Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii).
1. Määramispiirkond ja katkevuskohad (x-id millega saab leida y-it) 2. Kas funktsioon on: a. Paarisfunktsioon; f(-x) = f(x) ; sümeetriline (0,0) suhtes b. Paaritufunktsioon; f(-x) = -f(x) ; sümeetriline y-telje suhtes c. Perioodiline funktsioon; f(x+T)=f(x) T=periood ;siinusfunktsioon 3. Leia X0 ehk nullkohad; f(x)=0 (algneasi=0) 4. Leia X+ ja X- ehk pos-neg piirkond; a. f(x)>0 siis X+ b. f(x)<0 siis X- 5. Leia kasva/kahanemispk X ja X; a. f'(x)>0 siis X b. f'(x)<0 siis X 6. Lokaalsed ekstreemumid; a. f'(x)=0 saad x väärtusi b. f''(x)>0 tuleb Emin y1=fx1 c
200 3.490658504 -0.34202 220 3.8397243544 -0.64279 -1.5 240 4.1887902048 -0.86603 260 4.5378560552 -0.98481 280 4.8869219056 -0.98481 300 5.235987756 -0.86603 320 5.5850536064 -0.64279 340 5.9341194568 -0.34202 360 6.2831853072 -2E-016 Koostage järgmiste fun Siinusfunktsioon 1) Y=sin(x) 1.5 2) Y=cos(x) 3) Y=sin(2x)+2cos(x) 1 Salvestage iga funktsi pange töölehtedele fun 0.5 Nurga x väärtused tule
Faas näitab, millises seisundis võnkuv süsteem parajasti on. Perioodiliselt muutuvaks suuruseks joonisel on voolutugevuse väärtus antud ajahetkel ehk hetkväärtus i. Voolutugevuse maksimaalset võimalikku väärtus Imnimetatakse amplituudväärtuseks. Mehaanikast teame, et pendli võnkumist saab kirjeldada harmoonilisefunktsiooniga. Koosinusfunktsioon voolutugevus on maksimaalne alguses Siinusfunktsioon korral algab aja môõtmine hetkel, mil i=0 Vooluallikad ja tarvitid moodustavad vahelduvvooluvõrgu. Vahelduvvooluahela aktiivtakistuseks R nimetatakse takistust, mis on olemas ka alalsvoolu korral. Aktiivtakistusel muundub elektrienergia soojuseks. On faasis , pliit, hõõglamp Induktiivtakistust Xl = wL avaldab vahelduvvoolule juhtmepool, mille induktiivsus on L. Seejuures on w vahelduvoolu ringsagedus. Kino ja teatri hõõglamp
tan=sin/cos sin(90°-)=cos II veerand 90°<<180° 180°- 2 2 Sin+cos=1 cos(90°-)=sin III veerand 180°<<270° 180°+ 2 1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon
Spikker 1. Seisulaine võnkeseisund, mis tekib kahe vastassuunalise, võrdse amplituudiga kulg- laine interferentsi korral. 2 y 2. x 2 A cos sin t 3. Lainepikkus kahe lähima ühes ja samas faasis oleva punkti vaheline kaugus. Sagedus võngete arv sekundis. 4. Harmooniline võnkumine võnkumine, mille puhul võnkuva suuruse sõltuvuse ajast määrab siinusfunktsioon. 5. n = 2 korral on keele keskkohas sõlm, aga magnet peab paiknema paisu kohal. 6. Resonants sundvõnkumise amplituudi järsk suurenemine välise mõjutuse sageduse lähenedes mingile võnkesüsteemi omavõnkumise sagedusele. 7. Resonantsi korral sõltub võnkeamplituud sundiva jõu sagedusest. 8. Omavõnkumine vaba võnkumine sumbuvuse puudumisel. Vabavõnkumine toimub süsteemis pärast tõuke saamist.
1 kulglaine interferentsi korral. interferentsi korral. =2 cos 2/ 2 sin 3 Lainepikkus on kahe lähima ühes ja samas faasis oleva punkti v Sagedus on võngete arv sekundis. 4 Harmooniline võnkumine on võnkumine, mille puhul võnkuva s määrab siinusfunktsioon. 5 n = 2 korral on keele keskkohas sõlm, aga magnet peab paikne 6 Resonants on sundvõnkumise amplituudi järsk suurenemine vä lähenedes mingile võnkesüsteemi omavõnkumise sagedusele. 7 Resonantsi korral sõltub võnkeamplituud sundiva jõu sageduse 8 Omavõnkumine vaba võnkumine sumbuvuse puudumisel.
suurendada. 5. Vahelduvvool: Vv on elektriv, mille tugevus ja suund perioodiliselt muutub. Vahelduvvoolu sageduseks Euroopas on 50 Hz. Sellist voolu saame kodus pistikupesadest. Vahelduvvoolu pinget ajahetkel t kirjeldab võrrand u= Umax*sin t. Analoogne on võrrand, mis kirjeldab vahelduvvoolu tugevust ajahetkel t: i=I0*sin t(kehtib kui vooluringis on ainult aktiivtakistus). Vahelduvvoolu nimetatakse harmooniliseks, kuna teda kirjeldab siinusfunktsioon. Vahelduvvoolu puhul räägitakse pinge ja voolutugevuse efektiivväärtustest, need võrduvad vastavalt sellise alalisvoolu pinge ja voolutugevusega, mille korral eraldub sama võimsus nagu antud vahelduvvoolu korral. Uefektiiv = Umax /2; Iefektiiv = I max/2. Vv võimsus on määratud valemiga: N=UI*cos, kus = faaside vahe pinge ja voolutugevuse vahel, liiget cos kutsutakse ka võimsusteguriks.
Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond x Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1 a x=(0;∞) Y=(∞;∞) Siinusfunktsioon y=sinx X=(∞;∞) Y=)1;1( Koosinusfunktsioon y=cosx X=(∞;∞) Y=)1;1( Tangensfunktsioon y=tanx=sinx/cosx X= Y=(∞;∞) Kootangensfunktsioon y=cotx=cosx/sinx =(∞;∞) 9. Jada mõiste
k x + x + x = 0 , (7.4) m m mida lahendades saab koormuse koordinaadi sõltuvuse ajast. Sellisele diferentsiaalvõrrandile on mõtet otsida lahendit kujul x (t ) = A exp(- t ) cos( t + 0 ) . (7.5) 2 Sobib ka siinusfunktsioon. Siin A on koormuse algamplituud, 0 võnkumise algfaas. Suurust nimetatakse võnkumise sumbuvusteguriks. Võnkumise faasiks nimetatakse siinuse või koosinuse argumenti võnkumist kirjeldavas võrrandis (7.4). Kontrolliks arvutame võrrandist (7.5) ajalised tuletised ja asendame need valemisse (7.4). Saame tulemuseks x (t ) = - A exp(- t ) cos( t + 0 ) - A exp(- t ) sin( t + 0 ), x(t ) = A exp(- t ) cos( t + 0 ) + 2 A exp(- t ) sin( t + 0 ) -
otsa riputatud punktmass.Võnkeperiood T avaldub mitte kunagi kokku ei põrku.pV=m/µ RT ;p-rõhk, T=2l/g.Füüsikaliseks pendliks võib olla iga keha,kui V- ruumala,m-ass,µ-moolmass.RT-ruumala. see on nii kinnitatud,et ta saab võnkuda ning 30.Tahke keha joon ja ruumpaisumine: kinnituspunkt ei ühti raskuskeskmega. l=lt-l0 T=2I0/mgl ; T=2lt/g ,lt taandatud õlg. 17.Võnkumiste sumbumine:Sumbuvaid võnkumisi kirjeldab siinusfunktsioon kuid selle amblituud väheneb ajas eksponentsiaalselt.x=Asinst; s=02-2; (1+t)-joonpaisumis binoom. =r/2m ;=lnA(t)/A(t+T)= T ; -sumbuvus tegur,r- V=Vt-Vo Keskonna takistustegur.Võnkleamplituudi vähenemist kirjeldab sumbuvuse logaritmiline dekrement( ),mis on arvuliselt võrdne kahe samapoolse üksteisele järgneva võnkeamplituudi suhte naturaallogaitmiga.
vedrukaalud ekvaatorilt kosmosesse triivida. 10. Miks muutub kivi veest välja tõstes raskemaks? Sest atmosfääri tihedus on väiksem kui vee oma, seega kivile mõjuv üleslükkejõud F ü=g V väheneb. 11. Miks on ükskõik, kas harmoonilist võnkumist kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil? Issand Jumal, ma ei teagi.. Nali, kukk, ära petsin su! Sukeldume hetkeks trigonomeetriasse: cos -90 o=sin . See tähendab, et siinusfunktsioon on faasis nihutatud koosinusfunktsioon. Seega võib võnkumise kirjeldamiseks kasutada mõlemat, erinevus seisneb vaid algfaasis. 12. Millistel hetkedel on võnkuva keha kiirus ja kiirendus maksimaalsed? Kiirus on maksimaalne, kui võnkuv pendel läbib tasakaaluasendit (kiirendus on siis 0) ja kiirendus amplituudi kaugusel tasakaaluasendist (kiirus on siis 0). 13. Kui võnkeperiood on 2 s, milline on siis võnkesagedus?
Kõik looduses eksisteerivad võnkuvad kehad on füüsikalised pendlid.. I on siin keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes, m keha mass ja l pöörlemistelje ja masskeskme vaheline kaugus. T =2 π √ I0 mgl , I0 – keha inertsmoment Vônkumiste sumbumine - Sumbuvaid võnkumisi kirjeldab samuti siinusfunktsioon, kuid selle amplituud väheneb ajas eksponentsiaalselt. Võnkeamplituudi vähenemist kirjeldab sumbuvuse logaritmiline dekrement (λ), mis on arvuliselt võrdne kahe samapoolse üksteisele järgneva võnkeamplituudi suhte naturaallogaritmiga. LAINED JA AKUSTIKA Lained elastses keskkonnas - Elastseks nim keskkonda ,mille osakesed on omavahel vastastikmõjus,st kui üks osake panna võnkuma siis hakkavad võnkuma ka ta naaberosakesed.Võnkumise ruumlevimise protsessi nim laineks
Lõpuks tuleb vastuseid kokku võtta ühendimärgiga. Kõige tähtsam absoluutväärtustega võrratuste lahendamise puhul on piirkonna jälgimine. Piirkonna lahendite väljakirjutamisel tuleb lähtuda nii võrrandi kui ka piirkonnatingimusest. 5. Trigonomeetria Täpsed väärtused Põhiseosed Täiendusnurk,Negatiivne nurk Summa ja vahe Kahekordne nurk Märgid Siinusfunktsioon on I ja II perioodis positiivne, III ja IV perioodis negatiivne. Koosinusfunktsioon on I ja IV perioodis positiivne, II ja III perioodis negatiivne. Tangensfunktsioon on I ja III perioodis positiivne, II ja IV perioodis negatiivne. Üldvalemid Arkusfunktsioonid Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Arkusfunktsiooni väärtusteks on vähimad nurgad, mille väärtus on m.
täpseks mõõtmiseks erinevates kohtades Maa pinnal. Mõõtmistulemuste põhjal võib avastada ka rauamaagi, nafta, gaasi jt. maavarade leiukohti. 13. Füüsikaline pendel Füüsikaline pendel on jäik keha, mis raskusjõu mõjul võngub ümber horisontaalse telje, mis ei läbi massikeset. Selle võnkeperiood on kus I on keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes ja l pöörlemistelje kaugus massikeskmest. T = 2 I mga 14. Võnkumise sumbumine Sumbuvaid võnkumisi kirjeldab samuti siinusfunktsioon, kuid selle amplituud väheneb ajas eksponentsiaalselt. Võnkeamplituudi vähenemist kirjeldab sumbuvuse logaritmiline dekrement (), mis on arvuliselt võrdne kahe samapoolse üksteisele järgneva võnkeamplituudi suhte naturaallogaritmiga. 15. Harmooniliste võnkumiste liitmine - Kahe ühesuguse sagedusega (), samasihilise, kuid erinevate amplituutidega ja algfaasidega võnkumise liitmisel on summaks jälle sama sagedusega harmooniline võnkmine.
· kiikumisel · auto poriaugust väljalükkamisel * HARMOONILISE VÕNKUMISE VÕRRAND Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse kõiki võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil. x = xm sin/cos t x hälve 1m xm amplituud ehk maksimaalne hälve 1m - ringsagedus ( = 2f) t aeg 1s sin siinusfunktsioon (tasakaaluasend) cos koosinusfunktsioon (amplituudasend) * VÕNKUMSTE LIIGITUS Võnkumine on liikumine, mis kordub perioodiliselt kindla ajavahemiku järel, kusjuures esialgsesse asendisse läheb keha sama teed mööda tagasi. Võnkumise liigitus: · VABAVÕNKUMINE võnkumine toimub süsteemisiseste jõudude mõjul. Vabavõnkumise tekkimiseks peab olema püsiv tasakaaluasend ja väline tõuge. Sumbuv võnkumine.
Võnkuva punkti kogu energia võrdub igal ajahetkel kineetilise (Wk) ja potensiaalse (Wp) energia summaga. W = Wk+Wp=mw2 A0/2 Matemaatiline pendel: matemaatiline pendel on kaalutu ja venimatu mass. Periood T = 2pii ruutjuur l/g Füüsikaline pendel: võib olla iga keha, kui see on nii kinnitatud, et ta saab võnkuda ning kinnituspunkt ei ühti raskuskeskmega. T = 2pii ruutjuur l0/mgl (l0 on inertsmoment) Võnkumiste sumbumine: Sumbuvaid võnkumisi kirjeldab samuti siinusfunktsioon, kuid selle amplituud väheneb eksponentaalselt. Lainepikkus ( vene L)=B(beeta)*T. B=sumbuvustegur=r/2m (r = keskkonna takistustegur) eksponent e astmes BT=A(t)/A(t+T) ehk siis Võnkeamplituudi vähenemist kirjeldab sumbuvuse logaritmiline dekrement (lamda Vene L), mis on arvuliselt võrdne kahe samapoolse üksteisele järgneva võnkeamplituudi suhte naturaallogaritmiga. Harmooniliste võnkumiste liitmine: Kahe ühesuguse sagedusega (w), samasihiliste aga erinevate
Kui samal joonisel tuleks näidata ka voolutugevuse määramatust, siis tuleks lisada horisontaalsed vearistid voolutugevuse tarvis. Katses mõõdetud punkte ei või omavahel joonega ühendada (väga aktiivselt pakub sellist või- malust näiteks Excel), sest pole teada, kuidas muutub mõõdetud suurus kahe katsepunkti vahel. 17 Äkki on sõltuvuseks siinusfunktsioon ja kõik tulemused mõõdeti sinusoidi maksimumis? Pideva joonega võib kujutada vaid funktsioone, sest nende väärtusi saab leida igas graafiku punktis. 5.1 Lineaarse sõltuvuse regressioonsirge Katsepunkte läbiva regressioonsirge võrrandi arvutamine kompuutri abita on tülikas, seepärast seda siin ei puudutagi. Lihtsam on kasutada silmamõõtu ja regressioonsirge joonistada. Ideealne regressioonsirge läbib graafikul kõikide mõõdetud punktide keskmeid. Tegelikus elus
suunatud liikumist. Voolutegevus on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse juhi ristlõiget ajaühikus läbiva elektrilaenguga (elektrihulgaga). Voolutugevus sõltub laengukandjate arvust ja kiirusest. Kiiruse määrab laengutele mõjuv jõud (seega elektrivälja tugevus), laengukandjate arvu peamiselt juhi mõõtmed. Viimasest vabanemiseks kautatakse voolutiheduse mõistet. 8. Sukeldume hetkeks trigonomeetriasse.. See tähendab, et siinusfunktsioon on faasis nihutatud koosinusfunktsioon. Seega võib võnkumise kirjeldamiseks kasutada mõlemat, erinevus seisneb vaid algfaasis. 9. 14.PILET 1. Kuna see jõud takistab kehade liikuma hakkamist, nim. seda jõudu seisuhõõrdejõuks. Seisuhõõrdejõud ehk staatiline hõõrdejõud on suunatud vastu sellele liikumisele, mis peaks tekkima ning on maksimaalne hetkel, kui kaks pinda hakkavad teineteise suhtes libisema (suurim seisuhõõrdejõud on võrdne selle jõu
perioodide ühiskordsed. Põhilised elementaarfunktsioonid: eksponent: y = a = exp a x a > 0, a 1 x · Eksponent ja logarithm funktsioon logaritm: y = log a x a > 0, a 1 · Astmefunktsioon - y = a x , a 0 · Trigonomeetrilised funktsioonid - siinusfunktsioon: y = sinx koosinusfunktsioon: y = cosx tangensfunktsioon: y = tanx kootangensfunktsioon: y = cotx · Arkusfunktsioonid - Arkussiinusfunktsioon: y = arcsinx arkuskoosinusfunktsioon: y = arccosx arkustangensfunktsioon: y = arctanx arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx
Teiseks tuletame meelde, et funkt- sioon saab võtta täpselt ühe väärtuse – seega peame iga sirge jaoks kuidagi välja valima just ühe lõikepunkti. Üks võimalus selle tegemiseks on lihtsalt nõuda, et vastus oleks mingis kind- las vahemikus – jooniselt näeme, et siinusfunktsioon võtab kõik oma võimalikud väärtused vahemikus ning koosinusfunktsioon näiteks vahemikus . Nendes piirkondades on funktsioonid üksühesed [lk 68] ning võime kohe defineerida ka pöördfunktsioonid. Nii ongi enamasti defineeritud arkussiinus, mida tähistatakse tihti arcsin , kui
9 10. Eksponentfunktsioon (joon. 10, 11): y = a x ( a > 0 a 1) , graafikul on asümptoot y = 0 . X = . Olulisem erijuht: y = e x . Joon. 10 Joon. 11 11. Logaritmfunktsioon (joon. 12, 13): y = log a x ( a > 0 a 1) , graafikul on asümptoot x = 0 . X = ( 0 ; ) . Olulisemad erijuhud: y = log x , y = ln x . Joon. 12 Joon. 13 12. Siinusfunktsioon (joon. 14): y = sin x , graafikuks on sinusoid, paaritu funktsioon, periood on 2 . X = . 27 Joon. 14 13. Koosinusfunktsioon (joon. 15): y = cos x , graafikuks on sinusoid, paarisfunktsioon, periood on 2 . X = . Joon. 15 14. Tangensfunktsioon (joon. 16):
10, 11): y a x a 0 a 1 , graafikul on asümptoot y 0 . X ¡ . Olulisem erijuht: y e x . Joon. 10 Joon. 11 11. Logaritmfunktsioon (joon. 12, 13): y log a x a 0 a 1 , graafikul on asümptoot x 0 . X 0 ; . Olulisemad erijuhud: y log x , y ln x . Joon. 12 Joon. 13 12. Siinusfunktsioon (joon. 14): y sin x , graafikuks on sinusoid, paaritu funktsioon, periood on 2 . X ¡ . 27 Joon. 14 13. Koosinusfunktsioon (joon. 15): y cos x , graafikuks on sinusoid, paarisfunktsioon, periood on 2 . X ¡ . Joon. 15 14. Tangensfunktsioon (joon. 16):
Kokkuvõttes on funktsiooni f määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) . Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon: Olgu funktsiooni f määramispiirkond D sümmeetriline nullpunkti suhtes, s.t. −x ∈ D iga x ∈ D korral. Funktsiooni f nimetatakse 1) paarisfunktsiooniks, kui f (−x) = f (x) iga x ∈ D korral, 2) paarituks funktsiooniks, kui f (−x) = −f (x) iga x ∈ D korral. Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata funktsioonide kohta: Siinusfunktsioon f : R → R, f (x) := sin x ja koosinusfunktsioon f : R → R, f (x) := cos x on tõkestatud, kuna mõlemal juhul f (R) = [−1, 1] Seevastu tangensfunktsiooni f : R{π/2 + kπ | k ∈ Z } → R, f (x) := tan x =sin x/cos x väärtuste hulk ei ole tõkestatud, täpsemalt, f(R{π/2 + kπ | k ∈ Z}) = R Tõkestamata funktsioon: f(x)=x, f(x)=x^3 Tehted funktsioonidega, tuua sellekohaseid näiteid (pole kindle näidete õigsuses): Olgu f ja g hulgas D ⊂ R määratud funktsioonid, s.t
a) c) e) b) d) f) 4 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 3. Trigonomeetrilised funktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Siinusfunktsioon y = sin x X = (- , ) Y = [- 1,1] Koosinusfunktsioon y = cos x X = (- , ) Y = [- 1,1] Tangensfunktsioon y = tan x = sin x cos x X = {x | x (2k + 1) 2 , k Z } Y = (- , ) Kootangensfunktsioon y = cot x = cos x sin x X = {x | x k , k Z } Y = (- , ) y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x 4
liikumise kiirus välja suhtes (vt joonist, kus on näidatud ühe keeru liikumist). Selle tulemusena tekib klemmide K ja L vahel aja muutuv pinge vahelduvpinge. Kui mähis pöörleb nurkkiirusega , siis tekkiv pinge muutub ajas vastavalt järgmisele võrrandile: u = Um sin t, kus u on pinge väärtus ajahetkel t pinge hetkväärtus) ja Um on pinge maksimaalne väärtus. Suurust nimetatakse siin ringsageduseks. Samahästi kui siinusfunktsioon, sobib vahelduvpinge kirjeldamiseks ka koosinusfunktsioon. Kui klemmide külge ühendada tarviti, siis seal tekib vahelduvvool, mida kirjeldab järgmine võrrand: i = Im sin t, kus i on voolutugevuse hetkväärtus ja Im voolutugevuse maksimaalne väärtus. Ringsageduse asemel kasutatakse tavaliselt sageduse f mõistet. Ringsagedus ja sagedus on omavahel seotud nurkkiirus ja sagedus: = 2f (sama seos kehtib ka ühtlase ringliikumise korral).
Eelmisest valemist konstrueerime koormuse liikumist kirjeldava võrrandi k x x x 0 , (7.4) m m mida lahendades saab koormuse koordinaadi sõltuvuse ajast. Sellisele diferentsiaalvõrrandile otsime lahendit kujul x(t ) A exp( t ) cos( t 0 ) . (7.5) Koosinusfunktsiooni asemel sobib ka siinusfunktsioon. Siin A on koormuse algamplituud, 0 võnkumise algfaas. Suurust nimetatakse võnkumise sumbuvusteguriks. Võnkumise faasiks nimetatakse siinuse või koosinuse argumenti võnkumist kirjeldavas võrrandis (7.4). Arvutame valemist (7.5) esmalt ajalised tuletised: x (t ) A exp( t ) cos( t 0 ) A exp( t ) sin( t 0 ),
4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral f (x + T ) = f (x). Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks. Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks 8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii- nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan- gensfunktsiooni perioodiks on . Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodi- listeks funktsioonideks. Defineerime nn "saehamba"funktsiooni
annaabi.ee 
