Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka). 2 Kui periood algab kohe peale koma, on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2) 9 5 Kui periood ei alga kohe peale koma, on see segaperioodiline murd, nt. =
Reaalarvud NATURAALARVUD Naturaalarvudena mõistame arve 1, 2, 3, .... . On ka käsitlusi, kus ka 0 loetakse naturaalarvuks. Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks.
10.klass Juhendaja: Silja Risthein Aravete2011 Naturaalarvud N= {0; 1; 2; 3;....} Et Loendamisel teel on nulli rakse saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka. Alles 7.sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk.
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Universum 1. Mis on Universum? Mis on kosmos? Universum on ruum, mis on lõpmatu, milleni on inimesed oma maailmatunnetusega jõudnud. Selles eristatakse ,,nähtavat universumit" ja ,,mittenähtavat universumit", millest me midagi ei tea. See on umbes 5000 Mpc (1pc = 1,6 valgusaastat), selleni ulatuvad tänapäeva teleskoobid. Kosmos on Maad ümbritsev ruum; Maa lähiümbrus (isegi mitte terve päikesesüsteem). Kaugemal asudes oled päikesesüsteemis, sealt kaugemal galaktikas, seejärel megagalaktikas jne. 2. Kuidas mõista aja ja ruumi lõpmatust?
lihtmurd. On ka veel kümnendmurd. Kümnendmurd on murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene koht pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine
Võrratused 10. klass Võrratus Võrratuseks nim. kaht matemaatilist avaldist, mis on seotud märkidega >,<, või . Näiteks: 5>0; 4a+2-1; 3x2-1<8. < ja > on ranged võrratusemärgid; ja on mitteranged võrratusemärgid. Võrratuse omadused Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3. Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt teisele, muutes üleviidava liikme märki. Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb samaks. Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21. Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21. Võrratuse lahend Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saame rääkida võrratuse lahendamisest. Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille korral võrratus osutub tõeseks nim. võrratuse lahendeiks ja kõiki koos võrratuse ...
2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn. Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga.
on siis samuti bijektsioon. Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose ~ järgi. Võimsusi nimetatakse ka kardinaalarvudeks. Hulga võimsuse jaoks kasutatakse tähiseid ||, ja . Loenduvad hulgad Hulka nimetatakse loenduvaks, kui leidub üksühene vastavus naturaalarvude hulga ja hulga vahel. Seega loenduvad on parajasti need hulgad , mida saab esitada kujul ={1,2,3,...}. Näiteid 1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad. 2. Igasugune hulga lõpmatu osahulk on ise loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk . 3. Ratsionaalarvude hulk on loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk või täisarvude hulk . 4. Hulga kõikide osahulkade hulk () ei ole loenduv, täpselt samuti nagu ei ole loenduvad irratsionaalarvude hulk või reaalarvude hulk. Veelgi põnevam, ka vahemik (0,1) ei ole loenduv. Teoreem 2. Hulk on loenduv parajasti siis, kui hulga elemendid saab esitada paarikaupa
Universum 1. Mis on Universum? Lõpmatus- millel ei ole lõppu 2. Kuidas mõista aja ja ruumi lõpmatust? Inimene tajub lõpmatust ainult numbriliselt, mingi igapäevase lõpliku nähtuse lõputu kordumise kaudu. Lõpmata pikk aeg on see, kui igale päevale järgneb alati samasugune päev. Lõpmatu tee on see, kui igale läbikäidud kilomeetrile järgneb jälle samasugune kilomeeter. 3. Sõnasta kosmoloogiline printsiip. Me ei saa näha kõiki lõpmatus ruumis olevaid asju, järelikult ei saa me neid ka tundma õppida. Kuigi maailm on lõpmatu, näeme me temast siiski vaid lõplikku osa. See, mida me näeme on kõigis suundades ja kõigil kaugustel ühesugune. Me võime eeldada et maailm on kõikjal ühesugune. 4. Mis on selle printsiibi mõte (eesmärk)?
veidrad. Võtame kasvõi näiteks UFOd või tulnukad. Arvatakse, et USA Valitsus teab, kas nad on olemas või ei ole, aga nad ei avalda seda informatsiooni. UFO tähendab inglise keeles Unknown Flying Object või Unidentified Flying Object. Aga miks inimesed usuvad, et on olemas tulnukad. Teatakse, et juba paar tuhat või isegi viis tuhat aastat tagasi teadsid inimesed nendest. Mina arvan, et nad on olemas, arvestades kosmose suurust, mida arvatakse olevat lõpmatu, on võimatu, et meie, inimesed, loomad, linnud ja putukad oleme universumi ainuke eluvorm. Kui hakata mõtlema sõna üle lõpmatu. Sellist asja lihtsalt pole olemas eriti kosmos, kuidas saab üldse mingi asi lõpmatu ehk ilma lõputa asi olla. Aga kui hakkad teistpidi mõtlema siis kui kosmos poleks lõputa, oleks see millegi sees, sest siis ta lihtsalt peab kuskil olema. Arvatakse, et ,,uus Maa" tekkis peale Suurt Pauku mis oli hiiglaslik meteoriit, mis põrkas
kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0); 1 - = -0,25; 4 2 - = -0,181818... = -0, (18). 11 Kümnendmurrud Kümnendmurd on kümnendsüsteemis koma abil kirjutatud murdarv, kus komast vasakul paiknevad täisosa numbrid ning komast paremal murdosa numbrid. Iga lõpliku või perioodilise kümnendmurru saab esitada harilike murdude summana, lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru aga vastava rea (e. lõpmatu summa) abil. Näited: täisosa murdosa 7 7 1) 3,7 = 3 + = 3 ; 10 10 Näited kümnendmurdudest 3 1 5 9 2) - 15,3159 = -(15,3159) = -15 + + + + = 10 100 1000 10000 3159 = -15 ; Geomeetrilise rea summa 10000 valemi põhjal
N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe
Pascali lõpmatus on mitmepalgeline ja mitmeplaaniline- kord kõneles ta sellest heroilise entusiasmiga, kordhingetarretava traagilisusega. Lõomatus tingib inimese olu ja tunnetuse rohkeid paradokse, olles imbunud nende kõikidesse struktuuridesse, ning võlub inimese mõistust ja "südant".Tema arvates on ainult südamele antud hoomata lõpmatust, mille ees mõistus satub hämmingusse, tunneb oma piiratust ja sageli satub ka eksitusse. Arvude ruumi, aja ja liikumise lõpmatu jagatavuse idees nägi Pascal geomeetria alust. Ta seletas, et jagamatu on struktuuritu tervik, millel ei ole osi ning seega ka ulatust, kõigel , mis on jagatav on nii struktuur, kui ka ulatus. Ent lõpmatult jagatav tervik koosneb jagamatutest osadest. Ja Pascal küsis, kuidas saab "jagamatu", ulatuselt olematu, muutuda ulatuselt olevaks? Kuidas "eimiski" saab tekitada "millegi"? Ilma jagamatuse ideest lahtiütlemise ja sellest loomulikult tuleneva kõikide
2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk. Loenduv {0,1,2,.......} Mitteloenduv {7.16646...,7,16646..., ...... } kuna iga elemendi vahel on veel lõpmatult elemente. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? 1 unaarne ja 4 binaarset. Binaarsed Hulkade ühend ehk hulgaaritmeetiline liitmine, Hulkade ühisosa ehk hulgaaritmeetiline korrutamine. Hulkade vahe ehk hulgaaritmeetiline lahutamine. Hulkade sümmeetriline vahe. Unaarne on hulga täiend. Sümboleid vt lk 35-36.
Valgus kosmoses Kosmose pea-vaakumis on valguse kiirus c(300 000km/s). Kuigi see kiirus tundub inimese jaoks suur, ei ole see suuemas plaanis midagi erilist. Footonil kiirusega c võtaks vaadeldava universumi läbimiseks ühest otsast teise ca. 92 miljardit valgusaastat. Vaadeldav universum on piirkond, mida saab maakeralt vaadelda. Selle raadius on 46 miljardit valgusaastat. Universumi enda suurus on vaieldav, kuid see on väga tõenäoliselt lõpmatu. See ei ole seletatav, ega ole ka universumi arvatav tekkimine. Enne suurt pauku pidi eksisteerima keha, mille tihedus ületas praeguste füüsikaseaduste poolt sätestatud maksimumi. Suure paugu ajal laienes see keha ja täitis pea lõpmatu tühjuse momentaalselt energiaga. Iga hetk jõuab meieni osa sellest valgusest, mis tekkis mõnda aega pärast suurt pauku. Tänu universumi suurusele ja valguse suhteliselt aeglasele liikumisele selles, saame me vaadelda iidseid taevakehi
Arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a parajasti siis, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et võrratusest 0 < |x a| < järeldub võrratus |f(x) A| < . (Järgmisel joonisel vahemikke u ja U nimetatakse vastavalt punkti a ja punkti A ümbruseks.) 4 Piirväärtuse võimalikud variandid · Lõplik piirväärtus lõplikus punktis. o lim ( + 6) = 8 2 · Lõpmatu piirväärtus lõplikus punktis. 1 o lim 2 = 0 · Lõplik piirväärtus lõpmatuspunktis. 1 o lim =0 · Lõpmatu piirväärtus lõpmatuspunktis. o lim 2 = 5 Piirväärtuse tehetega seotud omadused · Eksisteerigu piirväärtused lim () ja lim () (lõplikud või lõpmatud). · Siis:
tekkest. Esimene jainismi tegelane, kellest olid reaalsed ajaloolised tõendid oli Parsva - Mahavira eelkäia. Tõenäoliselt elas ta ajavahemikus 9. 7. sajand eKr. Parsva jälgijatest mainiti konoonilistes raamatutes. Legendis ,,Uttaradhyayana sutra" meenutakse Parsva ja Mahavira kohtumise, mille tulemusena ühendati vana Jainismi kiriku uuega. PEAMISED TÕEKSPIDAMISED · Kõik elav, iga asi omab hinga. · Iga hing on püha ja omab kaassündinud lõpmatu teadust, jõudu ja õnne. Selle pärast peab suhtuma iga elavaga nii nagu iseendaga, mitte kahjustada ja teha head. · Iga hing on oma elu eest vastutav nii olevikus, kui ka tulevikus. · Kui hing vabastab karmast, siis ta muutub vabaks, saab lõpmatu teadmisi ja õnne. · Jainismis puudub mõiste kõrgem jumalik looja, päästja või hävitaja. Universum on isereguleeritav ja igal hingal on potentsiaal saavutada jumalikku teadvuse (siddha)
on sees sees = sees +1 Teha kaks varianti: Variant 1 - plats ja värav lehe ülemises vasakpoolses nurgas prots = sees/lööke* - värava laius võrdne platsi laiusega - pall asukoha muutmine juhuarvudega terve platsi lööke < n ulatuses - teha peaprotseduuri kolm varianti Mäng_1 - lõpmatu kordus, DoEvents, Mäng_2 - lõpmatu kordus, paus Mäng_3 - juhitav kordus ... Variant 2 - plats ja värav suvalises kohas - värava laius suvaline - pall asukoha muutmine Jukust vasemale (värav suunas) - teha funktsioon On_Sees - siduda objelktid muutujatega .... d elemente Põhitegevused loe n Juku palli juurde pall uude kohta lööke = lööke +1 on sees ei ole
Täisarvude hulk Ratsionaalarvude hulk Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud
vastupidised ja suuruselt võrdsed. Jõudude mõju tulemusena saavad mõlemad kehad kiirendused, mis on vastassuunalised. Jõudude mõju kehadele uurib füüsika haru,, mida nim dünaamikaks. Dünaamika aluseks on 3 Newtoni seadust. Jõud looduses Tuntakse üldse nelja erinevat vastasmõju liiki: 1) gravitatsiooniline 2) elektromagnetiline 3) tugev 4) nõrk Nii elektromagnetilise kui gravitatsioonilise vastasmõju ulatus on lõpmatu, st et need vastasmõjud toimivad lõpmatu väikeste ja lõpmatu suurte kehade ning vahekauguste korral. Nõrga vastasmõju mõjuraadius on 10-18 m ja tugeval veidi suurem, 10 -15 m. Seega need vastasmõjud on olulised ainult imeväikeste elementaarosakeste korral. Kõik jõud looduses kuuluvad kahte esimesse vastasmõju klassi. Nt hõõrdejõud on põhjustatud aatomite/molekulide vahelisest elektrilisest tõmbumisest. I GRAVITATSIOONIJÕUD
Tähistamine suure tähtega, aga elemendid väike tähtega. + Järjestetud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. + arvuhulgad ? + Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a; b), lõigud [a; b] ja poollõigud [a; b), (a; b]. + Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . + Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvele vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt.
Universaalne. Gravitatsioonilist tõukumist pole avastatud. Ptolemaios lõi geotsentrilise maailmasüsteemi 2 saj. meie aja järgi. M.Kopernik lõi heliotsentrilise maailmasüsteemi. Galilei tõestas katsetega, et kõik kehad langevad ühesuguse kiirusega. Seotud massiga. 17 saj lõpul I.Newton üldistas ja pani kirja matemaatiliselt gravitatsioonilise vastastikmõju seaduse. Esineb kõikide kehade vahel. Suhteline sagedus 10 miinus 38ndal. Mõjuraadius - lõpmatu. 2)Nõrk vastastikmõju - avastati seoses radioaktiivsusega. Esineb kõikide elementaarosakeste vahel. Suhteline tugevus on 10 miinus 15ndal .Mõjuraadius on 10 miinus 18ndal m. 3)Elektromagneetiline - 1864 a. J.C.Maxwell näitas, et elekter ja magnetism on omavahel seotud. Esineb elektriliselt laetud kehade vahel. Suhteline tugevus on 10 miinus 2. Mõjuraadius - lõpmatu. 4)Tugev vastastikmõju - kui suured võivad olla aatomi tuumad (kuni 2000 osakest). Esineb nukleonide vahel
Mustad augud tekivad harilikult hiigeltähtede - punaste hiidude (mis on Päikesest vähemalt 4 korda suuremad) kokkuvarisemisel. Täpsemalt seletades: mustad augud tekivad siis, kui piisava suurusega täht tekitab oma gravitatsiooni mõjul enda sisemuses nii suure rõhu, et tema kiirus, mis võimaldab tähtede- või planeetidesüsteemist lahkuda, hakkab lähenema valguse kiirusele. Seejärel vajub täht kokku singulaarsuseks, kohaks, kus aegruumi kõverus on lõpmatu ja aine tihedus lõpmatu suur. NÄITED Kui viskad palli Maa pinnalt õhku, võid kindel olla, et, kui pall jõuab teatud kõrguseni, kukub ta tagasi maapinnale. Mida kõrgemale palli visata, seda kõrgemale ta lendab, sest pall saab visates suurema kiiruse. Kui pall saaks kiiruse 40 000 km/h, siis ületaks jõud, millega me palli üles tõukame, Maa külgetõmbejõu ja pall lendaks kosmosesse. Kui aga Maa suruda kokku pisikeseks 1 sentimeetrise läbimõõduga keraks,
· Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14 · Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1.3 Arvuhulkade omadusi
.. Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas.
kõik hääbus. Mark I 1944 a. Harvardi Ülikool Howard Aiken Perfolintide põhimõttel Töö kümnendsüsteemis, seega ei peeta arvutiks. Turing Alan Mathison Turing (1912 1954) Tuntud kõigile küberneetika tõsisematele huvilistele. Turingi masin (1936 a.) Abstraktne masina idee. Põhimõtteliselt võimalik automaatselt lahendada ükskõik, kui suuri arvutusülesandeid. Turing (2) Turingi arvuti on idealiseeritud arvuti. Lõpmatu sisemälu ja eksimatus Lõpmatu lint, lugev ja kirjutav pea, sisemälu ja käskude tabel Osales inglaste projektis ULTRA ning tänu temale sündis BOMBE. ENIAC 1945 USA, Pennsylvania. Gabariit: 3 korruseline maja. Kasutati vesinikpommide testimisel Käitati 17 468 elektronlambi abil 4% ajast oli töökorras, 96% ajast vahetati elektronlampe. 19511960 1951 UNIVAC (Universal Automatic Computer). Esimene seeriatootmises olev arvuti. 1951 IBM 701
Punktlaengu elektrivälja tugevuse valemi tuletus lähtudes Coulomb' seadusest. 5. Elektriväljatugevuse vektori voog. Joonis, valem. 6. Gauss'i teoreemi tuletus. Kui on suvaline pind, siis integraal. Gauss'i teoreem määrab E vektori voo läbi suvalise kujuga kinnise pinna, mis ümbritseb laenguid. Vaatame ühte laengut, mille ümber kujutame kinnise pinna. Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektriväljatugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S
võrrandi, mis kirjeldab mittekeerlevat musta auku. Schwarzschildi must auk · Schwarzschildi musta augu (s.o. mittepöörlev, elektriliselt neutraalne, kuid kindla massiga must auk) puhul nimetatakse sündmuste horisondi raadiust Schwarzschildi raadiuseks. · iseloomustab ainult üks suurus - mass (M) · Must auk koosneb: singulaarsus - koht, kus aegruumikõverus on lõpmatu; aine tihedus on singulaarsuses lõpmatu suur. sündmuste horisont - aegruumi selliste punktide kogum, kus aja kulg eemaloleva vaatleja jaoks jääb seisma. Pöörlevad mustad augud · Kerri mustad augud · Roy Patrick Kerr (1934 -) · Uus-Meremaa matemaatik · 1963. aastal leidis Einsteini võrranditele uue täpse lahendi, praegu tuntud Kerri lahendina ehk pöörleva musta augu lahendina. peale massi iselomustab Statsionaarsusrajast on
Praktiline elektroonika I Analoogskeemid Veljo Sinivee [email protected] Kondensaatorid · Kondensaator on nagu veeanum kogub elektrone.Erinevalt veepurgist on tühjas kondes alati elektrone · Juhib vahelduvvoolu, alalispingele lõpmatu takistus (v.a. laadimisel). Miks? · Polaarsed, mittepolaarsed ja unipolaarsed konded · Max. pinge, töötemperatuur, ehitusest tulenevad omadused (induktiivsus, lekkevool jne). · Ühik Farad (Maa mahtuvus ca 700 nF). Skeemil sümbol C · Kasutatakse pinge silumiseks toiteallikates (vihmaveetünn) ; viidete tekitamiseks; filtrites; signaali ahelates alalispinge blokeerimiseks. Sügis 2010 Praktilise elektroonika loeng 2 Konded
paljud kreatsionistid väidavad, et universumi vanuseks on vähem kui 10.000 aastat. Kosmoloogiline e. algpõhjuse argument • Argumentide kobar, mille keskseks ideeks on maailma algpõhjuse paratamatus. • Üldiselt: Jumal eksisteerib kui kõigi asjade ja nähtuste algpõhjus. Iga asi, nähtus ja sündmus universumis on millegi poolt põhjustatud. Me võime täheldada terveid põhjuste ja tagajärgede ahelaid. Ükski põhjuslik ahel ei saa olla lõpmatu. Peab leiduma algpõhjus, tänu millele saavad olla ka järgnevad põhjused. Selle algpõhjuse võib samastada Jumalaga. Argument on jällegi empiiriline Argumendi lähtekohaks on üldised tähelepanekud maailma kohta. Iga sündmus või muutus, mida maailmas kohtame, on millestki põhjustatud. Kui on sündmus A, siis tema põhjuseks on mingi varasem sündmus B. Sündmusel B pidi omakorda olema mingi põhjus. Kosmoloogilise argumendi pooldajad Teatud kujul esineb juba Platonil ja
arvutusvõimsusega võimaldasid hüppeliselt suurendada väljaarvutavate komakohtade arvu. Mis on π (pii)? 3 π (pii) ehk Archimedese konstant on matemaatiline konstant, mis on võrdne tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhtega (see suhe ei sõltu ringjoone ega diameetri valikust). π umbkaudne väärtus on 3,14159265358979323846264338327 ning ligikaudne väärtus 3,14159. π on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. π on üks tähtsamaid matemaatilisi suuruseid. Seda saab esitada ainult umbkaudu, selle lõpliku väärtust ja seda ei saa viia täismurru kujule. π on veel võrdne ringi raadiustest tehtud ruudu ja ringi pindala suhtega. Täht π tuleneb kreeka keelest. Pii ajalugu Esimesed kirjalikud viited π ligikaudsest väärtusest pärinevad Egiptusest ja Babülooniast. Aastal 1900 eKr kasutati seda Babüloonias arvuna 25/8 ja Egiptuses arvuna 256/81.
4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim
Keeleuuenduse lõpmatu kurv 1. Tänu kirjakeele rikastumisele muutus ka kirjandus mitmekesisemaks, eksperimenteerivamaks ja kunstiliselt mõjuvamaks. 2. Keeleuuenduse kõrgaeg oli 1910.-1920. aastatel, just sel perioodil tuli eesti keelde palju uusi sõnu ja sõnavorme olgu siis tegemist sõnatuletisega, laenudega murretest ja teistest keeltest. 3. Keeleuuendusliikumise eesotsas olid kaks üsna eripalgelist keelemeest Johannes Aavik (1880-19739 ja Johannes Voldemar Veski. 4. Johannes Voldemar Veski tegeles eelkõige teaduskeele, erinevate oskuskeelte (loodusteadused, meditsiin, tehnikateadused jm) arendamise ning eesti kirjakeele korrastamine ning ühtlustamisega. 5. Johannes Aavik aga pidas kõige olulisemaks keele kui terviku ilu, võimalusterohkust ja kõlavust, mõjutades seeläbi esmajoones ilukirjanduskeele küpsemaks ja väljendusrikkamaks muutumisel. 6. Lisaks emakeelele valdas ta üheksat keelt: Üla...
Elektrivälja olemasolu saab kindlaks määrata ruumi punktis ( proovilaeng) Kui punktis on väli olemas , siis proovilaengule mõjub elektrijõud. Proovilaengu suurus peab olema väga väike , võrreldes välja tekitavate laengutega. Proovilaenguteks on kokkuleppeliselt positiivne laeng ?! Väli on siis olemas kui proovilaengule mõjub märgatav jõud. Elektrivälja iseloomustavad tunnused on : 1. Elektriväli on pidev ja katkematu 2. On lõpmatu ( vastavalt kuloni seadusele elektrilaengute vahel olev jõud väheneb kauguse suurenedes ) 3. Elektrivälja kiirus on võrreldav valguse kiirusega 4. Elektriväli vahendab laengute vastastik mõju ( tõmbumine ja tõukumine ) Elektrivälja kujutatakse graafiliselt jõujoonte abil. Elektrivälja tugevus on suunaga suurus ehk ( E) vektor. Iga elektrilaeng tekitab ruumis elektrivälja , sõltumata teiste laengute
Tegelikult me teame, mis on lõpmatu ruum. Me tajume ruumi nägemismeele abil ja lõpmatu on see ruum, kus igast meile nähtavast esemest kaugemal (tagapool) on veel teisi esemeid. Me ei saa näha kõiki lõpmatus ruumis olevaid asju, järelikult ei saa me neid ka tundma õppida. Kuigi maailm on lõpmatu, näeme me temast siiski vaid lõplikku osa. See, mida me näeme (galaktikad) on kõigis suundades ja kõigil kaugustel ühesugune. Meil pole mingit põhjust oletada, et veel kaugemal see olukord muutuks. Järelikult võime oma mõttekäikudes lähtuda eeldusest, et maailm on kõikjal ühesugune. Ja veel, et olla lõpuni materialist ja eitada jumaliku loomis-akti võimalikkust, tuleb oletada, et ta on seda alati olnud. See ongi kosmoloogia aluspostulaat, nn. kosmoloogiline printsiip
autoportreekambrist, oli Eesti esimene välisriik, kuhu maal näha toodi. See oli meile(meie spetsialistidele) suureks auks ja tunnustuseks. Töö oli eksponeeritud turvaklaasiga vitriinis. Seda sai vaadelda nii eest kui tagantpoolt. Miks ka tagant? Seal võis näha Leonardole omase peegelkirjaga kirjutatud sõnu Pinxit Mea- Minu tehtud. Leonardo on üks väheseid teadaolevaid vasakukäelisi, kes julgelt vasakukäelisele loogilist peegelkirja kasutas. Kuna Leonardo lõpmatu hulga jooniste hulgast on leitud visand, mis kujutas vasakus käes pintslit hoidvat meest 8 peegliga ruumis, on andnud seegi antud maali tuvastamisel tuge. See visandil olev ruum on arvatavasti Leonardo enda kavandatud, ning täpselt nii, et kui ta seal autoportreed maaliks, näeks ta ennast kerges külgvaates u 12 kraadise nurga alt. Mulle isiklikult meeldis töö väga. Ma imestasin väga, et teos nii hästi säilinud oli, isegi kui seda aastakümneid kandikuna oli kasutatud.
K. Ehin „Viimane Monogaamlane“(2011) Valisin Kristiina Ehini luulekogu „Viimane Monogaamlane“. Kuna mulle meeldib väga K. Ehini luule üldiselt, siis sellepärast valisin ka ühe tema luulekogust. Teose keskseks teemaks on armastuse, tõe ja õnne otsimine kaasaeegses maailmas ja seeläbi ka erinevate kannatuste ja valu kogemine. Teoses domineerib lõpmatu lootus ja ootus, mis ei vii (kuhugi) lõpptulemuseni ning kurbus ja äng, millel ei näigi lõppu olevat. Luulekogu tajutavaks nn. peategelaseks on noor naine, kelle silme läbi kõik sündmused aset leiavad. Teos on üles ehitatud (väga) vabas vormis ning valdavalt on kasutatud vabavärssi, välja arvatud paar luuletust , kus on kasutatud ka ristriimi. Autor ei kasuta teoses ei punkte ega ka komasid (puudub korrapärasus). Suurt algustähte kasutatakse täpselt nii kuidas juhtub (juhuslik)
sammult, kuni saavutame terminaalse järjendi.
Astronoomia etapid: 1. Primaarne maailmapilt-iseloomulik varasematele tsivilisatsioonidele.Kujutasid ette,et Maa on lame ja maa kohal oli taevas kupli kujuliselt. 2. Klassikaline maailmapilt- maa on kerakujuline.Universum on sfääriliste kihtide kogum. 3. Geotsentriline maailmapilt-maailma keskpunktiks on maa.Plaaton,Aristoteles, Tolemaios, 4. Heliotsentriline maailmapilt-Maailma keskpunktiks on päike.Koppernik, Kepler, Galilei. 5. Lõpmatu maailmapilt-Tähed on kauged päikesed,tähed on koondunud süsteemidesse- galaktikatesse.Tähesüsteeme on lõpmatult palju. Universum on kõikides suundades ühesugune. Kershell,Bruna 6. Relativistlik maailmapilt-universum on paisuv süsteem- Freagman,Fuggle 1957 hakkati kosmoses käima, enne seda tehti maapealt uuringuid. 1961 käis Gagarin kosmoses. Astronoomia uurimismeetodid: 1. Vaatlus 2. Katse 3. Andmetöötlus Astronoomiliste vaatluste iseärasused:
kristallitaoline pind mis muudab aukjuhtivuse elektrijuhitavaks. Elektron ja ,,auk" suunduvad vastaspooljuhtide juurde ). Kui kogu see krempel ühendada voolutarbijaga muutub see elektrienergiaks ( elektron ja "auk" suunduvad oma pooljuhtide poole tagasi ). Ja üleüldiselt on see juba rohkem keemia teema. Plussid Miinused 1. Ei kahjusta mingil määral loodust 1. Suhteliselt vähetootev 2. Lõpmatu energiaallikas 2. Vajab palju pinda 3. Jääkaineid ei teki 3. Vajab teatud keskkonnaolusid 4. Ohutu (ühiskonnale ja keskkonnale) (päikest) 5. Inimesed saavad neid isiklikult 4. Vajab suurt algkapitali kasutada (osta isikliku päikesepatarei, vahendajat/tootjat pole vaja) 6. Isikliku patarei puhul pole vaja elektrit transportida
portselan)[R=P*l/S] Eritakistus - näitab takistuse sõltuvust ainest. Üldiselt enamus kehade takistus on võrdelises seoses temperatuuriga. Mida kõrgem on temp. seda suurem on kehade takistus.(v.a. pooljuhid) [R = R0(1+2+T)] Sellistel kordade, kus temp. langeb 0K, siis takistus R=0 e. tekib ülimtakistus. Ülijuhtivuse korral vool säiliks lõppmatuseni e. soojuskaod puuduvad NT: elektrit saaks siis transportida lõpmatu kaugusele. El.voolu töö võrdub pinge, voolutugevuse ja tööaja korrutisega.[A=U*I*T] Kui see muutub soojuseks siis kehtib valem [A=Q] El.voolu võimsus võrdub pinge ja voolutugevuse korrutisega. [N=U*I]
Kreeka mütoloogias valitses alguses maailmas jumal Kaos (vormitu segadus, pimedus). Ta oli ihuüksi ja tema ümber polnud midagi peale tühjuse ja pimeduse. Kaos elas nii lugematu hulk sajandeid, ja tüdines lõpuks sellest. Siis tuligi talle mõte luua maailm. Kõigepealt lõi ta jumalanna Maa ehk Gaia elu andja ja toitja. See oli sõnulseletamatult kaunis, täis jõudu ja elu; temale rajati meie maailm. Seejärel sündis Sügavus (Erebos), millest sai alguse ka allmaailm Tartaros. See oli lõpmatu ja pilkaselt pime, seal elas ka Öö (Nyx). Seejärel asus looja osasse Gaia, kes tahtis luua midagi ilusat. Tema loomingust sündis Armastus, mis tõi kaasa korra ja ilu. Gaia sünnitas ka Mäed ja Mere ning lõpuks ka Taeva ehk Uranose, kellest sai maailma kõige vägevam jumal. Uranos mähkis maa sinisesse rüüsse, istus oma kuldsel troonil ja valitses kõiki vanema põlve jumalaid. Uranos võttis Gaia naiseks ja see sünnitas talle palju surematud lapsi
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus.
15. Katkevuspunkt- Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis- funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema (n 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga. 20
Kuidas me saame meelt rahustada? Laulmisega. Kui me laulame, jääb mõtteid järjest vähemaks ja vähemaks. Laulmine, see on ka veel üks mõtlemise moodus. See on heli, mõte, mis ei oma midagi ühist tähendusega. Ta kutsub samuti esile tundeid, kuid need on palju rahulikumad. Laulmises lahustuvad kõik ülejäänud tunded üheks. Te laulate ja lõdvestute, et mõtetest vabaneda. Te lõpetate laulmise ja sel samal hetkel ärkab teis vaikimine. Helid on lõpmatu energia osakesed. Teatud helid loovad teatud energiamudeli. Seega laulmise ajal loovad sõnad ja helid teie organismis ja närvisüsteemis energiat. Midagi hakkab toimuma. Väga-väga sügavat. Väga ilusat. Laulmises, valjus laulmises on tehnika, on rõõm, see on mingi sügav jõud. Kui te laulate, pole vaja vaadata neid, kes laulavad - kas nad hääldavad sõnu õigesti või mitte. Laulmine on kõigi kunagi eksisteerinud religioonide lahutamatu osa. Kogu muusika eesmärk
Vaim ja Mateeria Pythagorase arusaam Sarnased mõtted Réne Descartes'i arusaam Uskus, et inimese hing on Mõlemad uskusid nii vaimu Ei uskunud, et inimese hing surematu ning kogu olev on kui mateeria olemasolusse. peale surma tagasi naaseb ning varem olnud ja pöördub tagasi (Dualistlikud) et see varem olemas on olnud. lõpmatu tsüklina. Pidas vaimu matemaatiliste Matemaatilised tõed on Tema arust on vaimul ja objektide tajumist kõrgemaks igavesed. mateerial võrdne osatähtsus. ja füüsilist maailma nende (2+2=4) ebatäiuslikuks versiooniks. Kõik meelte abil tajutavad Nii vaim kui ka mateeria See immateriaalne mina on ringid on ebatäpsed, kuid vaim suudavad ümbritsevat maailma Descartes'i jaoks vahetult
***Volga: mari, mordva (ersa+moksa) ***Lapi: lapi e saami ***Läänemeresoome: liivi, eesti, vadja, soome, isuri, karjala, vepsa Eesti keele eripära ja võrdlus teiste keeltega Kõigi keelte omadused: Kasutatakse suhtlemiseks, teadete edastamiseks. Tekstid koosnevad lausetest, need omakorda sõnadest, sõnad moodustatakse häälikutest. Kõigis on täis- ja/või kaashäälikud. Loov süsteem, milles on võimalik moodustada lõpmatu arv lauseid. Eristatakse nimisõnu ja tegusõnu. Peaaegu kõigis on sõna ainsus- ja mitmusvorm einevad. Eesti keele omadused: Ei ole eraldi tulevikuvorme Ei ole nais- ja meessoo kohta erinevat asesõna I, II ja III välde Vältevaheldus Laadivaheldus 14 käänet Liitsõnade rohkus Palju tuletisi Rõhk sõna esisilbil Tagasõnad Sõnades palju täishäälikuid Onomatopoeetilised sõnad
kõik pöörleb augu ümber viimase pöörlemissuunas. Erinevalt sündmuste horisondi sisepoolest saab ergosfäärist pääseda tagasi auguvälisesse ruumi. Aegruum aeg ja ruum moodustavad 4mõõtmelise terviku, kus kolm mõõdet on ruumilised ja üks mõõde ajaline. Singulaarsus koht, kus aegruumi kõverus on lõpmatu; aine tihedus on singulaarsuses lõpmatu suur. Sündmuste horisont aegruumi selliste punktide kogum, kus aja kulg eemaloleva vaatleja jaoks jääb seisma. Kuidas tekivad? Massiks peab olema kolmekordne päikesemass (sureval tähel), et kaheneda kriitiliseks suuruseks, et toimuks gravitatsiooniline kollaps Gravitatsiooniline kollaps nähtus, mille korral täht variseb omaenese
Schlegeli, poeetide Ludwig Tiecki ja Novalise ning filosoofide Friedrich von Schellingi ja Friedrich Schleiermacheri vahel (Jena romantikud). Sel perioodil anti välja ajakirja Athenæum (1798). Romantiline koolkond astus välja valgustusajastu ratsionalismi vastu, vastandades selle "hingetule mõistuspärasusele" tundmuste ja loomingulise ekstaasi kultuse, sest viimane avavat looduse saladusi sügavamalt kui õpetlaste vaevarikas töö. Tunnetuse tõukejõuks peavad romantikud lõpliku ja lõpmatu vahelise vastuolu läbielamist, tungi lõpmatuse poole, lõpmatuse kättesaamatusega seotud igatsust, iroonilist suhtumist iseendasse ja oma loomingusse. Lõpmatusega võimaliku ühinemise vahendiks peavad romantilise koolkonna esindajad armastust, müstilist loodusekultust, taideloomingut, religioosseid elamusi . Nad idealiseerivad feodaalset katoliiklikku minevikku. Mõningad neist läksid üle katoliku usku, muutusid restauratsiooni ideoloogideks. Hiljem tekkisid romantilised
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
