Algarvude tabel 2 131 307 491 691 911 1117 1361 1579 1811 3 137 311 499 701 919 1123 1367 1583 1823 5 139 313 503 709 929 1129 1373 1597 1831 7 149 317 509 719 937 1151 1381 1601 1847 11 151 331 521 727 941 1153 1399 1607 1861 13 157 337 523 733 947 1163 1409 1609 1867 17 163 347 541 739 953 1171 1423 1613 1871 19 167 349 547 743 967 1181 1427 1619 1873 23 173 353 557 751 971 1187 1429 1621 1877 29 179 359 563 757 977 1193 1433 1627 1879 31 181 367 569 761 983 1201 1439 1637 1889 37 191 373 571 769 991 1213 1447 1657 1901 41 193 379 577 773 997 1217 1451 1663 1907 43 197 383 587 787 1009 1223 1453 1667 1913 47 199 389 593 797 1013 1229 1459 1...
Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud
Algarvud ja kordarvud 5.klass Õpilane: nimi Klass: Kuupäev: Tallinn 2011 2 Sisukord 1. Sissejuhatus.......................................................................................................3 2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid..................................................4 3. Algarvud ja kordarvud........................................................................................5 3.2. Algarvude tabel...............................................................................................6 4. Arvu tegurid ja kordsed......................................................................................7 5. Jaguvuse tunnused.............................................................................................. 5.1. Jaguvus 2, 5 ja 10-ga....................
Matemaatika Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud /positiivsed täisarvud (1,2 ... ) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R Kümnendmurrud jagunevad...
b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ...
21. Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem? Suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem on kuueteistkümnendsüsteem. 22. Milleks 16ndsüsteemi kõige enam kasutatakse? 16ndsüsteemi kasutatakse arvutimälus hoitavate baitide sisu kompaktsemaks esitamiseks. Kuidas saab arve teisendada 2ndsüsteemi , 8ndsüsteemi ja 16ndsüsteemi vahel? Millised arvud on naturaalarvud ? Millised arvud on algarvud ? Millised murdarvud on ratsionaalarvud ? Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus ? Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul ? Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulisel kahendvektoril? Mis on intervall? Millised järgud on intervalli olulised järgud? Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga? Millest koosneb intervalli vektoresitus
kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (lühidalt SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks
[15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid
omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT)
kohta. Suurt mõju oma kaasaegsele ja ka hilisemale matemaatikale avaldasid Euleri õpikud. Sinna kogus teadlane kokku selle valdkonna teadmised, korrastas need ning avaldas õpikutes tihti ka omi töid. 1748. aastal avaldatud "Introductio" kahes köites kasutas ta lõpmatute trigonomeetriliste ridade jaoks praegu kasutatavat kuju,seal oli ka algebralise elimineerimisteooria osa ning peatükk zeeta funktsioonist ja algarvud. Tähelepanuväärne on ka 1755. aastal avaldatud kolmeköiteline ,,Institutiones calculi differentialis" millele järgnes 1768. aastal sama mahukas õpik integraalarvutuse kohta. Ka need raamatud sisaldasid lisaks kogutud ja korrastatud teadmistele Euleri poolt juurde lisatut teadmisi integraal- ja diferentsiaalarvutuse kohta. 1770. aastal ilmus Eulerilt algebra õpik ,,Die Vollständige Anleitung zur Algebra". Kasutatud kirjandus 2
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise.
pole täiesti normaalsed. Sageli leiavad nad parema sotsiaalse kontakti täiskasvanutega või endast noorematega. Erihuvid on tuntavad ja vastavalt eale sageli suur probleem. Poiste puhul on tegu valdkondadega, milles on võimalik koguda süsteemseid tabelilisi faktiteadmisis ja neid pähe õppida. Tüdrukute huvid võivad tunduda vanuserühmale sobilikumad, kuid on siiski seotud päheõppimisega (näiteks ajalugu, purskkaevud, trammisõiduplaanid, algarvud, mükoloogia dinosaurused jne.). Huvid võivad vahelduda. Isik süveneb oma huvialasse niisugusel määral, et see muutub teistele väsitavaks, lausa piinavaks. Huvile pühendatakse väga palju aega, millekski muuks ruumi jätmata. Sundmõtted, sundteod ja rutiinides kinni olemine on Aspergeri sündroomi puhul reegel. Need võivad mõjutada ka teisi valdkondi, näiteks söögiaegu, WC-s käimist, teleri vaatamist. Keele- ja kõneprobleemid on Aspergeri sündroomi puhul samuti reegliks
· ei räägi inimestega tükk aega · ei söö ega joo midagi tük aega · ei meeldi kui teda puudutatakse · kisendab, kui on segaduses või vihane · oigamine · lööb asju puruks, kui on vihande või segaduses · ei meeldi kollased ja pruunid asjad ja keeldub neid värvi asju puudutamast · ei söö toitu, kui eri sorti toidud puudutavad ükteist. jne Kogu raamat on jagatud peatükkideks, kuid peatüki numbrid on kõik algarvud. Ühel päeval läks ta pr. Shearsi hoovi ja leidis eest lamava koera, kes oli mõrvatud mullahargiga. Pr. Shears kutsus politsei ning arvati, et koera tappis Christopher, sest ta hoidis looma omal süles, kuid Christopher armastas koeri väga ja tal läks kõik hinge, mis oli seotud koertega. Ta lõi politseinikku, kuna talle ei meeldinud, kui keegi teda katsub ja ta viidi selle eest politseisse, kuhu ta ise talle hiljem järgi tuli.
loogilised. Seoses tema haigusega on Christopheril mõned käitumisprobleemid : · ei räägi inimestega tükk aega · ei söö ega joo midagi tükk aega · ei meeldi, kui teda puudutatakse · kisendab, kui on segaduses või vihane · oigamine · lööb asju puruks, kui on vihande või segaduses · ei meeldi kollased ja pruunid asjad ja keeldub neid värvi asju puudutamast Kogu raamat on jagatud peatükkideks, kuid kõik peatüki numbrid on algarvud. Lugu algab sellest, et ühel päeval läks ta pr. Shearsi hoovi, kes on tema naaber ja leidis eest lamava koera, kes oli mõrvatud mullahargiga. Pr. Shears kutsus politsei ning arvati, et koera tappis Christopher, sest ta hoidis surnud looma süles, kuid Christopher armastas koeri väga ja tal läks kõik hinge, mis oli seotud koertega. Ta lõi politseinikku, kuna talle ei meeldinud, kui keegi teda katsub ja ta viidi selle eest politseisse, kuhu talle isa hiljem järgi tuli
mõned näited j a mõis ted. D efinits ioon: öeldaks e, et täis arv b jagub täis arvuga a ( a 0 ) kui b= k*a, kus k on täis arv j a tähis tataks e a|b. A ritmeet ika fundamenta alteor eem ehk ühene faktoris eerimis e teoreem: Iga pos itiivne mitt ealgarv n (compos it e) on es itatav algarvude korrutis ena. Tões tus : Et n pole algarv s iis s aame s elle es itada korrutis ena n= a*b, nii et a< n ja b< n. J uhul kui a ja b on algarvud, s iis on teoree m tões tatud, kui aga a või b pole algarv, s iis s aab s elle omakord a es itada kahe täis arvu korrutis ena j ne, kuni tule mus ena s aame algarvud. P rots ess on lõplik kuna igal s aamu l korrutis es olevad tegurid vähenevad. Teoree m. Kui n on mit tealg arv, s iis ta jagub algarvuga, mis on väiks em võrne n . Tões tus : Et n pole algarv, s iis j agub ta arvuga a, mis as ub vahemikus 1 < a < n K irj utame n= a*b
mõned näited j a mõis ted. D efinits ioon: öeldaks e, et täis arv b jagub täis arvuga a ( a 0 ) kui b= k*a, kus k on täis arv j a tähis tataks e a|b. A ritmeet ika fundamenta alteor eem ehk ühene faktoris eerimis e teoreem: Iga pos itiivne mitt ealgarv n (compos it e) on es itatav algarvude korrutis ena. Tões tus : Et n pole algarv s iis s aame s elle es itada korrutis ena n= a*b, nii et a< n j a b< n. J uhul kui a j a b on algarvud, s iis on teoree m tões tatud, kui aga a või b pole algarv, s iis s aab s elle omakord a es itada kahe täis arvu korrutis ena j ne, kuni tule mus ena s aame algarvud. P rots ess on lõplik kuna igal s aamu l korrutis es olevad tegurid vähenevad. Teoree m. K ui n on mi ttea lgarv, s iis ta j agub algarvuga, mis on väiks e m võrne n . Tões tus : Et n pole algarv, s iis j agub ta arvuga a, mis as ub vahe mikus 1 a n K irj utame n= a*b
7 Näide: = 7 : 11 = 0,636363......... 11 Antud näites moodustavad numbrid 6 ja 3 lõpmatult korduvate numbrite rühma. Sellist korduvat numbrite rühma nimetatakse kümnendmurru perioodiks ja murdu ennast perioodiliseks kümnendmurruks. Lõplik kümnendmurd tekib ainult siis, kui hariliku murru (taandatud kuju) nimetaja ei sisalda teisi algtegureid peale arvude 2 ja 5.Siinkohal tasub meelde tuletada millised on algarvud, mis on väiksemad, kui 20. Nendeks on 2,3,5,7,11,13,17,19 . Kõigil teistel juhtudel tekib perioodiline kümnendmurd. Näited: 2 = 2 : 5 = 0,4 See on lõplik kümnendmurd, kuna, selle murru nimetajas on algtegur 5. 5 7 = 7 : 9 = 0,77777 See on lõpmatu ehk perioodiline murd, kuna selle murru nimetajas 9 on algteguriks 3 Ülesandeid: 47 9 · Teisenda kümnendmurdudeks: 1) 2) + 4,15
Leia rondi poolt 1,2 minutiga läbitud tee pikkus. 27. Merevesi sisaldan 5% soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 60 kg mereveele, et saada segu, mis sisaldab 4% soola? 28. Leia funktsiooni y = 2x³ + 3x² -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Joonesta graafik. 29. Trapetsi alused on a ja (a + 3 +1) ning nurgad pikema aluse juures 30º ja 45º. Leia pindala. 30. Lahenda võrrand 4 x 3 4 x - 2 x -2 32 x - 0,75 = 0 31. Jüri ja Mari vanused on mõlemad algarvud. Kui lahutame Jüri vanusest 2 ja liidame Mari vanusele 2 on saadud arvude korrutis on 4 võrra suurem, kui vastupidi toimides. Kui vanad on Jüri ja Mari? sin 4 - cos 4 + cos 2 32. Tõesta samasus = cos 2 2(1 - cos ) 2 33. Leia joone y = 2x² + 2 need puutujad, mis läbivad koordinaatide alguspunkti. 1 1 1 1 34
kolmikuks ( ) või nelikuks ( ) ning need teisendada soovitavasse arvusüsteemi. | | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv. 2
Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks, !x , 2x - 4 = 0. Näide: x , x2 + 1 > 0 tähendab, et iga reaalarvu x korral on x2 + 1 suurem nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1
hoolimata täpsetest selgitustest, ning sageli aitab lihtne väide “Nii lihtsalt ei tehta!” Erihuvid on tuntavad ja selles eas sageli suur probleem. Poiste puhul on tegu valdkondadega, milles on võimalik koguda süsteemseid tabelilisi faktiteadmisis ja neid pähe õppida. Tüdrukute huvid võivad tunduda vanuserühmale sobilikumad, kuid on siiski seotud päheõppimisega. Näitena võiks tuua ajalugu, purskkaevud, trammisõiduplaanid, algarvud, mükoloogia dinosaurused jne. Huvid võivad vahelduda, kuid mitte Aspergeri-isiku viis neisse süveneda. Isik süveneb oma huvialasse niisugusel määral, et see muutub teistele väsitavaks või lausa piinavaks. Huvile pühendatakse nii palju aega, et millekski muuks ruumi ei jää. Sundmõtted, sundteod ja rutiinides kinni olemine või erinevat tüüpi ritualism on Aspergeri sündroomi puhul reegel mis võivad olla otseselt seotud mingi erihuviga, kuid võivad
kõigi nende indiviidide xX korral, mille korral muutub tõeseks predikaat Px. Üldisuskvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Igal x-il on omadus Px ehk Iga x korral P. Näiteks võtame predikaadi A(x), kus xN (,,x on algarv", x kuulub naturaalarvude hulka). Üldisuskvantori rakendamisel saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Iga naturaalarv on algarv ehk Kõik naturaalarvud on algarvud. See üldjaatav lause on väär. Olemasolukvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Leidub selline x, millel on omadus Px ehk Leidub selline x, et Px. Näiteks rakendame olemasolukvantorit eelpooldefineeritud predikaadile A(x), kus xN. Saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Leidub vähemalt üks naturaalarv, mis on algarv ehk Mõned naturaalarvud on algarvud. See osajaatav lause on tõene.
fclose(infile); return 0; } /* P r o g r a m m i l õ p p */ Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Ja lisaks tundub mulle, et sellel programmil võib olla kursusest osavõtjatele praktiline rakendusala ;) Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust
/* lõppu üks tühi rida, mida sisendfailis ei ole. */ fprintf(vf, "%c", toupper(c)); } fclose(sf); /* sulgeme failid */ fclose(vf); return 0; } /* P r o g r a m m i l õ p p */ Selles programmis on kasutatud eelkontrolliga korduslauset eeskätt sellepärast, et faili pikkus ja seega ka korduste arv ei ole teada. Kui sisendfail on tühi, siis ei ole vajadust ühtegi sümbolit läbi vaadata. Näide 3. Ü l e s a n n e: Leida kõik algarvud, mis on väiksemad kui 1000. Ma loodan, et Te teate, mis on algarv. Ja loodetavasti olete Te kuulnud, mis asi on Eratosthenese sõel? Ei ole? Niimoodi nimetatakse meetodit, mille abil võibki leida etteantud naturaalarvust väiksemad algarvud. Vaatame seda siis lähemalt. 69 / 115 Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ...,
• Peab olema kiirelt ja kergelt arvutatav - LIHTNE
• Suutma salvestada kirjed võimalikult ühtlaselt tabelisse ära jagada – ÜHETAOLINE
• Sama sisend peab alati andma sama väljundi - DETERMINEERITUD
14.3.1 Jäägi meetod
• Paiskväärtuseks on jääk, mis tekib võtme täisarvulisel jagamisel tabeli pikkusega.
• h(k)=k mod M, kus k on võti ja M on paisktabeli pikkus.
• M-i valik ei ole suvaline.
o Sobivad pigem algarvud.
o Ei sobi arvusüsteemi alus, paarisarvud jms, mille puhul samasuguste jääkide tekkimise
võimalus on suurem.
Algoritmid ja andmestruktuurid 2015
36
14.3.2 Korrutamise meetod
• Võti korrutatakse mingi irratsionaalarvuga (0
paljudel nimelistel teoreemidel pole nimeandjaga siiski suurt pistmist. 46 Üks kuulus teoreem on järgmine. Teoreem: Leidub lõpmatult palju algarve. (Eukleides) matemaatikute keel Sulgudes seisev „Eukleides” tähistab tõestuse autorit ja tihti nimetataksegi seda teoreemi Eukleidese teoreemiks. Meenutame, et algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult enda ja ühega – nagu näiteks 2, 3 ja 5. Arvud 4 ja 6 aga pole algarvud, sest ja . Algarvud on mingis mõttes kõikide teiste arvude baasiks. Neid ennast ei saa tegurdada, aga kõik teised arvud võime esitada algarvude korrutisena. Näiteks võime algarvude korrutisena kirjutada ja Üritame lugejat selles teoreemis järgnevalt ka veenda. Meenutame, et arutlust,
nuhtluseks. On leitud, et mõnede tsikaadiliikide nukud veedavad aastaid maa all ja kooruvad (liigist sõltuvalt) keskmiselt näiteks 13 või 17 aasta pärast. Sel ajal on neid kõikjal miljoneid. Niisugune pikk nukkumisaeg arvatakse hea olevat nimelt selleks, et ei saaks kujuneda välja neile spetsialiseerunud vaenlasi ja parasiite. On koguni pakutud välja huvitav hüpotees, mis püüab seletada küllaltki omapäraseid arve 13 ja 17: kuna need on algarvud, siis ei saa lühemaealised vaenlased ja parasiidid ajastada oma elutsükleid nii, et mõni nende põlvkond satuks tsikaadide omaga ühele lainele. Kui tsikaadi sigimistsükkel oleks näiteks 15 aastat, siis satuksid kolme või viieaastase sigimistsükliga parasiidid hea toidubaasi peale iga viienda või kolmanda põlvkonna järel. Koloniaalsed linnud kasutavad lahjendusefekti ruumilist ja ajalist aspekti kombineeritult, pesitsedes tihedates kolooniates kõik enam-vähem ühekorraga
2) arvutama n = p*q ja z = (p-1)*(q-1) 3) valima arvu e < n, millel pole ühtki ühist tegurit z-ga (v.a. 1). 4) Valima arvu d nii, et e*d -1 jagub täpselt (jäägita) arvuga z. (ehk: e*d mod z = 1) 5) avalik võti on eb(n,e), privaatvõti on db(n,d). Saatjapoolne krüptimine ja saajapoolne dekrüptimine: 1) Oletame, et saatja tahab saata numbrit m < n. Krüptitud sõnum: c= me mod n. 2) Saajapoolne dekrüptimine: m = cd mod n RSA tõestus: m = (me mod n)d mod n. Kui p, q on algarvud ja n=p*q, siis xy mod n = x y mod (p-1)*(q-1) mod n (me mod n)d mod n = med mod n = m ed mod (p-1)*(q-1) mod n = m1 mod n = m. m.o.t.t. RSA on kümneid kordi aeglasem, kui DES. 58. Autentimine Authentication is the process of proving one's identity to someone else. Authentication protocol is run before the two communicating parties run some other protocol (for example an e-mail protocol). Autentimisprotokoll (ap) kõigepealt identifitseerib suhtlejad teineteisele ja
Üldisuskvantori ∀ rakendamine unaarse predikaadi Px indiviidimuutujale x tekitab lause, mis ütleb, et igal muutuja x väärtusel (igal baashulga elemendil) on predikaadi P interpretatsiooniga kirjeldatud omadus Q (või kuuluvus predikaadi P tõehulka). Nt predikaat Ax – x on algarv, kus x∈ N (baashulgaks on naturaalarvude hulk). Üldisuskvantori ∀ rakendamisel predikaadi A muutujale x saame lause ∀x Ax, mida võiks lugeda „Iga naturaalarv on algarv” ehk „Kõik naturaalarvud on algarvud”. See üldjaatav lause on väär. Saare näites saame predikaadi Jx – Jüri armastab x-i indiviidimuutujale x üldisuskvantorit rakendades lause ∀x Jx – Jüri armastab kõiki saareelanikke. Seegi lause on meile teadaolevalt väär. Olemasolukvantori ∃ rakendamine unaarse predikaadi Px indiviidimuutujale x tekitab lause. Mis ütleb, et leidub vähemalt üks muutuja x väärtus, millel on predikaadi P interpretatsiooniga kirjeldatud omadus Q ehk mõnel baashulga elemendil on omadus Q
Üldisuskvantori rakendamine unaarse predikaadi Px indiviidimuutujale x tekitab lause, mis ütleb, et igal muutuja x väärtusel (igal baashulga elemendil) on predikaadi P interpretatsiooniga kirjeldatud omadus Q (või kuuluvus predikaadi P tõehulka). Nt predikaat Ax x on algarv, kus x N (baashulgaks on naturaalarvude hulk). Üldisuskvantori rakendamisel predikaadi A muutujale x saame lause x Ax, mida võiks lugeda ,,Iga naturaalarv on algarv" ehk ,,Kõik naturaalarvud on algarvud". See üldjaatav lause on väär. Saare näites saame predikaadi Jx Jüri armastab x-i indiviidimuutujale x üldisuskvantorit rakendades lause x Jx Jüri armastab kõiki saareelanikke. Seegi lause on meile teadaolevalt väär. Olemasolukvantori rakendamine unaarse predikaadi Px indiviidimuutujale x tekitab lause. Mis ütleb, et leidub vähemalt üks muutuja x väärtus, millel on predikaadi P interpretatsiooniga kirjeldatud omadus Q ehk mõnel baashulga elemendil on omadus Q
annaabi.ee 
