IAPB21 Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud. Siis I + I = I# + I$ = I(# + $ ) ja I - I = I# - I$ = I(# - $ ) Jagades a-ga, saan: I+I I(# + $ ) = = # + $ I I I-I I(# - $ ) = = # - $ I I Et # ja $ on mingid täisarvud, siis ka # + $ ja # - $ on täisarvud, oleme jagamise tulemusena saanud täisarvu ja seega | + ja | - . ÜLESANNE 4 Lähtun jaguvuse definitsioonist: I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud. Siis I $ + 3I + 2 I = (I# )$ + 3I$ + 2 I$ = I$ # $ + 3I$ + 2 I$ = = I(I# $ + 3$ + 2 $ ) Jagades a-ga, saan: I $ + 3I + 2 I I(I# $ + 3$ + 2 $ ) = = I# $ + 3$ + 2 $
araabia numbrit: 0 ja 1 Loendamine · Kahendsüsteemis toimub arvude loendamine järgmiselt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 jne · Mitmekohalist arvu tuleb lugeda nii, nagu iga koht oleks eraldi number näiteks: 10 tuleb lugeda "üks, null", mitte "kümme" · Kuna kasutada saab ainult kahte sümbolit, siis juba kümnendsüsteemse arvu 2 esitamiseks tuleb kasutada mõlemat: 10 Kümnendsüsteemi ja kahendsüsteemi arvude vaheline seos Täisarvu teisendamine kahendsüsteemist kümnendsüsteemi · Seleks tuleb numbrimärgid korrutada vastava järgukaaluga: 10 2 = 1*21 + 0*20 = 2 10 1101 2 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1310 1111100111 2 = 1*29 + 1*28 + 1*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 = =99910 Täisarvu teisendamine kümnendsüsteemist kahendsüsteemi · Selleks tuleb arvuga 2 täisarvuliselt jagada ning saadav arv moodustub jääkidest. Arv
sajalisteni, väikelinna elanikke tuhandelisteni. Ümardamisel tekkinuid nulle ei kustutata, sest need näitavad missuguse järguühikuni on ümardatud. Ligikaudse arvu tüvenumbrid Saades ligikaudse arvu x, kas ümardamisel, mõõtmisel või arvutamisel, siis standardkujul esitame selle x= a*10n . Arvu a numbreid nimetatakse arvu x tüvenumbriteks. nt 0,04050000 102030000 Kümnendmurru lõpunullid on tüvenumbrid, avanullid aga mitte. Täisarvu lõpus olevad nulle ei loeta tüvenumbriteks, sest pole teada millist arvu ümardati. Kui ümardatav arv on teada, saame öelda millised on tüvenumbrid. Nt sajalisteni 27013 ~27000 Selles arvus on sajaliste kohal seisev null tüvenumber. Ligikaudse täisarvu tüvenumbreid loetakse kõik selle arvu numbrid v.a lõpus olevad nullid (kui ümardamisel tekkinud).Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbriteks peetakse kõiki numbreid v.a avanulle, mis on arvu alguses. Arvutamine ligikaudsete arvudega
Gustav Adolfi Gümnaasium Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid Ligikaudse arvutuse eeskirjad Allar Henri Kivi 8.a Kristel Eik Tallinn, 2011 Sissejuhatus Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbrid on kõik selle arvu numbrid, välja arvatud arvu alguses olevad niinimetatud avanullid [1] Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriks nimetatakse selle arvu kirjutuses olevaid õigeid numbreid. Olgu meil mingi ligikaudne arv X mis on saadud ümardamise, mõõtmise või arvutamise tulemusena.
3)) ühelisteni = 5,897 6 Ümardamisel tekkinud nulle arvude lõpust ei kustutata, sest need näitavad millise järguühikuni on ümardatud ! 3. Ligikaudse arvu tüvenumbrid. Kui meil on ligikaudne arv x, mis on saadud ümardamise tulemusena ning tahame seda esitada standardkujul, saame selle nii : x = a * 10 Arvu a numbreid nimetatakse arvu x tüvenumbriteks. Näiteks : 1234 = 1,234 * 10 12,34 = 1,234 * 10 Tavaliselt täisarvu lõpus olevaid nulle tüvenumbriteks ei loeta, sest pole teada millist arvu ümardati. Näiteks arv 50 000 võib olla saadud arvust 49,876. Kui aga ümardatav arv on teada, siis saab täpselt teada, milline lõpunullidest on tüvenumber ja milline mitte. Näiteks : 27 015 27 000 Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja Arvatud ümardamisel tekkinud nullid. Ligikaudse kümnendmurru
· Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu .
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0);
1. Ligikaudse arvu absoluutne viga on
...
ÜLESANNE: Leiame arvude 30 ja 75 vähima ühiskordse: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 30 = 2 · 3 · 5; 1 75 = 3 · 5 · 5; 1 Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole: VÜK (30;75) = 2 · 3 · 5 · 5 = 150 Täisarvude hulk Iga nullist erineva täisarvu korral nimetatakse arve a ja a teineteise vastandarvudeks: a = -a ja a + (-a) = 0 Täisarvud on arvud ..., -(n+1), -n, -(n-1),...,-3,-2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n, n+1,... Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z Täisarvude hulga omadused Täisarvude hulk on lõpmatu Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel -2 Täisarvude hulk-1 0 hulk iga on järjestatud 1 kahe erineva
esialgse mittenegatiivse arvu. Kasutatakse seost a = a 2 · b2 a = b a Teguri toomine juuremärgi alt välja. Põhineb esimesel seosel. NB! Ka kõik teised reeglid on rakendatavad vastupidises suunas. Näiteid: Leia 175 . Sellist täisarvu, mille ruut oleks 175 pole olemas, seega tuleb meil juurimisel kasutada kavalust. Me teame ju, et 175 = 7 · 25 ning et arvust 25 saame ruutjuurt leida, seega: © Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium
Täisarvude hulk Z. Kahest täisarvust loetakse suuremaks see, mille vastav punkt asub arvsirgel teistega võrreldes positiivses suunas. Täisarvude hulga omadusi: · Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Z, b Z ja b 0. b ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning b b b -b ratsionaalarvu a pöördarvuks b b a. Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida
b b 2 2 4 6) Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. Ligikaudsed arvud Täpsed ja ligikaudsed arvud Kõik mõõtmisel saadud tulemused on ligikaudsed. Samuti ka ümardamisel saadud arvud. Arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriteks loetakse kõiki õigeid numbreid, v.a. kümnendmurru alguses olevad nullid ning täisarvu lõpus olevad numbrid. Näiteks: · Arvu 26,4 tüvenumbrid on 2, 6 ja 4 · Arvu 0,0270 tüvenumbrid on 2, 7 ja 0 · Arvu 4800,320 tüvenumbrid on 4, 8, 0, 0, 3, 2 ja 0. Absoluutväärtuselt suured ja väikesed arvud esitatakse sageli nn. standardkujul a · 10k . Näit.: · 26,4 = 2,64 10 · 3742,6 = 3,7426 103 · 0,0000245 = 2,45 10-5
Kõige levinum nihik, millega saab mõõta täpsusega 1/10 (0,1) mm. Taolise nihiku nooniuse pikkuseks on 19 mm ja see on jagatud 10- ks võrdseks osaks. Kui nihiku haarad on koos ja alguskriips ühtib põhiskaala alguskriipsuga, siis ühtib nooniuse lõpukriips põhiskaalal 19 mm tähistava jaotusega. Ülejäänud nooniuse vahejaotused aga ei lange siis täpselt kokku ühegi põhiskaala kriipsukesega. Juhul kui nihiku haarade mõõtepindade vahe on võrdne täisarvu millimeetritega, on noonius nihutatud sedavõrra paremale, et ta alguskriips langeb täpselt kokku seda arvu tähistava põhiskaala kriipsukesega. Nii loetakse kõiki täisarvulisi mõõtmeid nihiku põhiskaalalt nooniuse alguskriipsu järgi. 2 Kui mõõdetav suurus ei ole täisarvuline, siis ei lange nooniuse algus- ega lõpukriips kokku ühegi kriipsukesega põhiskaala
PII Pii on diameetri ja raadiuse suhe. Ta on kreekakeelse sõna ,,periphereia" esimene täht ja see sõna tähendab ümbermõõtu. Pii on vajalik ringjoone pikkuse C arvutamiseks valemi järgi: C = x d või C = 2 x x r Pii ei ole kümnendarv (ta ei võimalda täpset üleskirjutamist koma abil) ning ega ratsionaalarv (ei ole olemas kahte täisarvu, mille suhe võrduks pii), ega isegi mitte algebraline arv (ta ei ole ühegi algebralise võrrandi lahendiks). Sellepärast nimetatakse teda transtsendentseks arvuks. Matemaatikute jaoks väljendab arv pii üheaegselt korda ja korratust. Kuidas on see võimalik? On arvutatud väga palju pii kümnendkohti ( neid on teada miljoneid ), aga pole suudetud nende esimemises leida mingit korrapärasust:
kaudu 3 teed. Mitut teed pidi saab Kassikülast Hiirekülla? Saab minna kas esimest või teist või kolmandat jne teed pidi, seega, kasutades liitmisreeglit, saame tulemuseks 5 erinevat teed. b) Barbiel tuleb valida 4 kostüümi ja 3 paari kingade vahel, mis kõik omavahel sobivad. Mitu erinevat komplekti ta saab moodustada? Kasutades korrutamisreeglit, saame erinevaid võimalusi 12. 4. Esimese n positiivse täisarvu korrutise ülesmärkimiseks kasutatakse sümbolit n! (n faktoriaal). n! = 1*2*3* ... *(n-1)*n 1! = 1 0! = 1 5. Permutatsioonideks n elemendist nimetatakse n-elemendilise hulga n- elemendilisi ................................?........................................ osahulki ning permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! 6. Hiireküla algkooli kehalise kasvatuse õpetaja tahab teada, mitu võimalust on panna
10klass 1.kursus 1.kontrolltöö 10.klassi matemaatika õpik, lk. 3 - 29 2 1. Arvutage arvude ja -11 a)summa vastandarv; b)vastandarvude vahe; c) vahe pöördarv; 5 d)pöördarvude summa; e)pöördarvude vahe ja vastandarvude summa jagatis; j)vastandarvude summa ja pöördarvude vahe korrutis. 2. Avaldage kahe täisarvu jagatisena a)0,(4); b)0,113(4); c)0,4(12); d)1,(8); e)0,3(5); f)2,3(154). 3 2 3. Arvutage. Vastus esitage hariliku murruna või segaarvuna. a) 1,2( 7 ) - ; b) 0,4( 35) +1 ; 10 11 9 1 2 3 2
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7
◦ Kui on Kevad, siis väljastame ekraanile, muidu ◦ Kui on Suvi, siis väljastame ekraanile, muidu ◦ Kui on Sügis, siis väljastame ekraanile, muidu väljastame Talve. Kui mõni tingimus tagastab tõe (true), siis järgmisi kontrolllauseid ei täideta. Juhusliku arvu loomiseks kasutame Random tüüpi muutaja. Random rand = new Random(); int temp; temp = rand.Next(100); Next meetodil on 3 varianti: 1. rand.Next(); tagastab positiivse täisarvu 2. rand.Next(max); juhuslik arv 0 kuni max-1 3. rand.Next(min , max); positiivne täisarv vahemekus min kuni max-1. Reaalarvu saamiseks on käsklus NextDouble. Kui soovida mõnda muud vahemikku kui nullist üheni, tuleb saadud arv lihtsalt soovitud suurusega läbi korrutada.
PII AJALUGU Pii (tähena π) on kreeka tähestiku 16. täht Pii väärtus kreeka numbrina on 80. Pii (π) on tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhe. Kirjalikul arvutamisel võetakse π≈3,14 Pii (π) on irratsionaalarv-lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Teda ei saa väljendada kahe täisarvu suhtena. Aastail 1900 eKr kasutati Babüloonias seda arvuna 25/8 ja Egiptuses arvuna 256/81 . Archimedes, Kreeka matemaatik (287-312 eKr) arvutas pii väärtuseks 3,1419 ja arvas, et see ongi π tegelik väärtus.Arvu π nimetatakse ka Archimedese konstandiks. Ludolph van Ceulen (1540-1610) arvutas π 35 esimest numbrit (mis said nimeks Ludolphi numbrid). Need numbrid graveeriti tema hauakivile, mis 19.sajandil kaduma läks. Aastal 2000 valmistatiuus ja see asub Hollandis Leidenis Peetri kirikus
1. Kõik positiivsed täisarvud kaasa arvatud 0. Tähis on N. 2. Pöördarvudeks nim kahte arvu, mille korrutis on 1. Vastandarvud- kaks arvu mille summa on 0. 3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. 4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. 5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. 6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0. 7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud. 8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z, b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga. 9
Iga ülesanne annab 20 punkti. Eksamit loetakse sooritatuks, kui tulemuseks on vähemalt 31 punkti. ÜLESANNE 1 Täiendage programmi toorik1 andmete kontrollimisega. Faili puudumisel väljastage teade ja lõpetage programmi töö (exit). Kui pealkirjade (esimeses) reas puudub sõna Price või Quantity, väljastage teade ja lõpetage programmi töö. Korrake kokkuvõtte tunnuse küsimist kuni kasutaja sisestab antud vahemikku kuuluva positiivse täisarvu. Igas reas alates teisest kontrollige väljade Price ja Quantity väärtuseid: o välja Price väärtus peab algama märgiga $, ülejäänud osa vastab realarvu kujule, kus murdosa eraldajaks on koma; o välja Quantity väärtus peab olema positiivne täisarv. Testige uut programmi andmetega failist tabel1.csv. Salvestage programmi tekst faili nimega ylesanne1.py. ÜLESANNE 2
82. Sarnased hulknurgad hulknurgad, mille vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed on võrdelised. 83. Sarnasustegur sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis. Tähis k. 84. Sfäär kera pind. 85. Silinder keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev riskülik. 86. Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone. 180o 87. Siseringjoon ringjoon, mis puutub hulknurga kõiki külgi. 88. Suhe jagatis 89. Suurim ühistegur mitme täisarvu ühistegur, mis jagub nende arvude iga teise teguriga. 90. Taandamine 1. hariliku murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 2. võrduse mõlema poole jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 91. Taandamata ruutvõrrand ruutvõrrand kujul ax2+bx+c=0 92. Taandatud ruutvõrrand ruutvõrrand kujul x2+px+q=0 93. Tekstülesanne ülesanne, mille lähtesituatsiooni on kirjeldatud sõnalisel kujul. 94
mahalahutamisele kulub alati suurem arv - - - - - - - III. ÜLESANNE 3 Oletan väitevastaselt, et nende arvude seas ei leidu ühtegi paari, mille erinevus on kõige rohkem 26. See tähendab, et iga arvudepaari erinevus on vähemalt 27.Vähim arv, mida saab välja valida, on 1. # = 1. Et arvud erinevad teineteisest vähemalt 27 võrra, siis $ # + 27 ja % $ + 27 = # + 2 27 Et kokku valitakse 38 positiivset täisarvu, siis suurim arv on % % + 27 = # + 37 27 = # + 999 Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 2 Olga Dalton 104493 IAPB21 Et # 1, siis % 1000. Ülesande tingimuste järgi on kõik arvud väiksemad kui 1000. Sain vastuolu,
Saame kasutada madalpääsfiltrit, mis eraldab diskreeditud signaali perioodilisest spektrist algsignaali osa. Filtri ergutamisel diskreetsete hetkväärtustega moodustab selle väljundis analoogsignaal. See taastamine ei ole realiseeritav, kuna pole ideaalset madalpääsfiltrit, deltaimpulssi või võimalust alustada protsessi ajahetkest lõpmatus. Kvanteerimine Kvanteerimine on diskreetsignaali väärtuste võrdlemine kvaneerimiskvandi ja täisarvu korrutisega. Täisarv määratakse mitmel viisil: Alladimensioneeritud- käitub kui allapoole ümardamine. Kõik väärtused, mis on allapool ülemist nivood ümardatakse alla. Üledimensioneeritud - käitub kui ülespoole ümardamine. Kõik väärtused, mis on ülevalpool alumist nivood ümardatakse üles. Need kaks varianti on võrdväärsed, kuna on võrdsed süstemaatilised vead ja võrdsed vigade ruuthälbed. Balansseeritud- ümardamine kvandi poolse väärtuse suhtes
Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga Kordsed-kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad Naturaalarv-arv, mis saadakse loendamise teel Täisarv-arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena; murdosata arv Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena Lõikuvad sirged-2 sirget, millel on ainult 1 ühine punkt Ristuvad sirged-2 lõikuvat sirget, mille vahel on täisnurk Paralleelsed sirged-sirged, mis ei oma ühiseid punkte ehk mis kunagi ei lõiku Nürinurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi Teravnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad Täisnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi Võrdhaarne kolmnurk-kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed
.............................6 KASUTATUD KIRJANDUS...............................................................................................................7 1. ARVUSÜSTEEMID Kunagi algklassides õppisime, et arvus on olemas üheliste, kümneliste, sajaliste, tuhandeliste ja muud kohad ehk positsioonid. Siiani olen harjunud, et ühes positsioonis võib olla suvaline number 0 kuni 9. Mulle mõistetavad arvud nägid välja näiteks nii: 3 456 789. Positsioonide väärtuseid hakkasin lugema täisarvu piirilt ehk koma kohast eemale. Nii on näites üheliste kohal 9, kümneliste kohal 8. Sellist väärtuste kirjutamise süsteemi, kus tähise väärtus sõltub tema asukohast arvus nimetatakse positsiooniliseks süsteemiks. Mulle on praegu kõige tuntum 10-nend süsteem. 1.1 Positsiooniline arvusüsteem Arvusüsteemi, milles iga tema numbri väärtus sõltub numbri asukohast arvus, nimetatakse positsiooniliseks arvusüsteemiks. Positsioonilises arvusüsteemis
Kõige levinum nihik, millega saab mõõta täpsusega 1/10 (0,1) mm. Taolise nihiku nooniuse pikkuseks on 19 mm ja see on jagatud 10- ks võrdseks osaks. Kui nihiku haarad on koos ja alguskriips ühtib põhiskaala alguskriipsuga, siis ühtib nooniuse lõpukriips põhiskaalal 19 mm tähistava jaotusega. Ülejäänud nooniuse vahejaotused aga ei lange siis täpselt kokku ühegi põhiskaala kriipsukesega. Juhul kui nihiku haarade mõõtepindade vahe on võrdne täisarvu millimeetritega, on noonius nihutatud sedavõrra paremale, et ta alguskriips langeb täpselt kokku seda arvu tähistava põhiskaala kriipsukesega. Nii loetakse kõiki täisarvulisi mõõtmeid nihiku põhiskaalalt nooniuse alguskriipsu järgi. Kui mõõdetav suurus ei ole täisarvuline, siis ei lange nooniuse algus- ega lõpukriips kokku ühegi kriipsukesega põhiskaala. See-eest langeb aga üks üheksast vahekriipsukesest kokku mingi põhiskaala kriipsukesega
murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga Hariliku murru korrutamisel täisarvuga, tuleb arvestada, et iga täisarvu nimetaja on 1 ja täisarv tuleb pikal murrujoonel kirjutada lugejasse. Liigmurrukujuline vastus tuleb teisendada segaarvus. Hariliku murru korrutamine segaarvuga Hariliku murru korrutamisel segaarvuga tuleb segaarv muuta liigmurruks. Edasi toimi eelmiste näidete järgi. Segaarvu korrutamine täisarvuga Segaarvu korrutamisel täisarvuga võime segaarvu lahti kirjutada täisosa ja murdosa summana ning paigutada selle sulgudesse. Avame sulud ja leiame korrutise summa.
omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega. Hariliku murru korrutamine täisarvuga Hariliku murru korrutamisel täisarvuga, tuleb arvestada, et iga täisarvu nimetaja on 1 ja täisarv tuleb pikal murrujoonel kirjutada lugejasse. Liigmurrukujuline vastus tuleb teisendada segaarvus. Hariliku murru korrutamine segaarvuga Hariliku murru korrutamisel segaarvuga tuleb segaarv muuta liigmurruks. Edasi toimi eelmiste näidete järgi. Segaarvu korrutamine täisarvuga Segaarvu korrutamisel täisarvuga võime segaarvu lahti kirjutada täisosa ja murdosa summana ning paigutada selle sulgudesse.
Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud Reaalarvud R Lõpmatud kümnendmurrud, sh mitteperioodilised Järjestatud, lõpmatu, pidev +; ; korrutamine, jagamine, juurimine Kompleksarvud 2.2 Reaalarvude piirkonnad arvteljel
partii müügihind on 300 eurot, kusjuures mittetäielike partiide müük pole võimalik. Tähistades tehase nädalatoodangu tähega Q ja tulu tähega , saame funktsiooni = 300*Q Q sõltumatu muutuja ehk argument sõltuv muutuja Määramispiirkonnaks on hulk {10, 11, 12, ..., 100} ja funktsioon = f (Q) on antud valemiga = 300Q. Märkame, et see funktsioon seab hulga igale elemendile vastavusse kindla positiivse täisarvu (10 partiile vastab 3000 eurot, 11 partiile 3300 eurot jne kuni 100 partiile vastab 30 000 eurot). Definitsioonis märgitud hulgaks Y võib seega võtta näiteks positiivsete täisarvude hulga või vahemiku. Funktsiooni muutumispiirkonnaks aga on hulk {3000, 3300, 3600, ..., 30 000} Milline on selle tulufunktsiooni graafik? Mis juhtub määramis ja muutumispiirkonnaga, kui müüa on võimalik ka mittetäielikke partiisid? Milline on siis funktsiooni graafik
anda juurde 70 dB helitugevust. Helivaljuse ühtlaseks muutmiseks valmistatakse paremates aparaatides toonkompensatsioonahelatega regulaatorid. 5) Kõlavärving ehk tämber heli kõlamine oleneb helisignaalis sisalduvatest sageduskomponentidest ning müradest. Põhitooniks on kõige madalama sagedusega siinusvõnkumine. Kõik helis sisalduvad ülejäänud siinusvõnkumised (harmoonilised) on põhitooni täisarvu kordsed. Heli kõla ehk tämbri määrab ülemtoonide arv, nende sagedused nende tugevused ning mürad. Helisignaalide tehnilised näitajad Helisignaalid saadakse mikrofonide või salvestusseadmete elektroakustiliste muundite kaudu. Signaalide põhinäitajad on: 1) Spektri laius 2) Signaali tase, nivoo 3) Ning signaali dünaamika ala Signaali spekter kujutab signaali elektrilise pinge harmooniliste komponentide amplituude erinevatel sagedustel
ELEKTROMAGNETLAINE KUJUTAB ENDAST MUUTUVATE ELEKTRI- JA MAGNETVÄLJADE SÜSTEEMI, MIS LEVIVAD RUUMIS KIIRUSEGA 3•10 M/S. ELEKTROMAGNETLAINET SAAB UURIDA: 1) VAADELDES LAINET MINGIS RUUMIPUNKTIS VÕIME MÕÕTA LAINE PERIOODI (T) JA 2) VAADELDES LAINET MINGIL AJAHETKEL SAAME GRAAFIKULT MÕÕTA LAINEPIKKUST (λ). VALGUSLAINED ON ELEKTROMAGNETLAINED, MIS KOOSNEVAD AJAS PERIOODILISELT MUUTUVATEST NING RISTI PAIKNEVATEST MAGNET- JA ELEKTRIVÄLJAST NING MILLE LAINELINE OLEMUS AVALDUB RUUMIS LEVIVATE ELEKTRI- JA MAGNETVÄLJADE PERIOODILISES MUUTUMISES. VALGUSLAINE ON RISTLAINE, SEST ELEKTRI-JA MAGNETVÄLJADE MUUTUSED TOIMUVAD RISTI LAINE LEVIMISSIHIGA. NÄGEMISAISTINGU PÕHJUSTAB ELEKTRIVÄLJA MÕJU MEIE SILMALE. LAINEFRONT- SAMAS FAASIS VÕNKUVATE PUNKTIDE PIND JA ERIJUHUL VÕIB SEE OLLA KA TASAPIND. LAINEFRONT ERALDAB LAINETE POOLT HÄIRITUD RUUMIOSA SELLEST RUUMIST, KUHU LAINED POLE VEEL JÕUDNUD. VALGUSLAINED ON KERALAINED- VALGUSALLIKAST EEMALDUDES LEVIVAD N...
· Eeldusest näeme, mis on teada, mis antud. Väites selgub aga mida tuleb näidata, tõestada. · Klassikaline teoreemi sõnastus on kujul: · Kui ....................., siis ...................... · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid on risti · Eeldus: nelinurk on romb (näitab, mis meil uuritava objekti kohta teada on on nelinurk, on romb) · Väide: tema (st rombi) diagonaalid on risti. · Kui täisarvu ristsumma jagub kolmega, siis see arv jagub kolmega · Alati ei ole teoreemid sõnastatud klassikalisel kujul. Ka siis tuleb osata eeldust ja väidet pakutud sõnastuses leida · Nulliga lõppev täisarv jagub kümnega. · Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. · Võrdhaarse kolmnurga alusele joonistatud mediaan on ühtlasi selle kolmnurga kõrguseks.
Pinge kuju integraatori sisendis ja väljundis Alalispingele lisanduva vahelduvhäire korral on integreeriva voltmeetri toime selline, et vähendab oluliselt vahelduvhäire mõju. Kui siinuselise häirepinge amplituud on Uh ja sagedus fh , on maksimaalne veapinge väärtus Nagu saadud avaldisest näha on sagedustel, kus fh = 1/Ti , 2/Ti jne, veapinge väärtus null. Kui vahelduvhäire sagedus on teada, tuleks integreerimisaeg Ti valida nii, et ta sisaldab täisarvu häirepinge perioode. Integreerimisaeg Ti (ja sellega mõõtmistsükli kogupikkus) sõltub kaudselt mõõte- tulemuse kohtade arvust, mis on näidu järgi määratav. Võimalikud integreerimisajad on 0,1...100 võrgupinge perioodi, seega 2 ms...2 s. Vahelduvhäire mõju määramisel tuleks kasutada integreerimisaega, mis on pikem kui üks häirepinge periood. Kaasajal kasutab suurem enamus alalispinge digitaalvoltmeetreid just kahekordse integreerimise põhimõtet
kaugusel asuvaid vaokesi kriimustusi laiusega b (vaata skeemi), mis on prkatiliselt läbipaistmatud. Kahjustamata kohti laiusega a läbib aga valgus ja nad moodustavad perioodilise pilude süsteemi. Kui paraleelsed monokromaatilised valguskiired langevad võrega risti, siis võrega paraleelselt paigutatud lääts L fokaaltasandis näeme vaheludvaid difraktsioonimaksimume ja miinimume. Suundades, kus kahest naaberpilust tulnud valguskiire käiguvahe sisaldab täisarvu lainepikkusi ( = m ), on valguse intensiivsus maksimaalne, kuna siis kõikidest piludest kiirgunud sekundaarsed lained liituvad samas faasis. Selliseid difraktsioonimaksimume nimetatakse peamaksimumideks ning nende suunad arvutatakse võrrandist: d sinm = m, m = 0, 1, 2, ... , kus m on peamaksimumi (spektri) järk, m peamaksimumi suund (difraktsiooni nurk), d = a+b võrekonstant, valguse lainepikkus.
t 0000001011002 = 44 10 |____________________________________________________________________________________ | u |____________________________________________________________________________________ | v Märgime, et arvu murdosa teisendus erineb oluliselt täisarvu teisendusest. r Kuna me murdarvudega järgnevas ei tegele, siis me arvu murdosa A Teisendus 10ndsüsteemist 2ndsüsteemi teisendusmeetodit siinkohal ei vaatle. Teisendus ühest arvusüsteemist teise toimub uue alusega jagamise teel
kujutise spektrivärvides. Tänu spektromeetrile on kerge vaadelda aineid ning selgitada nende koostist. 5 Kahe naaberpilu äärtelt lähtunud kiire käiguvahe on l = D sin, Kus D on naaberpilu vastavate äärte vaheline kaugus, nn võrekonstant ja on kiirte kaldenurk võretasandi ristsirge suhtes. Kui käiguvahe l võrdub täisarvu lainepikkusega: D sin, = k, siis esineb interferentsimaksimum. Valemis D sin, = k, on k-ga tähistatud difraktsiooni järk. Erinevate lainepikkustega valguslainete korral on maksimumide tingimus täidetud nurga erinevate väärtuste korral. Selle tulemusena laguneb valge valgus difraktsioonivõre läbimisel spektriks. Nurk on suurim punase valguse jaoks, sest punase valguse lainepikkus on nähtavas spektriosas suurim
astendamine, astme astendamine, võrdsete alustega astmete jagamine, jagatise astendamine 28.Arvu standardkuju - arvu üldkuju , kus 1) k z ja 1 a<10 2)ühe bakteriraku mass on 0,000000005g g 3)Päikese kaugus maast on ligikaudu 150 000 000 000m= 29.Ligikaudse täisarvu tüvenumbrid - selle arvu 3722 3800 ümardasin 2 tüvenumbrini kõik numbrid, välja arvatud lõpunullid, mis asendavad ümardamisel kõrvaldatud numbreid 67 892 67890 ümardasin 4 tüvenumbrini tänava pikkus on 600m: tüvenumber on 6 (kas ka kümneliste number 0?) lauaplaadi mõõtmed on 85 cm ja 140 cm:
selliseks struktuurseks tüübiks sümbolite jada, mida nimetatakse ka STRINGIKS. Väärtus Nagu ka eelnevalt sai mainitud, võib iga arvutis olev andmeobjekt sõltuvalt tema tüübist kanda mingisugust informatsiooni. Öeldakse, et andmeobjekt võib omada mingisugust lõplikku hulka VÄÄRTUSI. Sõltuvalt programmeerimiskeelest võib see väärtuste hulk olla erinev. Selle kursuse raames käsitletavatel keeltel on andmetüübid ja vastavad väärtuste hulgad sarnased. Näiteks täisarvu väärtuseks võib olla arv vahemikus -32768 kuni 32767. Väga paljude ülesannete puhul on see piisav, kuid vajaduse korral on võimalik kasutada ka pikka täisarvu, mille väärtuste vahemik on -2147483648 kuni 2147483647. Näiteks võib programmeerija defineerida uue tüübi, millele ta paneb nimeks INIMESE_PIKKUS ja vastavaks väärtuste hulgaks lubab ta täisarvud vahemikus 1 kuni 400. Ühikuna arvestab ta programmi kirjutades sentimeetrit
E * Muutujate vahetus. Kui f x=(t) on rangelt monotoonne hulgal T, kus (T)=X ja (t)D(T), siis f(x)dx=f((t))'(t)dt * Diferentsiaali märgi alla viimine. f(x)dx=F(x)+C f((x))d(x)=F((x))+C * Ositi integreerimine. Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad f'id hulgal X ja eksisteerib määramata integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu * Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk * Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=r
-1 - 6 = 5 5 5 5 - 1 + 6 = - 1 + 6 + + = 7 6 7 6 7 6 5 6 5 7 30 + 35 - 7 + 65 = = - 7 + + = - 7 + = 7 6 6 7 42 42 23 = -8 . 42 Segaarv Segaarvuks nimetatakse täisarvust ja lihtmurrust koosnevat ratsionaalarvu, milles lihtmurru lugeja ja nimetaja on mõlemad positiivsed, kuid murrule tervikuna mõjub täisarvu ette kirjutatud märk. Segaarvu võib mõista kui summat täisarvust ja lihtmurrust: 2 = 2 + , - 3 = -3 + - = - 3 + 2 2 3 3 3 5 5 8 8 8 Segaarvudena kirjutatakse tavaliselt vaid ülesannete vastused, sest aritmeetikatehete sooritamiseks lahenduskäigus tuleb segaarvud reeglina muuta liigmurdudeks. Näited 2 - 2 92 - 23 - 92 23 = -
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 4 Olga Dalton 104493 IAPB21 Kui avaldada y x-i kaudu, saan: 1 - 25 = 41 Ülejäänud y-te leidmiseks saab kasutada järgmist algoritmi: panna x-i asemele järjest suvalisi täisarvu ning kui y tehte tulemusel ka täisarvuline, siis ongi tegemist meile sobiva lahendipaariga. Nii saab järgmised lahendipaarid(valides -200 200), kusjuures varem leitud lahend on samuti nende seas. (-182,111), (-141,86), (-100,61), (-59,36), (-18,11), (23,-14), (64,-39), (105,-64),(146,-89), (187,-114) Panen tähele, et = " - 25 ja = " + 41, kus " = -18 ja " = 11 on Eukleidese algoritmiga leitud lahendid. Näitan, et väide kehtib iga k korral, st et
defineeritud selliseks struktuurseks tüübiks sümbolite jada, mida nimetatakse ka STRINGIKS. Väärtus Nagu ka eelnevalt sai mainitud, võib iga arvutis olev andmeobjekt sõltuvalt tema tüübist kanda mingisugust informatsiooni. Öeldakse, et andmeobjekt võib omada mingisugust lõplikku hulka VÄÄRTUSI. Sõltuvalt programmeerimiskeelest võib see väärtuste hulk olla erinev. Selle kursuse raames käsitletavatel keeltel on andmetüübid ja vastavad väärtuste hulgad sarnased. Näiteks täisarvu väärtuseks võib olla arv vahemikus -32768 kuni 32767. Väga paljude ülesannete puhul on see piisav, kuid vajaduse korral on võimalik kasutada ka pikka täisarvu, mille väärtuste vahemik on -2147483648 kuni 2147483647. Näiteks võib programmeerija defineerida uue tüübi, millele ta paneb nimeks INIMESE_PIKKUS ja vastavaks väärtuste hulgaks lubab ta täisarvud vahemikus 1 kuni 400. Ühikuna arvestab ta programmi kirjutades sentimeetrit. Sellega tahab
alla!) o joonis - plokkskeem o algoritmikeel, näit. poolformaalne pseudokeel, millest saab kerge vaevaga tõlkida mistahes (imperatiivsesse) programmeerimiskeelde o joonis - Jacksoni skeem, E-skeem (näide1, näide2), ... o ... · arvutile orienteeritud esitused o programm kõrgtaseme programmeerimiskeeles o programm assembleris või masinkoodis o ... Näide: Eukleidese algoritm kahe täisarvu suurima ühisteguri leidmiseks. 1. Kui teine arv on null, siis anda vastuseks esimene arv ja lõpetada. 2. Leida jääk, mis tekib esimese arvu jagamisel teisega. 3. Asendada esimene arv teisega ja teine leitud jäägiga. 4. Minna sammule 1. Joonised (plokkskeem, E-skeem) public static int syt (int a, int b) { while (b != 0) { int j22k = a % b; a = b; b = j22k; } return a; } // syt
LOODUSE KAUGSEIRE (konspekt) Kaugseire on meetod eemal (peamiselt Maal) asuvate objektide kohta info saamiseks mittekontaktsete meetoditega, peamiselt elektromagnetkiirguse abil. Elektromagnetkiirgus on ruumis levivad elektromagnetlained. Sõltuvalt lainepikkusest liigitatakse elektromagnetkiirgusi järgmiselt: · raadiolained (pikimad lained) · infrapunane e. soojuskiirgus · nähtav valgus · ultraviolettkiirgus · rörtgrnkiirgus · gammakiirgus (lühimad lained) Mida lühem lainepikkus, seda suuremat energiat laine endaga kannab ning seda ohtlikum on kiirgus elusorganismidele. Elektromagnetkiirgus levib valguse kiirusel, võib uude keskkonda sattumisel peegelduda, murduda ja neelduda. Korpuskulaarsed omadused lainelised omadused Piksel rasterpildi elementaarosake Pankromaatne mustvalge Nadiir jalgpunkt (seniidi vastand) Geostatsionaarne orbiit satelliit vaatab koguaeg samasse puntki maapinnal Polaaro...
Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on
baastõed, millest loodeti tuletada aritmeetika ning seejärel ehitada sinna peale matemaatiline analüüs, algebra ja muud matemaatikaharud: ' 1. 0 on täisarv 2. kui x on täisarv, siis x-le järgnev arv (x+1)on samuti täisarv. 3. Kahel erineval täisarvul x ja y on erinevad järgnevad arvud 4. 0 ei järgne ühelegi arvule 5. Matemaatilise induktsiooni printsiip. Eeldame, et mingi väide A kehtib arvu 0 kohta. Kui asjaolust, et väide A kehtib täisarvu x kohta, saab tuletada, et A kehtib ka arvu x+1 kohta, siis kehtib A kõigi täisarvude kohta. (Tamme, Tammet, Prank 1997) Russelli hüpotees ja Russelli paradoks Russelli hüpotees on oletus, et maailm tekkis viis minutit tagasi koos fossiilidega, mäluga jms põhjuslike jälgedega. Ta esitab selle raamatus "The Analysis of Mind" (1921, lk 159160), et illustreerida meie teadmise piire. Russelli paradoks on Bertrand Russelli poolt 1901
1. Kahendsüsteem ja selle teisendamine kümnendsüsteemi. Sümbolite arv ehk süsteemi alus p=2, sümbolid on 0 ja 1. Järkude kaalud vasakul pool koma on 2 0; 21; 22; 23 jne. Ning paremalpool koma 2-1; 2-2; 2-3; jne. Näide. Hakkame , pihta ja liigume vasakule (0 ei pea kirjutama) 100101,1012 = 1*20+0*21+1*22+0*23+0*24+1*25+1*2-1+0*2-2+1*2-3 =1+4+32+1/2+1/8=37+0,5+0,125=37,625 10 2. Kümnendsüsteem ja selle teisendamine kahendsüsteemi Sümbolite arv ehk üsteemi alus p=10 sümbolid on 0;1;2;3;....;9, järkude kaalud vasakul pool koma on 100; 101; 102; jne ning paremal pool koma 10-1; 10-2; 10-2 jne. Näide. 598,7410 = 8*100+9*101+5*102+7*10-1+4*10-2 Teisendamine 2'hend süsteemi. Täisarvu teisendamiseks kahendsüsteemi jagatakse seda süsteemi alusega ja jääk kirjutatakse kõrvale. Näide. 55 10->2 55:2 1 27:2 1 13:2 1 6:2 0 3:2 1 1 1 Vanemad järgud on allpool ja arv kirjutatakse vastusesse vasakult par...
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
