi alla originaalfail 22 lk · .docx · 146 allalaadimist

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #1

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #2

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #3

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #4

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #5

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #6

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #7

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #8

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #9

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #10

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #11

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #12

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #13

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #14

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #15

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #16

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #17

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #18

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #19

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #20

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #21

Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017 2018 #22

Tasuta Faili alla laadimine on tasuta

~ 22 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2019-01-09 Kuupäev, millal dokument üles laeti

146 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

MariaMariaB Õppematerjali autor

Sarnased õppematerjalid

doc

Kõrgema matemaatika eksam

1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·

Kõrgem matemaatika

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

doc

Kõrgem matemaatika

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks.

Kõrgem matemaatika

pdf

Kõrgem matemaatika I suuline eksam

1. peatükk 1) Definitsioon 1.1: maatriks Ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnev ristkülikukujuline arvude tabel. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor Ruutmaatriks - ridasid ja veerge sama palju Reamaatriks - koosneb ühest reast Reavektor - sama, mis reamaatriks Veerumaatriks - koosneb ühest veerust Veeruvektor - sama, mis veerumaatriks 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Maatriksid on võrdsed, kui nende ridade ja veergude arv on võrdne ning vastavatel kohtadel elemendid on võrdsed. 4) Definitsioon 1.4: maatriksite summa Maatriksite summa on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide summad. 5) Definitsioon 1.5: maatriksite vahe Maatriksite vahe on maatriks C, mille elementideks on vastavate elementide vahed. Järjekord on oluline. 6) Definitsioon 1.6: maatriksi korrutamine skalaariga Maatriksi A korrutist skalaariga λ nim. maatriksit λA = B, mille elemendid saadakse maatriksi A kõigi el

Kõrgem matemaatika

pdf

KM SUULINE

Kategoriseerimata

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....

Matemaatika

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga

Kõrgem matemaatika

doc

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I"

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon Kui hulga x igale elemendile on mingi eeskirjaga seatud vastavusse hulga y kindel elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid · Perioodiline funktsi

Matemaatika analüüs i

Rohkem sarnaseid