pikkusele veel rakenduspunkti libisev vektor vektor, mille rakenduspunkti võib vektori mõjusirgel vabalt valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need
korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on
suunatud) ja vektori arvväärtus. Vektoreid tähistatakse kas AB (nool peal) või a (nool peal). Kollinaarsed vektorid on samasihilised ehk paralleelsed, nende vastavad koordinaadid on võrdelised. Kollineaarseteks nimetatakse kaht vektorit u ja v, mille vahel kehtib seos u = kv, kus k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad. Vastandvektoriteks nimetatakse vektoreid, mis on samasihilised, võrdse pikkusega aga vastandsuunalised. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuv...
lineaarkombinatsiooni: 0⃗ a1 +…+ 0⃗ a p−1 +1⃗ a p +0⃗ a p +1+ …+0⃗ aq −1+1 ⃗ aq + 0⃗ a k =⃗0 aq +1+ …+0 ⃗ Kuna kaks kordajat on nullist erinevad, st nullvektor saadi mittetriviaalsel viisil. LAUSE: Ühest vektorist koosnev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see koosneb vaid nullvektorist, st ⃗a =⃗0 . Tõestus: Tarvilikkus. Eeldame, et ⃗a =⃗0 . Siis λ ≠ 0 , korral λ ⃗a =λ ⃗0 =⃗0 . Seega on mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdne nullvektoriga ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Piisavus
lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need
AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u*v= u * v *cos v u v cos 0°=1 u =180° v v
AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u·v= u · v ·cos v u v cos 0°=1 u =180° v v
pikkusele veel rakenduspunkti libisev vektor vektor, mille rakenduspunkti võib vektori mõjusirgel vabalt valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need
P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus
r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z
- Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine - Vektorite lahutamine x + x 2 y1 + y 2 - Vektori korrutamine arvuga C = 1 ; 2 2 - Lõigu keskpunkti koordinaadid a b = a b cos
skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗ 01 + ⃗
VEKTORARVUTUS 1. Vektori komponendid Erinevalt skalaarist on vektoril peale suuruse määratud ka suund. Vektori suurust nimetatakse tema absoluutväärtuseks. On olemas vaid üks vektor, millel pole suunda nullvektor. Vektorid on võrdsed, kui on võrdsed nende absoluutväärtused ja suunad. Olenemata suunast on ühikvektori absoluutväärtus 1. Siin ja edaspidi kasutame vektori tähistamiseks noolekest tähise peal. Nii kujutab a vektorit, aga a sellesama vektori absoluutväärtust. z k j y i x
Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda.
nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused. Arvutamine koordinaatide abil. Vektoriks nimetatakse suunaga sirglõik Ühikvektor vektor, mille pikkus võrdub 1-ga Nullvektor vektor, mille pikkus võrdub 0-ga (ei saa räägida vektori suunast) Vabavektor vektor, mille algpunkt ei ole fikseeritud Kollineaarne vektor kui pärast ühisesse algpuunkti viimist vektorid asuvad phel ja samal sirgel (sama- ja vastusuunalised) Komplanaarne vektor - kui pärast ühisesse algpuunkti viimist vektorid asuvad phel ja samal tasandil Kahe vektori skalaarkorrutis arv, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektorivahelise nurga koosinuse korrutisega.
kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon.
Crameri valemid: xi =Di/D iga i Nn. |A|=D 0 ,m=n SUUNATUD LÕIKUDE VEKTORRUUM: Kidunud lõik juhtum, kus lõigu algus ja lõpp punkt langevad kokku. Kidunud lõigu korral ei ole lõigu suund üheselt määratud Seotud vektor Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.o. suund, nimetatakse suunatud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi abil. Kõigi seotud vektorite hulka tähistame abil. Seotud nullvektor Seotud vektor, mille algus ja lõpp-punkt langevad kokku Seotud vektori pikkus Seotud vektori pikkuseks, tähis | |, nimetame teda määrava lõigu XY pikkust, s.t. | | := |XY |. Vastandvektor Seotud vektorit nimetame seotud vektori vastandvektoriks. Seotud vektori vastandvektorit t¨ahistame abil, s.t. - := . Kollineaarsed seotud vektorid Kui kaks vektorit on omavahel paralleelsed OMADUSED:
1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n Seega ± = ( 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n ) Leiame nüüd vektori avaldise baasi kaudu. Saame = (1 1 + 2 2 + + ) = (1 )2 + (2 )2 + + ( ) millest = (1 , 2 , ... . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum. Tõestus Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud. (Lahendiks on nullvektor) Teiseks on vaja näidata, et mistahes kahe reaalarvu ja ning lineaarvõrrandisüsteemi (12.3-) mistahes kahe lahendivektori = (1 , 2 , ... , ), = (1 , 2 , ... , ) korral ka vektor + = (1 + 1 , 2 + 2 , ... , + ) on lineaarvõrrandisüsteemi (12.3) lahendivektoriks. Kuna eelduse kohaselt , , siis 11 1 + 12 2 + + 1 0, 22 1 + 22 2 + + 2 0,
pindalaga: a b a b sin ; vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, tulemus sõltub tegurite järjekorrast: a b b a ; 5 vektorkorrutis on võrdne nulliga, kui üks vektoritest on nullvektor või vektorid on kollineaarsed; a b a b , kui a b ; a b a b a b ; a b c a b a c . Näide 1: a 0,5,1 b 3,2,1
nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektori koordinaatide arvutamine: Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis vektor AB = (x2-x1;y2-y1) Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks o nullvektori pikkus on võrdne nulliga o nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad o nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid 2. KINEMAATIKA Kinemaatika põhiülesanne on leida keha asukoht mistahes ajahetkel.
on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava
............................... a x + a x + · · · + a x = 0 k1 1 k2 2 kn n Homogeenne LVS on samav¨a¨arne maatriksv~ orrandiga Ax = 0. 3.2 Koosk~ olalisus Lause 1. Homogeenne LVS on koosk~ olaline. T~oestus. T~oepoolest, homogeense LVS-i u ¨heks lahendiks on nn tri- viaalne lahend x = 0 (nullvektor). 3.3 Triviaalne lahend ja mittetriviaalsed lahendid Homogeense LVS-i Ax = 0 lahendit x = 0 nimetatakse triviaalseks lahendiks. Homogeense LVS-i u ¨lej¨a¨anud lahendeid (kui leiduvad) nimeta- takse mittetriviaalseteks. 4 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 3.4 Lahendite omadusi Teoreem 2
....................................................................... 31 Vektorite liitmine....................................................................................................................32 Geomeetriliselt....................................................................................................................32 Algebraliselt........................................................................................................................32 Nullvektor, vastandvektor...................................................................................................... 32 Vektorite lahutamine.............................................................................................................. 32 Vektori korrutamine arvuga....................................................................................................32 Vektorite kollineaarsus....................................................................................
ning nendevaheline nurk Skalaarkorrutis a b = a x bx +a y b y +a z b z = a b cos Kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema korrutatava vektoriga. Kui vektorid on kollineaarsed (vektorite sihid paralleelsed, = 0 ), siis vektorkorrutis on nullvektor. Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis vektorkorrutis on risti vektorite sihilise tasapinnaga. Vektorkorrutis moodustab teguritega parema käe kolmiku. i j k ay az ax az ax ay Vektorkorrutis a ×b = a x ay az = i - j+ k =
Rakendusülesande d. Kahe punkti Õpilane: Lõiming Vektor tasandil. Joone vaheline kaugus. 1) selgitab mõisteid vektor, ühik-, füüsikaga. võrrand. Vektori mõiste ja null- ja vastandvektor, vektori Vektori tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid
Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus); 5° ( + ) = ( ) + ( ) , ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus). Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis V = Rn vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist: = ( a1; a2 ; ... ; an ) ( b1; b2 ; ... ; bn ) =
2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37. Vektorite liitmine · Lineaar u + v = ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) y = ax + b 38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool
suurused • - vektoriaalsed (ruumilist suunda ja sihti omavad füüsikalised suurused, iseloomustab nii pikkus kui ka suund ja siht) Vektorid Vektorid Vektorid • Mis iseloomustab vektorit • Samasihilised, vastand-, võrdsed vektorid. • Vektori moodul • Vektorite esitamine, koordinaadid, graafikusse joonestamine • Vektori pikkus • Vektorite liitmine ja lahutamine (kolmnurga ning rööpkülikureegli järgi) • Nullvektor • Vektori korrutamine arvuga, skalaarkorrutis, projektsioon (ei küsi KT-s) ning vektorkorrutis Vektorid • Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad: • - siht (näitab, kuidas vektor asetseb) • - suund (näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud • - pikkus (vektori arvväärtus) • Vektorid on samasihilised (kollineaarsed), kui nad on paralleelsed. Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised.
3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. 12.Geomeetriline vektor. Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. pikkus on vektori arvväärtus vektorid võrdsed siis, kui nende pikkus on sama, nad paralleelsed ehk seisavad ühel sirgetel ja suunatud ühel suunal 13.Aritmeetiline vektor. Vektori koordinaatid. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 14.Vektori definitsioon.
m = n = r: süsteemil on üks ja ainus lahend; n = r < m: süsteemil üks ja ainus lahend (osa võrrandeid ,,kattuvad"); m = r < n: lõpmata palju lahendeid, n - m vaba tundmatut; r < m n: lõpmata palju lahendeid, n - r vaba tundmatut. 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem Definitsioon 2.15 Lineaarvõrrandisüsteemi (2.5) A·x=b nimetatakse homogeenseks, kui kõigi tema võrrandite vabaliikmed võrduvad nulliga, s.t. b on nullvektor b = 0. Vastasel korral nimetatakse võrrandisüsteemi mittehomogeenseks. 22 2.9. Gauss'i elimineerimise meetod Märkus 2.8 Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil A·x=0 on alati lahend olemas. Selleks on null-lahend x = 0 (nullvektor), mida nimetatakse triviaalseks lahendiks. Null-lahend aga ei pruugi olla ainuke lahend.
a + b + c =(3 + 4 – 7; –2 + 5 – 3) = (0; 0). Vektorit koordinaatidega (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Vektorite geomeetrilisel liitmisel näeb pilt välja nii: summavektor © Allar Veelmaa 2014 22 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium NULLVEKTOR. VASTANDVEKTOR. VEKTORITE VAHE Vektorit O (0;0) nimetatakse nullvektoriks. Vektori v = (a; b) vastandvektoriks nimetatakse vektorit – v = (–a; –b) Näide. Vektori v = (4; –3) vastandvektor on vektor – v = (–4; 3).
Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||; Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral 1. liitmine on kommutatiivne, st + = + iga , V korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (nullvektor), st leidub , nii et + = + = iga V korral 4. liitmise suhtes leidub igal vektoril vastandelement (vastandvektor), st iga korral leidub , nii et + = + = ( = -) 5. (ab) = a(b) iga a, b kuulub R ja V korral 6. (a + b) = a + b iga a, b kuulub R ja V korral 7. 1 = iga V korral 8. a( + ) = a + b iga a kuulub R ja iga , V korral 5. Aritmeetiline vektor. n-mõõtmeline aritmeetiline ruum. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega ja nende omadused.
r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z
Telgede suunalised ühikvektorid on i 1; 0; 0 , j 0; 1; 0 , k 0; 0;1 . Nende r uuu r kaudu avaldub vektor v AB X ; Y ; Z järgmiselt: r uuu r r r r v AB Xi Yj Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 0; 0; 0 . uuur uuu r Vastandvektor: kui AB X ; Y ; Z , siis BA X ; Y ; Z . r uuu r Vektori pikkus: v AB X Y Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik).
punktide u¨mbruste baasiks. Selle topoloogia kohta ¨oeldakse,
et ta on tekitatud (e. indutseeritud) lahtiste kerade
¨
poolt. Oeldakse ka, et ta on tekitatud (e. indutseeritud)
meetrikaga d.
N¨
aide 2.3 Olgu X normeeritud ruum, st vektorruum
ule R v˜oi C), milles iga x ∈ X jaoks on antud tema norm
(¨
x ∈ R. Seejuures n˜outakse j¨argmiste tingimuste t¨aidetust:
10 x ≥ 0 iga x ∈ X korral;
20 x = 0 parajasti siis, kui x on nullvektor;
30 cx =| c | · x iga c ∈ R (v˜oi c ∈ C) ja x ∈ X korral;
2.3 N¨aiteid 19
40 x + y ≤ x + y iga x, y ∈ X korral (nn. kolmnurga
aksioom).
Kui defineerida d(x, y) = x − y , saame meetrika d hul-
gal X. Saadud meetrika m¨a¨arab n¨aite 2.2 p˜ohjal topoloogia
normeeritud ruumil X. Punkti x u ¨mbruste baasi moodus-
tavad lahtised kerad
B(x, r) = { y ∈ X | x−y
nurga, ja kui kuue vektori summa on null, siis kuusnurga. Hoolikas lugeja muidugi märkab, et oleme siin natuke luisanud. Kui võtame vek- torid ja , siis ei teki ju siiski kolmnurka, sest kõik vektorid on samal sirgel. Õnneks ongi see pisiasi ainus, mis saab muidu nii ilusa seose untsu ajada. Nullvektor, vastandvektor Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites saame tulemuseks selle arvu enda. Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvek- tor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvek- tor on siis muidugi . Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvek- tori: vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori
annaabi.ee 
