docstxt/13646410661801.txt
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil
1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12
Ag = 0 1 0 1 0 0 1 3 Ag := rref ( Ab ) Lahend: X := submatrix( Ag , 1 , 3 , 4 , 4) 2 X = 1 3 · Ühe muutuja funktsiooni monotoonsuse piirkonnad ja ekstreemumid, joone kumerus ja nõgusus. 1.Ekstreemumid ja monotoonsuse piirkonnad (kasvav, kahanev). 2 3 <-funktsioon f ( x) := 2 - 3 x - x d 2 <-tuletis f ( x) -3 x - 6 x dx 2 -6 x - 3 x <-tuletis väljakirjutatult (selekteeri x, Symbolics->Variable->Solve) 0
gradz s cos = grad zs°=grad zcos z/s=grad zcos. Kahe muutuja f-ni z tuletis vektori s suunas on gradz võrdne selle f-ni grad-vektori projektsiooniga vektorile s. Kahe muutuja f-ni tuletis suunas mis on risti grad-ga, võrdub nulliga. (Kui =0 siis cos=1). Kahe muutuja f-ni tuletis on suurim g-vektori suunas ja arvuliselt võrdne selle g-di pikkusega. Kahe muutuja lokaalsed ekstreemumid z=(x; y) Def1: z=(x; y) on punktis P1(x1; y1) lok max kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus et iga punkti korral sellest ümbrusest on f-ni väärtus väiksem kui f-ni väärtus punktis x1, y1: (x; y)<(x1; y1) ja (x; y)(x1; y1). Def2: Öeldakse et f-ni z=(x; y) on punktis P2)(x2; y2) lok min kui sellel punktil leidub ümbrus, et iga punkti korral sellest ümbruset on f-ni väärtus suurim kui f-ni väärtus punktis x2; y2 : (x; y)>(x2; y2)
Selgitav joonis. Ühe funktsiooni
tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes.
- Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus
argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle
funktsiooni muutumise kiirust selles punktis.
-
5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis!
- y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0)
6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid.
Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni
tuletisega.
- Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. x1
5. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: lim arcsin x cot x . x0 6. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x 1 lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3 f (x) = (x3 + 8)2 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 9. Avaldada m¨aa¨ramata integraal cos(5 - 6x)dx . 10. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . 2 + 9x2 11. Avaldada m¨aa¨ramata integraal
18) Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis Paras vikat osa, kes saab aru see saab, kes ei.. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis. Mõninkord on funktsioon antud kujul kus kumbagi muutujat ei ole võimalik teise kaudu avaldada. Sellisel juhul tuleb tuletis arvuta nn ilmuta funktsioonist F (x,y) = 0 20) Kõrgemat järku tuletised. 21) Teise tuletise füüsikaline tähendus. 22) Fun-i lokaalsed ekstreemumid 23) Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni lokaalset maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. For more information go to porns lecture nr 8 24) Funktsiooni kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. Definitsioon. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer (nõgus) piirkonnas X, kui joone puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Kui y teine tuletis on suurem kui 0 siis on nõgus aka HAPPY face.
12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. 26. Kahekordse integraali mõiste ja omadused. 27. Kahekordse integraali arvutamine.
b. Paaritufunktsioon; f(-x) = -f(x) ; sümeetriline y-telje suhtes c. Perioodiline funktsioon; f(x+T)=f(x) T=periood ;siinusfunktsioon 3. Leia X0 ehk nullkohad; f(x)=0 (algneasi=0) 4. Leia X+ ja X- ehk pos-neg piirkond; a. f(x)>0 siis X+ b. f(x)<0 siis X- 5. Leia kasva/kahanemispk X ja X; a. f'(x)>0 siis X b. f'(x)<0 siis X 6. Lokaalsed ekstreemumid; a. f'(x)=0 saad x väärtusi b. f''(x)>0 tuleb Emin y1=fx1 c. f''(x)<0 tuleb Emax y2=fx2 7. Graafiku kumerus/nõgususvahemikud; a. kumerus:y''<0 b. nõgusus:y''>0 8. Käänupunktid; f''(x)=0 saad x1 ; y1=f(x) (algneasi) 9. Joone ...asümptoodid a. püst... x=a (katkevuskohad) lim f ( x)
Xh=-b/2a või Xh=(X1*X2)/2 valemina antud funktsiooni x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x)väärtust arvutada Funktsioonide esitamise viisid: Funktsiooni üldmõiste x on sõltumatu Ekstreemumid 1)valemi abil muutuja ja y on sõltuv muutuja . Miinimum Maksimum 2)graafiku abil 3)tabeli abil 4)arvupaarid
10.Kahanemine funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leian jooniselt need x väärtused, mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x) Funktsiooni y=f(x) nim paarisfunktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=f(x) Pöördfunktsiooni leidmine: 1)avaldan x
4. Funktsioonid ja nende graafikud Põhiteadmised Võrdeline sõltuvus; pöördvõrdeline sõltuvus; üksühene seos; funktsiooni mõiste; lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel;
-
y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)-
f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis
puntkis näitab selle funk muutumiskiirust
antud punktis. 5.joone puutuja-joonele
mingis punktis tõmmatud puutuja on seda
punkti läbivate lõlikajate piirasend.putuja
võrrand y-y0=f`(x0)*(x-x0)
6.funk kasv/kah ja extreem-funk f(x)
kasvamispiirkond on selline osa
määramispiirkonnast milles suuremale
argu-le vastab suurem funk väärtus.kui
x1
(v= = = = 5 ). 5-2 3 3 Ülesanne 4.4. Oletame , et üliõpilane õpib t tunni jooksul selgeks n punkti, kusjuures n = 40 t , 0 t 10. Leida 4 a) keskmine omandamise kiirus vahemikus 4-st 9 nda tunnini (vt.Ül.4.3.); b) omandamise kiirus 4 . tunnil. 4.2. Lokaalsed ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi piisav ja tarvilik tingimused Funktsioonil y = f (x) on lokaalne maksimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) < f(a) . Funktsioonil y = f (x) on lokaalne miinimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) > f(a) . y Lokaalne maksimum Lokaalne
väärtused, mis on võrratuse lahendid.
Kui f(x2)>=f(x1) (f(x2)=
Ekstreemumi piisavad tingimused Olgu funktsioon f diferentseeruv n korda statsionaarses punktis a ning olgu f ' ' (a) = ... = f ( n-1) (a) = 0 ja f ( n ) (a) 0. Kui n on paarisarv, siis punktis a on f ( n ) (a) < 0 korral lokaalne maksimum f ( n ) (a) > 0 korral lokaalne miinimum. Kui n on paaritu arv, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei ole. 13 Funktsiooni globaalsed ekstreemumid Funktsioon f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Kui piirkonnas A pideval funktsioonil f on üksainus lokaalne ekstreemum, siis on see ka funktsiooni globaalne ekstreemum selles piirkonnas. 14 Globaalsete ekstreemumite leidmine
Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus: Kuidas leida vaata Mitme muutuja funktsioonid lk 4 7. Ekstreemumid(lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon) DEF: Funktsionil z=f(P)=f(x1;....xn) on määramispiirkonna sisepunktis A(a1....,an) lokaalne maksimum, kui punkti A küllalt lähedases ümbruses on f(A) ¿ f(P) ja lokaalne miinimum, kui f(A) ¿ f(P). Kahe muutuja funktsiooni korral on funktsiooni z=f(x,y) väärtus punktis x0,y0 suurem kõigist tema naabruses asuvatest funktsiooni väärtustest siis on see lokaalne maksimum
2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8. Uuri funktsioon y= -x3+3x ja joonesta tema graafik. 9. Leia funktsiooni y= x4-2x2-3 ekstreemumkohad, ekstreemumid, kasvamis-ja kahanemispiirkonnad, käänukohad ning kumerus- ja nõgususpiirkonnad. 10. Jaota arv 284 kaheks arvuks nii, et nende korrutis oleks suurim. 11. Jaota arv 30 kaheks arvuks nii, et nende ruutude summa oleks vähim. 12. Kuidas tuleb painutada 1m pikkust traaditükki, et saada maksimaalse pindalaga ringisektor? 13. Ristkülikukujulisest plekitahvlist, mille mõõtmed on 5dm ja 8 dm, valmistatakse kaaneta karp. Selleks lõigatakse tahvli nurkadest ära võrdsed
2 c) log ( x 2 + 3 x - 14) - log( x - 2 ) = 1 ; d) (log 4 x) 2 + log 4 x - 6 = 0 ; e) log x = - log 2 12. Lahendage võrratus log(x 5) > 0 13. Kumb on suurem ? log 0,5 8 või log 0,5 12 . Põhjenda graafikuga. 2 14. On antud f-n f(x) = x 2 ln x + 3. a) Leidke f(e 0,5). b) Leidke f(x) kasvamisvahemik, ekstreemumid. c) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 15. On antud f-n f(x) = e x x. 1) Leidke x, mille korral f ´(x) = 0. 2) Skitseerige f(x) graafik lõigul [0; 2]. 3) Arvutage antud funktsiooni graafikuga ning sirgete x = 1 ja x = 2 ning x-teljega piiratud kujundi pindala. 16. On antud f-n f(x) = x ln 6 x ln x Leidke 1) määramispiirkond, maksimumpunkti abstsiss, 2) graafiku ja x-telje lõikepunkt.
punktis A lokaalne miinimum. DEF: Kui eelnevates definitsioonides kasutada rangeid võrratusi f (P) < f (A) ja f (P) > f (A), siis saame vastavalt range lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Punkti, milles on täidetud tingimused nimetatakse funktsiooni u = f (x1; ... ; xn) statsionaarseks punktiks. Punkti P, milles funktsiooni u = f (x1; ,,, ; xn) kõik eksisteerivad osatuletised fxi võrduvad nulliga nimetatakse selle funktsiooni kriitiliseks punktiks. Lokaalsed ekstreemumid võivad esineda funktsiooni f kriitilistes punktides. Olgu funktsioonil f punktis A(a1;... ; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (A) = 0. 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada. 15. Kahemuutuja fnktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange funktsiooni
{0;lõpmatus).
22. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja
kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A
kasvavaks, kui a < b f(a)
a-logaritmi alus väärtused b-logaritm 58. F-ni nullkohad.Positiivsus- ja c-logaritmitav negatiivsuspk I. Kümnendlogaritm 59. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. log10 c = b log c = b Ekstreemumid 60. Astmefunktsioon II. Naturaallogartim y = x n kus n 0 ja n Z log e c = b ln c = b 61. Paaris ja paaritud funktsioonid 1) Arvu 1 logaritm mistahes alusel on 0 Paaris: f(-x)=f(x) log a 1 = 0 sest a 0 = 1 Paaritu: f(-x)= - f(x) 2) Logartimi alusel logaritm võrdub 1
Krit stats + punktid kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri 12. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Kasvamispiirkond - kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 lahendid Kahanemispiirkond - kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y0 lahendid. 13. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f(x) f(a) (f(x) f(a)) 14. Mis on funktsiooni globaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Funktsioon f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas
Ungari loodus Anneliis Papagoi 8.A Juhendaja: Laine Tangsoo KLIIMA · Ungaris valitseb mandriline paraskliima. Talved on külmad, pilvised ja niisked. Suved on soojad. Isoleeritud asendi tõttu mägede vahel on põuad sagedased. Aasta keskmine õhutemperatuur on 9,7 °C. Jaanuaris on kogu riigis temperatuurid alla nulli. Juulis ületavad tasandikel keskmised temperatuurid 20 °C. · Mõõdetud ekstreemumid on 41,9°C (juulis 2007) ja 35°C (veebruaris 1940). Siin on Budapesti graafik. https://www.google.ee/search?newwindow=1&dcr=0&biw=1366&bih=651&tbm=isch&sa=1&ei=h16MWub5Ds- asAfC6JiADw&q=hungarian+climate+weather&oq=hungarian+climate&gs_l=psy-ab.1.1.0i24k1l2.35996.37720.0.41172.6.5.1.0.0.0.222.820.0j3j2.5.0....0...1c.1.64.psy- ab..0.2.317....0.GQiho5fIIQA#imgrc=NJKBryZ3zx5dVM:
Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga
suvaliste x1 (x - , x) ja x2 (x, x + ) korral f(x1) > f(x) > f(x2). Kui f'(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f'(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Kui funktsioon y = f(x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline > 0, et 0 < |x| < y/x< 0. Fermat' teoreem: Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f'(x)=0. 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. 9. Rolle'i teoreemi tõestus. Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x| < y <= 0. Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x| < y > 0. Kui definitsioonis y < 0 -range lokaalne maksimum
7. L’Hospitali reegel. 8. Taylori valem. Jääkliikme kujud. Maclaurini valem. 9. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Seos tuletisega. TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1
3. Argumendi ja funktsioonide väärtused salvestatakse kahemõõtmelisse massiivi ning sealt töölehele. Karakteristikud leitakse massiivis olevate väärtuste alusel Karakteristikute variandid. a matrikli viimane number, b matrikli eelviimane number, c matrikli viimase ja eelviimase numbri summa viimane number. Näiteks a=5, b=3, a+b=8, c=8; a=7, b=9, a+b=16, c=6. . a keskmine b Integraal/pindala c ekstreemumid paarituarvuliste miinimaalne element ja vastav 0 0 integraal trapetsivalemiga 0 numbritega elmentide x aritmeetiline keskmine pindala parempoolsete absoluutväärtuselt suurim ja 1 negatiivsete keskmine 1 1
30. Teoreem määratud integraali olemasolust üks selline punkt , mille korral kehtib valem 17. Taylori valemi jääkliige Lagrange'i ja Cauchy (tõestusega). kujul. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul 19 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus [a,b], siis eksisteerib määratud integraal (tõestusega). Kriitilised punktid. m=inf f(x) x [a,b] ; M=sup f(x) x [a,b] 20. Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega).
2. Kui AB-C2>0 ja A>0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalne miinimum. 3. Kui AB-C2<0, siis kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalset ekstreemumit ei ole. 4. Kui AB-C2=0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 võib olla lokaalne ekstreemum, kuid võib ka mitte olla (sel juhul on vaja täiendavat uurimist). 16. Kahe muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid. Funktsioonil f on punktis P0D globaalne maksimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0). Funktsioonil f on punktis P0D globaalne miinimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0). Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Punktis P0, kus funktsioonil f on globaalne ekstreemum, nim. funktsiooni f globaalseks ekstreemumpunktiks. Funktsiooni f globaalne maksimum ja miinimum
nimetatakse seda funktsiooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotonselt kasvav iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoonselt kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoonselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f''(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x)f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0, siis punktis A range lokaalne miinimum.
Puutujatasandi normaal punktis P0: Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole). Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne maksimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmax u = u ( P0 ) = A .
Samasugune sõltuvus on ka valentstsooni kohta, ainult siin on parabool suunatud allapoole. Kui vaadelda ainult kõverate tipulähedasi osi, on graafik järgmine (joonis 2.4). Toodud diagramm on kahemõõtmeline. Reaalses kristallis sõltub aatomite vaheline kaugus suunast, seega E = f(p) on erinevates suundades erinev. On veel põhjusi, miks sõltuvus on keerulisema kujuga. Reaalses kristallis võivad esineda järgmised olukorrad: 1) juhtivustsooni ja valentstsooni ekstreemumid ei ole kohakuti; 2) sõltuvusel E = f(p) võib olla mitu ekstreemumit; 3) ühele ja samale impulsile võib vastata mitu energia väärtust. Illustratsiooniks on toodud Si tsoonidiagramm kahes eri suunas (joonis 2.5). Iseloomulk on, et tsoonide ekstreemumid ei ole kohakuti. Võrdluseks GaAs-s on need kohakuti. See asjaolu määrab ära mõned olulised pooljuhtmaterjali optilised omadused.
Korrektne selgitus joonisega. Geomeetriline sisu. Funktsiooni diferentsiaal võrdud selle funktsiooni graafiku puutuja kasvuga lõigul [a, x]. Joonis: tan = QR = AR · tan QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, Tõestus: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = u'vdx + dv'dx = u'dx · v + u · v'dx = vdu + udv 8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Definitsioonid. Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1
funktsooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotoomsel kasvav iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoomsel kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f´´(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks.
negatiivne kordaja, siis korrutada miinusega. Abijoon läbib punkti, kui seda nullkohta on paaritu arv kordi, ja ,,põrkab", kui seda nullkohta on paaris arv kordi. Kui ,,põrkab", siis ei ole piirkonda kaasa arvatud. Kirjutan ülespoole joont jääva osa positiivsuspiirkonnaks X+ = ... ja allapoole joont jääva osa negatiivsuspiirkonnaks X- = ... 5. Monotoonsuse (kasvamis- ja kahanemis-)piirkonnad, ekstreemumid Võtame esimese tuletise f'(x). Diferentseerimise reeglid, log.dif võte! Leiame f(x) kriitilised punktid: o f'(x) nullkohad. f'(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. o f'(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f'(x)>0 või f'(x)<0. Kui f'(x)>0, siis kasvab. Kui f'(x)<0, siis kahaneb.
Parabooli haripunkt on punktis H(0; 1). Kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus CH = 1,25 1 = 0,25. Vastus: Kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus on 0,25 ühikut. 9. (20p) On antud funktsioon f ( x ) = x 2 - ln x + 3 . 12 1) Leidke fe 2) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik. 3) Leidke funktsiooni f (x) ekstreemumid. 4) Lahendage võrrand f (x) = g (x), kus g( x ) = x 2 + ln 2 x . Lahendus: Näeme, et antud funktsiooni määramispiirkond on X = ( 0; ) . Logaritmitav peab olema positiivne. 1 1 1. Leiame fe 2 , st antud funktsioonis muutuja x asemel paneme e 2 . Saame
sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui , siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi korral kehtib. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st ja teoreemi väide on täidetud iga korral. Kui võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige.
Otsime Taylori valemi jääkliiget (x) kujul:
+ Et F(a)=f(x) ja F(x)=f(x), siis punkti a mingis
funktsiooni jaoks rakendatav Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x
Funktsioon uurimine 1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral .
Ilmutamata funktsiooniga F ( x, y, z ) = 0 määratud pinna puutujatasand punktis P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) ning normaal punktis P0 avalduvad vastavalt kujul: Fx (P0 )(x - x 0 ) + Fy (P0 )( y - y 0 ) + Fz (P0 )( z - z 0 ) = 0 , r ( n = Fx (P0 ), Fy (P0 ), Fz (P0 ) . ) 8 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D . Def. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis A D lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub punkti A ümbrus U ( A) nii, et f (P ) f ( A) (vastavalt f (P ) f ( A) ) iga P U ( A) korral. Tähistus: locmax f = f ( A) (vastavalt locmin f = f ( A) ) Analoogselt defineeritakse range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum võrdus realiseerub ainult punktis A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Teoreem 4
maksimum ja miinimumpunktideks. Joonis: Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne miinimum (b)lokaalne maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub Punkti a nim. funktsiooni y=f(x) statsionaarseks punktiks kui f`(a)=0 Punkte kus ei eksisteeri funktsiooni nim. selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. 18.Nimetage funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilik ja piisav tingimus. Funktsiooni ekstreemumid on vaadeldava funktsiooni suurimad (vähimad) väärtused naaberväärtustega võrreldes.Funktsiooni y=f(x) on punktis a(lokaalne) maksium, kui selle punkti ümbruses kehtib f(x) f(a) ja miinimum kui kehtib f(x) f(a). Punkti a nim. sel juhul funktsiooni y=f(x) ekstreemumkohaks väärtust f(a) aga funktsiooni ekstreemumiks
aga 49.4 liitrit. Kui aga kiirus on 80 km/h, siis on bensiinikulud 190 kilomeetri peale 34.2 liitrit. Kokku võiks seega hoida 15.2 liitrit, mille maksumus on 15.2 · 13.5 = 205.2 krooni. 11.Leida asümptoodid Vastus: asümptoodid on järgmised a) y = 0 b)x = 3; x = 1 y = 0 c)x = -1; y = x + 3 12. Uurida funktsiooni x2 (x-9) y = 2(x-8)2 Lahendus 1) määramispiirkond X = {8} 2) lõikepunktid telgedega (0, 0) (9, 0) 3) lokaalsed ekstreemumid x(x - 12)2 y = 2(x - 8)3 48(x - 12) y = (x - 8)4 3 y = 0 parajasti siis kui x = 0 või x = 12. y (0) < 0 st punktis (0, 0) on lokaalne maksimum.
+3 2 f (a, b)(x - a)(y - b)2 + 3 f (a, b)(y - b)3 . xy y n k 1 k k Pn (x, y) = f (a, b)(x - a)k-i (y - b)i . (6.61) k! i=0 i xk-i y i k=0 25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2
n kasvades Rn kordaja M muudab teguriga korrutades. n+2 - n -1 n +1- n + 2 -1- 1+ = = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2
n kasvades Rn kordaja M muudab teguriga korrutades. n+2 - n -1 n +1- n + 2 -1- 1+ = = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2
Funktsiooni diferetsiaaliks nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut dy=f’(x)*dx Võrdlus: 20. L’Hospitali reegel. f ' ( x) lim ¿ x→ a g '( x ) f (x ) lim ¿ x →a =¿ g (x) ¿ 21. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (definitsioonid, näiteid kasutamisest). Nende leidmise algoritm. Fermat’ teroeem. Definitsioon: globaalseks ekstreemumiks nimetatakse maksimum- ja miinimumväärtusi kogu lõigu {a,b} ulatuses Definitsioon: lokaalseks ekstreemumiks nimetatakse punkte puntki a ümbruses Näited kasutamisest: 22. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Definitsioon: Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni
korda, siis on võimalik funktsioonile f (x) seada vastavusse selle funktsiooni n järku Taylori polünoom punktis a : f (x) ~ o Maclaureni valem Funktsiooni f (x) Taylori valemit a = 0 korral nimetatakse f (x) n-järku Mauclaureni valemiks f (x) = 11. Tuletise geomeetriline interpretatsioon, tuletiste rakendamine ( kasvamine, kahanemine, lokaalsed ekstreemumid). o Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise x 1 (x , x) ja x2 (x, x + ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline > 0, et 0 < | x| < y / x > 0. o Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks, kui leidub selline
annaabi.ee 
